prácticas de teoría de la probabilidad iii

8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALES

ESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALES

DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIA

PRCTICAS DE TEORA DE LA PROBABILIDAD III

PROF. TWIGGY L. GUERRERO M.

AO 2002


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18.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin exponencial de parmetros . Demuestre que las variables aleatorias

212211 /; XXYXXY =+= son independientes.

19.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin chicuadrado con ni grados de libertad, para i = 1, 2. Demuestre que las variables aleatorias

212211 /; XXYXXY =+= son independientes.

20.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, donde cada Xi tiene una distribucin uniforme en el intervalo (0,1) yson independientes, para i = 1, 2. Demuestre que las variables aleatorias

2X2sen

1Xln2

2Y;

2X2cos

1Xln2

1Y == son independientes y con distribucin N(0,1).

21.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:

( ) ( ) 2x1,0I1x1,0I2x1x42x,1xXf = . Halle la funcin de densidad de222

211 ; XYXY == .

22.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( ) ( )( )( )( )2x1,1I1x1,1I41

2x,

1x

Xf = .

Halle la funcin de densidad de 222211 ; XYXY == .

23.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( )

+

=l.o.t,0

122

x21

x;1

2x,

1x

Xf .

Halle la funcin de densidad de ( )12222

211 /; XXarctgYXXY =+= .

24.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( )

=l.o.t,0

A;k

2x,

1x

Xf , donde A es el

tringulo de vrtices (1,0), (-1,0), (0,1). Halle la funcin de densidad conjunta de

212211 ; XXYXXY =+= .

25.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( )

=l.o.t,0

A;k

2x,

1x

Xf , donde A es

el tringulo de vrtices (0,0), (1,0), (0,3). Halle la funcin de densidad conjunta de

212211 ; XXYXXY =+= .

26.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( ) ( ) 2x1,0I1x1,0I2x,1xXf = . Halle la

funcin de densidad de:a.- 212211 ; XXYXXY =+= . b.- 212211 ; XXYXXY =+= .


( )

>>


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28.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin exponencial de parmetro , para i = 1, 2. Halle la funcin de densidad de la variable aleatoria

21

1

XX

XY

+= .

29.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin normal N(i,

2) para i = 1, 2. Demuestre que la variable aleatoria 21 XXY += tiene una

distribucin normal N(1 + 2, 22).

30.- Sea X = (X1, X2, X3) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:

( ) ( )( )( )( )( )( )3x,0I2x,0I1x,0I3

x2

x1

xe

3x,

2x,

1x

Xf +++

++=

Halle la funcin de densidad conjunta de: 3213321

212

21

11 ,, XXXY

XXX

XXY

XX

XY ++=

++

+=

+

= .

Son Y1, Y2, Y3 independientes?

31.-Sea X = (X1, X2, ...,Xn) un vector aleatorio con funcin de distribucin FX. Sean Mn y Nn las variablesaleatorias definidas por: { }nn XXXmxM ,...,, 21= y { }nn XXXmnN ,...,, 21= . Demuestre que:

a.- ( ) ( )yyyFyF XMn ,...,,= . b.- ( ) ( )yXyXyXPyF nNn >>>= ,...,,1 21

32.-Obtenga las funciones de distribucin para las variables Mn y Nn definidas anteriormente, para el caso enque las v. a. X1, X2, ..., Xn sean independientes.

33.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( ) ( )( ) ( )( )21,011,021, xIxIxxfX = .

Obtenga la distribucin del vector aleatorio definido por:

( )

( )


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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.

PRCTICA N 2

1.- Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:

( )

>>

=

t.o.l;0

02

x,01

x;2x

1x

e2

x,1

xxf

Demuestre que: E(X1X2) = E(X1) E(X2).

2.- Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:

( )


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X1/X2 -1 0 1

-1 h h h

0 h 0 h

1 h h h

a.- Son X1 y X2 incorrelacionadas? b.- Son independientes?

7.- Sean A y B sucesos asociados a un cierto espacio probabilizado, tales que P(A) > 0 y P(B) > 0. Sean lasvariables aleatorias X1 = IA, X2 = IB. Demuestre que si = 0 entonces X1 y X2 son independientes.

8.- Sean los sucesos A y B tales que P(A) =0.25, P(B/A) =0.50 y P(A/B) = 0.75. Sean las variables aleatorias

definida por: X1 = IA, X2 = IB. Halle m10, m01,21 ,

22 , . Son independientes?

