matemáticas discretas - inaoe...operaciones de conjuntos se dice que un evento es el complemento de...
TRANSCRIPT
Matemáticas DiscretasCurso Propedéutico
Coordinación de Ciencias Computacionales
Conjuntos
Conjuntos
Se tiene un “sentimiento íntimo” de que un conjunto debe ser una colección bien definida de elementos. A estos elementos se les suele llamar objetos y se dice que son miembros del conjunto.
El adjetivo “bien definido” implica que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar si está o no en el conjunto que se analiza.
Matemáticas Discretas 3
Conjuntos
Conjunto: Colección finita o infinita de objetos en el que el orden, no tiene importancia.Se llama cardinalidad del conjunto, y se denota #A al número de elementos que forman el conjunto.Subconjunto: Una porción (B) de un conjunto (A). Cada elemento de B pertenece a A, y se denota B⊂A
Matemáticas Discretas 44
A
B
C
Conjuntos
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,..., para representar conjuntos, y minúsculas para los elementos.Dado un conjunto A
● Se escribe x ∈ A si x es un elemento de A;● y ∉ A indica que y no pertenece a A.
Matemáticas Discretas 5
Conjuntos
Un conjunto se puede determinar enlistando sus elementos entre llaves como A = {1, 2, 3, 4, 5}, (determinación extensional).
Este conjunto también se puede determinar mediante una propiedad que indica cómo deben ser los elementos (determinación intencional). Entonces A también se puede escribir como A = {x | x es un entero, 1 ≤ x ≤ 5 }.
Matemáticas Discretas 6
Conjuntos
Cuando se trata un problema particular, hay un universo o conjunto universal, formulado o implicado, del cual se seleccionan los elementos para formar los conjuntos.
EJEMPLO. Para el universo U = {1, 2, 3, 4, 5}, considérese un conjunto A = {1, 2}. Si B = {x | x2 ∈ U } los elementos de B son 1, 2. Como A y B tienen los mismos elementos se considera que son el mismo conjunto.
Matemáticas Discretas 7
Conjuntos
Definición Para un universo U se dice que los conjuntos A y B(tomados de U) son iguales y se escribe A = B, si A y B contienen los mismos elementos.
De esta definición se deduce que ni el orden ni la repetición tienen importancia para un conjunto, de modo que {1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {2, 2, 1, 3} = {1, 2, 1, 3, 1}.
Matemáticas Discretas 8
Conjuntos
Un conjunto contable es aquel cuya cardinalidad es igual a la de (un subconjunto de) los números naturales.…en otras palabras es enumerable…observa que puede ser finito o infinito
En caso de ser infinito su cardinalidad es ℵ0.☞ NOTA: Observa que si es finito, entonces seguro es contable, pero si es infinito no es seguro.Ejemplo: Los enteros ℤ son contables.
Matemáticas Discretas 9
Conjuntos
Un conjunto incontable o no contable es aquel que no es contable.Su cardinalidad es mayor a la de los números naturales i.e. mayor
que ℵ0, pero no necesariamente ℵ1.Ejemplo: Los reales ℝ son incontables.☞ NOTA: Uno de los grandes problemas en teoría de números es demostrar la cardinalidad de los números reales.
Matemáticas Discretas 10
Conjuntos
EJEMPLO Para U = {1, 2, 3,... }, el conjunto de enteros positivos, sea:a) A = {1, 4, 9,...,64, 81} = {x2 | x ∈ U, x2 <100}.b) B = {1, 4, 9, 16} = {y2 | y∈ U, y2 < 20}c) C = {2, 4, 6, 8,...} = {2k | k∈ U }
A y B son ejemplos de conjuntos finitos, mientras que C se denomina conjunto infinito.
Matemáticas Discretas 11
Conjuntos
Dado un conjunto finito A|A| denota el número de elementos en A y se denomina cardinalidad o tamaño de A.EJEMPLO Un nombre de variable en FORTRAN ANSI está formado por una sola letra seguida de a lo sumo, cinco caracteres (letras o dígitos). Si U es el conjunto de todos los nombres de variables, entonces, por las reglas de la suma y el producto |U| es 26 +26(36)+ 26(36)2+ ...+ 26(36)5 = 1 617 038 306de modo que U es un conjunto grande, pero todavía finito.
