MATEMÁTICAS 4º ESO Opción B Estadística - Probabilidad - Combinatoria 1. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo estos resultados: 14 - 14 - 15 - 13 - 15 - 14 - 16 - 14 - 14 - 15 - 15 - 14 - 15

16 - 14 - 15 - 13 - 14 - 15 - 13 - 14 - 14 - 14 - 15 - 14 a) Forma la tabla estadística en la que figure: datos, frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas en % y relativas en % acumuladas. b) Representa el diagrama de barras.

xi fi Fi hi Hi

13 3 2 12% 12%

14 12 5 48% 60%

15 8 8 32% 92%

16 2 11 8% 100%

N=25 100%

2. Los resultados de un test de inteligencia realizado a 25 personas fueron:

100 80 92 101 65 72 121 68 75 93 101 100 102 97 89 73 121 114 113 113 106 84 94 83 82

Obtén la tabla completa de frecuencias tomando intervalos de amplitud 10. Representa los datos en un histograma.

3. Las estaturas de 20 personas son las siguientes:

172 178 173 170 170 177 185 183 173 187 166 173 164 160 174 160 164 158 165 153

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10 empezando por 150 cm, es decir, reparte los datos en los intervalos: [150 , 160[ ; [160 , 170[ ; [170 , 180[ ; [180 , 190[. Realiza el gráfico de sectores (indicando los porcentajes y ángulos) con los datos agrupados.

xi fi hi Ángulos

[150 , 160[ 2 10% 36º

[160 , 170[ 6 30% 108º

[170 , 180[ 9 45% 162º

[180 , 190[ 3 15% 54º

N=20 100% 360º

[150 , 160[

[160 , 170[

[170 , 180[

[180 , 190[

4. A continuación aparecen los datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.

42 51 56 66 75 47 51 45 63 79 69 59 50 70 59 62 54 60 63 58 Calcula el valor de la mediana.

5. Decide qué valores podemos añadir a este conjunto de datos: 18, 8, 7, 9, 12, 15, 21 y 12 para que la mediana siga siendo la misma.

6. Con los siguientes datos calcula los percentiles: a) P22 b) P7 c) P98 d) P66

7. Haz el diagrama de caja correspondiente a esta distribución de notas.

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi 6 15 22 24 33 53 22 16 8 1

8. Calcula el percentil 96 de la distribución de notas anterior.

96% de 200 = 192 � P96 = 9 9. Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de la siguiente distribución:

xi 151 156 161 166 171 176

fi 2 4 11 14 5 4

10. Un corredor entrena, de lunes a viernes, recorriendo las siguientes distancias: 2, 5, 5, 7 y 3 km, respectivamente. Si el sábado también entrena: a) ¿Cuántos kilómetros debe recorrer para que la media sea la misma? b) ¿Y para que la mediana no varíe?

a) 4,4 Km b) La mediana es Me = 5. Para que la mediana no varíe, el sábado debe recorrer 5

km o más. 11. El tiempo, en minutos, que un conjunto de estudiantes dedica a preparar un examen es:

220 500 450 390 550 600 790 200 60 300 400 90 Las calificaciones de ese conjunto de estudiantes son las siguientes.

4 5 6 5 7 6 8 4 1 5 6 2

¿Cuál es la media y la desviación típica de ambos conjuntos? ¿En qué conjunto los datos están más dispersos?

12. Halla el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo: [,] σσ +− xx

xi fi

152 62

156 186

160 530

164 812

168 953

172 860

176 507

180 285

184 126

188 29

xi fi xi * fi (xi)2

* fi

152 62 9424 1432448

156 186 29016 4526496

160 530 84800 13568000

164 812 133168 21839552

168 953 160104 26897472

172 860 147920 25442240

176 507 89232 15704832

180 285 51300 9234000

184 126 23184 4265856

188 29 5452 1024976

4350 733600 123935872

Media= 168,6436782

Varianza= 50,31487383

Desv. Típ.= 7,09329781

Intervalo: 161,55038

175,736976

Frecuencias: 812+953+860

Porcentaje: 60,34%

13. Se ha aplicado un test de capacidad espacial compuesto por 100 preguntas a un grupo de 80 alumnos/as, obteniéndose los siguientes resultados:

Nº Resp. CORRECTAS: [ 0 , 15 [ [ 15,30 [ [30, 45 [ [45, 60 [ [60, 75 [ [75, 90 [

Número de ALUMNOS: 10 5 15 20 20 10

Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.

xi fi xi * fi (xi)2

* fi

7,5 10 75,0 562,50

22,5 5 112,5 2531,25

37,5 15 562,5 21093,75

52,5 20 1050,0 55125,00

67,5 20 1350,0 91125,00

82,5 10 825,0 68062,50

80 3975,0 238500,00

Media= 49,6875

Varianza= 512,4023

Desv. Típ.= 22,6363

Coef. Var.= 0,4556 45,56%

14. Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. Este es el número de respuestas correctas:

Comprueba que la mediana está en el intervalo [40-50). Asígnale un valor repartiendo homogéneamente los 105 individuos que hay en el intervalo, es decir, usando interpolación lineal.

