teoría básica de probabilidad

Probabilidad y Estadıstica:Teorıa de la Probabilidad

Dr. Juliho Castillo18 de septiembre de 2017

Universidad LaSalle Oaxaca

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1 Probabilidad basica

Experimentos aleatorios

El espacio muestral

Eventos

El Concepto de Probabilidad

Los Axiomas de la probabilidad

Algunos teoremas importantes en probabilidad

Asignacion de probabilidades

Ejercicios resueltos

Probabilidad condicional

Teoremas sobre Probabilidad Condicional2

Eventos independientes

2 Analisis combinatorio

Principio fundamental del conteo y diagramas de arbol

Permutaciones

Combinaciones


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Probabilidad basica

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Probabilidad basica

Experimentos aleatorios

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Ejemplo 1.1.

Si lanzamos una moneda, el resultado del experimento sera“aguila” (que simbolizaremos por T o 0) o “sol” (simbolizadopor H o 1),es decir, uno de los elementos del conjunto {T,H}(o bien {0, 1} .)

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Ejemplo 1.2.

Si lanzamos un dado, el resultado del experimento resultara enuno de los numeros del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

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Ejemplo 1.3.

Si lanzamos una moneda dos veces, existen cuatro posiblesresultados:

{HH,HT, TH, TT} .

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Ejemplo 1.4.

Si estamos haciendo tornillos con una maquina, el resultadodel experimento es que un tornillo puede salir defectuoso.Entonces cuando el tornillo este fabricado pertenecera alconjunto

{defectuoso, no defectuoso}

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Ejemplo 1.5.

Si un experimento consiste en medir la vida util de unabombilla electrica producida por una companıa, entonces elresultado del experimento es tiempo t medido en horas enalgun intervalo

0 ≤ t ≤ T,

donde T es el tiempo de vida maximo de una bombilla.

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Probabilidad basica

El espacio muestral

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Un conjunto S que consiste de todos los posibles resultados deun experimento aleatorio es llamado espacio muestral, ycada posible resultado es llamado un punto muestral.

Usualmente existira mas de un espacio muestral que describeun experimento, pero usualmente, solo uno provee la mayorinformacion.

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Ejemplo 1.6.

Si lanzamos un dado, un posible espacio muestral esta dadopor {1, 2, 3, 4, 5, 6} , mientras que otro esta dado por{par, impar} .

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Ejemplo 1.7.

Si lanzamos una moneda dos veces seguidas un posible espaciomuestral esta dado en el ejemplo 1.3, mientras que otro estadado por

{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} .

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Tipos de espacio muestral

Finito: tiene un numero finito de puntos.Infinito numerable: Tiene tantos puntos como losnumeros naturales N (es decir, podemos numerar elespacio).Infinito no numerable: Tiene tantos puntos como larecta real R. Por ejemplo, el intervalo 0 < x < 1.

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Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, diremosque es discreto. Si es infinito no numerable, diremos que escontinuo.

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Probabilidad basica

Eventos

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Un evento es un subconjunto A de un espacio muestral S, esdecir, un subconjunto de todos los posibles resultados de unexperimento.

Si el resultado es un elemento de A, diremos que A haocurrido.

Un evento que consiste de un unico punto de S es llamado aveces evento elemental o simple.

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Ejemplo 1.8.

Si lanzamos una moneda dos veces, el evento de queobtengamos exactamente un aguila es un subconjunto delespacio muestral:

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Como eventos particulares, podemos considerar todo elespacio muestral S como el evento cierto o seguro y elconjunto vacıo ∅ como el evento imposible.

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Operaciones entre eventos

Supongamos que A,B son dos eventos.

A ∪B es el evento ‘‘ocurre A o B o ambos’’, ytambien es llamado union de A con B.A ∩B es el evento ‘‘ocurre A y B’’, y tambien esllamado interseccion de A con B.A′ es el evento ‘‘no ocurre A’’, y tambien esllamado negacion de A.A−B = A ∩B′ es el evento ‘‘ocurre A pero noB’’, y tambien es llamado diferencia de A menos B.Observe que A′ = S − A.

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Si A ∩B = ∅, entonces diremos que A y B son disjuntos omutuamente excluyentes.

Definicion 1.1.Si A1, A2, ... es una coleccion de eventos tales queAi ∩ Aj = ∅ siempre que i 6= j, entonces diremos que soneventos mutuamente excluyentes

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Definicion 1.2.Si A1, A2, ... son eventos mutuamente excluyentes diremos queA1 ∪ A2 ∪ ... es la union disjunta de tales eventos y en esecaso escribiremos

A1 t A2 t ...