Matemáticas Discretas 12
Subconjuntos
Definición Si C, D son conjuntos de un universo U, se dice que C es un subconjunto de D, y se escribe C ⊆ D o D ⊇ C si todo elemento de C es también un elemento de D.
Si existe algún elemento de D que no está en C, C se denomina subconjunto propio de D y se denota por C⊂ D o D ⊃ C.
Matemáticas Discretas 13
Subconjuntos
Teorema Sea A, B ⊆ U. Entonces A = B si y sólo si, A ⊆ B y B ⊇ A.
Demostración Se deja como ejercicio
Matemáticas Discretas 14
Subconjuntos
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, 4, 5} con A = {1, 2, 3}, B = {3,4}, C = {1, 2, 3, 4}. Entonces se cumplen las siguientes relaciones de subconjuntos:a) A ⊆ C b) A ⊂ C c) B ⊂ C d) A ⊆ Ae) B ⊈ A (es decir, B no es un subconjunto de A)f) A ⊄ A
Matemáticas Discretas 15
Subconjuntos
Teorema Sea A, B, C ⊆ U.● Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. ● Si A ⊂ B y B ⊆ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊆ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
Matemáticas Discretas 16
Conjunto vacío
Definición El conjunto nulo o vacío es aquél que no contiene elementos y se denota por ∅ o {}.
Se observa que |∅| = 0, pero {0} ≠ ∅. Además, ∅ ≠ {∅}, pues {∅} es un conjunto con un elemento: el conjunto vacío.
Matemáticas Discretas 17
Conjunto vacío
Interesa, en primer lugar, el caso en que dos conjuntos cumplen una relación de subconjuntos. Sin embargo, para los conjuntos A, B del universo U puede suceder que A no sea subconjunto de B. Esto se expresa por A ⊈ B y tiene lugar cuando hay algún elemento x ∈ A tal que x ∉ B.
Matemáticas Discretas 18
Conjunto vacío
Teorema Para cualquier universo U, sea A⊆ U. Entonces ∅ ⊆ A; si A ≠ ∅ entonces ∅ ⊂ A.
Demostración Si el primer resultado no es verdadero, entonces ∅A, de modo que hay un elemento x del universo con x ∈ ∅, pero x ∉A. Pero x ∈ ∅ es imposible. Además, si A ≠ ∅, entonces hay un elemento a ∈ A (y a ∉ ∅), de modo que ∅ ⊂ A.
Matemáticas Discretas 19
Operaciones de conjuntos
Definición Dados A, B ⊆ U, se definen las propiedades siguientes:a) A ∪ B (la unión de A y B) = {x | x ∈ A o x ∈ B}b) A ∩ B (la intersección de A y B) = { x | x ∈ A y x ∈ B}c) A △ B (la diferencia simétrica de A y B) =
A △ B ={x | x ∈ A o x ∈ B, pero x ∉A ∩ B}
Matemáticas Discretas 20
Operaciones de conjuntos
La unión o conjunción de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a todos los desenlaces que pertenecen sólo a A, sólo a B, o a ambos A y B.A⋃BImplicaciones:
● No exclusividad. Los elementos que pertenecen● a A y a B son parte de A⋃B● Si ocurre A entonces ocurre A⋃B● Si ocurre B entonces ocurre A⋃B
Matemáticas Discretas 21
S
B
A
A
⋃B
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar dos dados
Matemáticas Discretas 22
x=3: A={(1,2),(2,1)}
x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}
x=6: C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
A⋃B={(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)};
B⋃C={(1,3),(2,2),(3,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
;
A⋃C={(1,2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)};
A
B
C
Operaciones de conjuntos
