estadística i - publicacions.ub.edu. introducción a la teoría de la probabilidad.....105 1....

UNIVERSITAT DE BARCELONA

textos docents368textos docents368

El presente libro ofrece una amplia variedad de cuestiones tipo test que, agrupadas en nueve capítulos, facilitan la comprensión y el aprendizaje de la asignatura Estadística I del grado de ADE. Cada capítulo intro-duce de manera clara y concisa los principales conceptos de la materia y plantea cuestiones que deben resolverse con el programa estadístico R-Commander, así como cuestiones con resultados obtenidos con este programa, para su interpretación. La consulta del solucionario final per-mitirá al alumno realizar su propia autoevaluación sin dificultad alguna.

UNIVERSITAT DE BARCELONAwww.publicacions.ub.edu

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368

Estadística i cuestiones tipo test con R-commander

Victoria Alea RieraIsabel Maqueda de AntaCarmen Muñoz VaquerElisabeth Torrelles PuigNúria Viladomiu Canela

Departamento de Econometría, Estadísticay Economía Española

9 7 8 8 4 4 7 5 3 5 3 2 3

ISBN 978-84-475-3532-3

UNIVERSITAT DE BARCELONATEXTOS DOCENTS368

ESTADÍSTICA ICuestiones tipo testcon R-Commander

Victoria Alea RieraIsabel Maqueda de AntaCarmen Muñoz VaquerElisabeth Torrelles PuigNúria Viladomiu Canela

Departamento de Econometría, Estadísticay Economía Española

Estadística I (2 de setembre) pàgina 3

Universitat de Barcelona Dades catalogràfiques

Estadística I: cuestiones tipo test con R-Commander(Textos Docents ; 368)

de Econometría, Estadística y Economía Española III. Col·lecció: Textos Docents (Universitat de Barcelona) ; 368

BibliografiaA la portada: Departamento de Econometría, Estadística y EconomíaEspañolaISBN 978-84-475-3532-3

I. Alea Riera, M.ª Victoria. II. Universitat de Barcelona. Departamento

1. Estadística 2. Economia 3. Ciències socials

© Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona, 2011Adolf Florensa, s/n – 08028 Barcelona Tel. 934 035 442 – Fax 934 035 446 [email protected]

© de las autoras, 2011

Diseño de la colección: Marta Serrano

ISBN: 978-84-475-3532-3Depósito legal: B-31250-2011Impresión: Gráficas Rey, S.L.Impreso en la UE

Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede ser reproducida, almacenada, transmitida o utilizada mediante ningún tipo de medio o sistema, sin autorización previa por escrito del editor.

Capıtulo 2

Índice

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Estadística y tipo de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. Instalacion de R-Commander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Distribución de frecuencias y representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1. Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Diagrama de barras e histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203. Diagrama de frecuencias acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244. Diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Medidas de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1. Media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382. Media, mediana y moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Mediana y cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Medidas de dispersión y forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1. Varianza, desviacion estandar y coeficiente de variacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Medidas de forma y box plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. Distribución de frecuencias bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1. Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773. Asociacion entre variables cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6. Asociación entre variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1. Covarianza y coeficiente de correlacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882. Regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913. Diagrama de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


7. Introducción a la teoría de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1. Probabilidad. Axiomas y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062. Probabilidad condicionada. Teorema de la interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104. Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1. Variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212. Variable continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233. Esperanza matematica y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9. Distribuciones binomial y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1. Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Soluciones de los ejercicios por epıgrafes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Soluciones de los ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


PR

ÓLO

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Capıtulo 2

Prólogo

Este libro ofrece una extensa variedad de cuestiones tipo test de la materia de Estadística Ide estudios de grado orientados a las Ciencias Económicas y Sociales.

Las cuestiones han sido diseñadas con la finalidad de:

• Ayudar al lector en el estudio y en la comprensión de los principales conceptos de lamateria.• Poner en práctica su capacidad para resolver problemas aplicando los conocimientos

teóricos adquiridos.• Familiarizar al lector con la utilización del programa R-Commander y la interpretación

de los resultados obtenidos.• Proporcionar un instrumento de autoevaluación.