9.- Se lanzan en forma independiente dos monedas con caras numeradas 1 y 2. Sean las variables aleatorias

definida por X1: suma de los nmeros y X2: mximo de los nmeros obtenidos. Halle .

10.-Considere una muestra aleatoria de tamao 2 extrada con reemplazamiento (sin reemplazamiento) de unacaja que contiene 4 fichas numeradas del 1 al 4. Sea X1 el menor de los nmeros (o el nmero comn encaso de que coincidan) y X2 el mximo de los nmeros (o el nmero comn en caso de que coincidan).Halle .

11.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa dada por:

( )

==

+=

t.o.l;0

0,1x;0,1,2,3x;32

xx

x,xP 21

22

21

21x

Halle Cov(X1, X2). Halle .

12.-Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes. Sean las variables Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Bajo qucondiciones son Y1 y Y2 incorrelacionadas?

13.-Sean X1 y X2 variables aleatorias no correlacionadas con varianzas 21 y22 respectivamente. Sean las

variables Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Halle .

14.-Sean X1, X2 y X3 variables aleatorias no correlacionadas con varianzas iguales. Sean las variables aleatoriasY1 = X1 + X2, Y2 = X1 + X3. Halle

31XYr ,

32XYr y

21YYr .

15.-Sean X1 y X2 los resultados del lanzamiento de dos dados correctos. Sean las variables aleatorias:Y1 = X1 - X2, Y2 = X1 + X2.a.- Halle Cov(Y1, Y2).b.- Calcule P(Y2 = 4), P(Y2 = 4 /Y1 = 3).

c.- Son Y1 y Y2 incorrelacionadas?d.- Son independientes?

16.-Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes tales que E(Xi) = 0 y adems Var(Xi) =2 (i =1,2). Sean

las variables Y1 = a1X1 + a2X2, Y2 = b1X1 + b2X2. Qu relacin deben verificar a1, a2, b1 y b2 para que elcoeficiente de correlacin entre Y1 y Y2 sea 0, 1 y 1?

17.-Demuestre que si X1i es una variable aleatoria con funcin de densidad par (simtrica respecto de cero),

entonces X1 y X2 = 21X son incorrelacionadas.


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18.-Sea X1i una variable aleatoria con distribucin uniforme en el intervalo (-1, 1). Halle21XX

r s a) 212 XX = y

b) 312 XX = .

19.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio discreto con funcin de masa positiva en los puntos de interseccin delas curvas: 221 XX = y 21 KXX = (K = 1, 2, ...). No hay masa en el origen. La masa de probabilidad de hay en

cada punto (x1, x2) es inversamente proporcional a 22x , donde x2 es la ordenada del punto. Halle

21XXr .

20.-Demuestre que:

a.-( )XE1

X

1E

. b.- ( ) ( )

2XE1XE +

c.- [ ][ ] ( )21212 XXEX/XEXE = .

21.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa definida por:

( )=

t.o.l;0(2,0)(1,1);(0,0);en;/31x,xP 21x

Demuestre que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = . Halle . Son X1 y X2 independientes?

22.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa dada por:

X1/X2 -1 0 1 2

-2 h 2h 3h h

-1 3h h 4h 2h

0 h 4h h 2h

1 h 2h h hHalle y demuestre que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .


( )


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b.- Halle las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.

33.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:

( ) 2,1i;ix;2

2x2

2x

1x22

1x

2

1

e21

2x,

1x

xf =+


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b.- ( ) ( )[ ]122 X/XvarEXvar = si X1 y X2 son independientes.

40.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa definida por:

X1/X

20 1 2

0 h h h

1 h 0 2h

2 2h h 6ha.- Son X1 y X2 v.a. incorrelacionadas?b.- Son independientes?c.- Verifique que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .d.- Obtenga la funcin generatriz de momentos.e.- Obtenga las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.

f.- Determine el valor de ( ) 1X/X2XE 2221 =+ y de ( ) 2X/XX3XE 14

13

21=+ .

g.- Determine el coeficiente de correlacin entre las variables X2 y ( )[ ]122

X/6X5XE 2 ++ .h.- Calcule el valor de ( ){ }223 X/XXEvar 1 + .