Si

S = A1 t A2 t ...

diremos que A1, A2, ... es una particion de S.

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Ejemplo 1.9.

Respecto al experimentos de lanzar una moneda dos veces,consideremos el evento A que consiste en obtener al menosun sol, mientras que el evento B consiste en que el segundolanzamiento sea un aguila.

Entonces A = {TH,HT,HH} ,B = {HT, TT} y por tanto

(a) A ∪B ={HT, TH,HH, TT} = S

(b) A ∩B ={HT}(c) A′ ={TT}(d) A−B ={TH,HH}

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Probabilidad basica

El Concepto de Probabilidad

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A cualquier evento en un espacio muestral se le puede asignarun numero entre 0 = 0 % y 1 = 100 % que representa suprobabilidad de ocurrir.

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Enfoque clasico

Si un evento puede ocurrir en h diferentes maneras de un totalde n posibles resultados, todos igualmente plausibles, entoncesla probabilidad del evento es h/n.

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Ejemplo 1.10.

Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que unsol aparezca en un solo volado. Desde que hay dos manerasdiferentes igualmente probables en que la moneda caiga, yde esas dos maneras un sol solo puede hacerlo de una manera,razonamos que su probabilidad es 1/2.

Observacion: Aquı suponemos que la moneda no estacargada.

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Enfoque frecuencial

Si despues de n repeticiones de un experimento, donde n essuficientemente grande, se observa que un evento ocurre en hocasiones, entonces diremos que la probabilidad del evento esh/n. Esta es tambien llamada probabilidad empırica delevento.

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Ejemplo 1.11.

Si lanzamos una moneda 1000 veces y obtenemos sol 532veces, estimamos que la probabilidad resultantes es532/1000 = 0.532.

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Observacion: Ambos enfoque tienen sus inconvenientes:

(a) En el caso clasico, la expresion “igualmenteprobable” es vaga;

(b) mientras que en el enfoque frecuencial, “un numeromuy grande” no es preciso.

Por estas razones, los matematicos han desarrollado unenfoque axiomatico de la probabilidad.

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Probabilidad basica

Los Axiomas de la probabilidad

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Supongamos que tenemos un espacio muestral S. Supongamosque C es la coleccion de todos los eventos en S. Diremos queP : C → R es una funcion de probabilidad si satisface lassiguientes propiedades:

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Axioma.Para cada evento A, se tiene que

P (A) ≥ 0. (1.1)

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Axioma.La probabilidad del evento cierto S es

P (S) = 1. (1.2)

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Axioma.Para cualquier cantidad numerable de eventos mutuamenteexcluyentes A1, A2, ... tenemos que

P (A1 t A2 t ...) = P (A1) + P (A2) + ... (1.3)

En particular, para dos eventos mutuamente excluyentesA1, A2,

P (A1 t A2) = P (A1) + P (A2) (1.4)

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Probabilidad basica

Algunos teoremas importantes enprobabilidad

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Teorema 1.1.

Si A1 ⊂ A2, entonces P (A1) ≤ P (A2) y

P (A2 − A1) = P (A2)− P (A1).

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Teorema 1.2.

Para cada evento A,

0 ≤ P (A) ≤ 1, (1.5)

es decir, la probabilidad siempre se encuentra entre 0 % y100 %.

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Teorema 1.3.

El evento imposible tiene probabilidad cero, es decir,

P (∅) = 0. (1.6)

41

Teorema 1.4.

La probabilidad de un evento complementarios esta dada por

P (A′) = 1− P (A) (1.7)

42

Teorema 1.5.

Si A = A1 t ... t AN es la union disjunta de eventosmutuamente excluyentes entonces

P (A) = P (A1) + ...+ P (AN). (1.8)

En particular, si S = A1 t ... t AN entonces

P (A1) + ...+ P (AN) = 1. (1.9)

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Teorema 1.6.

Si A,B,C son dos eventos no necesariamente excluyentes,entonces

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). (1.10)

P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) (1.11)− P (A ∩B)− P (B ∩ C)− P (C ∩ A)+ P (A ∪B ∪ C).

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Teorema 1.7.

Para cualesquiera eventos A,B,

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩B′). (1.12)

45

Teorema 1.8.

