Estadística es la rama de las Matemáticas que estudia los métodoscientíficos para recoger, resumir y organizar datos y obtenerconclusiones y tomar decisiones a partir del análisis de esos datos.

Población es el conjunto de elementos u objetos sobre los que serealiza un estudio estadístico.

Individuo es cada uno de los elementos de la población.

Muestra es un subconjunto de la población.

Tamaño de la muestra es el número de individuos que la forman.

Población(N individuos)

Muestra(n individuos)

Las muestras son útiles si: La población es excesivamente numerosa.

La población es muy difícil o imposible de controlar.

El proceso de medición es destructivo.

Se desea conocer rápidamente ciertos datos de la población y se tardaríademasiado en consultar a todos.

Características de una muestra representativa: La elección de los individuos debe ser aleatoria.

Debe ser similar a la población.

Debe ser suficiente.

Ejemplo:

Se desea estudiar las actividades que realizan preferentemente losadolescentes burgaleses en su tiempo libre. Para ello se realiza unaencuesta a 1000 alumnos de los distintos centros de EducaciónSecundaria de la provincia.

Población: Los adolecentes burgaleses. Muestra: Los alumnos encuestados en los centros de Educación

Secundaria. Tamaño de la muestra: n=1000.

Carácter estadístico es una propiedad objeto de estudio en unapoblación.

Tipos:

Cualitativo: si el carácter estadístico no se puede expresar o medir con unnúmero.

Cuantitativo: si el carácter estadístico se puede expresar o medirnuméricamente.

Ejemplo: Se desea estudiar cuántos televisores hay en cada hogar español.Se realiza una encuesta a 500 personas de cada capital deprovincia. Carácter estadístico: Número de televisores por hogar.

Ejemplo: Se desea estudiar el deporte o la actividad física practicados porlos jubilados de una ciudad. Carácter estadístico cualitativo: deporte o actividad física

practicados. (Respuestas posibles: Caminar, Golf, Ciclismo, …)

Ejemplo: Se desea estudiar cuántas veces al año van al médico losespañoles. Carácter estadístico cuantitativo: número de veces que va al

médico cada español. (Resultados posibles: 0 veces, 1 vez, 2veces, 3 veces, 4 veces, …)

Modalidad es cada una de las respuestas posibles en el estudio de uncarácter estadístico cualitativo.

Ejemplo: Se considera el carácter estadístico cualitativo Destino de lasúltimas vacaciones. Modalidades posibles: Propia localidad, otra provincia de

España, otro país europeo, otro país del resto del mundo.

Variable estadística es el conjunto de valores que puede tomar uncarácter estadístico cuantitativo.

0, 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Se desea estudiar cuántos libros leen al año los niños españolesentre 6 y 16 años. Carácter estadístico cuantitativo: Número de libros leídos al

año. Variable estadística:

Tipos:

Discreta: si la variable solo puede tomar valores aislados.

Continua: si la variable puede tomar cualquier valor intermedio entreotros dos.

Ejemplo: Se desea estudiar cuántas asignaturas suspenden los alumnos deun instituto en una evaluación. Carácter estadístico cuantitativo: Número de asignaturas

suspensas. Variable estadística discreta: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (No

suspenden asignatura y media o tres cuartos de asignatura…)

Ejemplo: Se desea estudiar cuánto miden los alumnos de una facultad decierta universidad. Carácter estadístico cuantitativo: Estatura de los alumnos. Variable estadística continua: [90, 250] (cm) (Entre un alumno

que mide 170 cm y otro que mide 171 cm puede haber otroque mida 170,4 cm ; entre un alumno que mide 170,4 cm yotro que mide 170,5 cm puede haber otro que mida 170,45cm…)

Estadística Descriptiva es la rama de la Estadística que trata dedescribir y analizar algunos caracteres de los individuos de ungrupo dado.

Estadística Inferencial es la rama de la Estadística que pretendeextraer conclusiones sobre el comportamiento de una población apartir del estudio de una muestra de dicha población.

Frecuencia absoluta fi de una modalidad o valor xi de la variableestadística es el número de veces que aparece dicha modalidad ovalor.

Se cumple:

donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácterestadístico

n = tamaño de la muestra.

Es decir:

1 2 3 1... k kf f f f f n

1

k

ii

f n

1

1k

ii

h

1 21 2 ... ... 1k

k

f f f nh h h

n n n n

Frecuencia relativa o proporción hi de una modalidad o valor xi dela variable estadística es el cociente que resulta al dividir sufrecuencia absoluta entre el número total de individuos de lamuestra.

