solucionario 2012 -ii matemát - academia aduni

Matemát

Solucionario

2012 -IIExamen de admisión

Matemática

1

TEMA P

PREGUNTA N.o 1Sean a, b ∈ N y

MA (a, b) la media aritmética de a y b.

MG (a, b) la media geométrica de a y b.

MH (a, b) la media armónica de a y b.

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Si MA (a, b)=MG (a, b), entonces

MG (a, b)=MH (a, b).

II. Si MG (a, b)=MH (a, b), entonces

MA (a, b)=MG (a, b).

III. Si MA (a, b) – MG (a, b) > 0, entonces

MG (a, b) – MH(a, b) > 0.

A) VVF

B) VFV

C) VVV

D) VFF

E) FVF

R��

Tema: Promedio

Sean a; b ∈N.

• Si a=b, entonces MA(a; b)=MG(a; b)=MH(a; b)

• Si a ≠ b, entonces MA(a; b) > MG(a; b) > MH(a; b)

Análisis y procedimientoI. Verdadera

Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.

Luego

MG a b MH a b

a aa a

a a

( ; ) ( ; )�� =

× = × ×+

2

(cumple)

II. Verdadera

Si MG a b MH a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.

Luego

MA a b MG a b

a aa a

( ; ) ( ; )�� =

× = ×2

(cumple)

III. Verdadera

Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )− > 0, entonces a ≠ b.

Luego

MG(a; b) – MH(a; b) > 0

∴ MG(a; b) > MH(a; b) (cumple)

R��VVV

Alternativa C

) la media armónica de a y b.

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según

), entonces

), entonces

) > 0, entonces

) > 0.

MG a b a b

a aa a

a a

( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b�� ) (=) (

× =a a× =a a× ×a a× ×a a+a a+a a

2

II. Verdadera

Si MG a b a b( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b) (=) (

Luego

MA a b a b

a aa a

( ;a b( ;a b) (MG) (MG ; )a b; )a b�� ) (=) (

×a a×a a = ×= ×a a= ×a a2

III. Verdadera

2

unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 2Indique la alternativa correcta después de determinar

si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F)

según el orden dado:

I. La diferencia entre el descuento comercial y el

descuento racional es igual al interés simple que

gana el descuento racional.

II. Valor actual de un descuento, es igual al valor

nominal más el descuento.

III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal

de una transacción comercial, al ser efectiva,

antes de la fecha de vencimiento.

A) VVV

B) VVF

C) VFV

D) VFF

E) FVF

R��

Tema: Regla de descuento

Análisis y procedimiento

I. Verdadera

Recordemos que el cálculo del Dc y Dr de una y un mismo tiempo es

hoy

Vac

Var

t

Dc

Dr

Vn

• Dc=r % Vn t (I)

• Dr=r % Var t (II)

Restando las expresiones (I) y (II).

Tenemos

D D r V V tc r n ar

Dr

− = −( )%� ��

∴ Dc – Dr=r % Dr

II. Falsa

Recordemos que

hoy

Va Vn

D

Entonces

D=Vn – Va

∴ Va=Vn – D

III. Verdadera

El descuento es la rebaja que se realiza al valor nominal (Vn) de un documento comercial al cancelarla antes de la fecha de vencimiento.

R��

VFV

Alternativa C

antes de la fecha de vencimiento.

hoy

Entonces

D=VnD=VnD=V – Va – Va – V

∴ VaVaV =Vn=Vn=V – D

3

unI 2012 -IISolucionario de Matemática

PREGUNTA N.o 3Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:I. La frecuencia relativa es el cociente entre la

frecuencia acumulada del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que más veces se repite.

III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

R��

Tema: Estadística descriptiva

Análisis y procedimientoI. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el

cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

hfnii=

II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es

el valor que divide al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partes iguales.

III. Verdadera

Porque σ = −=∑( )x

nx

ii

n2

1 2

desviaciónestándar

y tenemos

x = + + + + =18 19 16 17 14

516 8,

σ

σ

= + + + + −

= =

18 19 16 17 145

16 8

2 96 1 72046

2 2 2 2 22( , )

, ,

Donde σ > 1,7

R��FFV

Alternativa D

PREGUNTA N.o 4Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

R��

Tema: Función de la probabilidad

Tenga en cuenta que para calcular la esperanza matemática es necesario reconocer la variable aleatoria y calcular su respectiva probabilidad.

x x1 x2 x3 ... xn

P(x) P1 P2 P3 Pn

E x Px i xi

n

i( ) ( )=

= ⋅∑1

Estadística descriptiva


Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 44Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1 C) 1,5

4


Análisis y procedimientoEn una casa se tienen 8 bombillas, de las cuales 3 son defectuosas (D) y 5 son no defectuosas (B).

3 D

5 B Se extrae una bombilla de la caja.Si sale defectuosa, se prueba otra hasta seleccionar una no defectuosa.

Definimos la variable aleatoria x.x: número de bombillas extraídas (una a una) hasta obtener una bombilla no defectuosa.

x 1 2 3 4

P(x)

B58

D B38

57

1556

× =

D D B38

27

56

556

× × =

D D D B 38

27

16

55

156

× × × =

Piden

E x Px i xi

i( ) ( )=

= ⋅∑1

4

E x( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅158

21556

3556

4156

E(x)=1,5

R��1,5

Alternativa C

PREGUNTA N.o 5Sea N

n= 11 1 2...

dígitos( )

Determine la suma de los dígitos de N×N en base 2, donde n ≥ 2.

A) n – 2 B) n – 1 C) n D) n+1 E) n+2

R��

Tema: Multiplicación

Tenga en cuenta que los numerales con cifras máximas se pueden representar como una sustracción.