La intersección de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a aquellos desenlaces que pertenecen a ambos A y B.A⋂BImplicaciones:Si ocurre A⋂B entonces ocurren A y B
Matemáticas Discretas 23
S
B
A
A
⋂B
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar dos dados
x=3: A={(1,2),(2,1)}
x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}
x=1er dado sacó 2: C={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
A⋂B= ∅;
B⋂C={(2,2)};
A⋂C={(2,1)};
Matemáticas Discretas 24
A
BC
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Escoger una cartax=Figuras: A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}
x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}
x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}
A⋂B={OZ,OC,OR}
B⋂C={O1}
A⋂C=∅
Matemáticas Discretas 25
Operaciones de conjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente
excluyentes si no contienen desenlaces comunes; es decir, si
su intersección es el conjunto vacio
A⋂B=∅
Implicaciones:● Si ocurre A, entonces no ocurre B
● Si ocurre B, entonces no ocurre A
Matemáticas Discretas 26
A
S
B
A
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Escoger una carta
x=Figuras:
A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}
x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}
x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}
A⋂B={OZ,OC,OR}
B⋂C={O1}
A⋂C=∅Figuras y Oros no son disjuntos
Oros y Ases no son disjuntos
Figuras y Ases son disjuntos
Figuras, Oros y Ases no son disjuntosMatemáticas Discretas 27
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: AmoniácidosLeucina: A={UUA,UUG,CUU,CUC,CUA,CUG}
Metionina: B={AUG}
Valina: C={GUU,GUC,GUA,GUG}
Leucina ∩ Metionina=∅Leucina ∩ Valina=∅Metionina ∩ Valina=∅Leucina, Metionina y Valina son mutuamente excluyentes
Matemáticas Discretas 28
Operaciones de conjuntos
Si A, B ⊆ U, entonces A ∪ B, A ∩ B, A △ B ⊆ U. Por tanto son operaciones binarias en P ( U)También se puede decir que en estas operaciones P (U) es cerrado.
Matemáticas Discretas 29
Operaciones de conjuntos
EJEMPLO Con U={1,2,3, ... ,9,10}, A={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7}, C={7,8,9} tenemos
a) A∩B = {3, 4, 5} b) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) B∩C = {7} d) A∩C = ∅e) A△B = {1, 2, 6, 7} f) A∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
g) A△C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
Matemáticas Discretas 30
Operaciones de conjuntos
Definición Si S, T⊆ U, cuando S ∩ T = ∅, entonces S y T se denominan disjuntos o mutuamente disjuntos.
Teorema Si S, T⊆ U, S ∪ T = S △ T si y sólo si S y T son disjuntos.
Matemáticas Discretas 31
Operaciones de conjuntos
Demostración Se comienza con S, T disjuntos. Si x∈S∪T, entonces x∈S o x∈T (o ambos). Pero como S y T son disjuntos, x∉S∩T, de modo que x∈S△T. Por tanto, como x∈S∪T implica que x∈S△T, resulta S∪T⊆S△T. Para la inclusión opuesta, si y∈S△T, entonces y∈S o y∈T. De modo que y∈S∪T . Por tanto, S△T⊆S∪T y por lo tanto resulta que S△T = S ∪T.A la inversa , si S∪T=S△T y suponiendo que S∩T≠∅, sea x∈S∩T . Entonces, x∈S y x∈T , de modo que x∈S∪T. Sin embargo, x∉S△T lo cual contradice la igualdad de conjuntos dada. En consecuencia, S y T son disjuntos.
