probabilidad: teorÍa bÁsica + combinatoria joan calventus s

PROBABILIDAD:

TEORÍA BÁSICA

+ COMBINATORIA

Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl

• La probabilidad permite cuantificar riesgos y con ello tomar decisiones en circunstancias inciertas.

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD

• Utilizaremos la probabilidad para inferir (estadística inferencial) parámetros poblacionales a partir de la observación/medición de estadísticos muestrales.


• La teoría de la probabilidad surgió del interés por los juegos de azar.

• Un suceso es el resultado observado (o que pudiera observarse) al realizar un “experimento aleatorio”.

• La probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso por el número de casos posibles.


Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”

P(4 puntos) =Casos favorables

Casos posibles=

6

1= 0,17

Calcular la probabilidad de obtener 4 puntos:


Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos”

P(nº de puntos par) =Casos favorables

Casos posibles=

6

3= 0,5

¿Qué probabilidad existe de obtener un nº de puntos par?


0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado”

P(nº mayor de 7) =Casos favorables

Casos posibles=

6

0= 0

Probabilidad igual a cero significa que el suceso es IMPOSIBLE.


0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:


P(nº menor de 7) =Casos favorables

Casos posibles=

6

6= 1

Probabilidad igual a uno significa que el suceso es SEGURO.


0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:


P(nº menor de 3) =Casos favorables

Casos posibles=

6

2= 0,33

Probabilidad cercana a 1 indica mayor posibilidad que ocurra el evento.

Probabilidad cercana a 0 indica menor posibilidad que ocurra el evento.


0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)


P(nº menor de 3) = 1 - P(nº no menor de 3)

= 1 -Casos favorables

Casos posibles

P(nº menor de 3) = 1 -4

= 0,66 = 0,331 -6

Probabilidad (complementaria) de que suceda no A


0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)


AXIOMAS:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)


P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = P(nº menor a 3) + P(nº mayor a 5)

P(nº menor a 3 ó mayor a 5) =6

2+

6

1= 3/6 = 0,5


P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

OJO:

“ o ” +

En el caso de eventos compatibles:

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

U = –


OJO:“ o ” +




P(nº menor a 3 ó nº par) = P(nº menor a 3) + P(nº par) - P(2)

U = –1 2 2 4 6 1 22 4 6

2

P(nº menor a 3 ó nº par) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 0,66

OJO:“ o ” +



Experimento: “Seleccionar al azar una persona del siguiente grupo:”

Empleo \ Género Muj. Hom.

Sí 4 2

No 1 3

Calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer o una persona empleada.

P( mujer ó empleada) = 5/10 =+ 6/10 - 4/10 7/10 = 0,70



0 ≤ P(A) ≤ 1

AXIOMAS:

P(A) = 1 – P(A)

P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)


AXIOMAS:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

Experimento: “Lanzar dos veces un dado y observar resultado”

Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”

… o lo que es lo mismo…

P(obtener 2 números pares) = P(par) y P(par) = P(par) x P(par)

P(obtener 2 números pares) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 0,25

Interpretar y valorar resultado: una de cada cuatro veces que realicemos el experimento, obtendremos los dos números pares. ¿Qué les parece? Utilidad? Sentido?

“ y ” x


AXIOMAS:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

“ y ” x

Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado”

¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un doble 6?

P(obtener doble 6) = P(6) y P(6) = P(6) x P(6)

P(obtener doble 6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,03


OJO:

En el caso de eventos dependientes:

P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

Probabilidad (condicional) de que suceda B luego de haber ocurrido A

“ y ” x

Un evento (B) es dependiente de otro (A), cuando lo que ocurre con éste influye en la ocurrencia de aquel.

Experimentos SIN REPOSICION comportan la aparición de eventos dependientes…


OJO:“ y ” x

En el caso de eventos dependientes:

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B/A)

Experimento: “De una tómbola con 3 bolas rojas y 7 blancas, extraemos al azar dos de las bolas”

Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas.

P (ambas bolas sean rojas) = P (1ª bola sea roja) x P (2ª bola sea roja ; habiendo sido roja la 1ª)

P (ambas bolas sean rojas) = 3/10 X 2/9 = 6/90 = 0,07

Interpretar y valorar por qué la probabilidad es tan baja…

TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA

P (A y noA) = P (A) x P (noA)

COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)

P (A y A y noA y noA y noA) = P(A) x P(A) x P(noA) x P(noA) x P(noA)

P (A y A y noA y noA y noA) = P(A)2 x P(noA)3

P(las primeras dos bolas sean Azules y las siguientes tres sean rojas)=

Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas”

P (A y A y noA y noA y noA) = (2/5)2 x (3/5)3

P (A y A y noA y noA y noA) = 4/25 x 27/125 = 108/3125 = 0,03

Interpretar y valorar el sentido de esta probabilidad tan baja…

NO REQUEREMOS

COMBINATORIA


P (A y noA) = P (A) x P (noA)



REQUEREM

OS

COM

BINATO

RIA

P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A) x P(noA) x C5,2

P (2 azules y 3 rojas) = (2/5)2 x (3/5)3 x5!

2! x (5-2)!

P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x5 x 4 x 3!

2 x 3! = 0,03 x

5 x 4

2

P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x 10 = 0,3Interpretar y valorar por qué la probabilidad es mayor que la anterior




P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A)2 x P(noA)3 x C5,2

C5,2 debe entenderse, en general, como:

Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k

n!

k! x (n-k)!Cn,k =


“ y ” x Experimento: “De una tómbola con 3 bolas Azules y 5 Rojas, extraemos al azar (con reposición) cuatro bolas”

Calcular la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y las otras azules.

P(primeras dos bolas Azules y las otras dos Rojas)=

P(A y A y R y R)= 3/8 x 3/8 x 5/8 x 5/8 = 225/4096 = 0,05

Calcular la probabilidad de que dos sean rojas y dos azules.

P(dos bolas Azules y dos Rojas)=

3/8 x 5/8 x

= 0,33

P(dos Azules) x P(dos Azules) x C4,2

P(dos bolas Azules y dos Rojas)=2 2 4 x 3 x 2!

2! x 2!

P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 0,14 x 0,39 x 6


COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k

n!

k! x (n-k)!Cn,k =

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

C1,0

C1,1

C2,0

C2,1

C2,2

C3,0

C3,1

C3,2

C3,3

C4,0

C4,1

C4,2

C4,3

Triá

ngul

o de

Pas

cal

. . .C4,4

. . .

C4,2 =

6

UNA ALTERNATIVA PARA ESTE

CÁLCULO LA TENEMOS EN EL

TRIÁNGULO DE PASCAL


COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”)Experimento: “Seleccionar al azar y con reposición a 5 personas del siguiente grupo:”

Empleo \ Género Muj. Hom.

Sí 4 2

No 1 3

Calcular la probabilidad de que exactamente dos de las cinco personas sean mujeres con empleo.

1º: Calculamos la probabilidad de seleccionar al azar del grupo a una mujer con empleo:

P (mujer con empleo) = 4/10 = 0,40

2º: Calculamos la probabilidad de que dos de las cinco presenten la característica anterior:

P (2 de las 5 sean mujeres con empleo) =

0,4 2 x 0,6 3 x C5,2

= 0,16 x 0,216 x 10 = 0,35

PROBABILIDAD:

TEORÍA BÁSICA

+ COMBINATORIA

Joan Calventus S.http://estadis.webnode.cl

probabilidad: teorÍa bÁsica + combinatoria joan calventus s

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