carolina becerra - apuntes de algebra lineal

Apuntes de Algebra LinealCarolina B. Becerra O.

Agosto 2010

Capıtulo 1

Vectores en Rn

Definicion 1.1. El conjunto de n tuplas ordenadas de numeros reales sedenota por Rn y a sus elementos se les llama vectores.

Rn =

v =

x1

...xn

tal que x1, . . . , xn ∈ R

A x1, . . . , xn se les llama componentes o coordenadas del vector v. Al vectorcuyas componentes son todas 0 se le llama vector nulo y se denota por

−→0 .

Definicion 1.2. Vectores canonicos:

ei =

0...010...0

← i , para i = 1, . . . , n

Definicion 1.3. Dados u, v ∈ Rn la suma de u y v, denotada por u + v es elvector cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de uy v. Dado α ∈ R, la ponderacion de u por el escalar α ∈ R es el vector cuyascomponentes son el producto de α por las respectivas componentes de u. Esdecir:

Si u =

x1

...xn

, v =

y1

...yn

, entonces u + v =

x1 + y1

...xn + yn

, αu =

αx1

...αxn

.

3

Proposicion 1.4. Sean u, v, w ∈ Rn y α, β ∈ R. Entonces las operacionesanteriores satisfacen:

u + v ∈ Rn.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + v = v + u.

u +−→0 = u.

u + (−u) =−→0 .

αu ∈ Rn.

α(u + v) = αu + αv.

(α + β)u = αu + βu.

α(βu) = (αβ)u.

1 u = u.

Observacion 1.5. Si α ∈ R, u ∈ Rn y αu = ~0, entonces α = 0 o u = ~0.

Definicion 1.6. Sean u, v ∈ Rn, el producto punto de u y v, denotado poru · v, es la suma de los respectivos productos entre coordenadas. Es decir

Si u =

x1

...xn

, v =

y1

...yn

, entonces u · v = x1y1 + . . . + xnyn =

n∑i=1

xiyi.

Proposicion 1.7. Sea u, v, w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces el producto puntosatisface:

u · v ∈ R.

u ·~0 = ~0.

u · v = v · u.

u · (v + w) = u · v + u · w.

α(u · v) = (αu) · v.

u · u ≥ 0 y u · u = 0 ↔ u = ~0.

Ejemplo 1.8. ei · ej =

{1 si i = j

0 si i 6= j.para todo i, j = 1, . . . , n.

Definicion 1.9. Norma de un vector: Dado u =

x1

...xn

∈ Rn,

‖u‖ =

√n∑

i=1

xi2 =

√u · u.

Definicion 1.10. Vector unitario: vector que tiene norma 1.

Definicion 1.11. Distancia entre vectores: d(u, v) = ‖u− v‖.

Ejemplo 1.12. ‖ei‖ = 1 para todo i = 1 . . . n.

d(ei, ej) =

{0 si i = j√

2 si i 6= j.para todo i, j = 1, . . . , n.

Proposicion 1.13. Sean α ∈ R y u, v ∈ Rn. Entonces

‖αu‖ = |α|‖u‖.

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2u · v.

|u · v| ≤ ‖u‖‖v‖.

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

Definicion 1.14. Sean u, v ∈ Rn−{~0}. El angulo θ entre dos vectores es tal

que: cos(θ) =u · v‖u‖‖v‖ .

Ejemplo 1.15. θ(ei, ej) =

{0 si i = j

π/2 si i 6= j.para todo i, j = 1, . . . , n.

Definicion 1.16. Sean u ∈ Rn y b ∈ R. El hiperplano definido por u y b esH = {x ∈ Rn : x · u = b}. Si b = 0, se dice que pasa por el origen.

Definicion 1.17. Sea {v1, . . . , vm} ⊆ Rn. Una combinacion lineal de losvectores v1, . . . , vm es el vector

α1v1 + . . . + αmvm,

donde αi ∈ R, para algunos α1, . . . , αm ∈ R.

Definicion 1.18. Sea {v1, . . . , vm} ⊆ Rn. Una combinacion lineal convexade los vectores v1, . . . , vm es α1v1 + . . . + αmvm, tal que αi son reales no

negativos ym∑

i=1

αi = 1.

Definicion 1.19. Sea S ⊆ Rn. El conjunto generado por S, denotado por< S > es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S.

Ejemplo 1.20. < e1, . . . en >= Rn.

Ejemplo 1.21. Recta en R2.

Ejemplo 1.22. Recta en R3.

Ejemplo 1.23. Recta en Rn.

Ejemplo 1.24. Plano en R3.

Ejemplo 1.25. En R4 sea H = {x ∈ R4 : x1+x2−2x3−x4 = 0 tal que x1, x2, x3, x4 ∈R}.

x ∈ H ↔ x =

x1

x2

x3

x1 + x2 − 2x3

para x1, x2, x3 ∈ R.

x ∈ H ↔ x = x1

1001

+ x2

0101

+ x3

001

−2

para x1, x2, x3 ∈ R.

Por lo tanto H =<

1001

,

0101

,

001

−2

>.

Ejemplo 1.26. Combinaciones convexas en R2 y R3.

Proposicion 1.27. Sean S, S1, S2 ⊆ Rn. Entonces

< φ >=<−→0 >= {−→0 }.

−→0 ∈< S >.

< S > es cerrado bajo la suma y multiplicacion por escalar.

S ⊂< S >.

S1 ⊂ S2 →< S1 >⊂< S2 >.

S1 ⊂< S2 >→< S1 >⊂< S2 >.

< S >=<< S >>.

Teorema 1.28. Sea S = {v1, v2, . . . , vm} ⊆ Rn.Si v1 es combinacion lineal de v2, . . . , vm, entonces

< v1, v2, . . . , vm >=< v2, . . . , vm >

Definicion 1.29. Sea S = {v1, v2, . . . , vm} ⊆ Rn.

S es linealmente dependiente (LD) si existen escalares α1, . . . , αm

no todos nulos tal que α1v1 + . . . + αmvm =−→0 . (se puede construir al

vector cero de manera no trivial).

S es linealmente independiente (LI) si no es LD, es decir si para

cualquier combinacion lineal α1v1 + . . .+αmvm =−→0 , se tiene necesari-

amente que α1 = . . . = αm = 0. (la unica manera de construir al vectorcero es la trivial).

Observacion 1.30. Si ~0 ∈ S ⊆ Rn, entonces S es LD.

Proposicion 1.31. Sea S ⊆ Rn. Entonces

S es LD si y solo si existe un vector de S que es combinacion lineal delresto de los vectores de S.

S es LI si y solo si todo subconjunto de S es LI.

Observacion 1.32. Problema importante: Dado un conjunto S y un vectorb en Rn. ¿b ∈< S >?.

1.1. Problemas

1. Sea v1 =

[132

], v2 =

[311

], v3 =

[120

]. Determine si existen a, b, c tal

que−→0 = av1 + bv2 + cv3.

2. Sean v1 = u1 + 3u2 y v2 = −u1 + u2 vectores en R3. Demuestre queexisten escalares a, b, c, d tal que u1 = av1 + bv2 y u2 = cv1 + dv2.

3. Determine el vector u tal que la ecuacion de los siguientes hiperplanossea x · u = 0. Escrıbalos como conjuntos generados.

a) x1 + 4x2 − 7x3 + x4 = 0 en R4.

b) x1 + x3 − x4 = 0 en R4.

c) 2x1 + 2x2 − 2x5 = 0 en R5.

d) x1 + x2 − x3 − x4 = 0 en R5.

4. Explique la diferencia entre {v1, v2} y < v1, v2 >.

5. Sean {u1, u2, u3, u4} vectores no nulos de Rn tal que u3 = 2u1−5u2+u4.Demuestre que

a) u1 ∈< u2, u3, u4 >.

b) < u1, u2, u3, u4 >=< u1, u2, u3 >=< u1, u2, u4 >=< u1, u3, u4 >=<u2, u3, u4 >

6. Sea S = {u1, u2, u3} ⊂ Rn un conjunto L.I. Demuestre que el conjunto{u1 − 2u2, u2 + 2u3} es un conjunto L.I.

7. Sea S = {u1, u2, u3} ⊂ Rn un conjunto L.D. Demuestre que al menosuno de los vectores de S es combinacion lineal de los otros dos.

8. Demuestre que << v1, v2 >>=< v1, v2 >.

9. Demuestre que si S1 ⊂ S2, entonces < S1 >⊂< S2 >.

10. Demuestre que si S1 ⊂< S2 >, entonces < S1 >⊂< S2 >.

Capıtulo 2

Sistema de ecuaciones

Definicion 2.1. Una matriz es un arreglo ordenado de m vectores de Rn.Notacion: A = [v1 v2 . . . vm]. Se dice que A es una matriz de n×m, dondem es el numero de columnas y n es el numero de filas.

Si vj =

a1,j

...an,j

para j = 1, . . . , m, entonces A = (ai,j), donde ai,j son los

coeficientes o entradas de la matriz.

Definicion 2.2. Matriz nula es tal que todos sus coeficientes son 0.

Definicion 2.3. Matriz cuadrada es tal que n = m.

Definicion 2.4. Matriz identidad es una matriz cuadrada denotada por Ital que I = [e1 . . . en].

Definicion 2.5. Dada A = [v1 v2 . . . vm] de n×m y x =

x1

...xm

∈ Rm, el

producto de A por x es Ax = x1v1 + x2v2 + . . . + xmvm ∈ Rn.

Proposicion 2.6. Sea A de n×m, x, y ∈ Rm y α ∈ R. Entonces

A(x + y) = Ax + Ay.

A(αx) = αAx.

A~0 = ~0.

9

Definicion 2.7. Un sistema de ecuaciones Ax = b es tal que A es una matrizde n×m asociada al sistema, b ∈ Rn y x ∈ Rm. [A b] es la matriz ampliadadel sistema.El sistema es homogeneo si b =

−→0 y no homogeneo si b 6= −→

0 . El sistema esconsistente si tiene solucion e inconsistente si no tiene solucion.

Definicion 2.8. Una matriz se dice que esta en la forma escalonada (F.E.)si:

1. a1,1 6= 0.

2. Si el pivote de la fila i esta en la columna j, entonces el pivote de lafila i + 1 esta en la columna k, tal que j < k. (Pivote: primer elementodistinto de 0 de la fila).

3. Las filas nulas estan al final de la matriz.

Definicion 2.9. Una matriz se dice que esta en la forma escalonada reducida(F.E.R.) si:

1. Esta es la F.E.

2. Todos los pivotes son iguales a 1.

3. Los vectores columna que contienen pivotes son canonicos.

Definicion 2.10. Dada una matriz, las operaciones fila son:

1. Tipo I: Intercambiar dos filas: Fi ↔ Fj.

2. Tipo II: Multiplicar una fila por un escalar no nulo: Fi → λFi.

3. Tipo III: (pivotear) Sumar a una fila, un multiplo escalar de otra:Fi → Fi + λFj.

Observacion 2.11. Para solucionar un sistema de ecuaciones se lleva lamatriz ampliada a su F.E. o a su F.E.R., usando operaciones fila, luego sereinterpreta el sistema y se resuelve recursivamente hacia arriba. Si el sistemaes consistente, a las variables que quedan en posiciones no pivotes se les llamavariables libres.

Teorema 2.12. Sea el sistema de ecuaciones Ax = b con A de n×m, y Mla F.E.R. de la matriz M = [A b].

Para b 6= ~0, el sistema

es inconsistente si y solo si M tiene una fila de la forma [0 . . . 0 c] conc 6= 0,

es consistente y tiene solucion unica si y solo si M tiene m pivotes,

es consistente y tiene infinitas soluciones si y solo si M tiene menos dem pivotes (hay variables libres).

Para b =−→0 el sistema es consistente (

−→0 es solucion) y

tiene solucion unica si y solo si F.E. de A tiene m pivotes,

tiene infinitas soluciones si y solo si F.E. de A tiene menos de m pivotes(hay variables libres).

Teorema 2.13. Sea el sistema Ax = b, u tal que Au = b y los conjuntosC1 = {x : Ax = b} y C2 = {y : Ay = ~0}. Entonces x ∈ C1 si y solo six− u ∈ C2.

Proposicion 2.14. Sea S = {v1, . . . , vm} ⊂ Rn y A = [v1 . . . vm]. S es L.I.si y solo si el sistema Ax = ~0 tiene solucion unica.

Observacion 2.15. Sea S = {v1, . . . , vm} ⊂ Rn y A una matriz cuyas filasson los vectores del conjunto S. S es L.I. si y solo si la F.E. de la matriz Ano tiene filas nulas.

Teorema 2.16. Sea v1, . . . , vm un conjunto de vectores de Rn. Si m > n,entonces v1, . . . , vm es L.D.

Observacion 2.17. Sea S = {v1, . . . , vm} ⊂ Rn, A = [v1 . . . vm] y b ∈ Rn.Entonces b ∈< v1, . . . , vm > si y solo si el sistema Ax = b es consistente.

Observacion 2.18. Sea A de n × m y b1, . . . br ∈ Rn, para resolver Ax =b1, Ax = b2, . . . , Ax = br se escalona una unica matriz [A b1 b2 . . . br] y seinterpreta la solucion para cada sistema por separado.

Observacion 2.19. Para buscar la interseccion de n hiperplanos, se resuelveel sistema asociado a las n ecuaciones.

2.1. Problemas

1. Sea A = [v1 v2 v3 v4] una matriz de 3 × 4. Determine A ·

2−2

01

suponiendo que v1 + v3 = v2 y v1 + v4 = v3

2. Encuentre la forma escalonada reducida de las matrices:

A =

1 0 1 −23 0 0 14 4 0 21 2 0 −3

B =

−2 2 0 0 −1−2 0 4 2 −1

0 2 1 1 −3−1 1 1 0 −1

C =

2 −2 1−1 0 −1

1 0 3

D =

1 1 1 2 10 −1 −4 0 −12 −3 3 0 −4

3. Determine la solucion general del sistema

x1 + 3x3 = 22x1 + x2 + 3x3 = 1x2 + 2x3 + 5x4 = 2.

4. Determine condiciones sobre a para que el siguiente sistema no tengasolucion

x1 + 2x3 = 32x1 + x2 + x3 = 4−x1 + ax3 = 1.