41.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:

( )

=t.o.l;0

Ane;kx,xf 21x

donde A es el tringulo de vrtices (1, 0), (-1, 0) y (0, 1).a.- Halle K.b.- Halle la densidad de Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Halle .c.- Verifique que Cov(Y1, Y2) = Var(X1) - Var(X2).d.- A qu se debe tal resultado?e.- Son X1 y X2 v.a. incorrelacionadas?f.- Son independientes?g.- Verifique que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .h.- Obtenga la funcin generatriz de momentos del vector aleatorio.i.- Obtenga las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.

j.- Determine el valor de ( )[ ]5.0X/XX2E 2211 =+ y de ( )[ ]5.0X/XX3XE 12131 =+ .k.- Determine el coeficiente de correlacin entre las variables X2 y ( ) 122 X/6X5XE 2 ++ .l.- Calcule el valor de ( )[ ]{ }223 X/XXEvar 1 + .


( )( )( ) ( )

=t.o.l;0

Dx,xne;2x1xkx,xf

212121x

donde D la regin mostrada en la siguiente figura:

D 4

- 4

- 4

4


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a.- Obtenga [ ]21 X/XE .b.- Halle las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.c.- Halle la funcin generatriz de momentos del vector aleatorio.

43.-Si X = (X1, X2) es un vector aleatorio mixto, X1 discreto y X2 continuo, se define la esperanza de la v.ag(X1, X2) como:

( )[ ] ( ) ( )

+

=1x

221X2121 dxx,xMx,xgX,XgE

siendo MX(x1, x2) la ley de probabilidades del vector X. En virtud de la definicin anterior, obtenga: a) lafuncin generatriz de momentos del vector aleatorio, el coeficiente de correlacin entre X1 y X2 y lascurvas de regresin y las rectas de regresin mnimo, para el vector mixto cuya ley de probabilidades es:

( )( )

=>+

=

t.o.l;0

,...2,1,01

X,02

xne;

!1x

1e1

x

2x

2

x,

1

x

x

M

44.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, tal que [ ]3,01 UX y X2 se distribuye uniformemente en el intervalo[0,X1]. Calcule el coeficiente de correlacin entre las variables X1 y X2 y el coeficiente de correlacin entrelas variables X1 y [ ]12 / XXE .

45.-Si [ ] 2X2

3X/YE = y [ ] 3Y

5

3Y/XE = , obtenga:

a.- El coeficiente de correlacin entre X y Y. b.- X y Y.

46.-Demuestre que 2 = 1 P[X2 = AX1 + B] = 1, para algunas constantes A y B.

47.-Sean X1, X2 variables aleatorias con coeficiente de correlacin . Demuestre que: [ ] ( )= 12YYvar 21 ,

siendo 2,1i;X

Yi

iii =

= .

48.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, g y h funciones medibles, a, b, c constantes; demuestre que:a.- [ ] cX/cE 2 = .b.- ( )[ ] [ ] bX/XaEX/baXE 2121 +=+ .

c.- ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2121211 X/XhbEX/XgaEX/XbhXagE +=+ .

49.-Demuestre las siguientes igualdades:a.- ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]Y/XhEYgY/XhYgE = .

b.- Si X e Y son v.a. independientes entonces ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]XhEYgY/XhYgE = .

c.- ( )[ ] [ ] YY/XEY/YXE +=+ .d.- ( )[ ] [ ]Y/XVarY/YXVar =+ .e.- Si X e Y son v.a. independientes entonces ( )[ ] [ ]XVarY/YXVar =+ .

f.- ( )[ ][ ] ( )[ ]XgEY/XgEE = .g.- ( ) ( )[ ] ( )[ ]Y/XEVarY/XVarEXVar += .


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PRCTICA N 3

1.- Sean Xmxn, Ymxn matrices aleatorias, y Apxm, Bnxp matrices constantes; pruebe que:a.- E(X + Y) = E(X) + E(Y).b.- E(AX) = AE(X).

c.- E(XB) = E(X)B.d.- E(AXB) = AE(X)B

2.- Pruebe que si Y N(0, In) entonces las variables Yj, j = 1, ..., n son normales, N(0,1), e independientes.

3.- Demuestre que s X N(, V) entonces: a) E(X) = . b)Var(X) = V.

4.- Demuestre que si Xi y Xj son variables aleatorias con distribucin conjunta normal bivariante, entonces unacondicin necesaria y suficiente para que sean independientes es que ij = 0, i j

5.- Deduzca la funcin generatriz de momentos de un vector normal multivariante de parmetros y V.

6.- Sea X N(, V), si Amxn es una matriz de rango m n y bmx1 un vector columna, pruebe que Y = AX + b sedistribuye normal multivariante de parmetros (A + b, AVAt).

7.- Establezca la manera de obtener y v a partir de la forma cuadrtica Q asociada a un vector normalmultivariante.