-La tabla completa de frecuencias es la siguiente:

[xi , xf[ fi Fi hi Hi

[0 , 10[ 40 40 6,67% 6,67%

[10 , 20[ 60 100 10,00% 16,67%

[20 , 30[ 75 175 12,50% 29,17%

[30 , 40[ 90 265 15,00% 44,17%

[40 , 50[ 105 370 17,50% 61,67%

[50 , 60[ 85 455 14,17% 75,83%

[60 , 70[ 80 535 13,33% 89,17%

[70 , 80[ 65 600 10,83% 100,00%

100,00%

-El intervalo mediano es: [40 , 50[ Vamos a considerar puntos donde la 1ª coordenada es un valor de la variable y la 2ª coordenada es la correspondiente Frecuencia Absoluta Acumulada. Así tenemos los puntos A(40 , 265) y B(50 , 370). Hallamos la ecuación de la recta que pasa por ellos:

5,1010

105

4050

265370

B(50,370)

A(40,265)==

−

−=⇒

m

nnn =−⇒=−⇒+=⇒+=

15552537050·5,10370B(50,370)

nmxy

La ecuación de la recta es: 155x5,01y −=

Realizamos la comprobación:

−=→

−=→

15550·5,01370 B(50,370)

15540·5,01265 A(40,265)

La Mediana es el valor para el cual la Frecuencia Absoluta Acumulada es el 50% de la población: 50% de 600 = 0,5 · 600 = 300. Por tanto, se tendría el punto P(Me , 300), es decir, se calcula el valor de la Mediana sustituyendo “y por 300” en la ecuación: 155x5,01y −= .

MeMeMe

MeMeMeP

≈⇒=⇒=⇒

⇒=+⇒−=⇒−=

33,435,10

455·5,01455

·5,01155300155·5,01300)300,(

155x5,01y

15. Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola y anotar su número. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Consideramos los sucesos: A = “obtener número primo” ; B = “obtener múltiplo de 3” Escribe los sucesos:

A A' A ∪ B A ∪ A' B B' A ∩ B A ∩ A'

16. El juego del dominó consta de 28 fichas. Sacamos una al azar y anotamos la suma (x) de las puntuaciones. Averigua las probabilidades de los siguientes sucesos: a) A= “x no es un número primo” b) B= “x es menor que 5” c) A ∩ B d)Ac

El dominó está formado por las 28 fichas siguientes:

0-0

0-1 1-1

0-2 1-2 2-2

0-3 1-3 2-3 3-3

0-4 1-4 2-4 3-4 4-4

0-5 1-5 2-5 3-5 4-5 5-5

0-6 1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

Suma de las puntuaciones: 0

1 2

2 3 4

3 4 5 6

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11 12

Experimento aleatorio: “Sacamos una ficha del dominó al azar y anotamos la suma de las puntuaciones de las dos caras”. Espacio muestral: E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } Probabilidades:

28

1)12(;

28

1)11(;

28

2)10(;

28

2)9(;

28

3)8(;

28

3)7(

;28

4)6(;

28

3)5(;

28

3)4(;

28

2)3(;

28

2)2(;

28

1)1(;

28

1)0(

======

=======

pppppp

ppppppp

A = “x no es un número primo” = {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

28

17

28

1

28

2

28

2

28

3

28

4

28

3

28

1

28

1)( =+++++++=Ap

B = “x es menor que 5” = {0, 1, 2, 3, 4}

28

9

28

3

28

2

28

2

28

1

28

1)( =++++=Bp

A ∩ B = {0, 1, 4} 28

5

28

3

28

1

28

1)( =++=∩ BAp

Ac = {2, 3, 5, 7, 11} 28

11

28

171)(1)( =−=−= ApAp c

17. Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones. a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos. b) Halla la probabilidad del suceso “la menor puntuación es menor que 4”. DOS DADOS

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Menor de las puntuaciones: 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2

1 2 3 3 3 3

1 2 3 4 4 4

1 2 3 4 5 5

1 2 3 4 5 6

Experimento aleatorio: “Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones”. Espacio muestral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Probabilidades:

36

1)6(;

36

3)5(;

36

5)4(;

36

7)3(;

36

9)2(;

36

11)1( ====== pppppp

A = “La menor puntuación es menor que 4” = { 1, 2, 3 }

36

27

36

7

36

9

36

11)( =++=Ap

18. Juan tira un dado y su hermana Rosa lo tira después. ¿Cuál es la probabilidad de que las puntuaciones de los dos hermanos sean iguales?

