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VECTORES

El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos

Grasmann (1809-1877) y Hamilton (1805-1865). Esta noción se confirmó lentamente, cuando

matemáticos y físicos, estudiando problemas muy diversos observaron propiedades y

características comunes. En la actualidad los vectores se utilizan para representar y comprender

numerosos fenómenos, se emplean en, por ejemplo, en planificaciones económicas, en la teoría

utilizada para la obtención de un electrocardiograma, para cuantificar el efecto del viento en la

ruta de un avión.

Magnitudes escalares y vectoriales

Existen situaciones que las podemos describir a través de un número y de una unidad

correspondiente, ejemplos , , 14.5 ⁄ . Este tipo de magnitudes se llaman

Magnitudes escalares

En física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente

con una magnitud escalar. Por ejemplo, si un barco navega hacia el noroeste, a ⁄ , y hay

viento del sur, a ⁄ , estas velocidades nos están indicando una dirección, un sentido y la

intensidad de cada una. Las magnitudes que quedan determinadas por su dirección, sentido e

intensidad se denominan magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores.

Los vectores son el modelo matemático adecuado para representar desplazamientos y

velocidades. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración, las fuerzas, el campo

eléctrico.

Vamos a estudiar las características de los vectores a partir del siguiente ejemplo:

En un instante dado, en la pantalla de un radar se detectaron las posiciones de seis aviones: A, B,

C, D, E y F, que siguen rutas rectilíneas

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Un minuto después las posiciones son

La superposición de ambas pantallas nos permite observar los desplazamientos de todos los

aviones (señalados con letras minúsculas)

¿Cómo podemos caracterizar el desplazamiento de cada uno de los aviones?

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Debemos tener en cuenta:

La dirección determinada por la inclinación o pendiente de la recta sobre la cual se

encuentran las flechas. Por ejemplo, los desplazamientos v y r tienen la misma dirección,

porque los aviones B y F se desplazaron en forma paralela. En cambio, los desplazamientos u

y w tienen distinta dirección.

El sentido. En una misma dirección hay dos sentidos posibles. Por ejemplo, los

desplazamientos v y r tienen el mismo sentido y los desplazamientos s y r (o v y s) tienen

sentidos opuestos, pero la misma dirección.

El módulo relacionado con la longitud de la flecha, de acuerdo a la escala elegida. En este

ejemplo todos los desplazamientos tienen distintos módulos, porque los aviones recorrieron

distintas distancias.

Los vectores y sus características: dirección, sentido y módulo.

Un vector se representa con un segmento de recta orientado. Es decir, un segmento en el que se

distingue un sentido (por eso se representa por una flecha). Esta representación permte reconocer

el origen y el extremo del vector:

A es el origen, B es el extremo del vector

Entonces, dados dos puntos sobre una recta, C y D, podemos representar:

El segmento CD, que tiene extremos C y D

El vector , que tiene origen en C y extremo en D

El vector , que tiene origen en D y extremo en C

Un vector puede indicarse con las letras correspondientes a su origen y extremos, en ese orden

vector , o también con una única letra minúscula, vector o simplemente

A

B

C

C

D

C

C

D

C

C

D

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Cuando los vectores están ubicados sobre rectas paralelas, o sobre la misma recta, se dicen que

tienen la misma dirección

En la gráfica siguiente, todos los vectores tienen la misma dirección.

Dados dos vectores que tienen la misma dirección, pueden tener el mismo sentido o sentidos

opuestos.

En la gráfica anterior tienen el mismo sentido, tiene sentido opuesto a los restantes.

También se puede observar que algunos de los segmentos orientados que representan vectores

tienen la misma longitud

Llamaremos módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa y lo notaremos | |

Aquí, | | | | | | y | | | |. En cambio | | | |.

Vectores equipolentes

En general cuando dos o más vectores tienen igual dirección, sentido y módulo se dice que son

equipolentes.

