Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE

Matemáticas Discretas

Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Enrique Muñoz de Cotejemc@inaoep.mx

http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210

Diapositivas basadas en previas iteraciones de:

Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor

2

Grafos

Definiciones básicas Caminos y ciclos Grafos eulerianos y hamiltonianos Isomorfismo Árboles

3

Generalidades Los grafos son estructuras discretas compuestas por

vértices y aristas que conectan pares de esos puntos Son una abstracción útil para modelar situaciones

tales como: Redes de computadoras Estructuras de datos Redes eléctricas y telefónicas Circuitos eléctricos Sistemas carreteros Sistemas de toma de decisiones

4

¿Qué son? Un grafo es una representación gráfica de objetos y

relaciones binarias entre éstos. Un grafo se representa gráficamente por medio de puntos o

pequeños círculos, que designan vértices, y líneas que los unen, que representan las aristas

1

54

3

2

5

Grafos dirigidos Un grafo dirigido/dígrafo G = (V, E) consiste de un

conjunto de vértices V (o nodos) y un conjunto de aristas (o arcos) dirigidas E ⊆ V×V Note que las aristas (a, b) tiene una dirección; un vértice

fuente/origen a y un vértice terminal b

V={1,2,3,4,5} E = {(1,3), (2,3), (3,4),

(4,3), (5,3), (5,4), (5,5)}1

54

3

2

6

Grafos simples Un grafo no dirigido G = (V,E) sin auto lazos se

denomina grafo simple E se determina por una relación simétrica, antireflexiva, tal

que {a,b} ∈E si y solo si (a,b)∈R

V={1,2,3,4,5}E = {{1,2}, {1,3}, {2,3},

{3,4}, {3,5}, {4,5}, {2,5}} 1

54

3

2

7

Definiciones Si e={u, v} es una arista entonces se dice que los

vértices u y v son los extremos de e Un vértice y una arista son incidentes si el vértice es

uno de los extremos de la arista Dos vértices u y v son adyacentes si {u, v} es una

arista

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Representación de grafos simples

1 2

3 4

{3,4}

{2,4}{1,3} {2,3}

{1,4}

{1,2}

9

Ejemplo: vértices ¿Cuáles vértices son adyacentes a 1?

1 2

3 4

e3

e1

e2

e4

10

Ejemplo: vértices ¿Cuáles vértices son adyacentes a 1?

1 es adyacente a 2 y 3 2 es adyacente a 1 y 3 3 es adyacente a 1 y 2 4 no es adyacente a vértice alguno

1 2

3 4

e3

e1

e2e4

11

Ejemplo: vértices ¿Cuáles aristas son incidentes a 1?

e1, e2, e4 son incidentes a 2 2 es incidente con e1, e2, e4 3 es incidente con e2, e3 4 no es incidente con ninguna arista

1 2

3 4

e3

e1

e2e4

12

Definiciones Dos aristas asociadas al mismo par de vértices son

aristas paralelas Una arista incidente en un sólo vértice es un ciclo Un vértice que no es incidente en ninguna arista es un

vértice aislado

13

Matriz de adyacencia Forma de representar grafos y relaciones

1

2

3

4

1000

1100

1110

1111

14

Ejemplo ¿Cuál es la matriz de adyacencia del grafo de la

figura?

1 2

3 4

1000

0011

0122

0120

Tipos de grafos Un grafo no dirigido sin auto lazos (un ciclo sobre un

mismo vértice) se denomina grafo simple Un grafo con aristas paralelas (dos aristas pueden

conectar un mismo par de vértices) es llamado multigrafo

Un grafo completo es un grafo con arcos entre cada par de vértices

Un grafo pesado es aquel que tiene pesos asociados a nodos y/o arcos

15

16

Grafos completos Se llama grafo completo en n vértices a un grafo con

n vértices v1, v2, …, vn donde para todo a y b que pertenecen a V existe una arista {a, b}. Este grafo se denota Kn, y el número de aristas de Kn es n(n-1)/2

Cada par de vértices distintos comparte un arista

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Grados El grado de un vértice v de un grafo es el número

g(v) de aristas incidentes con él. Si g(v) = 0 se dice que v es un vértice aislado En grafos dirigidos existen grado de entrada y grado de

salida

La sucesión de grados de un grafo se obtiene ordenando en forma creciente los grados de todos los vértices

18

Ejemplo: grado de un vértice ¿Cuál es grado del vértice 2?

g(2)=1+1+1+2+2=7

1 2

3

e1

e3e2

e4e5

e6

19

Ejemplo: grado de un vértice ¿Cuáles son los grado de entrada y salida de los

vértices del grafo mostrado en la figura? g-(1) = 0 g-(2) = 3 g-(3) = 4 g+(1) = 2 g+(2) = 3 g+(3) = 2

1

2

3

20

Teorema de Euler En todo grafo G=(V, E) se cumple

Las aristas se pueden contar considerando cuantas son incidentes en cada vértice y sumando todos los números obtenidos. Pero asi cada arista resulta contada dos veces, una para cada uno de sus extremos

