trigonometria y su tratamiento metodologico. - herramientas cientificas y metodologicas para la...

Curso en Línea Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemática en la Educación Secundaria “Módulo de Trigonometría y su Tratamiento Metodológico”

Manual del Estudiante / Unidad I: La medida de la tierra 1



Créditos

AUTORIDADES DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Prof. Miriam Soledad Raudez Ministra de Educación Cro. Salvador Vanegas Asesor en Temas de Educación

DIRECTORES DE ÁREAS SUSTANTIVAS

Prof. María Elsa Guillén Directora General de Educación Secundaria Prof. Mónica Genet Guerrero Directora de Tecnología Educativa

AUTOR DE LA VERSIÓN ORIGINAL

Dr. Luis Adolfo Gámez Rodríguez Especialista en Matemática - UNAN León.

DISEÑO, EDICIÓN Y ADAPTACIÓN DE CONTENIDOS

MSc. Tomás Guido Especialista en Matemática - UNAN León.

APOYO AL DISEÑO, EDICIÓN Y REVISIÓN DE CONTENIDOS

Lic. Alberto Leonardo García Especialista en Matemática - Instituto Miguel de Cervantes.

Prof. Lissethe Carolina Balmaceda Especialista en Tecnología Educativa.

EDICIÓN DE GRÁFICAS Y DIAGRAMACIÓN DE CONTENIDOS

Prof. Lissethe Carolina Balmaceda Especialista en Tecnología Educativa. Cra. Yaosca Javiera Urroz Páramo Estudiante pasante – Informática Educativa UNAN

Managua.

COORDINACIÓN

Prof. Martha Torres Salazar Responsable de Formación en Tecnología Educativa

PORTADA Y CONTRAPORTADA

Cro. Josué Adán Sánchez Diseñador de Página Web



Índice

Plan de la Unidad I ..................................................................................................................................5

I. Presentación ....................................................................................................................................5

II. Indicadores de logro ........................................................................................................................5

III. Contenidos .......................................................................................................................................5

IV. Metodología ....................................................................................................................................5

V. Orientaciones didácticas y criterios de evaluación..........................................................................6

VI. Calendario .......................................................................................................................................8

VII. Porcentajes de calificación ..............................................................................................................9

VIII. Requisitos técnicos ..........................................................................................................................9

Unidad I: La medida de la tierra........................................................................................................10

Simbología de la unidad .........................................................................................................................10

Familiarización.......................................................................................................................................11

1. Introducción histórica .................................................................................................................20

2. Ángulo y Sistema Circular ..........................................................................................................29

2.1. Definición de ángulo trigonométrico ......................................................................................29

2.2. Ángulos en posición normal ...................................................................................................30

2.3. Medida angular .......................................................................................................................32

2.4. Conversiones de un sistema de medida a otro.........................................................................36

2.5. Ángulos coterminales: ............................................................................................................37

3. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo ...............................................................37

3.1. Propiedad fundamental de las razones trigonométricas ..........................................................39

3.2. Razones trigonométricas recíprocas........................................................................................39

3.3. Valores de las razones trigonométricas para los ángulos más usuales (notables)....................39

3.4. Estrategias para el cálculo de los valores de las razones trigonométricas ...............................44

3.5. Resolución de triángulos rectángulos. ....................................................................................45

3.6. Estrategias de resolución de triángulos rectángulos ................................................................56

3.7. Cálculo de las razones trigonométricas usando una calculadora científica .............................56

4. Funciones trigonométricas y sus gráficas ..................................................................................58

4.1. Circunferencia goniométrica...................................................................................................58

4.2. Funciones trigonométricas de un ángulo general ....................................................................62

4.3. Dominio y recorrido (rango) de las funciones trigonométricas ...............................................64

4.4. Valores de las razones trigonométricas en los ángulos que limitan cuadrantes .......................66



4.5. Propiedades de las funciones ..................................................................................................68

4.6. Gráficos de las funciones trigonométricas y sus propiedades .................................................73

4.7. Valores de las funciones trigonométricas para ángulos particulares .......................................79

4.8. Relación entre las razones de ángulos de distintos cuadrantes. ...............................................80

4.9. Razones trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios ...............................80

4.10. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman (suplementarios) y que

difieren 180º .......................................................................................................................................82

4.11. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman o difieren 270° ...............84

4.12. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman 360° ...............................86

4.13. Razones trigonométricas de ángulos opuestos ....................................................................87

4.14. Reducción a funciones de ángulos agudos positivos ...........................................................89

4.15. Funciones trigonométricas inversas y sus gráficos .............................................................91

Fuentes de información consultadas ................................................................................................. 102



Plan de la Unidad I

I. Presentación

La presente unidad busca que los participantes reconozcan sus debilidades y potencialidades

relacionadas con la enseñanza de la trigonometría, así como fortalecer sus prácticas pedagógicas en el aula de clase, mediante las competencias siguientes:

● Interpreta las características y propiedades de las funciones trigonométricas y los aplica

en triángulos rectángulos en la solución de problemas. ● Grafica funciones trigonométricas y sus inversas de acuerdo a sus propiedades.

Durante el estudio del contenido los estudiantes desarrollarán una serie de ejercicios prácticos y

de aplicación para reforzar la comprensión de los mismos.

La unidad tendrá una duración de 5 semanas y se desarrollará completamente bajo la modalidad en línea.

II. Indicadores de logro

Resuelve ejercicios aplicados a la conversión de radián a grado y viceversa.

Deduce las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Plantea y resuelve problemas prácticos de su realidad utilizando triángulos rectángulos.

Conoce y grafica las funciones trigonométricas y sus inversas de acuerdo a sus

propiedades de forma manual y utilizando herramientas tecnológicas.

Deduce el comportamiento de las funciones trigonométricas y sus inversas a partir de

sus gráficas.

III. Contenidos

1. Familiarizándonos con el tema 2. Introducción histórica

3. Ángulo sistema circular 4. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

5. Funciones trigonométricas y sus gráficas

IV. Metodología

La unidad se desarrollará bajo la modalidad a distancia en línea, a través del aula virtual del Portal Educativo Nicaragua Educa (http://www.nicaraguaeduca.edu.ni/av). Durante el desarrollo

el participante recibirá tutoría por parte de dos expertos profesionales, un tutor especialista en la disciplina de Matemática y de un dinamizador informático especialista en el uso y manejo del

aula virtual.

Debe dedicar como mínimo 1 hora diaria de estudio independiente, acumulando un total de 17 horas de estudio para superar exitosamente esta unidad. Este tiempo no requiere que el

http://www.nicaraguaeduca.edu.ni/av



participante se encuentre conectado al internet y al aula virtual, sin embargo se recomienda como mínimo ingresar al campus virtual 2 veces a la semana.

Como apoyo el participante debe recurrir al manual del estudiante donde encontrará el plan de la

unidad, el contenido científico y las orientaciones didácticas de las actividades de aprendizaje que deberá realizar para superar exitosamente la unidad.

V. Orientaciones didácticas y criterios de evaluación

Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios

Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios

Descripción Indicadores de logro Tipo

El estudiante debe atender las

siguientes indicaciones:

o Seleccionar un bloque de

ejercicios a resolver.

o Resolver los ejercicios seleccionados, ya sea de forma

manuscrita o bien utilizando programas de la computadora,

tales como MS Word, Paint y Geogebra.

o Enviar al tutor para revisión y calificación.

o Resuelve ejercicios

aplicados a la

conversión de radián

a grado y viceversa.

o Deduce las razones

trigonométricas en

triángulos

rectángulos.

o Plantea y resuelve

problemas prácticos

de su realidad

utilizando triángulos

rectángulos.

Individual

Material de consulta Horas de estudio/ Fecha

de entrega

Producto

Unidad I: La medida de la tierra o 4 horas

o Martes 17 de marzo

o Consulta.

o Envío de archivo.

Criterios de evaluación:

Aplicación de lo aprendido en el envío de la tarea.

Puntualidad.

Pertinencia y calidad en la resolución de los ejercicios.



Uso de software Matemático.

Actividad de aprendizaje 2: Resolvamos ejercicios.

Actividad 2.1: Envío la solución del bloque de ejercicios.


El estudiante debe atender las siguientes

indicaciones:

o Atender las indicaciones del Tutor

para la conformación de los grupos de trabajo.

o Ingresar al foro de discusión del

grupo de trabajo y seleccionar un moderador de grupo

o Distribuir los ejercicios de forma equitativa en el grupo de trabajo y

resolverlos, utilizando programas de la computadora, tales como MS

Word.

o Publicar en el foro del grupo de

trabajo las soluciones de los ejercicios en un solo archivo

adjunto de Word y entregar al tutor como trabajo de grupo.

o Conoce y grafica las

funciones

trigonométricas y sus

inversas de acuerdo a sus

propiedades de forma

manual y utilizando

herramientas

tecnológicas.

o Deduce el

comportamiento de las

funciones

trigonométricas y sus

inversas a partir de sus

gráficas.

Grupal

Material de consulta Horas de estudio/ Fecha de

entrega Producto

Unidad I: La medida de la tierra. o 4 horas

o Miércoles 01 de abril

o Foro con

envío de archivo.

Criterios de evaluación

Trabajo Colaborativo para la resolución de los ejercicios.

Aplicación de lo aprendido en el envío de los ejercicios.

Pertinencia y calidad en la resolución de los ejercicios.

Uso de software Matemático.



Actividad de cierre: Construyendo planes de clases

Actividad de cierre: Envío plan de clase


El estudiante debe atender las siguientes indicaciones:

o En base a la estructura definida por el MINED, construir un

plan de clase sobre uno de los contenidos estudiados.

o Publicar el plan de clase construido.

o Realimentar algunas propuestas de planes de clases construidas

por sus compañeros y compañeras de aula virtual.

o Construye estrategias

metodológicas para la

enseñanza de las

Funciones

Trigonométricas y sus

gráficas.

Individual

Material de consulta Horas de estudio/ Fecha

de entrega Producto

Unidad I: La medida de la tierra. o 5 horas

o Lunes 13 de abril

o Foro con

envío de archivo.

Criterios de evaluación:

Aplicación de lo aprendido en el diseño de un plan diario.

Puntualidad.

Pertinencia y calidad del contenido,

Pertinencia y calidad de la participación en el foro.

VI. Calendario

Actividad Inicia Termina

Comprobación de lectura 1: Contenido 2 y 3

Lunes 09 de marzo Miércoles 11 de

marzo

Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios.

Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios

Jueves 12 de marzo Martes 17 de marzo



Comprobación de lectura 1: Contenido 4 Miércoles 18 de marzo

Viernes 20 de marzo

Actividad de aprendizaje 2: Resolvamos

ejercicios. Actividad 2.1: Envío la solución del

bloque de ejercicios.

Lunes 23 de marzo Miércoles 01 de

abril

Actividad de cierre: Construyendo planes

de clases Actividad de cierre: Envío plan de clase

Lunes 06 de abril Lunes 13 de abril

VII. Porcentajes de calificación

Durante el desarrollo de esta unidad se valorará el progreso de los participantes mediante la superación de las actividades de aprendizaje. Será obligatoria la participación en todas las

actividades propuestas de forma individual y colaborativa en cada uno de los contenidos. Las actividades de aprendizaje tendrán una ponderación sobre la calificación final de la unidad.