Ejemplos

• 999=1000 – 1

• 8889=10009 – 1

• 66667=100007 – 1

• 11112=100002 – 1

Análisis y procedimientoSe tiene que

N

n

= 1111 112

...cifras

� ��

Calculamos N×N.

N×N=(111...112)×(111...112)

= × −( ... ) ( ... )

ceros

111 11 1000 00 12 2n��

=111...11000...0002 –

111...1112

111 10000 001

2

2... ...

ceros

cifras

n

n

� ��

Por lo tanto, la suma de cifras es

1 1 1 1+ + + + =...

vecesn

n� ��

R��n

Alternativa C

4

556

=

D D D B 38

27

16

55

156

× × ×× × × =

+ ⋅556

4+ ⋅4+ ⋅ 156

Análisis y procedimientoSe tiene que

Nn

= 1111 112

...cifras

� ��

Calculamos N×N.

N×N=(111...112)×(111...11

= ×(= ×(= ×...= ×...= ×) (= ×) (= ×111= ×111= ×11= ×11= × 12= ×2= ×

=111...11000...000

111...111

5


PREGUNTA N.o 6Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N – M=99, calcule el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

R��

Tema: Cuatro operaciones


Del enunciado, se tiene lo siguiente:

• 2abba2 1000M

N

divisor

cocienteresiduo

dividendo

(I)

• N – M=99 (II)

Realizamos la división en (I)

2abba22000

abba

1000

2ab

bba2

ba2 N

b000

a000

M

En (II)

ba2 – 2ab=99

99b – 198=99

b=3 → amáx=9

Luego, el dividendo es 293 392; entonces la suma de sus cifras es 28.

R��28

Alternativa C

PREGUNTA N.o 7Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad

de divisores es D D r V V tc r n ar

Dr

− = −( )%� �� de la cantidad de divisores del

número original.Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

R��

Tema: Clasificación de los enteros positivos

Análisis y procedimientoDel enunciado del problema, se tiene lo siguiente

• N abc= = 30o

=2x×3y×5z×k (I)

• 10N=2x+1×3y×5z+1×k (II)

• CD(N)=24 (III)

• CD(10N)=45 (IV)

De (II) y (IV) se deduce que N tiene 3 divisores primos.Luego

abc x y z= = × ×30 2 3 5o

... DC

En (II) CD(N)=24 → ( )( )( )x y z+ + + =1 1 1 2424

33

42


Del enunciado, se tiene lo siguiente:

(I)

=99 (II)

por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad

de divisores es D Dc rD Dc rD D de la cantidad de divisores del

número original.Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

R��

Tema: Clasificación de los enteros positivos


6


En (III) CD(10N)=45 → ( )( )( )x y z+ + + =2 1 2 4535

33

53

��

Luego, se tiene que

x=3; y=2; z=1 o x=1; y=2; z=3

Entonces

abc=23×32×51=360 (cumple)

abc=21×32×53=2250 (no cumple)

Luego

abc=360 (único caso)

Entonces, la suma de cifras es 9.

R��9

Alternativa B

PREGUNTA N.o 8Determine las veces que aparece el número cinco al efectuar la suma:

72+(77)2+(777)2+(7777)2+(77777)2.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

R��

Tema: Cuatro operaciones

Tenga en cuenta que por inducción

1 1

11 121

111 12321

1111 1234321

111 11

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

�

�� ...9 cifras

112345678987654321


Sea

E=72+772+7772+77772+777772

E=72×(1+112+1112+11112+111112)

E=72×(1+112+1112+11112+111112)

124701085123454321

123432112321

1211+

Luego

E=72×124701085

E=6110353165

Por lo tanto, el número 5 aparece 2 veces.

R��2

Alternativa B

Entonces, la suma de cifras es 9.

Alternativa BB

E=72+772+7772+7777

E=72×(1+112+1112

E=72×(1+112+111

124701085123454321

7


PREGUNTA N.o 9Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Sea el conjunto

C={(x, y) ∈ R2 / x2+y2 ≤ 4} Si (– 18; 18) ∈ C, entonces (1; 1) ∈ C

II. Sea A ⊂ R un conjunto vacío y

f: A → R una función tal que existe

m=mín { f(x) / x ∈ A},

Sα(f)={x ∈ A / f(x) ≤ α} con α ∈ R.

Si λ < m, entonces Sλ(f)=∅.

III. Sean los conjuntos Ak, k=1, ..., m, tales

que Ak ⊂ Ak+1. Si x0 ∈ A1, entonces

x AKk

m C

01

∈

=

.

A) VVF

B) VFF

C) FVF

D) FFV

E) FFF

R��

Tema: Números reales y teoría de conjuntos

Recuerde que

• Reducción al absurdo consiste en negar la tesis

para conseguir una contradicción con alguna de

las hipótesis.

• m=mín{ f(x) / x ∈ A} ↔ m ≤ f(x) ∀ x ∈ A.

• M=máx{ f(x) / x ∈ A} ↔ M ≥ f(x) ∀ x ∈ A.

• x ∈ B ↔ x ∉ BC

Análisis y procedimientoI. Verdadero

En efecto

Si (– 18; 18) ∈ C → (1; 1) ∈ C

(F) (V)

(V)

II. Verdadero

En efecto, por reducción al absurdo

supóngase que Sλ(f) ≠ φ

→ ∃ x0 ∈ A, tal que x0 ∈ Sλ(f)

→ Por definición del conjunto

Sλ(f): f(x0) ≤ λ (I)

Además como m es el mínimo y x0 ∈ A

→ m ≤ f(x0) (II)

Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se

tiene que m ≤ λ, el cual contradice la hipótesis

(λ < m).