Si A1, A2, ..., AN es una particion del espacio muestral S, esdecir, S = A1tA2t ...tAN entonces para cualquier evento A

P (A) = P (A ∩ A1) + P (A ∩ A2) + ...+ P (A ∩ AN). (1.13)

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Probabilidad basica

Asignacion de probabilidades

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Si un espacio muestral consiste en una cantidad finita deposibles resultados a1, ..., aN , entonces por el teorema 1.5,

P (A1) + ...+ P (An) = 1 (1.14)

donde A1, ..., An son conjuntos elementales o eventossimples dados por Ai = {ai} .

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Se sigue que uno puede escoger de manera arbitrariacualesquiera numeros no negativos como probabilidades deestos eventos simples, siempre que se satisfaga (1.14).

En particular, si suponemos probabilidades iguales paratodos los eventos, entonces

P (Ak) = 1n, k = 1, 2, ..., n, (1.15)

y si A es un evento formado por la union disjunta de h eventossimples, entonces

P (A) = h

n. (1.16)

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Observacion: Esto es equivalente al enfoque clasico.Pero podemos usar el enfoque frecuencial para asignardichas probabilidades.

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Ejemplo 1.12.

Un solo dado se lanza. Encuentre la probabilidad de queobtengamos un 2 o un 5.

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Probabilidad basica


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La baraja inglesa

La baraja esta dividida en cuatro palos (en ingles: suit), dos decolor rojo y dos de color negro:

Espadas (conocidas como picas) ♠,Corazones ♥,Rombos (conocidos como diamantes, oros o cocos) ♦,Treboles (conocidos como flores) ♣

Cada palo esta formado por 13 cartas, de las cuales 9 cartasson numerales y 4 literales. Se ordenan de menor a mayorrango”de la siguiente forma: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Qy K.

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Figura 1.1: Baraja inglesa

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Problema Resuelto 1.1.

Una carta se obtiene al azar de una baraja inglesa. Describa elespacio muestral si se consideran los palos.

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Supongamos que A es el evento ‘‘se obtiene un rey’’ osimplemente {K} , mientras que B es ‘‘se obtiene untrebol o simplemente {♣} .

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Sean A = {K} , B = {♣} . Describa los siguiente eventos:

(a) A ∪B(b) A ∩B(c) A ∪B′

(d) A′ ∪B′

(e) A−B

(f) A′ −B′

(g) (A ∩B) ∪ (A ∩B′) 57


De una baraja inglesa se extraen 2 cartas. Encuentre laprobabilidad de que las dos sean ases si la primera carta

(a) se devuelve a la baraja(b) no se devuelve a la baraja.

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En un contenedor hay 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules. Seextraen sucesivamente 3 pelotas. Encuentrese la probabilidadde que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si

1 cada pelota se devuelve a la caja2 no se devuelve.

59


Encuentrese la probabilidad de que en dos lanzamientos de undado se obtengan por lo menos un 4.

60


Encuentre la probabilidad de no obtener 7 u 11 puntos entotal al lanzar dos dados.

61

Probabilidad basica

Probabilidad condicional

62

Sean A,B dos eventos tales que P (A) > 0.

Denotaremos por P (B|A) la probabilidad de B dado que Ahaya ocurrido y diremos que es la probabilidad condicionalde B dado A.

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Definicion 1.3 (Probabilidad condicional).

P (B|A) = P (A ∩B)P (A) (1.17)

P (A ∩B) = P (A)P (B|A) (1.18)

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Observacion: La probabilidad condicional satisfacetodos los axiomas de una funcion de probabilidad.Podemos pensar P (·|A) como la funcion de probabilidadque se obtiene al reemplazar el espacio muestral S por A.

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Ejemplo 1.13.

Encontrar la probabilidad de que una solo lanzamiento de undado resulte en un numero menor que 4 si

(a) no hay mas informacion;(b) se sabe que el lanzamiento resulto en un numero impar.

66

Probabilidad basica

Teoremas sobre ProbabilidadCondicional

67

Teorema 1.9.

Para cualesquiera tres eventos A1, A2, A3, tenemos que

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) (1.19)

68

Teorema 1.10.

Si S = A1 t ... t AN , entonces

P (A) = P (A1)P (A|A1) + ...+ P (AN)P (A|AN) (1.20)

69

Probabilidad basica

Eventos independientes

70

Si P (B|A) = P (B), i.e., la probabilidad de que B ocurra noesta afectada por la ocurrencia de A, entonces diremos que Ay B son independientes.

