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Introducción a la Probabilidad Medida numérica de

certidumbre. Escala entre 0 y 1 Mecanismo para tomar

decisiones de eventos futuros.

1 2 3 4 5

Probabilidad de Ocurrencia

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

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Enfoques conceptuales

Enfoque clásico

Enfoque de frecuencias relativas

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Enfoque clásico

Este enfoque se basa en el supuesto de que cada resultado es igualmente probable.

Dado el enfoque es determinar valores de probabilidad antes de que sean observados cualesquiera eventos muestrales.

Ejemplo:

13

1

52

4

)(

)()(

SN

ANAP

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Enfoque de Frecuencias Relativas

Esta probabilidad se determina con base en la proporción de veces en las que ocurre un resultado favorable en cierto número de observaciones o experimentos.

También conocido como enfoque empírico.

n

n(A)AAP

muestra la de tamaño

de socurrencia de núm)(

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Expresión de la probabilidad La probabilidad de un evento se

expresa como “P”, así P(A) denota la probabilidad que ocurra A.

El menor valor de un enunciado de probabilidad es cero (0) y el mayo uno (1).

0<=P(A)<=1

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Expresión de la probabilidad Se expresa:

Probailidad de Ocurrencia = P(A) Probailidad de no ocurrencia = P(A’)

Por tanto: P(A) + P(A’) = 1

A’

A

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Variable Aleatoria

Es una descripción numérica del resultado de un experimento.

Se dividen en: Variable aleatoria discreta: cantidad

finita de valores. Ejemplo: Sexo de los clientes.

Variable aleatoria continua: cantidad infinita de valores: Ejemplo: Ingresos de los clientes.

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Ejemplos de Variables Aleatorias

Edad

Provincia en la que reside en cliente

Ingresos familiares

Educación

Porcentaje terminado de los manuales de riesgo

Cantidad de clientes que visitan el banco por día

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Distribuciones discretas de probabilidades

Probabilidad puntual Función uniforme de

probabilidades

nxf

1)(

variablelaasumir puede que valores

:

ndonde

f(x)

.40

.30

.20

.10

xCantidad de créditos colocados por día

0 1 2 3 4 5

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Distribución binomial

Distribución discreta de probabilidades sobre eventos binomiales

Propiedades de los eventos binomiales Consiste en una sucesión de n intentos idénticos Solo dos posibles resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es p, y de fracaso 1-p Independencia sobre los resultados

Los resultados acumulativos me arrojan probabilidades de obtener el resultado o menos.

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Aplicatividad

Permite extrapolar el comportamiento de variables aleatorias discretas (éxito o fracaso)

Ejemplo: Probabilidad de Default o no Default Determinar el número observaciones

necesarias para alcanzar los objetivos planteados.

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Ejercicio

El Banco de Crecimiento se dedica a financiar proyectos de inversión en proyectos inmobiliarios, según datos históricos el 70% de los proyectos financiados son exitosos. Bajo un nuevo producto estudian 100 clientes que han solicitado financiamiento.

Cuál es la probabilidad de que los 100 proyectos sean exitosos.

Cuál es la probabilidad de que los 100 fracasen. Determine cuantos proyectos serán exitosos con un

95% probabilidad. Según análisis financiero se requiere al menos 80

proyectos operando, cual es la probabilidad de alcanzar 80 o más proyectos exitosos.

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Función de Probabilidad binomial

fracaso de adprobabilid)1(

exito de adprobabilid

intentos de cantidad

intentosn en exitos de adprobabilid la)(

:

)1()!(!

!)( )(

p

p

n

xf

Donde

ppxnx

nxf xnx

Ejemplo Factorial de 4 = 4*3*2*1

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Distribución binomial en Excel

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Distribución binomial con Minitap Digite en C1 el

número de exitos posibles según n

Paso 1: Seleccione “Calc”

Paso 2: Seleccione “Probability distributions”

Paso 2: Seleccione “Binomial”

EjemploEjemplo

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Distribución de probabilidades de Poisson

Se utiliza para estimar la cantidad de sucesos u ocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio

Propiedades: La probabilidad de una

ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud

La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no en cualquier otro intervalo.