5. Sea {v1, v2, v3, v4} ⊂ R7 y M = [v1 v2 v3 v4]. Si M(2e1− e3 + e4) = ~0,¿cual es el mınimo de filas nulas que tiene la F.E.R. de M? Justifique.

6. Determine la solucion general de los siguientes sistemas:

a)x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0

x2 + x3 + x4 = 12x1 − x2 − 3x3 − x4 = 1.

b)

x1 + x2 + x3 = 0−2x1 − 5x3 = −2

2x1 + x2 + 3x3 = 1.

7. Resuelva los siguientes sistemas:

(a) x1 + 2x2 + x4 = 8x2 − x3 = 2

2x1 + 2x2 + x3 = 11x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11

(b) x1 + x3 − x4 = 0x1 − 3x3 + 3x4 = 02x1 + x2 + x4 = 0x2 + 2x3 − x4 = 0

(c) x1 + 2x2 = 12x1 − x2 − 3x3 = 0−x1 + x2 + 2x3 = 0

x2 + x3 = 0

(d) x1 + x2 + x3 = 02x1 + x2 − 3x3 = 0

4x1 − 5x2 + 6x3 = 0x1 − 7x2 + 3x3 = 0

(e) x1 + x3 + x4 = 2x2 + x3 = 1

2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1

(f) x1 + 2x2 = 5x1 + x2 = 3

x1 + 2x2 + x3 = 4

(g) x1 + x4 + x5 = 1x2 − x3 + x5 = 0x1 + x3 + x5 = 2

2x1 + x2 + x4 = 0

(h) x1 + x3 = 2x2 = 1

−x1 − x2 = 1x1 = 0

8. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde a es una constante.

x1 + x2 + x3 = 1x1 + x2 + ax3 = 1

ax1 + ax2 + x3 = ax1 − ax2 + ax3 = 0

a) Determine valores de a para los cuales el sistema es inconsistente.

b) Determine valores de a para los cuales el sistema es consistente, yencuentre la solucion.

9. Determine condiciones sobre los numeros primos p y q tal que el sistema

px1 + qx3 = q + 1/qpx2 + qx4 = q + 1/qqx1 + px3 = p + 1/pqx2 + px4 = p + 1/p

• No tenga soluciones.• Tenga infinitas soluciones, y encuentre el conjunto solucion.• Tenga una unica solucion, y encuentre la solucion.

10. Determine un sistema de ecuaciones Ax =−→0 tal que su conjunto solu-

cion sea: <

2−2

01

,

1111

>

11. Determine un sistema de ecuaciones Ax = b tal que su conjunto solucion

sea:

31

−10

+ <

2−2

01

,

1111

>

12. Sea a ∈ R. Estudie la consistencia del siguiente sistema. En los casosen que exista solucion, encuentrelas.

x1 + 2x2 = 1x1 + 3x2 + x3 = 0

−x1 + x2 + ax3 = 2x1 + x2 = a

Solucion:

1 2 0 11 3 1 0

−1 1 a 21 1 0 a

∼

1 2 0 10 1 1 −10 3 a 30 −1 0 a− 1

∼

1 0 −2 30 1 1 −10 0 a− 3 60 0 1 a− 2

∼

1 0 0 2a− 10 1 0 1− a0 0 1 a− 20 0 a− 3 6

Por lo tanto si a = 3, el sitema no tiene solucion.

Si a 6= 3, entonces

∼

1 0 0 2a− 10 1 0 1− a0 0 1 a− 20 0 0 a(5− a)

Luego, si a 6= 0 y a 6= 5 el sistema no tiene solucion.

Si a = 0 la solucion es unica: x1 = −1, x2 = 1 y x3 = −2.

Si a = 5 la solucion es unica: x1 = 9, x2 = −4 y x3 = 3.

13. Demuestre que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distin-tas, entonces tiene una cantidad infinita de soluciones.

Solucion:

Sea u y v vectores distintos tales que solucionan el sistema Ax = b.

Entonces basta tomar cualquier vector de la forma: x = u + α(u − v)para cualquier α ∈ R y se tiene que:

Ax = A(u + α(u− v)) = Au + α(Au− Av) = b + α(b− b) = b.

14. Sean p, q ∈ R y Ax = b un sistema de ecuaciones tal que la formaescalonada reducida de [A | b] es la matriz,

1 0 −1 1 10 1 1 0 10 0 0 p q

Determine si existen valores de p y de q para que:

a) el sistema no tenga solucion,

b) el sistema tenga solucion unica y en tal caso encuentrela,

c) el sistema tenga infinitas soluciones y en tal caso encuentrelas,

d) b ∈ C(A),

e) columnas de A sean L.I.,

f ) filas de A sean L.I.

Capıtulo 3

Matrices

Definicion 3.1. Sea A una matriz de n × m, se define una funcion TA :Rm → Rn, dada por

TA(x) = Ax

Ejemplo 3.2. A =

[1 −2 10 1 3

], entonces TA

[123

]=

[0

11

].

Observacion 3.3. El dominio de esta funcion es Rm. La imagen de ~0 ∈ Rm

es ~0 ∈ Rn.

Proposicion 3.4. Sea A una matriz de n×m, la funcion TA se dice que eslineal pues para x, y ∈ Rm y α ∈ R

TA(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = TA(x) + TA(y),

TA(αx) = A(αx) = αAx = αTA(x).

Observacion 3.5. En adelante la funcion TA se denotara por A.

Definicion 3.6. Mn,m(R) es el conjunto de todas las matrices de n×m concoeficientes reales.

Definicion 3.7. Sean A = [v1 . . . vm] , B = [u1 . . . um] ∈ Mn,m(R) y α ∈ R.La operaciones suma y multiplicacion por escalar de matrices se definen porA + B = [v1 + u1 . . . vm + um] , αA = [αv1 . . . αvm].

Observacion 3.8. −1 · A = −A.

17

Proposicion 3.9. Sean A,B, C ∈ Mn,m(R) y α, β ∈ R. Entonces

A + B ∈ Mn,m(R).

(A + B) + C = A + (B + C).

A + B = B + A.

A + 0 = A.

A + (−A) = 0.

αA ∈ Mn,m(R).

α(A + B) = αA + αB.

(α + β)A = αA + βA.

α(βA) = (αβ)A.

1 A = A.

Definicion 3.10. Sea A de n×m y B de m× p, tal que B = [u1 . . . up], elproducto de A por B es la matriz A ·B = [A · u1 . . . A · up] de n× p.

Proposicion 3.11. Sean A,B,C matrices tal que las siguientes operacionesestan bien definidas y α ∈ R. Entonces

A(BC) = (AB)C.

α(AB) = (αA)B = A(αB).

A(B + C) = AB + AC.

(A + B)C = AC + BC.

IA = AI = A.

0A = A0 = 0.

Observacion 3.12. En general el producto de matrices no es conmutativo.

A =

[0 10 0

], B =

[1 00 0

]y AB =

[0 00 0

]6=

[0 10 0

]= BA.

Definicion 3.13. Sea A de n×m, la trasnpuesta de A denotada por At esde m × n y es la matriz que resulta de intercambiar las filas de A por lascolumnas de la A.

Ejemplo 3.14. Si A =

[0 12 34 −1

], entonces At =

[0 2 41 3 −1

].

Proposicion 3.15. Sean A,B matrices tal que las siguientes operacionesestan bien definidas y α ∈ R. Entonces

(At)t = A.

α(At) = (αA)t.

(A + B)t = At + Bt.

(AB)t = BtAt.

Definicion 3.16. Sea A = (ai,j) de n× n.

A es triangular superior si ai,j = 0 para todo i > j.

A es triangular inferior si ai,j = 0 para todo i < j.

A es diagonal si ai,j = 0 para todo i 6= j.

A es simetrica si A = At.

A es antisimetrica si A = −At.

Definicion 3.17. Sea A de n×m.

Ker(A) = {x ∈ Rm : Ax =−→0 }. Es el conjunto de pre-imagenes del

vector cero. Es el conjunto solucion del sistema homogeneo asociado ala matriz A. Es un subconjunto de Rm.

Im(A) = {b ∈ Rn : ∃x ∈ Rm : Ax = b}. Es el recorrido de la funciondada por la matriz A. Es el conjunto de todos los vectores b tal que elsistema Ax = b es consitente. Es el conjunto generado por las columnasde la matriz A. Es un subconjunto de Rn.

C(A) es el conjunto generado por las columnas de la matriz A. Es elrecorrido de la funcion dada por la matriz A. Es el conjunto de todos losvectores b tal que el sistema Ax = b es consitente. Es un subconjuntode Rn.

F (A) es el conjunto generado por las filas de la matriz A. Es un sub-conjunto de Rm.

Observacion 3.18. Im(A) = C(A) = F (At).

Teorema 3.19. Sea A de n×m. Entonces

A es 1-1 (inyectiva) si y solo si Ker(A) = {−→0 }.A es sobreyectiva si y solo si Im(A) = Rn.

Definicion 3.20. El rango de una matriz es el numero de pivotes que tienela F.E.R. de la matriz.

Teorema 3.21. Sea A de n×m. Entonces

Filas de A son L.D.↔ Existe una fila que es combinacion lineal del resto.↔ fn = α1f1 + . . . + αn−1fn−1 (sin perder generalidad)↔ La FER de A tiene por lo menos una fila nula

(haciendo las operaciones del tipo III necesarias).

Filas de A son L.I.↔ La F.E.R. de A tiene no tiene filas nulas.↔ Todas las filas de la F.E.R. de A contienen pivotes.↔ Rango de A es n.

Columnas de A son L.I.↔ En la F.E.R. de A todas las columnas son pivotes.↔ Rango de A es m.

A es 1-1

↔ Ker(A) = {−→0 }.↔ Ax =

−→0 tiene solucion unica.

↔ Columnas de A son L.I.↔ Rango de A es m.

A es sobre↔ Im(A) = Rn.↔ Ax = b es consistente para todo b ∈ Rn.↔ Ax = ei es consistente para todo vector canonico.↔ La FER de [A e1 . . . en] no tiene filas de la forma [0 . . . 0 u] con u un vector no nulo.↔ Filas de A son L.I.↔ Rango de A es n.

Definicion 3.22. A de n×m tiene inversa por la derecha si existe una matrizB de m× n tal que AB = I.

Teorema 3.23. Sea A una matriz de n×m. Entonces

A tiene inversa por la derecha.↔ Existe B tal que AB = I.↔ Existen u1, . . . , un tal que A[u1 . . . un] = [e1 . . . en].↔ Ax = ei es consistente para todo vector canonico.↔ A es sobre.↔ Filas de A son L.I.↔ Rango de A es n.

Observacion 3.24. Para encontrar la inversa por la derecha de una matriz,hay que escalonar la matriz [AI] y resolviendo cada sistema se obtienen lascolumnas de la matriz B.

Observacion 3.25. Una matriz no cuadrada no puede tener inversa por laizquierda y derecha al mismo tiempo. Lo que no significa que siempre tengaal menos una inversa, por ejemplo la siguiente matriz no tiene inversa por laderecha ni por la izquierda.

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

Definicion 3.26. A de n×n es invertible o no singular si existe una matrizB de n× n tal que AB = I.

Observacion 3.27. Sea A de n × n. Si A tiene inversa por la derecha,entonces su rango es n, luego tiene inversa por la izquierda y es la misma quepor la derecha. Ademas es unica. La notacion para la inversa de A es A−1.

Proposicion 3.28. Sean A y B de n× n. Entonces

A es invertible si y solo si Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.

Si A es invertible, entonces (A−1)−1 = A.

A es invertible si y solo si At es invertible. En este caso (At)−1 = (A−1)t.

Si A es invertible y α 6= 0, entonces αA es invertible y (αA)−1 =1

αA−1.

Si A es invertible, entonces para todo r ∈ N, Ar es invertible y se tiene(Ar)−1 = (A−1)r = A−r.

Si A y B son invertibles, entonces AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1.

Observacion 3.29. Sean A1, . . . , Ak matrices cuadradas e invertibles. En-tonces (A1 · . . . · Ak)

−1 = (Ak)−1 · . . . · (A1)

−1.

Proposicion 3.30. Sean A,B, C, D matrices tal que las siguientes opera-ciones estan bien definidas. Entonces

Si A es invertible y AB = AC, entonces B = C.

Si A es invertible y BA = CA, entonces B = C.

Si A es invertible y AB = BA, entonces BA−1 = A−1B.

Si A es invertible, puede ocurrir que A−1BA 6= B.

Si A y B son invertibles, y ACB = D, entonces C = A−1DB−1.

Observacion 3.31. Una matriz diagonal es invertible si y solo si todos loselementos de su diagonal son no nulos.

Observacion 3.32. Una matriz triangular superior (o inferior) es invertiblesi y solo si todos los elementos de su diagonal son no nulos.

Definicion 3.33. EI (EII , EIII) es una matriz elemental del tipo I (II, III),si es la matriz que resulta de hacer una operacion elemental del tipo I (II,III) a la matriz identidad. Se dice que la matriz E representa dicha operacionelemental.

Observacion 3.34.

tipo matriz operacion transpuesta operacion inversa operacion

I EI Fi ↔ Fj EI Fi ↔ Fj EI Fi ↔ Fj

II EII Fi → λFi EII Fi → λFi EII Fi → 1/λFi

III EIII Fi → Fi + αFj EIII Fj → Fj + αFi˜EIII Fi → Fi − αFj

Observacion 3.35. Si A es de n×m y B es la matriz de n×m que resultade hacerle a A una operacion elemental, entonces EA = B, donde E es lamatriz que representa dicha operacion elemental.

Proposicion 3.36. Si A es de n ×m y B = F.E. de A, entonces Ek · . . . ·E2 · E1A = B, donde Ei son las matrices elementales que representan lasoperaciones elementales que llevan la matriz A en la matriz B.

Teorema 3.37. A de n × n es no singular si y solo si A se puede escribircomo producto de matrices elementales.

Teorema 3.38. A de n×n es no singular si y solo si F.E.R de A es la matrizidentidad

Teorema 3.39. Si A es de n×m y U es una forma escalonada de A, tal queU se obtiene sin necesidad de hacer operaciones del tipo I, entonces existe Ltriangular inferior invertible, tal que

A = LU

Definicion 3.40. Una matriz P es de permutacion si es producto de matriceselementales del tipo I.

