INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADINTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Universidad Central de VenezuelaFacultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de SociologíaDepartamento de Estadística

Prof. Simón CabreraProf. Simón CabreraProf. Edmundo Prof. Edmundo PardoPardo

I. CONCEPTOS I. CONCEPTOS BÁSICOSBÁSICOS

El estudio de fenómenos de diversa naturaleza El estudio de fenómenos de diversa naturaleza permite clasificar éstos en dos grandes grupos:permite clasificar éstos en dos grandes grupos:

a)a) Fenómenos determinísticos:Fenómenos determinísticos: aquellos en los aquellos en los cuales una misma acción produce siempre cuales una misma acción produce siempre el mismo efecto. el mismo efecto.

b)b) Fenómenos probabilísticos o aleatorios:Fenómenos probabilísticos o aleatorios: aquellos en los cuales no siempre puede aquellos en los cuales no siempre puede predecirse con certeza el resultado de una predecirse con certeza el resultado de una misma acción. misma acción.

¿QUÉ ES INCERTIDUMBRE?¿QUÉ ES INCERTIDUMBRE?

La falta de conocimiento cierto de las cosas es La falta de conocimiento cierto de las cosas es la mayor fuente de ansiedad para el hombre y la mayor fuente de ansiedad para el hombre y es natural su deseo de remediarla. La carencia es natural su deseo de remediarla. La carencia de certeza o de conocimiento cierto de la de certeza o de conocimiento cierto de la ocurrencia de determinados eventos, lleva a ocurrencia de determinados eventos, lleva a correr ciertos riesgos en las decisiones esto es correr ciertos riesgos en las decisiones esto es incertidumbre y es ahí donde el uso de las incertidumbre y es ahí donde el uso de las probabilidades es de gran ayuda para probabilidades es de gran ayuda para minimizarlos.minimizarlos.

““Es una verdad cierta que, cuando no está en Es una verdad cierta que, cuando no está en nuestra mano distinguir las opiniones nuestra mano distinguir las opiniones verdaderas, debemos seguir las más verdaderas, debemos seguir las más probables”. (Descartes)probables”. (Descartes)

1.- Experimento Aleatorio (E)1.- Experimento Aleatorio (E)Es un fenómeno empírico que repetido bajo las mismas condiciones, no siempre arroja el mismo resultado.

Características

a) Es repetible: se puede realizar u observar en forma indefinida (n veces) en las mismas condiciones.

b) Se conocen a priori los resultados posibles: se puede conocer o delimitar el conjunto de todos los resultados posibles, aun cuando no se puede predecir el resultado particular en una realización del experimento.

c) Presenta regularidad estadística: si el experimento se repite pocas veces los resultados parecen mostrar un comportamiento caótico, mientras que al repetirlo un gran número de veces se puede detectar cierta regularidad en el comportamiento de los resultados.

EjemplosEjemplos

a)a) Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el número de las que resultaron aprobadas.número de las que resultaron aprobadas.

b)b) Analizar solicitudes de crédito hasta que por Analizar solicitudes de crédito hasta que por primera vez se obtenga una solicitud primera vez se obtenga una solicitud aprobada.aprobada.

c)c) Observar durante 1 h una taquilla de cierta Observar durante 1 h una taquilla de cierta agencia bancaria y registrar el número de agencia bancaria y registrar el número de personas que realizan por lo menos una personas que realizan por lo menos una operación.operación.

c)c) Hacer un pedido para reponer inventario y Hacer un pedido para reponer inventario y registrar el tiempo (en días) que tardamos en registrar el tiempo (en días) que tardamos en recibirlo.recibirlo.

El desarrollo de cada uno de estos ejemplos se le El desarrollo de cada uno de estos ejemplos se le denomina experimento aleatorio.denomina experimento aleatorio.

