algebra aduni

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Álgebra Teoría de ecuaciones

NIVEL BÁSICO

1. Si a b n, y   son números enteros positivos y la

solución positiva de la ecuación

   bx a n

− − =1 0 es 2  1

1

+

    b

 n, halle

 b

a.

 A)2

2  B)

1

2  C) 2

D)1

4  E) 2 2

UNMSM 2013 - II

2. Despeje x de la siguiente ecuación.

   p x q p q p q p q q x2 2

3 4+ −( )  = −( )   +( ) +

   p q pq2 2

0≠ ≠;

 A) 2 B)  p q+   C) − p

D) − q  E) 3

3. En la siguiente ecuación

   x x x x n n+( ) + +( ) + +( ) + + +( )  =1 2 3  2

...

  donde n es entero positivo, halle el valor de .

 A) n −( )1

2  B)

 n

2  C)

3

2

 n

D) n +( )1

2  E)

2 1

2

 n +( )

4. En un examen, un alumno gana a puntos por

cada respuesta correcta y pierde b puntos por

cada respuesta equivocada. Después de ha-ber contestado  n preguntas, obtiene c puntos.

¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

 A) bn c

a b

+

+

  B)an c

a b

+

  C) bn c

a c

+

D)an c

a b

+

+

  E) bn c

a b

+

UNMSM 2013 - II

5. Si a es una solución entera positiva de la ecuación

   x x x x3 212− + − =α α

  determine la suma de cifras de a5.

 A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

6. Dada la ecuación paramétrica

  2 2 22 n x n x n−( )   = −( ) +

  determine el valor del parámetro n para que la

ecuación tenga infinitas soluciones.

 A) 1 B) –1 C) 3

D) 2 E) 0

NIVEL INTERMEDIO

7. Dado el polinomio

   P x ax bx x( )   = − + +

3 28

  si a es una raíz doble, determine el valor de b.

 A) 2 B) – 4 C) 3

D) – 2 E) 6

8. Dada la ecuación polinomial  5 2 1 2 1 0

2 3 x x x−( )   +( )   −( )   =

  de modo que

   m: representa la suma de raíces

   n: representa la suma de soluciones

  calcule el valor de 3 mn.

 A) 3 B) – 1 C) – 3

D) 1 E) – 2

9. Se compran dos piezas de tela, una a x soles elmetro y otra, que tiene x metros más, a y  soles

el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo,

¿cuántos metros se compraron en total?

 A) x x y

 y x

+( )−( )

  B) x y

 x y

+

  C) y x y

 x y

+( )−( )

D) x x y

 x y

+( )−( )

  E) x xy

 xy

+( )1

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Álgebra 

10. Si en la ecuación paramétrica

   n n x n x n2

4 2+ −( )   = − +( )  (I)

  se considera a  n como parámetro, determine

la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes

afirmaciones y elija la secuencia correcta.

I. Si (I) tiene infinitas soluciones, entonces n  > 0.

II. Si n  < 0, entonces (I) tiene solución única.

III. Si (I) es inconsistente, entonces n es entero.

 A) VFV B) FFV C) VVF

D) VVV E) FFF

11. Si a es una solución de la ecuación

   x x n3 0+ + =

  y α −( )1 es solución de la ecuación

   x n2

1 0− + =

  determine el valor de a si se sabe que es entera.

 A) 2 B) – 2 C) – 3

D) 3 E) – 1

12. De un segmento de recta, se toma su mitad,

de este último se toma su tercera parte, lue-go, de este último, se toma su cuarta parte,

 y finalmente de este último se toma su sexta

parte. Al final queda 25 cm. ¿Cuál es la longi-

tud del segmento en metros?

 A) 3 2, m  B) 3 6, m  C) 7 m

D) 7 2, m  E) 6 8, m

NIVEL AVANZADO

13. Si se sabe que el polinomio

   P x x x x b x

a b b c   c a

( )+ +

  +

= −( )   +( )   − −( )2 1  2

  tiene 12 raíces, determine la suma de raíces.

 A) 8 B) 6 C) – 4

D) 12 E) 14

14. Sea

   k  a

a

=  − +( )

− +( )

 

1 6

1 6

0 8

0 8

1

3

,

,

 

 

  donde a es una raíz de la ecuación   x x3

6 0− − = . Halle la expresión equivalente

de k.

