Estadstica para la administracin I.

Instituto Tecnolgico de Tepic.Estadstica para la administracin I.Probabilidad y teora de conjuntos.

Gustavo Adolfo Gutirrez Gallegos.27/04/2015

Maestra: Lic. Nayely Artea Gandara.

4. Probabilidad y teora de conjuntos.4.1. Aspectos generales de la probabilidad (concepto, tipos de probabilidad, enfoques de probabilidad).Concepto.La probabilidad es una medida numrica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento.Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento.Tipos y enfoques de probabilidad.La probabilidad puede estudiarse desde tres enfoques diferentes: el concepto clsico, la probabilidad como frecuencia relativa y la probabilidad subjetiva.Concepto clsico de probabilidad.El concepto clsico de probabilidad supone que todos los resultados posibles son conocidos y que todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Bajo este concepto, se define la probabilidad P de que ocurra el evento A en un experimento aleatorio, como el cociente formado por el nmero de resultados favorables entre el nmero de resultados posibles.

De la frmula anterior se desprende que los valores de la probabilidad de que ocurra el evento A van de 0 a 1:

Si un evento adquiere una probabilidad de ocurrencia igual a cero se llama evento imposible.Si un evento tiene una probabilidad de ocurrencia igual a uno recibe el nombre de evento seguro.Probabilidad como frecuencia relativa.La probabilidad como frecuencia relativa tambin es conocida como probabilidad experimental, estimada o emprica y se define como la frecuencia relativa observada con que ocurre un evento, cuando el nmero de observaciones es muy grande; esto es, si un experimento se lleva a cabo n veces bajo las mismas condiciones y si ocurre un nmero de resultados favorables al evento E, n(E), el valor estimado de que ocurra E como resultado de la experimentacin puede calcularse con la frmula:

donde: n(E) = nmero de veces que realmente se observ el evento E. n = nmero de veces que se llev a cabo el experimento.Desde este enfoque, la probabilidad se determina no bajo el supuesto de iguales de probabilidades, sino con base en la proporcin de veces que ocurre un resultado favorable entre un nmero determinado de observaciones o experimentos realizados, por eso tambin se representa de la siguiente manera:

Conviene resaltar que, con este concepto de probabilidad, no se conoce el valor exacto de P(E), sino solo una aproximacin, que estar tanto ms cercana al valor real cuanto ms grande sea el valor de n.Probabilidad subjetiva.El concepto de probabilidad subjetiva se aplica en aquellas situaciones en las que no es posible efectuar experimentos repetitivos y los resultados esperados no son igualmente probables; en tales circunstancias, debe evaluarse la ocurrencia de un evento segn el criterio de una persona. Cabe hacer notar que dos personas pueden proponer diferentes valores de probabilidad para la ocurrencia de un mismo evento ya que cada persona tiene su propio criterio y posee diferentes experiencias.4.2. Leyes de la probabilidad.La probabilidad mide las posibilidades de que un evento ocurra. Expresado matemticamente, es igual al nmero de formas que un evento especfico puede ocurrir, dividido por el nmero total de posibles eventos. Por ejemplo, si tienes una bolsa con tres canicas, una azul y dos verdes, la probabilidad de tomar una canica azul sin mirar es de 1/3. Hay slo un resultado posible de que se seleccione la canica azul, pero hay tres posibles resultados en total, azul, verde, verde. Usando el mismo razonamiento, la probabilidad de tomar una canica verde es de 2/3.Ley de nmeros grandes.Puedes descubrir la probabilidad desconocida de un evento a travs de la experimentacin. Usando el ejemplo anterior, supongamos que no conocemos la probabilidad de sacar una canica de cierto color, pero si sabemos que hay tres canicas en la bolsa. Haces una prueba y sacas una canica verde. Haces otra prueba y sacas otra canica verde. En este punto podras asegurar que la bolsa solo contiene canicas verdes, pero basado en dos pruebas la prediccin no es confiable. Es posible que la bolsa solo contenga canicas verdes o puede que las otras dos sean rojas y t seleccionaste solo las verdes secuencialmente. Si realizas la misma prueba 100 veces, probablemente descubras que seleccionaste una canica verde alrededor del 66 por ciento de las veces. Esta frecuencia refleja la probabilidad correcta ms acertadamente que el primer experimento. Esta es la ley de nmeros grandes: cuanto ms pruebas realizas, ms preciso ser que la frecuencia del resultado de un evento refleje su probabilidad real.Ley de sustraccin.La probabilidad solo tiene rango entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que no hay posibles resultados para un evento. En el ejemplo anterior, la probabilidad de sacar una canica roja es cero. Una probabilidad de 1 significa que el evento ocurrir en cada una de las pruebas. La probabilidad de sacar una canica verde o azul es 1. No hay otros posibles resultados. En una bolsa que contiene una canica azul y dos verdes, la probabilidad de sacar una verde es de 2/3. Es un nmero aceptable, ya que 2/3 es mayor que 0 pero menor que 1, es decir, est dentro del rango de valores aceptables de probabilidad. Conociendo esto, puedes aplicar la ley de sustraccin, que seala que si conoces la probabilidad de un evento, puedes sealar acertadamente la probabilidad de que dicho evento no ocurra. Sabiendo que la probabilidad de sacar una canica verde es de 2/3, puedes restar ese valor a 1 y determinar correctamente la probabilidad de no sacar una canica verde: 1/3.Ley de multiplicacin.Si se quiere encontrar la probabilidad de que dos eventos ocurran en pruebas secuenciales, se usa la ley de la multiplicacin. Por ejemplo, en lugar del ejemplo anterior de la bolsa con las tres canicas, digamos que es una bolsa con cinco canicas. Hay una azul, dos verdes y dos amarillas. Si quieres encontrar la probabilidad de sacar una canica azul y una verde, en cualquier orden (y sin devolver la primera canica a la bolsa), busca la probabilidad de sacar una azul y la probabilidad de sacar una verde. La probabilidad de sacar una canica azul de la bolsa de cinco es de 1/5. La probabilidad de sacar una canica verde de entre las restantes es de 2/4, o 1/2. Aplicar correctamente la ley de multiplicacin implica multiplicar las dos probabilidades, 1/5 y 1/2, obteniendo 1/10. Esto expresa la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos.Ley de suma.Aplicando lo dicho anteriormente de la ley de multiplicacin, puedes determinar la probabilidad de que slo uno de dos eventos ocurra. La ley de suma plantea que la probabilidad de que uno de dos eventos ocurra es igual a la suma de las probabilidades de que cada evento ocurra individualmente, menos la probabilidad de que ambos ocurran. En la bolsa de cinco canicas, digamos que quieres saber la probabilidad de sacar una canica azul o una verde. Suma la probabilidad de sacar una azul (1/5) a la probabilidad de sacar una verde (2/5). La suma es 3/5. En el ejemplo anterior, expresando la ley de multiplicacin, encontramos que la probabilidad de sacar una canica azul y una verde es de 1/10. Restando esto a la suma de 3/5 (o 6/10 para una sustraccin ms simple) nos da una probabilidad final de 1/2.4.3. Aplicaciones de la probabilidad en la administracin.Los administradores sustentan sus decisiones en un anlisis de incertidumbres como las siguientes: Qu posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los precios? Qu posibilidad hay de que un mtodo nuevo de ensamblado aumente la productividad? Cules son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo? Qu oportunidad existe de que una nueva invencin sea rentable?4.4. rboles de probabilidad.Los rboles de probabilidad, o diagramas de rbol, se representan los eventos que pueden ocurrir en un experimento aleatorio, as como cada una de sus probabilidades. Se forman con segmentos de recta que parten de puntos llamados vrtices; los puntos representan los eventos; los segmentos, las probabilidades de cada uno de ellos. En la siguiente figura, A y B son los eventos, S el espacio muestral y P la probabilidad.