Teorema 3.41. Si A es de n × m y U es una forma escalonada de A, talque U se obtiene con la necesidad de hacer operaciones del tipo I, entoncesexiste L triangular inferior invertible y P una matriz de permutacion tal que

PA = LU

Observacion 3.42. Si A = LU , para resolver Ax = b se hace el cambio devariable Ux = y.

Observacion 3.43. Si PA = LU , para resolver Ax = b se multiplica elsistema por P y luego se hace el cambio de variable Ux = y.

Definicion 3.44. Si A es de n × n la forma cuadratica asociada a A esqA : Rn → R, definida por

qA(v) = vtAv

Observacion 3.45. Si A es de n× n, se tiene que

qA = qAt = q(A+At

2

)

La matriz simetrica B =

(A + At

2

), es la unica tal que

qA = qB

En adelante las matrices que definen a formas cuadraticas seran cuadradasy simetricas.

Definicion 3.46. Dada A de n × n, la submatriz principal Ak para k =1, . . . , n es la matriz que resulta de eliminar la ultimas n − k filas y lasultimas n− k columnas de A. Notar que An = A.

Proposicion 3.47. Si A es de n×n y sus submatrices principales A1, · · · , An−1

son invertibles, entonces A admite la descomposicion LU . Si L tiene solo unosen su diagonal, entonces L y U son unicas.

Teorema 3.48. Sea A = At. Si A = LU , entonces existe D diagonal tal queA = LDLt.

Definicion 3.49. Una matriz (o su forma cuadratica asociada) se dice:

positiva definida si ∀v 6= −→0 , qA(v) > 0.

negativa definida si ∀v 6= −→0 , qA(v) < 0.

semidefinida positiva si ∀v 6= −→0 , qA(v) ≥ 0.

semidefinida negativa si ∀v 6= −→0 , qA(v) ≤ 0.

Observacion 3.50. Si D es diagonal, con elementos d1, . . . , dn en su diago-nal, entonces D (o qD) es

positiva definida si di > 0, para todo i = 1, . . . , n.

negativa definida si di < 0, para todo i = 1, . . . , n.

semidefinida positiva si di ≥ 0, para todo i = 1, . . . , n.

semidefinida negativa si di ≤ 0, para todo i = 1, . . . , n.

Proposicion 3.51. Sea A = At. Si A es positiva definida, entonces

A es invertible.

Ak es positiva definida, para todo k = 1, . . . , n.

Ak es invertible, para todo k = 1, . . . , n.

Teorema 3.52. Sea A = At. A es positiva definida si y solo si existe Ltriangular inferior invertible con unos en su diagonal, y D diagonal, conelementos en la diagonal positivos, tal que A = LDLt.

Observacion 3.53. En el teorema anterior se define a√

D como la matrizdiagonal, que en su diagonal tiene las raıces positivas de los elementos de ladiagonal de D. Entonces

A = L√

D√

DLt = RtR

que es llamada la descomposicion con raız cuadrada de una matriz positivadefinida.

Ejemplo 3.54. Sea A =

[3 3 33 5 53 5 11

]. Entonces

A =

[1 0 01 1 01 1 1

] [3 3 30 2 20 0 6

]= LU

=

[1 0 01 1 01 1 1

] [3 0 00 2 00 0 6

] [1 1 10 1 10 0 1

]= LDLt

=

[1 0 01 1 01 1 1

] [ √3 0 00

√2 0

0 0√

6

] [ √3 0 00

√2 0

0 0√

6

] [1 1 10 1 10 0 1

]= L

√D√

DLt

=

[ √3 0 0√3

√2 0√

3√

2√

6

] [ √3

√3

√3

0√

2√

20 0

√6

]= RtR

3.1. Problemas

1. Determine A = (aij) de tamano

a) (5× 6) tal que aij = min{i, j}b) (3× 4) tal que aij = max{i, j}c) (4× 4) tal que aij = 2i− j

d) (4× 3) tal que aij = 2i + j

e) (2× 3) tal que aij = i2 − j2

f ) (3× 3) tal que aij =

{i2 si i = j

j si i 6= j

2. Sean v1, v2, v3 ∈ R2, A = [v1 v2 v3] de 2× 3 y B = [v2 2v2] de 2× 2 talque

A ·

1 10 01 −1

= B.

Calcule A ·−1 −1

1 2−1 1

.

3. Sea A = (aij) una matriz cuadrada de tamano 3× 3 donde

aij =

{1 si i + 1 = j

0 si i + 1 6= j

Pruebe que A3 = 0 y A2 6= 0.

4. Considere las siguientes matrices:

A =

[1 0 1 −23 0 0 14 4 0 2

]B =

−2 2 0

4 2 −10 2 −3

−1 0 −1

C =

[2 −2 1

−1 0 −11 0 3

]D =

[1 1 1 10 −4 0 −12 −3 0 −4

]

Determine:

a) AB

b) 5A + 3D

c) Bt + D

d) C2

e) 2A−D

f ) BCD

5. Sea A =

2 01 11 −1

y B =

−1

11

.

a) Calcule A(AtA)−1At.

b) Calcule B(BtB)−1Bt.

c) Demuestre que A(AtA)−1At + B(BtB)−1Bt = I.

6. Sea A una matriz de n ×m con columnas L.I. Demuestre que si P =A(AtA)−1At, entonces P 2 = P y P = P t.

7. Sea A una matriz de 3× 3 tal que

A

[101

]=

[111

], A

[1

−2−4

]=

[101

], A

[ −111

]=

[211

]

Calcule A−1.

8. Sea B una matriz cuadrada tal que B3 − B2 − 5B + 5I = 0. EscribaB−1 en funcion de B.

9. Calcule An para todo n ∈ N si

a) A =

[1 10 1

].

b) A =

1 1 00 1 10 0 1

.

c) A =

1 1 10 1 10 0 1

.

10. Encuentre todas las matrices (2× 2) que conmutan con

a)

[1 00 3

].

b)

[1 11 0

].

11. Sea A = (aij) una matriz cuadrada de tamano 5× 5 donde

aij =

{1 si i + 1 = j

0 si i + 1 6= j

Pruebe que A5 = I y A4 6= 0.

12. Si A es una matriz antisimetrica, demuestre que A2 es simetrica.

13. Demuestre que para toda A ∈ Mn(R), la matriz(A + At)

2es simetrica

y la matriz(A− At)

2es antisimetrica.

14. Demuestre que el producto de matrices triangulares superiores (inferi-ores) es una matriz triangular superior (inferior).

15. Calcule las inversas por la izquierda y derecha (cuando sea posible),Ker, Im, espacio de columnas y espacio fila de:

A =

[1 0 1 −23 0 0 14 4 0 2

]B =

−2 2 0

4 2 −10 2 −3

−1 0 −1

C =

[2 −2 1

−1 0 −11 0 3

]D =

[1 1 1 10 −4 0 −12 −3 0 −4

]

16. Sea A =

[a bc d

]. Demuestre que A es no singular si y solo si ad−bc 6=

0.

17. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una fila de ceros entoncesno es invertible.

18. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una columna de cerosentonces no es invertible.

19. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A2 = 0, entoncesI − A es invertible.

20. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A3 = 0, entoncesI − A es invertible.

21. Demuestre que el producto de matrices triangulares inferiores (superi-ores) con 1′s en su diagonal es triangular inferior (superior) con 1′s ensu diagonal.

22. Sea A ∈ Mn(R). Se dice que

• A es involutiva si A2 = In,• A es idempotente si A2 = A y• A es ortogonal si AAt = In.

Demuestre o de un contraejemplo:

a) Si A es involutiva y ortogonal, entonces A es simetrica.

b) Si A es simetrica e involutiva, entonces A es ortogonal.

c) Si A es simetrica y ortogonal, entonces A es involutiva.

d) Si A es idempotente, entonces A es involutiva.

23. Escriba las siguientes matrices como producto de matrices elementales

A =

1 0 1 −23 0 1 14 1 0 22 1 0 2

B =

[ −2 2 04 2 −10 2 −3

]

C =

[2 −2 1

−1 0 −11 0 3

]D =

1 1 1 10 −4 0 −12 −3 0 −12 −3 0 1

24. Escriba una matriz que no tenga inversa por la derecha ni por la izquier-da.

25. Demuestre que si A tiene inversa por la derecha, entonces At tieneinversa por la izquierda.

26. Caracterice a las transpuesta e inversa de una matriz elemental del tipoI (II, III).

27. Sea A una matriz 1-1 de n×m. Demuestre que si {v1, . . . , vr} es L.I.,entonces {Av1, . . . , Avr} es L.I.

28. Sea A = [v1 v2 v3] una matriz de n× 3. Demuestre que:

Si la forma escalonada reducida de AtA es

[1 0 00 1 00 0 0

]

entonces {v1, v2, v3} es L.D.

29. Sea A = [v1 v2 v3 v4 v5 v6] una matriz de 4 × 6, tal que su formaescalonada reducida es

1 a −1 0 0 −10 0 0 1 0 −10 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0

con a ∈ R

a) Determine un conjunto generador de vectores L.I. para C(A).

b) Determine el Ker(A).

c) Determine si {v1, v2, v4} es L.I. o L.D.

30. Sea A de 3× 4 tal que existen v1, v2, v3 ∈ R4 tales que

Av1 =

[110

], Av2 =

[012

], Av3 =

[11−1

]

a) Demuestre que el sistema Ax = b es consistente para todo b ∈ R3

b) Determine un vector x ∈ R4 tal que Ax =

[123

]

31. Determine la descomposicion palu de las siguientes matrices:

A =

1 0 1 −23 0 0 1

−1 2 1 21 2 0 −3

B =

−1 2 0 0 −1−2 0 3 2 −1

0 2 1 3−1 1 1 0 −1

C =

1 −2 1−1 0 −1

1 0 3

D =

1 1 1 2 10 −1 −4 0 −12 −3 3 0 −4

32. Use PA=LU para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 102x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = 23x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 24x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10

33. Use palu para determinar la primera fila de A−1. A =

[1 2 10 1 −13 2 1

]

34. Sea A de n × m tal que admite la factorizacion A = LU . Demuestreque si U tiene inversa por la izquierda, entonces A tiene inversa por laizquierda.

35. Suponga que U se obtiene de hacer en A el intercambio de la fila 1 conla 2 y luego restar la fila 2 a la fila 3. Use PA = LU para resolver elsistema Ax = b donde:

U =

[1 0 2 10 1 1 10 0 −1 0

]b =

[100

]

36. Use Cholesky para clasificar las siguientes formas cuadraticas y exprese-las como una suma ponderada de cuadrados.

x2 − 2xy + 2xz + 4yz + 2y2 + 15z2.

x2 + 4xy + 2xz + 4yz + y2 + z2.

37. Sea A =

[1 1 10 1 a

], a ∈ R. Demuestre que AAt es positiva definida.

38. Encuentre la factorizacion de Cholesky de la matriz

A =

[1 1 01 2 00 0 5

]

39. Sea A de 2× 3 tal que A

[101

]=

[1

−1

]y A

[110

]=

[12

]

a) Demuestre que el sistema Ax =

[1a

]es consistente para todo

a ∈ R.

Solucion:

Primero se observa que:

A

y1

101

+ y2

110

= y1A

101

+y2A

110

= y1

[1

−1

]+

y2

[12

]

Por lo tanto se resuelve:

y1

[1

−1

]+ y2

[12

]=

[1a

]

[1 1 1

−1 2 a

]∼

[1 1 10 3 a + 1

]∼

[1 1 1

0 1a + 1

3

]∼

1 0

2− a

30 1

a + 13

Entonces basta tomar y1 =2− a

3, y2 =

a + 1

3.

y se tiene que:

A

2− a

3

101

+

a + 1

3

110

=

[1a

]

b) Demuestre que A tiene inversa por la derecha.

Solucion:

Usando la primera parte de la pregunta se tiene que:

existe u tal que Au =

[10

]y existe v tal que Av =

[01

]

por lo tanto:

Ax = ej tiene solucion para j = 1, 2

entonces A es sobre, luego A tiene inversa por la derecha.

40. Sea A =

[1 1 −1 12 1 0 13 −1 1 3

].

a) Calcule el Ker(A) y la Im(A).

Solucion:

A ∼[

1 1 −1 10 −1 2 −10 −4 4 0

]∼

[1 0 1 00 1 −2 10 0 −4 4

]∼

[1 0 0 10 1 0 −10 0 1 −1

]

Entonces se tiene que Ker(A) =<

−1

111

>

y se tiene que Im(A) =<

[123

],

[11

−1

],

[ −101

]>

b) Decida (justificadamente) si A es inyectiva y/o sobre.

Solucion:

Dado que el rango de A es 3 que es el mismo que el numero defilas de la matriz, se tiene que A es sobre.

Dado que el rango de A es 3 que es el mayor que el numero decolumnas de la matriz, se tiene que A no es inyectiva.

c) [2p] Decida (justificadamente) si A tiene inversa por la izquierday/o derecha. Si existe alguna, encuentrela.

Solucion:

Dado que A no es inyectiva, entonces A no puede tener inversapor la izquierda.

Dado que A es sobre, entonces A tiene inversa por la derecha:

[1 1 −1 1 1 0 02 1 0 1 0 1 03 −1 1 3 0 0 1

]∼

[1 0 0 1 1/4 −1 1/40 1 0 −1 −1/2 3 −1/20 0 1 −1 −5/4 2 −1/4

]

Por lo tanto las inversas por la derecha de A son de la forma:

1/4− α −1− β 1/4− γ−1/2 + α 3 + β −1/2 + γ−5/4 + α 2 + β −1/4 + γ

α β γ

para α, β, γ ∈ R

41. Sea A de 3× 4 tal que la F.E.R. de [A | I] es

1 0 −1 0 1 2 30 1 2 0 0 1 −10 0 0 1 2 1 1

Sin calcular A ni At:

a) Determine el Ker(A).

b) Determine el Ker(At).

c) Determine si A tiene inversas por la derecha y/o izquierda. Siexisten encuentrelas.

d) Determine la solucion general de Atx =

0001

.

