Estructuras Discretas II

Grafos

Judith V. Montilla P.

CI. 18263657

Dado un grafo determinar:

1) Matriz de Adyacencia.

2) Matriz de Incidencia.

3) ¿Es conexo?. Justifique su respuesta.

4) ¿Es simple?. Justifique su respuesta.

5) ¿Es regular?. Justifique su respuesta.

6) ¿Es completo?. Justifique su respuesta.

7) Demostrar una cadena simple de grado

6.

8) Demostrar un ciclo no simple de grado 5.

9) Demostrar árbol generador aplicando

algoritmo de constructor.

10) Subgrafo parcial.

11) Demostrar si es eulerinano, aplicando el

algoritmo de fleury.

12) Demostrar si es hamiltoniano.

Primer Ejercicio

1) Para saber si es una matriz de adyacencia, determinaremos si los vértices son

adyacentes mediante las aristas.

Pasos:

a) Crearemos una Tabla con N cantidad de vértices que posee el Grafo, tanto en las

filas como las columnas.

b) Buscaremos las relaciones adyacentes o incidencias que llegan a un mismo vértice.

b.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2.

b.2) Incidencias o relaciones en los vértices tienen valor de 1.

b.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 1 1 0 0 1 1 1

V2 1 0 1 1 1 0 1 0

V3 1 1 0 1 1 0 1 1

V4 1 0 1 0 1 0 0 1

V5 1 0 1 1 0 1 0 1

V6 1 1 0 0 1 0 1 1

V7 0 1 1 0 0 1 0 1

V8 0 1 1 1 1 1 1 0

2) Determinaremos si los vértices son adyacentes, mediante las aristas, para crear una matriz

de incidencia. Pasos:

a) Crearemos una Tabla con N cantidad de vértices y N cantidad de aristas que posee el

grafo. En las filas se colocan los vértices y el columnas se colocan las aristas.

b) Se buscan las relaciones o incidencias entre vértices y aristas.

b.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vértices tienen valor de 1

b.2) Incidencias o relaciones en los vértices y aristas tienen valor de 1.

b.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.

a1 a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a7 a8 a9 a10 a11 a1

2

a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

3) Para determinar la conectividad, lo haremos gráficamente; sin embargo, ser conexo es cuando

existe un camino entre cualquier par de nodos.

El presente grafo si es conexo, porque del grafo siguiente podemos ubicar varios caminos.

Camino 2:

V1,V4,V3.

Camino 1:

V2,V8,V6,V7

Camino 3:

V1,V3,V2.

4) Determinaremos si el grafo es simple, de manera gráfica, puesto que observaremos

cuando el grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas. El grafo dado

no es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas.

Grafo con sus vértices y aristas, muestras de

paralelismo.

5) Para determinar si el grafo es regular, ubicaremos la tabla de incidencia del grafo, que

nos indicará la cantidad de aristas que inciden en cada vértice para ubicar su grado y se

suman todas las aristas correspondiente a cada vértice. El grafo dado, no es regular dado a

que los grados son diferentes.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a1

2

a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20Grados

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 6

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 5

V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 15

V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 14

V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 06

6) El grafo dado no es completo, dado que del mismo se pueden obtener otros subgrafos.

7) Para encontrar una cadena simple de grado 6, ubicamos en

la Matriz de Incidencia cadenas de grado 6: tenemos dos

cadenas simples: V3 y V8.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a1

2

a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20Grados

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 6

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 5

V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 15

V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 14

V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 06

8) Demostrar un ciclo no simple de grado 5:

No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas

no simples de ningún grado.

Paso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1}

Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4]

V4

V1

a4

9) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor

Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3={V1,V4}.

V4

V1

V7

a15

a4

Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4={V1,V4,V7,V5}

a4

V1

a15

V7

V4

a17

V5

Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8}

V1

a4

V4

a15

V7

a17

V5

a5

V8

Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}.

V1

a4

V4

a15

V7

a17

V5

a5

V8

a19

V6

Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}

V1

a4

V4

a15

V7

a17

V8

V5

a19

V6

a19

a10

V2

Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6,

V2,V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador.

a4

V1

V4

V7

V5

V8

V6

V2

a15a17 a19 a19

a10V3

a3

Camino 2 : V1,V4,V3.

Camino 1 : V2,V8,V6,V7

Camino 3 : V1,V3,V2.

10) Subgrafos parciales:

11) Demostrar si es euleriano, aplicando el algoritmo de fleury.

El grafo no es euleriano, posee vértices de valencia o grados impar.

12) Demostrar si es hamiltoniano: Un grafo es hamiltoniano si todos los vértices tienen valencia

o grado mayor o igual n/2, donde "n" es el número de vértices del grafo. Esta condición es

necesaria pero no suficiente, por lo que si existe al menos un vértice que no cumpla la relación,

no sabemos si el grafo es hamiltoniano.

Para cada vértice "V" comprobamos la relación: grado(V) >= 8/2.

Vértice v1: 5 >= 8/2 = 4.

Vértice v2: 5 >= 8/2 = 4.

Vértice v3: 6 >= 8/2 = 4.

Vértice v7: 4 >= 8/2 = 4.

Vértice v8: 6 >= 8/2 = 4.

Vértice v4: 4 >= 8/2 = 4.

Vértice v6: 5 >= 8/2 = 4.

Vértice v5: 5 >= 8/2 = 4.

EL grafo es hamiltoniano, pues todos los vértices tienen valencia mayor o igual que 4.

1) Encontrar matriz de conexión

2) ¿Es simple?. Justifique la respuesta.

3) Encontrar una cadena no simple no

elemental de grado 5

4) Encontrar un ciclo simple.

5) Demostrar si es fuertemente conexo

utilizando la matriz de accesibilidad.

6) Encontrar la distancia de V2 a los

demás vértices utilizando el algoritmo

de dijkstra.

Segundo Ejercicio

1) Encontrar matriz de conexión:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

2) No es simple, porque en el grafo contiene aristas dirigidas y paralelas, falla una condición, por

ende ya es no simple.

3) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.

Cadena simple: Es aquella que no repite aristas.

Cadena Elemental: Es aquella que no repite vértices.

Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite vértices y artistas. No se puede

ubicar ninguna, ya que no es doblemente dirigidos para realizar en camino para repetir

ambas.

a1

a2

a8

No repite

ni vértices ni aristas.

4) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.

5) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.

6) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.

Pasos:

1) Ubicar el vértice de inicio.

2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este directamente a él.

3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:

Símbolo de la Iteración o

estudio de distancia.

Ponderación de la arista

+ lo que precede.Vértice Estudiado

(1,1 ) # de la iteración

4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior

que esta directamente al vértice estudiado.

5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.

6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge

cualquiera de la dos.

Distancias:

dv2 a v1: 2

dv2 a V3: 3

dv2 a V5: 3

dv2 a v4: 4

dv2 a v6: 3

Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

Vista Gráfica

[0,](0)

[2,2](1)

[3,2](1)

[3,2](1)

[3,2](1)

[4,2](1)