Lo notaremos (se lee: es equipolente a )

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En el grafico anterior y son equipolentes, en cambio y no lo son porque tienen distinta

dirección.

El concepto de equipolencia permite definir el concepto de traslación:

Dado un punto del plano y un vector , la traslación desplaza el punto hasta , de tal

manera que los vectores y

son equipolentes

Se utiliza la notación ( ) para indicar que es el resultado de trasladar el punto según el

vector .

Los vectores también pueden representarse en un sistema de coordenadas cartesianas. Esto

permite resolver muchos problemas geométricos y físicos desde un nuevo punto de vista.

El concepto de equipolencia nos permitirá trasladar un vector cualquiera dado en un sistema de

coordenadas cartesianas en otro vector que tiene origen en el origen de coordenadas y es

equipolente a .

Vectores en un sistema de coordenadas cartesianas

Cualquier vector puede caracterizarse dando sus coordenadas, por ejemplo

Vector Extremo ( ) Origen ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( )

La operación indicada en la última columna da como resultado el vector ( ), que es un

vector de origen ( ) y extremo ( ). También puede notarse que el vector es equipolente a

los vectores ,

y .

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En general

Dado cualquier vector en un sistema de coordenadas cartesianas siempre es posible encontrar

un vector que tiene origen en ( ) y es equipolente a . Este vector es el representante

canónico de

Si un vector tiene origen en ( ) y extremo en ( ), su representante canónico es

( )

Coordenadas cartesianas y polares de un vector

Si tenemos un vector cuyo origen se colocó en el origen de un sistema de coordenadas

cartesianas, trazando desde su extremo líneas paralelas a los ejes, se determinan cantidades y

. Decimos, entonces que ( ) son las coordenadas cartesianas de .

En general, todo vector con origen en ( ) en un sistema de coordenadas cartesianas queda

determinado indicando su módulo y el ángulo que forma con el semieje x positivo, medido a

partir de dicho semieje, en sentido contrario a las agujas del reloj. En este caso, decimos que

(| | ) son las coordenadas polares de .

¿Cómo se determina el ángulo ? En los siguientes gráficos se muestran ejemplos en donde se

señala el ángulo , de acuerdo con el cuadrante donde está ubicado el vector .

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En cada caso ( ) son las coordenadas cartesianas de .

Si se conocen las coordenadas cartesianas de un vector ( ), se pueden calcular las

coordenadas polares (| | ), teniendo en cuenta que:

| | √( ) ( )

y que

.

Si se conocen las coordenadas polares de un vector (| | ), se pueden calcular las

coordenadas, cartesianas, dado que:

| |

| |

Observación el símbolo | |, llamado módulo de (o longitud de ), geométricamente es la

distancia del origen de coordenadas a la punta de en el plano.

Operaciones con vectores

Las operaciones entre magnitudes vectoriales (el cálculo de velocidades y las fuerzas

resultantes, la búsqueda del estado de equilibrio, el cálculo del trabajo realizado al mover un

cuerpo y muchas otras) pueden interpretarse matemáticamente a partir de operaciones entre los

vectores que las representan.

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Suma de vectores

La búsqueda de una fuerza que sea equivalente a otras varias aplicadas al mismo cuerpo, o de la

velocidad de un cuerpo que participa a la vez de varios movimientos, o del vector que permite

obtener el mismo efecto que el de dos traslaciones aplicadas en forma sucesiva a la misma figura

son situaciones que pueden resolverse a partir de la suma de vectores

Ejemplos

Aquí presentamos problemas donde los móviles participan simultáneamente de dos movimientos;

nos interesará calcular la velocidad total (o velocidad resultante) de cada uno de ellos.

a. Un bote navega en el rio, a favor de la corriente. Su velocidad es de ⁄ y la velocidad de

la corriente de agua es de ⁄ ¿Con qué velocidad se mueve el bote respecto de la costa?

Desde el punto de vista gráfico, representando todas las velocidades con vectores.

vector velocidad del bote, vector velocidad de la corriente y la velocidad que se quiere

calcular, es decir, la velocidad resultante.