42. a) Sea A una matriz 1− 1 de n× 3. Demuestre que la imagen por Adel hiperplano x2 = 0 es un conjunto generado por dos vectoresL.I.

b) ¿Existe una matriz de 2 × 3 tal que la suma de cada fila y ca-da columna sea 1? (Construya un sistema de ecuaciones y luegodecida si es consistente).

43. Sea A una matriz de 3×2. Demuestre que si AtA es invertible, entoncesA es inyectiva.

Solucion:

Dado que AtA es invertible, se tiene que existe B de 2 × 2 tal queBAtA = I.

Asociando, se tiene que BAt es una inversa por la izquierda de A.

Por lo tanto las columnas de A son LI y se tiene que A es inyectiva.

44. Sean A y B matrices de 2×3 y E una matriz elemental tal que AE = B.Demuestre que Im(A) = Im(B).

Solucion:

Sea b ∈ Im(B), entonces Bx = b tiene solucion, reemplazando:

AEx = b tiene solucion, entonces Ay = b tiene solucion, luego b ∈Im(A).

Dado que E es invertible, se tiene que A = BE−1.

Sea b ∈ Im(A), entonces Ax = b tiene solucion, reemplazando:

BE−1x = b tiene solucion, entonces By = b tiene solucion, luegob ∈ Im(B).

45. Escriba la matriz

[0 0 10 1 21 2 0

]como producto de matrices elementales.

Solucion:

[0 0 10 1 21 2 0

]∼

[1 2 00 1 20 0 1

]∼

[1 2 00 1 00 0 1

]∼

[1 0 00 1 00 0 1

]

Entonces existen tres matrices elementales tales que E3 ·E2 ·E1 ·A = I,entonces A = E1

−1 · E2−1 · E3

−1.

A =

[0 0 10 1 01 0 0

]·[

1 0 00 1 20 0 1

]·[

1 2 00 1 00 0 1

]

46. Sea A =

1 2 0 01 3 4 01 4 5 61 5 6 7

.

a) Calcule la descomposicion A = LU de la matriz A.

Solucion:

A = LU =

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 2 1

·

1 2 0 00 1 4 00 0 −3 60 0 0 −5

b) Use la descomposicion anterior para determinar la suma de laprimera y cuarta columna de la inversa de A.

Solucion:

Primera forma:

Se resuelve Ax = e1 es decir LUx = e1, con el cambio Ux = y.

Al resolver Ly = e1 queda y = (1,−1, 1, 0)t.

Al resolver Ux = y queda x = (1/3, 1/3,−1/3, 0)t.

Se resuelve Ax = e4, es decir LUx = e4, con el cambio Ux = y.

Al resolver Ly = e4 queda y = (0, 0, 0, 1)t.

Al resolver Ux = y queda x = (−16/5, 8/5,−2/5,−1/5)t.

Sumando ambos vectores queda que la suma de la primera y cuar-ta columna de la inversa de A es (−43/15, 29/15,−11/15,−1/5)t.

Segunda forma:

Se resuelve Ax = e1 + e4, es decir LUx = e1 + e4, con el cambioUx = y.

Al resolver Ly = e1 + e4 queda y = (1,−1, 1, 1)t.

Al resolver Ux = y queda x = (−43/15, 29/15,−11/15,−1/5)t.

47. Sea A una matriz de 4×3 tal que admite la descomposicion PA = LU .Demuestre que A tiene inversa por la izquierda si y solo si U tiene in-versa por la izquierda.

Solucion:

(→)

Si A tiene inversa por la izquierda, entonces existe X tal que XA = I.

Dado que se tiene PA = LU , como P es invertible, pues es matriz depermutacion,

se tiene A = P−1LU , entonces XA = XP−1LU .

Luego I = XP−1LU , por lo tanto XP−1L es una inversa por la izquier-da de U .

(←)

Si U tiene inversa por la izquierda, entonces existe Y tal que Y U = I.

Dado que se tiene PA = LU , como L es invertible,

se tiene L−1PA = U , entonces Y L−1PA = Y U .

Luego Y L−1PA = I, por lo tanto Y L−1P es una inversa por la izquier-da de A.

48. Sea A simetrica positiva definida. Demuestre que A + I es simetricapositiva definida.

Solucion:

A + I es simetrica pues (A + I)t = At + I t = A + I.

A + I es positiva definida pues:

dado x 6= −→0 , xt(A + I)x = xtAx + xtx

El primer sumando es positivo pues A es positiva definida.

El segundo sumando es positivo pues es la norma al cuadrado del vec-tor x.

Por lo tanto xt(A + I)x = xtAx + xtx > 0

49. Clasifique la forma cuadratica

q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 3z2 − 2xy − 4xz − 2yz

Mediante un cambio de variables adecuado, expresela como una sumaponderada de cuadrados.

Solucion:

La matriz asociada a la forma cuadratica q es A =

[2 −1 −2

−1 5 −1−2 −1 3

].

Entonces

A = LU =

[1 0 0

−1/2 1 0−1 −4/9 1

][2 −1 −20 9/2 −20 0 1/9

].

Usando Cholesky

LDLt =

[1 0 0

−1/2 1 0−1 −4/9 1

][2 0 00 9/2 00 0 1/9

][1 −1/2 −10 1 −4/90 0 1

].

Dado que 2, 9/2, 1/9 son positivos, entonces q es positiva definida.

(Otra manera equivalente de clasificar q es calcular los determinantesde las submatrices principales: |A1| = 2, |A2| = 9, |A3| = 1. Comotodos son positivos, entonces la forma cuadratica es positiva definida.)

Entonces

q(x, y, z) = 2(x− y/2− z)2 + 9/2(y − 4/9z)2 + 1/9(z)2.

Capıtulo 4

Determinantes

Definicion 4.1. Determinante es una funcion: Det : Mn(R) → R tal que:

|I| = 1

Si EIA = B → −|A| = |B|Si EIIA = B → λ|A| = |B|Si EIIIA = B → |A| = |B|

Observacion 4.2. |EI | = −1, |EII | = λ, |EIII | = 1

Observacion 4.3. Si A =

[a bc d

], entonces |A| = ad− bc

Definicion 4.4. Menor i, j de una matriz A es el determinante de la matrizque resulta de eliminar de A la fila i y la columna j. Notacion: Mi,j =

Definicion 4.5. Cofactor i, j de una matriz A es Ci,j = (−1)i+j Mi,j

Teorema 4.6. |A| = ai,1Ci,1 + . . . + ai,nCi,n para todo i = 1, . . . , n

Proposicion 4.7. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces

Si A tiene dos filas iguales, entonces |A| = 0.

Si A tiene una fila nula, entonces |A| = 0.

41

Si A es triangular o diagonal, entonces |A| = Πai,i.

Teorema 4.8. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces A es invertible si ysolo si |A| 6= 0.

Teorema 4.9. Sean A y B matrices cuadradas. Entonces |AB| = |A| |B|.Proposicion 4.10. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces

|At| = |A|Si A es invertible, entonces |A−1| = 1/|A|

Proposicion 4.11. La funcion determinante es lineal en las filas y en lascolumnas.

Proposicion 4.12. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces

Si PA = LU , entonces (−1)k|A| = Πui,i

Si A = LDLt, entonces |A| = Πdi,i

Definicion 4.13. Sea A una matriz de cuadrada. La adjunta de A: Adj(A) =(ci,j)

t.

Teorema 4.14. Sea A una matriz de cuadrada. Entonces A · Adj(A) =Adj(A) · A = |A| IProposicion 4.15. Sea A una matriz de cuadrada. Si A es invertible, en-tonces A−1 = 1/|A| Adj(A)

4.1. Problemas

1. Sea A ∈ M4(R) tal que |A| = 5, encuentre |2A|, |4A|, |2kA|, |A5|, |−A|,|A−1|, ||A|A−1|, |A−3|, ||A|A|

2. Sean v1, v2, v3, v4 ∈ R4, encuentre el |A| siA = [v1 − v3 + v4 − v2 − v3 v3 − v1 v1 + v2 + 2v4] ∈ M4(R)

3. Sea A de 5× 5 tal que Det(A− I) = 0.Demuestre que existe v ∈ R5 tal que Av = v.

4. Sea A de 4 × 4 tal que existen v1, v2, v3, v4 ∈ R4 linealmente indepen-dientes tales que

Av1 = v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4

Av2 = v1 + 2v2 + 3v3

Av3 = v1 + 2v2

Av4 = v1

Demuestre que Det(A) es un numero natural multiplo de 4.

5. De un ejemplo de matrices tal que |A + B| 6= |A|+ |B|.6. Sea A = [v1 v2 . . . vn−1 vn] y B = [vn vn−1 . . . v2 v1]

t. Encuentre unarelacion entre |A| y |B|

7. Sea A ∈ M3(R) tal que Ae2 = 8e2. Demuestre que |A− 8I| = 0

8. Usando determinantes, determine el valor de k tal que las siguientesmatrices sean invertibles

(a)

2 1 0 k1 2 k 02 k 1 0k 1 2 0

(b)

k 1 k0 k 11 k 0

9. Resuelva la ecuacion Det(A) = 0, con

A =

1 1 x2 2 23 x 3

10. Calcule la inversa de las siguientes matrices mediante la matriz adjunta

(a)

1 1 12 3 45 6 7

(b)

1 0 31 2 00 2 3

11. Sea Aα =

[cos α sin α

− sin α cos α

]. Demuestre que

a) A2α = A2α.

b) AαAβ = Aαβ.

12. Demuestre que Det

x + 1 0 x + 2 00 x + 3 0 x + 4

x + 5 0 x + 6 00 x + 7 0 x + 8

no depende de x.

13. Sea p un numero primo. Determine condiciones sobre n ∈ N tal queDet(A) = 0, con

A =

p 0 p + 1 0 p + 20 p + 3 0 p + 4 0

p + 5 0 p + 6 0 p + 70 p + 8 0 p + 9 0

p + 10 0 p + 11 0 5n + 12

14. Sea a ∈ R, calcule el determinante de la siguiente matriz de n× n

a 1 1 · · · 1 11 a 1 · · · 1 11 1 a · · · 1 1...

. . ....

1 1 1 · · · a 11 1 1 · · · 1 a

Solucion:

Si a = 1, quedan todas las filas iguales y entonces el determinante es 0.

Haciendo las operaciones: Fi → Fi−Fi+1, para i = 1, . . . , n− 1 queda:

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a− 1 1− a 0 · · · 0 00 a− 1 1− a · · · 0 00 0 a− 1 · · · 0 0...

. . ....

0 0 0 · · · a− 1 1− a1 1 1 · · · 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Haciendo las operaciones: Fi → (1/(a − 1))Fi, para i = 1, . . . , n − 1queda:

= (a− 1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 · · · 0 00 1 −1 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

. . ....

0 0 0 · · · 1 −11 1 1 · · · 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Haciendo las operaciones: Fn → Fn − F1, . . ., Fn → Fn − Fn−1 queda:

= (a− 1)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 · · · 0 00 1 −1 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

. . ....

0 0 0 · · · 1 −10 0 0 · · · 0 a + n− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Queda una matriz diagonal, entonces el determinante pedido es:

(a− 1)n−1(a + n− 1).

15. Sean v1, v2, v3 vectores linealmente independientes de R3 y A matrizde 3 × 3, tal que: Av1 = v2, Av2 = v3 y Av3 = v1. Demuestre queAdj(A) = A−1.

Solucion:

Matricialmente se tiene:

A · [v1 v2 v3] = [v2 v3 v1].

Tomando determinantes queda |A · [v1 v2 v3]| = |A| · |[v1 v2 v3]| =|[v2 v3 v1]|.

Dado que |[v2 v3 v1]| = −|[v3 v2 v1]| = |[v1 v2 v3]|,

se tiene que |A| · |[v1 v2 v3]| = |[v1 v2 v3]|.

Pero v1, v2, v3 es LI, entonces la matriz [v1 v2 v3] es invertible, por lotanto su determinantes es distinto de 0.

Luego |A| = 1.

Dado que A · Adj(A) = 1 · I, entonces Adj(A) = A−1.

16. Use el metodo de Cramer para encontrar la interseccion de los sigu-ientes hiperplanos: 2x1 + x2 = 4, x2 + 2x3 = 0 y x1 + 2x2 = 5

Solucion:

El sistema queda: Ax = b, con A =

[2 1 00 1 21 2 0

]y b =

[405

].

|A| = −6.

Entonces:

x1 =

∣∣∣∣∣4 1 00 1 25 2 0

∣∣∣∣∣ /− 6 = −6/− 6 = 1

x2 =

∣∣∣∣∣2 4 00 0 21 5 0

∣∣∣∣∣ /− 6 = −12/− 6 = 2

x3 =

∣∣∣∣∣2 1 40 1 01 2 5

∣∣∣∣∣ /− 6 = 6/− 6 = −1

Capıtulo 5

Espacios vectoriales

Definicion 5.1. Cuerpo o campo K, +, · conjunto tal que con las operacionessuma y multiplicacion cumple:

+ es cerrada: ∀α, β ∈ K α + β ∈ K

+ es asociativa: ∀α, β, γ ∈ K (α + β) + γ = α + (β + γ)

+ es conmutativa: ∀α, β ∈ K α + β = β + α

Existe un neutro para la +: ∃0∀α : 0 + α = α + 0 = α

Existe un inverso para la +: ∀α∃β : α + β = β + α = 0

· es cerrada: ∀α, β ∈ K α · β ∈ K

· es asociativa: ∀α, β, γ ∈ K (α · β) · γ = α · (β · γ)

· es conmutativa: ∀α, β ∈ K α · β = β · αExiste un neutro para la ·: ∃1∀α : 1 · α = α · 1 = α

Existe un inverso para la ·: ∀α 6= 0∃β : α · β = β · α = 1

∀α, β, γ ∈ K α · (β + γ) = α · β + α · γEjemplo 5.2. Q,R,C,Zp

Definicion 5.3. Un conjunto no vacıo V es un espacio vectorial sobre elcuerpo K si existen dos operaciones: suma y multiplicacion por escalar talque:

47

+ es cerrada: ∀u, v ∈ V u + v ∈ V

+ es asociativa: ∀u, v, w ∈ V (u + v) + w = u + (v + w)

+ es conmutativa: ∀u, v ∈ V u + v = v + u

Existe un neutro para la +: ∃−→0 ∀u :−→0 + u = u +

−→0 = u

Existe un inverso para la +: ∀u∃(−u) : u + (−u) = (−u) + u =−→0

· es cerrada: ∀u ∈ V, α ∈ K α · u ∈ V

∀u, v ∈ V, α ∈ K α · (u + v) = α · u + α · v∀u ∈ V, α, β ∈ K (α + β) · u = α · u + β · u∀u ∈ V, α, β ∈ K (αβ) · u = α · (βu)

∀u ∈ V 1 · u = u

A los elementos de V se les llama vectores.