Se cumple:

donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácterestadístico

n = tamaño de la muestra

Es decir:

Es decir:i

i

fh

n ( 0 hi 1)

1

100k

ii

p

100 100ii i

fp h

n

Frecuencia porcentual o porcentaje pi de una modalidad o valor xide la variable estadística es el tanto por ciento que representa estamodalidad o valor respecto del total de la muestra.

Se cumple:

donde k = número de modalidades o valores distintos que toma el carácterestadístico

n = tamaño de la muestra

Es decir:

1 1... 100 ... 100 1 100k kp p h h

Es decir: ( 0 pi 100)

Para variables discretas:

Ejemplo: Se pregunta a los 20 alumnos de una clase cuántos hermanostienen (sin incluirse ellos mismos). Las repuestas obtenidas son:1, 1, 6, 0, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2

Construimos la correspondiente tabla de frecuencias:

Nºhermanosxi

fi hi pi

0 5 5/20=0,25 25%

1 10 10/20=0,5 50%

2 3 3/20=0,15 15%

3 1 1/20=0,05 5%

6 1 1/20=0,05 5%

Suma 20 1 100%

Para variables continuas:

Ejemplo: Se pregunta a los 20 alumnos de una clase cuánto miden. Lasrepuestas obtenidas son:158, 162, 165, 178, 151, 169, 173, 172, 185, 158, 160, 157,168, 170, 165, 171, 152, 169, 161, 167 (cm)Construimos la correspondiente tabla de frecuencias:

Estatura(cm)

Marca de clasexi

fi hi pi

[150, 160) 155 5 5/20=0,25 25%

[160, 170) 165 9 9/20=0,45 45%

[170, 180) 175 5 5/20=0,25 25%

[180, 190] 185 1 1/20=0,05 5%

Suma 20 1100%

Si las variables son continuas, o discretas con muchos valoresdistintos, los datos se agrupan en clases o intervalos.

Cada intervalo se representa con su valor medio llamado marca declase.

Se dibuja un rectángulo para cada modalidad del carácterestadístico cualitativo o valor de la variable estadística discreta, conla longitud o altura proporcional a la frecuencia.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 6

Nº

de

alu

mn

os

(fi)

Nº de hermanos/alumno

Nº de hermanos de cada alumno de un grupo de 20 alumnos

Es análogo al diagrama de barras pero para una variableestadística continua.

0

2

4

6

8

10

Nº

de

alu

mn

os

(fi)

Estatura (cm)

Estatura de los 20 alumnos de un grupo

180150 170160 190

Se obtienen uniendo los puntos medios de las barras mediante unalínea quebrada. Son muy utilizados los que representan lasfrecuencias acumuladas en el estudio del crecimiento de ciertosfenómenos.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1750 1800 1850 1900 1950 1970 2000Mil

lon

es

de

ha

bit

an

tes

Años

Evolución de la población mundial

Se divide un círculo en sectores circulares de amplitud proporcionala la frecuencia o porcentaje de la modalidad o valor de la variableestadística correspondiente.

Amplitud de 360i ix h

Antigua URSS, 19.7%

Europa Occidental,

6.2%

Iberoamérica, 11.3%

Norteamérica, 16.6%

Asia y Oceanía, 10.6%

África, 9.3%

Oriente Medio, 26.3%

Producción mundial de petróleo en 1991

1 1 2 2 ... k kx f x f x fx

n

Media aritmética simple ( ) de una variable estadística es elcociente que resulta al dividir la suma de todos los valores por elnúmero total de éstos.

1

k

i ii

x f

xn

Es decir:

(Si la variable estadística es continua, se toma como valor de lavariable la marca de la clase.)

x

Ejemplo: Las notas de ocho alumnos en el último examen deMatemáticas fueron: 5, 2, 7, 4, 8, 9, 8, 6.

La media aritmética es:

5 2 7 4 8 9 8 6

8

5 2 7 4 8 2 9 6 496,125

8 8

x

(Si todos los alumnos hubieran sacado la misma nota,cada uno habría obtenido un 6,125 para que la suma de lasnotas de todos ellos fuera la misma.)

1 1 2 2

1 2

...