Actividad de aprendizaje Puntaje

Comprobación de lectura 1: Contenido 2 y 3

3

Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios. Actividad 1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios

5

Comprobación de lectura 1: Contenido 4 3

Actividad de aprendizaje 2: Resolvamos ejercicios. Actividad 2.1: Envío la solución del bloque de ejercicios.

5

Actividad de cierre: Construyendo planes de clases

Actividad de cierre: Envío plan de clase 10

Puntaje de la unidad 26

VIII. Requisitos técnicos

Equipo informático recomendado: o Ordenador Pentium IV o superior.

o RAM 512 MB o más. Programas informáticos mínimos:

o Sistema operativo Windows. o Navegador de internet con flash instalado.

o Microsoft office, versión 97 en adelante. o Adobe reader / acrobat.



Unidad I: La medida de la tierra

Simbología de la unidad

Contenidos

1. Introducción histórica

2. Ángulo sistema circular

3. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo




Familiarización

Introducción

El objetivo fundamental de la enseñanza de la matemática en el nivel de secundaria es hacer que

los alumnos desarrollen sus capacidades de intuición, abstracción y de razonamiento lógico-matemático; que se expresa en el conocimiento de los conceptos y propiedades, su disposición

para aplicarlos en la resolución de problemas diversos. Para el logro de este propósito, es imprescindible que los docentes que enseñan esta disciplina científica tengan un amplio y

profundo conocimiento de la matemática, para así proveer de una amplia cultura matemática a sus pupilos.

El estudio de la trigonometría puede convertirse en un proceso memorístico, rutinario y

mecánico, sin ningún sentido ni utilidad si no se brindan las condiciones suficientes para ello. Por esta razón, es importante brindarle al estudiante no sólo una serie de conceptos, si no las

herramientas y estrategias necesarias para que explore, analice, relacione, conjeture, demuestre y aprenda con sentido los conceptos y propiedades trigonométricos, que aprenda a utilizar

diferentes procedimientos y estrategias de razonamiento, a producir distintos tipos de demostración en la solución de problemas de conjetura y demostración de las propiedades

trigonométricas y a relacionar las diferentes representaciones de los conceptos de tal manera que el aprendizaje sea más efectivo y duradero.

Por tal razón en el presente acápite mostramos algunas estrategias metodológicas que pueden ser

utilizadas por las y los docentes de educación secundaria para que las y los estudiantes adquieran de manera significativa el aprendizaje de los contenidos que en educación secundaria se enseñan

sobre la trigonometría.

Contenido: Ángulos y Sistema Circular

Estrategias Metodológicas:

1) A partir del uso de la dinámica de la pelota calienta o del lápiz hablante, el docente hace

que las y los estudiantes expresen sus ideas sobre los conceptos de “Ángulo plano,

Ángulo de una vuelta, Ángulos en posición normal, Sistema Sexagesimal, Sistema Radial

o Circular, Sistema Centesimal o Francés, Ángulos Coterminales”.

2) Con la colaboración de las y los estudiantes, a partir de las ideas que estos expresaron

sobre los conceptos de Ángulo plano, Ángulo de una vuelta, Ángulos en posición normal,

Sistema Sexagesimal, Sistema Radial o Circular, Sistema Centesimal o Francés, Ángulos

Coterminales, realizan un cuadro sinóptico o un mapa conceptual, para una mejor

comprensión del contenido.

Familiarización



3) Con la ayuda de un cuadro resumen, presentar y explicar los factores de conversión de los Sistema Sexagesimal, Sistema Radial o Circular, Sistema Centesimal o Francés a las y

los estudiantes.

4) Realizar ejemplos prácticos y sencillos de situaciones de la vida diaria, donde se apliquen los ángulos en posición normal, ángulos coterminales y los factores de conversión de los

Sistema Sexagesimal, Sistema Radial o Circular, Sistema Centesimal o Francés

5) Aplicar a la solución de ejercicios los conceptos de Ángulos en posición normal, factores

de conversión de Sistema Sexagesimal, Sistema Radial o Circular, Sistema Centesimal o

francés, y Ángulos Coterminales.

6) En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes realicen ejercicios que tú propongas, sobre ángulos en posición normal, ángulos

coterminales y los factores de conversión de los Sistema Sexagesimal, Sistema Radial o Circular, Sistema Centesimal o Francés, para una mejor comprensión del contenido.

7) Utilizar las actividades propuestas sobre Ángulos y su medición que aparecen en:

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_1_e.html,

http://luisamariaarias.wordpress.com/matematicas/tema-5/,

http://matematica1.com/category/sistemas-de-medicion-angular/,

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Tiempo_y_angulos_d

3/angulosreloj.htm, http://www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso13angulos.pdf,

http://matematica1.com/conversion-de-sistemas-de-medidas-angulares-en-trigonometria-

de-sexto-grado-de-primaria-pdf/, http://genmagic.org/mates2/gs1c.swf,

http://aula.tareasplus.com/Equipo-Tareasplus/Ejercicios-resueltos-de-Trigonometria-

Plana, para una mejor comprensión del contenido.

8) Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre “Ángulo plano,

Ángulo de una vuelta, Ángulos en posición normal, Sistema Sexagesimal, Sistema Radial

o Circular, Sistema Centesimal o Francés, Ángulos Coterminales”, de las siguientes

páginas web: https://www.youtube.com/watch?v=HMSxITgkxtM,

https://www.youtube.com/watch?v=Tw10kabyV_c,

https://www.youtube.com/watch?v=_CNiEvjWDPk,

https://www.youtube.com/watch?v=958r0urlrn4,

Contenido: Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo


1. Orientar como tarea en casa en la clase previa al desarrollo del contenido Razones Trigonométricas, que las y los estudiantes indaguen a través de internet, libros, etcétera,

sobre las razones trigonométricas.

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_1_e.html,%20http:/luisamariaarias.wordpress.com/matematicas/tema-5/

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_1_e.html,%20http:/luisamariaarias.wordpress.com/matematicas/tema-5/

http://matematica1.com/category/sistemas-de-medicion-angular/

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Tiempo_y_angulos_d3/angulosreloj.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Tiempo_y_angulos_d3/angulosreloj.htm

http://www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso13angulos.pdf

http://matematica1.com/conversion-de-sistemas-de-medidas-angulares-en-trigonometria-de-sexto-grado-de-primaria-pdf/

http://matematica1.com/conversion-de-sistemas-de-medidas-angulares-en-trigonometria-de-sexto-grado-de-primaria-pdf/

http://genmagic.org/mates2/gs1c.swf

http://aula.tareasplus.com/Equipo-Tareasplus/Ejercicios-resueltos-de-Trigonometria-Plana


https://www.youtube.com/watch?v=HMSxITgkxtM

https://www.youtube.com/watch?v=Tw10kabyV_c

https://www.youtube.com/watch?v=_CNiEvjWDPk

https://www.youtube.com/watch?v=958r0urlrn4



Luego en la sesión de clase en la que se va a desarrollar dicho contenido permitir unas

cinco intervenciones de lo que las y los estudiantes indagaron referente al contenido.

2. Con la ayuda de un cuadro resumen, presentar y explicar las razones trigonométricas y sus propiedades a las y los estudiantes.

3. Con la ayuda de la dinámica la canasta revuelta el docente selecciona algunos estudiantes

para que indiquen las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo que el docente les presentara dibujadas en trozos de cartulina o en la pizarra.

4. Realizar ejemplos prácticos y sencillos donde se apliquen las razones trigonométricas en

situaciones de la vida diaria.

5. Tras explicar el contenido de razones trigonométricas, pedirle a las y los estudiantes que dibujen en su cuaderno con la ayuda de regla y transportador, diferentes triángulos y

realiza el cálculo de sus razones trigonométricas.

6. Aplicar a la solución de ejercicios los conceptos de Razones trigonométricas en un

triángulo rectángulo.

7. En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes

realicen ejercicios que tú propongas, sobre razones trigonométricas, para una mejor comprensión del contenido.

8. Utilizar las actividades propuestas sobre el cálculo de las razones trigonométricas que

aparecen en las siguientes páginas web:

http://matematica1.com/category/razones-trigonometricas-de-angulos-agudos/,

https://sites.google.com/site/aprendiendotrigonometria/guias-de-aprendizaje/guia-3-

razones-trigonometricas, http://www.julioprofe.net/p/trigonometria.html,

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_3_e.html, http://aula.tareasplus.com/Equipo-

Tareasplus/Ejercicios-resueltos-de-Trigonometria-Plana, para una mejor comprensión del

contenido.

9. Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre “Razones

Trigonométricas”, de las siguientes páginas web:

https://www.youtube.com/watch?v=idAPsVprc9Q,

https://www.youtube.com/watch?v=WFzh7BUkELI,

https://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y,

https://www.youtube.com/watch?v=mf6EKunOnzw,

https://www.youtube.com/watch?v=fe2yMha5shY.

http://matematica1.com/category/razones-trigonometricas-de-angulos-agudos/

https://sites.google.com/site/aprendiendotrigonometria/guias-de-aprendizaje/guia-3-razones-trigonometricas

https://sites.google.com/site/aprendiendotrigonometria/guias-de-aprendizaje/guia-3-razones-trigonometricas

http://www.julioprofe.net/p/trigonometria.html

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_3_e.html



https://www.youtube.com/watch?v=idAPsVprc9Q

https://www.youtube.com/watch?v=WFzh7BUkELI

https://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y

https://www.youtube.com/watch?v=mf6EKunOnzw

https://www.youtube.com/watch?v=fe2yMha5shY



Contenido: Resolución de triángulos rectángulos y sus aplicaciones


1) Proporcionar a los alumnos en la clase anterior un mapa conceptual del tema a desarrollar

(Resolución de triángulos rectángulos y sus aplicaciones), pero incompleto, para que los

alumnos lo completen en casa, buscando información en libros de texto, en internet, etc.

2) A partir de la dinámica del lápiz hablante, seleccionar a algunos estudiantes para que

presenten su mapa conceptual completo, orientado en la clase anterior, para iniciar un

pequeño debate sobre cual está completo de forma correcta.

3) Presentar representaciones graficas de las distintas aplicaciones de los triángulos

rectángulos, con su debida explicación para una mejor comprensión del contenido.

4) A partir de situaciones del entorno el docente establece ejemplos claros y sencillos de las aplicaciones de los triángulos rectángulos, para una mejor comprensión del contenido.

5) Con la ayuda de la dinámica la canasta revuelta el docente selecciona algunos estudiantes

para que indiquen las aplicaciones de los triángulos rectángulos que el docente les presentara dibujadas en trozos de cartulina o en la pizarra.

6) Pedirle a las y los estudiantes que lleven a la clase figuras, láminas, imágenes o dibujos de

las distintas aplicaciones de los triángulos rectángulos para analizar su utilidad en la vida cotidiana.

7) A través del Juego de adivinación, se les presenta a las y los estudiantes una colección de

figuras con las aplicaciones de los triángulos rectángulos. El juego consiste en que una persona (Docente o Alumno) elige una, no dice cual eligió y el resto de la clase tiene que

preguntar para adivinar cuál aplicación de los triángulos rectángulos es.

Desde la perspectiva de las y los alumnos, la finalidad del juego es adivinar cuál es la aplicación de los triángulos rectángulos que representa la figura seleccionado por el

docente o por un alumno. La restricción es que las preguntas sólo pueden ser contestadas por “Sí” o por “No”.