Ejemplo 5.4. Algunos espacios vectoriales:

Rn sobre R.

Pn(R) sobre R.

Mn,m(R) sobre R.

C[a, b] sobre R.

Mn,m(Zp) sobre Zp.

Proposicion 5.5. Si V es un espacio vectorial sobre K, entonces

−→0 es unico.

−(u + v) = (−u) + (−v).

−u es unico.

α ·~0 = ~0.

0 · u = ~0.

Definicion 5.6. Una combinacion lineal de vectores v1, . . . , vm es un vectorde la forma α1v1 + . . . + αmvm.

Ejemplo 5.7. En C[0, π], 1 · sen2 +1 · cos2 = 1.

Definicion 5.8. Sea S = {v1, . . . , vm}.S es linealmente independiente si la unica manera de construir al vectorcero es la trivial:

α1v1 + . . . + αmvm =−→0 → α1 = . . . = αm = 0

S es linealmente dependinete si es posible construir al vector cero demanera no trivial:

∃α1, . . . αm no todos nulos, tal que α1v1 + . . . + αmvm =−→0

Observacion 5.9. Sea S = {v1, . . . , vm}. Entonces

S es LI si y solo si todo subconjunto de S es LI.

S es LD si y solo si todo conjunto que contiene a S es LD.

Teorema 5.10. Sea S = {v1, . . . , vm}. S es LD si y solo si existe v ∈ S quees combinacion lineal del resto de los vectores de S.

Definicion 5.11. Sea S = {v1, . . . , vm}. El conjunto generado por S es< S >=< v1, . . . , vm >= {α1v1 + . . . + αmvm, tal que α1, . . . , αm ∈ R}Observacion 5.12. {~0}es L.D.

Observacion 5.13. Sean S1 y S2 conjuntos de vectores de un espacio vec-torial V .

Si S1 ⊂ S2, entonces < S1 >⊂< S2 >

Si S1 ⊂< S2 >, entonces < S1 >⊂< S2 >

Proposicion 5.14. Sea S = {v1, . . . , vm}. vj es combinacion lineal de vec-tores de S ↔ < S >=< S − {vj} >

Proposicion 5.15. Sea S = {v1, . . . , vm}. Si S es LI y v ∈< S >, entoncesv se escribe de manera unica como combinacion lineal de los vectores de S.

Definicion 5.16. Sea V un espacio vectorial sobre K y U ⊆ V . U es unsubespacio de V si es distinto del vacıo y con las operaciones heredadas deV es un espacio vectorial. Notacion: U 6 V

Proposicion 5.17. U 6 V si U es no vacıo, es cerrado bajo la suma y escerrado bajo la multiplicacion por escalar.

Observacion 5.18. < S > es el subespacio mas pequeno que contiene a S.

Teorema 5.19. Sean U1, U2 subespacios de V . Entonces

U1 ∩ U2 es subespacio de V .

U1 + U2 = {u1 + u2 : u1 ∈ U1, u2 ∈ U2} es subespacio de V . Si en

este caso, U1 ∩ U2 = {−→0 }, entonces se dice que la suma es directa y sedenota: U1 ⊕ U2.

Teorema 5.20. Si V =< v1, . . . , vn > tal que {v1, . . . , vn} es L.I., entoncestodo conjunto L.I. de V contiene a lo mas n elementos.

Definicion 5.21. B ⊂ V es una base de V si B es LI y < B >= V .

Teorema 5.22. Si B es una base de V y la cardinalidad de B es n, entoncestodas las bases de V tienen n elementos. Se dice que la dimension de V es n.Notacion: Dim(V ) = n.

Proposicion 5.23. Si Dim(V ) = n, entonces

S es LI → #S 6 n.

< S >= V → #S > n.

Proposicion 5.24. Si Dim(V ) = n y S = {v1, . . . , vn}, entonces

S es LI →< S >= V .

< S >= V → S es L.I.

Observacion 5.25. Si U es subespacio de V y Dim(V ) = n, entoncesDim(U) 6 Dim(V )

Teorema 5.26. Sean U1, U2 subespacios de V . Entonces

Dim(U1 + U2) = Dim(U1) + Dim(U2)−Dim(U1 ∩ U2)

Proposicion 5.27. Sea A de n×m. Entonces

C(A) es un subespacio de Rn de dimension igual al rango de A.

F (A) es un subespacio de Rm de dimension igual al rango de A.

At es de m× n, F (At) = C(A) y C(At) = F (A).

Definicion 5.28. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y v ∈ V tal quev = x1v1 + . . . xnvn. El vector coordenado de x en la base B es:

[v]B =

x1

...xn

Proposicion 5.29. Sean u, v ∈ V y B una base de V . Entonces

[u + v] = [u] + [v].

[αu] = α[u].

{u1, . . . , um} es L.I. si y solo si {[u1], . . . , [um]} es L.I.

u ∈< u1, . . . , um > si y solo si [u] ∈< [u1], . . . , [um] >.

Definicion 5.30. Sean B1 = {v1, . . . , vn} y B2 = {u1, . . . , un} bases de V .Se define la matriz P 1

2 = [ [v1]2 . . . [vn]2 ].

Proposicion 5.31. Sean B1 = {v1, . . . , vn} y B2 = {u1, . . . , un} bases de V .

Para todo x ∈ V : P 12 · [x]1 = [x]2.

P 12 es invertible.

(P 12 )−1 = P 2

1

5.1. Problemas

1. Sean A y B matrices de n×m. Demuestre o de un contraejemplo

a) Ker(A + B) = Ker(A) + Ker(B)

b) Ker(A + B) = Ker(A) ∩Ker(B)

c) C(A + B) = C(A) + C(B)

d) F (A + B) = F (A) + F (B)

2. Sea A =

[4 3 2 13 2 1 42 1 4 3

], con coeficientes en Z 5. Encuentre el Ker(A)

3. Determine si los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobreR

a) V = {f : [a, b] → R continua, tal que f(a+b2

) = 0}

b) V = {p(x) ∈ Pn(R) tal que p(0) = 0}

c) V = {p(x) ∈ Pn(R) tal que p′(0) = 0}

d) V = C

e) V = R+ ∪ {0}

f ) V =

{[a bc d

]∈ M2(R) tal que a + b + c + d = 1

}

g) V =

{[a 0c d

]∈ M2(R)

}

h) V =

{[a bc 0

]∈ M2(R) tal que a2 + b2 + c2 = 1

}

4. Sea V = R2. Determine si V es un espacio vectorial sobre R con lasoperaciones

a)

(ab

)+

(cd

)=

(a + c

0

)y α·

(ab

)=

(αaαb

)∀α ∈ R

b)

(ab

)+

(cd

)=

(a + cb + d

)y α·

(ab

)=

(αa0

)∀α ∈ R

c)

(ab

)+

(cd

)=

(a− cb− d

)y α·

(ab

)=

(αaαb

)∀α ∈ R

d)

(ab

)+

(cd

)=

(a− cb− d

)y α ·

(ab

)=

(ab

)∀α ∈ R

e)

(ab

)+

(cd

)=

(acbd

)y α ·

(ab

)=

(αaαb

)∀α ∈ R

f )

(ab

)+

(cd

)=

(a + cb + c

)y α·

(ab

)=

(αaαb

)∀α ∈ R

g)

(ab

)+

(cd

)=

( √a2 + c2√b2 + d2

)y α·

(ab

)=

( √αa√αb

)∀α ∈

R

h)

(ab

)+

(cd

)=

(3√

a3 + c3

3√

b3 + d3

)y α·

(ab

)=

(3√

αa3√

αb

)∀α ∈

R

5. Sea V = R+, se define

x⊕ y = xy , ∀x, y ∈ R+

α¯ x = xα , ∀x ∈ R+ ∀α ∈ R

Demuestre que V es un espacio vectorial sobre R con estas operaciones.

6. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios de R3

a)

xyz

tal que x + y − 2z = 0 , 2x + y + z = 0

b)

xyz

tal que xyz ≥ 0

c)

xyz

tal que x = y2 , x + y + z ≥ 0

d)

xyz

tal que x2 + y2 + z2 = 1

7. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vec-torial indicado

a)

{(x0

)∈ R2

}de R2

b)

α + βα + 2βα + 3β4β − α

∈ R4

de R4

c)

x1

x2...xn

∈ Rn tal que

∑ni=1 xi = 0

de Rn

d)

x1

x2...xn

∈ Rn tal que

∑ni=1(2xi) = 0

de Rn

e)

x1

x2...xn

∈ Rn tal que x1 6= x2

de Rn

f ) {v ∈ Rn tal que ||v|| = 1} de Rn

g) {v ∈ Rn tal que v · a = 0 con a ∈ Rn fijo } de Rn

h) {p(x) ∈ Pn(R) tal que p(0) + p′(0) = 1} de Pn(R)

i) {p(x) ∈ Pn(R) tal que p(0) es un numero par } de Pn(R)

j ) {p(x) ∈ Pn(R) tal que p(x) = p′(x)} de Pn(R)

k){

p(x) ∈ Pn(R) tal que∫ 1

0xp(x) dx = 0

}de Pn(R)

l) {A ∈ Mn(R) tal que tr(A) = 0} de Mn(R)

m) {A ∈ Mn(R) tal que A = At} de Mn(R)

n) {A ∈ Mn(R) tal que A = −At} de Mn(R)

n) {A ∈ Mn(R) tal que A2 = In} de Mn(R)

o) {A ∈ Mn(R) tal que AB = BA con B ∈ Mn(R) fija } de Mn(R)

p) {f(x) ∈ C[0, 1] tal que f(x) es una funcion par } de C[0, 1]

q) {f(x) ∈ C[0, 1] tal que f(x) es una funcion impar } de C[0, 1]

8. Determine si el vector v en el espacio vectorial correspondiente, es com-binacion lineal de los vectores que se indican

a) v =

[1 24 1

]∈ M2(R) de

[1 −10 2

],

[ −1 01 2

],

[1 01 2

],

[1 34 1

],

[3 4

−1 0

]

b) v =

[1 23 −3

]∈ M2(R) de

[1 11 −1

],

[1 −11 1

],

[ −1 11 0

],

[1 10 1

]

c) v = tan2(x) ∈ C[0, π] de 1 , sec2(x)

d) v = tan2(x) ∈ C[0, π] de sin2(x) , cos2(x)

9. Sea V un espacio vectorial sobre R, u ∈ V y S ⊆ V L.I. Demuestre que

S ∪ {u} es L.I. ←→ u no es C.L. de elementos de S

10. Sea V un espacio vectorial sobre R, y los conjuntos de vectores

S1 = {u1, · · · , un} y S2 = {v1, · · · , vm}

Demuestre que < S1 >=< S2 > si y solo si cada ui es combinacionlineal de los vj y cada vj es combinacion lineal de los ui.

11. Demuestre que todo subconjunto de un conjunto de vectores L.I. estambien L.I.

12. Demuestre que todo conjunto que contiene un conjunto de vectoresL.D. es tambien L.D.

13. Considere el espacio vectorial V = M2(R) y v =

[ab

]∈ R2 un vector

no nulo. Demuestre que el siguiente conjunto U es un subespacio de V .

U = {A ∈ V : adj(A) v =−→0 }

14. Considere el espacio vectorial P3(R). Determine si el siguiente conjuntoes L.I. o L.D.

{pi(x) =i∑

j=0

xj ∈ P3(R) para i = 0, 1, 2, 3}

15. Sea {u1, u2, u3} un conjunto L.I. en R4. Considere las matrices

A1 = [u1 u2 u3] , A2 = [u2 u1 u3] , A3 = [u2 u3 u1]

Demuestre que S = {A1, A2, A3} es un conjunto L.I. en M 4,3(R).

16. Sea A de 5×4. Demuestre que el siguiente conjunto U es un subespaciode R5.

U = {b ∈ R5 : Ax = b es consistente}17. Encuentre una base de los siguientes espacios vectoriales

a) V = {p(x) ∈ Pn(R) tal que p(0) = 0}

b) V = C

c) V =

{[a bc d

]∈ M2(R) tal que a + b + c + d = 0

}

d) V =

{[a 0c d

]∈ M2(R)

}

18. Determine si los siguientes conjuntos son una base del espacio vectorialindicado

a) {1, 1 + x2, 1− x− 2x2} de P2(R).

b)

120

,

342

,

11

−1

de R3.

19. Determine valores de k ∈ R tal que los vectores columna de la matrizA sean una base de R3, donde

A =

−1 k −1

k −3 0−3 5 −1

20. Sea U = {p(x) ∈ P3(R) : p(−1) = 0 }

a) Demuestre que U es subespacio de P3(R)

b) Encuentre una base de U

c) Determine Dim U

21. Sean U1, · · · , Um subespacios de un espacio vectorial V sobre R. De-muestre que

⋂mi=1 Ui es un subespacio vectorial de V .

22. Sean U1 y U2 subespacios de un espacio vectorial V sobre R. De-termine si U1 ∪ U2 es un subespacio vectorial de V . (Demuestre oencuentre un contraejemplo).

23. Sean U1 y U2 subespacios de un espacio vectorial V sobre R. De-muestre que el conjunto U1 + U2 definido por

U1 + U2 = {u1 + u2 tal que u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2}

es tambien un subespacio vectorial de V .

24. Sea S = { 1 , x + x2 , 1 + x + x2 , x3 , x + x2 + x3 } en P3(R)

a) Encuentre una base B de < S > tal que B ⊆ S

b) Si U =< x− x2 > , demuestre que U⊕ < S >= P3(R)

25. Considere el espacio vectorial V = C[0, 2π] y el conjunto

U = {f(x) ∈ V : f(0) = f(π) = f(2π) = 0}

Demuestre que U es subespacio de V .