Como el bote se mueve a favor de la corriente, tiene las siguientes características:

Dirección: la misma que los vectores y

Sentido: el de y

Módulo: la suma de los módulos de y

Determinamos que la velocidad del bote respecto de la costa es de 5 metros por segundo.

b. Si el bote navega en contra de la corriente, ¿cuál será su velocidad respecto de la costa?

Como el bote se mueve en contra de la corriente, la velocidad resultante tiene:

Dirección: la misma que los vectores y .

Sentido: el de la velocidad mayor, es decir, el sentido de .

Módulo: la diferencia de los módulos de y .

Determinamos que la velocidad del bote respecto de la costa es de 1 metros por segundo.

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La suma de vectores es un vector que se puede determinar geométricamente de la siguiente

manera:

Si y tienen la misma dirección y sentido, tiene:

Dirección: la misma que los vectores y

Sentido: el de y

Módulo: la suma de los módulos de y

Y notamos

Para hallar el vector suma se dibuja uno de ellos, por ejemplo sobre una recta, y, a

continuación, se grafica , será el vector que tiene por origen el origen de , y, por extremo,

el extremo de .

, entonces

Si y tienen la misma dirección y sentido opuesto, tiene:

Dirección: la misma que los vectores y

Sentido: el del vector de mayor módulo.

Módulo: la diferencia de los módulos de y

, entonces .

O A B

O A

B

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Si y tienen distinta dirección, se grafican con origen en el mismo punto O, y desde sus

extremos se trazan rectas paralelas a ambos vectores. Quedando determinado un

paralelogramo. Es por ello que este método recibe el nombre de Regla del paralelogramo

Gráficamente:

En este caso tiene:

Dirección: la del segmento

Sentido: desde O hacia C

Módulo: el del vector , que es la diagonal del paralelogramo OACB.

La regla de la poligonal

Para sumar dos o más vectores también puede usarse la regla de la poligonal. Consiste en

representar sucesivamente los vectores por sumar, uno a continuación del otro, de manera que el

extremo de uno coincida con el origen del próximo. El vector suma se obtiene uniendo el origen

del primer vector con el extremo del último.

Gráficamente

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Suma de vectores en un sistema de coordenadas

En general dos vectores que están ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas, y tienen

origen en (0,0), se suman con la siguiente regla:

( ) ( ) ( )

Ejemplo

( ) ( ) ( ) ( )

Vector nulo

Llamamos vector nulo a un vector cuyo origen coincide con su extremo. Lo notamos ( ),

también

El vector nulo no tiene dirección (dado que un único punto no determina una dirección) y su

módulo es cero.

Vectores unitarios

Cualquier vector cuya longitud sea 1 es un vector unitario.

Ejemplos:

( ) , ( ) , (

√

) son vectores unitarios

Producto de un vector por un número

Dado un vector no nulo ( ) y un número real k, es un vector con las siguientes

características:

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Tiene la misma dirección que

Si tiene el mismo sentido que y su módulo es el producto de por el módulo de .

Si tiene sentido opuesto a y su módulo es el producto de por el módulo de .

En general, un vector que está ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas y tiene origen en

(0,0), se multiplica por un número con la siguiente regla:

Si ( ) y es un número real, entonces ( )

Ejemplo Si ( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( )

- es el vector opuesto de . Si ( ) entonces ( )

Resta de vectores

Para restar dos vectores, por ejemplo , sumamos a el opuesto de . Es decir

( )

Sea entonces

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Teorema

Para vectores cualesquiera , y y escalares a y b se cumplen las siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa

2. ( ) ( ) Propiedad asociativa

3. existencia del neutro

4. ( ) existencia del opuesto

5. ( ) ( ) ( )

6. ( )

7. ( )

8.

Demostración: ejercicio

Producto entre vectores

Producto escalar

Dado los vectores no nulos y .

