Definiciones Recursivas y Recursividad

A veces es difícil definir un objeto explícitamente, pero no lo es tanto si lo definimos en términos de objetos de su mismo tipo. A este proceso lo llamamos recursión.Podemos definir recursivamente secuencias, funciones, conjuntos, etc.

Ejemplo: La secuencia de las potencias de 2 está dada por an = 2n.Definida recursivamente se ve como:

a0 = 1 an+1 = 2an

Es decir, damos el primer término y una regla de cómo construir un término de la serie desde los términos anteriores.

Ejemplo: La función f (n) = n! puede ser definida recursivamente como:

f (0) = 1 f (n + 1) = (n + 1)f (n)

Ejercicio: Defina recursivamente la función f (n) = Pnk=0 ak .

Quizás una de las más famosas definiciones recursivas es la siguiente:DefiniciónLos números de Fibonacci f0, f1, f2, . . . se definen como f0 = 0, f1 = 1, y para todo n ≥ 2:

fn = fn−1 + fn−2

Algoritmo de la División

Dados enteros a, b con b 0 existen enteros q y r tales que a = b q + r y 0 r |b|

Al número a se le llama dividendo. Al número b se le llama divisor. Al número q se le llama cociente. Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Ejemplo: Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Si la división es exacta, se dice que el divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la manera siguiente b|a. Lo anterior motiva la definición de “Divisibilidad”.

Divisibilidad: Un entero a es divisible por un entero b, o b es divisor de a cuando el residuo es cero. Por tanto existe c Z tal que a=bxc

Ejemplo:

9 es divisor de 27 porque: 27 = 3 veces 9.

Se dice entonces que 9|27.

Cuando un entero b no es divisor de un entero a se dice que b no divide a a o que b no es

divisor de a y se denota por b a.

Números Primos

Definición: Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta).

Ejemplo:

Divisores de 3= {1, 3} => es primo D(7)={1, 7} => es primo D(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1) Se descomponen los números en factores primos.

2) Se toman los factores comunes con menor exponente.

3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

Ejemplo:

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

Solución: 72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1) Se descomponen los números en factores primos.

2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo:

Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5Solución:

m.c.m. (72, 108, 60) = 2 3 · 33 · 5= 1080

1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.

1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

Algoritmo de Euclides

Definición: Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado.

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

1) Se divide el número mayor entre el menor.

2) Si:

2.1) La división es exacta, el divisor es el m.c.d.

2.2) La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

Ejemplo:

m.c.d. (72, 16) = 8

Teorema Fundamental de la Aritmetica

Definicion: El teorema fundamental de la aritmética es la afirmación de que todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factores primos de forma única.

Ejemplos:

91000 = 23×53×7×13

6363 = 32×7×101.

Además no existe ninguna otra factorización de 91000 y 6363 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores. Se acostumbra escribir los factores en orden creciente.

Un producto vacío (es decir sin ningún factor) es por convención igual a 1, lo que permite afirmar que 1 también verifica el teorema. Un producto de un solo factor es por convención este factor; así los números primos también verifican el teorema.

Primero se verifica el teorema para valores pequeños:

El caso 1 ya se ha visto 2 es primo, 3 también, 4 = 2², 5 es primo,

6 = 2×3, 7 es primo, 8 = 2³, 9 = 3² ...

Por tanto el teorema se verifica para los 9 primeros números naturales.

A continuación se demuestra por inducción para todos los números naturales:

Supongamos que hemos sido capaces de descomponer en primos todos los números enteros entre 2 y n-1. (afirmación que denotamos An-1).

Consideremos el entero n: si es primo entonces no hay nada más que demostrar. Si no es el caso, entonces n tiene un factor propio, es decir distinto de 1 y de él mismo. Sea a este factor, yb = n/a. Entonces n = a·b. Como a y b son por construcción inferiores a n y por lo tanto:

a ≤ n-1

b ≤ n-1,

Como además An-1 permite afirmar que a y b se descomponen en factores primos:

a = a1·a2·a3···aj

b = b1·b2·b3···bk.

Entonces:

n = a·b = a1·a2···aj·b1·b2···bk

que es un producto de primos. Por lo tanto hemos demostrado que An también es cierta.

Puesto que A1 es cierta y An-1 implica An, tenemos entonces que la afirmación An es siempre válida (con n ≥1).

Relaciones y Funciones

Definición: Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.Se le llama función del conjunto A en el conjunto B a un subconjunto f de AxB con la propiedad de que cada elemento de A es primer componente de un par ordenado y para

toda a E A se cumple que si (a,b) y (a,c) pertenecen a f, entonces b=c.

Producto Cartesiano

Definición: El producto cartesiano de dos conjuntos y es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a , y como segunda componente a un elemento que pertenezca a . .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: x y se lee “ cruz ”.

Ejemplo

Obtener el producto cartesiano x de los siguientes conjuntos:

Solución

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus cardinalidades. En el ejemplo

anterior, , el número de parejas ordenadas es: . .