...k k

k

x p x p x px

p p p

Media aritmética ponderada de una variable estadística es elcociente que resulta al dividir la suma de los productos de cada datopor su peso entre el número total de datos multiplicados por sus pesoscorrespondientes.

1

1

k

i ii

k

ii

x p

x

p

Es decir:

Ejemplo: El peso del examen en la nota de la evaluación de Matemáticases de un 75% y el de las notas de clase un 25%. María tiene 4puntos en el examen y 8 en las notas de clase.

La media aritmética es:

4 75 8 25 300 200 5005

100 100 100x

Moda (Mo) de una variable estadística es el valor de la variable quemás se repite (el de mayor frecuencia absoluta).

Si son dos los valores que más se repiten, la distribución se llamabimodal, si son tres, trimodal…

(Si la variable estadística es continua, la clase que más se repite sellama clase modal, y puede tomarse como moda la marca de clase de laclase modal. )

Ejemplo: Las notas de ocho alumnos en el último examen deMatemáticas fueron: 5, 2, 7, 4, 8, 9, 8, 6.

La moda aritmética es:

8Mo

Experimento aleatorio es aquel en el que es imposible predecirel resultado concreto, aunque se pueden conocer previamentetodos sus posibles resultados.

Ejemplo: Al lanzar un dado al aire se sabe que los resultados posiblesson los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6 pero no es posible predecircuál va a ser el resultado concreto del lanzamiento.

Experimento determinista es aquel en el que es posible predecirel resultado antes de realizarlo.

Ejemplo: Podemos predecir que una persona que camina con unavelocidad de 4 km/h tardará 30 minutos en recorrer unadistancia de 2 km..

Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto detodos sus posibles resultados. Se representa por E.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Espacio muestral: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso aleatorio es cualquier conjunto de resultados posibles de unexperimento aleatorio.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso aleatorio: S=“Salir un número par”={2, 4, 6}

Tipos:

Suceso elemental: es el formado por un solo elemento del espaciomuestral.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso elemental: “Salir 5”={5}

Suceso compuesto: es el formado por un varios elementos del espaciomuestral.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso compuesto: “Salir número par”={2, 4, 6}

Suceso seguro: es el que siempre ocurre. (Coincide con el espaciomuestral.)

Suceso imposible: es el que no ocurre nunca. Se representa por .

Sucesos incompatibles: son aquéllos que no pueden ocurrir a la vez.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso seguro: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

E 1 2

5

3

46

E

1

5

3S 2

4 6

S

E E

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso : S=“Salir número par”={2, 4, 6} Suceso contrario: S={1, 3, 5}Se cumple:

Suceso contrario o complementario de S: es el que ocurre cuando noocurre S. Se representa S’, S o SC.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Suceso imposible: “Salir número distinto de 1, 2, 3, 4, 5 o 6”=

Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Sucesos incompatibles: A={1, 2} y B={5, 6}

Probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica lafacilidad con que puede ocurrir.

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado. Probabilidad de un suceso elemental: Todos los resultados

tienen la misma probabilidad de salir. (Si se repite ellanzamiento del dado un número muy grande de veces, esde esperar que, aproximadamente, la sexta parte de lasveces salga 1, otra sexta parte salga 2, etc.)

Ejemplo: Lanzamiento de un dado trucado (con cuatro caras marcadascon el 1, una con el 2 y otra con el 3). Probabilidad de un suceso elemental: La probabilidad de

que salga 1 al lanzar el dado es mayor que la de que salga 2o 3.

Sucesos equiprobables son aquéllos que tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.P(1)=P(2)=…=P(6) Sucesos equiprobables: Los sucesos elementales {1}, {2}, …, {6}.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.E={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ Cardinal de E=6P(1)=P(2)=…=P(6) Probabilidad del suceso “Sacar 4”= {4}:

1(4)

6P

Probabilidad de un suceso elemental xi de un experimentoaleatorio cuyos sucesos elementales son equiprobables:

(donde n es el cardinal de E) 1

iP xn

Casos favorables a

Casos posibles

SP S

Ley de Laplace: La probabilidad de un suceso S del espacio desucesos de un experimento aleatorio cuyos sucesos elementales sonequiprobables es el cociente entre el número de casos favorables alsuceso y el número de casos posibles.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado no trucado.E={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ Cardinal de E=Casos posibles=6A=“Sacar número par”={2, 4, 6} ⇒ Cardinal de A=Casos

favorables=3 Probabilidad del suceso A:

3(4) 0,5

6P