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Función de probabilidades de Poisson

2.71828

intervaloun en socurrencia de promedio de cantidad

intervaloun en socurrencia x de adprobabilid

e

xf

Dondexe

xfx

)(

:!

)(

2.71828

intervaloun en socurrencia de promedio de cantidad

intervaloun en socurrencia x de adprobabilid

e

xf

Dondexe

xfx

)(

:!

)(

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Aplicatividad

Determinar la probabilidad de ocurrencias en un determinado período de tiempo, especial para riesgo operativo.

Ejemplo: Probabilidad de incidentes con el

sistema informático por año. Llegadas de clientes a ventanilla por día Cualquier evento en intervalos de

tiempo.

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Ejercicio

Suponga que como parte de sus funciones como encargado de la unidad de riesgo se le ha solicitado determinar la probabilidad de ocurrencia de caídas en el sistema informático. Según datos históricos mensualmente ocurren 10 incidentes. La Administración desea conocer la probabilidad de reducir los incidentes a 2. Determine la probabilidad de lograrlo.

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Poisson con Excel Función: =Poisson(….)

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Poisson con Minitap

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Distribución Normal de Probabilidades

Distribución más utilizada Características

Cada distribución tiene su propia media y desviación estándar

Simétrica media=moda=mediana Media puede ser cualquier valor numérico.

-10 100 μ

σ=10

σ=5

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Función de densidad normal de probabilidad

71828.2

14159.3

:2

1)(

2

2)(

2

e

estándardesviación

promedio

donde

exfx

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Distribución Estandarizada de Probabilidades Media = Cero

Desviación estándar = 1

Se utiliza la letra z para identificarla

Facilita el proceso de análisis de datos al estandarizarlos bajo una misma densidad

estándardesviación

media

datox

Donde

xz

:

estándardesviación

media

datox

Donde

xz

:

Conversión a la distribución normal

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Distribución estandarizada

Área bajo la curvaÁrea bajo la curvaEs igual a 1Es igual a 1

0

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Distribución Normal con Excel Funciones:

=DISTR.NORM(...) =DISTR.NORM.ESTAND.INV(...) =NORMALIZACION()

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Ejemplo

Promedio= 36.500 Desviación=5.000 Calcule:

Probabilidad de que x sea mayor de 40.000

X menor en un 10% de los casos

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Modelo de regresión lineal simple

Permite establecer la relación que existe entre dos variables.

xy 10Variable DependienteVariable Dependiente

Constante BetaConstante Beta

SensibilidadSensibilidad

Variable IndependienteVariable Independiente

ErrorError

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Modelo de regresión Lineal simple

xy 10

E(y)

X

La pendiente B1 es positivaLa pendiente B1 es negativaLa pendiente B1 es cero

Bo

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Método de los cuadros mínimos

También llamado mínimos cuadrados Utilizado para determinar Bo y B1 que

minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados.

nxx

nyxyxb

ii

iiii

221

nxx

nyxyxb

ii

iiii

221 xbybo 1 xbybo 1

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Análisis de datos Mínimos cuadrados Suma de cuadrados debido al error

(SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión.

Suma de cuadrados debido a la regresión (SSR):

Cuadrado promedio del error (MSE)

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SSE

Suma de cuadrados debido al error (SSE): determina el cuadrado de los errores entre el dato y la estimación con la línea de regresión.E(y)

X

Σ2 2

2

2

2

222

2

2

2

2

Según datos utilizados

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SST

Suma total de cuadrados: suma de los cuadrados de los errores entre la observación dependiente y el promedio de la variable dependiente.