∴ Sλ(f)=φ

III. Falso

En efecto, del siguiente diagrama

A1

x0

A2

A3 Am...

se observa que

x0 ∈ A1 ∧ x0 ∈ A2 ∧ x0 ∈ A3 ∧ ... ∧ x0 ∈ Am

entonces x A x Akk

m

kk

m C

01

01

∈ ↔ ∉

= =

Por lo tanto, es falso afirmar que x Akk

m C

01

∈

=

} con α ∈ R.

f)=f)=f ∅.

k=1, ..., m, tales

A1, entonces

→ Por definición del conjunto

Sλ(f(f( ): f): f f(x0) ≤ λ (I)

Además como m es el mínimo y

→ m ≤ f(x0) (II)

Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se

tiene que m ≤ λ, el cual contra

(λ < m).

∴ Sλ(f(f( )=f)=f φ

III. FalsoFalsoF

En efecto, del siguiente diagrama

8


R��VVF

Alternativa A

PREGUNTA N.o 10Cuál de las alternativas es la función cuadrática f,

cuyo gráfico se muestra a continuación, sabiendo

que x y02

02 34+ = .

0b

2

3x0 X

Y

y0

f

A) x2 – 6x+2

B) x2+6x+2

C) 2x2 – 6x+2

D) 2x2 – 12x+2

E) 2x2+12x+2

R��Tema: Función cuadrática

Sea f(x) una función cuadrática, cuya gráfica es

m

n

x1 x2

P

X

Yf(x)

x xm1 2

2+ =

f(0)=P

x1; x2 son raíces de f(x)


Piden la función cuadrática f(x).

Del gráfico, x0; y0

son raíces de f(x)

entonces f(x)=a(x2 – (x0+y0)x+x0y0) (I)

Por dato x y02

02 34+ =

y del gráfico x y0 0

23

+ =

entonces (x0+y0)2=62

x y x y02

02

0 02 36+ + =

34+2x0y0=36

entonces x0y0=1

En (I) f(x)=a(x2 – 6x+1)

Pero del gráfico, f(0)=2

→ f(0)=a=2

∴ f(x)=2(x2 – 6x+1)

R��

2x2 – 12x+2

Alternativa D

Xy0

fentonces f(f(f x)=a(x2 – (x0+y

Por dato x y0x y0x y2x y2x y02 34+ =x y+ =x y0+ =02+ =2

y del gráfico x y0 0x y0 0x y2

3+x y+x yx y0 0x y+x y0 0x y =

entonces (x0+y0)2=62

x y x y0x y0x y2x y2x y02

0 0x y0 0x y2 3x y2 3x y0 02 30 0x y0 0x y2 3x y0 0x y+ +x y+ +x y0+ +02+ +2 2 3=2 3

34+2x0y0=36

entonces x0y0=1

9


PREGUNTA N.o 11Respecto a la función f: A → R tal que

f xxx

A( ) = +−

=3 52

y ⟨2; ∞⟩

Indique la secuencia correcta, después de determinar

si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. f es inyectiva

II. f es sobreyectiva

III. f * existe, donde f * indica la inversa de f.

A) VVV

B) VFV

C) VFF

D) FFV

E) FFF

R��

Tema: Funciones

Función inyectiva

f es inyectiva si f (a)=f(b) → a=b

Función sobreyectiva

f: A → B es sobreyectiva ↔ Ranf=B

f tiene inversa ↔ f es biyectiva (sobreyectiva e

inyectiva)

Análisis y procedimientoDominio=A=⟨2; +∞⟩Graficando

f

xx xx( ) =

+−

=−

+3 52

112

3

2

3

Y

X

f(x)

I. Verdadera

f es estrictamente decreciente; por lo tanto, es

inyectiva.

II. Falsa

Como f: A → R y del gráfico Ranf=⟨3; +∞⟩ → R ≠ ⟨3; +∞⟩; por lo tanto, no es sobreyectiva.

III. Falsa

Como f * es la función inversa y f no es sobreyec-

tiva, entonces f * no existe.

R��VFF

Alternativa C

PREGUNTA N.o 12El gráfico del polinomio

P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d es tangente en (1; 1) a la

recta y=1. Además la recta y=1 interseca al gráfico

cuando x=2, x=4, siendo P(2)=P(4) ≠ 0.

Determine P(x) – 1.

A) x2(x – 2)(x – 4)

B) (x – 1)2(x – 3)(x – 5)

C) (x+1)2(x – 1)(x – 3)

D) (x – 1)2(x – 2)(x – 4)

E) (x+1)2(x – 2)(x – 4)

R��

Tema: Gráfica de funciones polinomiales

Si tenemos

X

Y

–1 0

4 y=f(x)

entonces X

Y

–1–3

1f(x)– 3

→ a=b

es sobreyectiva ↔ Ranf Ranf Ran =B

es biyectiva (sobreyectiva e

VFF

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1212El gráfico del polinomio

P(x)=x4x4x +ax3ax3ax +bx2+cx+

recta y=1. Además la recta

cuando x=2, x=4, siendo

Determine P(x) – 1.

A) 2( – 2)( – 4)

10



Interpretamos las condiciones para P(x) en el plano

cartesiano.

X

Y

1

(1; 1) (2; 1) (4; 1)

1 2 4

P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(gráfica aproximada)

Entonces

P(x) – 1

X

Y

1

(1; 0) (2; 0) (4; 0)

raíz de multiplicidad par

Luego para “P(x) – 1” se tiene que sus raíces son 1;

1; 2; 4.