Para la construccin de un diagrama de rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad.En el final de cada rama parcial se construye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).Hay que tener en cuenta que: la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.4.5. Teorema de Bayes.Considerando el espacio muestra S conformado por una unin de los eventos A1, A2, , An, que son mutuamente excluyentes, es decir que la ocurrencia de un evento impide la del otro; por ejemplo, si en un partido de ftbol gana el equipo R, el equipo Q no pudo haber ganado. Ahora bien, si se tiene otro evento llamado B, entonces la probabilidad condicional de B con respecto a los eventos A1, A2, , An se representa con la suma de las probabilidades:

Sustituyendo por el teorema de la multiplicacin:

Si sustituimos ahora en la frmula tenemos:

O bien:

4.5. Teora de conjuntos.El matemtico alemn Georg Cantor es considerado el padre de la teora de Conjuntos, la cual es una parte fundamental de las matemticas que se dedica al estudio de las caractersticas y la relaciones que existen entre varias agrupaciones de objetos, conocida tambin como lgebra de conjuntos.Georg Cantor defini el Conjunto como la agrupacin en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuicin o nuestro pensamiento.Los objetos que conforman los conjuntos son llamados elementos del conjunto o miembros del conjunto. As pues, un conjunto es una coleccin de objetos; sin embargo, no toda coleccin de objetos se puede considerar como un conjunto.Un concepto fundamental en la teora de conjuntos es la relacin de pertenencia. Un elemento hace parte o pertenece a un conjunto, as como un conjunto puede pertenecer a otro conjunto. Esto significa que la relacin de pertenencia es aplicada tanto a los elementos u objetos de un conjunto como a un conjunto como tal.Notacin:Para representar conjuntos se requiere usar la notacin, la simbologa y en otros casos los diagramas que permitan la definicin del mismo.Un conjunto se nombra con una letra del alfabeto en mayscula, por ej. A, C, M, X, etc.Una vez nombrado el conjunto, se debe dar a conocer los objetos, elementos o miembros del conjunto. Estos siempre, para efectos de notacin, se ubican dentro de corchetes { }.Por ejemplo si tengo el conjunto de las vocales:I. Se empieza por darle nombre, en este caso se puede decir que el conjunto de las vocales es la letra V.II. Se dan a conocer los elementos que lo conforman.

Para efectos de la determinacin de los conjuntos y en general del lgebra de conjuntos, los principales smbolos utilizados son:

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