€

g(v) = 2 EvεV

∑

21

Ejemplos Si un grafo tiene una sucesión de grados 0, 0, 1, 2,

3, 4, ¿Cuántas aristas tiene? (0+0+1+2+3+4)/2=5

¿Existe algún grafo cuya sucesión de grados sea 1, 1, 2, 3, 4? No, dado que 1+1+2+3+4=11 es impar

22

Subgrafos Si G = (V, E) y H = (W, F) son grafos tales que W

⊂ V y F ⊂ E, entonces se dice que H es un subgrafo de G y que G es un supergrafo de H. Cada arista de F es incidente con vértices en W

23

Ejemplo

b b b

a c e

d d

ca e

d

24

Caminos y ciclos Un camino de longitud n+1 es un grafo G = (V, E)

con V = {v0, v1, v2, . . . , vn} y E = {v0v1, v1v2, . . . , vn−1vn}. Un camino se representa dando la sucesión v0v1 . . . vn de sus vértices, entendiendo que las aristas son v0v1, v1v2,. . . , vn−1vn. A v0 y vn se les llama extremos del camino. Camino: Secuencia ordenada de vértices y arcos. Camino cerrado: Cuyo inicio es igual que el final Camino simple: Sin aristas repetidas. Camino elemental: Sin vértices repetidos.

25

Caminos y ciclos Un ciclo de longitud n es un grafo G = (V,E) de orden

n≥3, con vértices v0, v1, . . . , vn−1 y aristas v0v1, v1v2,. . . , vn−2vn−1 y vn−1v0.

Ciclo: Camino elemental cerrado. Circuito: Camino simple cerrado.

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Ejemplo Camino de a-b

{a, b},{b, d}, {d, c}, {c, e}, {e, d}, {d, b}

Camino de b a f b – c – d – e – c – f

Camino de f a a {f, c}, {c, e}, {e, d}, {d, a}

Camino de c a c c – e – d – c

a

b

dc

fe

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Distancia y diámetro La distancia d(u, v) entre dos vértices u y v de un

grafo es la longitud del camino más corto de u a v. Si no existe ningún camino de u a v entonces d(u, v) = ∞.

El diámetro de G es la máxima distancia entre dos vértices distintos de G y se denota diam(G).

28

Grafo conexo Un grafo G = (V, E) es conexo si para cualquier par

de vértices u, y v existe un camino en G que los une, es decir un camino con extremos u y v. Equivalentemente, G es conexo si diam(G) < ∞

29

Ejemplo Sea G=(V, E) un grafo no dirigido en V={a, b, c, d, e,

f, g} El grafo no es conexo Los dos sub-grafos son conexos

a

b

df

c

e g

30

Problemas de Caminos y Circuitos Encontrar si existe un camino entre un par de vértices Encontrar el camino más corto entre un par de

vértices Encontrar camino que pase por cada arista una sola

vez (Euler) Encontrar circuito que pase por cada vértice una sola

vez (Hamilton)

31

Camino simple de Euler Un camino simple de Euler es un camino que pasa

por todas las aristas exactamente una sola vez. Los puentes de Königsberg

Camino simple de EulerTeorema: (a) Si un grafo conexo tiene más de dos nodos con

grado impar, no existe un camino simple de Euler. (b) Si existen exactamente dos vértices de grado

impar, el grafo se puede recorrer, pero el camino ha de empezar en uno de los dos vértices de grado impar y terminar en el otro.

(c) Si no existen vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer. El camino siempre será cerrado.

32

33

Ciclo de Hamilton Sean G=(V, E) un grafo, se dice que G tiene un ciclo

de Hamilton si existe un ciclo en G que incluye todos y cada uno de los vértices en V.

34

Ejemplo En el grafo de la figura, las aristas {a, b}, {b, c}, {c,

f}, {f, e}, {e, d}, {d, g}, {g, h} y {h, i} producen una camino de Hamilton

a b

ed

c

f

hg i

¿Existe solución? Dado un grafo cualquiera, ¿es posible determinar si

posee un camino Hamiltoniano?

Es una pregunta muy parecida a la de Euler, así que se esperaría una respuesta del mismo tipo… Sin embargo, se trata de un problema NP-completo

(Teorema de Garey-Johnson)

35

36

Grafos bipartitos Un grafo G=(V, E) se dice que es bipartito si el

conjunto de vértices V puede particionarse en dos subconjuntos V1 y V2 tales que todas las aristas tengan un extremo en V1 y el otro en V2 Grafos bi-cromáticos: los vértices pueden ser coloreados

usando dos colores de tal forma que dos vértices adyacentes no tienen el mismo color

37

Ejemplo: grafo bipartito El grafo de la figura es bipartito

38

Clique Grafo completo: cada par de nodos distintos son

adyacentes Conjunto completo: subconjunto W de G que induce

un subgrafo completo de G Clique: subconjunto de nodos que es conjunto

completo y máximo (no hay un conjunto completo que lo contenga)