 A) 1   0 8 16 9+ +a a, / 

 

B) 1  4 3 8 3

+ +a a / / 

C) 1  0 6 22 3

+ +a a, /  

D) 1  8 81 16 81

+ +a a / / 

E) 1

  0 8 16 9− +

a a

, /  

UNMSM 2002

15. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) con respecto a una ecuación.

I. Toda ecuación tiene conjunto solución.

II. Si una ecuación es compatible determina-

da es posible que posea más de una solu-

ción.

III. La ecuación  x  −

( )  =

2 01

 es incompatible.

 A) VVV B) VFV C) FFF

D) VVF E) FFV 

16. Dado un número natural n mayor que 10, halle

todos los pares de números enteros positivos

a b y , tales que las ecuaciones

   x ax n

+ − =2013 0

 x bx n

+ − =2014 0

tengan al menos una raíz real en común. Dé

como respuesta el valor de a b+ .

 A) 4027

B) 4026

C) 4023

D) 4028

E) 4025

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NIVEL BÁSICO

1. Determine la suma de la menor raíz con la ma-

 yor raíz de las siguientes ecuaciones, respec-

tivamente.  2 6 0

2 x x− − =

  3 10 02 x x+ − =

 A) 0 B)1

6  C)

−7

2

D)11

3  E)

19

6

2. Si la ecuación  x x n−( )   + =2 22

  tiene raíces

múltiples, determine el valor de n.

 A) 3 B) 1 C) – 1

D) – 3 E) 5

3. Si la ecuación  kx x x k2 2

4 3 7 0+ − + − =   tiene

raíces recíprocas, k es

 A) 4 B) 2 C) 3

D) – 3 E) 5

UNMSM 2004 - I

4. En la ecuación  n x n2

2 3 4 0− −( )   + = . Deter-

mine los valores que puede tomar  n para que

la ecuación posea raíces iguales. Dé como res-

puesta la suma de estos valores.

 A) 1 B) 9 C) 10

D) 0 E) 2

UNMSM 2004 - I

5. Dada la ecuación cuadrática   x x2

2 0+ + =

  de raíces  m n y , determine una ecuación cu-

 yas raíces sean m3 y n3.

 A)  x x25 8 0− + =

B) x x27 8 0− + =

C) x x27 8 0+ + =

D) x x25 8 0+ + =

E)  x x28 8 0− + =

6. Si las ecuaciones en

 x x a2

0+ + =

   x x b2

2 0+ + =

  tienen una raíz en común, calcule

 5

2

2

2a b

 b a b a

−( )

≠;

 A) 5 B) 4 C) 6

D) 1 E) 3

UNMSM 2014 - I

NIVEL INTERMEDIO

7. Si una raíz de la ecuación

   n x x n x+( )   +( )  = +( )   +( )1 2 3 3 5

2

  es la inversaaditiva de la otra, halle el valor de n.

 A) 5 B) – 6 C) 7

D) – 7 E) 6

UNMSM 2013 - I

8. Para que una de las raíces de la ecuación cua-

drática ax bx c2

0+ + =  sea la mitad de la otra,

¿cuál debe ser la relación entre los coeficientes?

 A) 2 92

 b ac=  

B) 4 92

 b c=  

C) 2 92

 b a=

D)  b ac2

8=  

E) 9 22

 b ac=

9. Si las raíces de la ecuación

  ax bx c a2

0 0+ + = ≠( ) 

son  r y s  , halle la ecuación cuyas raíces sean

ar b+  y as b+ .

 A)  x ax bc2

0− + =

B)  x bx ac2

0+ + =

C)  x bx ac2

0+ − =

D)  x bx ac2

0− − =

E)  x bx ac2

0− + =

UNMSM 2004 - II

ÁlgebraEcuación cuadrática

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Álgebra 

10. Si se sabe que las raíces de la ecuación

   x bx2

30 0+ + =   son positivas y la diferencia

entre ellas es 7, ¿cuál es el valor que toma b?

 A) – 31 B) – 13 C) – 17

D) – 11 E) 11

11. La ecuación cuadrática

   P ax bx a b P x( )   −( )= + + −( )  = =

210 24;

  tiene por raíces a  y α −( )1 . Determine una

ecuación cuadrática cuyas raíces sean a b y .