8.- Sean Xi y Xj dos variables aleatorias de un vector normal multivariante X. Demuestre que la curva deregresin de Xi sobre Xj coincide con la recta de regresin mnimo cuadrtica de Xi sobre Xj.

9.- Basndose en la definicin de coeficiente de correlacin mltiple, obtenga una expresin para su clculo.

10.-Demuestre que si Xt = (X1, X2) es un vector normal bivariante, su funcin de densidad puede ser escritacomo:

( ) 2Q

e

2121

2

12

X,1

Xf

=

siendo ( )i2i Xvar= , es el coeficiente de correlacin lineal entre X1 y X2,

( )( )

+

=

2

2

22

21

22112

1

112

21

1

XXXXQ

donde i = E(Xi), i = 1, 2. Pruebe adems que: ( )

++++

=2

t1t

2122

2t2

221t2

12

12

t21

t1

e2

t,1t

X

11.-Sea Xt = (X1, X2, ..., Xn) un vector aleatorio. Pruebe que X sigue una distribucin normal multivariante si yslo si nn2211 Xt...XtXt +++ tiene distribucin normal para cualquier vector t

t = (t1, t2, ..., tn). Sugerencia:ver Pg. 235. Rohatgi.


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12.-Sea Xt = (X1, X2) un vector aleatorio normal bivariante, con vector de medias el vector nulo. Sean:+= senXcosXW 21 y = senXcosXZ 21 . Determine para que W y Z sean independientes.

13.-Sea Xt = (X1, X2) un vector aleatorio normal bivariante de parmetros y V. Obtenga una condicinnecesaria y suficiente para que 21 XX + y 21 XX sean independientes.

14.-Sea X un vector aleatorio normal multivariante de parmetros y V. Sean Y = c t X y Z = dt X , variablesaleatorias con ct = (c1, c2, ..., cn) y d

t = (d1, d2, ..., dn) vectores reales. Pruebe que Y e Z son independientes sy slo si ct V d = 0.

15.-Dada la forma cuadrtica:

4241312124

23

22

21 XXXXXX2XX4XXX3X6Q +++++++=

asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.

b.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector Xc.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del subvector (X1, X4)t

d.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:

d.1.

4

2

3

1 /X

X

X

X. d.2.

1

3

2

4 /X

X

X

X. d.3.

4

3

2

1 /X

X

X

X

e.- los coeficientes de regresin de:e.1. X1 sobre X3 y de X1 sobre X4e.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2e.3. X4 sobre X3 y de X2 sobre X1

f.- los coeficientes de correlacin parcial:f.1. ( )2.12 Xr f.2. ( )4.12 X

r f.3. ( )6.12 Xr

g.- los coeficientes de correlacin mltiple:g.1. ( )21 x

R

g.2. ( )22 xR

g.3. ( )41 xR

g.4. ( )42 xR

g.5. ( )61 xR

g.6. ( )62 xR

h.- los coeficientes de correlacin entre:

h.1. X1 y X4 h.2. 2X1 +X3 y 4X4


( )6X4XX6XX2XX2X3X4X2

1Q 3323121

23

22

21 ++++=

asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:

a.- y V.b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:

b.1. ( )23

1 / XX

X

b.2.( )

1

32 /

X

XX b.3. ( )3

2

1 / XX

X

c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1

d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X

r d.3. ( )6.12 Xr

e.- los coeficientes de correlacin mltiple:


16/33

e.1. ( )21 xR

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR

f.- los coeficientes de correlacin entre:

f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


( )14X12X16X14XX6XX8XX6X5X3X53

1Q 231323121

23

22

21 ++++++=

asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:

b.1. ( )23

1 / XX

X

b.2.( )

1

32 /

X

XX b.3. ( )3

2

1 / XX

X

c.- los coeficientes de regresin de:

c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1


r d.3. ( )6.12 Xr

e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x

R

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4g.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:

Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 XX2XY += , 3212 XXX2Y ++= y 3213 XX3XY += .

18.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:

+

+

=

1

0

1

+++

++

++

=

110

121

012

V

Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:

a.1. ( )23

1 / XX

X

a.2.( )

1

32 /

X

XX a.3.( )

3

12 /

X

XX

b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2), siendo: 3211 23 XXXY += y 312 XXY = .



r d.3. ( )6.12 Xr

e.-

los coeficientes de correlacin mltiple:


17/33

e.1. ( )21 xR

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


=

4

3

2

1

=

4112

1301

1010

2102

V

Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los

vectores:a.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xa.2.