También puede plantearse en pequeños grupos, cada grupo con su colección de figuras en

los que el rol de elegir sea rotativo.

8) Aplicar a la solución de ejercicios los conceptos de Resolución de triángulos rectángulos

y sus aplicaciones.

9) En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes realicen ejercicios que tú propongas, sobre Resolución de triángulos rectángulos y sus

aplicaciones, para una mejor comprensión del contenido.



10) Utilizar la información y actividades propuestas sobre la Resolución de triángulos rectángulos y sus aplicaciones que aparecen en las páginas web:

http://aula.tareasplus.com/Equipo-Tareasplus/Ejercicios-resueltos-de-Trigonometria-Plana, http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e.html#uno,

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htm, https://sites.google.com/site/eet285trigonometria/Teorema-de-Pitgoras/problemas-con-

triangulos-rectangulos, http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM,

para una mejor comprensión del contenido.

11) Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre la Resolución de triángulos rectángulos y sus aplicaciones de las siguientes páginas web:

https://www.youtube.com/watch?v=0V8Jxi7WDzg, https://www.youtube.com/watch?v=sklZpuCqSe0,

https://www.youtube.com/watch?v=d22GYJ6GPPI, https://www.youtube.com/watch?v=Uh9HStejFfQ,

https://www.youtube.com/watch?v=vx9aJzlJIjs, https://www.youtube.com/watch?v=iqdP88JLQM0,

Contenido: Calculo de Razones Trigonométricas usando una calculadora científica


1) Orientar como tarea en casa en la clase previa al desarrollo del contenido Cálculo de Razones Trigonométricas usando una calculadora científica, que las y los estudiantes

indaguen a través de internet, libros, etcétera, sobre el manejo de las calculadoras cientificas.

Luego en la sesión de clase en la que se va a desarrollar dicho contenido permitir unas

cinco intervenciones de lo que las y los estudiantes indagaron referente al contenido.

2) Con la ayuda de un cuadro resumen, presentar y explicar cómo se utiliza, así como sus principales aplicaciones de una calculadora científica a las y los estudiantes.

3) Con la ayuda de la dinámica la canasta revuelta el docente selecciona algunos estudiantes para que muestren el uso de la calculadora científica aplicando al cálculo de las razones

trigonométricas.

4) Realizar ejemplos prácticos y sencillos donde se aplique el uso de la calculadora al cálculo de las razones trigonométricas en situaciones de la vida diaria.

5) Aplicar a la solución de ejercicios el uso de la calculadora científica en el cálculo de las

razones trigonométricas.

6) En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes realicen ejercicios que tú propongas, sobre el uso de la calculadora científica en el cálculo

de las razones trigonométricas, para una mejor comprensión del contenido.



http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e.html#uno

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htm

https://sites.google.com/site/eet285trigonometria/Teorema-de-Pitgoras/problemas-con-triangulos-rectangulos

https://sites.google.com/site/eet285trigonometria/Teorema-de-Pitgoras/problemas-con-triangulos-rectangulos

http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM

https://www.youtube.com/watch?v=0V8Jxi7WDzg

https://www.youtube.com/watch?v=sklZpuCqSe0

https://www.youtube.com/watch?v=d22GYJ6GPPI

https://www.youtube.com/watch?v=Uh9HStejFfQ

https://www.youtube.com/watch?v=vx9aJzlJIjs

https://www.youtube.com/watch?v=iqdP88JLQM0



7) Utilizar las actividades propuestas sobre el uso de la calculadora científica en el cálculo

de las razones trigonométricas que aparecen en las siguientes páginas web:

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/1750/1980/html/23_utilizac

in_de_la_calculadora_en_trigonometra.html,

http://www.amolasmates.es/pdf/Curso%20avanzado%20calculadora%20cientifica.pdf,

http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=15195,

http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_4/ud2/2_11

.html, http://www.julioprofe.net/p/trigonometria.html,

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf,

http://www.math2me.com/playlist/trigonometria/modo-deg-rad-grad-de-una-calculadora-

cientifica,

8) Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre el uso de las

calculadoras científicas en el cálculo de las razones trigonométricas de las siguientes

páginas web: https://www.youtube.com/watch?v=2uzw51rOzSs,

https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA,

https://www.youtube.com/watch?v=Eb4digfZSOU,

https://www.youtube.com/watch?v=cCQQVjztga8,

https://www.youtube.com/watch?v=TlTlq6p_TI0,

http://educacion.practicopedia.lainformacion.com/matematicas/como-usar-una-

calculadora-cientifica-10598, https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA,

https://www.youtube.com/watch?v=ZbMxa_E2vUI,

Contenido: Funciones trigonométricas y sus gráficas


1) Proporcionar a las y los estudiantes en la clase anterior un mapa conceptual del tema a

desarrollar (Funciones trigonométricas y sus graficas), pero incompleto, para que los

alumnos lo completen en casa, buscando información en libros de texto, en internet, etc.


presenten su mapa conceptual completo, orientado en la clase anterior, para iniciar un


3) Presentar representaciones gráficas, características y propiedades de las distintas

Funciones trigonométricas, con su debida explicación para una mejor comprensión del

contenido.


para que indiquen las características y las gráficas de las funciones trigonométricas que el docente les presentara dibujadas en trozos de cartulina o en la pizarra.

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/1750/1980/html/23_utilizacin_de_la_calculadora_en_trigonometra.html

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/1750/1980/html/23_utilizacin_de_la_calculadora_en_trigonometra.html

http://www.amolasmates.es/pdf/Curso%20avanzado%20calculadora%20cientifica.pdf

http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=15195

http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_4/ud2/2_11.html

http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_4/ud2/2_11.html

http://www.julioprofe.net/p/trigonometria.html

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf

http://www.math2me.com/playlist/trigonometria/modo-deg-rad-grad-de-una-calculadora-cientifica

http://www.math2me.com/playlist/trigonometria/modo-deg-rad-grad-de-una-calculadora-cientifica

https://www.youtube.com/watch?v=2uzw51rOzSs

https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA

https://www.youtube.com/watch?v=Eb4digfZSOU

https://www.youtube.com/watch?v=cCQQVjztga8

https://www.youtube.com/watch?v=TlTlq6p_TI0

http://educacion.practicopedia.lainformacion.com/matematicas/como-usar-una-calculadora-cientifica-10598

http://educacion.practicopedia.lainformacion.com/matematicas/como-usar-una-calculadora-cientifica-10598

https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA

https://www.youtube.com/watch?v=ZbMxa_E2vUI



5) Pedirle a las y los estudiantes que lleven a la clase figuras, láminas, imágenes o dibujos donde se apliquen las distintas graficas de las funciones trigonométricas para analizar su

utilidad en la vida cotidiana.

6) A través del Juego de adivinación, se les presenta a las y los estudiantes una colección de imágenes con las gráficas, de las funciones trigonométricas. El juego consiste en que una

persona (Docente o Alumno) elige una, y no dice cual eligió y el resto de la clase tiene que preguntar para adivinar cuál de las funciones trigonométricas es, mencionando

características o propiedades que cumple la función de la imagen elegida.

Desde la perspectiva de las y los alumnos, la finalidad del juego es adivinar cuál es la función trigonométrica que representa la imagen seleccionado por el docente o por un

alumno. La restricción es que las preguntas sólo pueden ser contestadas por “Sí” o por “No”.

También puede plantearse en pequeños grupos, cada grupo con su colección de imágenes

en los que el rol de elegir sea rotativo.

7) Aplicar a la solución de ejercicios las características, propiedades y trazado de graficas de

las funciones trigonométricas.

8) En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes

realicen ejercicios que tú propongas, sobre trazado de gráficas de las funciones trigonométricas, así como de sus propiedades y características para una mejor


9) Utilizar la información y actividades propuestas sobre las funciones trigonométricas y sus graficas que aparecen en las páginas web:

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf, http://es.slideshare.net/Matematicas_PR/ejemplo-propiedades-funciones-trigonomtricas-

9417101, http://www.analyzemath.com/spanish/Trigonometry.html, http://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/graficas-funciones-trigonometricas,

http://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa3/n1/m10.html, http://blog.educastur.es/masmate1bct/files/2012/03/representaciones-graficas-de-

funciones-trigonometricas.pdf, file:///C:/Users/claro1/Downloads/Grafico_de_funciones_trigonomatricas.pdf,

http://matematica1.com/category/funciones-trigonometricas-directas/, para una mejor comprensión del contenido.

10) Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre las Funciones

trigonométricas y sus graficas de las siguientes páginas web: https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs,

https://www.youtube.com/watch?v=sHnY3tnO81Q, https://www.youtube.com/watch?v=d79JTZtFfFk,

https://www.youtube.com/watch?v=l6NDonI8juk, https://www.youtube.com/watch?v=S6-cqLqQRBU,

https://www.youtube.com/watch?v=K-NpSDh24J4, https://www.youtube.com/watch?v=VJCHl0uWR-A,


http://es.slideshare.net/Matematicas_PR/ejemplo-propiedades-funciones-trigonomtricas-9417101

http://es.slideshare.net/Matematicas_PR/ejemplo-propiedades-funciones-trigonomtricas-9417101

http://www.analyzemath.com/spanish/Trigonometry.html

http://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/graficas-funciones-trigonometricas

http://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa3/n1/m10.html

http://blog.educastur.es/masmate1bct/files/2012/03/representaciones-graficas-de-funciones-trigonometricas.pdf

http://blog.educastur.es/masmate1bct/files/2012/03/representaciones-graficas-de-funciones-trigonometricas.pdf

http://matematica1.com/category/funciones-trigonometricas-directas/

https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs

https://www.youtube.com/watch?v=sHnY3tnO81Q

https://www.youtube.com/watch?v=d79JTZtFfFk

https://www.youtube.com/watch?v=l6NDonI8juk

https://www.youtube.com/watch?v=S6-cqLqQRBU

https://www.youtube.com/watch?v=K-NpSDh24J4

https://www.youtube.com/watch?v=VJCHl0uWR-A



https://www.youtube.com/watch?v=o4FKWOFAOLU, https://www.youtube.com/watch?v=Qq3mSlKmXdM,

Contenido: Funciones Trigonométricas inversas y sus gráficos


1) Proporcionar a las y los estudiantes en la clase anterior un cuadro sinóptico del tema a

desarrollar (Funciones trigonométricas inversas y sus graficas), pero incompleto, para que

los alumnos lo completen en casa, buscando información en libros de texto, en internet,

etc.


presenten su cuadro sinóptico completo, orientado en la clase anterior, para iniciar un


3) Presentar representaciones graficas de las distintas Funciones trigonométricas inversas

con sus características y propiedades, con su debida explicación para una mejor



para que indiquen las características y las gráficas de las funciones trigonométricas inversas, que el docente les presentara dibujadas en trozos de cartulina o en la pizarra.

5) Pedirle a las y los estudiantes que lleven a la clase figuras, láminas, imágenes o dibujos

donde se apliquen las distintas graficas de las funciones trigonométricas inversas para analizar su utilidad en la vida cotidiana.

6) A través del Juego de adivinación, se les presenta a las y los estudiantes una colección de

imágenes con las gráficas, de las funciones trigonométricas inversas. El juego consiste en que una persona (Docente o Alumno) elige una, y no dice cual eligió y el resto de la clase

tiene que preguntar para adivinar cuál de las funciones trigonométricas inversa es, mencionando características o propiedades que cumple la función de la imagen elegida.