→ P(x)=(x – 1)2(x – 2)(x – 4)

R��(x – 1)2(x – 2)(x – 4)

Alternativa D

PREGUNTA N.o 13Luego de resolver la inecuación 3

31− <x

x, se obtiene

que x pertenece al intervalo.

A) ⟨0, ∞⟩ B) ⟨1, ∞⟩ C) ⟨2, ∞⟩ D) ⟨3, ∞⟩ E) R \ {0}

R��

Tema: Gráfica de funciones

Recuerde que si b > 0, entonces bx > 0; ∀ x ∈R.


Se tiene la inecuación

3

31−

+<x

x

Luego, x debe ser positivo (x > 0) y es equivalente a

xf

x

gx x( ) ( )

<

3

1

1

3

9

2

y = x

Y

X

y = 3x

Notamos que f(x) < g(x) si y solo si x > 0.

∴ x ∈⟨0; +∞⟩

R��⟨0; +∞⟩

Alternativa A

P(x) – 1

X(4; 0)

raíz de multiplicidad par

– 1” se tiene que sus raíces son 1;

Se tiene la inecuación

331−

+<x

x

Luego, x debe ser positivo (x debe ser positivo (x

xf

x

gx xgx xg( )f( )f x x( )x x( )x x( )x x

<

3

3

9

Y

11


PREGUNTA N.o 14Las siguientes operaciones elementales:

c1 ↔ c2; 3f3; f2 – f3, en este orden, transforman la

matriz A en 1 5 24 6 8

6 3 9− −

−

, la cual se puede expresar

como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden

3×3 no singulares. Determine A.

A) 2 3 11 5 22 1 3−

B)

1 2 51 3 1

2 1 1−

−

C) − −

−

2 5 13 4 11 3 1

D) 2 1 44 3 11 2 1

−−−

E) 4 3 51 1 22 0 3

−−

R��

Tema: Matrices

Operaciones elementales fila

Análisis y procedimientoDel enunciado tenemos

A A A RPQ Af f f f f1 2 3 2 33

1 5 24 6 86 3 9

↔ −− −

−

=' '' ( )·

Entonces

A '' =−

1 5 22 3 16 3 9

es obtenido de ( ) ''RPQ A Af f2 3+

→ A ' =−

1 5 22 3 12 1 3

es obtenido A Af

'' '·

13 3

→ A =−

2 3 11 5 22 1 3

es obtenido de A Af f

'1 2↔

Observación

En la resolución del problema, hemos considerado los

siguientes datos: f1 ↔ f2; 3f3; f2 – f3.

R��2 3 11 5 22 1 3−

Alternativa A

PREGUNTA N.o 15En los siguientes sistemas cada ecuación representa

un plano.

I) x – 3y+z=1 II) x – 3y+4z=2

– 2x+6y – 2z=– 2 – 4x+y+z=3

– x+3y – z=– 1 – 3x – 2y+5z=5

→ A ' =

1 5 22 3 12 1−2 1− 3

es obtenido

→ A =

2 3 11 5 22 1−2 1− 3

es obtenido de

Observación

En la resolución del problema, hemos considerado los

siguientes datos: f1f1f ↔ f2f2f ; 3f; 3f; 3 3f3f

R��

12


Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretación geométrica de la solución de los

sistemas I y II es dada respectivamente por:

1) 2) 3)

QPP, Q, RQ

PR R

A) 2 y 1 B) 2 interpreta ambos sistemas C) 1 y 3 D) 2 y 3 E) 3 interpreta ambos sistemas

R��

Tema: Geometría analítica

Análisis y procedimientoI. P: x – 3y+z=1 Q: – 2x+6y – 2z=– 2 r: – x+3y – z= –1

Luego P: x – 3y+z=1 Q: + x – 3y+z=1 → P, Q, R r: x – 3y+z=1 II. P: x – 3y+4z=2 Q: – 4x+y+z=3 r: – 3x –2y+5z=5

Luego P ∩ Q: –11y+17z=11 P ∩ R: –11y+17z=11 →

RR

QQ

PP Q ∩ R: –11y+17z=11

NotaConsiderando Q y R diferentes.

R��2 y 1

Alternativa A

PREGUNTA N.o 16Si la solución de Máx{ax+by} se encuentra en x=3,

sujeto a

x ≥ 0

y+x ≤ 4

y – x ≥ – 2

determine en qué intervalo se encuentra a /b.

A) ⟨– ∞; –1]

B) ⟨– ∞; 1]

C) [ – 1; 1]

D) [ – 1; ∞⟩

E) [1; ∞⟩

R��

Tema: Programación lineal

La función objetivo f(x; y) se optimiza en uno de los vértices de la región factible.

Análisis y procedimientoGraficamos las restricciones

xy xy x

≥+ ≤− ≥ −

042

1

– 2

2 3

4

y+x=4

y – x=– 2

solución

Función objetivo:

f(x; y)=ax+by

E) 3 interpreta ambos sistemas

→ PPPP,,PP,PP QQ,,QQ,QQ RRR

E) [1; ∞⟩

R��

Tema: Programación lineal

La función objetivo f(f(f x; y) se optimiza en uno de los vértices de la región factible.

