11/02/2013

RELACIONES

BINARIAS Sean X e Y dos

conjuntos. Una relación

de X en Y es un

subconjunto R del

producto cartesiano X x

Y. El conjunto X es

llamado conjunto de

partida de la relación R;

e Y es el conjunto de

llegada.

En el caso de que Y =

X, en lugar de decir que

R es una relación de X

en X, diremos que R es

una relación en X.

L O S E L E M E N T O S D E R S O N P A R E S

O R D E N A D O S . S I ( X , Y ) E S U N

E L E M E N T O D E R , E N L U G A R D E

E S C R I B I R ( X , Y ) Î R , E S C R I B I R E M O S X

R Y Y L E E R E M O S : " X E S T Á

R E L A C I O N A D O C O N Y " , S E G Ú N L A

R E L A C I Ó N R " .

N O T A : U S A R E M O S L A S L E T R A S R , S , T ,

E T C . , P A R A R E P R E S E N T A R

R E L A C I O N E S .

E J E M P L O S

1 . S I X = { A , B , C , D } E Y = { 1 , 2 , 3 , 4 ,

5 } , U N A R E L A C I Ó N D E X E N Y E S R =

{ ( A , 2 ) , ( B , 1 ) , ( B , 4 ) , ( C , 5 ) }

2 . L A S I G U I E N T E R E L A C I Ó N S D E R

E N R S = { ( X , Y ) Î R X R / X £ Y } E S

L A R E L A C I Ó N " M E N O R O I G U A L " E N

R . E N E S T E C A S O X S Y Û X £ Y

3 . S E A U E L C O N J U N T O

R E F E R E N C I A L . L A R E L A C I Ó N D E

I N C L U S I Ó N E N P ( U ) E S L A

R E L A C I Ó N

R = { ( A , B ) Î P ( U ) X P ( U ) / A Ì B }

DOMINIO Y RANGO

Definición: Sea R

una relación de X

en Y

El Dominio de R

es el conjunto

Dom(R) = { xÎ X

/ (x,y) Î R, para

algún y Î Y}

El Rango o

imagen de R es el

conjunto

Rang(R) = { y Î Y

/ (x, y) Î R, para

algún x Î X }

En otros términos, el dominio y la imagen de

una relación están constituidos por los

primeros y segundos componentes

respectivamente de los pares ordenados que

constituyen la relación.

Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) }

tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a, b, c} y

rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el

primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5

están en el segundo componente de cada par.

REPRESENTACIÓN

GRAFICA DE

RELACIONES

Existen varias

formas de

representar

gráficamente una

relación. Las más

usuales son las

siguientes:

Representación

Cartesiana,

Matricial y

Sagitaria.

Representación

Cartesiana Para obtener una

representación cartesiana de

una relación, se toman como

abscisas los elementos del

conjunto de partida; y como

ordenadas, el conjunto de

llegada. En el plano se marcan

los pares ordenados que

conforma la relación. Esta

representación alcanza su

mayor importancia cuando el

conjunto de partida y el de

llegada son subconjuntos de

R.

Ejemplo 1

si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3,

4, 5} una relación de X en Y

R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }

La representación cartesiana

es el diagrama adjunto.

Representación

Sagital La representación sagital es la

más popular de las

representaciones. Ésta, igual

que la matricial, se usa cuando

los conjuntos de partida y

llegada son finitos. La

representación sagital se

obtiene representando

mediante diagramas de Venn

el conjunto de partida y el de

llegada; uniendo luego, con

flechas, los elementos

relacionados. Así, la

representación sagital de la

relación del ejemplo 1 es el

siguiente diagrama:

Si el conjunto de partida y el

de llegada coinciden, se usa

un solo diagrama de Venn y

las flechas se representan

interiormente. Así, el

diagrama siguiente representa

a la siguiente relación en

X={ a, b, c, d }

S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c),

( d, d) }

MATRIZ BINARIA

La representación matricial se usa

cuando los conjuntos de partida y

de llegada de la relación son

conjuntos finitos con pocos

elementos. Para obtener tal

representación, se asigna a cada

elemento del conjunto de llegada

una columna; y a cada elemento del

conjunto de partida, una fila.

Si (x, y) está en la relación, en la

intersección de la fila que

corresponde a x con la columna que

corresponde a Y, escribimos 1; y

escribiremos 0 en caso contrario. La

configuración rectangular de ceros

y unos que se obtiene se llama

matriz binaria de la relación.

Así, la matriz de la relación. R={(a,

2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

RELACIÓN

INVERSA

Sea R una relación de X en Y. Se llama

relación inversa de R a la relación R-1 de Y en

X dada por:R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}

O sea, Y R-1 X Û X R Y

Es evidente que se verifica que:

dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)

Ejemplo

Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es

dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }R-1= { (3, a)

, ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }Además domR-1= { 1,

3, 4 } = rang( R)

Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)El siguiente

teorema nos dice que la inversa de la inversa

de una relación es la misma relación.

Teorema: Sea R una relación de X en Y.

Entonces (R-1)-1 = R

Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación

inversa Û X R Y Luego, (R-1)-1 = R

COMPOSICIÓN DE

RELACIONES

Sea R una relación de X a Y y S una

relación de Y en Z. Se llama

composición de R con S a la

siguiente relación de X en Z:

X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z

Observación En la composición de R con S, es

necesario que el conjunto de llegada

de R sea igual al conjunto de partida

de S. Este requisito puede ser

aligerado exigiendo solamente que

el conjunto de llegada de R esté

contenido en el conjunto de partida

de S.

Observar también que el orden en

que se escriben R y S en la

composición S o R es inverso al

orden en que se dan R y S.

Ejemplo

Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y

Z= { 1, 4, 9 }

Si R y S son las relaciones de X en Y

y de Y en Z respectivamente, dadas

porR= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) }

,S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

Entonces:

SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }

Teorema: Si R es una relación de X

en Y, S es una relación de Y en Z y T

es una relación de Z en W, entonces:

T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Demostración

X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w

Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T wÛ $ y Î Y, x R y

Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w

Û x ( ( T o S ) o R )w

Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una

relación de Y en Z, entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1

Demostración

z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z

Û $ y Î Y , x R y Ù y S z

Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y

Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 xÛ z( R-1 o S-1)x

Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1