 A)  x28 20 0− − =

B)  x28 20 0+ + =

C)  x28 20 0− + =

D)  x28 20 0+ − =

E)  x220 8 0− + =

12. En una recta, se ubican los puntos consecu-

tivos  P, Q,  R  y  S. Si  PQ a PR m PS b= = =; ; y

QR RS= , halle una raíz de la ecuación

   x  b a

 m x

  m a

 b m

20+

++

=

 A) 1 B) – 1 C) 2

D) – 2 E) 3

UNMSM 2012 - I

NIVEL AVANZADO

13. Cierto día unos amigos se van al cine a ver una

película de estreno. Cada entrada cuesta S/. p,

pero al momento de pagar se dan cuenta que

 n de ellos no tienen más que S/.5, por lo que elresto decide prestarles la diferencia de mane-

ra equitativa. Si al final todos vieron la película,

¿cuántos amigos fueron al cine?

 A)2

5

 np

 p +

  B)2

5

 n

 p −  C)

 np

 p − 5

D)2

5

 np

 p −  E) 2 n

14. Un segmento de recta de longitud de 1 m se

divide en dos partes, de tal manera que el seg-

mento menor es al segmento mayor, como

este es a la totalidad. Halle el valor del mayor

de los segmentos en metros.

 A)− +1 3

2  B)

3 1

2

+  C)

5 1

2

+

D)− +1 5

2  E)

5 1

5 1

+

15. Si las ecuaciones cuadráticas

   E a x a x a1

22 4 1 0: −( )   + −( )   + −( )  =

   E ax a x a2

23 1 3 0:   + +( )   + −( )  =

  son equivalentes, calcule el valor de a.

 A) a   = −5

B) a  =3

2

C) a a= − ∨ =5  2

3

D) a a= − ∨ =5  3

2

E) a  = 3

16. La base mayor de un trapecio isósceles mide

igual que una diagonal y la base menor mide

el doble de la altura. Halle la razón entre las

longitudes de la base menor y la mayor, en el

orden indicado.

 A)2 7

6

B) 7 4 22

−  

C)7 2 7

2

D)2 6

6

E)− +1 7

2

UNMSM 2012 - I

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Álgebra Ecuación de grado superior 

NIVEL BÁSICO

1. Dada la ecuación cúbica  x px q3

0+ + = ,

  halle la relación entre  p q y para que tenga

dos raíces iguales.

 A) 4 27 03 2

 p q+ =

B) 4 273 2

 p q=

C) 4 272 3

 p q=

D) 4 27 02 3

 p q+ =

E)  p q3 2

108+ =

2. Dado el polinomio cúbico y completo

   P x x x x x

 n n n( )

+ −= − − +

3 22 2

  determine una de sus raíces.

 A) – 1 B) 2 C) – 2

D) 2 E) 2 2

3. Si  A x x x x= ∈ − ={ }Z  5 3

5 36  y 

   B x x A= ∈ −( ) ∈{ }Z 3

  halle  A B A B∪( ) − ∩( )

 A) −{ }3 6;

B)−{ }3 0 3 6; ; ;

C) −{ }3 0 3; ;

D) −{ }3 3;

E) 0 3 6; ;{ }UNMSM 2004 - I

4. Halle la suma de los cuadrados de las raíces de

la ecuación 4 17 4 04 2 x x− + =   .

 A) −1

2  B) 0 C)

17

2

D) – 9 E) 8UNMSM 2004 - I

5. Dada la ecuación 5 7 3 2 03 2 x x x− − + = ,

  si se sabe que tiene una única raíz racional po-

sitiva, determine la suma de las otras raíces.

 A) 1 B) – 1 C) 5

D) – 5 E)1

5

6. Si las cuatro raíces de la ecuación

   x x m4 2   2

30 1 0− + +( )   =   están en progresión

aritmética, halle la suma de los valores de m.

 A) – 2 B) – 10 C) 8

D) 2 E) 18

UNMSM 2012 - I

NIVEL INTERMEDIO

7. En la ecuación  x mx x m3 2

5 6− + + = ,

  halle el menor valor de m para que tenga solo

2 raíces iguales.

 A) 4 B) − +1 2 6  C) – 4

D) − −1 2 6  E) 6

8. Dada la ecuación  mx x3

4 0− + = , de raíces

α β θ; y  , halle el valor de m si se sabe que

 α β

β

β θ

θ

θ α

α

2 2 21 1 1

1+

+  +

+  +

=

 A) −3

2  B)

8

3  C)

8

5

D)3

8

  E)5

4

9. Dado el polinomio

   P x x nx n n x( )   = − + + + ∈2 3 1

3 2; Z

  determine cuál de las siguientes alternativas

puede ser una de sus raíces.