1

3

2

4 /X

X

X

Xa.3.( )

3

12 /

X

XX

b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 23 XXXY += , 312 XXY = y 243 XXY = .



r d.3. ( )6.12 Xr


R

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


++

+

=

30

1

6

=

10200503

2050

0302

V


a.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xa.2.

1

3

2

4 /X

X

X

Xa.3.( )

3

12 /

X

XX


c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4

c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2


18/33

c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1d.- los coeficientes de correlacin parcial:

d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr

e.-

los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 xR

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


=

1

0

2

1

=

4120

1301

2020

0101

V


a.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xa.2.

1

3

2

4 /X

X

X

Xa.3.( )

3

12 /

X

XX


c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2

c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1d.- los coeficientes de correlacin parcial:

d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr


R

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


++

=

1

1

0

++

+++++

=

211

131

112

V


a.1. ( )23

1 / XX

X

a.2.( )

1

32 /

X

XX a.3.( )

3

12 /

X

XX

b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vecto:Yt = (Y1, Y2), siendo: 3211 23 XXXY += y 312 XXY = .



19/33


d.- los coeficientes de correlacin parcial:

d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr e.- los coeficientes de correlacin mltiple:

e.1. ( )21 xR

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


+

+

+

=

0

2

1

1

=

3020

0501

2030

0101

V


a.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xa.2.

1

3

2

4 /X

X

X

Xa.3.( )

3

12 /

X

XX





r d.3. ( )6.12 Xr


R

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4


+

+

+

=

1

1

0

2

=

5100

1302

0021

0212

V


a.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xa.2.

1

3

2

4 /X

X

X

Xa.3.( )

3

12 /

X

XX


20/33

b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 XX2X3Y += , 312 XXY = y 243 XXY = .

c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4

c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1


r d.3. ( )6.12 Xr


R

e.2. ( )22 xR

e.3. ( )41 xR

e.4. ( )42 xR

e.5. ( )61 xR

e.6. ( )62 xR


f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4

25.-Dada la forma cuadrtica:8X2X6X2X6XX2XX2XX2X2X3Q 43214321

24

23

22

21 ++++++=

asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.b.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector X.c.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del subvector (X1, X3)

td.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:

d.1.

4

2

3

1 /X

X

X

Xd.2.

1

3

2

4 /X

X

X

X

e.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 2 XXXY += , 4212 XXXY += , 433 XXY = .

f.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:

+

+

41

1

31

21

X3X

X/

X3X

X2X

g.- los coeficientes de regresin de:g.1. X1 sobre X3 y de X1 sobre X4g.2. Y1 sobre Y2 y de Y3 sobre Y2g.3. Y3 sobre 2X1 + 3X2 -4X4

h.- los coeficientes de correlacin parcial:h.1.

3;2,1 xxxr h.2.

2,1;4,3 xyxxr h.3.

3;2;3,1 xxyyr

i.- los coeficientes de correlacin mltiple:i.1.

2,13 xxxR

i.2.13 xy

R

i.3.321 ,yyy

R

i.4.3121 ,xxxy

R+

i.5.4,31 xxx

R

i.6.431 ,2 xxx

R

i.7.Existe alguna relacin entre los coeficientes calculados en (i5) e (i6)?j.- los coeficientes de correlacin entre:

j.1. X1 y X4 j.2. 2X1 +X3 y Y2 j.3. X1 y Y3j.4.Guarda alguna relacin el coeficiente calculado en (j3) con el calculado en (i5)?

26.-Sea Xt = (X1, X2, X3) un vector aleatorio normal multivariante. Demuestre que:


21/33

=2

3

X,

2

X12

3

X,

1

X1

3x,

2x

3x,

1x

2x,

1x

3x;

2x,

1xr

27.-Sea X un vector normal multivariante, sean X(1) y X(2) subvectores que generan una particin sobre X.

obtenga Cov(Y, X(1)), siendo Y el vector dado por ( ) ( ) ( )[ ]211 X/XEXY = . Son Y e X(2) vectoresindependientes?

28.-Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes con distribucin normal N(, 2). Halle la

distribucin de:a.- Xt = (X1, X2, ..., Xn).

b.- La v.a. =

=n

1i

iXY . c.- La v.a. n

YX = .

29.-Sean los vectores independientes X con distribucin normal multivariante N(x, Vx) e Y N(y, Vy), donde:

=

2

2

2

x

=

211

142

123

Vx

=

2

4

3

y

=

420

242

024

Vy

Halle la distribucin de:

a.- El vector

=Y

XZ . b.- El vector YX .

c.- El vector YX + .d.- El vector

+

=

YX

YXW .