Desde la perspectiva de las y los alumnos, la finalidad del juego es adivinar cuál es la

función trigonométrica inversa que representa la imagen seleccionado por el docente o por un alumno. La restricción es que las preguntas sólo pueden ser contestadas por “Sí” o

por “No”.

También puede plantearse en pequeños grupos, cada grupo con su colección de imágenes en los que el rol de elegir sea rotativo.

7) Aplicar a la solución de ejercicios las características, propiedades y trazado de graficas de

las funciones trigonométricas inversas.

8) En grupo de trabajo de tres o cuatro estudiantes como máximo, haz que tus estudiantes realicen ejercicios que tú propongas, sobre trazado de gráficas de las funciones

https://www.youtube.com/watch?v=o4FKWOFAOLU

https://www.youtube.com/watch?v=Qq3mSlKmXdM



trigonométricas inversas, así como de sus propiedades y características para una mejor comprensión del contenido.

9) Utilizar la información y actividades propuestas sobre las funciones trigonométricas

inversas y sus graficas que aparecen en las páginas web: http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/144/mod_resource/content/1/cap4.pdf,

http://matematica1.com/category/funciones-trigonometricas-inversas/, http://www.fic.umich.mx/~lcastro/funciones%20trigonometricas%20inversas.pdf,

https://www.youtube.com/watch?v=ZQ57cWOvJjM, http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf,

http://matematica.pe/funciones-trigonometricas-inversas-problemas-con-respuestas-de-nivel-uni-pdf/, ,

http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap6_6.pdf,

10) Presentar un video para afianzar los conocimientos adquiridos sobre las Funciones trigonométricas y sus graficas de las siguientes páginas web: https://www.youtube.com/watch?v=WjVg01YZKMY, https://www.youtube.com/watch?v=Hb_LCMun4OA,

https://www.youtube.com/watch?v=vilHh5eAuPs, https://www.youtube.com/watch?v=fud16_uB24Y,

https://www.youtube.com/watch?v=Wab23typxWw, https://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0,

https://www.youtube.com/watch?v=Ldtu4Kn4E5U, https://www.youtube.com/watch?v=MWzI2jruTe4,

http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/144/mod_resource/content/1/cap4.pdf

http://matematica1.com/category/funciones-trigonometricas-inversas/

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/funciones%20trigonometricas%20inversas.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=ZQ57cWOvJjM


http://matematica.pe/funciones-trigonometricas-inversas-problemas-con-respuestas-de-nivel-uni-pdf/

http://matematica.pe/funciones-trigonometricas-inversas-problemas-con-respuestas-de-nivel-uni-pdf/

http://crodz3172.files.wordpress.com/2012/08/swokowski_precalculus11e_cap6_6.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=WjVg01YZKMY

https://www.youtube.com/watch?v=Hb_LCMun4OA

https://www.youtube.com/watch?v=vilHh5eAuPs

https://www.youtube.com/watch?v=fud16_uB24Y

https://www.youtube.com/watch?v=Wab23typxWw

https://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0

https://www.youtube.com/watch?v=Ldtu4Kn4E5U

https://www.youtube.com/watch?v=MWzI2jruTe4



1. Introducción histórica

EGIPTO 2000-1800 a.C.

En el problema 56 del Papiro de Rhind o de Ahmes (en la

figura se puede observar un detalle de este papiro) se encuentran por primera vez rudimentos de trigonometría y

de teoría de triángulos semejantes. Del problema de mantener la pendiente de cada cara constante durante la

construcción de una pirámide, surge lo que podríamos considerar como la primera razón trigonométrica. Los

egipcios tenían en cuenta el cociente entre “el avance” y “la subida” para medir la pendiente, es decir, lo hacían por

medio del cociente entre la variación horizontal y la vertical (la actual cotangente) a la que llamaban “seqt”. Hoy en día esta razón tiene importancia

en arquitectura, donde se llama a esta medida “desplome”. En el problema 56 de este Papiro, se pide calcular el “seqt” de una pirámide de la que se conocen la altura y base.

BABILONIA 1900-1600 a. C.

En la tablilla 322 de la colección Plimpton, conservada en la Universidad de Columbia, aparece otro “germen” de la trigonometría. Esta tablilla muestra una

tabla con una serie de ternas pitagóricas formadas por números enteros (idearon un método para obtenerlas) y

aparece también en la tabla la razón entre hipotenusa y cateto mayor (la actual secante) en una secuencia de grado

en grado de 31º a 45º. Esta tabla fue utilizada en los problemas de medir áreas de cuadrados o lados de

triángulos rectángulos.



Pero las tablillas mesopotámicas y los papiros egipcios, como todos los documentos prehelénicos,

contienen siempre casos prácticos, sin ninguna formulación general, son unas matemáticas totalmente utilitarias.

EL NACIMIENTO DE LA TRIGONOMETRÍA. GRECIA.

La trigonometría surge en Grecia para dar respuesta a problemas clásicos de la Astronomía de la época. Aristarco de Samos escribió un tratado (en torno al 260

A de C) titulado Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna en el que, por medio de la semejanza de triángulos, daba la relación entre las distancias Tierra-

Sol y Tierra-Luna.

Otro trabajo que aportó nuevas muestras de que en aquella época se daba el ambiente idóneo para el nacimiento de la

trigonometría, es el de Eratóstenes de Cirene (276 A de C -194 A de C), que, en su tratado, Sobre la medida de la tierra, aproxima el tamaño de ésta utilizando una medición del ángulo

entre dos ciudades, Assuan y Syena, situadas en el mismo meridiano, obteniendo el resultado de un cincuentavo de círculo

completo, para después multiplicar por 50 la distancia entre estas dos ciudades y obtener así una aproximación bastante buena de

la longitud de la circunferencia de la tierra, de unos 250 000 estadios, o lo que es lo mismo, unos 46 000 Km. En

este trabajo se aprecia cómo se empiezan a relacionar ángulos (en la circunferencia) y distancias (longitud del

arco). El intento de profundizar en el conocimiento de estas relaciones, para aplicarlo en multitud de problemas

astronómicos, de navegación, agrimensura, etc., fue lo que impulsó el desarrollo de la trigonometría.

Poco después de estos trabajos aparece la obra de Hiparco de Nicea, considerado el padre de la trigonometría porque elabora la primera tabla

trigonométrica de la que se tiene constancia. Hiparco de Nicea (180- A de C - 125 A de C) se ocupó de elaborar una tabla en la que aparecieran

valores de arcos y sus cuerdas correspondientes, así como la razón entre éstos, para una serie completa de ángulos. La contribución que se le

atribuye a Hiparco es la de organizar y ordenar los datos empíricos obtenidos por los babilonios. No

sabemos con precisión cuando comenzó a usarse una división del círculo completo en 360º, pero parece ser

que este hecho se debe principalmente a Hiparco, que utilizó tal división en su tabla de cuerdas, debido probablemente a la astronomía, donde el zodiaco

había sido dividido en 12 “signos” o 36 “decanes”, divididos éstos a su vez en 30 o 10 partes, respectivamente.



Otro de los personajes que ayudó al desarrollo de la trigonometría en la antigua

Grecia fue Menelao de Alejandría (100 A de C.), que en el tratado Esférica, libro I, establece las bases de la trigonometría esférica, estudiando y deduciendo

algunas propiedades de los triángulos esféricos.

Pero fue la obra de Ptolomeo la de mayor importancia en cuanto a lo que concierne a los orígenes de la trigonometría. En su obra Sintaxis matemática

(que fue llamada por los árabes Almagesto), escrita durante el segundo siglo de nuestra era, de la cual se conservan copias, Ptolomeo realiza un tratado

astronómico, en el que calcula tablas de cuerdas, usadas para “leer” la posición de los astros. En este tratado Ptolomeo presenta un importante resultado, del

cual se deducen como casos particulares fórmulas para el cálculo de cuerdas para la suma y diferencia de arcos, y de éstas las del arco doble y mitad. Con estas herramientas,

Ptolomeo tuvo más fácil la elaboración de tablas de cuerdas con mayor exactitud, e incluyó en su Almagesto una para ángulos desde medio grado hasta 180º, de medio en medio grado. Para ello,

Ptolomeo utilizó también la división de la circunferencia en 360 partes (grados), las cuales a su vez fueron subdivididas en 60 partes (partes minutae primae, de aquí la procedencia del término

minuto) y cada una de estas también fue dividida en otras 60 partes (partes minutae secundae, y, de aquí la

procedencia de segundo). El hecho de tomar subdivisiones de 60 partes se debe a que el sistema de

numeración sexagesimal que utilizaban los babilónicos por aquella época, era mucho más eficaz para operar con

fracciones que el sistema de fracciones unitarias egipcias, y el de las fracciones usuales de los griegos.

Además Ptolomeo también dividió el diámetro de su círculo trigonométrico en 120 partes, quedando el radio dividido en 60. Las tablas que elaboró Ptolomeo en el Libro I

de Almagesto fueron una herramienta indispensable para los astrónomos durante más de mil años.

No está claro que hubiera progresos importantes en la trigonometría de

Ptolomeo, en el año 150 de nuestra era, respecto a la de Hiparco en el año 150 A de C, o incluso respecto a Apolonio y

Arquímedes cien años antes. Pero lo que es claro, es que desde ese momento en que la trigonometría

satisface todas las exigencias prácticas de los problemas astronómicos, se deja de profundizar en su

estudio, ya que en esta época imperaba un movimiento a la práctica que dominó durante tres siglos. Pero más tarde estas técnicas serían

estudiadas de nuevo por árabes e hindúes, los cuales harán de puente entre la matemática antigua y el mundo moderno.



LA TRIGONOMETRÍA HINDÚ

Los Siddhãntas son unas obras escritas, que aparecieron hacia finales del siglo IV, que recogen conocimientos sobre astronomía.

En ellos se puede observar una gran influencia de las teorías astronómicas griegas, y particularmente de la trigonometría y

astronomía de Ptolomeo. Pero aunque los hindúes adquiriesen sus conocimientos acerca de la trigonometría de Grecia, le dieron una

nueva forma muy significativa.

La trigonometría de Ptolomeo se basaba en la relación entre las cuerdas y los correspondientes arcos o ángulos centrales que ellas subtienden, pero los hindúes estudiaron la razón entre la

mitad de la cuerda (semicuerda) y la mitad del arco, y esta razón fue el antecesor de nuestro actual seno.

No mucho después de los Siddhãntas, durante el siglo VI, vivió Aryabhata, cuya obra más conocida, titulada Aryabhatiya, es un

delgado volumen escrito en verso que recoge temas de astronomía y matemáticas. Sin ninguna relación con la lógica o la metodología

deductiva más propias de la matemática griega, Aryabhata también realizó tablas donde se dan los senos de los ángulos menores o iguales

que 90º para 24 intervalos angulares de 3 y ¾ de grado cada uno. Las tablas incluyen también los valores de lo que llamamos seno verso

de un ángulo es decir, (1- senθ). Aryabatha utilizó una circunferencia de 360·60 = 21 600 unidades, para lo que tuvo que tomar entonces un radio de 3 438 unidades (utilizando una

aproximación de correcta hasta la milésima), por lo tanto, habría que dividir los valores de la

tabla entre ese radio, para obtener unas tablas de senos bastante precisas.