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

6

1

36

6)}6,6();5,5();4,4();3,3();2,2();1,1{()( === pIgualesesPuntuacionp

19. Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de obtener: a) Exactamente tres caras. b) Alguna cruz. Espacio muestral � 25 = 32 casos

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 0 Caras 1 Caras 2 Caras 3 Caras 4 Caras 5 Caras

a) 16

5

32

10 =caras)tresp(Exact. =

b) 32

31

32

1 - 1cruz) p(Ninguna - 1=cruz) p(Alguna ==

20. En una bolsa hay 40 bolas huecas, y dentro de cada una hay un papel en el que pone SÍ o NO. La distribución de bolas según colores y SÍ y NO está en la tabla. R V A

a) Describe los sucesos SÍ, NO, R, R/SÍ, SÍ/R y calcula sus probabilidades. b) Hemos sacado una bola roja. ¿Qué probabilidad hay de que haya SÍ en su interior? ¿Y si la bola es azul? c) Se ha sacado una bola y dentro pone SÍ. ¿Cuál es la probabilidad de que sea R, V o A?

21. Una urna U1 tiene tres bolas blancas y una negra. Otra U2 tiene dos bolas blancas y dos negras. Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

20

11

20

2

20

9 =p(B) =+

22. Tenemos dos bolsas, A y B con estas bolas: A: 3 blancas, 1 negra y 6 rojas ; B: 1 blanca, 2 negras y 7 rojas.

Tirando un dado, si sale 1 o 2 extraemos una bola de A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de B. Calcula la probabilidad de extraer la bola roja.

3

2

60

40

60

28

60

12 =p(R) ==+

23. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. a) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume. b) Calcula: P[M ∩ F], P[M / F], P[F / M].

24. Lanzamos un dado 2 veces. Calcula la probabilidad de obtener dos números cuya suma sea igual a siete.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

6

1

36

6)}]1,6();2,5();3,4();4,3();5,2();6,1[{()7 a igual uma( === pSp

25. Al lanzar un dado de 8 caras consideramos los siguientes sucesos: A = {1, 4, 5, 8} y B = {1, 3, 4, 7}. Calcula:

Nota: A significa suceso contrario de A. a) }8,7,5,4,3,1{=∪ BA b) }4,1{=∩ BA

c) }8,7,6,5,3,2{=∩ BA

d) BABA ∩=∪

e) }6,2{=∪ BA

f) BABA ∪=∩ 26. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. a) Calcula la probabilidad de que un automóvil acuda por la tarde. b) Calcula la probabilidad de que un automóvil acuda por problemas mecánicos. c) Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA Total

MAÑANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6

Total 5 11 4 20

a) 10

3

20

6 =p(TARDE) =

b) 20

11=MECÁNICOS) Sp(PROBLEMA

c) 5

3 =)

MECÁNICOS PROBLEMASMAÑANAp(

27. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de estas bolsas y extraer de ella una bola?

28. Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.

29. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que: a) Haga dos puntos. b) Haga un punto. c) No haga ningún punto.

30. En un restaurante se ofrece un menú compuesto por tres platos: cuatro primeros (ensalada, macarrones, judías verdes o sopa de cocido), tres segundos (filete de ternera a la plancha, merluza o escalope de ternera), y dos postres (naranja o natillas). ¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer? Hay 4 · 3 · 2 = 24 menús diferentes. 31. Ana y María juegan un partido de tenis al mejor de 3 sets. ¿Cuántos posibles resultados han podido ocurrir?

32. Juan y Andrés juegan un partido de tenis al mejor de 5 sets. ¿Cuántos posibles resultados han podido ocurrir?

33. Calcula el número de boletos de Lotería Primitiva que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49). El orden no importa. Tenemos 49 elementos (que son todos los números) tomados de seis en seis. Se trata de combinaciones.

816.983.13!6·!43

!49 =C 6 , 49 =

34. ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium de la final de los 100 m lisos en la que corren 8 atletas? El orden importa, luego no son combinaciones. Por otro lado, del conjunto inicial no se toman todos los elementos. Así que hablamos de variaciones. Tenemos 8 elementos (que son los atletas) tomados de tres en tres (los cajones del pódium). No son posibles las repeticiones. Luego se trata de variaciones sin repetición.

336 6 · 7 · 8 =V 3 , 8 =

35. Un test consta de 20 preguntas con tres opciones de respuesta cada una de ellas (a, b y c). Si una persona responde al azar a todas las preguntas, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? Hay tres opciones para cada una de las 20 preguntas, se puede repetir respuesta, obviamente, e influye el orden. VR3, 20 = 320 = 3.486.784.401 36. ¿De cuántas formas se pueden elegir dos cartas de una baraja española de 40 cartas? Hay 40 cartas tomadas de dos en dos, sin influir el orden.