Se puede agregar que ninguno de los Se puede agregar que ninguno de los experimentos anteriores son determinísticos experimentos anteriores son determinísticos sino probabilísticos o aleatorios, por lo tanto, es sino probabilísticos o aleatorios, por lo tanto, es necesario el uso de otros métodos para su necesario el uso de otros métodos para su estudio, de ahí la importancia de la denominada estudio, de ahí la importancia de la denominada Regularidad Estadística:Regularidad Estadística:a)a) Si se recogen los datos relativos al Si se recogen los datos relativos al

nacimiento de los niños en una maternidad a nacimiento de los niños en una maternidad a lo largo del tiempo y se registra el género de lo largo del tiempo y se registra el género de cada uno, se obtendrá una serie estadística cada uno, se obtendrá una serie estadística como la observada en el gráfico estabilizada como la observada en el gráfico estabilizada en 0,52 para el caso de las hembras.en 0,52 para el caso de las hembras.

b)b)Si se lanza un gran número de veces una Si se lanza un gran número de veces una moneda, se observará que se obtendrá moneda, se observará que se obtendrá aproximadamente, el mismo número de aproximadamente, el mismo número de caras (C) y de sellos (S) es decir, que se caras (C) y de sellos (S) es decir, que se podrá predecir la proporción de C y de S en podrá predecir la proporción de C y de S en una gran serie de repeticiones, estabilizada una gran serie de repeticiones, estabilizada en 0,50.en 0,50.

Si se quiere hacer visible la estabilidad de Si se quiere hacer visible la estabilidad de las frecuencias en los experimentos las frecuencias en los experimentos anteriormente considerados, se puede anteriormente considerados, se puede construir la representación gráfica construir la representación gráfica siguiente:siguiente:

Nacimiento de hembras

Resultado: sellos (S)

Fre

cu

en

cia

del su

ceso

hi

(%)

Número de observaciones (n) del suceso

2.- Espacio Muestral (S)2.- Espacio Muestral (S)Es el conjunto no vacío formado por todos los resultados posibles y razonables de un experimento aleatorio.

ClasificaciónClasificación

a)a) Finito: Finito: cuando el espacio muestral es un cuando el espacio muestral es un conjunto de eventos numerable.conjunto de eventos numerable.

b)b) Infinito:Infinito: cuando el espacio muestral es un cuando el espacio muestral es un conjunto eventos no numerable.conjunto eventos no numerable.

EjemplosEjemplosEXPERIMENTO ALEATORIOEXPERIMENTO ALEATORIO ESPACIO MUESTRALESPACIO MUESTRAL

a)a) Analizar 5 solicitudes de Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el número crédito y registrar el número de las que resultaron de las que resultaron aprobadas.aprobadas.

S= {0,1,2,3,4,5}S= {0,1,2,3,4,5}

b)b) Analizar solicitudes de crédito Analizar solicitudes de crédito hasta que por primera vez se hasta que por primera vez se obtenga una solicitud obtenga una solicitud aprobada.aprobada.

S= {a, ra, rra,rrra,S= {a, ra, rra,rrra,…,rrrrrrrrrra}…,rrrrrrrrrra}

a: aprobada, r: rechazadaa: aprobada, r: rechazada

c)c) Observar durante 1 h una Observar durante 1 h una taquilla de cierta agencia taquilla de cierta agencia bancaria y registrar el número bancaria y registrar el número de personas que realizan por de personas que realizan por lo menos una operación.lo menos una operación.

S= {0,1,2,3,4,5,…,n}S= {0,1,2,3,4,5,…,n}

n: total de personasn: total de personas

d)d) Hacer un pedido para reponer Hacer un pedido para reponer inventario y registrar el tiempo inventario y registrar el tiempo (en días) que tardamos en (en días) que tardamos en recibirlo.recibirlo.

S={t: t N}S={t: t N}

3.- Suceso o Evento 3.- Suceso o Evento

Es cualquier subconjunto de resultados posibles y Es cualquier subconjunto de resultados posibles y razonables de un experimento aleatorio.razonables de un experimento aleatorio.

Si en una realización del experimento aleatorio se Si en una realización del experimento aleatorio se satisfacen las condiciones que definen un suceso, satisfacen las condiciones que definen un suceso, se dice que ha ocurrido dicho suceso. se dice que ha ocurrido dicho suceso.