LA TRIGONOMETRÍA ÁRABE

Un par de siglos después de Aryabatha, aparecen las primeras referencias sobre trigonometría en Arabia. Estas referencias en

principio adoptaban el modelo de cuerdas griego, pero finalmente se decantaron por el modelo hindú, basando así su teoría sobre la

función seno, y fue a través de los árabes como llegó a Europa la trigonometría del seno.

Una de las obras destacables es la de Al-Battani (850-929), conocido en Europa como

Albategnius, que en su libro Sobre el movimiento de las estrellas aplica la trigonometría directamente al triángulo rectángulo, obteniendo una fórmula que en la actualidad se leería

como



donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y A el ángulo opuesto al lado a.

Un siglo más tarde, en la época de Abu´l-Wefa (939-998), la función tangente era ya conocida y se podía expresar la relación anterior como a=b

tan A. Los árabes calculaban la función tangente sobre el círculo unidad, lo que no ocurría con la función seno de los hindúes, acercándose un poco más a

la idea de la trigonometría moderna. Además el trabajo de Abu´l-Wefa fue un trabajo más sistemático, “a la griega”, en la que se

demuestran ya importantes resultados como las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad, o el teorema de los

senos para triángulos esféricos. También realizó una tabla de senos de ángulos de cuarto en cuarto grado con ocho cifras decimales exactas, una tabla de

tangentes, y utilizó en sus cálculos las seis funciones trigonométricas usuales y diversas relaciones entre ellas, pero esta utilización de las seis funciones no

pareció ser muy seguida en el periodo medieval.

Pero los árabes llevaron la trigonometría más allá, Al-Biruni (973-1048), al resolver el

problema de inscribir un polígono regular de nueve lados en una circunferencia, lo reduce a

resolver la ecuación , por medio de la fórmula matemática para cos3θ.

También en aquella época, Ibn-Yunus, introdujo la fórmula

que es una de las cuatro fórmulas de transformación “de productos a sumas” que se utilizaron en Europa durante el siglo XVI, antes de que se inventaran los logaritmos.

Los avances serían menores en los siguientes siglos, y ya en

periodo de decadencia cultural del mundo islámico, Nasir

Eddin Al-Tusi (1201-1274), astrónomo nieto del gran

conquistador Genghis Khan, siguiendo las líneas de Abu´l-Wefa escribió el primer tratado sistemático de trigonometría plana y

esférica, en la que se presenta como materia independiente, y



no ya ligada a la astronomía. En esta obra se estudian las seis funciones trigonométricas usuales, y se dan reglas para resolver los diversos casos de triángulos planos y esféricos.

LA EUROPA MEDIEVAL

Durante el siglo XII los europeos latinos superaron la barrera lingüística que

les separaba de la cultura árabe, e incluso de la cultura griega. Comenzaron a hacerse en esta época una oleada de traducciones del árabe, hebreo y griego al

latín. De pronto la Europa Occidental comenzó a mirar la matemática árabe de una manera más favorable a como lo había hecho con la geometría griega,

y los intelectuales latinos del siglo XII adquirieron la trigonometría árabe tal y como aparecía en las obras astronómicas. De una de estas traducciones, hecha

por Gerardo de Chester sobre el 1150, surge el término seno. Los hindúes llamaron jiva a la semicuerda antes nombrada, y los árabes adoptaron este

nombre bajo la forma jiba, ahora bien, en árabe existe también la palabra jaib que significa –bahía- o –ensenada-, y cuando Roberto de Chester se encontró con el término técnico jiba, debió

confundirlo con la palabra usual jaib, y lo tradujo por la palabra sinus que es el nombre latino para –bahía- o –ensenada-. A veces se utilizó para la semicuerda la frase más detallada sinus

rectus o “seno recto o vertical”, y de ahí también el nombre de sinus versus o nuestro “seno verso” para el “seno vuelto sobre su lado”.

Europa no alcanzó un alto nivel en el campo de la trigonometría hasta que

Regiomontano (1436-1476) escribió su obra De triangulis hacia el 1464. En el primer libro de este tratado, encontramos una exposición de los

conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones, inspirada por Euclides, y a continuación vienen más de 50 proposiciones que tratan de

la resolución de triángulos basándose en las propiedades de los triángulos rectángulos. El libro II comienza enunciando con claridad el teorema de

los senos y demostrándolo, y sigue con otros problemas sobre determinación de lados, ángulos y áreas de triángulos planos conociendo

algunos datos. Un ejemplo de este tipo de resultados es el siguiente: “Si se conocen la base de un triángulo y el ángulo opuesto, y si además se conoce o bien la

altura correspondiente a la base, o bien el área, entonces pueden calcularse los otros lados”.

Los libros III y IV contienen resultados acerca de la trigonometría esférica, incluyendo el teorema

de los senos.



En esta obra, Regiomontano no contempla la función tangente que si incluiría en un tratado posterior Tabulae directionum, Regiomontano utilizó un radio de 100 000 unidades para su tabla

de tangentes de ángulos de grado en grado. Las obras de Regiomontano influyeron notoriamente en los trabajos de principios del siglo XVI.

En esta época también contribuyó al desarrollo de la trigonometría

Nicholas Copernicus o Copérnico (1473-1543) que fue un astrónomo que revolucionó la concepción del mundo, si bien es cierto que su obra estaba

directamente influenciada por la obra de Regiomontano.

Se sabe que en 1539 Copérnico recibió como estudiante al joven matemático prusiano Georg

Joachim Rheticus (1514-1576) que había estado en contacto con la matemática que se hacía en Núremberg, por lo tanto con la trigonometría de Regiomontano, pero Rheticus fue más lejos,

aunando las ideas de estos dos maestros escribió el tratado más completo que se había escrito hasta el momento sobre trigonometría, bajo una obra en dos volúmenes titulada Opus palatinum

de triangulis. El autor descarta en este libro el tratamiento tradicional de las razones trigonométricas consideradas respecto a arcos de circunferencia, para definirlas directamente a

partir de los lados de un triángulo rectángulo. Rheticus estudió las seis funciones trigonométricas, y realizó tablas detalladas de todas ellas. Para realizar sus tablas usó una hipotenusa (radio) de 10

000 000 de unidades para las funciones seno y coseno, y para las funciones restantes un cateto adyacente de también 10 000 000 de partes, para intervalos angulares de 10”.

PRELUDIO A LA MATEMÁTICA MODERNA

La mayor parte de las obras de la antigüedad habían sido ya traducidas, el

álgebra árabe había sido asimilada e incluso mejorada y la trigonometría se había convertido en una materia independiente. La época estaba casi

madura para llevar a cabo rápidos avances que superaran las contribuciones antiguas, medievales y renacentistas. La figura más

brillante de esta transición fue François Viète (1540-1603), o en su forma latinizada Franciscus Vieta. La trigonometría de Viète se caracteriza por

su enfoque analítico general. Realizó un trabajó similar al de Rheticus, realizando también tablas para las seis razones trigonométricas, en su obra

Canon mathematicus (1579), utilizando un radio de gran magnitud para evitar la aparición de complicadas fracciones, aunque Viète también prefería darle un enfoque a

la trigonometría basada en el triángulo rectángulo.

Al darle un carácter analítico, Viète pudo dedicarse a obtener identidades como un grupo de fórmulas conocidas como las “reglas de prostafairesis”, esto es, fórmulas, como la obtenida por

Ibn-Yunus, que permitían convertir un producto de funciones circulares en una suma o diferencia



( de donde les venía el nombre de prostafairesis, palabra griega que significa suma y resta). Un ejemplo de estas fórmulas es

A finales del siglo XVI se popularizó este método de prostafairesis, que hizo que, ayudados por

tablas trigonométricas, cálculos tediosos se realizaran con menor esfuerzo en todos los observatorios astronómicos importantes. Los cocientes por su parte se manejaban de la misma

manera utilizando una tabla de secantes y cosecantes. Viète llegó más allá, relacionando la trigonometría con la teoría de números para obtener unas fórmulas para el seno y coseno de los

ángulos múltiplos de un ángulo dado. Todo este cuerpo teórico facilitó a Viète el uso de la trigonometría en la resolución de ecuaciones, como ya hiciera Al-Biruni siglos atrás con una

ecuación en particular. La trigonometría dio así un salto hacia problemas aritméticos y algebraicos, y, a finales del siglo XVI y comienzos del XVII, hubo un entusiasmo considerable

por la trigonometría. En esta época aparece por primera vez el nombre de trigonometría, en el título de una exposición de Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) que se publicó

en el año 1595 como suplemento a un libro sobre “esférica”. Poco después, en 1635, Gilles Persone de Roberval realizo un bosquejo de la

mitad de un arco de la curva “seno”, hecho con el que se descubre un nuevo aspecto de la trigonometría, encaminada ahora hacia un enfoque funcional, que

culminará con Euler. Roberval pudo demostrar con su método de indivisibles que

Pocos años más tarde, la trigonometría tomó un nuevo rumbo dado por los

hermanos Jacques Bernoulli (1654-1705) y Jean Bernoulli (1667-1748), que redescubrieron los desarrollos de

sen nθ, cos nθ, en función de sen θ y cos θ dados anteriormente por Viète y los generalizaron a valores

racionales de n. Pero lo más destacable de su trabajo es cómo los hermanos Bernoulli intentan desarrollar la trigonometría

desde un punto de vista analítico, con lo que llegaron a resultados de una complejidad superior con los que estudiaron ciertas ecuaciones diferenciales.

Un trabajo fundamental en este nuevo aspecto analítico de la trigonometría fue el

de Roger Cotes (1682-1716). Cotes tuvo una muerte prematura y sólo se publicaron algunos trabajos incompletos, a título póstumo, en 1722 con el

nombre de Harmonia mensurarum. En esta obra se reconocía el carácter periódico de las funciones trigonométricas, y aparecieron por primera vez

impresas las representaciones de las funciones tangentes y secante. Se trata de uno de los primeros libros en los que se da un tratamiento sistemático a las funciones

trigonométricas o circulares, incluyendo una tabla de integrales de éstas.



Pero el autor llega más allá, al ocuparse del problema de la descomposición de polinomios y aplicar sus conocimientos de trigonometría para llegar a resultados que

fueron utilizados posteriormente por Abraham De Moivre (1667-1754), quien, en 1707, en un artículo publicado en las Philosofical Transactions, utiliza una fórmula

equivalente a

Leonhard Euler (1707-1783), uno de los más grandes matemáticos de la época,

que realizó un sinfín de trabajos en distintas ramas de la matemática desde joven y a lo largo de su vida publicó más de 500 libros y artículos. Después de su

muerte, siguieron apareciendo obras que se publicaron póstumamente. La obra de Euler Introductio in analysin se considera la piedra angular del nuevo

análisis, vital en el desarrollo de la matemática en el siglo XVIII.

En lo que respecta a la trigonometría, para Euler el seno de un ángulo era indistintamente un segmento, sino simplemente un número, la ordenada de un punto de la circunferencia unidad, o el

número definido por una serie infinita. Euler convirtió la trigonometría en una potente herramienta del análisis. Estos desarrollos en serie de las funciones trigonométricas fueron

aplicados por Euler en el cálculo de la suma de series infinitas. Otra de las aplicaciones que Euler le dio a la trigonometría analítica está relacionado con el estudio de curvas planas, donde

encontró expresiones que involucraban a las funciones circulares para representar de forma paramétrica diversas curvas conocidas, como la cicloide. Como último apunte de la aportación

que Euler hizo a la trigonometría, cabe decir también que la notación que actualmente se utiliza para las funciones trigonométricas, sin, cos, tan, cot, sec y csc se debe también a su obra

Introductio en la cual utilizaba estas abreviaturas.