39

Cliques

40

Cliques

41

Cliques

42

Isomorfismo Dos grafos G={V, E} y G’={V’, E’} son isomorfos si

existe una biyección f: V → V’ que preserva la relación de adyacencia, es decir tal que {u, v} ∈ E si y solo si {f(u), f(v)} ∈ E’

Dos grafos isomorfos deben tener el mismo número de vértices. Todas las propiedades que se deriven de la relación de adyacencia deben ser idénticas: mismo número de aristas y sucesiones de grado

43

Ejemplo: isomorfismo Los dos grafos representados en la figura son

isomorfos:

44

Ejemplo

a b

dc

w x

zy

Grafos isomorfos

45

Ejemplo

a

x ze

b

w

yf

c

v

u

d

Grafos no isomorfos

46

Tipos de isomorfismos Isomorfismo de grafos

correspondencia 1:1 entre dos grafos G1 - G2 Isomorfismo de subgrafos

correspondencia entre un grafo G1 y los subgrafos de G2 Doble isomorfismo de subgrafos

correspondencia entre los subgrafos de G1 y los subgrafos de G2

47

Árboles Un árbol es un grafo conexo y

acíclico Sea G=(V, E) un arbol. Las

afirmaciones siguientes son equivalentes: G es un árbol Dos vértices cualesquiera de G están

unidos por un único camino G es conexo pero si se le quita

cualquier arista deja de serlo G es acíclico pero si se le agrega una

arista cualquiera deja de serlo

48

Ejemplo El grafo de la izquierda es un árbol pero el de la

derecha no

ba

c

e

d

f

ba

c

e

d

f

49

Árbol Hoja o nodo terminal: grado de salida 0 Nodo rama o interno: grado > 0

50

Árbol Propiedades:

Hay un camino simple entre cada par de nodos El número de nodos = número de aristas + 1 Un árbol con 2 o más nodos tiene al menos dos nodos hoja

51

Árboles dirigidos Árbol (enraizado): un nodo con grado de entrada 0

(raíz) y los demás con 1 Poliárbol (árbol dirigido): se vuelve un árbol al

quitar las direcciones

52

Árbol dirigido Terminología:

Raíz: vértice con grado de entrada 0 Hoja: vértice con grado de salida 0 Interno: vértice con grado de salida > 0 Hijo / Padre: arista de A a B, A es padre de B y B es

hijo de A Hermanos: tienen el mismo padre Descendientes / Ascendientes: camino de A a B, A es

ascendiente de B y B es descendiente de A

53

Árbol dirigido Terminología:

Subárbol con raíz A: A y todos sus descendientes Subárbol de A: subárbol con hijo de A como raíz Árbol ordenado: aristas salientes de cada nodo

etiquetados con enteros Árbol de aridad “m”: cada nodo rama (raíz o interno)

tiene máximo m hijos. Es regular si c/u tiene exactamente m hijos (binario m =2)

54

Teorema

En cualquier árbol T=(V, E), |V|=|E|+1

55

Recorridos en árboles Sea T un árbol con raíz r. Si t no tiene otros vértices, entonces

las raíz constituye los recorrido pre-order y post-order. Si |V| > 1, sean T1, T2, …, Tk los subárboles de T de izquierda a derecha: El recorrido en pre-order de T primero visita r y después recorre los

vértices de T1 en pre-order, luego los vértices de T2 en pre-order y así sucesivamente hasta que los vértices de Tk son recorridos en pre-orden

El recorrido post-order de T recorre en post-order los subárboles T1, T2, .., Tk y después visita la raíz

56

Ejemplos1

2 3

5

4

6 7 8 9 10

11 12 13 14 171615

Recorrido en pre-order: 1, 2, 5, 11, 12, 13, 14, 3, 6, 7, 4, 8, 9, 10, 15, 16, 17

Recorrido en post-order: 11, 12, 13, 14, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9,15, 16, 17, 10, 4, 1

57

Recorrido in-order Sea T=(V, E) un árbol binario con raíz en el vértice

r: Si |V| = 1, entonces el vértice r constituye el recorrido

in-order de T Si |V| > 1, sea TL y TR los subárboles izquierdo y

derecho de T. El recorrido in-order de T visita primero los vértices de TL in-order y después visita la raíz y finalmente recorre in-order los vértices de TR

58

Ejemplo

Recorrido en orden: f, c, p, j, q, a, d, r, h, e, t, n, u

r

a

c

e

hd

f j u

n

t

qp

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Búsqueda con backtracking Se construye un árbol en el que las trayectorias

corresponden a isomorfismos: se toma un nodo de G1 y todas sus posibles

correspondencias en G2 (primer nivel) se buscan los nodos conectados a los nodos

correspondientes del primer nivel (segundo nivel) se continua hasta que no existan correspondencias las trayectorias en el árbol corresponden a isomorfismos

de subgrafos entre G1 y G2

60

Búsqueda con backtracking

A/A’ A/A’’

B/B’

C/C’ C/C’’