Análisis y procedimientoGraficamos las restricciones

xy x≥+ ≤y x+ ≤y x

04

13


Como (3; 1) es solución de fmáx, se cumple que

f(0; – 2) ≤ f(3; 1)

↔ – 2b ≤ 3a+b ↔ – a ≤ b

f(0; 4) ≤ f(3; 1)

↔ 4b ≤ 3a+b ↔ b ≤ a

Intersecando – a ≤ b ≤ a (se deduce a > 0)

− ≤ ≤ ≠

1 1 0

ba

ba

pero

− ≤ ≤ ∨ < ≤1 0 0 1ba

ba� ��

− ≥ ∪ ≥1 1

ab

ab

∴ ab∈ −∞ − ]∪ + ∞; ;1 1

R��ab∈ −∞ − ]∪ + ∞; ;1 1

No hay clave

PREGUNTA N.o 17Señale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, después de determinar si la proposición es

verdadera (V) o falsa (F):

I. El límite de 2 2 1

3 1

2n nn n

+ −− +

( )( )

es 2.

II. Los valores de la sucesión Snn

nn

= − + −( )

( )1

1

pertenecen al intervalo ⟨– 1; 1⟩.

III. La serie 4

21 n nn ( )+=

∞

∑ converge y su suma es 3.

A) VFF B) FVF C) VFV D) FVV E) FFF

R��

Tema: Sucesiones y series

Recuerde que

• a a a a an n{ } = { }1 2 3; ; ; ...; ; ...

• lím líma ann

n=→+∞

* lím lím1 1

0n nn= =

→+∞

• a a a a an nn

= + + + + +=

∞

∑ 1 2 31

... ...


I. Verdadera

lím lím2 2 1

3 1

2 2 1

2 3

1

1

22

2

2

2

n nn n

n n

n n

n

n

n

+ −− +

=+ −( )

− −( )

×

×→+∞( )( )

=+ −

− −→+∞lím

n

n n

n n

22 1

12 3

2

2

= 2

II. Falsa

S S S S Sn{ } = { }1 2 3 4; ; ; ; ... , donde

S

nnn

n= − + −

( )( )

11

Si n es par, Snn = + >11

1.

Si n es impar, Snn = − − < −11

1.

Luego, Sn ∉ ⟨– 1; 1⟩ para todo n.

III. Verdadera

42

41 3

42 4

43 5

44 6

45 71n nn ( )

...+

=×

+×

+×

+×

+×

+=

∞

∑

∪ ≥1 1∪ ≥1 1∪ ≥

∞

No hay claveNo hay clave


I. Verdadera

lím lm l2 2

m l2 2

m l1

m l1

m l3 1

22 222 2m l

n nm l

2 2n n2 2m l

2 2m l

n nm l

2 2m l

2 222 2n n2 222 23 1n n3 1 n

+ −m l

+ −m l

2 2+ −2 2n n+ −n nm l

n nm l

+ −m l

n nm l

2 2n n2 2+ −2 2n n2 2m l

2 2m l

n nm l

2 2m l

+ −m l

2 2m l

n nm l

2 2m l

3 1− +3 13 1n n3 1− +3 1n n3 1m l=m l

→+( )3 1( )3 1n n( )n n3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +( )− +3 1− +3 1( )3 1− +3 1n n− +n n( )n n− +n n3 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1( )3 13 1n n3 1( )3 1n n3 13 1− +3 1( )3 1− +3 13 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +3 1n n3 1

=

= 2

II. Falsa

14


= −

+ −

+ −

21

23

22

24

23

25

+ −

+ −

+2

426

25

27

...

=2+1 =3

R��VFV

Alternativa C

PREGUNTA N.o 18Determine el conjunto solución de

x

x x x

++ + +

<1

8 14 1203 2

A) x ∈ ⟨– 2; 1⟩ B) x ∈ ⟨– 6; – 1⟩ C) x ∈ ⟨– 3; – 1⟩ D) x ∈ ⟨– 2; 3⟩

E) x ∈ ⟨1; 6⟩

R��

Tema: Inecuación fraccionaria

Recuerde que

ax2+bx+c > 0; ∀ x ∈ R ↔

i. a > 0

ii. ∆=b2 – 4ac < 0


En la inecuación fraccionaria

x

x x x

++ + +

<1

8 14 1203 2

Al factorizar el denominador, se tiene que

pues x2+2x+2 > 0; ∀ x ∈ R

xx x x

++ + +( ) <

+

16

1

2 20

2( )·

( )� ��

entonces la inecuación equivale a

xx++

<16

0

Luego, por criterio de los puntos críticos, se tiene que

– 6 – 1– ∞ +∞

+ +–

∴ CS=⟨– 6; –1⟩

R��x ∈ ⟨– 6; – 1⟩

Alternativa B

PREGUNTA N.o 19Sea la sucesión an{ } donde

a

n n n

n =+ −

++

3

11

2

11

1

1

11

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

, para todo n ∈ N.

Diga a qué valor converge la sucesión an{ }.

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

R��

Tema: Sucesiones

Recuerde que

x n n n x n� � = ↔ ∈ ∧ ≤ < +Z 1

Determine el conjunto solución de

∴ CS=⟨– 6; –1⟩

R��x ∈ ⟨– 6; – 1⟩

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1919Sea la sucesión { }a{ }an{ }n donde

an = 3

11

2

11

1

��

��

15


Análisis y procedimientoSe tiene el término enésimo de la sucesión

aa

n n n

n =+

++

31

2

11

1

1

11

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�·

··

��

��

Basta analizar el tercer factor de an

Como n ∈ N

→ n ≥ 1

0

11< ≤

n

0 1

12< + ≤

n

12

1

11

1≤+

<

n

invirtiendo

sumando uno

invirtiendo

Luego 1

11

0+

=

n

�

�

��

�

�

��

Es decir an=0 (sucesión constante)

Por lo tanto, la sucesión converge a 0.

