unidad 4 ecuaciones cuadraticas

UNIDAD IV

12 horas

Ecuaciones cuadrticas

Objetivo: El estudiante resolver problemas en los que se apliquen ecuaciones de segundo grado con una incgnita, empleando el mtodo algebraico y su interpretacin grfica y analizando las soluciones reales e imaginarias, conservando el respeto y la calidad de sus trabajos.

Introduccin

El planteamiento y solucin de problemas en la vida cotidiana se facilita mediante el uso de ecuaciones cuadrticas, mismas que son abordadas en esta unidad, se muestran los diferentes mtodos de solucin: grfico, factorizacin, completando a trinomio cuadrado perfecto y frmula general.

Las matemticas exigen atencin y dedicacin

Unidad IV Ecuaciones cuadrticas

4.1 ECUACIONES CUADRTICAS 4.4.1 La ecuacin cuadrtica con una variable ax2 + bx + c = 0 A la ecuacin de la forma se le llama ecuacin cuadrtica de x, o de segundo grado, donde a, b y c son constantes. Esta ecuacin es de gran importancia y se presenta frecuentemente no slo en matemticas, sino tambin en fsica, qumica, biologa, etc., ya que modela a muchos fenmenos relacionados con estas ciencias.

ax2 + bx + c = 0, a 0,

Por ejemplo, en la fsica el modelo que describe el movimiento de cada libre es: h = 4.9t2 Para representar la energa potencial elstica, el modelo es:

EP = 22

1 kx

El modelo que permite calcular el rea de un crculo es. A = r2

Ejemplo:

Encuentra el modelo que permite calcular la longitud de un tensor que sujeta a una torre, sabiendo que ste mide dos unidades ms que la altura de la torre, y desde la base de la torre hasta donde se sujeta el tensor mide una unidad ms que la altura de la torre. Solucin: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, correspondiente a un tringulo rectngulo en donde la hipotenusa es el tensor y los catetos son la base y la altura de la torre, respectivamente. Altura de la torre: x Longitud de la base hasta donde se sujeta el tensor: x + 1 Longitud del tensor: x + 2 x x + 2 x + 1 Teniendo en cuenta el teorema de Pitgoras, se cumple: (x + 2)2 = (x + 1)2 + x2. Operando: x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2. Agrupando todos los trminos en el segundo miembro y simplificando, se obtiene el modelo: x2 2x 3 = 0

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4.1.2 Interpretacin de las races o soluciones de ax2 + bx + c = 0 a partir de la visualizacin grfica de y = ax2 + bx + c

La representacin grfica de una ecuacin cuadrtica o de segundo grado es una parbola; esta representacin se establece mediante la expresin y = ax2 + bx + c. Para hacer la grfica se aplica el mtodo de tabulacin, para el cual se le asignan valores a x, que al ser sustituidos en la expresin y = ax2 + bx + c se tienen los valores de y, obteniendo parejas ordenadas, mismas que se representan en el plano cartesiano. Recuerda que: La solucin de la ecuacin ax2 + bx + c = 0 es el valor(es) de x correspondiente a y = 0 en la grfica de la parbola y = ax2 + bx + c. As, la solucin son las abscisas de los puntos donde la parbola intercepta (corta) al eje x. Si la grfica no intercepta al eje x, se dice que las races son imaginarias.

Los valores que corresponden a la solucin de una ecuacin cuadrtica se denominan races o soluciones de la ecuacin.

Una ecuacin cuadrtica puede tener dos races; es decir, la parbola corta dos puntos del eje x.

Una ecuacin cuadrtica puede tener slo una raz; es decir, la parbola corta slo un punto del eje x.

La parbola que no corta ningn punto del eje x, no tiene races reales; stas son imaginarias.

Una raz imaginaria es un nmero cuyo cuadrado es negativo; se representa como bi , donde b es un nmero real e i es la unidad imaginaria con la propiedad siguiente:

i2 = 1, de donde i = 1

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Ejemplos: I. A continuacin, se hace una tabulacin para graficar la ecuacin cuadrtica indicada,

visualizando, a partir de sta, la solucin o races de dicha ecuacin.