TiposTiposa)a) Simples: Simples: son sucesos indivisibles; es decir, son sucesos indivisibles; es decir,

aquellos que están compuestos por un solo aquellos que están compuestos por un solo punto muestral. punto muestral. Ejemplo: en el experimento Ejemplo: en el experimento aleatorio aleatorio lanzar un dado, lanzar un dado, cualquiera de los lados cualquiera de los lados del dado es un suceso simple. del dado es un suceso simple.

b)b) Compuestos: Compuestos: son sucesos formados por dos o son sucesos formados por dos o más sucesos simples. Es cualquier más sucesos simples. Es cualquier subconjunto no unitario del espacio muesral. subconjunto no unitario del espacio muesral. Ejemplo: en el experimento aleatorio Ejemplo: en el experimento aleatorio lanzar un lanzar un dado, dado, el suceso “que salga un número par” es el suceso “que salga un número par” es compuesto.compuesto.

c)c) Mutuamente excluyentesMutuamente excluyentes: son sucesos : son sucesos disjuntos; esto es su intersección es el conjunto disjuntos; esto es su intersección es el conjunto vacío. Ejemplo: en el experimento aleatorio vacío. Ejemplo: en el experimento aleatorio aplicar un examen a un estudianteaplicar un examen a un estudiante, los sucesos , los sucesos “obtener una nota sobresaliente” y “aplazar la “obtener una nota sobresaliente” y “aplazar la prueba” son mutuamente excluyentes (mex). prueba” son mutuamente excluyentes (mex). No se presenta la simultaneidad.No se presenta la simultaneidad.

d)d) Colectivamente Exhaustivos: Colectivamente Exhaustivos: dos sucesos A y B son dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es el espacio muestral.el espacio muestral.

e)e) Seguros:Seguros: Son aquellos que coinciden con el espacio Son aquellos que coinciden con el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.muestral asociado a un experimento aleatorio.

f)f) ImposibleImposible ( ): es aquel que no ocurre nunca; esto ( ): es aquel que no ocurre nunca; esto es, el conjunto vacío. Por ejemplo, si al lanzar un es, el conjunto vacío. Por ejemplo, si al lanzar un dado común se puede obtener un 7.dado común se puede obtener un 7.

f)f) ContrarioContrario (A): es aquel que ocurre cuando no (A): es aquel que ocurre cuando no ocurre el suceso A. Por ejemplo, ocurre el suceso A. Por ejemplo, Si P (lluvia)= 0,40, entonces P (no lluvia)= 1-P (lluvia)= 0,60Si P (lluvia)= 0,40, entonces P (no lluvia)= 1-P (lluvia)= 0,60

EjemplosEjemplosSITUACIÓN PARTICULARSITUACIÓN PARTICULAR RESULTADOS POSIBLESRESULTADOS POSIBLES

a)a) El número de solicitudes de El número de solicitudes de crédito aprobadas es crédito aprobadas es superior a 3.superior a 3.

A= {4,5}A= {4,5}

b)b) Analizar máximo 4 Analizar máximo 4 solicitudes de crédito hasta solicitudes de crédito hasta que por primera vez una que por primera vez una solicitud sea aprobada.solicitud sea aprobada.

B={a,ra,rra,rrra}B={a,ra,rra,rrra}

a: aprobada, r: rechazadaa: aprobada, r: rechazada

c)c) Registrar entre 3 y 7 Registrar entre 3 y 7 personas que realizan por personas que realizan por lo menos una operación.lo menos una operación.

C = {3,4,5,6,7}C = {3,4,5,6,7}

d)d) El tiempo que tardamos en El tiempo que tardamos en recibir el pedido es inferior recibir el pedido es inferior a 3 días.a 3 días.

D ={ t:0<t<3 }D ={ t:0<t<3 }A cada conjunto de resultados posibles, asociado a A cada conjunto de resultados posibles, asociado a las situaciones particulares, se le denomina sucesolas situaciones particulares, se le denomina suceso

II. CONCEPTO DE PROBABILIDADII. CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Los experimentos aleatorios producen Los experimentos aleatorios producen resultados inciertos y la probabilidad es una resultados inciertos y la probabilidad es una medida de la incertidumbremedida de la incertidumbre. . Sin embargo, la Sin embargo, la incertidumbre es de naturaleza muy diferente incertidumbre es de naturaleza muy diferente según lo sea el experimento. No existe un según lo sea el experimento. No existe un acuerdo total entre los estudiosos de la acuerdo total entre los estudiosos de la probabilidad al respecto, por lo que se pueden probabilidad al respecto, por lo que se pueden identificar tres grandes enfoques del identificar tres grandes enfoques del pensamiento probabilísticopensamiento probabilístico. A continuación, se . A continuación, se exponen los principios generales de cada una exponen los principios generales de cada una de éstos, sin tomar partido a favor de alguno en de éstos, sin tomar partido a favor de alguno en particular. particular.

