Introducción al Análisis de PROBABILIDAD

Mg. Oswaldo Quiroz Marín

Importancia de las Probabilidades

• Las probabilidades están presentes en nuestras vidas más a menudo de que podríamos sospechar. Todos tenemos una gran intuición probabilística.

• Por ejemplo, en días lluviosos, fríos y con mucha humedad es alta la probabilidad de coger un resfrío. Si ingerimos alimentos en lugares poco higiénicos, en ambulantes es muy probable que contraigamos una infección estomacal.

¿Cómo es la probabilidad de ganar el premio mayor en Tinka?. Muy baja, pues hay muchas alternativas en juego. Pero aún sabiendo esto, compramos uno que otro número. La decisión creo yo que es racional.

Si escuchamos una predicción de 80% que lluvia, y Ud. tiene planeado un paseo al campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo mas racional es que cancele su paseo y se quede en su casa viendo en video.

Conceptos básicos

(A) Experimento: Ejecución voluntaria de un fenómeno.Se caracteriza por:

a) Tener varios resultados posiblesb) Existir incertidumbre sobre el resultado

Ejemplos:Lanzar una monedaSeleccionar de un lote un frasco de medicamentosExtraer una muestra de sangre a una persona

(B) Espacio Muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se simboliza por (omega).

Ejemplos: Lanzar una moneda

= {cara, sello} Seleccionar de un lote, un frasco de medicamentos.

={adecuado, inadecuado}Extraer una muestra de sangre a una persona.

= {grupo sanguíneo}

Ejemplo 1:Se lanzan tres monedas simultáneamente. Los ochos resultados posibles de este experimento pueden detallarse de manera conveniente mediante un diagrama de árbol: Primera Segunda Tercera Resultado Moneda Moneda Moneda Posible

W ={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}

CCCCCSCSCCSSSCCSCSSSCSSS

CSCSCSCS

C

S

C

S

C

S

(C) Suceso: subconjunto del espacio muestral, seleccionado de acuerdo a una condición. Se representan por letras latinas mayúsculas.

Ejemplo 2:Se lanzan dos dados. El espacio muestral de este

experimento es: W= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

Podemos considerar los siguientes sucesos:A: la suma de puntajes es 7, es decir

A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

B: la suma de puntajes es 11, es decirB={(5,6) (6,5)}

C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decirC={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)}

Probabilidad

(A) Concepto: Ponderación asignada a cada punto muestral que mide la verosimilitud de su ocurrencia.

(B) Principios para asignar probabilidad:a) La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1b) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales deben ser iguales a 1.

0 0,5 1

Tan probablecomo improbable

Improbable Probable

1. Se lanza una moneda

W={cara, sello}P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5

Ejemplos:

2. Se lanzan 3 monedasW = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

1/8 1/8 1/8 1/8 /8 1/8 1/8 1/8

A: obtener exactamente 2 carasA = {CCS, CSC, SCC}

1/8 + 1/8 + 1/8P(A) = 3/8

(C) Conclusiones: De acuerdo a la definición de probabilidad de un suceso, y a los dos principios, tenemos las siguientes conclusiones:

(1º) P(W) = 1

(2º) P( ) = 0

(3º) P(A´) = 1 - P(A)

1. Un investigador trabaja con un nuevo fármaco para insensibilizar a los pacientes frente a picaduras de abejas. De 200 sujetos sometidos a prueba, 180 presentaron una disminución en la gravedad de los síntomas tras sufrir una picadura, después de ser sometidos al tratamiento.

2. Un paciente sufre de cálculos renales, y no se ha conseguido mejora alguna a partir de métodos ordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar a cabo una intervención quirúrgica y debe responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la operación sea un éxito?.

PROBABILIDADES - EJEMPLOS

PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO

... Quien emplea la estadística aplicada prefiere pensar en la probabilidad como el número de veces en las que se presentará determinada situación si una experiencia fuera repetida indefinidamente en situaciones de naturaleza repetitiva o que pudiera concebirse de esa manera ...

