antecedentes de estadÍstica para la investigaciÓn: 3. la teorÍa de la probabilidad

ANTECEDENTES DE ESTADÍSTICA PARA LA

INVESTIGACIÓN:

3. LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Frontana B. y Gómez M. A. Diciembre de 2011

La escalera “infalible”


Las 3 distribuciones necesarias para la investigación (1/2)

De la PoblaciónDe la muestra


Las 3 distribuciones necesarias para la investigación (2/2)

Distribuciones Muestrales


1.1 Antecedentes de la probabilidad (1/2)

Con las matemáticas y la física, el ingeniero, transforma la naturaleza en beneficio de la sociedad.

• Su intervención en la naturaleza y la previsión de las consecuencias, requiere observar los fenómenos naturales mediante experimentos que generen los datos requeridos.

• Los sistemas se simulan con variables relacionadas a través de los modelos matemáticos .

• Si las variables toman valores bien definidos los modelos son deterministas.

• Si tienen valores inciertos , los modelos son aleatorios.• Como los fenómenos se asocian con los modelos que los

representan, suele hablarse de fenómenos aleatorios o deterministas.


1.1 Antecedentes de la probabilidad (2/2)

La probabilidad estudia la incertidumbre de las variables de los modelos aleatorios para asignar una medida del grado de certeza de

que tales variables tomen un cierto valor. ¨ La teoría de la probabilidad se inició en el siglo XVII cuando

Pascal y Fermat intercambiaron correspondencia sobre juegos de azar; pues se trataba de asignar el grado de certeza con que ocurrían determinados resultados en un juego de dados.

¨ En el siglo XIX, Laplace demostró que el cálculo de probabilidades puede aplicarse a una variedad de problemas.

¨ Durante la tercera década del siglo XX la teoría de probabilidad se desarrolló sobre bases matemáticas sólidas y se ha aplicado a muchos campos del conocimiento


1.2 Espacio muestral (1/2)

El espacio muestral es la colección de todos los resultados posibles de un experimento.

• Los espacios muestrales son discretos cuando sus puntos son contables o numerables, pueden o no ser finitos.

• Los espacios muestrales son continuos cuando sus puntos son incontables; siempre infinitos.

• Un evento es una colección de puntos contenidos en el espacio muestral.

• Por extensión, los adjetivos continuo y discreto se aplican también a los modelos y a las variables aleatorias.


1.3 Enfoques de la probabilidad (1/1)

La probabilidad de ocurrencia de un evento es la medida del grado de certeza con que pudiera ocurrir tal evento; tiene 3 escuelas.

• 1ª.El enfoque clásico• 2ª. El enfoque frecuentista• 3ª. El enfoque subjetivo


1.4 Axiomas de la Probabilidad (1/1)

¨ Esta definición de probabilidad se basa en los trabajos de A Kolmogorov en 1933 y satisface los siguientes axiomas con

¨ A, B A

¨ La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de los puntos de la muestra en A.


1.5 Teoremas derivados de los axiomas (1/2)

¨ 1.¨ 2.¨ 3. ¨ 4. Probabilidad Condicional: ¨ 5. Independencia de eventos:


¨ Probabilidad total:

¨ Teorema de Bayes:

1.5 Teoremas derivados de los axiomas (2/2)


1.6 VARIABLES ALEATORIAS (1/7)

• Tienen por objeto representar eventos con números para utilizar el herramental matemático.

• Es una función de función que traduce los eventos en números, con dominio en el espacio muestral y rango en el espacio de los números reales.

• Para determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento así caracterizado, se requerirá definir una función de probabilidad de la variable aleatoria cuyo dominio y rango pertenecen al espacio de los números reales, como se esquematiza en el diagrama.


1.6 VARIABLES ALEATORIAS (2/7) Representación gráfica


• La función de probabilidad de una variable aleatoria X determina la probabilidad de que tal variable sea menor o igual a un valor específico x, esto es: F (x) = P(X≤x). Esa función se conoce como la distribución acumulada.

• Es creciente; toma valores en el intervalo cerrado [0,1]; F (-∞) = 0 y F (+∞) = 1

1.6 VARIABLES ALEATORIAS (3/7)Funciónde Distribución acumulada


1.6 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (4/7)

¨ Para las variables aleatorias discretas se define la función de masa o de distribución p (x), que establece directamente la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor específico x, esto es: p (x)= P(X=x).

¨ Sus propiedades son:


1.6 VARIABLES ALEATORIAS (5/7) Ejemplo de función masa o de distribución


1.6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (6/7)

¨ Para variables aleatorias continuas se define la función de densidad: f (x) con las siguientes propiedades:


1.6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS, ejemplo (7/7)


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