1.- Enfoque Clásico o a priori1.- Enfoque Clásico o a priori

Está basado en el concepto de equiprobabilidad Está basado en el concepto de equiprobabilidad del espacio muestral y fue introducido por del espacio muestral y fue introducido por Laplace. El cálculo de la probabilidad bajo la Laplace. El cálculo de la probabilidad bajo la concepción clásica, se realiza mediante la concepción clásica, se realiza mediante la siguiente regla.siguiente regla.

Regla de Laplace:Regla de Laplace:

La probabilidad de un suceso A es igual al La probabilidad de un suceso A es igual al cociente del número de casos favorables al cociente del número de casos favorables al suceso, sobre el número total de casos posibles.suceso, sobre el número total de casos posibles.

a)a) En el lanzamiento de una moneda perfecta la En el lanzamiento de una moneda perfecta la probabilidad de cara debe ser igual que la de probabilidad de cara debe ser igual que la de sello y, por tanto, ambas iguales a sello y, por tanto, ambas iguales a 1/21/2..

b)b) La probabilidad de cada uno de los seis sucesos La probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados al lanzamiento de un elementales asociados al lanzamiento de un dado común (no cargado) debe ser dado común (no cargado) debe ser 1/61/6..

EjemplosEjemplos

Esta Ley propuesta por Bernoulli, plantea que la Esta Ley propuesta por Bernoulli, plantea que la frecuencia relativa de un suceso tiende a frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. Así bajo la concepción indefinidamente. Así bajo la concepción frecuentista, si se repite un experimento frecuentista, si se repite un experimento indefinidamente, la probabilidad de un suceso A indefinidamente, la probabilidad de un suceso A es un número ideal al que se aproxima su es un número ideal al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el total de repeticiones frecuencia relativa cuando el total de repeticiones tiende a infinito. tiende a infinito.

Siendo Siendo NNAA la frecuencia absoluta del suceso A.la frecuencia absoluta del suceso A.

2.- Enfoque Frecuentista o a 2.- Enfoque Frecuentista o a posterioriposteriori

N

NAP A

Nlim)(

Se elaboró la siguiente tabla con los 5946 empleados de Se elaboró la siguiente tabla con los 5946 empleados de cierta institución financiera, según su nivel de ingresocierta institución financiera, según su nivel de ingreso::

EjemploEjemplo

NIVEL DE INGRESO NIVEL DE INGRESO (Bs.)(Bs.)

NÚMERO DE NÚMERO DE EMPLEADOSEMPLEADOS PORCENTAJEPORCENTAJE

Menos de 500.000Menos de 500.000 21362136 36,036,0

500.000-999.999500.000-999.999 15481548 26,026,0

1.000.000-1.499.9991.000.000-1.499.999 12021202 20,220,2

1.500.000-1.999.9991.500.000-1.999.999 648648 10,910,9

2.000.000 o más2.000.000 o más 412412 6,96,9

TotalTotal 59465946 100,0100,0

¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea menor de Bs. 500.000?empleado sea menor de Bs. 500.000?

Solución: 36,0%

¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea Bs. 1.500.000 o más?empleado sea Bs. 1.500.000 o más?

Solución: 17,8%

3.- Enfoque Subjetivo3.- Enfoque Subjetivo

La Probabilidad de ocurrencia de un suceso es La Probabilidad de ocurrencia de un suceso es cuantificada por una persona (o un grupo de cuantificada por una persona (o un grupo de personas) catalogada (s) como experta (s) personas) catalogada (s) como experta (s) utilizando la información que posee (n).utilizando la información que posee (n).EjemploEjemplo

Un ingeniero de transporte a cargo de un nuevo Un ingeniero de transporte a cargo de un nuevo sistema de circulación, expresa que la sistema de circulación, expresa que la probabilidad que el sistema funcionará probabilidad que el sistema funcionará correctamente el 80,0% de las veces.correctamente el 80,0% de las veces.