Definicion 1.4.A y B son eventos independientes si y solo si

P (A ∩B) = P (A)P (B). (1.21)

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La definicion se puede generalizar a mas de dos eventos. Porejemplo, diremos que A1, A2, A3 son eventos independientes si

k 6= j ⇒ P (Aj ∩ Ak) = P (Aj)P (Ak), j, k = 1, 2, 3 (1.22)P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2)P (A3). (1.23)

72

Teorema 1.11 (Teorema de Bayes).Si S = A1 t A2 t ... t AN , entonces

P (Ak|A) = P (Ak)P (A|Ak)∑j P (Aj)P (A|Aj)

(1.24)

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Demuestre el teorema de Bayes.

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La caja I contiene 3 canicas rojas y 2 azules, mientras que lacaja II contiene 8 canicas rojas y 8 azules. Una moneda selanza: Si cae un sol, se escoge una moneda de la caja I y sicae aguila, de la caja II. Encuentre la probabilidad de obteneruna canica roja.

75


Supongamos que en el problema anterior, quien lanza lamoneda no revela si ha caıdo aguila o sol (de manera que lacaja de la que se obtiene la canica no se revela) pero revelaque una canica roja se ha obtenido.¿Cual es la probabilidad dehaber obtenido un sol?

76

Analisis combinatorio

77

El analisis combinatorio es una manera sofisticada de contar.

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Principio fundamental del conteo ydiagramas de arbol

79

Si una tarea se puede realizar en n formas diferentes y otra enm formas diferentes, entonces las dos tareas se pueden realizaren n×m formas diferentes.

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Ejemplo 2.1.

1 Si una persona tiene 2 camisas y 4 corbatas, ¿de cuantasformas puede combinarlas?

2 Construya un diagrama de arbol para representar todasestas opciones.

81


Permutaciones

82

Si tenemos n objetos distintos y queremos ordenarlostendremos

n× (n− 1)× ...2× 1

formas diferentes de hacerlo.

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Definicion 2.1 (n factorial).

n! =

1 n = 0n× (n− 1)! n > 0

(2.1)

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Si tenemos n objetos distintos y queremos arreglar r de estosen una linea, entonces tendremos una permutacion de n en rdada por

P nr = n× (n− 1)× ... (n− r + 1) (2.2)

o de manera equivalente

P nr = n!

(n− r)! (2.3)

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Ejemplo 2.2.

¿Cuantas permutaciones de longitud 3 se pueden formar conlas letras A,B,C,D,E, F,G?

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Ejemplo 2.3.

Encuentre el numero de permutaciones diferentes de las 11letras de la palabra MISSISSIPPI.

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Combinaciones

88

En una permutacion, uno esta interesado en el orden de losobjetos. Ası abc y bca son permutaciones diferentes. Pero enalgunos problemas, uno esta interesado solo en elegir objetossin importar su orden. Tales selecciones se llamancombinaciones. Por ejemplo, abc y bca representan la mismacombinacion.

89

El numero de combinacion Cnr al elegir r objetos de una

coleccion de n diferentes esta dada por el numerocombinatorio

Cnr =

nr

= n!r! (n− r)! (2.4)

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Algunas formulas combinatorias

nr

= P (n, r)r! (2.5)

nr

= n

n− r

(2.6)nr

=n− 1r − 1

+n− 1

r

(2.7)

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Ejemplo 2.4.

En una baraja inglesa, ¿cuantas formas hay de escoger doscartas del mismo palo?

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Teorema 2.1 (Teorema del binomio).

(x+ y)n =n∑

r=0

nr

xryn−r (2.8)

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Aproximacion de Stirling

n! ≈√

2πn(nne−n

)(2.9)

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Se requiere sentar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila, demanera que esten alternados. ¿Cuantas manera hay de hacertal arreglo?

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¿De cuantas manera podemos formar un equipo de 11personas de un total de 23?

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Una caja contiene 8 canicas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si 3canicas son obtenidas al azar sin reemplazarse, determine laprobabilidad de que

(a) las tres sean rojas;(b) las tres sean blancas;(c) dos sean rojas y una blanca;(d) al menos una sea blanca;(e) una sea de cada color;(f) sean obtenidas en el siguiente orden: rojo, blanco y azul.

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En un juego de poker, 5 cartas se obtienen al azar de unabaraja inglesa. Encuentre la probabilidad de que

(a) 4 sean A;(b) 4 sean A y una sea K;(c) 3 sean 10 y dos sean J ;(d) 9, 10, J,Q,K en cualquier order;(e) 3 de un palo dado y 2 de otro palo;(f) al menos un A obtenido.

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Determine la probabilidad de obtener tres 6 en cincolanzamientos de un dado.

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