30.-Sean los vectores aleatorios X e Y del ejercicio anterior. Sean las matrices:

++

+=

110

112A

++

++

+++

=

110

011

111

B

Halle la distribucin de:

a.- AX b.- BXc.-

BY

AXd.-

BX

AX

31.-Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes con distribucin Chi-cuadrado con K grados de

libertad. Demuestre que la variable:n

X

X

n

1i

i== sigue una distribucin Gamma

2,

2

nnkG .

32.-Sea T una variable aleatoria con distribucin T de Student con n grados de libertad. Demuestre que:a.- E(T) = 0. b.- Var(T) = E(Fm,n).

c.- T2 sigue una distribucin F1,n.


22/33

33.-Sea Z una variable con distribucin Z de Fisher con m y n grados de libertad. Demuestre que:

a.- ( )2n

mZE

= b.- ( ) ( )

( )( )4n2n

2mmZE 2

+=

c.- ( ) ( )( ) ( )4n2n

2nmm2ZVar

2 +=

34.-Sea z una variable aleatoria con distribucin Z de Fisher con m y n grados de libertad. Demuestre que:

a.- La variableZ1

ZX

+= sigue una distribucin Beta

2

n,

2

mB .

b.- La variableZ1

1X1

+= sigue una distribucin Beta

2

m,

2

nB .

35.-Sea X una variable aleatoria con distribucin F de Snedecor con m y n grados de libertad. Demuestre que la

variable 1/X sigue una distribucin F de Snedecor con n y m grados de libertad.

36.-Sea Z una variable aleatoria con distribucin Z de Fisher no central Z(m,n,). Demuestre que:

a.- ( )2n

2mZE

+= . b.- . ( ) ( ) ( )

( )( )4n2n

2m8m2ZE

22

+++=

c.- ( )( )

( )( )( )

( )( )

++

+

=

4n

4m

4n2n

2m

2n

2ZVar

2

.

37.-Sea X una variable aleatoria con distribucin Chi-cuadrado no central 2(n, , 1). Demuestre que:a.- ( ) += 2nXE . b.- ( ) += 8n2XVar .

TG / tg / 2002


23/33



PRCTICA N 4

1.- Sea Anxn una matriz aleatoria, demuestre que ( )( ) ( )( )AEtrAtrE =

2.- Sea Xnx1 un vector aleatorio con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas V; demuestre que( ) 'V'XXE +=

3.- Sea Xnx1 un vector aleatorio con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas V; sea Anxn unamatriz real simtrica y Q =XAX su forma cuadrtica asociada; demuestre que: ( ) ( ) += A'AVtrQE

4.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V). Sea Anxn una matriz real simtrica; demuestre que:a.- ( )( ) ( )[ ] = XAXXE ' b.- ( ) = VA2AX'X,XCov

5.- Pruebe que:

( )( ) ( )

( ) G'W'G2

1

ee 21

2n

n21

X'GXW'X2

1

RWdet2dx...dxdx

1

n=

+

6.- Usando el resultado anterior, deduzca la expresin correspondiente a la funcin generatriz de momentos de

la forma cuadrtica Q=XAX.7.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, In). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una

condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX 2r es que A sea idempotente y de rango r.

8.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, In). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una

condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX '2,r , con2

A' = es que A sea idempotente y de

rango r.

9.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una

condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX '2,r , con 2

A' = es que AV sea idempotente y de

rango r.

10.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V); sean Q = XAX, L = BX, una forma cuadrtica y unaforma lineal, respectivamente, asociadas a X. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para queQ y L sean independientes, es que BVA = .

11.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V); sean Q1 = XAX, Q2 = XBX, dos formas cuadrticasasociadas a X. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para que las formas cuadrticas Q 1 y Q2sean independientes, es que BVA = y AVB = .


24/33

12.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, V). Demuestre que la formacuadrtica:

a.- ( ) ( )= XV'XQ 11 sigue una distribucin2n

b.-

XV'XQ

1

2

= sigue una distribucin

'2

,n . Determine , el parmetro de excentricidad.

13.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAX'XQ1 = y BX'XQ2 = , donde:

+

+

+

=

211

121

112

3

1A

=

111

111

111

3

1B

Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.