 A) 2 B)3

2  C)

1

2

D)−1

2  E) 5

10. Dada la ecuación bicuadrada

  2 2 3 2 2 1 04 2

 x n x n− −( )   − +( )  =

  determine los valores de  n para que no tenga

raíces reales.

 A) n  > 0 B)  n  < 0 C)  n  >1

2

D) n  <1

2  E)  n  <

−1

2

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Álgebra 

11. En la figura,  ABCD es un paralelogramo. Si los

 valores numéricos de las áreas (en cm2) de los

triángulos  ABQ DQR CDR, y   son las raíces del

polinomio  P x x x x( )   = − + −

3 228 261 810, halle

el área del paralelogramo  ABCD.

  A

 B   C 

 DQ

 R

 A) 52 cm2  B) 48 cm2  C) 36 cm2

D) 56 cm2

  E) 72 cm2

UNMSM 2014 - I

12. Determine una ecuación cúbica de coeficien-

tes enteros que tenga por dos de sus raíces

2 3−  y 3.

 A)  x x3 27 11 3 0− + + =

B)  x x3 211 3 0− − + =

C)  x x3 27 11 3 0− + − =

D)  x x3 27 13 3 0− + − =

E)  x x3 213 3 0− + − =

NIVEL AVANZADO

13. Si a b c, y   son las raíces de la ecuación

   x px qx r 3 2

0− + − = , donde ≠ 0, halle el valor

de1 1 1

2 2 2a b c

+ + .

 A) q pr 

 r 

2

2

2+  B)

 q pr 

 r 

2

2

2−  C)

 q p

 r 

2

2

2−

D) q p

 r 

2

2

2+  E)

 q r 

 r 

2

2

2+

14. Dada la ecuación x x x3 23 1 0− + − =

  determine otra ecuación cúbica, cuyas raíces

sean el cuadrado de las anteriores.

 A)  x x x3 23 1 0− + − =

B) x x x3 27 5 0− + − =

C) x x x3 25 7 3 0− + − =

D) x x x3 27 5 1 0− + − =

E)  x x x3 27 5 1 0− − − =

15. Dada la ecuación cúbica 2 3 5 03 x x− + = ,

  de raíces a b c, y  , determine el valor de

  S

  a

a a

 b

 b b

c

c c=

− +

+−

− +

+−

− +

1

1

1

1

1

12 2 2

 A) 0

B) 2

C)4

3

D)2

E) 1

16. Si las ecuaciones

   x mx n3 2

0+ − = 

 x mx n3

2 0− + − =  

son equivalentes, dé como respuesta el valor

de m/n.

 A) 1

B) – 1

C)3

4

D)4

E)3

3

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Álgebra Desigualdades e Intervalos

NIVEL BÁSICO

1. Halle el número real que no puede ser escri-

  to en la forma  r 

 x

 x

=+1

 para algún x  ∈R.

 A) 2 B) 0 C) 1D) – 1 E) 3

UNMSM 2004 - II

2. Dados los conjuntos   A x a ax b ab= ∈ < < <{ }R   ; 0

   B x x A= ∈ − ∈{ }R 2

  C x x B= ∈ ∈{ }R 2

  halle  A B B C −( ) ∩ −( ).

 A) −

5

2 3;   B) 5; + ∞   C) −

 

5

2

10

3;

D) −2 10

3;   E) −

5

2

10

3;

3. Un ómnibus parte de Ica a Lima con cierto nú-mero de pasajeros y se detiene en Pisco. Si ba- jase la tercera parte, en el ómnibus quedaríanmás de 15 personas, en cambio, si bajase lamitad, en el ómnibus quedarían menos de 13.¿Cuántas personas partieron de Ica?

 A) 25 B) 24 C) 23D) 30 E) 26UNMSM 2005 - I

4. Dados los conjuntos   A x x x= ∈ − < +{ }R   2 3 2

   B x x A= ∈ − ∈{ }2 3 2Z

  determine el cardinal de B ∩  +R .

 A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

5. Si Carla es mayor que Félix, Lilia y Eduardo tie-nen la misma edad, Lilia es menor que Félix,Lucía y Eduardo han nacido en el mismo mes y año; es siempre cierto:

 A) Lilia es menor que Lucía.B) Félix es menor que Eduardo.C) Lucía es menor que Carla.D) Carla y Eduardo nacieron el mismo año.E) Lucía y Carla tienen la misma edad.