1. En el anlisis grfico de y = x2 + x 6: Tabulacin:

x y P(x, y) 4 y = (4)2 + (4) 6 = 6 P(4, 6) 3 y = (3)2 + (3) 6 = 0 P(3, 0) 2 y = (2)2 + (2) 6 = 4 P(2, 4) 1 y = (1)2 + (1) 6 = 6 P(1, 6) 0 y = (0)2 + (0) 6 = 6 P(0, 6) 1 y = (1)2 + (1) 6 = 4 P(1, 4) 2 y = (2)2 + (2) 6 = 0 P(2, 0)

Grfica:

raz raz

En este ejemplo, las abscisas de los puntos que cortan la parbola con el eje x, son dos y son enteros; luego, se visualiza con claridad que las intersecciones de la parbola con el eje x son: 3 y 2, valores correspondientes a y = 0. Luego, las soluciones o races de la ecuacin x2 + x 6 = 0 son: x = 3 y x = 2. Comprobacin: Para x = 3 Para x = 2 (3)2 + (3) 6 = 0 (2)2 + (2) 6 = 0 9 3 6 = 0 4 + 2 6 = 0 0 = 0 0 = 0 Al sustituir las races en la ecuacin, se verifica que son correctas.

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II. Mediante la visualizacin, se obtienen las races de la ecuacin cuadrtica representada en cada una de las grficas siguientes.

1.

Races:3 1

2.

Raz:1.5

113


3.

Races imaginarias

4.1.3 Resolucin de la ecuacin cuadrtica de una variable a travs del mtodo

analtico Dada la ecuacin cuadrtica con una incgnita (variable) de la forma: ax2 + bx + c = 0 a 0, Para encontrar las races o soluciones, adems de aplicar el mtodo grfico, se emplean comnmente dos mtodos ms: por factorizacin (completando al trinomio cuadrado perfecto) y frmula general. Mtodo por factorizacin Este mtodo consiste en factorizar, si es posible, la ecuacin cuadrtica, igualar cada factor a cero, obteniendo otra ecuacin, que debe despus ser resuelta. Ejemplo: Al resolver: x2 5x 14 = 0 La ecuacin, al factorizarse, puede representarse como: (x 7) (x + 2) = 0 Al igualar los dos factores a cero, se tiene: x 7 = 0 y x + 2 = 0 Si se resuelven estas ecuaciones, se encuentran los valores x = 7 y x = 2 As, las soluciones o races de la ecuacin x2 5x 14 = 0 son:

x = 7 x = 2 y

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Mtodo completando a trinomio cuadrado perfecto En este mtodo se busca un trinomio cuadrado perfecto, como se muestra en el ejemplo siguiente: Ejemplo: Al resolver: x2 6x 7 = 0 Se agrupan los trminos que contienen la variable en el miembro izquierdo de la igualdad y el trmino constante en el miembro derecho: x2 6x = 7

Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del trmino lineal: 32

6 = Este resultado se eleva al cuadrado: (3)2 = 9 Este otro resultado se suma a ambos lados de la igualdad y, as, la expresin del primer miembro se transforma en un trinomio cuadrado perfecto: x2 6x + 9 = 7 + 9 Se expresa el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado: (x 3)2 = 16 Se resuelve esta ecuacin, especificando que una potencia al cuadrado, al pasar del otro lado de la igualdad se convierte en raz cuadrada con los valores positivo y negativo.

x 3 = 16 Resolviendo esta ecuacin, se tiene: x 3 = 4 De la cual se derivan dos ecuaciones: x 3 = 4 y x 3 = 4 En donde: x = 4 + 3 y x = 4 + 3 As, las soluciones o races del sistema son:

x = 1x = 7 y

Mtodo por frmula general

Si se tiene una ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 La frmula general que permite encontrar las soluciones es:

a

acbbx2

42 =

En donde a, b, c son los coeficientes de la ecuacin cuadrtica, respectivamente.

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La expresin b2 4ac, se llama discriminante y determina las soluciones de la ecuacin cuadrtica.