26. Considere los siguientes subespacios de P 3(R):

U1 =< 3− 2x + x2 + x3 , −1 + x2 − x3 , 2− x + x3 >U2 =< 2− x + 2x2 + x3 , −x− x3 , 3− 2x + 3x2 + x3 >

Encuentre una base y la dimension de U1, U2, U1 + U2, U1 ∩ U2.

Encuentre una base y la dimension de U3 tal que (U1∩U2)⊕U3 =P 3(R).

27. Determine la dimension de los siguientes espacios vectoriales sobre R.

a)

xyz

tal que x + y − 2z = 0

b)

{(x0

)∈ R2

}

c)

α + βα + 2βα + 3β4β − α

∈ R4

d)

x1

x2...xn

∈ Rn tal que

∑ni=1 xi = 0

e) {v ∈ Rn tal que v · a = 0 con a ∈ Rn fijo }

f ) {p(x) ∈ P (n,R) tal que p(x) = p′(x)}

g) {A ∈ Mn(R) tal que tr(A) = 0}

h) {A ∈ Mn(R) tal que A = At}

28. Sea V espacio vectorial sobre R de dimension 2n, con n ∈ N. Demuestreque existen U1 y U2 subespacios de V tal que

Dim U1 = n = Dim U2 y U1 ∩ U2 = {−→0 }

29. En Z7, determine el Ker de

[2 1 0 23 1 2 34 0 1 1

]. ¿Cuantos elementos tiene?

Solucion:

[2 1 0 23 1 2 34 0 1 1

]∼

[1 0 2 00 1 3 00 0 0 1

]

Luego Ker = {(5α, 4α, α, 0)t : α ∈ Z7}.

Por lo tanto el Ker tiene 7 elementos.

30. Sea A de 4× 3, B =

[0 1 00 0 11 0 0

]y C =

[0 0 10 1 01 0 0

].

Demuestre que si Ax = ~0 tiene solucion unica, entonces {A,AB,AC}es un conjunto L.I. en M4,3(R).

Solucion:

Sea αA + βAB + γAC = 0 (matriz nula). p.d.: α = β = γ = 0.

Sea A = [v1 v2 v3] tal que v1, v2, v3 ∈ R4.

Y entonces AB = [v3 v1 v2] y AC = [v3 v2 v1].

Entonces [αv1 + (β + γ)v3 βv1 + (α + γ)v2 γv1 + βv2 + αv3] = 0

Dado que Ax = ~0 tiene solucion unica, entonces se tiene que {v1, v2, v3}es L.I.

De la segunda columna se tiene que α = β = γ = 0.

31. Sean u1 =

[1

−1

], u2 =

[21

]y los subespacios

U1 = {A ∈ M2(R) : u1tAu1 = 0} y U2 = {A ∈ M2(R) : u2

tAu2 = 0}.

a) Demuestre que U1 es un subespacio de M2(R).

Solucion:

U1 es no vacıo pues tomando A = 0 la matriz nula se tiene queu1

t0u1 = 0.

Dadas A,B ∈ U1, se tiene que u1t(A+B)u1 = u1

tAu1 +u1tBu1 =

0 + 0 = 0.

Dada A ∈ U1 y α ∈ R, se tiene que u1t(αA)u1 = α(u1

tAu1) =α0 = 0.

Por lo tanto U1 es un subespacio de M2(R).

b) Calcule bases y dimension de U1, U2 y U1 ∩ U2.

Solucion:

A =

[a bc d

]∈ U1 si a− c− b + d = 0.

Por lo tanto U1 =<

[1 00 −1

],

[0 10 1

],

[0 01 1

]>.

La dimension de U1 es 3 pues {[

1 00 −1

],

[0 10 1

],

[0 01 1

]} es

L.I.

1 0 00 1 00 0 1

−1 1 1

∼

1 0 00 1 00 0 10 0 0

.

A =

[a bc d

]∈ U2 si 4a + 2b + 2c + d = 0.

Por lo tanto U2 =<

[1 00 −4

],

[0 10 −2

],

[0 01 −2

]>.

La dimension de U2 es 3 pues {[

1 00 −4

],

[0 10 −2

],

[0 01 −2

]}

es L.I.

1 0 00 1 00 0 1

−4 −2 −2

∼

1 0 00 1 00 0 10 0 0

.

Para buscar una base de U1 ∩ U2 se considera la siguiente matrizde vectores coordenados con respecto a la base canonica:

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1

−1 1 1 −4 −2 −2

∼

1 0 0 0 −1 −10 1 0 0 1 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 1

Por lo tanto el Ker =< (1, 0,−1,−1, 0, 1)t, (1,−1, 0,−1, 1, 0)t >

Finalmente U1 ∩ U2 =<

[1 0

−1 −2

],

[1 −10 −2

]>

La dimension de U1∩U2 es 2 pues {[

1 0−1 −2

],

[1 −10 −2

]} es L.I.

1 10 −1

−1 0−2 −2

∼

1 00 10 00 0

.

c) Determine una base de un subespacio U3 tal que (U1∩U2)⊕U3 =M2(R).

Solucion:

Para buscar una base de U3 se considera la siguiente matriz devectores coordenados con respecto a la base canonica:

1 1 1 0 0 00 −1 0 1 0 0

−1 0 0 0 1 0−2 −2 0 0 0 1

∼

1 0 0 0 −1 00 1 0 −1 0 00 0 1 1 0 00 0 0 2 2 −1

Dado que las primeras cuatro columnas tienen pivotes, una basede U3 es:

{[

1 00 0

],

[0 10 0

]}.

Capıtulo 6

Transformaciones lineales

Definicion 6.1. Sean V y W espacios vectoriales. T : V → W es unatransformacion lineal si T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) y T (αv) = αT (v).

Proposicion 6.2. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W unatransformacion lineal. Entonces

T ( ~0V ) = ~0W .

T (−v) = −T (v).

Observacion 6.3. Si B es una base de V , entonces T queda determinadapor como actua sobre la base.

Definicion 6.4. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una trans-formacion lineal.

Ker(T ) = {v ∈ V : T (v) =−→0W} .

Im(T ) = {w ∈ W : ∃v ∈ V : T (v) = w} .

Proposicion 6.5. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W unatransformacion lineal.

Ker(T ) es un subespacio de V y su dimension es la nulidad de T .

Im(T es un subespacio de W y su dimension es el rango de T .

Observacion 6.6. Si B es una base de V , entonces < T (B) >= Im(T ).

65

Definicion 6.7. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una trans-formacion lineal.

Si T es inyectiva se dice que es un monomorfismo.

Si T es sobre se dice que es un epimorfismo.

Si T es inyectiva y sobre se dice que es un isomorfismo y se denota porV ∼= W .

Teorema 6.8. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transfor-macion lineal.

T es inyectiva si y solo si Ker(T ) = { ~0V }.

T es sobre si y solo si Im(T ) = W .

Proposicion 6.9. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W unatransformacion lineal. Si T es inyectiva y S ⊂ V es L.I., entonces T (S) esL.I.

Teorema 6.10. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una trans-formacion lineal. Entonces

Dim Ker(T ) + Dim Im(T ) = Dim(V ).

Definicion 6.11. Sean V y W espacios vectoriales, T : V → W una trans-formacion lineal, B1 = {v1, . . . , vm} una base de V y B2 = {w1, . . . , wn} unabase de W . La matriz de T con respecto a B1 y B2 es una matriz de n×mdada por

[T ]12 = [ [T (v1)]2 . . . [T (vm)]2 ]

Proposicion 6.12. Sean V y W espacios vectoriales, T : V → W unatransformacion lineal, B1 = {v1, . . . , vm} una base de V y B2 = {w1, . . . , wn}una base de W . Entonces

[T ]12 · [v]1 = [T (v)]2, para todo v ∈ V .

v ∈ Ker(T ) si y solo si [v]1 ∈ Ker[T ]12.

w ∈ Im(T ) si y solo si [w]2 ∈ Im[T ]12.

T es un isomorfismo (V ∼= W ) si y solo si [T ]12 es cuadrada e invertible.En este caso T−1 es una transformacion lineal y ([T ]12)

−1 = [T ]21.

Proposicion 6.13. Sea V espacio vectorial de dimension m y B1 y B3 basesde V . Sea W espacio vectorial de dimension n y B2 y B4 bases de W . Haydos matrices cambio de bases: P 1

3 y P 24 .

Sea T : V → W y las dos matrices asociadas a T : [T ]12 y [T ]34.Sean x ∈ V, y ∈ W . Entonces

[x]3 = P 13 · [x]1.

[y]4 = P 24 · [y]2.

[T ]12 · [x]1 = [T (x)]2.

[T ]34 · [x]3 = [T (x)]4.

Reemplazndo:

[T ]34 · [x]3 = [T (x)]4.

[T ]34 · P 13 · [x]1 = P 2

4 · [T (x)]2.

[T ]34 · P 13 · [x]1 = P 2

4 · [T ]12 · [x]1.

Entonces [T ]34 · P 13 = P 2

4 · [T ]12

Esquema:

[T ]12V → WB1 B2

P 13 ↓ © ↓ P 2

4

V → WB3 B4

[T ]34

Ejemplo 6.14. Un ejemplo de la relacion entre matriz cambio de base ymatriz de una transformacion lineal es:

Sea V = M2(R) con las siguientes bases:

B1 =

{[1 00 0

],

[1 10 0

],

[0 01 0

],

[0 01 1

]}

B3 =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}

La matriz cambio de base P 13 es P 1

3 =

1 1 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1

Sea W = P2(R) con las siguientes bases:

B2 = {1, 1 + x, 1 + x2} B4 = {1, x, x2}

La matriz cambio de base P 24 es P 2

4 =

1 1 10 1 00 0 1

Sea T : M2(R) → P2(R), dada por

T

([a bc d

])= (a + b) + (b + c)x + (c + d)x2

La matriz de T con respecto a las bases B1 en V y B2 en W es:

[T ]12 =

1 1 −2 −30 1 1 10 0 1 2

La matriz de T con respecto a las bases B3 en V y B4 en W es:

[T ]34 =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 1

Sea A =

[1 23 4

]∈ V y entonces:

[A]1 =

−12

−14

, [A]3 =

1234

Luego T (A) = 3 + 5x + 7x2 ∈ W y entonces

[T (A)]2 =

−9

57

, [T (A)]4 =

357

Y se cumple [T ]12 · [A]1 = [T (A)]2 y [T ]34 · [A]3 = [T (A)]4

Proposicion 6.15. Sean T y L transformaciones lineales de V en W . En-tonces (T + L) : V → W dada por (T + L)(v) = T (v) + L(v) es una trans-formacion lineal, y (αT ) : V → W dada por (αT )(v) = αT (v) es una trans-formacion lineal. Ademas [T + L] = [T ] + [L] y [αT ] = α[T ].

Proposicion 6.16. Sean T : V → W y L : U → V transformacioneslineales. Entonces (T ◦ L) : U → W dada por (T ◦ L)(u) = T (L(u)) es unatransformacion lineal, y [T ◦ L] = [T ] · [L].

6.1. Problemas

1. Decida cuales de las siguientes funciones son transformaciones linealesy en tal caso determine Ker(T ), Im(T ), Rango(T ), Nulidad(T ), unabase de Ker(T ) y una base de Im(T )

a) T : R3 → P2(R), dada por

T

abc

= (a + b + c) + (a− b + 2c)x + (3b− c)x2

b) T : M2(R) → M2(R), dada por

T (A) = AM + MAt con M =

[1 −11 2

]

c) T : M3(R) → M3(R), dada por

T (A) = AM + MAt con M =

1 2 3−1 1 1

0 3 1

d) T : R3 → M2(R), dada por

T (−→x ) =

[ −→x · a −→x · b−→x · b −→x · a]

con a =

111

, b =

110

e) T : R3 → R3, dada por

T (−→x ) = ||−→x ||a con a =

112

f ) T : R3 → R, dada por

T (−→x ) = ||−→x ||

g) T : R4 → R4, dada por

T

abcd

=

3a− b + 7c + d4a + b− cc + 3b− d

a + b + c− d

h) T : R4 → R4, dada por

T

abcd

=

a− b + 3cd + a− b + c

2c + d− aa− b + c− 2d

2. Sea T : V → W una transformacion lineal. Demuestre

a) Si T es inyectiva, entonces Dim V ≤ Dim W

b) Si T es sobreyectiva, entonces Dim W ≤ Dim V

3. Demuestre que M3(R) ∼= R9

4. Demuestre que M2(R) ∼= R4

5. Demuestre que M2(R) ∼= P3(R)

6. Demuestre que P5(R) ∼= R6

7. Sea T : M2(R) → M2(R) la transformacion lineal dada por

T (A) = A + At para toda A ∈ M2(R)

Encuentre la dimension de Ker(T ) y la dimension de Im(T )

8. Sea T : V → W una transformacion lineal.Sea B1 = {v1, v2, v3, v4} una base de V y B2 = {w1, w2, w3} una basede W tal que

[T ]12 =

1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

Encuentre una base B3 de W tal que [T ]13 =

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 1

9. Sea T : V → W una transformacion lineal.Sea {v1, . . . , vk} un conjunto L.I. en V . Demuestre o de un contraejem-plo.

a) Si T es inyectiva, entonces {T (v1), . . . , T (vk)} es un conjunto L.I.en W .

b) Si T es sobreyectiva, entonces Dim(W ) ≤ k.

10. Sea T : Mn,3(R) → Rn lineal dada por T (A) = Au , u =

[111

]

Encuentre el Ker(T ) y su dimension.

11. Sea T : R2 → R2 lineal tal que su matriz con respecto a las basescanonicas tiene determinante p primo. Demuestre que existen bases talque el determinante de la matriz de T en esas bases es 1.

12. Sean V de dimension 3 y W de dimension 4 espacios vectoriales tal queV =< v1, v2, v3 > y W =< w1, w2, w3, w4 >. Sea T : V → W lineal talque

T (v1 − v3) = w1 + w2

T (v1 − v2 − v3) = w1 + w3

T (v1 − v2 − 2v3) = w1 + w4

¿Es T es 1-1 ? ¿Es T sobre? Justifique.