El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que a menos que = .

1 l 2 l 3 l 4 l 5

Funciones Generales

Función Inyectiva

Definición: En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es

inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio

se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

Si son elementos de tales que , necesariamente se cumple .

Si son elementos diferentes de , necesariamente se

cumple .

Ejemplos: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x –2 –1 0 1 2

f(x) 2 –1 –2 –1 2

 

 

Función Biyectiva

En matemática, una función   es biyectiva si es al mismo

tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen

una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le

corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

Dados dos conjuntos   e   finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo

si   e   tienen el mismo número de elementos.

Ejemplo de Funcion Biyectiva de Conjuntos donde se puede ver que .

Función Sobreyectiva

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está

aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Ejemplo:

La función , dada por es sobreyectiva.

En este grafico se observa un ejemplo de función sobreyectiva

Función Inversa

Dada una función f decimos que una función g es la inversa de f si, para todo x y todo y se tiene,

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x

Si existe, la inversa de f es única y se denota por f−1

Sea f una función. Entonces, f tiene inversa ⇐⇒ f es inyectiva.

f-1(y) = x si y solo si f(x) = y

Función logarítmica

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número Esta función se escribe como fijo.

Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación

tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio delcálculo elemental.3 Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

Funciones Trigonométricas

Relaciones no angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo.

Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que se elija, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Representación gráfica y propiedades de las funciones trigonométricas

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

Propiedades

Dominio: XЄR Recorrido: [-1, 1] El período de la función seno es 2π La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo xЄR. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:x=(0+πK) para

todo número entero k. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx

es 1 Creciente ...U(-π/2,π/2) U( 3π/2,5π/2) U... Decreciente ...U(π/2,3π/2) U (5π/2,7π/2) U... Máximo (π/2+2πk,1) KЄZ Mínimo (3π/2+2πk,-1 KЄZ

La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x

Propiedades

Dominio: XЄR Recorrido: [-1, 1] Es una función periódica, y su período es 2π La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo XЄR La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son x=(π/2+k) El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función

y=cosx es 1 Creciente ...U(-π,0) U (π,2π) U... Decreciente ...U(0,π) U (2π,3π) U... Máximo (2πk,1) KЄZ Mínimo {π(2k+1),-1} KЄZ

La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x

Propiedades

Dominio:XЄR;{(2k+1)π/2,KЄZ Recorrido (R) La función tangente es una función periódica, y su período es π La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=kπ , para

todo número entero k Creciente (R) Máximos: no tiene Mínimos: no tiene

La función cotangente es la función definida por: f(x)= cotg x.

Propiedades:

Dominio XЄR;{kπ,KЄZ} Recorrido (R) Continuidad: Continua en XЄR-{πk,KЄZ} Período:π Decreciente en:R Máximos: No tiene Mínimos: No tiene Impar: cotg(−x) = −cotg x Cortes con el eje X={π/2+k}

La función secante es la función definida por: f(x)= sec x

Propiedades

Dominio: R-{(2k+1)π/2,KЄZ} Recorrido: (− ∞, −1] Unión [1, ∞) Período:2K Continuidad: Continua en XЄR -{(π/2+Kπ)} Creciente en: ...U(0,π/2) U (π/2,π) U... Decreciente en: ...U(π,3π/2) U (3π/2,2π) U... Máximos: (2πk,-1) KЄZ Mínimos: {π(k+1,-1)}KЄZ Par: sec(−x) = sec x Cortes con el eje OX: No corta

La función cosecante es la función definida por: f(x)= cosec x

Propiedades:

Dominio: R-{Kπ,KЄZ} Recorrido: (− ∞, −1] Unión [1, ∞) Período: 2π Continuidad: Continua en XЄR -{πk,KЄZ} Creciente en: ...U(π/2,π) U (π,3π/2) U... Decreciente en: ...U(0,π/2) U (3π/2,2π) U... Máximos: (3π/2+2πk,-1) KЄZ Mínimos: (π/2+2k,-1) KЄZ Impar: cosec(−x) = −cosec x Cortes con el eje OX: No corta

Funciones Especiales

Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.

No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.

Tablas de funciones especiales

Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales. Por lo tanto, las tablas de integrales 1 por lo general incluyen la descripción de algunas funciones especiales, y las tablas de funciones especiales 2 incluyen las integrales más importantes; por lo menos, la representación integral de las funciones especiales.

Lenguajes computacionales de cálculo analítico tales como Mathematica3 por lo general reconocen a la mayoría de las funciones especiales. Sin embargo, no todos los sistemas de cálculo poseen algoritmos eficientes de evaluación, especialmente en el plano complejo.

Nomenclatura utilizada en las funciones especiales

En la mayoría de los casos, se utiliza la siguiente notación estándar para indicar una función especial: el nombre de la función (escrita en letra Roman), subíndices, si es que tiene, se abre paréntesis, y luego sus variables independientes, separados por comas. Esta notación permite traducir las expresiones a lenguajes algorítmicos sin ambigüedades. Algunas funciones con nomenclaturas reconocidas internacionalmente son sin, cos, exp, erf, erfc.

