1. 02 - Introduccin a la teora de probabilidad Diego Andrs Alvarez Marn Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

2. Contenido

Repaso de teora de conjuntos

Fenmenos determinsticos vs. fenmenos aleatorios

Definicin de probabilidad

Interpretacin frecuentista y Bayesiana de la probabilidad

Espacio muestral, eventos

Sigma-lgebra

Medida de probabilidad, definicin, propiedades

Axiomas de Kolmogorov

Probabilidad conjunta, marginal, condicional

Eventos independientes

Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes

Tcnicas de conteo: factorial, permutacin, combinatoria

3. Repaso de la teora de conjuntos 4. Operaciones con conjuntos 5. Diagramas de Venn 6. Propiedades 7. 8. 9. Conjunto potencia (power set) 10. Ejemplos de teora de conjuntos 11. Teora de la probabilidad

• La teora de la probabilidad es la teora matemtica que modela losfenmenos aleatorios .

• Unfenmeno (o experimento) aleatorioes aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas (el llamadoespacio muestral ), como el lanzamiento de un dado o de una moneda.

• Estos deben contraponerse a losfenmenos determinsticos , en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado nico o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor.

12. Probabilidad

La probabilidad es una forma de expresar el conocimiento o la creencia que un evento ha ocurrido o va a ocurrir.

Existen dos formas de interpretar la probabilidad:

Interpretacin frecuentista

Interpretacin Bayesiana

La comunidad cientfica est dividida entre personas que apoyan una interpretacin o la otra.

13. Interpretacinfrecuentistade probabilidad

• Losfrecuentistashablan sobre probabilidades solo cuando se trata de experimentos que son aleatorios y estn bien definidos.

• La probabilidad de un evento se refiere a la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento aleatorio.

14. De este modo para un frecuentista, la definicin de probabilidad sera: Definicin:si un experimento que est sujeto al azar resulta denformas igualmente probables y mutuamente excluyentes (es decir que ocurren bajo las mismas condiciones), y sun Ade estos resultados tienen un atributoA , la probabilidad del atributoAes: Interpretacinfrecuentistade probabilidad 15. InterpretacinBayesianade probabilidad

• LosBayesianosutilizan la probabilidad como un medio subjetivo para representar elgrado de creenciaen una afirmacin, dada la evidencia. Ellos asignan probabilidades a cualquier afirmacin, incluso cuando no hay un experimento aleatorio involucrado.

• Ejemplo: la probabilidad que el Once Caldas gane el prximo partido es del 80% (o la probabilidad que pierda o empate es del 20%).Esto quiere decir que una apuesta justa sera 8 a 2 a que el Once ganara.

• Ganancia = -8 x 0.2 + 2 x 0.8 = 0

16. Nota 1:A veces el futuro no se puede predecir y solo se puede calcular la probabilidad de que algo suceda. Nota 2:En el lanzamiento de un dado los resultados son mutuamente excluyentes y mutuamente probables. La probabilidad de obtener un 4 es 1/6. Esto no significa que en 6 tiradas tengamos necesariamente que obtener un 4. Nota 3:El desarrollo inicial de la teora de probabilidades se asocia al estudio de los juegos de azar. 17. Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Los elementos del conjunto se denominanpuntos muestrales.

Unevento(osuceso ) del espacio muestral es un subconjunto de cuyos miembros tienen una caracterstica comn.

18.

El espacio muestralpuede ser

• Discreto(cardinalidad finita o infinita contable: los resultados pueden ponerse uno a uno con los nmeros naturales)

• Continuo(cardinalidad infinita no contable: los resultados consisten de intervalos de los nmeros reales)

19. Espacio muestral discreto

Las caras de un dado forman el espacio muestral

Cada uno de los cuatro bits transmitidos se clasifica como con error o sin error.

s = sin error, c = con error

20.

Las especificaciones de un computador pueden especificarse en 1, 2 o 4 Gb de memoria y en 200, 300 o 400 Gb de disco duro, tienen el espacio muestral:

= {(1,200); (2,200); (4,200); (1,300);

(2,300); (4,300); (1,400); (2,400); (4,400)}

El nmero de lanzamientos de una moneda hasta obtener caras tiene el espacio muestral

= {1, 2, 3, 4, ..., }

21. 22. Espacio muestral continuo

El espacio muestral que representa la altura de una persona se puede especificar por el espacio muestral= [0, 3] metros.

El espacio muestral que representa el tiempo que se debe esperar la buseta se puede especificar por el espacio muestral= [0, ) minutos.

23. Eventos

El espacio muestral es un evento que se le llama elevento seguro

El conjunto vacoes un evento llamado elevento imposible

Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos soneventos mutuamente excluyentes .

A una coleccin de eventos A 1,A 2 , A 3 ... (sea finita o infinita contable) se le conoce comoeventos exhaustivossi su unin es el espacio muestral .