UNMSM 2014 - I

6. Dado los intervalos

  − ≤ < − ≤ <2 3 4 4 x y;

  determine la longitud de  k x y xy= + + .

 A) 30 B) 31 C) 32

D) 33 E) 34

NIVEL INTERMEDIO

7. Marque la afirmación verdadera.

 A)  x x x+ > +1 para algún x   > 0

B)  x x x+ = +1 2  para algún x   > 0

C)  x x x+ = −1 para algún x   > 0

D)  x x x+ < +1 para todo x   > 0

E)  x x x x+ = +

4

 para todo x  >

0UNMSM 2005 - I

8. Dado los intervalos − ≤ < ∧ < ≤ −2 1 3 3 1 2 x x y y,

  determine el intervalo al cual pertenece

 k  x y

 xy=

+

 A) −

5

23;   B) 5; + ∞   C) −

 

5

2

10

3;

D)−2

  10

3;   E)−

5

2

10

3;

9. Dado los conjuntos

   A x x x= ∈ + ≤ −{ }R   2 3 2

   B x x x= − > − − ≤{ }2 1 3 3 5

  halle  A B∆ .

 A) −2 1;

B) 5;   + ∞

C) −∞ − ∪; ;1 2 5

D) − ∪ + ∞2 1 5; ;

E) − ∪ + ∞1 2 5; ;

10. Dado los intervalos

   A   = −   ]1 7;   y  B n n= −; 2 3

  halle los valores de n para que  B A⊂ .

 A) 3;   + ∞   B) 3 5;[ ]  C) 3 5;   ]

D) 3 5;   E) 3 5;

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Álgebra 

11. Con respecto a las raíces del polinomio

   P x x x x x( )   = − + − +

4 3 22 3 4 5, marque la alter-

nativa correcta.

 A) No tiene raíces negativas.

B) Solo tiene dos raíces negativas.C) Tiene cuatro raíces negativas.

D) Solo tiene tres raíces negativas.

E) Solo tiene una raíz negativa.UNMSM 2007 - I

12. Si a b c, y son números tales que a bc c ac< < <2

indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si c   > 0, entonces, 0   < < b c.

II. Si a  < 0, entonces, a c b< < < 0.

III. Si a c> , entonces, b >  0.

 A) VFV

B) FFF

C) VFF

D) VVV

E) FFV 

NIVEL AVANZADO

13. Si se define la siguiente familia de intervalos

   I  n

 n n n  = −+

  ∈   +1

1; ;   Z

  determine el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones y elija la se-

cuencia correcta.

I.  I  i i=

= − 

1

5 1

25

  ;

II.  I  i i=

= − 

1

5 1

61   ;

III. ∃ ∈ > ∀ ∈ + > x I n y I x y n; / :1 101

IV. ∀ > n 1 se cumple  I I I  n n∪ ⊂+1 1

 A) VFVF B) VVFF C) VVVV 

D) VVVF E) VFFF

14. Cinco amigos, Juan, Pedro, Roberto, Luis y Car-

los, tienen cierta cantidad de dinero. Indique

quién de ellos tiene menos dinero, a partir de

la siguiente información:

  • Carlos dice:Yo tengo más dinero que uno

 de ellos.  • Roberto dice:  Eso es cierto, pero no más

 que yo.

  • Pedro opina: Si Carlos me quitara lo que tie-

 ne Luis, yo tendría más que él.

  • Juan dice:Yo tengo más dinero que Carlos,

 pero no más que Roberto.

 A) Pedro

B) LuisC) Carlos

D) Juan

E) Roberto

15. Dado el polinomio

   P x a b x ab x a x( )   = − −( )   + −( )   + −( )3 2

1 3

  halle los valores de a b+   (a b,   ∈R) para que

tenga a a como única raíz real.

 A) − < + <3

23a b

B) − < + <1

2

7

2a b

C) a b+ >3

2

D) − < + <2

3

7

2a b

E) 1 5< + <a b

16. Determine la cantidad de pares  x y; ,( )∈Z2  ta-

les que cumplan

 

2 20

3 60

0

 x y

 x y

 x

− ≤

+ ≤

 A) 693 B) 695 C) 694

D) 697 E) 698

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Álgebra Teoremas de desigualdades

NIVEL BÁSICO

1. Si2 5

3

 x  +

  pertenece al intervalo 5 8; , enton-

  ces el intervalo al cual pertenece  x x

+

+

12

 es

 A)27

5

9

7;

 

  B)

27

25

9

8;

  C)

27

25

9

8;

 

D) − − 

7

8

23

25;   E)

27

23

9

8;

UNMSM 2001

2. Determine el intervalo al cual pertenece la ex-

presión  k x x= − +

2

2, donde x   ∈ −   ]2 2; .