Encuentre bases en V y W tal que la matriz de la transformacionlineal sea

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1

13. Sea T : P3(R) → P2(R) una transformacion lineal dada por

T (p(x)) = p′′(1) + p′(1)x + p(1)x2

a) Calcule bases para Ker(T ) e Im(T ).

Solucion:

Del enunciado, T (a+bx+cx2 +dx3) = (2c+6d)+(b+2c+3d)x+(a + b + c + d)x2.

Luego la matriz de T con respecto a las bases canonicas es:

[0 0 2 60 1 2 31 1 1 1

]

∼[

1 0 0 10 1 0 −30 0 1 3

]

Luego Ker(T ) =< 1− 3x + 3x2 − x3 >.

Dado que es un polinomio, se tiene que {1−3x+3x2−x3} es L.I.y por lo tanto una base de Ker(T ).

Im(T ) =< x, x + x2, 2 + 2x + x2 >.

De las columnas pivote de la F.E. de la matriz anterior, se tieneque {x, x+x2, 2+2x+x2} es L.I. y por lo tanto una base de Im(T ).

(Otra manera es decir que como el Ker tiene dimension 1 y P3(R)tiene dimension 4, entonces por teorema, Im(T ) tiene dimension 3,y como es subespacio de P2(R) de dimension 3, entonces P2(R) =Im(T ) y por lo tanto una base es {1, x, x2}).

b) Determine una base de P3(R) tal que con la base canonica deP2(R), la matriz de T tenga una columna nula.

Solucion:

Dado que en P2(R) se considera a la base canonica, entonces hayun cambio de base en P3(R).

Como es necesario que la matriz de T tenga una columna nula,entonces un elemento de la base debe estar en el Ker(T ), por ejem-plo 1− 3x + 3x2 − x3.

Completando base se obtiene:

1 1 0 0 0−3 0 1 0 0

3 0 0 1 0−1 0 0 0 1

∼

1 0 0 0 −10 1 0 0 10 0 1 0 −30 0 0 1 3

Dado que las primeras 4 columnas tienen pivotes entonces unabase para P3(R) es:

{1, x, x2, 1− 3x + 3x2 − x3}.

Y entonces la matriz de T con respecto a la base anterior y lacanonica en P2(R) es:

[0 0 2 00 1 2 01 1 1 0

]

c) Demuestre que existe L : P2(R) → P3(R) tal que T ◦L es la tran-formacion identidad.

Solucion:

La matriz de T con respecto a las bases canonicas es A =

[0 0 2 60 1 2 31 1 1 1

].

Como su F.E.R. es

[1 0 0 10 1 0 −30 0 1 3

], entonces las filas son L.I.

Entonces la matriz tiene inversa por la derecha.

Sea C una inversa por la derecha de A, entonces AC = I.

Luego basta tomar a L : P2(R) → P3(R) como la transformacionlineal tal que su matriz con respecto a las bases canonicas es C,pues

[T ◦ L] = [T ] · [L] = A · C = I.

14. Sea D : Pn(R) → Pn(R) tal que D(p(x)) = p′(x). Calcule la matriz de

D con respecto a las bases canonicas y demuestre que D no es invertible.

Solucion:

Con respecto a la base canonicas en dominio y recorrido la matriz deD es:

0 1 0 0 . . . 0 0 00 0 2 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0...

. . ....

0 0 0 0 0 n− 1 00 0 0 0 0 0 n0 0 0 0 . . . 0 0 0

Dado que el determinante de la matriz es 0, entonces la matriz no esinvertible, luego la transformacion no es invertible.

15. Sean V y W espacios vectoriales , T : V → W una transforma-cion lineal y {v1, . . . , vn} una base de V . Demuestre que Im(T ) =<T (v1), . . . , T (vn) >.

Solucion:

w ∈ Im(T )

↔ ∃v ∈ V : T (v) = w

↔ ∃v = x1v1 + . . . + xnvn ∈ V : T (v) = w

↔ ∃x1, . . . , xn ∈ R : v = x1v1 + . . . + xnvn : T (v) = w

↔ ∃x1, . . . , xn ∈ R : T (x1v1 + . . . + xnvn) = w

↔ ∃x1, . . . , xn ∈ R : x1T (v1) + . . . + xnT (vn) = w

↔ w ∈< T (v1), . . . , T (vn) >

Capıtulo 7

Ortogonalidad

Definicion 7.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. V se dice que es unespacio vectorial con producto interno si existe una funcion · de V × V en Rtal que para todo u, v ∈ V , y α ∈ R

u · v = v · u

u · (v + w) = u · v + u · w

(αu) · v = α(u · v)

u · u > 0 y u · u = 0 si y solo si u = ~0.

Definicion 7.2. Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interno.

Dados u, v ∈ V , u es ortogonal a v si u · v = 0. Notacion: u ⊥ v.

{u1, . . . , um} ⊂ V es ortogonal si el conjunto no contiene a ~0 y ui ·uj = 0para todo i 6= j

{u1, . . . , um} ⊂ V es ortonormal si el conjunto es ortogonal y ui · ui =1,∀i.

Observacion 7.3. En adelante se considera al espacio vectorial Rn sobre R,con el producto punto usual.

Observacion 7.4. u ⊥ ~0, para todo u ∈ Rn.

77

Observacion 7.5. Sea {u1, . . . , um} ortogonal y u = α1u1 + . . . + αmum,entonces

αi =u · ui

ui · ui

Observacion 7.6. Todo conjunto ortogonal es L.I., y por lo tanto una basede su conjunto generado.

Definicion 7.7. Dado U ≤ Rn, el ortogonal a U es U⊥ = {w ∈ Rn : u ·w =0}.Proposicion 7.8. Sea Rn con el producto punto usual.

Si {u1, . . . , um} es una base de U , entonces U⊥ = {w ∈ Rn : ui · w =0 para i = 1, . . . , m}.~0 ∈ U⊥

U⊥ es un subespacio de Rn.

{~0}⊥ = Rn.

Rn⊥ = {~0}.

U⊥⊥ = U

U ∩ U⊥ = {~0}.Sea {u1, . . . , um} una base de U y A de n×m la matriz A = [u1 . . . um].Entonces U⊥ = Ker(At).

U ⊕ U⊥ = Rn. Dado v ∈ Rn, existen unicos u ∈ U y w ∈ U⊥ tal quev = u + w.

Proposicion 7.9. Sea S = {u1, . . . , um} un conjunto de vectores en Rn y Ade n×m la matriz A = [u1 . . . um]. Entonces

S es LI si y solo si AtA es invertible.

S es ortogonal si y solo si AtA es diagonal e invertible.

S es ortonormal si y solo si AtA = I.

Definicion 7.10. Sea U subespacio de Rn y v ∈ Rn tal que u ∈ U y w ∈ U⊥

donde v = u + w.

La proyeccion ortogonal sobre U es P : Rn → Rn, tal que P (v) = u.

La proyeccion ortogonal sobre U⊥ es Q : Rn → Rn, tal que Q(v) = w.

Proposicion 7.11. Sea U subespacio de Rn y v ∈ Rn tal que u ∈ U yw ∈ U⊥ donde v = u + w.

Si {u1, . . . , um} es una base de U y A de n × m es la matriz A =[u1 . . . um], entonces u = Ax, donde x es tal que AtAx = Atv.

Si {w1, . . . , wr} es una base de U⊥ y B de n × r es la matriz B =[w1 . . . wr], entonces w = By, donde y es tal que BtBy = Btv.

Proposicion 7.12. Sea U subespacio de Rn, P la proyeccion ortogonal sobreU y Q la proyeccion ortogonal sobre U⊥. Entonces

P y Q son transformaciones lineales.

P + Q = I (como t.l.).

Ker(P ) = U⊥, Im(P ) = U .

Ker(Q) = U , Im(Q) = U⊥.

P 2 = P y Q2 = Q (como t.l.).

Si {u1, . . . , um} es una base de U y A de n × m es la matriz A =[u1 . . . um], entonces la matriz de P con respecto a la base canonica esP = A(AtA)−1At.

Si {w1, . . . , wr} es una base de U⊥ y B de n × r es la matriz B =[w1 . . . wr], entonces la matriz de Q con respecto a la base canonica esQ = B(BtB)−1Bt.

P y Q son simetricas.

P 2 = P y Q2 = Q (como matrices).

P + Q = I (como matrices).

2P − I = R es matriz de reflexion, es simetrica y R2 = I.

Proposicion 7.13. Gram Schmidt: Dado S = {v1, . . . , vm} L.I., una baseortogonal de < S > es {u1, . . . , um}, donde:

u1 = v1

u2 = v2 − v2 · u1

u1 · u1

u1

u3 = v3 − v3 · u1

u1 · u1

u1 − v3 · u2

u2 · u2

u2

. . ..

Observacion 7.14. Descomposicion QR.

Sea A = [v1 · · · vm] una matriz con columnas L.I. El problema es encontraruna matriz cuyas columnas formen un conjunto ortonormal que genere lomismo que las columnas de A, es decir se busca una matriz Q tal que:

Q = [u1 · · ·um], Im(Q) = Im(A) y QtQ = I.

Sea R la matriz cambio de base de m×m, es decir A = QR. Entonces

AtA = (QR)tQR = RtQtQR = RtIR = RtR.

Dado que A es inyectiva, luego AtA es positiva definida y basta tomar sudescomposicion con raız cuadrada R. Obteniendo R se calcula Q = AR−1.

Ejemplo 7.15. Sea U =<

1011

,

1020

,

−1

031

>. Determine una base

ortonormal de U .

Solucion:

Sea A =

1 1 −10 0 01 2 31 0 1

. Entonces

AtA =

[3 3 33 5 53 5 11

]

=

[ √3 0 0√3

√2 0√

3√

2√

6

] [ √3

√3

√3

0√

2√

20 0

√6

]= RtR

Luego R−1 =

[1/√

3 −1/√

2 00 1/

√2 −1/

√6

0 0 1/√

6

].

Entonces Q =

1√

3 0 −2√

60 0 0

1√

3 1√

2 1√

61√

3 −1√

2 1√

6

.

Entonces U =<

1√

30

1√

31√

3

,

00

1√

2−1√

2

,

−2√

60

1√

61√

6

>

Proposicion 7.16. Sea el sistema Ax = b inconsistente y x∗ tal que ‖Ax∗−b‖es mınima. Entonces x∗ es tal que Ax∗ es la proyeccion de b sobre Im(A).

7.1. Problemas

1. Sea A de 4× 5. Demuestre que F (A)⊥ = Ker(A).

2. Determine la proyeccion de v = e1 − e3 + e4 + e5 ∈ R5 sobre elhiperplano x1 − x2 + 3x4 − x5 = 0.

3. Determine la matriz de proyeccion sobre el hiperplano x1−x2 +x4 = 0.

4. Sea U subespacio de R3 de dimension 2 tal que

PU(e1) =1

3(2e1 + e2 − e3) PU(e2) =

1

3(e1 + 2e2 + e3)

Determine la matriz de proyeccion sobre U .

5. Encuentre minx−y−2z=2

(x− 3)2 + (2y − 1)2 + (z + 5)2 usando proyecciones

6. Sea U el hiperplano en R4, dado por la ecuacion 2x1−x2+x3−2x4 = 0.Calcule bases de U y de U⊥. Calcule la proyeccion de v = (2,−1, 3, 0)t

sobre U y sobre U⊥. Calcule la matriz de proyeccion sobre U y sobre U⊥.

Solucion:

Base de U : {(1, 0,−2, 0)t, (0, 1, 1, 0)t, (0, 0, 2, 1)t}.

Base de U⊥: {(2,−1, 1,−2)t}.

Matriz de proyeccion sobre U⊥: Q =1

10

4 −2 2 −4−2 1 −1 2

2 −1 1 −2−4 2 −2 4

.

Usando P + Q = I.

Matriz de proyeccion sobre U : P =1

10

6 2 −2 42 9 1 −2

−2 1 9 24 −2 2 6

.

Proyeccion de v sobre U : Pv, proyeccion de v sobre U⊥: Qv.

Pv =1

10(4,−2, 22, 16)t.

Qv =1

10(16,−8, 8,−16)t.

7. Sea U subespacio de Rn, P matriz de proyeccion sobre U y Q matrizde proyeccion sobre U⊥. Demuestre que PQ es la matriz nula.

Solucion:

Manera 1:

Sea A tal que sus columnas forman una base de U . Entonces P =A(AtA)−1At.

Sea B tal que sus columnas forman una base de U⊥. Entonces Q =B(BtB)−1Bt.

Entonces PQ = A(AtA)−1AtB(BtB)−1Bt.

Pero AtB es la matriz nula, pues las filas de At son ortogonales a lascolumnas de B.

Entonces PQ = 0.

Manera 2:

Sea {u1, . . . , um} una base de U .

Sea {w1, . . . , wr} una base de U⊥.

Entonces si x ∈ Rn, x = α1u1 + . . . + αnum + β1w1 + . . . + βrwr.

PQx = PQ(α1u1 + . . . + αnum + β1w1 + . . . + βrwr) = P (~0 + β1w1 +. . . + βrwr) = ~0.

Luego PQx = ~0 para todo x ∈ Rn, entonces PQ es la matriz nula.

8. Sea P =

6/7 −2/7 1/7 1/7−2/7 3/7 2/7 2/7

1/7 2/7 6/7 −1/71/7 2/7 −1/7 6/7

matriz de proyeccion sobre U ≤

R4. Determine una base de U y de U⊥.

Solucion:

P ∼

1 0 0 10 1 0 20 0 1 −10 0 0 0

.

Im(P ) = C(P ) = U .

Entonces U =< (1, 0, 0, 1)t, (0, 1, 0, 2)t, (0, 0, 1,−1)t >.

O bien U =< (6/7,−2/7, 1/7, 1/7)t, (−2/7, 3/7, 2/7, 2/7)t, (1/7, 2/7, 6/7,−1/7)t >.

Ker(P ) = U⊥.

Entonces U⊥ =< (−1,−2, 1, 1)t >.

9. Usando proyecciones, calcule

min (x + y)2 + (2x− y − 2)2 + (y − 6)2 + (y − x− 2)2

Solucion:

El problema se traduce en encontrar la proyeccion de b = (0, 2, 6, 2)t

sobre C(A).

A =

1 12 −10 1

−1 1

.