24. Espacio muestral en experimentos con reemplazo y sin reemplazo 25. Diagrama del rbol 26. Sigma-algebra: motivacin Cuando analizamos eventos aleatorios, generalmente no estamos interesados en sino en un subconjuntoE .Cuando analizamos las probabilidades de ocurrencia del evento E, tambien nos interesan las probabilidades de la no ocurrencia del evento E. Adems si nos interesa la probabilidad de ocurrencia de los eventos A 1y A 2tambin nos interesara la probabilidad de su unin. 27. Sigma-lgebra 28. Ejemplos 29. Algunas definiciones

• Un par ordenado (X, X ), donde X es un conjunto y Xuna -lgebra sobre ste, se denominaespacio medible .

• Una funcin entre dos espacios medibles se denominafuncin mediblesi la preimagen de todo conjunto medible es tambin medible; esto es, si (X, X ) y (Y, Y ) son dos espacios medibles, una funcin f:X->Y es medible si para todo E Y , f 1 (E) X .

• Unamedidaes una cierta clase de funcin que mapea puntos de una -lgebra al intervalo [0,).

30. Andrey Nikolaevich Kolmogorov(Abril 25, 1903 Octubre 20, 1987) 31. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov 32. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov 33. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 34. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 35. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 36. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 37. Ejemplos 38. 39. Probabilidad conjunta

Cual es la probabilidad de ser mujer fumadora?

40. Probabilidad marginal

Cual es la probabilidad de ser fumador?

Suma sobre todos losj Suma sobre todos losi 41. Probabilidad condicional

Cual es la probabilidad de ser fumador dado que se es mujer?

Probabilidad condicional deA idada la ocurrencia deB j 42. Probabilidad condicional

Cual es la probabilidad de ser mujer dado que se es fumador?

Probabilidad condicional deB jdada la ocurrencia deA i 43. Diagrama del rbol 44.

En general, tenemos la

regla de la multiplicacin:

Para definir las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales se ha empleado un ejemplo especfico en el que el espacio muestral contiene un nmero finito de resultados. Sin embargo, las definiciones dadas aqu son completamente generales y pueden extenderse para cualquier espacio muestral, ya sea discreto o continuo.

45. Ejemplo

• En una encuesta de televisin se determina que al 20% de las personas les gusta el programa A, al 16% de las personas les gusta el programa B y al 1% de les gusta ambos programas. Si se selecciona al azar un televidente de B( A ), cual es la probabilidad que tambin le guste A( B )?

46. La paradoja del falso positivo 47. 48. 49. 50. 51. Propiedades de la probabilidad condicional 52. Ejemplos 53. Probabilidad condicional con varias variables aleatorias 54. Ejemplo Una bolsa tiene 10 bolas blancas y 30 rojas. Cul es la probabilidad de muestrear BBRB? Muestreo sin reemplazo Muestreo con reemplazo 55. Ejemplo 56. Arboles de decisin 57. Ejemplo 58. 59. Ejemplo Una pareja planifica utilizando DemoProvera (confiabilidad = 99.7%/ao) y condn de latex masculino (confiabilidad = 98%/ao) simultneamente. Si la probabilidad de quedar en embarazo al tener relaciones sin proteccin es del 85%/ao, cul es la probabilidad de un embarazo no deseado?Porcentajes sacados de:http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_birth_control_methods 60. Eventos independientes 61. Eventos independientes

• Esto quiere decir que si la ocurrencia de B no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de A, entonces se tiene que P(A|B)=P(A), a pesar que ha ocurrido el evento B.

• Dentro de la teora matemtica, slo podemos probar la independencia de eventos obteniendo P(A), P(B) y P(A B) y demostrando que se verifica una de las ecuaciones anteriores marcadas en el recuadro. En la prctica de ingeniera, normalmente se confa en el conocimiento de la situacin fsica para afirmar que en el modelo dos eventos particulares se supondrn (o no) independientes.

62. Ejemplo 63. Ejemplo Suponga que se quiere disear el acueducto de un parque industrial que tendr dos fbricas. Supongamos que existen dos niveles de demanda de agua: W 1= 1 m 3 /min y W 2= 2 m 3 /min. La probabilidad que cualquier fbrica requiera dichos niveles de demanda son 0.3 y 0.7 respectivamente (P(W 1 )=0.3, P(W 2 )=0.7). Dichos niveles de demanda de ambas fbricas son estdsticamente independientes. Cul es la combinacin de niveles de demanda menos probable? ms probable? Fabrica 1 Fabrica 2 64. P(W 1 W 1 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.3 = 0.09 2 P(W 1 W 2 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.7 = 0.21 3 P(W 2 W 1 ) = P(W 2 )P(W 1 )=0.7 x 0.3 = 0.21 3 P(W 2 W 2 ) = P(W 2 )P(W 2 )=0.7 x 0.7 = 0.49 4 1.00 Nivel total de demanda 0.42 65. Si los costos de instalacin inicial y de ensanche son los siguientes: Costos de instalacin inicial: Dos unidades= $2500 Tres unidades= $3000 Cuatro unidades= $4000 Costo de ensanche: Dos a tres unidades = $1200 Tres a cuatro unidades = $1500 Dos a cuatro unidades = $2000 Que capacidad inicial instalara usted de modo que el costo total esperado del proyecto sea el mnimo? 66. Lo mejor ser instalar 3 unidades = 3 m 3 /min 67. Regla de la multiplicacin para eventos independientes 68. Ejemplo 69. 70.