7.4 Reglas de probabilidad7.4.1 Regla de la Adición

(A B)

U

BA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P (A B)

U

Un cliente ingresa a una farmacia. La probabilidad de que compre (a) un antibiótico es 0,60 (b) analgésico 0,50, y c) antibiótico y analgésico es 0,30 ¿Cuál es la probabilidad de que compre un antibiótico, analgésico o ambos?.DatosP(P) = 0,60P(L) = 0,50P = 0,30(P L)

U

P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80

(P L)

U Ejemplo 3:

Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes

A B

Si :Por lo tanto :

(A B) =

U

P(A B) = 0

U Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes

Þ P(AUB) = P(A) + P(B)

Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as o un rey?

P(AUR) = P(A) + P(R)

= 4

52

= 8

52

4

52

52

4 =P(R)

52

4 =P(A)

Ejemplo 4:

Ejemplo 5: Se dispone de 11 historias clínicas, pertenecientes a pacientes masculinos y femeninos agrupados por su nivel de hemoglobina.

118

=P(A)

7.4.2 Probabilidad Condicional

M F  

Estado (Masculino) (Blanca) Total

A (Anémico) 5 3 8

N (Normal) 1 2 3

Total 6 5 11

Sexo

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una historia perteneciente a un paciente anémico?

b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una historia correspondiente a un paciente anémico y que sea mujer?

c) Dado que la historia corresponde a un paciente anémico, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?

113

=F)P(A

83

=AFP )(

Derivación de la fórmula:

118

113

=AFP )(

83

=AFP )(

P(A)B)P(F

=AFP )(

comprobando:

Ejemplo 6

Se recolectó información sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuación:

CONDICIÓN PESO R.N.TOTAL

DE FUMADORA BAJO NORMAL

SI 30 10 40

NO 20 140 160

TOTAL 50 150 200

A. ¿Cuál es la probabilidad que el recién nacido tenga bajo peso?

B. ¿Cuál es la probabilidad que una gestante fume?

C. ¿Cuál es la probabilidad que el niño seleccionado tenga un peso normal?

25,020050

)bajo(P

20,020040

)si(P

75,0200150

)normal(P

D. ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido tenga bajo peso o sea normal?Como son mutuamente excluyentes:

E. ¿Cuál es la probabilidad de que el recién nacido tenga bajo peso o la madre haya fumado durante el embarazo?

)normal(P)bajo(P)lbajoónorma(P

1200150

20050

)bajoysi(P)si(P)bajo(P)bajoósi(P

30,020060

20030

20040

20050

La probabilidad de que el personal administrativo que labora en una clínica local, llegue tarde el día lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegue retrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado que cierto trabajador llegó tarde el día lunes, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde el día siguiente?.

0,50 = )P(TL

0,20 = )TP(T ML )P(T

)TP(T = T

TPL

LM

L

M )(

0,40 = 0,50

0,20 =

Aplicación:

A partir de

A)(P

B)A(PA

BP )(

Se despeja

)( ABPA)(P)BA(P

7.4.3 Regla de la Multiplicación

Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que no están adecuadamente empacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.

49

3D

DP

50

4)D(P

)(1

2

1

2450

12

49

3

50

4 =

DDP)D(P)DD(P )(

1

2121

Aplicación:

EJEMPLO 7• La directora de la escuela de administración

en Miami recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio:

Área Hombre Mujer Total

Contabilidad 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Administración 150 120 270

Total 600 400 1000

5-30

EJEMPLO 7 continuación

• Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad? P(A y F) = 110 / 1000.

• Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de contabilidad? P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.

5-31

Diagrama de árbol• El diagrama de árbol es muy útil para

visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

• EJEMPLO 8: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.

5-32

EJEMPLO 8 continuación

R1

B1

R2

B2

R2

B2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

5-33

Teorema de Bayes

• El teorema de Bayes se representa con la fórmula:

)|(*)()|(*)()|(*)(

)|(2211

111

ABPAPABPAPABPAP

BAP

5-34

EJEMPLO 9

• La compañía Duff Beer ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas Springfield (A o B) llenó esta botella. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A?

5-35

EJEMPLO 9 continuación

• P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) + (.45)(.04)] = .4783.

% de producción

total

% de faltante en

botellas A 55 3

B 45 4

5-36