14.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAX'XQ1 = y BX'XQ2 = , donde:

=

200

011

011

A

+++

++

++

=

000

011

011

B

Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.

d.- Distribucin de2

1

Q2Q

15.-Sea el vector aleatorio Y con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAYYQ '1 = y BYYQ '2 = , donde: ( ) 'XX'XXA

1= y ( ) 'XX'XXIB 1= con Xnxp (n > p) es una matriz de rangop. Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.

d.- Distribucin de

2

1

Q

Q

p

pn

16.-Sea el vector aleatorio Y con distribucin normal multivariante N(XM, In), donde Xnxp (n > p) es una matrizde rango p y Mpx1 es un vector de constantes. Sean las formas cuadrticas AYYQ '1 = y BYYQ '2 = , donde:

( ) '' 1XXXXA = y ( ) 'XX'XXIB 1= Halle:a.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.

b.- Distribucin de

2

1

Q

Q

p

pn


25/33

17.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, 2In); sea

n

X

X

n

i

i== 1 .

a.- Halle la matriz asociada a2

1 XnQ =

b.- Halle la matriz asociada a ( )=

=n

i

i XXQ

1

22

c.- Halle la distribucin de Q1 y de Q2.d.- Halle la distribucin conjunta de Q1 y Q2.

e.- Halle la distribucin de ( )2

11Q

Qn .

f.- Pruebe que XnQ =3 y Q2 son independientes.g.- Halle )( 1QE , )( 2QE )( 3QE ,

18.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(0,2). Obtenga:

a.- La distribucin de la v.a ( )

( )=

=

n

i

i XX

XnnU

1

2

21

b.- La distribucin de

XnQ =1

c.- La distribucin de( )

2

2

21

SnQ

=

d.- La distribucin de ( )

2

21

31

Q

QnQ

=

siendo:n

X

X

n

i

i== 1 ( )

11

2

2

=

=n

XX

S

n

i

i

19.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(,2). Obtenga la distribucin de:

( )S

XnY

=

20.-Sea Ynx1 un vector normal, N(, In), sea Xnxp (n > p) una matriz real de rango p; sea bpx1 un vector real;obtenga la distribucin de:

( )

( )( )YXXXXIYpn

VXbXb

YXbW

'''''

''1

=

21.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(0,1). Obtenga la distribucin de:

= =

=

=n

1i

2n

1i

i2i

2n

1i

i

XXn

X

Y


26/33

22.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(1,12). Sean Y1, Y2, ..., Yn, v.a.i.i.d., Yi N(2,2

2). Considere elhecho de que las v.a. Xi son independientes de las v.a Yi. Obtenga la distribucin de:

21

21

22

22

S

S

F

=

TG / tg / 2002


27/33



PRCTICA N 5

En los ejercicios del 1 al 10, se considera que X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin fX conmedia y varianza 2.1.- Demuestre que:

a.-

1

1

22

2

=

=

n

XnX

S

n

i

i

b.-

( ) ( )

1

1

22

2

=

=

n

XnX

S

n

i

i

2.- Demuestre que:

a.- ( ) 0=XE b.- ( )

nXE

22

=

c.- ( )233

nXE

=

d.- ( ) ( )

3

444 13

n

nXE

+=

3.- Demuestre que:a.- ( ) =XE

b.- [ ] 22

2

+=n

XE

c.- [ ] 32233 3 ++= nnXE

d.- [ ] ( ) 422

23

3

444 6413

+++

+=

nnn

nXE

4.- Demuestre que:

a.- ( )jjrr

j

rj

r

=

= '

0

b.- jjrr

jj

r

r

=

=

0

'

5.- Demuestre que:

a.- ( )221 1

+=

= =

nnXXEn

i

n

j

ji b.-22

1

+=

=

nXXEn

i

i

6.- Demuestre que: ( )n

MMqrqr

qr

''''' ,cov

= +

7.- Demuestre que:

a.- ( )nn

XX2

232 2,cov

+= b.- 23

1

2 2,cov +=

=

n

i

iXX


28/33

c.- ( )n

SX 32,cov

=

8.- Demuestre que:

a.- ( ) ( )( )442

1

2 1 +=

=

nnXE

n

i

i b.- ( )( )n

nXnE

4442 13 +=

c.- ( ) ( )

( )

n

XE

XXnE

n

i

in

i

i

=

=

=

2

1

2

2

1

2

2

2

d.- ( ) ( )( )1

21 42422+

+=

nn

n

nSE

9.- Demuestre que:

a.- ( ) [ ] 44

42 13var

+

=

n

nXn b.- ( ) ( )44

2

1

var =

=

nX

n

i

i

c.- ( ) ( ) 442

2

1

,cov =

=

XnX

n

i

i d.- ( ) ( )

=

1

31var

4

42

n

n

nS

10.-Demuestre que:

a.- ( ) ( ) 32

1

=

=

n

i

iXXE b.- ( ) ( ) nXXEn

i

i 31

2 =

=

c.- [ ]( )( )

23

321

n

nnME

=

11.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que:

( ) 212

21

= n

SnY

12.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que:

1/

ntnS

X

13.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2), calcule:

a.- 44 3 = b.- ( )1

2var

42

=

nS

14.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, ). Demuestre que:a.- ( ) 2221 = XXE

b.- ( ) ( ) 212221 +=+ XXE

c.- ( ) 2221 8var = XX

d.- ( ) ( ) 418var 2221 +=+ XX


29/33


30/33

TG / tg / 2002


31/33



PRCTICA N 6

1.- Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Halle las funcione de densidad deY1, Y3, Md, R y T.

2.- Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de una poblacin exponencial de parmetro 1. Calcule P(Y4 > 3).

3.- Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(2, 1). Calcule la probabilidad de que el valor

ms pequeo de la muestra exceda a la mediana de la distribucin.

4.- Obtenga una expresin que le permita calcular el percentil 100p de un conjunto de datos muestrales.

5.- Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(1, 2). Calcule la probabilidad de que uno de losvalores muestrales sea por lo menos el doble del otro.

6.- Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Halle la probabilidad de que elrecorrido muestral sea menor que 0.5.

7.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin continua cuya mediana es . Demuestre que:

[ ] [ ]

n

nYPYP

=>=< 2

1

11

8.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, ). Demuestre que:

a.- [ ]1

3

21

=>

n

TRP b.- ( ) nYYCorr n

1,1 =

9.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme ( )21,21U . Demuestre que la densidad

del centro recorrido T viene dada por: ( ) ( ) ( )( )tItntfn

T2

1,21

121

=

10.-

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Demuestre que Yk tiene unadistribucin beta, B(k, n-k+1).

11.-Sea X1, X2, ..., X2k+1 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Demuestre que Md tiene unadistribucin beta, B(k+1, k+1).

12.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(0, 2). Demuestre que: ( ) ( )

== 12 YEYE

13.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(0, 1). Halle E(R).

14.-Sea X1, X2, ..., X2k+1 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que la densidad de

Md es simtrica respecto a , y por lo tanto, E(Md) = .


32/33

15.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, ). Halle E(R) y Var(R).

16.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(m-3s, m+3s). Halle la densidad

conjunta de R y T. Halle las marginales. Calcule E(R).

17.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(1, 2). Demuestre que:

( ) ( )1211

+

=n

nRE

18.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Demuestre que X tiene una distribucin Beta,B(, 1), si y solo si Yn tiene una distribucin beta B(n, 1)

19.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Demuestre que X tiene una exponencial,exp(1/n), si y solo si Y1 tiene distribucin exponencial, exp(1/.)

20.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Deduzca la expresin que le permita obtener:a.- La densidad de Ykb.- La densidad conjunta de (Yr, Ys, Yt), r < s< t

21.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin continua con funcin de densidad f y funcin de

distribucin F. Demuestre que: ( )[ ]1

11 +

=n

YFE

22.-Sea {Xn} una sucesin de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, con distribucinuniforme, U(0, ).a.- Demuestre que la sucesin {Yn} converge estocsticamente a .b.- Halle la distribucin lmite de la sucesin {Z

n}, donde Z

n= nY

1

23.-Sea {Xn} una sucesin de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, con funcin dedensidad:

( ) ( ) ( )( )xIxfx

X e += ,

a.- Demuestre que: { }nX converge estocsticamente a ( + 1).b.- Demuestre que: Y1 converge estocsticamente a

24.-Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(2, 1). Demuestre que las variables

333

22

2

11 ,, YZ

Y

YZ

Y

YZ === son independientes.

25.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin exponencial, exp(). Demuestre que las variables11 YZ = y 12 YYZ n = son independientes.

26.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin exponencial, exp(1). Demuestre que las variables( )( )11 += rrr YYrnZ , r = 1, 2, ..., n, Y0 = 0 son independientes e idnticamente distribuidas segn una

exponencial, exp(1).

27.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme, U(0, 1). Demuestre que las variables

1+=

r

rr

Y

YZ , r = 1, 2, ..., n, Zn = Yn son independientes.


33/33

28.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme discreta, U{1, 2, ..., }. Obtenga lasfunciones de masa correspondientes a Y1 y Yn.

TG / tg / 2002

prácticas de teoría de la probabilidad iii

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