Condere una red de acueducto. En el grfico se muestra la configuracin de la misma junto con la posicin de las bombas A, B, C y D. Dado que la probabilidad de falla de dichas bombas es 0.2, 0.3, 0.1 y 0.05 respectivamente, calcule la probabilidad con la que el agua puede efectivamente transportarse desde el punto 1 hasta el punto 2. Tenga en cuenta que:

71. 72. 73. 74. serie paralelo 75. Propiedad de Markov

P(A|B,C) = P(A|B) independientemente de la ocurrencia de C

Ver

• http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain

• http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_Markov_chains

• http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property

76. Relacin entre eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes 77. Teorema de las probabilidades totales 78. Para un chip se sabe que: 79. Thomas Bayes(aprox. 1702 Abril 7, 1761) Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764) 80. Teorema de Bayes 81. 82. Ejercicio Suponga que tenemos dos urnas: A y B. Las cuales se muestran en la figura. En A hay siete bolas rojas (red - R) y tres bolas blancas (white - W). En B hay una bola roja y nueve blancas. Se lanza una moneda. Si caen caras se saca una bola de la urna A y si cae en sellos se saca una bola de la urna B. Si se lanz la moneda y se sac una bola roja, cual es la probabilidad que esta bola provenga de la urna A? 83. 84. Problema de Monty Hall http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Supn que ests en el concurso de televisinLet's make a deal , y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrs de una de ellas hay un coche, y detrs de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la n1, y el presentador, llamadoMonty Hall , que sabe lo que hay detrs de las puertas, abre otra, digamos la n3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "No prefieres escoger la n2?". Es mejor para ti cambiar tu eleccin?

85. Problema de Monty Hall

El jugador tiene inicialmente laprobabilidad 1/3 de seleccionar inicialmente un carro, la cabra A o la cabra B. Cambiar incrementa la posibilidad de ganar a 2/3.

86. Problema de Monty Hall 87. Problema de Monty Hall 88. Redes bayesianas 89. Ejercicios 90. Conteo de datos con la ayuda del factorial

• Para calcular las probabilidades de varios eventos es necesario contar el nmero de resultados posibles de un experimento o contar el nmero de resultados que son favorables a un evento dado. El proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de dos tcnicas de conteo denominadaspermutacionesycombinaciones .

91. Factorial 92. Factorial 93. Factorial en MS EXCEL Se calcula utilizando la funcin FACT 94. Factorial en MATLAB FACTORIAL(N): como los nmeros de doble precision solo almacenan 15 dgitos, la respuesta es exacta para N 21. Si N>21, la respuesta solo ser aproximada. 95. La funcin gamma La funcin gamma en MS EXCEL y en MATLAB 96. Es el nmero de arreglos en un orden en particular de los elementos que forman un conjunto. De cuantas formas diferentes se pueden ubicar a, b y c? a b c a c b b a c b c a c a b c b a Permutacin P(n,r) Para la primera posicin se escoje cualquiera de las letras Para la segunda posicin se puede escoger dos letras para la primera posicin Para la ltima posicin se escoje la letra restante En este caso tenemos 3x2x1 = 6 posibilidades 97. Permutacin P(n,r) 98. Combinatoria C(n,r) De los objetos de un conjunto, es una seleccin de estos sin importar el orden. Se divide porr ! ya que en cada combinacin existenr ! permutaciones 99. Ejemplo Supongamos que el grupo de probabilidad y estadstica est formado por 35 estudiantes. Cuantos grupos de tres estudiantes podran formarse para hacer un trabajo?La solucin es 100. Combinatoria vs Permutacin La diferencia entre una permutacin y una combinatoria es que en la primera el inters se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas, mientras que en la segunda el inters slo recae en contar el nmero de selecciones diferentes. Ejemplo: abc y acb son diferentespermutacionespero son igualescombinacinde las letras 101. Permutacin y combinacin enMS EXCEL y MATLAB 102. Ejemplo 103. Ejemplo 104. Ejemplo 105. Ejemplo 106. Problema del cumpleaos http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

Un grupo denpersonas est reunido en una habitacin, qu tan probable es que dos o ms de ellas cumplan aos el mismo da?

Supongamos que:

no existen aos de 366 das (bisiestos)

los cumpleaos se distribuyen uniformemente a lo largo del ao

107. Problema del cumpleaos 108. Problema del cumpleaos De acuerdo con este grfico y para las hiptesis dadas, en un grupo de al menos 23 personas es probable encontrar con una probabilidad mayor del 50% dos personas que cumplan aos el mismo da