 A) − 

4

  9

4;   B) −

  4

  9

4;   C) −

9

44;

D) − 

9

44;   E) −

4

  9

4;

3. Si a b y son dos números reales positivos y 

 1

2≤

+

ab

a b, determine el valor de a b

2 2−   .

 A) 1 B) 0 C) 3

D) 5 E) 7

UNMSM 2005 - II

4. Halle el máximo número entero, menor o igual

que la expresión

   E x x x= + + − ∈ −[ ]3 3 3 3; ;

 A) 3 B) 1 C) 0

D) 4 E) 2UNMSM 2013 - I

5. Halle el menor valor de m si se sabe que

   xy x m+ ≤3

  1 5≤ ≤ x

  − ≤ ≤1 3 y

 A) 5 B) 18 C) 30

D) 21 E) 25

6. Si a b y son dos números reales, tales que

a2+ b2=3, ¿cuál es el menor valor que puede

tomar a b+ ?

 A) −3 2   B) −2 2 C) − 6

D) −2 3   E) −

3

2 6

UNMSM 2008 - II

NIVEL INTERMEDIO

7. Sea q un número real, tal como se muestra en

el gráfico.

1

θ

a b

 X 

  Determine la variación del sen .q

 A) 1 12−

 

a   ;

B)1 1

2 2− −

 

a b;

C) a b; 1  2−

 

D) 0 1;[ ]

E) 0 1  2

;   −

   b

8. Halle el mínimo valor de la expresión

  T x y x y

= +( )   +

  

22

1 1

  si se sabe que  x y; .{ } ⊂  +R

 A) 2 B) 4 C) 9

D) 16 E) 18

9. Sean x; y números reales, tales que 2 x – 3 y – 7.

Determine el menor valor entero que toma la

expresión  k x y= +2 2

.

 A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

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Álgebra 

10. Determine la cantidad de valores enteros que

tiene la expresión  k x x= − +( )−

14 22

  1

.

  Considere a x como cualquier número real.

 A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 11

11. Dada la expresión

   f   x n

 x n=

+

  si  x n n∈   ]; 2 , halle la variación de f .

 A) R − { }3

B) −∞   ]; 3  

C) 3; + ∞

D) 0 3;   ] 

E) −   3 0;

12. Se tienen 3 números reales (α β θ; ; ), tales que

α β θ2 2 22 3 12+ + = .

  Determine la variación de la expresión

= + +α β θ2 3

 A) − ≤ ≤6 6 r 

B) − ≤ ≤6 6 r 

C) − ≤ ≤6 2 6 2 r 

D) 0 6 2< ≤ r 

E) − ≤ ≤2 6 2 6 r 

NIVEL AVANZADO

13. Dada la ecuación  x mx nx3 2

36 0− + − = ,

  cuyas raíces positivas son a b c; y  , además,

a b c+ + =2 3 18, calcule el valor de  m n+ .

 A) 43 B) 45 C) 47

D) 49 E) 53

14. Dada la expresión

   k  x x

 x x x=

  + −

− +

∀ ∈

2

2

1

1R

  determine el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones y elija la se-

cuencia correcta.I. El mínimo valor de k es –1.

II. El máximo valor entero de k es 1.

III. k tiene por longitud8

3.

 A) VVV B) VFV C) FFF

D) VVF E) VFF

15. Se tiene la expresión T    x

 x=

+

2 1

12

.

  Determine los valores de T , tal que x   >1

2.

 A) 0 1;   ]  B)1 5

21

  ;   C) 0

  5 1

2;

  −  

D)5 1

21

  ;   E)

5 1

22

−  

;

16. Dado los intervalos

  − < ≤3 4 x

  − ≤ <2 0 y  

3 5< ≤ z

  determine la variación de  k  x y

 zx zy=

+

.

 A) R − { }1

5

2

5

3

5; ;

B) R −  3

52;

C)R − 

1

5

2

5;

D)R − 

3

52;

E) R −  1

5

2

5;

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Semestral San Marcos

TEORÍA DE ECUACIONES

TEOREMAS DE DESIGUALDADES

DESIGUALDADES E INTERVALOS

ECUACIÓN CUADRÁTICA

ECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR