INTRODUCCIN E IMPORTANCIA DE LA TEORA DE PROBABILIDAD

INTRODUCCIN E IMPORTANCIA DE LA TEORA DE PROBABILIDADLa Teora de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juego, con el tiempo se aplica a otros problemas socioecmicos. Despus de cincuenta aos muchos centros de enseanza, estaban estudiando la teora de la probabilidad como un instrumento que les permitira entender los fenmenos sociales. En la actualidad la teora matemtica de la probabilidad constituye el fundamento de las aplicaciones tanto en la investigacin social y en la toma de decisiones.La probabilidad forma parte de nuestra vida diaria. En las decisiones de carcter personal y gerencial, enfrentamos la incertidumbre y nos valemos de la probabilidad, sin importar si admitamos o no el empleo de la mismaALGUNOS CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDADEn general la probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6,1/2, 8/9) o como decimales( 0.167, 0.889) entre 0 y 1. Asignar una probabilidad de cero significa de que nunca ocurrir; una probabilidad de uno significa que algo suceder siempre.En la Teora de Probabilidad un EVENTO es uno o varios de los resultados posibles que se consiguen al hacer una cosa. Tambin a un evento se le considera como un subconjunto de un espacio muestral.Por ejemplo si lanzamos una moneda, el hecho de que salga el lado B (cruz), ser un evento y conseguir que salga el lado A (cara) ser otro evento.COMBINACIN DE EVENTOS

DEFINICIN Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en comn. De forma ms general, se dice que una coleccin de eventos A1, A2, . . . , An es mutuamente excluyente si dos de ellos no tienen resultados en comn.El diagrama de Venn muestra eventos mutuamente excluyentes.

A y B son mutuamente excluyentes.

DEFINICIN DE PROBABILIDADESTodo evento en un espacio muestral tiene una probabilidad de ocurrir. Intuitivamente, la probabilidad es una medida cuantitativa de qu tan probable es que ocurra un evento. Formalmente hablando, hay varias interpretaciones de la probabilidad; la primera que se adoptar es que la probabilidad de un evento representa la proporcin de veces que se presentara el evento a largo plazo, si el experimento se repitiera una y otra vez.

Con frecuencia se usa la letra P para representar la probabilidad. Por tanto, cuando se lanza una moneda al aire la notacin P(cara) 1/2 significa que la probabilidad de que la moneda caiga en cara es igual a 1/2.En muchas situaciones, la nica forma de calcular la probabilidad de un evento es repetir el experimento muchas veces y determinar la proporcin de veces que ocurre. Por ejemplo, si se deseara calcular la probabilidad de que un tablero de circuitos impresos fabricado por cierto proceso est defectuoso, usualmente se necesitara producir cierta cantidad de tableros y probarlos para determinar la proporcin de los defectuosos. En algunos casos, las probabilidades se pueden determinar si se conoce la naturaleza fsica del experimento. Por ejemplo, si se sabe que la forma de un dado es casi igual a la de un cubo perfecto y que su masa est distribuida aproximadamente en forma homognea, se puede suponer que cada una de sus seis caras tiene la misma probabilidad de salir cuando se lanza el dado.Una vez que se han encontrado las probabilidades de ciertos eventos mediante el conocimiento cientfico o la experiencia, se puede calcular matemticamente las probabilidades de otros eventos. AXIOMAS DE PROBABILIDADEspacios muestrales con resultados igualmente probablesEn algunos experimentos se puede construir un espacio muestral en el cual todos los resultados sean igualmente probables. Un ejemplo sencillo es el lanzamiento de un dado, en el cual el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6} y cada uno de estos resultados tiene una probabilidad de 1/6. Otro tipo de experimento que tiene resultados igualmente probables es la seleccin aleatoria de un elemento a partir de una poblacin de elementos. Se puede suponer que los elementos en la poblacin son los resultados en un espacio muestral y que cada elemento tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.Una poblacin a partir de la cual se muestrea un elemento en forma aleatoria constituye un espacio muestral con resultados igualmente probables.DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDADESREGLA DE LA SUMAMTODOS DE CONTEOCuando se calculan las probabilidades, algunas veces se necesita determinar el nmero de resultados en un espacio muestral. Por lo que vamos analizar los diversos tipos de conteo .La regla bsica, que se conoce como Principio Fundamental de conteo, se va a explicar mediante el siguiente ejemplo.Al generalizar el ejemplo anterior podemos ver que si hay n1 elecciones de color y n2 elecciones de motor, de una lista completa de elecciones se puede escribir como una tabla n1 n2, por lo que el nmero total de elecciones es n1n2.Si una operacin se puede realizar en n1 maneras y si para cada una de esas maneras se puede realizar una segunda operacin en n2 maneras, entonces el nmero total de maneras en que se realizan las dos operaciones es n1n2.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEOEl principio fundamental del conteo manifiesta que se pueden realizar k operaciones. Si hay n1 maneras de realizar la primera operacin y si para cada una de esas maneras hay n2 maneras de realizar la segunda operacin y si para cada una de esas elecciones de esas maneras de realizar las dos primeras operaciones hay n3 maneras de realizar la tercera operacin y as sucesivamente, entonces el nmero total de maneras de realizar la secuencia de las k operaciones es n1n2 . . . nk.PERMUTACIONESUna permutacin constituye un ordenamiento de un conjunto de elementos. Por ejemplo, hay seis permutaciones de las letras A, B, C: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Con solamente tres elementos, es fcil determinar el nmero de permutaciones, slo con hacer una lista de todas ellas. Pero con un gran nmero de elementos esto ltimo no sera factible. El principio fundamental del conteo se puede usar para determinar el nmero de permutaciones de cualquier conjunto de elementos. Por ejemplo, se puede determinar el nmero de permutaciones de un conjunto de tres elementos de la siguiente manera. COMBINACIONESPROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIAEVENTOS INDEPENDIENTESREGLA DE LA MULTIPLICACINLEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL27REGLA DE BAYESVARIABLES ALEATORIASDEFINICIN: Es una funcin que asigna un valor numrico a cada elemento del espacio muestral.Se acostumbra denotar a las variables aleatorias con letras maysculas. Las letras X, Y y Z se usan con ms frecuencia.Suponga que un ingeniero elctrico tiene seis resistores a la mano. Tres de ellos tienen etiqueta de 10 y los otros tres tienen etiqueta de 20 . El ingeniero quiere conectar un resistor de10 y un resistor de 20 en serie, para crear una resistencia de 30 . Ahora se supone que, en efecto, los tres resistores etiquetados con 10 tienen las resistencias reales de 9, 10 y 11 y que los tres resistores etiquetados con 20 tienen las resistencias reales de 19, 20 y 21 .El proceso para seleccionar un resistor de cada tipo es un experimento cuyo espacio muestral consta de nueve resultados igualmente probables. El espacio muestral se presenta en la tabla siguiente.

CLASES DE VARIABLES ALEATORIASHay dos clases de variables aleatorias que son las variables discretas y continuas.Las Variables Discretas. Son aquellas variables que contiene un nmero finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual nmero de elementos que nmeros enteros.Las Variables Continuas. Son aquellas variables que pueden asumir todos los valores en un intervalo real. O es tambin un espacio muestral que contiene un nmero infinito de posibilidades iguales al nmero de puntos que se encuentran en un segmento de linea.VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASUna variable aleatoria es discreta si sus valores posibles constituyen un conjunto discreta. Lo que significa que si los valores posibles se ordenan, hay una separacin entre cada valor y el prximo. El conjunto de valores posibles podra ser infinito, por ejemplo el conjunto de todos los enteros o el conjunto de todos los enteros positivos.Es comn que los valores posibles de una variable aleatoria discreta sea un conjunto de enteros.Para cualquier variable aleatoria discreta, si se especifica la lista de sus valores posibles junto con la probabilidad que tiene la variable aleatoria en cada uno de estos valores, es decir que se a descrito completamente la poblacin a partir de la cual se selecciona la variable aleatoria.LA FUNCIN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETALA MEDIA Y LA VARIANZA PARA LAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASVARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIADISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE CASUAL DISCRETADISTRIBUCIN BINOMIALDistribucin de PoissonLa distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".CLCULO DE PROBABILIDADES MEDIANTE LA DISTRIBUCIN DE POISSON.La distribucin de probabilidad de Poisson, segn hemos sealado, se refiere a cierto proceso que puede ser descritos con una variable aleatoria discreta.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADCONTINUADISTRIBUCIN NORMAL.Se pueden mencionar tres importantes aplicaciones de la distribucin normal. Primera, se pueden obtener aproximacin de la distribucin binomial.Segunda, se ha observado, que muchos fenmenos, tales como la resistencia de piezas, tienen una distribucin normal.Tercera, distribuciones que no son normales, pueden ser normalizadas a travs del Teorema del Lmite Central.Se debe tener cuidado al aplicar modelos de Probabilidad Normal, a situaciones dadas, sin previa comprobacin. Suponer de manera errada una Distribucin Normal puede llevar a errores muy serios. La grfica de esta distribucin, es una curva denominada Curva Norma Estndar; la cual tiene forma de campana, como se muestra a continuacin:

La variable aleatoria continua X con Distribucin Normal se denomina variable aleatoria Normal.

Comparacin de Curvas Normales con medias diferentes y desviaciones estandar iguales.

En el caso de dos poblaciones con desviaciones diferentes, y las medias iguales; las curvas estn centradas en la misma posicin, pero una de ellas es ms achatada y extendida que la otra. La que tiene mayor desviacin es la ms achatada y extendida como podemos ver en el grfico.

DISTRIBUCIN NORMAL ESTANDAR