R��0

Alternativa B

PREGUNTA N.o 20Halle el conjunto solución en la siguiente inecuación:

log3|3 – 4x| > 2

A) ⟨– ∞, – 3/2⟩

B) ⟨3, ∞⟩

C) ⟨– 3/2, 3⟩

D) [– 3/2, 3]

E) ⟨– ∞, – 3/2⟩ ∪ ⟨3, ∞⟩

R��

Tema: Inecuaciones logarítmicas

Propiedad I

Si |a| > b → a > b ∨ a < – b

Propiedad II

Si a > 1 y logaM > logaN, entonces

M > N ∧ M > 0 ∧ N > 0


Como log3|3 – 4x| > 2

→ log3|3 – 4x| > log39

|3 – 4x| > 9

3 – 4x > 9 ∨ 3 – 4x < – 9

− > ∨ <32

3x x

Interpretando geométricamente

–3/2 3– ∞ +∞

→ x ∈ ⟨– ∞; – 3/2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩

∴ CS 3/2= −∞ − ∪ + ∞; ;3

R��

−∞ − ∪ ∞, / ,3 2 3

Alternativa E

invirtiendo

=0 (sucesión constante)

Por lo tanto, la sucesión converge a 0.

M > M > M N N N ∧ M > 0 ∧ N


Como log3|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > 2

→ log3|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > log39

|3 – 4x |3 – 4x |3 – 4 | > 9

3 – 4x 3 – 4x 3 – 4 > 9 x > 9 x ∨ 3 – 4x 3 – 4x 3 – 4

− > ∨ <32

3x x> ∨x x> ∨ <x x<3x x3

Interpretando geométricamente

16


PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ⋅ en m.

A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2

R��

Tema: Semejanza de triángulos

Recuerde

αA C

B

a

b

c

M

N

m

n Lα

Según el gráfico, ABC ∼ MNL

→ = =am

bn

c


Piden AP CQ⋅ .

α

α

θ

Q

θ

P3b

3a

2a

2

2

D

B

G

F

3

2b

CA

E

Según el gráfico:

ABQ ∼ FCQ

BQCQ

= 23

→ CQ=3a y BQ=2a

EAP ∼ CBP

APBP

= 23

BP=3b y AP=2b

Luego

AP=2b y QC=3a

Además

5 225

b b= → =

5 3

35

a a= → =

→ = =AP y QC45

95

∴ AP CQ⋅ = 65

R��65

Alternativa C

PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

MD

A BO

C

R

A) 12 7 π B) 12 5 π C) 12 3 π

D) 24 33

π E) 24 55

π

M

N

m

n Lα

MNL

G

→ = =AP→ =AP→ = y QC45

95

∴ AP CQ⋅ =CQ⋅ =CQ65

R��65

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2222En la figura adjunta OC=6 cm, Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

17


R��

Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Recuerde que por relaciones métricas en el

ba h

1 1 12 2 2h a b

= =

Análisis y procedimientoPiden C.

C

BO

CM

D

A

r

rr

12

8 6

Se sabeC =2πr

AO=OB y AD // OC→ AD=2(OC)=12Por relaciones métricas en el DAB

1

8

1

12

1

22 2 2= +( )r

→ =r12 5

5

C = 24 5

5π

R��24 5

5π

Alternativa E

PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.

Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B

(P exterior a AB). Si mPAB=12

mC y AP=12 u,

determine el valor de BC (en u).

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

R��

Tema: Aplicaciones de la congruencia

Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

m m

B

A CM

m

Análisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12

6612

12

P

B

QCMA

x6

2ααα

α

2α

C

B

r

r

R��

Tema: Aplicaciones de la congruencia

Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

m

B

A

m

Análisis y procedimientoPiden x

18


Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles.→ AP=AQ=12

En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.→ AM=MQ=BM=6.

El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6

R��6

Alternativa D

PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor.

A) ab

a b c− + B) b

a b c+ − C)

aba b c+ +

D) ab

a b c+ − E) a

a b c+ +

R��

Tema: Relaciones métricas en la circunferencia

Teorema de cuerdas

y

x b

a

ab=xy

Análisis y procedimientoPiden la longitud del radio x.De la figura, por los datos se tiene queFO=x – cOG=xOM=a – xON=b – x

GO

b

a

CF

M

N

A

c x

x

x–c

b–x

B

Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM(x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2

xab

a b c=

+ −

R��ab

a b c+ −

Alternativa D

PREGUNTA N.o 25En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y mDAB=70º, calcule la mCDB.

A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 17º

Alternativa DD

Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros

que intersecan a la circunferencia menor respectivamente, AM<AN, AM=a, . Determine la medida del radio de la

ba b c+ −a b+ −a b

C) ab

a b c+ +a b+ +a b

a

CF

N

A

c bbb–xxx

Por teorema de cuerdas: FO(x – x – x c)x=(a – x)(b – x) →

xab

a b c=

+ −a b+ −a b

R��

19


R��

Tema: Aplicaciónes de la congruencia

Observación

αθ

B

a

Q

A

a

O

Si AQ=QB

→ α=θ


L

C30º

70º M

aA

B

aD

N

a2a

60ºxx x+40ºx+40º

40º40º

70º70º

Piden mCDB=x.Como L��

mediatriz de AD, entonces AM=MD=a

BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.

BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a.Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º

BND se cumple que x+x+40º=60º∴ x=10º

R��10º

Alternativa B

PREGUNTA N.o 26¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?

ak

aαα

θ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R��

Tema: Teorema de correspondencia

Recuerde

Teorema de correspondencia

βω

x y

si β<ω→ x<y

Análisis y procedimientoPiden el menor valor entero de k.Dato: a es una constante

αα

θ

ak

a

agudo

C

Da

E

B

A

aD

N

a60ºxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x+40º40º40º40º40º40ºx+x+x+x+x+x+40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º

40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º

, entonces

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R��

Tema: Teorema de correspondencia

Recuerde

Teorema de correspondencia

ω

x

si β<ω

20


Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a

En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a<ak 1<k

Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.