A veces, una función especial puede tener varios nombres. El logaritmo natural puede ser llamado Log, log o ln, según cuál sea el contexto. La tangente puede ser llamada Tan, tan o tg (especialmente en la literatura rusa); arctangent puede ser llamado atan, arctg, .

La función de Bessel puede ser llamada ; y por lo general, , , hace referencia a la misma función.

A menudo los subíndices se utilizan para indicar argumentos, que se supone es un número entero. En algunos casos, el punto y coma (;) o aún la barra invertida (\) son usados como separadores. Esto hace más compleja la traducción a lenguajes algorítmicos y puede prestarse a confusiones.

Un superíndice puede no solo indicar un exponencial, sino una modificación de la función.

Por ejemplo, , , puede hacer referencia a ,

, (o ), respectivamente; pero casi nunca

significa .

Propiedades y Definicion de Las Relaciones

Relaciones

Sean A y B conjuntos. Una relación de A a B es cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R.

Formalmente:aRb = { <a,b> R | a A bB RA×B }Ejemplo: SeanP = { x | x es primo x<12 } = { 1, 3, 5, 7, 11 }I = { x | x es impar x<10 } = { 1, 3, 5, 7, 9 }Por lo tanto:

P × I = { <1,1>, <1,3>, <1,5>, ... , <11,9>, }Sea:R P × I R = { <1,1>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <11,9> }Gráficamente:

I

Matriz: 1 3 5 7 9

P

1

3

5

7

11

<1,1> <1,3> <1,5> <1,7> <1,9>

<3,1> <3,3> <3,5> <3,7> <3,9>

<5,1> <5,3> <5,5> <5,7> <5,9>

<7,1> <7,3> <7,5> <7,7> <7,9>

<11,1> <11,3> <11,5> <11,7> <11,9>

Grafo:

Relaciones Especiales

E Relación de Equivalencia

{ < x,x > R }

R-1 Relación Inversa { < b,a > | < a,b > R }

Propiedades para Relaciones

Sea R S × S

Reflexiva Para toda x S, existe xRx E R

Irreflexiva Para toda x S, no existe xRx E R =

Simétrica Para toda xRy, existe yRx E R

Asimétrica Para cada xRy, no existe yRx E R =

Antisimétrica Para cada xRy, no existe yRx, pero si xRx

E R

Transitiva Siempre que exista xRy, y yRz, existe xRz

E R

La relación de equivalencia E es reflexiva, simétrica y transitiva.

Operador de la Suma

Principio Del Palomar

El principio del palomarDirichlet fue un matemático alemán del siglo XIX que se distinguió por sus estudios en el campo de la teoría de números. Entre sus aportaciones a las Matemáticas nos centramos en el principio del palomar o principio de Dirichlet.

La versión más simple de este principio es la siguiente:«Si hay n + 1 perlas y n cajas, entonces alguna caja contendrá más de una perla».

En general, si se quieren distribuir n objetos en k casilleros, siendo n > k, habrá algún

casillero con, al menos, objetos.

El símbolo [x] significa la parte entera de x, y es el mayor número entero menor que x; por ejemplo, [3,21] = 3.

Así, si tenemos 43 palomas y se meten todas en un palomar con 20 huecos, podremos asegurar que al menos 3 de las palomas están en un mismo hueco, ya que:

La utilidad de este principio se basa en la resolución de múltiples problemas. Por ejemplo:

¿Cuál es el número mínimo de personas que debemos reunir para asegurarnos de que dos de ellas cumplen años en el mismo mes?

Lo primero que deberíamos identificar, para utilizar el principio de Dirichlet, son las perlas y las cajas. Si las perlas representan a las personas, y las cajas, los meses del año, traduciendo el principio de Dirichlet, obtenemos:

«Si hay n + 1 perlas y n cajas, entonces alguna caja contendrá más de una perla».

«Si hay n + 1 personas y n meses del año, entonces algún mes del año contendrá más de una persona».

Como hay 12 meses en el año, el número mínimo de personas que necesitamos para asegurar que habrá dos personas que cumplan los años en el mismo mes es 13.

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad Nacional Experimental

“Rómulo Gallegos”

Área de Sistemas

ESTRUCTURAS DISCRETAS

Prof.: Nubia Tamiche Integrantes:

Cruces Carlos C.I.: 19.473.894

Diaz Luis C.I.:19.985.884

Flores Yonathan C.I.:21.456.480

Moreno Marcos C.I.:20.758.606

San Juan de los Morros, Enero de 2.013

Bibliografía

http://www.depi.itch.edu.mx/apacheco/teoria/teoria.htm http://www.ecured.cu/index.php/Funciones_trigonométricas http://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Función_inyectiva http://ve.kalipedia.com/geografia-venezuela/tema/principio-palomar.html?

x1=20070926klpmateyp_81.Kes&x=20070926klpmateyp_82.Kes