Llamaremos producto punto o producto escalar entre y y lo simbolizaremos a

Ejemplo

Si ( ) y ( ), entonces, (- ) -

Observe que el producto punto de dos vectores es un escalar

Propiedades del producto punto

Si , y son vectores y c es un escalar, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1.

2. ( )

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3. ( ) ( ) ( )

4.

5. | |

Para comprender el significado del producto escalar, ofrecemos una fórmula alternativa.

Si y son vectores no nulos, entonces | || | .

donde es el ángulo entre y , .

Para deducir esta fórmula, aplicamos la ley de los cosenos al triángulo de la figura

| - | | | | | | || | (1)

Por propiedades del producto punto, se obtiene

| | ( )( ) ( ) ( )

- - -

| | | | (2)

Igualando las expresiones (1) y (2) obtenemos | || | .

Una consecuencia importante de la fórmula obtenida es el siguiente

Teorema (Criterio de perpendicularidad)

Dos vectores y son perpendiculares (ortogonales) si y solo si su producto escalar es nulo, es

decir, .

Demostración: Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si el ángulo determinado

entre ellos es ⁄ ; es decir, si y solo si si y solo si .

El resultado vale para vectores nulos, admitiendo que el vector nulo es perpendicular a todo

vector.

Ejemplo Encuentre b tal que ( ) y ( ) sean perpendiculares

, entonces,

Por lo tanto .

Ejemplo Encuentre el ángulo determinado por ( ) y ( )

| | | |

( )( )

15

Por lo tanto .

Bases de vectores

Sea ( ) y ( ) ; obsérvese que estos dos vectores son perpendiculares y unitarios. Se

llaman vectores base debido a que cualquier vector ( ) puede ser representado de

manera única en términos de y En efecto

( ) ( ) ( )

Proyecciones de vectores

El vector proyección de sobre un vector no nulo es el vector determinado al

bajar una perpendicular de Q a la recta PS, y lo denotamos (vector proyección de B

sobre A)

Si el ángulo entre B y A es agudo, la tiene longitud | | y dirección

| |.

Si el ángulo entre B y A es obtuso, la tiene longitud | | y dirección

| |.

En todo caso (| | )

| |

(

| |)

| | (

| | )

El número | | se llama componente escalar de B en la dirección de A.

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Producto vectorial (cruz)

El producto vectorial se usa ampliamente para describir los efectos de las fuerzas en estudios de

electricidad, magnetismo, flujo de fluidos y mecánica orbital.

Sean los vectores ( ) y ( ) vectores en el espacio, definimos el

producto vectorial como el vector

( )

Observación el producto vectorial se puede expresar en función de los vectores bases de la

siguiente manera

( ) ( ) ( )

siendo ( ), ( ) y ( ).

Para recordar la fórmula del producto cruz, recordemos que, el valor de un determinante de 2x2

es:

|

|

El valor de un determinante de 3x3 es (desarrollado con respecto al renglón superior) es

[

] |

| |

| |

|

Usando determinantes, podemos escribir la definición de como:

[

] |

| |

| |

|

El producto vectorial no es conmutativo, es decir, .

Ejemplo Sea ( ) y ( ). Calcular y

[

] |

| |

| |

|

[

] |

| |

| |

|

Observemos que en este ejemplo - ( ) . y esto sucede porque siempre se verifica

que

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- ( )

Teorema

Sean y vectores en el espacio tridimensional y sea el ángulo que forman. Entonces

1. ( ) ( ) Es decir el producto vectorial es perpendicular tanto a

como a

2. | | | || |

3. , , forman una triada derecha

Demostración

1. Ejercicio

2. | | ( )( ) | | | | ( ) identidad de Lagrange

Teniendo en cuenta el producto escalar

| | | | ( ) | | | | (| || | ) | | | | ( ) | | | |

como , . Por tanto extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros

| | | || | .

3. La triada derecha es algo difícil de establecer analíticamente. En particular podemos observar

que . es derecha.

Teorema Dos vectores y del espacio son paralelos si y solo si

Demostración Ejercicio