La trigonometría siguió y sigue siendo una herramienta fundamental en el análisis moderno. Los nuevos matemáticos de los últimos siglos han estado obligados a familiarizarse con las funciones

trigonométricas, que aparecen en muy distintos ambientes: como coeficientes de los desarrollos en serie de funciones continuas, o bien como componentes de funciones solución de ecuaciones

diferenciales o en derivadas parciales, implicadas en multitud de problemas relacionados con el estudio de los fenómenos físicos, también toman forma de las componentes de matrices

correspondientes a giros en el plano y el espacio, etc.

Tomado de: UNIDAD DIDÁCTICA: TRIGONOMETRÍA, F. Javier Fernández M. Universidad de Granada.



2. Ángulo y Sistema Circular

2.1. Definición de ángulo trigonométrico

Gráfica 1.1

Si la rotación se realiza en sentido anti horario (positiva), la medida del ángulo generado es

positiva, pero si la rotación se realiza en sentido horario (negativa), la medida del ángulo es

negativa. En general, la medida de un ángulo toma un valor real cualquiera.

Gráfica 2.1



Ángulo de una vuelta es aquel en el cual el rayo rotado vuelve a su posición inicial.

Gráfica 3.1

Si el vértice está en el centro de una circunferencia, el ángulo se llama ángulo central.

Gráfica 4.1

Ejemplo. Localice el lado final o terminal de un ángulo de 1020°.

Solución. Dividimos 1020° entre 360° para determinar el número de vueltas completas que hay al

formar este ángulo,

Por tanto, el ángulo de 1020° se forma dando dos vueltas en sentido antihorario y luego 5/6 de

vuelta. Este ángulo está en el IV cuadrante.

2.2. Ángulos en posición normal

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangulares está en posición normal o estándar si su

vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo x. Si el lado terminal de un

ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo

cuadrantal.



Gráfica 5.1

Un ángulo pertenece al cuadrante en el que está ubicado su lado terminal. Los siguientes

ángulos están en posición normal, pero en diferentes cuadrantes.

Gráfica 6.1

No importa si el ángulo es positivo o negativo para estar en posición normal.

Ejemplo

Gráfica 7.1

Ejercicios: Dibuje el ángulo dado en posición normal

1) 225°

2) 780°

3) – 210°

4) - 5/6

5) 19/3



Respuestas:

Gráfica 8.1

2.3. Medida angular

Para la medición de ángulos disponemos de los tres siguientes sistemas:

Sistema sexagesimal o Ingles

El sistema sexagesimal es el que utilizaban los babilonios, en la actualidad

lo utilizamos para medir el tiempo y los ángulos. Su nombre se debe a que

utiliza 60 como base. Posiblemente los babilonios decidieron utilizar esta

base porque 60 tiene muchos divisores, hecho que les facilitó la manipulación de las fracciones.

El uso del número sesenta como base para la medición de ángulos, coordenadas y medidas de

tiempo se vincula a la vieja astronomía y a la trigonometría.

Sistema Sexagesimal. Su unidad de medida es el grado sexagesimal (1°), que se define así: Si

consideramos la circunferencia dividida en 360 partes iguales, un ángulo de un grado es el que

tiene su vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones sucesivas.

Gráfica 9.1



La 60 - ava parte de un ángulo de 1° se llama minuto (1) y la 60 ava parte de 1 se llama

segundo (1). De este modo, 1° = 60, 1 = 60 y 1° = 3600.

Ejemplo.

Dado el ángulo de medida 36.71°, hallar su medida en grados, minutos y segundos.

Solución. Primero separamos la parte entera y la parte decimal,

Ahora empleamos regla de tres simple directa para determinar cuántos minutos hay en

0.71°,

De forma similar, determinamos cuántos segundos hay en 0.6

Así que 36.71° = 36°4236

El sistema sexagesimal se emplea en la navegación, topografía y diseño de equipos mecánicos.

En aplicaciones que requieren de matemáticas avanzadas, se utiliza el sistema radial o circular, el

cual se basa en la longitud de un arco de circunferencia.



Gráfica 10.1

Puesto que la circunferencia de un círculo equivale a 2 veces el radio, tenemos que un rayo

genera un ángulo de 2 radianes al dar una vuelta o revolución completa, así que

Los dos sistemas de medida angular anteriores son los más utilizados en la trigonometría de

Educación Media. El siguiente sistema es más utilizado en ingeniería.

Cuando se usa la medida angular en radianes, no deben indicarse unidades.

En consecuencia, si un ángulo mide 5 radianes, escribimos = 5 en lugar de = 5 radianes. No

debe haber confusión en cuanto a que se usen radianes o grados, puesto que si

mide 5°, se escribe = 5° y no = 5.



Gráfica 11.1

El radián es el ángulo que representa lo que ha tenido que girar una rueda cuando ha rodado una

distancia equivalente al radio de la misma. Antiguamente el grado era la unidad para los

constructores de calendarios. El ángulo recto era la unidad para los constructores urbanos. El

radián era la unidad para los constructores de ruedas.

En síntesis, tenemos las siguientes equivalencias entre los tres sistemas de medida angular:

Ejemplos.

1) Dado el ángulo de medida 36.71g, hallar su medida en grados, minutos y segundos

centesimales.

Solución.

2) Dado el ángulo de medida 62.47863

g, hallar su medida en grados, minutos y segundos

centesimales.

Solución.



2.4. Conversiones de un sistema de medida a otro

Para convertir la medida un ángulo dado del sistema sexagesimal al centesimal, o viceversa (de

grados a radianes o de radianes a grados), utilizamos las equivalencias de la tabla siguiente y una

regla de tres simple directa.

Tabla 1.1

Cambios de Medidas Angulares

Tabla 2.1

Ejemplos.

1) Convertir 255° a radianes

Solución.

2) Convertir 13/15 radianes a grados.

Solución.

3) Las siguientes medidas angulares son equivalentes

23° 47' 35" = 23.7930556° = 0.415267159 radianes = 26g 43

m 67

s = 26.4367

g



Ya que 23° 47' 35" = 23° + 47' + 35" = 23° + (47/60) ° + (35/3600) ° = 23.7930556°

De las equivalencias dadas obtenemos

2.5. Ángulos coterminales:

Ángulos coterminales son ángulos que, en posición normal, tienen el mismo lado final.

Gráfica 12.1

Los ángulos y son ángulos coterminales, > 0 y < 0.

Ejemplo. Los ángulos = 60° y = - 300° son coterminales.

Ejemplo: Encuentre el ángulo entre 0 y 360° que es coterminal con un ángulo de - 950°.

Solución. Sumamos repetidamente 360° hasta obtener un ángulo entre 0 y 360°

-950° + 360° + 360° + 360° = 130°

Así, un ángulo de 130° es coterminal de un ángulo de – 950°.

3. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Las aplicaciones de la trigonometría en campos como la topografía, agrimensura y la navegación,

entre otros, requieren de la obtención de distancias, las cuales muchas veces es imposible

obtenerlas mediante una medición directa. Para solventar este tipo de problemas los antiguos

babilonios recurrieron a lo que hoy conocemos como resolver triángulos rectángulos.

Una forma de definir las razones trigonométricas, de una forma mecánica y geométrica, pero que

nos puede resultar de mucha utilidad, empleando un triángulo rectángulo, es la siguiente:



Gráfica 13.1

Entonces las llamadas razones o funciones trigonométricas de los ángulos agudos y son las

siguientes:



3.1. Propiedad fundamental de las razones trigonométricas

3.2. Razones trigonométricas recíprocas

Si α es un ángulo agudo se cumple que:

3.3. Valores de las razones trigonométricas para los ángulos más

usuales (notables)

Tabla 3.1



La siguiente tabla nos permite recordar fácilmente los valores de las razones trigonométricas para

los llamados ángulos notables

Tabla 4.1

Ejemplos.

Determine los valores de las expresiones siguientes sin usar calculadora

1) Sen30°cos60° + sec45°

Solución. En la tabla anterior tenemos los valores de las razones trigonométricas

para los ángulos notables 30°, 60° y 45°; sustituyendo tenemos

2)



3)

Obtención de las razones trigonométricas de 37° y 53°.

Se obtienen a partir de los siguientes triángulos notables en donde k R+.

Gráfica 14.1

Razones trigonométricas de 37° y 53°.

Tabla 5.1



Sobre la base de los triángulos anteriores se pueden construir otros, de relativa importancia, para

obtener de ellos sus razones trigonométricas

Gráfica 15.1

Valores de las razones trigonométricas para los ángulos más usuales

Tabla 6.1



Ejemplos.

1) Expresar la altura de un triángulo equilátero en función del lado.

Solución: Sea l el lado del triángulo. La altura h del triángulo lo divide en dos triángulos

rectángulos congruentes 30° - 60° - 90°.

Gráfica 16.1

Aplicando las razones trigonométricas para el ángulo de 60°, tenemos

2) En el triángulo de la figura siguiente, hallar el lado b y la hipotenusa si a = 5 y

= 37°

Solución.

Gráfica 17.1

Expresar la diagonal de un cuadrado en función del lado.

Solución: Sea l el lado del cuadrado. La diagonal d del cuadrado lo divide en dos

triángulos rectángulos isósceles 45° - 45° - 90°.



Aplicando las razones trigonométricas para el ángulo de 45°, tenemos

Gráfica 18.1

3.4. Estrategias para el cálculo de los valores de las razones

trigonométricas



3.5. Resolución de triángulos rectángulos.

Gráfica 19.1

Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de sus

ángulos, para lo cual deben ser conocidos al menos un lado y un ángulo agudo. En la resolución

de triángulos rectángulos se presentan tres casos, los que se resuelven por medio de los

siguientes teoremas.



3.5.1. Teoremas

Teorema 1.

Conocida la hipotenusa (m) y un ángulo agudo ()

Gráfica 20.1

Teorema 2.

Conocido un ángulo agudo () y su cateto adyacente (m)

Gráfica 21.1

Teorema 3.

Conocido un ángulo agudo () y su cateto opuesto (m)

Gráfica 22.1



3.5.2. Aplicaciones de los triángulos rectángulos

Gráfica 23.1

Gráfica 24.1



Gráfica 25.1

Gráfica 26.1

Gráfica 27.1



Gráfica 28.1

Gráfica 29.1



Gráfica 30.1

Gráfica 31.1

Ejemplos.

1) Si sen = 5/13, determinar los valores de las razones trigonométricas restantes.

Solución: Consideremos el triángulo rectángulo de la figura

Gráfica 32.1



Aplicando el Teorema de Pitágoras determinamos el cateto b

Por las definiciones de las razones trigonométricas, tenemos:

2) El área de un terreno triangular es 20 m

2. Si el lado a mide 6 m y el lado b mide 12 m,

encontrar todos los valores posibles de la medida del ángulo C.

Solución.

3) Los lados de un paralelogramo miden 15 cm y 20 cm y forman un ángulo de 67°30. Hallar

su área.

Solución.