780!2·!38

!40 =C 2 , 40 =

37. Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos 6 y 7. ¿Cuántos son? VR2,4 = 24 . En total hay 16 números de cuatro cifras con los dígitos 6 y 7.

6666 6667 6676 6677 6766 6767 6776 6777 7666 7667 7676 7677 7766 7767 7776 7777

38. Vicente le quiere regalar a su amigo Carlos 4 discos, y los quiere elegir entre los 9 que más le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Hay 9 discos tomadas de cuatro en cuatro, sin influir el orden.

120!4·!5

!9 =C 4 , 9 =

39. Si queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores rojo, azul, negro, verde, marrón y lila, ¿cuántos modelos se pueden formar? Escríbelos todos.

15!2·!4

!6 =C 2 , 6 =

RA AN NV VM ML RN AV NM VL RV AM NL RM AL RL 40. ¿Qué números de dos cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 5, 6, 7, 8, 9?

56 57 58 59 65 67 68 69 75 76 78 79 85 86 87 89 95 96 97 98

41. Vas a preparar un batido de frutas de tres sabores. Tienes 7 clases de fruta que vas a utilizar en cantidades iguales. ¿Cuántos batidos diferentes podrás hacer?

35!3·!4

!7 =C 3 , 7 =

42. Calcula:

43. En la clase de Educación Física se va a montar un equipo de baloncesto de 7 jugadores (cinco titulares y dos de refuerzo). Hay 20 alumnos disponibles. a) ¿De cuántas formas se puede realizar la elección de los 7 jugadores? b) Si el profesor considera que Fernando y Carlos deben participar, ¿de cuántas formas se puede formar el equipo?

a) 77520!7·!13

!20 =C 7 , 20 =

b) 8568!5·!13

!18 =C 5 , 18 =

44. En cada uno de los siguientes problemas la pregunta es: ¿De cuántas formas se puede hacer? a) 3 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 6 clases de polos. b) 6 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 3 clases de polos. c) Repartir 3 polos distintos entre 6 chicos. d) Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos. e) Un chico escoge 3 polos entre 6 distintos. f ) Repartir 6 polos distintos entre 6 chicos. g) Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos. a) VR6,3 = 63 b) VR3,6 = 36 c) V6,3 = 6 · 5 · 4

d) !3·!3

!6 =C 3 , 6

e) V6,3 = 6 · 5 · 4 f ) P6 = 6!

g) !3·!3

!6 =C 3 , 6

45. El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos. Por ejemplo: 0 0 1 0 0 0 1 1 ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar? VR2,8 = 28 = 256 46. Las 28 fichas de un dominó se reparten entre cuatro jugadores. ¿Cuántos juegos distintos podrá tener cada jugador?

1.184.040!4·!24

!28 =C 4 , 28 =

47. Se van a repartir tres regalos entre seis personas. Calcula de cuántas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos: a) Los regalos son distintos (una bicicleta, unos patines y un chándal) y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona. a) V6,3 = 6 · 5 · 4= 12

b) 20!3·!3

!6 =C 3 , 6 =

c) VR6,3 = 63=256 48. Las matrículas de los automóviles de cierto país llevan cuatro números y tres letras. Para ello, se utilizan los dígitos del 0 al 9 y 26 letras de nuestro alfabeto. ¿Cuántas matrículas pueden hacerse de esta forma?

49. Calcula cuántos productos de tres factores distintos podemos formar con estas cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

35!3·!4

!7 =C 3 , 7 =

50. La contraseña de acceso a Internet de un usuario está formada por seis dígitos, elegidos entre las 26 letras del alfabeto y las 10 cifras posibles. Si no se distingue entre mayúsculas y minúsculas y, además, el primer carácter debe ser una letra, ¿de cuántas opciones distintas se dispone? 26 · VR36 , 5 = 26 ⋅ 365 51. Andrés y Pablo están jugando al tenis. Ambos son igual de buenos. El partido es a cinco sets y el primero lo ha ganado Andrés. ¿Cuál es la probabilidad de que acabe ganando Pablo?

El primer set lo ha ganado Andrés. Por tanto, partiendo del 2º set, p[gane Pablo] = p[A P P P] + p[P A P P] + p[P P A P] + p[P P P] = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/8 = 5/16 52. Repite el problema anterior suponiendo que en cada set, la probabilidad de que lo gane Pablo es 0,6.

p[gane Pablo] = p[A P P P] + p[P A P P] + p[P P A P] + p[P P P] = 0,4 · 0,6 · 0,6 · 0,6 + + 0,6 · 0,4 · 0,6 · 0,6 + 0,6 · 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,4752