Matemáticas Discretas 32
Operaciones de conjuntos
Se dice que un evento es el complemento de otro evento A,
si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que
no pertecen a A, y se denota Ac.Implicaciones:
● Ac es el evento de que no ocurra A.● Si ocurre A, entonces no ocurre Ac.● Si ocurre Ac entonces no ocurre A
Matemáticas Discretas 33
S
A
Ac
Operaciones de conjuntos
Definición Para un conjunto A ⊆ U, el complemento de A, denotado por U - A o Ac , está dado por {x | x∈ U, x∉A }. Para U ={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9}Ac ={6, 7, 8, 9, 10},Bc ={1, 2, 8, 9, 10}, Cc ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}
Matemáticas Discretas 34
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar una monedaAguila/Cara: A={anverso}Sol/Cruz: B={reverso}
A=Bc; Ac=B
Matemáticas Discretas 35
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar un dadox=2: A={2}x=Par: B={2,4,6}x=Impar: C={1,3,5}B=Cc; Bc=CAc={1,3,4,5,6}
Matemáticas Discretas 36
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Edad de una persona en años
x=3ª edad: A={x≥65, x∈N+}
x=votante: B={x≥18, x∈N+}
x=reservista: C={x≥18 ⋀ x<45, x∈N+}
Ac={x<65, x∈N+};
Bc={x<18, x∈N+};
Cc={x<18 ∨ x≥45, x∈N+}
Matemáticas Discretas 37
Operaciones de conjuntos
Definición Para A, B ⊆ U, el complemento (relativo) de A en B, denotado por B – A , está dado por {x | x ∈ B, x ∉ A}.
Para U={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9} se tiene:
a) B – A ={6,7} b) A – B = {1, 2} c) A – C = Ad) C – A = C e) A – A = ∅ f) U – A = AC
Matemáticas Discretas 38
Operaciones de conjuntos
Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC
1) a)⇒b) Si A, B son conjuntos cualesquiera, entonces B⊆A∪B. Para la inclusión opuesta, si x∈A∪B, entonces x∈A o x∈B, pero como A⊆B, en ambos casos se tiene x∈B; de modo que A∪B⊆B y resulta la igualdad.2) b)⇒c) Dados los conjuntos A, B, siempre se tiene que A⊇A∩B. Para la inclusión opuesta, sea y∈A. Si se tiene A∪B=B, y∈A⇒y∈A∪B⇒ y∈B⇒ y∈A∩B, entonces A⊆A∩B y se concluye que A=A∩B.
Matemáticas Discretas 39
Operaciones de conjuntos
Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC
3) c)⇒d) z∈BC ⇒ z∉B⇒ z∉A∩B, pues A∩B⊆B. Con A∩B=A, z∉A∩B⇒ z∉A⇒ z∈ AC , de modo que BC ⊆ AC .4) d)⇒a) Por último, w∈A⇒ w∉ AC y como BC ⊆ AC , w∉ AC ⇒ w∉
BC ⇒ w∈B , y A⊆B.
Matemáticas Discretas 40
Operaciones de conjuntos
Debe tener alguna importancia que las leyes 2 a 10 se presenten por pares. Estos pares se llaman duales. Una proposición se puede obtener a partir de la otra intercambiando en todos los casos en que se presente ∪ por ∩, y viceversa, y donde aparezca U por ∅, y viceversa.
Matemáticas Discretas 41
Operaciones de conjuntos
Teorema (El principio de dualidad) Si s es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo –, ∩, ∪, e =, entonces el dual de s también es un teorema de la teoría de conjuntos.
Este principio reduce el trabajo de forma considerable. Para cada par de las leyes 2 a 10 sólo se necesita demostrar una de las proposiciones y recurrir a este principio para obtener la otra proposición del par.
Matemáticas Discretas 42
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 43
Definición Denótese por I un conjunto de índices. Si para cada índice i∈I hay un conjunto Ai ⊆ U
y
Obsérvese que si x∉ Ai, para todo índice i∈I .Si x∉ Ai para al menos un índice i ∈ I, entonces .
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 44
Si el conjunto de índices I es el conjunto Z+, se puede escribir:
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 45
EJEMPLO Sea I = {3,4,5,6,7}, y para i∈I seaAi = {1,2,3,...,i}⊆ U = Z+. Entonces,
mientras que
EJEMPLO Sea U = R e I = R+. Si para cada r ∈ R+,Ar = [-r, r] entonces = R, ={0}.