Las cuestiones se agrupan en ocho capítulos, siguiendo el programa de la asignaturaEstadística I. Cada capítulo comienza con una breve introducción de los conceptos prin-cipales y un cuadro resumen de fórmulas de la lección con el objetivo de que el lector lastenga presentes a la hora de resolver las cuestiones planteadas. Éstas presentan cuatro res-puestas alternativas de las que sólo una es correcta.

Debido a que en la actualidad la incorporación de los programas de análisis de datosresulta imprescindible en el estudio de la estadística, se recomienda al lector que utilice elprograma R-Commander, para lo cual se le facilita una breve guía de instalación. Algunascuestiones deben resolverse con la ayuda de dicho programa y otras presentan resultadosya obtenidos con el programa con el objetivo de interpretarlos. Estas cuestiones están se-ñaladas con el signo (Rcmdr). El lector puede encontrar las bases de datos en formato Rnecesarias para la realización de algunas cuestiones en el apartado «Base de dades» de ladirección http://www.publicacions.ub.edu/liberweb/estadisticaR-Commander/.

En cada capítulo, las cuestiones se han agrupado en dos bloques. El primer bloquesigue el orden de los principales epígrafes del capítulo y el segundo recopila ejercicios detodos los epígrafes del capítulo.

El anexo contiene la lista de las soluciones de los ejercicios propuestos, de manera queel usuario pueda realizar su autoevaluación a medida que progresa en el estudio.

Este libro no pretende ser un manual básico de la asignatura, pero sí un útil instru-mento de apoyo en el estudio de la misma.

Barcelona, marzo de 2011

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Capıtulo 2

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASY REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una vez obtenidos los datos es preciso presentarlos de forma ordenada, procurando con-servar al máximo la información que contienen. Con este fin se introduce el concepto dedistribución de frecuencias como técnica para la tabulación o representación numéricade variables estadísticas unidimensionales de corte transversal.

A continuación se exponen algunas técnicas para la representación gráfica de los datos,en particular el diagrama de barras, el histograma y el polígono de frecuencias, por el interésque presentan como base empírica para la especificación de un modelo teórico.

Se hace referencia, asimismo, a otros tipos de gráficos como el diagrama de tallo y hojas(stem and leaf ), y en capítulos posteriores, el diagrama de caja (box plot) y el diagrama depuntos, que permiten explorar la distribución de frecuencias de los datos e identificar lasmedidas de síntesis más adecuadas para su descripción.

1. Cuantitativos

Diag. stem and lead

Diag. de barras

Diag. en escalera

Histograma

Polígono de frec. simple

Polígono de frec. acumuladas

Exploratorio

Distr. simplesxi ni fi Ni Fi

x1 n1 f1 N1 F1

x2 n2 f2 N2 F2...

......

......

xi ni fi Ni Fi...

......

......

xk nk fk N 1

N 1

Distr. agrupadasLi -1 Li ci ni fi Ni Fi

L0 L1 c1 n1 f1 N1 F1

L1 L2 c2 n2 f2 N2 F2...

......

......

...Li -1 Li ci ni fi Ni Fi

......

......

......

Lk -1 Lk ck nk fk N 1

N 1

2. Cualitativos

Diag. de sectores

Diag. columnas o barras

Pictogramas

Frequency Stem & Leaf

I Stem and Leaf Plot

6,00 1 . 7779997,00 5 . 22444449,00 5 . 6666698986,00 6 . 0002229,00 6 . 5555598983,00 7 . 001

10Stem width:Each leaf: 1 case(s)

tabulación y representación gráfica

15

• Frecuencia absoluta, n i

• Tamaño de la muestra, n =K∑

i=1

n i

• Frecuencia relativa, f i =n i

n

• Frecuencia absoluta acumulada hasta el valor xk , Nk =k∑

i=1

n i

• Frecuencia relativa acumulada hasta el valor xk , Fk =k∑

i=1

f i =

k∑i=1

n i

n

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1. Tablas de frecuencias

1. Una variable X toma únicamente 4 valores distintos: x1,x2,x3,x4 (en orden creciente). Enuna muestra de tamaño 500 se observa que: el 45 % de las observaciones toma el valorx2; la proporción de observaciones en las que el valor de X es como máximo x3 es 0,9 y150 observaciones toman el valor x1. Es cierto que:a) La frecuencia relativa de x1 es 0,70.b) La frecuencia absoluta de x2 es 375.c) La frecuencia absoluta de x4 es 50.d) La frecuencia relativa de x3 es 0,20.