Si b2 4ac > 0, la ecuacin tiene dos soluciones. Si b2 4ac = 0, la ecuacin tiene una solucin. Si b2 4ac < 0, la ecuacin tiene soluciones imaginarias.

Ejemplo: Al resolver: 3x2 4x + 1 = 0 Se identifica: a = 3, b = 4 y c = 1 Estos valores se sustituyen en la frmula general:

a

acbbx2

42 =

De donde: ( ) ( ) ( )( )

( )3213444 2 =x

=====+=

====3

1

6

2

6

24

16

6

6

24

6

24

6

44

6

12164

2

1

x

xx

As, las soluciones o races del sistema son:

1 x = 3 x = 1

2. Al resolver: 4x2 - 4x + 1 = 0 Se identifica: a = 4, b = 4 y c = 1 Estos valores se sustituyen en la frmula general:

a2

ac4bbx

2 =

De donde: ( ) ( ) ( )( )

( )4214444

x2 =

4

2,

8

4

8

04

8

16164 ==== xdondedex As, la solucin o raz del sistema es:

x = 1 2

116


3. Al resolver: 5x2 - 4x + 1 = 0 Se identifica: a = 5, b = 4 y c = 1 Estos valores se sustituyen en la frmula general:

a2

ac4bbx

2 =

De donde: ( ) ( ) ( )( )

( )5215444

x2 =

( )

,10

i24

10

144

10

144

10

44

10

20164x

=====

De donde

==+=+=

5

i

5

2

10

i2

10

4x

5

i

5

2

10

i2

10

4x

2

1

As, las soluciones o races del sistema son imaginarias:

x1 = 55

i2 +5

i x2 =

5

2 y

Ejercicios 3.2

I. Disea en equipo la ecuacin que modele las situaciones planteadas y encuentra la

solucin a cada una. Compara el resultado con el obtenido por los dems equipos.

1. En un rectngulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye en 1 centmetro cada lado, el rea inicial disminuye en 15 centmetros. Calcular las dimensiones y el rea del rectngulo inicial.

2. Halla 3 nmeros impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7.

3. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 aos la edad del padre ser el doble de la del hijo cuntos aos tiene ahora cada uno?

II. Mediante la visualizacin de la grfica, obtn las races de la ecuacin cuadrtica

representada en cada una de las grficas siguientes.

117


1.

2.

118


3.

4.

119


5.

6.

120


7.

III. Obtn grfica y analticamente la solucin de las siguientes ecuaciones cuadrticas.

1. x2 + 5x 6 = 0 2. x2 + 7x + 6 = 0 3. x2 2x 15 = 0 4. x2 4x + 4 = 0 5. x2 + 12x + 36 = 0 6. 3x2 + 2x 5 = 0 7. 5x2 + 4x + 1 = 0 8. 3x2 6x + 2 = 0 9. x2 3x + 4 = 0 10. 3x2 2x + 2 = 0

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BIBLIOGRAFA Gobran, Alfonse. (1990). lgebra elemental. Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica. Kaseberg, Alice. (2001). lgebra elemental, un enfoque justo a tiempo. Mxico: Thomson

Internacional. Northop, Eugene. (2002). Paradojas matemticas. Mxico: Limusa. Perelman,Yakov. (2001). lgebra recreativa. Mxico: Quinto Sol. Perero, Mariano. (1994). Historia e historias de matemticas. Mxico: Grupo Editorial

Iberoamrica. Pulido Chiunti, Antonio.(2007). Matemticas I. Mxico: SEV. Smith, Stanley y et al. (2001). Algebra. EUA: Addison-Wesley iberoamericana. Steen, Lynn Arthur. (2003). La enseanza agradable de las matemticas. Mxico:

Limusa. Swokowski, Earl W. y Jeffer A. Cole. (1996). lgebra y trigonometra con geometra

analtica. Mxico: Iberoamericana. ME. 3a ed.

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IntroduccinMtodo por factorizacinMtodo completando a trinomio cuadrado perfectoMtodo por frmula general

unidad 4 ecuaciones cuadraticas

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