E(y)

X

Σ2 2

2

2

2

222

2

2

2

2

Según datos utilizados

Media de y

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SSR

SSR= SST-SSE

E(y)

X

Media de y

SSESST

SSR

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SST / SSR / SSE

Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.

SSE = 0 ajuste perfecto Relación por tanto entre SSR y SST

sería unitaria.

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SST / SSR / SSE

Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.

SSE = 0 ajuste perfecto

Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria.

E(y)

X

SSESST

SSTSSR

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Coeficiente de determinación R2

Permite establecer numéricamente el ajuste entre las variables

R2 cercano a cero significa que “y” no se explica a partir del compramiento de “x”

R2 cercanos o iguales a 1 que y se explica por el comportamiento de “x”

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Coeficiente de determinación R2

Estimadores que permiten determinar la bondad del ajuste para la ecuación de regresión.

SSE = 0 ajuste perfecto

Relación por tanto entre SSR y SST sería unitaria.

E(y)

X

SSE

SST

SSTSSR

SSTSSR

SSTTendiente a cero

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Análisis de datos mínimos cuadrados

Regression Analysis: Ingresos Mensuales versus Población

The regression equation isIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población

Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000

S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730

Regression Analysis: Ingresos Mensuales versus Población

The regression equation isIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población

Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000

S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730

S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%S = 13.8293 R-Sq = 90.3% R-Sq(adj) = 89.1%

Ingresos Mensuales = 60.0 + 5.00 PoblaciónIngresos Mensuales = 60.0 + 5.00 Población

Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730

Source DF SS MS F PRegression 1 14200 14200 74.25 0.000Residual Error 8 1530 191Total 9 15730

Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000

Predictor Coef SE Coef T PConstant 60.000 9.226 6.50 0.000Población 5.0000 0.5803 8.62 0.000

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Ejercicio

Según datos contenidos en el “Regresión linea 2.mtw” evalúe la información y responda las siguientes preguntas: ¿Existe relación entre las variables? ¿Cual es la línea de regresión? ¿Qué tipo de asociación existe o positiva,

negativa? ¿Cual es el factor de sensibilidad de la

variable independiente sobre la variable dependiente?

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Ejercicio

Regression Analysis: Morosidad versus Tasa de Desempleo Abierto

The regression equation isMorosidad = - 1013292 + 220312 Tasa de Desempleo Abierto

Predictor Coef SE Coef T PConstant -1013292 129493 -7.83 0.000Tasa de Desempleo Abierto 220312 24524 8.98 0.000

S = 12157.7 R-Sq = 89.0% R-Sq(adj) = 87.9%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 11928828666 11928828666 80.70 0.000Residual Error 10 1478096331 147809633Total 11 13406924998

Regression Analysis: Morosidad versus Tasa de Desempleo Abierto

The regression equation isMorosidad = - 1013292 + 220312 Tasa de Desempleo Abierto

Predictor Coef SE Coef T PConstant -1013292 129493 -7.83 0.000Tasa de Desempleo Abierto 220312 24524 8.98 0.000

S = 12157.7 R-Sq = 89.0% R-Sq(adj) = 87.9%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 11928828666 11928828666 80.70 0.000Residual Error 10 1478096331 147809633Total 11 13406924998

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Uso de la Regresión

La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico

Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto

Establecimiento de supuestos entorno al modelo

De ser posible fundamentación teórica

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Uso de la Regresión

La relación está basada exclusivamente en los datos analizados. Gráfico

Debe existir juicio del analista para determinar efecto de causa y efecto

Establecimiento de supuestos entorno al modelo

De ser posible fundamentación teórica

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Uso de la Regresión

Uso de un intervalo de confianza para determinar la probabilidad de que la variable dependiente se comporte según la variable independiente.

Predicted Values for New Observations

NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 198422 6471 (184004, 212839) (167735, 229109)

Predicted Values for New Observations

NewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 198422 6471 (184004, 212839) (167735, 229109)

Intervalo media de las observacionesIntervalo puntual