2. La siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas de la variable X = «nú-mero de contratos conseguidos en el mes de enero» corresponde a la observación de laactividad de 150 teleoperadores de una compañía de telefonía móvil:

Xi 58 60 62 65 68 70 71

Fi 0,06 0,2 0,4 0,64 0,8 0,92 1

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:a) El 8 % de los teleoperadores ha conseguido exactamente 71 contratos.b) 90 teleoperadores han conseguido como mínimo 62 y como máximo 68 contratos.c) El 60 % de los teleoperadores ha conseguido más de 62 contratos.d) 40 teleoperadores han conseguido como máximo 62 contratos.

3. En una encuesta realizada a 100 familias se ha obtenido la siguiente distribución de fre-cuencias absolutas acumuladas de X = «número de miembros que componen la unidadfamiliar»:

Xi 1 2 3 4 5 6 7

Ni 15 32 57 74 87 96 100

Una familia con más de 4 miembros estará entre:a) Las 13 familias más numerosas.b) Las 32 familias menos numerosas.c) Las 26 familias más numerosas.d) Las 57 familias menos numerosas.

4. La suma de frecuencias absolutas es igual a:a) 1.b) El número de intervalos de clase.c) El tamaño muestral.d) El tamaño poblacional.

5. Cuando se afirma que «el 40 % de las exportaciones se envía a destinos que se encuentrana más de 5.000 km», este 40 % es:a) Una frecuencia absoluta de la distribución de la variable «valor de las exportaciones».b) Una frecuencia relativa de la distribución de la variable «distancia del destino de las

exportaciones».

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c) Un intervalo de clase de la distribución de la variable «distancia del destino de lasexportaciones».

d) Una frecuencia relativa de la distribución de la variable «valor de las exportaciones».

6. Se han realizado 60 llamadas a un servicio de información telefónico a fin de analizar«el tiempo de espera (en min)». Se considerará que el servicio no es operativo cuandomás del 30 % de las llamadas tenga un tiempo de espera superior a 3 minutos.Si la distribución de frecuencias relativas del tiempo de espera es:

Xi fi0-1 0,051-2 0,202-3 0,303-4 0,254-5 0,15

5-6 0,05

el estudio concluirá que:a) El servicio no es operativo.b) El servicio es operativo.c) No se puede llegar a ninguna conclusión.d) Ninguna de las anteriores.

7. Dada la siguiente distribución de frecuencias de la variable X = «número de unidadespor caja»:

Xi 100 200 300 400ni 4 2 2 2

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:a) Hay 6 cajas con 200 o menos unidades.b) El 80 % de las cajas contiene como máximo 300 unidades.c) El 20 % de las unidades está contenido en 200 cajas.d) Estas cajas contienen como máximo 400 unidades.

8. La distribución de frecuencias de la variable X = «importe IBI (en €)» observada enuna muestra de pisos de una localidad es:

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:a) El tamaño de la muestra es 100.b) El 59,3 % de los pisos paga como mínimo 450€.

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c) 42 de los pisos observados pagan como mínimo 350€.d) El 16 % de los pisos paga exactamente 250€.

9. La tabla de frecuencias absolutas de la variable X = «habitantes/autobús» en el trans-porte urbano de 45 localidades de Cataluña en 2007, obtenida con el programa R-Com-mander es:

$breaks

[1] 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000

$counts

[1] 1 7 8 12 4 3 5 0 3 1 1

$mids

[1] 1000 3000 5000 7000 9000 11000 13000 15000 17000 19000 21000

En base a esta información indique el número y el porcentaje de localidades que pre-sentan menos de 10.000 habitantes/autobús en el año 2007.a) 32 y 71,11 %b) 32 y 32 %c) 40 y 88,89 %d) 40 y 45 %

10. La tabla de frecuencias absolutas y relativas de la variable X = «m3 de agua consumida»en 68 viviendas de una localidad obtenida con el programa R-Commander es:

Un ayuntamiento está estudiando la aplicación de un recargo que afecte al 25 % de lasviviendas que consuman más. En base al resultado de esta muestra, aproximadamente,¿a partir de qué consumo se aplicará el recargo?a) 250b) 400c) 350d) 450

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2. Diagrama de barras e histograma

11. El diagrama de barras de la variable X = «número de desplazamientos por día» realiza-dos por un grupo de ciudadanos encuestados es:

1,00 2,00 3,00 5,00 6,00 7,004,00

Frec

uenc

ia

1214

1820222426

303234

024

86

10

16

28

363840

En base a esta información podemos afirmar:a) El número de desplazamientos más frecuente es 7.b) El valor central de esta distribución está entre 3 y 4 desplazamientos.c) El recorrido es 7.d) Los 18 menores desplazamientos los acumula un solo individuo.

12. El siguiente diagrama de barras corresponde a la distribución de la variable Y = «nú-mero de días trabajados por semana» observada en una muestra de 150 personas:

1 2 3 4 5

Y

0

10

20

30

40

Freq

uenc

y

Es cierto que:a) Hay más personas que trabajan 4 días que 1 día por semana.b) El número de días trabajados más frecuente es 2.c) Hay más de 20 personas que trabajan 4 días por semana.d) Hay 40 personas que trabajan 2 días por semana.

13. El siguiente histograma recoge la distribución de la variable X = «nota de acceso» de ungrupo de estudiantes:

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5 6 7 8 9

Nota_acceso

0

5

10

15

20

25

Freq

uenc

y

Es cierto que:a) El intervalo más frecuente es (6,5; 7].b) La frecuencia absoluta en (6; 6,5] es superior a la de (7; 7,5].c) La frecuencia absoluta acumulada en (6; 6,5] es superior a la acumulada en (7; 7,5].d) La frecuencia relativa en (7; 7,5] es inferior a la de (8; 8,5].

14. Indique a qué variable puede corresponder el siguiente polígono de frecuencias:

140 150 160 170 180 190 200

16

12

8

4

0

a) Temperatura mínima (en ◦C) registrada durante los días de verano en una determi-nada localidad.

b) Altura (en cm) de un grupo de alumnos.c) Evolución de las ventas de una compañía de seguros.d) Número de vehículos matriculados en las distintas comunidades españolas durante

el último mes.

15. El siguiente histograma recoge la distribución del «gasto mensual en ocio» que presen-tan los alumnos de primer curso:

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0

0 40 80 120 160 200 240

¿Qué porcentaje de estos alumnos tienen un gasto mensual entre 60 y 80€?a) 39 %b) 20 %c) 19 %d) 56 %

21


16. En una encuesta llevada a cabo en el transporte público de cierta localidad se ha ob-servado la variable X = «número de viajeros que ha bajado en la última parada» en untotal de 62 autobuses y se ha obtenido el siguiente histograma:

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

Freq

uenc

y

Es cierto que:a) De 10 a 15 autobuses llegaron con más de 20 viajeros a la última parada.b) En 20 de los autobuses observados bajaron entre 5 y 10 viajeros en la última parada.c) El intervalo más frecuente es de 10 a 15 autobuses.d) El número máximo de viajeros que ha bajado en la última parada es 22.

17. En una encuesta llevada a cabo en el transporte público de cierta localidad se ha obser-vado la variable X = «número de viajeros que ha subido en el origen» en un total de 62autobuses y se ha obtenido el siguiente histograma:

0 10 20 30 40

0

5

10

15

20

Freq

uenc

y

Es cierto que:a) La distribución de X presenta forma de campana.b) La distribución de X presenta máxima frecuencia en el intervalo 0-5 viajeros.c) En 10 de los autobuses observados subieron más de 30 viajeros.d) El número máximo de viajeros que han subido en la parada de origen es 40.

18. El histograma de la variable X = «tiempo empleado en los desplazamientos realizadosdurante el día de ayer» observada en un grupo de ciudadanos es:

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0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

20

25

De la representación gráfica podemos afirmar:a) Los valores centrales serán representativos.b) Esta distribución acumula más observaciones en los extremos que en el centro.c) Existen valores extremos o anómalos.d) La distribución es muy dispersa ya que en el centro hay muy pocas observaciones.

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