Con base en esta convicción, ¿cuál es la Con base en esta convicción, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione probabilidad de que el sistema funcione apropiadamente?apropiadamente?

Solución: 80,0%

Definición Axiomática de Definición Axiomática de KolmogorovKolmogorov

Dado un experimento aleatorio cualquiera (E) que Dado un experimento aleatorio cualquiera (E) que tiene asociado un espacio muestral (S), se llama tiene asociado un espacio muestral (S), se llama probabilidad P (A) que asigna a cada suceso o probabilidad P (A) que asigna a cada suceso o evento (A) un número real. Tal que satisfaga con evento (A) un número real. Tal que satisfaga con las siguientes propiedades o axiomas:las siguientes propiedades o axiomas:

Axioma 1:Axioma 1:

Axioma 2: P(S)=1 Axioma 2: P(S)=1

Axioma 3: Si dos sucesos A y B son mutuamente Axioma 3: Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (mex) entonces P (AUB)=P(A) +P(B)excluyentes (mex) entonces P (AUB)=P(A) +P(B)

Axioma 4: Si AAxioma 4: Si A11, A, A22,…,A,…,A44 son sucesos o eventos son sucesos o eventos mex dos a dos entonces, mex dos a dos entonces,

,,

conocida como regla aditiva para sucesos o conocida como regla aditiva para sucesos o eventos mex.eventos mex.

1)(0 AP

n

iii

n

i

APAPAPAPAPU1

4211

)()(...)()()(

Teoremas FundamentalesTeoremas FundamentalesTeorema 1Teorema 1

Si A es el conjunto vacio entonces su probabilidad Si A es el conjunto vacio entonces su probabilidad es cero. es cero.

Es decir, Es decir,

Teorema 2Teorema 2

Si A es un evento y A su complemento, entonces, Si A es un evento y A su complemento, entonces,

Teorema 3Teorema 3

Sean A y B dos sucesos mutuamente No Sean A y B dos sucesos mutuamente No Excluyentes de un espacio muestral (S), entonces,Excluyentes de un espacio muestral (S), entonces,

)(1)( APAP

0)( P

)()()()( BAPBPAPBAP

Teoremas FundamentalesTeoremas FundamentalesTeorema 4Teorema 4

Si Si

Por ser todo conjunto subconjunto de si mismo.Por ser todo conjunto subconjunto de si mismo.

BA )()( BPAP

a.- a.- Ley de Probabilidad CondicionalLey de Probabilidad Condicional

Sea S un espacio muestral asociado a un Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.experimento aleatorio.

Sean Ay B dos sucesos cualesquiera de S, tales que Sean Ay B dos sucesos cualesquiera de S, tales que P(B) = 0. SeP(B) = 0. Se

define la probabilidad condicional de A dado B, define la probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), como:P(A/B), como:

LeyesLeyes

)(

)()/(

BP

BAPBAP

b.- b.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Independientes.Independientes.

Sea S un espacio muestral asociado a un Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.experimento aleatorio.

Sean A y B sucesos de S. Se dice que A y B son Sean A y B sucesos de S. Se dice que A y B son sucesossucesos

independientes si y sólo si:independientes si y sólo si:

oo

Ejemplo:Ejemplo:

Si P (A/B)= 0,20 y P (A)= 0,20, entonces A y B son Si P (A/B)= 0,20 y P (A)= 0,20, entonces A y B son sucesos independientes. sucesos independientes.

)()/( APBAP )().()( BPAPBAP

LeyesLeyes

c.- c.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos DependientesDependientes..

Partiendo de la definición de probabilidad Partiendo de la definición de probabilidad condicional, podemos obtener la probabilidad de la condicional, podemos obtener la probabilidad de la intersección mediante la siguiente regla:intersección mediante la siguiente regla:

Considerando que P (B/A) = P (B)Considerando que P (B/A) = P (B)

En el caso de la intersección de tres sucesos,En el caso de la intersección de tres sucesos,

)/().()( ABPAPBAP

)/()./().()( BACPABPAPCBAP