El sistema es: AtA

[xy

]= Atb.

[6 −2

−2 4

] [xy

]=

[26

].

La solucion es x = 1, y = 2.

Entonces el mınimo es 30.

Capıtulo 8

Valores y vectores propios

Definicion 8.1. Sea A de n × n, v 6= ~0 es un vector propio de A si existeλ ∈ R tal que Av = λv. Se dice que λ es el valor propio de A asociado a v.

Proposicion 8.2. Sea A de n×n. Si v1 y v2 son vectores propios asociados alvalor propio λ, y α ∈ R, entonces αv1 y v1+v2 son vectores propios asociadosa λ.

Proposicion 8.3.

Proposicion 8.4. Sea A de n×n. λ es valor propio de A si y solo si |A−λI| =0.

Definicion 8.5. Sea A de n×n. El polinomio caracterıstico de A es pA(x) =|A− xI|.Proposicion 8.6. Sea A de n × n. λ es valor propio de A si y solo si λ esraız de pA(x). La multiplicidad algebraica de λ es la multiplicidad como raızde pA(x). (m.a.)

Proposicion 8.7. Sea A de n × n y λ un valor propio de A. Eλ = {v ∈Rn : Av = λv} es el espacio propio asociado a λ. La dimension de Eλ es lamultiplicidad geometrica de λ.(m.g.). Eλ = Ker(A− λI).

Teorema 8.8. Sea A de n × n y λ un valor propio de A. Entonces la m.g.de λ es menor o igual a la m.a. de λ.

Proposicion 8.9. Sea A de n× n. Entonces

87

A tiene a lo mas n valores propios.

Si A es diagonal, entonces los valores propios de A son los elementosde su diagonal.

Si A es triangular superior o inferior, entonces los valores propios de Ason los elementos de su diagonal.

A es no invertible si y solo si 0 es valor propio de A.

Si λ es valor propio de A, entonces λm es valor propio de Am, param ∈ N.

Si λ es valor propio de A y A es invertible, entonces λ−1 es valor propiode A−1.

Si λ1 y λ2 son dos valores propios distintos de A, entonces Eλ1 ∩Eλ2 ={~0}.

La traza de A es la suma de sus valores propios.

El determinante de A es el producto de sus valores propios.

Definicion 8.10. Dado un polinomio q(x) = a0 + a1x + . . . + amxm y Amatriz cuadrada, se define a q(A) como la matriz a0I + a1A + . . . + amAm.

Teorema 8.11. Sea A matriz cuadrada. Entonces pA(A) es la matriz nula.

Definicion 8.12. Sea T : V → V una transformacion lineal. v 6= ~0 es unvector propio de T si existe λ ∈ R tal que T (v) = λv. Se dice que λ es elvalor propio de T asociado a v.

Definicion 8.13. Dos matrices cuadradas A y B se dicen similares si existeuna matriz P invertible tal que P−1AP = B.

Proposicion 8.14. Si A y B son similares, entonces tienen los mismos val-ores propios. Si P es tal que P−1AP = B y v es vector propio de B asociadoa λ, entonces Pv es vector propio de A asociado a λ.

Definicion 8.15. Una matriz cuadrada A (o transformacion lineal T ) esdiagonalizable si y solo si es similar a una matriz diagonal.

Proposicion 8.16. Si A y B son similares, entonces A es diagonalizable siy solo si B es diagonalizable.

Teorema 8.17. A es diagonalizable si y solo si existen n vectores propiosL.I. de A.

Corolario 8.18. Si A tiene n valores propios distintos, entonces A es diag-onalizable.

Observacion 8.19. Si A es diagonalizable, entonces Am es diagonalizable,para todo m ∈ N.

Definicion 8.20. P de n× n es ortogonal si P tP = I.

Teorema 8.21. Sea P de n × n. Entonces las siguientes proposiciones sonequivalentes:

P es ortogonal.

‖Px‖ = ‖x‖, para todo x ∈ Rn.

Px · Py = x · y, para todo x, y ∈ Rn.

Si {v1, . . . , vm} es ortonormal, entonces {Pv1, . . . , Pvm} es ortonormal.

Observacion 8.22. Si P y Q son ortogonales, entonces PQ es ortogonal.

Proposicion 8.23. Sea A simetrica. Entonces

A tiene solo valores propios reales.

Si λ1 y λ2 son dos valores propios distintos de A tal que v1 ∈ Eλ1 yv2 ∈ Eλ2 , entonces v1 · v2 = 0.

Definicion 8.24. Una matriz A se dice ortogonalmente diagonalizable siexiste P ortogonal y D digonal, tal que P tAP = D.

Teorema 8.25. A es simetrica si y solo si A es ortogonalmente diagonaliz-able.

Corolario 8.26. A simetrica es positiva definida si y solo si todos sus valorespropios son positivos.

Definicion 8.27. Si A es simetrica y v1, . . . , vn son vectores propios (ortonor-males) asociados a los valores propios λ1, . . . , λn, entonces la descomposicionespectral de A es:

A = λ1v1vt1 + . . . + λnvnv

tn.

Observacion 8.28. Si Av = λv, entonces lımk→∞

Akv =

0 si |λ| < 1,

v si λ = 1,

no existe si |λ| > 1.

Observacion 8.29. Sea A es diagonalizable y q(x) un polinomio. Entonces

A = P

d1 0 . . . 00 d2 0

. . .0 0 . . . dn

P−1 → q(A) = P

q(d1) 0 . . . 00 q(d2) 0

. . .0 0 . . . q(dn)

P−1

A = P

d1 0 . . . 00 d2 0

. . .0 0 . . . dn

P−1 → eA = P

ed1 0 . . . 00 ed2 0

. . .0 0 . . . edn

P−1

Observacion 8.30. Si A es de n×m, se tiene que

1. Ker(AtA) = Ker(A).

2. Im(AtA) = Im(At).

Teorema 8.31. Sea A de n×m. Entonces existen U de m×m y V de n×nmatrices ortogonales tal que

V tAU =

s1 0. . .

0 sr

0

n×m

Observacion 8.32. ¿Como obtener U?

La matriz AtA es simetrica y semi definida positiva. Entonces existe U dem×m matriz ortogonal tal que

U tAtAU =

d1

. . .dr

0. . .

0

n×m

con d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dr > 0.

Sea U1 matriz de m× r que contiene vectores propios de valores propios nonulos y U2 matriz de m× (m− r) que contiene los vectores propios del valorpropio 0. Entonces se tiene que:

U = [U1 U2].

Los vectores columna de U1 forman una base de Im(AtA) = Im(At).

Los vectores columna de U2 forman una base de Ker(AtA) = Ker(A).

(AU1)t(AU1) = D =

d1

. . .dr

n×m

Observacion 8.33. ¿Como obtener V ?

Sea V1 de n× r la matriz V1 = AU1

√D−1

.

Sea V2 de n×(n−r) la matriz cuyas columnas completan una base ortogonalcon las columnas de V1.

Entonces se considera V = [V1 V2].

Ejemplo 8.34. Sea A =

1 0 −10 1 01 0 −10 1 0

. Obterner la descomposicion en val-

ores singulares de A.

Solucion:

AtA =

[2 0 −20 2 0

−2 0 2

]con valores propios {4, 2, 0}.

E4 =<

[10

−1

]>, E2 =<

[010

]> y E0 =<

[101

]>.

U =

[1/√

2 0 1/√

20 1 0

−1/√

2 0 1/√

2

]con U1 =

[1/√

2 00 1

−1/√

2 0

]y U2 =

[1/√

20

1/√

2

].

D =

[4 00 2

]y√

D−1

=

[1/2 0

0 1/√

2

].

Entonces los valores singulares de A son: {2,√2}.

V1 = AU1

√D−1

=

1/√

2 00 1/

√2

1/√

2 00 1/

√2

y V2 =

1/√

2 00 1/

√2

−1/√

2 00 −1/

√2

.

V =

1/√

2 0 1/√

2 00 1/

√2 0 1/

√2

1/√

2 0 −1/√

2 00 1/

√2 0 −1/

√2

y entonces V tAU =

2 0 00

√2 0

0 0 00 0 0

.

8.1. Problemas

1. Determine los valores y vectores propios de las siguientes matrices

(a)

−6 −2 −7

4 0 64 1 5

(b)

−5/2 1 3/2−2 2 0

−1/2 1 −1/2

2. Demuestre que si A ∈ Mn(R) es no singular, entonces los recıprocos desus valores propios son valores propios de A−1.

3. Sea A de n × n tal que A8 = 7A7. Pruebe que si 7 no es valor propiode A, entonces A es singular.

4. Sea U subespacio no trivial de Rn de dimension m, P la matriz deproyeccion sobre U y a ∈ N mayor que uno. Determine los valores pro-pios y la dimension de los espacios propios de la matriz I − aP .

5. Sea A =

[a bc d

]. Encuentre condiciones sobre los coeficientes de la

matriz para que

a) 0 sea un valor propio de A.

b) A tenga un unico valor propio.

c) A sea diagonalizable.

6. Demuestre que la matriz

[a a− 1a + 1 a

]es diagonalizable si y solo si

|a| > 1

7. Si A es una matriz cuadrada tal que A2 = A, demuestre que la matrizsolo admite los valores propios 0 y 1.

8. Sea A de 2× 2, tal que no es diagonal, tr(A) = 0 y |A| = d, con d ∈ R.Determine condiciones para que A sea diagonalizable.

9. Sea T : P4(R) → P4(R) lineal tal que

T (xk) =k∑

i=0

(i + 1)xi para k = 0, 1, 2, 3, 4

Decida justificadamente si T es diagonalizable.

10. Sea A de 3× 3 y e1, e2, e3 vectores canonicos de R3 tal que

A(e1 + e2) = e3

A(e1 + e3) = e2

A(e1) = 3e1

Encuentre y diagonalice A.

11. Sea A de 3× 3 simetrica con valores propios λ, λ + 1, λ + 2, con λ ∈ R.Muestre que existe a ∈ R tal que la matriz A + aI es positiva definida.

12. Sea A simetrica de 5× 5 y B = [v1 v2 v3] de 5× 3 tal que

AB = B

[2 0 00 3 00 0 4

]

Muestre que BtB es diagonal.

13. Sea V espacio vectorial de dimension 3 tal que V =< v1, v2, v3 >,y T : V → V lineal tal que Ker(T ) =< v1 + v2, v1 + v3 > yIm(T ) =< v1 >.

Decida justificadamente si T es diagonalizable.

14. Sea E =

[0 11 0

]y T : M2(R) → M2(R) la transformacion lineal

dada por

T (A) = AE + EA para toda matriz A ∈ M2(R)

¿Es T diagonalizable? Justifique.

15. Sea A ∈ Mn(R) y a ∈ R. Demuestre que A es diagonalizable si y solosi A + aI es diagonalizable.

16. Sea A ∈ Mn(R) tal que A2 = A+2I. Pruebe que si 2 no es valor propiode A, entonces A + I es singular.

17. Sea A =

[2 0 10 1 01 0 2

]Encuentre la descomposicion espectral de A.

18. Calcule lımn→∞

An, con A =

[2/3 1/31/3 2/3

].

19. Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = 2A + 3I. Demuestre que si 3no es valor propio de A, entonces A + I es no invertible.

Solucion:

Se tiene que A2 − 2A− 3I = 0, entonces (A− 3I)(A + I) = 0.

Tomando determinantes:

|A− 3I| · |A + I| = 0.

Dado que 3 no es valor propio de A, entonces |A− 3I| 6= 0.

Por lo tanto |A + I| = 0 y entonces A + I es no invertible.

20. Sea {xn} una sucesion de numeros reales tal que 5xn+1 = 6xn − xn−1.Calcule el lım

n→∞xn.

Solucion:

Matricialmente queda

[xn+1

xn

]=

[6/5 −1/5

1 0

] [xn

xn−1

].

=

[6/5 −1/5

1 0

]n [x1

x0

].

Polinomio caracterıstico de la matriz: (x− 1/5)(x− 1).

Valores propios: 1/5, 1.

E1 =< (1, 1)t >.

E1/5 = (1, 5)t.

P−1AP = D → A = PDP−1 → An = PDnP−1.

P =

[1 11 5

].

P−1 =

[5/4 −1/4

−1/4 1/4

].

D =

[1 00 1/5

].

Entonces lımn→∞

An = P

[1 00 0

]P−1 =

[5/4 −1/45/4 −1/4

].

Entonces lımn→∞

xn =5x1 − x0

4.

21. Sea A una matriz de 3×3 tal que A

[123

]=

[246

]y la forma escalonada

reducida de A es

[1 0 −10 0 00 0 0

].

Calcule eA.

Solucion:

De la escalonada reducida Ker(A) =< (0, 1, 0)t, (1, 0, 1)t >.

Por lo tanto 0 es un valor propio de A con m.g. = 2.

Ademas A(1, 2, 3)t = 2(1, 2, 3)t.

Por lo tanto 2 es un valor propio de A con m.g. = 1. (no puede sermayor pues la matriz es de 3× 3).

La diagonalizacion queda:

P =

[0 1 11 0 20 1 3

].

D =

[0 0 00 0 00 0 2

].

P−1 =

[1 1 −1

3/2 0 −1/2−1/2 0 1/2

].

A = PDP−1 entonces eA = PeDP−1 =

3− e2

20

e2 − 12

1− e2 1 e2 − 13− 3e2

20

3e2 − 12

.

22. Sea A =

[4 1 11 4 11 1 4

]. Determine la descomposicion espectral de A.

Solucion:

Valores propios: 3, 6.

E3 =< (1, 0,−1)t, (0, 1,−1)t >.

E6 =< (1, 1, 1)t >.

Bases ortonormales:

E3 =< (1/√

2, 0,−1/√

2)t, (1/√

6,−2/√

6, 1/√

6)t >.

E6 =< (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3)t >.

Entonces la descomposicion queda:

A = 3

[1/2 0 −1/2

0 0 0−1/2 0 1/2

]+3

[1/6 −2/6 1/6

−2/6 4/6 −2/61/6 −2/6 1/6

]+6

[1/3 1/3 1/31/3 1/3 1/31/3 1/3 1/3

].

carolina becerra - apuntes de algebra lineal

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determine

u1 u2

si w1

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se dice