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 46
Teorema (Leyes de DeMorgan generalizadas) Sea I un conjunto de índices, donde para cada
a) b)
▪ Ejercicio: Sean los conjuntos▪ S={0,...,40}
▪ A={2, 3, 5, 6, 14, 28, 32}
▪ B={0, 1, 3, 5, 16, 17, 21, 28, 30, 31, 32, 33}
▪ C={1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 24, 28}
Encuentre: a) A∩B, b) B⋃C, c) A⋃(B⋂C), d) Bc⋂C
Matemáticas Discretas 47
Solución:
a) A∩B={3,5,28,32}
b) B⋃C={0,1,2,3,4,5,8,9,10,16,17,18,21,24,28,30,31,32,33}
c) (B⋂C)={1,5,16,28}
A⋃(B⋂C)={1,2,3,5,6,14,16,28,32}
a) Bc={2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20,22,23,24,25,26,27,29,34,3
5,36, 37,38,39,40}
Bc⋂C={2,4,8,9,10,18,24}
▪ Ejercicio: Sean los conjuntos A, B y C de la figura. Encuentre
fórmulas que definan cada uno de los 8 eventos disjuntos indicados
[DeGroot, 2012, Ch1]
Matemáticas Discretas 48
Solución:
1: {A ∩ B ∩ C}
2: {A ∩ Bc ∩ C}
3: {Ac ∩ B ∩ C}
4: {A ∩ B ∩ Cc}
5: {A ∩ Bc ∩ Cc}
6: {Ac ∩ B ∩ Cc}
7: {Ac ∩ Bc ∩ C}
8: {Ac ∩ Bc ∩ Cc}
S
12 3
45 6
7 8
AB
C
Pista: Piensa en binario
▪ Ejercicio: Dados los tres colores primarios R, G, y B,
Enumere el espacio de búsqueda de una imagen de 3
pixeles, si cada pixel sólo puede tomar un color cada
vez.
Matemáticas Discretas 49
Solución:
S={RRR,RRG,RRB, RGR, RGG,RGB,
RBR,RBG,RBB,
GRR,GRG,GRB, GGR, GGG,GGB,
GBR,GBG,GBB,
BRR,BRG,BRB, BGR, BGG,BGB,
BBR,BBG,BBB}
▪ Ejercicio: Solución
Demostración de la igualdad de izquierda a derecha:
▪ Sea x un desenlace en A⋃(B⋂C), entonces x está contenido en A o contenido en la
intersección entre B y C.
▪ Si x está contenido en A; entonces, también está contenido en la unión de A con
B. Así mismo, x también está contenido en la unión de A con C. Por tanto, x está
contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A con C.
▪ Si x está contenido en la intersección entre B y C; entonces x está contenido en
B y x está contenido en C. Ya que x está contenido en B, también está contenido
en la unión de A con B. Así mismo, x está contenido en la unión de A con C. Por
tanto, x está contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A
con C.
Esto prueba que A⋃(B⋂C) ⊂ (A⋃B) ⋂ (A⋃C)
▪ Pero esto, no es la igualdad; falta la demostración de derecha a izquierda.
Matemáticas Discretas 50
▪ Ejercicio: Solución (cont.)
Demostración de derecha a izquierda:
▪ Sea x un desenlace en (A⋃B) ⋂ (A⋃C). Entonces x está contenido en la unión de A
y B, así como en la unión de A y C. Al estar contenido en la unión de A y B, x está
contenido o bien en A, o bien en B (o en ambos).
▪ Si está en A, entonces está en la unión de A con (B⋂C).
▪ Si está en B y no en A, como pertenece a la intersección (A⋃B) ⋂ (A⋃C), pero
no está en A, eso significa ¡que tiene que estar en C!, y por ende, como está en
B y C, entonces está en la intersección de B y C.
Esto prueba que (A⋃B) ⋂ (A⋃C) ⊂ A⋃(B⋂C)
▪ Entre la demostración de izquierda a derecha y la de derecha a izquierda queda
demostrada la igualdad, c.q.d.
Matemáticas Discretas 51
▪ Ejercicio: Demostrar la propiedad distributiva de la
unión sobre la intersección, y de la intersección sobre la
unión:
A⋂(B⋃C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
Matemáticas Discretas 52
Solución: La solución es análoga a la demostración de la propiedad distributiva de la unión
sobre la intersección. Se deja como ejercicio.