R��2

Alternativa B

PREGUNTA N.o 27Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo

equilátero, entonces el valor de área

área CEFABCD

es

igual a:

BFA

CD

E

A) 2 1−

B) 3 1−

C) 2 3 3−

D) 1

2

E) 1

3

R��

Tema: Área de regiones planas

Recordemos que

a. Área de la región triangular equilátera

A =2 3

4

b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal

ad

a

A =d2

2


Del gráfico nos piden área

área CEFABCD

.

3a

D C

30º30º 15º

15º

a

aa

45º

45º45ºA

M

E

BF

Como AC��

es mediatriz de EF,

sea EM=MF=a → MC=a 3

y en el EAF: AM=a.

Luego, AC=a+a 3=a 3 1+( )

Alternativa BB

es un cuadrado y CEF un triángulo

equilátero, entonces el valor de área

áreaCEFCEFCEABCD

es

C

diagonal

dd

a


Del gráfico nos piden área

área

D

21


Ahora calculamos las áreas solicitadas.

área CEF=( )23

42a =a2 3

área ABCD=( ) ( )AC a2 2

23 12

=+( )

= + = +

aa

22

24 2 3 2 3( ) ( )

→ área

área CEFABCD

a

a=

+=

+= −

2

23

2 3

3

2 32 3 3

( ) ( )

R��2 3 3−

Alternativa C

PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A) arc tan( )2

B) arc sen( )2

C) arc cos( )3

D) arc cos( )2

E) arc cot( )3

R��

Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos

B

A

C

hh

D

a

En un tetraedro regular se cumple que

h

a=

63


B

A

C

HH

D

a

θθ 3333

aa

Del tetraedro regular de arista lateral a

la altura DHa

=6

3.

En el AHD

AH

a=

33

tanθ =

a

a

63

33

tanθ = 2

∴ θ = arc tan 2

R��

arc tan 2

Alternativa A

Alternativa CC

Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

Aθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ 333333

3333333333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Del tetraedro regular de arista lateral

la altura DHa

=6

3.

En el AHD

AHa

=3

3

22


PREGUNTA N.o 29Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados.

A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13

R��

Tema: Geometría analítica

Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.

Análisis y procedimientoNos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados.

– 2– 2

– 3– 34

(– 3; 2; 4)P

QQ

3300

4

4

J

X

Y

– 1– 1

– 1– 1– 2– 2

MM

– 3– 4

– 5S

11

1122

3344

4

2234

– 3– 3– 4– 4

13

13

13

13N

P '(3; – 2; 4)

(– 3; 2; 0)(– 3; 2; 0)

P ''

Z

(– 3; 2; – 4)

1313

Sea P ‘ el simétrico de P respecto de Z

, entonces P ‘=(3; – 2; 4)

Sea P ‘’ el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ‘’=( – 3; 2; – 4)

En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0)

→ = + =OM 2 3 132 2

Luego, PN NP= =' 13

En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4

Con los puntos P, P ‘, P ‘’ se determina el rectángulo PP ‘JP ‘’, además, PP ' = 2 13 y PP ‘’=8.

Por lo tanto, el área del rectángulo PP ‘JP ‘’ es 8 2 13 16 13× =

R��16 13

Alternativa A

PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E’D’D’’E’’, luegopor las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 1 3( )+ a

B) 3 3 1 3( )− a

C) 2 3 1 3( )+ a

D) 2 3 1 3( )− a

E) 43

3 1 3( )− a

R��

Tema: Prisma

h

BB V: volumen

V=B h

Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son

222222 QQQQQQQQQQ

3333333333

4

4X

–333333–44444444444444444444444444444444444444444444444444444

13P '(3; –2; 4)

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3030Se tiene un prisma exagonal regular A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados por las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 3( )( )3 3( )3 33 3( )3 3 1( )1( )+( )a

23


Análisis y procedimientoPiden V.V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’

BB32a

34a3

30º E ' 'E '

h

D ' 'D '

A '

F '

M

N

C '

B '

Q

D

C

B

F

E

P

A

2a

2a

2a 2a

2a

2a

2a 2a

60º60ºR

Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah

→ V=2a2h (I)

RMN ∼ AA’N

ha

MNA N2

='

ha

a

aa

2

4 33

4 33

4=

+

→ h a= −( )3 1

Reemplazando en (I)

∴ V = −( )2 3 1 3a

R��2 3 1 3−( )a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.

A) 23π B)

43π

C) 6

3π

D) 8

3π

E) 10

3π

R��

Tema: Cilindro

Análisis y procedimientoPiden A base

Dato: voblicuocilindro=40π

g

HH 5

30º

30º22

22

1010secciónrecta

base

• Sabemos que v Aoblicuocilindro

rectasección= ( ) ⋅ g

Arectasección( )g=40π

π(2)2g=40π

→ g=10

• Pero

A A

rectasección base= ( )cos º30

4

32

π = ( )A base

∴ A base = 83π

BBBBE''

N

2a

ah

(I)

Tema: Cilindro

Análisis y procedimientoPiden A base

Dato: voblicuocivciv lindro=40π

g

30º

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

secciónrecta

24


R��8

3π

Alternativa D

PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.