Primero determinamos la altura h del paralelogramo

Gráfica 33.1

4) Encontrar el área del cuadrilátero de la figura siguiente

Solución. Para encontrar el área, dividamos el cuadrilátero en dos triángulos mediante una

diagonal con extremos en los lados de medidas 5 y 8

Gráfica 34.1 Gráfica 35.1



Para encontrar el área del triángulo B, encontramos primero la longitud de la diagonal, mediante

el Teorema de Pitágoras,

Para determinar la medida del ángulo comprendido entre la diagonal y el lado que mide 14,

encontramos las medidas delos ángulos en que la diagonal divide al ángulo de 75°

Gráfica 36.1

Así que la medida del comprendido entre la diagonal y el lado que mide 14 es de 43° y el área del

triángulo B es

El área de la figura es la suma de las dos áreas obtenidas

El método de doble observación o de las dos tangentes

Este método es utilizado por los topógrafos para determinar la altura de una montaña a la cual no

pueden acercarse.



Gráfica 37.1

El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y

tenemos como datos dos ángulos de observación desde dos puntos, situados al mismo lado del

objeto, que están separados una distancia también conocida. También el dato conocido puede ser

la altura y lo que tenemos que hallar es la distancia entre los puntos de observación.

Gráfica 38.1

En este problema conocemos o podemos determinar la distancia AB y los ángulos de observación

α y y debemos determinar la altura H.

En la figura podemos observar los dos triángulos rectángulos AHC y BHC.

Para hallar la altura h, resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores.



Ejemplos.

1) Calcule la altura de una montaña y la distancia a que se encuentran de ella los topógrafos,

si el ángulo de la primera observación mide 60°, el de la segunda 30° y la distancia entre

posiciones de observación es de 2 Km.

Gráfica 39.1

Solución. El método consiste en calcular las tangentes de los dos ángulos de observación

en los respectivos triángulos rectángulos.

Gráfica 40.1



2) Dos edificios A y B distan entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios

vemos que las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos

de 35º y 20º, respectivamente. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos

miden lo mismo?

Gráfica 41.1

Solución. Sea h la altura de los edificios y x la distancia del punto al edificio B.

Gráfica 42.1



3.6. Estrategias de resolución de triángulos rectángulos

Para resolver triángulos rectángulos es conveniente tener en cuenta el siguiente procedimiento:

3.7. Cálculo de las razones trigonométricas usando una calculadora

científica



La calculadora científica nos facilita el aprendizaje de la

trigonometría, pues nos ahorra mucho tiempo ya que con ella

evitamos el estar haciendo un sin número de operaciones

engorrosas. Para aprender su manejo es necesario que

consultemos su manual, ya que los procedimientos de cálculo

pueden diferir para distintos modelos de calculadora.

Gráfica 57.1



Ejemplo: Hallar los valores de las razones trigonométricas de 64°3455

Solución.


4.1. Circunferencia goniométrica

Hasta ahora habíamos definido las razones trigonométricas en triángulos rectángulos, de tal forma que los ángulos, no rectos, eran siempre menores a 90º. En este apartado vamos a extender

las definiciones para cualquier ángulo dentro de la circunferencia (0º α 360º).

Por comodidad tomaremos circunferencias de radio igual a una unidad de longitud centradas en

el origen de coordenadas, a este tipo de circunferencia se les llama circunferencias goniométricas. La palabra goniométrica procede del griego “gonios” ángulo y de la raíz latina

“metr” medida, de manera que el adjetivo viene significar circunferencia de la medida de los ángulos, porque en esta circunferencia las razones trigonométricas coinciden con las coordenadas

de los puntos de la circunferencia en que se definen los ángulos.



Ejemplo: Situar el ángulo α =210º en la circunferencia goniométrica: Solución:

Gráfica 59.1

Consideremos la circunferencia de radio r = 1, con centro en el origen del plano cartesiano y cuya

ecuación es x2 + y

2 = 1

Gráfica 60.1



Gráfica 61.1

Podemos notar que a cada valor de le corresponde un punto P, llamado punto terminal, cuya

distancia al punto A(1, 0), medida sobre la circunferencia, es || unidades. Designemos este

punto por P(), así hemos definido la siguiente función:

Desafortunadamente hay ciertos inconvenientes al considerar funciones que relacionan números

reales con pares ordenados; este problema lo solucionamos definiendo dos funciones, una de ellas

aplica en x y la otra aplica en y; a estas funciones las denotaremos por cos y sen, las

abreviaturas de coseno y seno.



Las tres ecuaciones anteriores definen las funciones cotangente, secante y cosecante,

respectivamente.

Sistema circular

Como ya estudiamos anteriormente, el sistema circular es el sistema de medida angular cuya

unidad de medida es el radián. Este sistema es utilizado en física y en matemáticas avanzadas,

pues facilita los cálculos numéricos relacionados con arcos y trayectorias circulares. En este

sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3.14 (que es el valor aproximado de

pi. De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2.

En la figura siguiente resumimos las principales equivalencias entre los ángulos notables en el

sistema sexagesimal y el circular.



Gráfica 62.1

4.2. Funciones trigonométricas de un ángulo general

A continuación definimos funciones cuyos dominios son medida de ángulos en posición normal.

Consideremos el gráfico donde P(x, y) y P(x, y) son dos puntos del lado final del ángulo ,

OP = r y OP = r .

Gráfica 63.1



Las razones

son únicas y sólo dependen del valor del ángulo y no de la elección o de

la posición del punto P. Por tanto, podemos establecer las siguientes correspondencias que

resultan ser funciones y se conocen como funciones trigonométricas.

Tabla 7.1

De estas relaciones se obtienen las relaciones recíprocas



Ejemplo. Determinar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo en posición

normal, si P es el punto en el lado terminal de cuyas coordenadas son:

1) P(-3, 4)

Solución. En este caso tenemos que x = -3, y = 4.

Gráfica 64.1

Sustituyendo en la fórmula para r tenemos:

r = √ √ = 5.

Luego sen = y/r = 4/5; csc = r/y = 5/4

cos = x/r = - 3/5; sec = r/x = - 5/3

tan = y/x = - 4/3; cot = x/y = - 3/4

4.3. Dominio y recorrido (rango) de las funciones trigonométricas

Dominio



Dominios de las funciones trigonométricas, donde n es un entero

Tabla 8.1

Recorrido o Rango

Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas

Tabla 9.1

Ejemplos de dominio de funciones trigonométricas



4.4. Valores de las razones trigonométricas en los ángulos que limitan

cuadrantes

Ya que cos = x y sen = y, las coordenadas de los puntos terminales de los ángulos que limitan

los cuadrantes nos permiten conocer los valores de las razones trigonométricas correspondientes

Gráfica 65.1

De la gráfica obtenemos los valores de las razones trigonométricas en los ángulos que limitan

cuadrantes, los que resumimos en la siguiente tabla:

Tabla 10.1



Tomando en consideración los signos que tienen las coordenadas de un punto según el cuadrante

en que éste se encuentre, podemos determinar los signos de las razones trigonométricas en los

distintos cuadrantes, los que resumimos en la siguiente tabla

Tabla 11.1

Ejemplos

1) Determinar los valores de cos y tan, sabiendo que sen = -5/13 y tan > 0.

Solución. Ya que sen < 0 y tan > 0, entonces III cuadrante. Luego cos < 0.

Sean x, y las coordenadas del punto terminal P().

Gráfica 66.1

2) Determinar el signo de cos4.4 y tan(- 3.5).

Solución. De la tabla y la gráfica de los valores de las razones trigonométricas en los

ángulos que limitan cuadrantes, tomando = 3.14, obtenemos



Gráfica 67.1

Ahora, basta determinar el cuadrante en que se encuentra el punto terminal de P() para

determinar el signo de las razones trigonométricas; así vemos que el punto terminal de 4.4 está en

el III cuadrante, donde cos<0. P(- 3.5) III cuadrante y ahí tan < 0.

4.5. Propiedades de las funciones

Función periódica



Gráfica 68.1

Ejemplos.

1)



2)

Gráfica 69.1

3)

Gráfica 70.1



Gráfica 71.1

Ahora, enrolla la hoja sobre sí misma formando un cilindro. Pega los bordes extremos y colócala

en la mesa sobre un fondo blanco. La figura que ves sobre el fondo blanco, al mirar de frente lo que antes era una recta, es una sinusoide. Una sinusoide es el nombre de la representación gráfica

de la función f(x)= sen(x).

Funciones Creciente y Decreciente

Gráfica 72.1

Gráfica 73.1



Ejemplo. La función f(x) = x2 es creciente para x > 0 y decreciente para x < 0.

Funciones Par e Impar

Las gráficas de las funciones pares son simétricas con respecto al eje y.

Gráfica 74.1



Gráfica 75.1

4.6. Gráficos de las funciones trigonométricas y sus propiedades

En la tabla que se presenta a continuación se dan los valores de las funciones trigonométricas

cuando = 0; /2, , 3/2, 2. A partir de estos valores podemos analizar el comportamiento de

las funciones seno y coseno a medida que aumenta de 0 a 2.

Tabla 12.1

Recordemos que, de la definición del recorrido de las funciones trigonométricas, que los valores

de las funciones seno y coseno nunca serán mayores que 1, ni menores que -1.



El comportamiento de la función seno y coseno puede estudiarse convenientemente mediante

sus gráficas respectivas.

Gráfica de la función seno.

Tomemos en el eje de las abscisas y f() en el eje de las ordenadas y grafiquemos los puntos

de la siguiente tabla de valores:

Tabla 13.1

Gráfica 76.1

Gráfica de la función coseno.

Procedemos de forma similar al trazado de la gráfica de la función seno, construyendo primero

la correspondiente tabla de valores:

Tabla 14.1



Gráfica 77.1

Gráfica de la función tangente.

Ya que tan =

, la función tangente no está definida en cos = 0. Por lo tanto, la función

tangente tiene una asíntota vertical donde cos = 0.

Gráfica 78.1

Gráfica de la función secante.

Ya que sec =

, la función secante no está definida en cos = 0. Por lo tanto, la función

secante tiene una asíntota vertical donde cos= 0.



Gráfica 79.1

Gráfica de la función cosecante.

Ya que csc =

, la función cosecante no está definida en sen= 0. Por lo tanto, la función

cosecante tiene una asíntota vertical donde sen= 0.

Gráfica 80.1



Gráfica de la función cotangente.

Ya que cot =

, la función cotangente no está definida en sen= 0. Por lo tanto, tiene una

asíntota vertical donde sen = 0.

Gráfica 81.1



Gráficas de las seis funciones trigonométricas.

Gráfica 82.1

Propiedades de las funciones trigonométricas



El siguiente cuadro resume las variaciones de los valores de las funciones trigonométricas

Tabla 15.1

4.7. Valores de las funciones trigonométricas para ángulos

particulares

En la siguiente tabla se muestran los valores de las funciones trigonométricas más usuales en

el trazado de sus gráficas.

Tabla 16.1



Valores de las funciones trigonométricas para ángulos particulares en la circunferencia

trigonométrica

Gráfica 83.1

4.8. Relación entre las razones de ángulos de distintos cuadrantes.

4.9. Razones trigonométricas de ángulos complementarios y

suplementarios

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Podemos desarrollar las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre sí:



Gráfica 84.1

De la gráfica 84.1 tenemos:

Notemos que las funciones trigonométricas de un ángulo dado equivalen a las correspondientes

cofunciones de su complemento. Si tenemos un ángulo en el primer cuadrante, para buscar con

quién se relaciona en el mismo cuadrante, sólo tenemos que hacer la operación: 90° - α = , es

decir buscar el complemento del ángulo α.