Leyes de la teoría de conjuntos
Idempotencia:X∪X=X X∩X=XConmutativa:X∪Y=Y∪X X∩Y=Y∩XAsociativa:(X∪Y)∪Z= X∪(Y∪Z) (X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z)
Matemáticas Discretas 53
Leyes de la teoría de conjuntos
Distributiva:
X∪(Y∩Z)= (X∪Y)∩(X∪Z)
X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X ∩ Z)
Identidad:
X∪∅=X
X∩S=X
Dominación:
X∪S=S
X∩∅=∅
Matemáticas Discretas 54
Leyes de la teoría de conjuntos
Complemento:
X∪Xc=S
X=(Xc)c
X∩Xc=∅De Morgan:
(X∪Y)c=Xc∩Yc
(X∩Y)c=Xc∪Yc
S-(X∪Y)= (U-X)∩(U-Y)
S-(X∩Y)= (U-X)∪(U-Y)
Matemáticas Discretas 55
Diagrama de Venn
Un diagrama de Venn, se construye como sigue: U se representa por el interior de un rectángulo, mientras que sus subconjuntos se representan por círculos interiores y otras curvas cerradas.
Matemáticas Discretas 56
Diagrama de Venn
En la figura se usan diagramas de Venn para establecer una de las leyes de DeMorgan.
Matemáticas Discretas 57
Diagrama de Venn
Diagrama de Venn numerando regiones
Matemáticas Discretas 58
La región 3 es Ac ⋂ B⋂ Cc y la región 7 es A⋂ Bc ⋂ Cc. Cada región es un
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 59
A ∪ B está formado por las regiones 2, 3, 5, 6, 7, 8, de modo que (AAl desarrollar (A⋃ B)c ⋃ C está formado por las regiones 1, 4, 6, 7,
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 60
El conjunto Ac consta de las regiones 1, 3, 4, 6, mientras que las regiones
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 61
Los conjuntos A, B de la figura no tienen intersección, así queaquí la regla de la suma da lugar a |A ⋃ B| = |A| + |B|, y esnecesario que A, B sean finitos, pero no requiere condiciónalguna sobre la cardinalidad de U.
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 62
EJEMPLO En una clase de 50 alumnos de primero de universidad,30 estudian BASIC, 25 Pascal, y 10 los dos lenguajes. ¿Cuántosalumnos estudian uno de los lenguajes de programación?.
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 63
Definición Dados los conjuntos A, B ⊆ U, el producto cartesiano ocruz de A, B se define por A × B y es igual a
AXB = {(a,b)| a ∊ A, b ∊ B}
Se dice que los elementos de A × B son pares ordenados. Para (a,b), (c, d) ∈ A × B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y sólo si, a = c y b =d.
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 64
Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A × B = |A|
Además aunque A, B ⊆ U, no es necesario que A × B ⊆ U, de modo que U
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 65
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces,a) A × B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.b) B × A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.c) B2=B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}d) B3=B × B × B = {(a,b,c)|a,b,c∊B} ; (4, 5, 5)∈B3.
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 66
EJEMPLO Si U =R, R × R = se conoce como el plano real de la geometría
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 67
EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza
Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2,
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 68
Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama
Conjunto potencia
Definición Si A es un conjunto del universo U, el conjunto potenciade A, denotado por P(A), es la colección de todos los subconjuntos de A.
Para cualquier conjunto finito A con |A| = n ≥ 0, A tiene 2n
subconjuntos, de modo que |P(A)| = 2n .
Matemáticas Discretas 69
Conjunto potencia
Conjunto potencia (sobre Ω): El conjunto
potencia es el conjunto Σ de todos los
subconjuntos de Ω.
Matemáticas Discretas 70
Conjunto potencia
EJEMPLO
sea A={x, y, z}
Su conjunto potencia,
P(A)={{},{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z},{x, y, z}}
Matemáticas Discretas 71
Gracias
Matemáticas Discretas 72