2πR

R

O X

Y

2π

A) πR3

B) πR3

3

C) πR3

4

D) πR3

6

E) πR3

9

R��

Tema: Anillo esférico

A

B

ha

Recuerde que

Volumen del anillo esférico

Vesféricoanillo = πa h2

6

a: longitud de la cuerda AB

h: longitud de la proyección de AB


O

A

Y

R

R

B X

2R

Piden VRS (volumen del sólido generado).

Se observa

VRS=Vesféricoanillo

Por teorema

VRS

R R=( )π 2

6

2

∴ VRSR= π 3

3

R��πR3

3

Alternativa B

2π

X

O

A

R

Piden VRSVRSV (volumen del sólido generado).

Se observa

25


PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.

θ

θa

a

A) 2 2a

B) 3

22a

C) 2

2a2

D) 12

a2

E) 3 2

2a2

R��

Tema: Sólidos - Prisma

Recuerde

h

BB

Vprisma=B h


θθ

BB

θaa

a

a

Piden el volumen máximo

V=b h=a2

2⋅ senθ

Para que el volumen sea máximo, senθ=1.

∴ v = a2

2

R��12

2a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuación trigonométrica

cos cos4

218

278

xx

−

( ) =

El número de soluciones en [0; 2π] es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R��

Tema: Ecuaciones trigonométricas

• cos2θ=2cos2θ –1

• 2cos2θ=1+cos2θ

• cosθ=1 → θ=2nπ; n ∈ Z

Análisis y procedimientoPiden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación

cos cos4

218

278

xx

− =

2 2

22 72

2

cos cosx

x

− =

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3434En la siguiente ecuación trigonométrica

cos cs cos4s c4s c2

18

78

xs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c

s cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c−s c ( )2( )2x( )x =

El número de soluciones en [0; 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R��

27


PREGUNTA N.o 36Cuál de los gráficos mostrados representa a la función

y=cos(2x – π), en un intervalo de longitud un periodo.

A)

– π/2 π/2

B)

– π/2 π/2

C) – π/2 π/2

D)

π/2 π– π/2– π

E) – π/2 π/2

R��

Tema: Funciones trigonométricas directas


Piden la gráfica de la función y=cos(2x – π).

y=cos(2x – π)

y=cos( – (π – 2x))

y=cos(π – 2x)

y= – cos2x

Graficando y= – cos2x

y = cos2x

y = – cos2x

0

Y

–1

1

X– π/2 π/2 π– π

R��

– π/2 π/2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB

= 4 unidades, calcule L LCD EF

+ 3 .

A

B

C

D

E

F

O

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2

E) 6 2

–π/2π/2π

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3737De la figura mostrada, sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3LAB

= 4 unidades, calcule

28


R��

Tema: Área de un sector circular

SSO

A

B

Lθrad

S: área del sector circular AOB

S = L2

2θ

Análisis y procedimientoPiden x y+ 3 .

2S2SSS 3S3Syy xx

F

O

AC

D

E

B

4θrad

• S S= ∧ =y2 2

26

42θ θ

( )

→

= → =6

2162

3 2 22y

yθ θ

• 32

642

2 2S S= ∧ =x

θ θ( )

→

= → =6

6162

2 22x

xθ θ

∴ + =x y3 4 2

R��4 2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tanφ · tanβ es

β

φ X

Y

A) – 2 B) – 1 C) – 1/2 D) 1/2 E) 1

R��

Tema: Ángulos en posición normal

Si AO=OA’

XO

Y

A(– m; n)

A (– n; – m)'

Análisis y procedimientoDel gráfico

β

φX

Y

P(– a; b)

P (– b; – a)'

Por definición

tan tanφ β⋅ =

−−

−

ab

ba

∴ tanφ · tanβ= – 1

R��– 1

Alternativa B

3333SSSSxxxxxx

AC

DB

4

Tema: Ángulos en posición normal

Si AO=OA’

Y

A(–m; n)

A (–n; –m)'

Análisis y procedimientoDel gráfico

Y

29


PREGUNTA N.o 39Si tan

54

13 5

π

=

+x, cot

32

4π

= −y , calcule x+y.

A) – 4/5 B) – 3/4 C) – 3/5

D) 5/3 E) 8/3

R��

Tema: Reducción al primer cuadrante

sen(π+θ)= – senθ cos(π+θ)= – cosθ tan(π+θ)=tanθ

Análisis y procedimientoDe

tan54

13 5

π

=

+x

tan ππ

+

=

+41

3 5x

tanπ4

13 5

=

+x

11

3 5=

+x

3x+5=1

→ = −x43

De

cot32

4π

= −y

0=y – 4

→ y=4

Nos preguntan

x y+ = − +43

4

∴ + =x y83

R��83

Alternativa E

PREGUNTA N.o 40Al determinar la forma compleja de la ecuación

(x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos

A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0

C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0

D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0

E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0

R��

Tema: Números complejos

• ∀ z ∈ C: |z|2=z · z

• Ecuación de la circunferencia

(x – x0)2+(y – y0)2=r2

o |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i


Tenemos que

(x – 1)2+(y – 1)2=12

→ |z – (1+i)|2=12; z=x+yi

→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1

→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1

→ (z – (1+i))(z – (1 – i))=1

→ z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1

→ z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1

→ z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1/ – ( – 1)=1/∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

R��

zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

Alternativa A

Análisis y procedimientoTema: Números complejos

• ∀ z ∈C: |z|2=z ·z

• Ecuación de la circunferencia

(x – x – x x0)2+(y – y0)2=r2r2r

o |z – z0|=r con r con r z


Tenemos que

(x – 1)x – 1)x 2+(y – 1)2=12

→ |z – (1+i)|2=12; z=

→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1

solucionario 2012 -ii matemát - academia aduni

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