Gráfica 85.1



Ejemplos:

Razones Trigonométricas de ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios suman entre si 180º:

En este caso los valores de las funciones trigonométricas quedan iguales sólo cambia el signo

según el cuadrante que caiga por ejemplo, sen = sen

Gráfica 86.1

4.10. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman

(suplementarios) y que difieren 180º

Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman (suplementarios) 180º



Si tenemos un ángulo , en el segundo cuadrante, para buscar el ángulo del primer cuadrante

con que se relaciona, sólo tenemos que hacer la operación: 180° - = α ,es decir buscar el

suplemento del ángulo .

Ejemplos.

1) Dado el ángulo 127º reducirlo al primer cuadrante. SOLUCIÓN: El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es

180º - 127º = 53º, tenemos entonces sen 127º = sen(180° -127°) = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tan 127º = - tan53º

2) Sabiendo que el sen A = 0.5 obtener los valores posibles para A.

SOLUCIÓN: Al ser el seno positivo, A puede ser del primer o del segundo cuadrante. sen A = 0.5 entonces A = arcsen 0.5 = 30º

Las soluciones son A = 30º y su suplementario A = 150º

3) Reducir a funciones trigonométricas del I cuadrante a) Sen173° Solución: Sen173° = sen(180° - 173°) = sen7°

b) Cos7/12 Solución: cos7/12 = - cos( - 7/12)= - cos 5/12

4) Reducir a funciones trigonométricas del I cuadrante

a) sec100° = sec(180° - 100°)= -sec80°,

b) csc5/6 = csc( - 5/6) = csc/6,

c) cot2.5 = - cot( – 2.5) - cot1.641592

Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que difieren 180°

Para determinar las relaciones existentes entre funciones trigonométricas de ángulos que

difieren 180° nos apoyamos en la siguiente gráfica

Gráfica 87.1



Podemos observar que se cumplen las siguientes relaciones

Si tenemos un ángulo, en el tercer cuadrante, podemos relacionar las funciones trigonométricas

de ese ángulo con las mismas funciones trigonométricas de un ángulo α del primer cuadrante

cuyo valor es - 180° = α. Los valores son los mismos, sólo cambia el signo.

Ejemplos.

1) Dado el ángulo 215º reducirlo al primer cuadrante

SOLUCIÓN: El ángulo 215º se encuentra en el tercer cuadrante. Este ángulo se

diferencia 180º con 215º - 180º = 35º , tenemos entonces

sen 215º = - sen(180° + 35°) = - sen 35º; cos 215º = - cos 35º; tan 215º = tan35º

2) Sabiendo que tan A = 1 obtener los valores posibles para A SOLUCIÓN: Al ser la tangente positiva, A puede ser del primer o del tercer cuadrante.

tan A = 1, entonces A = arctan1 = 45º Las soluciones son A = 45º y A = 225º

3) Reducir a funciones trigonométricas del I cuadrante a) sen263° Solución: sen263° = sen(180° +83°) = - sen83°

b) cos17/15 Solución: cos17/15 = cos( + 2/15)= - cos 2/15

c) tan3.25 Solución: tan3.25 tan( +0.1084) = tan0.1084

4) Reducir a funciones trigonométricas del I cuadrante a) Sec200° = sec(180° + 20°)= - sec20°,

b) Csc7/5 = csc( - 5/6) = csc/6,

c) Cot3.25 = - cot( – 2.5) - cot1.641592

4.11. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman o

difieren 270°

Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman 270°



Si tenemos un ángulo β en el tercer cuadrante, para buscar el ángulo del I cuadrante con que se

relaciona, sólo tenemos que hacer la operación: 270° - β = , es decir buscar el ángulo que

difiere con él 270º.

Ejemplos:

Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que difieren 270°



Si tenemos un ángulo β en el cuarto cuadrante, para relacionarlo con un ángulo α del primero,

sólo tenemos que hacer la operación: β – 270° = .

Ejemplos:

4.12. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos que suman

360°

A continuación abordaremos las relaciones que existen entre las funciones trigonométricas de

los ángulos que suman 360° (, 360° - ).

Gráfica 88.1



Observando la figura anterior, encontramos

Si tenemos un ángulo β en el cuarto cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero,

sólo tenemos que hacer la operación: 360 - α = β y despejar α, es decir buscar el ángulo que

completa la circunferencia. Esto es lo mismo que poner el ángulo en negativo y quedarnos con

el opuesto.

Ejemplos:

4.13. Razones trigonométricas de ángulos opuestos

Si el valor de un ángulo es , el valor de su opuesto es obviamente – . La relación de las

razones trigonométricas de un ángulo con las de su opuesto - va a permitir reducir ángulos

del cuarto al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OQP y OQP son congruentes ya que siendo

rectángulos tienen congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo:



Gráfica 89.1

En consecuencia

sen(- ) = QP = - QP = - sen ,

cos(- ) = OQ = cos

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tan(- ) = sen (-)/cos(-) = - sen / cos = - tan

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos

son:

Si tenemos un ángulo β en el cuarto cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación: 360 - α = β y despejar α, es decir buscar el ángulo que

completa la circunferencia. Esto es lo mismo que poner el ángulo en negativo y quedarnos con el opuesto.

Ejemplos.

1) Dado el ángulo 330º reducirlo al primer cuadrante Solución: El ángulo 330º se encuentra en el cuarto cuadrante. Este ángulo viene representado por

el mismo radio vector que el ángulo - 30º, tenemos entonces sen330º = sen(-30º) = - sen30º; cos330º = cos(-30º) = cos30º; tan330º = tan( -30º) = - tan30º

2) Sabiendo que el cos A = 0.5 obtener los valores posibles para A Solución: Al ser el coseno positivo, A puede ser del primer o cuarto cuadrante

cos A = 0.5, entonces A = arccos 0.5 = 30º Las soluciones son A = 30º y A = 330º



3)

4.14. Reducción a funciones de ángulos agudos positivos

Los ángulos coterminales tienen los mismos valores para sus funciones trigonométricas. Por

tanto, si es cualquier ángulo en grados o radianes, tal que 0º 360º o bien 0 2 , se

tiene:

Ejemplos:

1)

2) Hallar los valores de las razones trigonométricas siguientes sin utilizar la calculadora

a) = 120°

Solución.



b) = 240°

Solución.

c) = 300°

Solución.

d) = 260°, Sabiendo que sen10° =0.17, cos10° = 0.98 y tan10° = 0.18.

Solución.

Gráfica 90.1



Donde vemos que

Sen = -cos(270° - )

cos= - sen(270° - )

tan= cot(270° - )

A partir de lo anterior, podemos determinar los valores de las razones

trigonométricas de 260°.

Sen260° = - cos10° = - 0.98

Cos260° = -sen10° = -0.17

Tan260° = cot10° = 5.67

Ejemplo:

4.15. Funciones trigonométricas inversas y sus gráficos

Gráfica 91.1



Gráfica 92.1

De la gráfica 92.1 se obtiene:

Por tanto los gráficos de R y R-1

son simétricos uno de otro con respecto a la recta bisectriz del I

cuadrante.

Definiciones de las funciones trigonométricas inversas y sus gráficos

Función inversa del seno. Se define la función inversa del seno en cualquier intervalo restringido, por:



Daremos a continuación algunas inversas del seno en un intervalo secundario

Función inversa del seno en su intervalo principal

Gráfica 93.1



Función inversa del seno en uno de sus intervalos secundarios.

Gráfica 94.1

Ejemplos:

Función inversa del coseno. Supóngase que hicimos las mismas consideraciones que para la inversa del seno, es decir el gráfico de su relación inversa y las restricciones convenientes y

necesarias.



También igual que para la inversa del seno el dominio para cualquier función inversa del coseno es [-1, 1] y su recorrido es el que varía.

Función inversa del coseno en su intervalo principal (k = 0)

Gráfica 95.1

Función inversa del coseno en uno de sus intervalos secundarios (k = 0).

Gráfica 96.1



Ejemplos:

Función inversa de la tangente. Se define la función inversa de la tangente en cualquier

intervalo restringido por:

Tal como para el caso de las anteriores inversas del seno y coseno, notemos que el dominio de cualquier inversa de la tangente es R y que su recorrido es el que va cambiando.

Función inversa de la tangente en su intervalo principal

Gráfica 97.1



Ejemplos.

Funciones inversas de: la cosecante, secante y cotangente. Se procede en forma similar, que

para el caso de las anteriores y quedan como trabajo personal para los estudiantes.

Función inversa de la cosecante

y = arccscx x = cscy con y (-, -/2(0, /2, x (-, - 11, ), (1.52)

Gráfica 98.1

Función inversa de la secante



Gráfica 99.1

Función inversa de la cotangente

Gráficas de las funciones cotangente y cotangente inversas

Gráfica 100.1



Gráfica 101.1



Gráfica 102.1

Esto nos hace pensar que debemos tener cuidado cuando trabajemos con las relaciones inversas.

El cuidado consiste en restringir el recorrido y considerar (

) el de la rama principal de la

función inversa de la tangente, así pues entonces es verdadero que

arctan3 + arctan3 = 2arctan3

=

ya que arctan3 =

es un valor único, por ser arctanx una función bien definida. Naturalmente

también es verdadera la proposición si se trata de la misma rama secundaria.

1. Note que las funciones arcsenx, arctanx y arccosx son impares. 2. Note que para el caso del intervalo principal para la función arccosx, se tiene

f: (- , -11, + ) -

, 0) (0,

y que

csc =

= a, |a| 1

sen =

; a 0

de donde arccsc = arcsen

= sen

-1

razón por la cual arccscx o csc

-1x no se encuentran

en las calculadoras.

Análogamente para el caso del arcsecx:

f: (- , -11, + ) 0,

(

, )

arcsecx= arccos

= cos

-1

, |a| 1.

También para el arccotx, obsérvese que:

f: R (0, )

arccota = arctan

; a > 0

arccota = + arctan

; a < 0

arccota =



Tabla 16.1

Mapa Conceptual de la Trigonometría



Fuentes de información consultadas

http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/investigaciones%20

matematicas%200607/matematicas%20en%20egipto/matematicas%20en%20egipto.htm

http://matematica.laguia2000.com/general/historia-de-la-trigonometria#ixzz3Au1mLbAO

http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html

http://fqm193.ugr.es/media/grupos/FQM193/cms/TFM_(Fco_Javier_Fernandez_Medina).

pdf

http://fatosmatematicos.blogspot.com/

http://matematica1.com/razones-trigonometricas-de-angulos-notables-problemas-

resueltos-nivel-uni-pdf/

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal

http://jgvaldemora.org/blog/matematicas/wp-

content/uploads/2014/03/TEMA7_RAZONES_TRIGONOM%C3%89TRICAS.pdf

http://www.ugr.es/~nrico/ambientales/Casio-FX82MS-es.pdf

http://www.ecured.cu/index.php/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_element

ales/teoria/dom_trigo.html

http://www.x.edu.uy/periodica.htm

http://www.aritor.com/trigonometria/reduccion_angulos.html

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-

linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node16.html

http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/investigaciones%20matematicas%200607/matematicas%20en%20egipto/matematicas%20en%20egipto.htm

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trigonometria y su tratamiento metodologico. - herramientas cientificas y metodologicas para la...

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