DEFINICION:

Sea G=(V,A) un grafo no dirigido sin lazos.

Un Grafo G es árbol si G es conexo y no contiene ciclos.

Si un grafo es un árbol escribimos T en vez de G, para enfatizar esta estructura.

• A es el nodo raíz

• B es el padre de D y E

• C es el primo de B

• D y E son los hijos de B

• D, E, F, G, I son nodos externos o hojas

• A, B, C, H son nodos internos

• La profundidad (nivel) de E es 2

• La altura del árbol es 3

• El grado(aridad) del nodo B es 2

La LONGITUD de un camino es #Nodos – 1 La PROFUNDIDAD DE UN NODO es la longitud del camino único desde la raíz a ese nodo. La ALTURA DE UN ARBOL es la altura de la raíz. La ALTURA DE UN NODO en un árbol es la longitud del camino mas largo de ese nodo a una hoja. El GRADO DE UN NODO es igual a la cantidad de hijos de dicho nodo. El GRADO DE UN ARBOL es igual al mayor de los grados de todos los nodos.

• Mas terminologías:

Nodo rama: A un nodo que tiene hijos, o sea, a la raíz de un subárbol.

Subárbol: Todos los nodos descendientes por la izquierda o derecha de un nodo.

B

A

D E

H

F

K

G

C

Subárbol derecho de C

Subárbol izquierdo de C

• Identificar las terminologías del árbol:

Grado • De A: • De E: • De G:

Grado del árbol: Altura del árbol: Nodos hojas: Nodos ramas: Nivel de F:

Propiedad 1:

Si a,b son vértices distintos de un árbol T=(V,A) entonces hay un único camino que conecta estos vértices

Propiedad 2:

Si G = (V,A) es un grafo no dirigido, entonces G es conexo si y solo so G tiene un árbol recubridor.

NOTA (Árbol recubridor):

Dado un grafo conexo G =(V,A)

decimos que un árbol T =(V’,A’)

es un árbol recubridor de G si V=V’, y A A’.

En el caso de grafos valorados interesa que la suma de pesos de las aristas del árbol sea lo más

pequeña posible: árbol de recubrimiento mínimo.

• Propiedad 3:

– En cualquier árbol T = (V,E),|V|=|E|+1

• Propiedad 4:

– Para cualquier árbol T = (V,E),si |V|≥2, entonces T tiene al menos dos vértices colgantes.

Demostración:

Sea |V|= n≥2. Por la propiedad 3 sabemos que |A|=n-1, por lo que, se

sigue que 2*(n-1)=2*|A|=∑ʋ∈v grad(ʋ). Como T es conexo, sabemos que grad(ʋ) ≥ 1 para todo ʋ∈V.

Si T tiene menos de dos vértices colgantes, entonces grad(ʋ)≥2 para todo ʋ∈V o grad(ʋ*)=1 para un único ʋ* ∈V . En el primer caso obtenemos la contradicción

2*(n-1)= ∑ʋ∈v grad(ʋ) ≥2|V|=2*n

Para el segundo caso

2*(n-1)= ∑ʋ∈v grad(ʋ) ≥2|V|=1+2*(n-1)

Otra contradicción

Saturados se usa para indicar que, para el numero de átomos de carbono presentes

en la molécula, se tiene el numero de átomos de hidrogeno.

EJERCICIOS:

• 1) Sea T1=(V1,A1), T2=(V2,A2) dos arboles tales que |A1|=17 y |V2|=2|V1|. Determine |V1|, |V2|, |E2|.

• 2)Sea F=(V,A) un bosque con |V|=62 y |A|=51 arboles ¿Cuántos arboles determina F?

• 2) El grafo no dirigido conexo G=(V,A) tiene 30 aristas. ¿Cuál es el máximo valor que puede tener |V|?

ARBOLES ETIQUETADOS:

Cuando se asocia una etiqueta, o valor, a cada nodo del árbol, a éste se le denomina árbol etiquetado.

La etiqueta de un nodo no es el nombre del nodo, sino que es información que está incluida en el nodo. Es posible cambiar la etiqueta del nodo sin modificar su nombre.

Un caso particular de los árboles etiquetados lo constituyen los árboles de expresiones, utilizados para la representación de expresiones aritméticas. Las reglas para representar una expresión mediante un árbol etiquetado son:

1) Cada hoja está etiquetada con un operando y sólo consta de ese operando.

2) Cada nodo interior está etiquetado con un operador.

Ejemplo: la expresión a+b se representaría

n, n1, n2 son los nombres de los nodos cuyas

etiquetas se muestran al lado de los nodos correspondientes. La operación a realizar se pone en el nodo raíz y los operandos en los descendientes de éste.

n2 n1

n

a b

+

Un vértice v de un grafo dirigido se dice que es una raíz si todos

los vértices del grafo a excepción de v tienen grado de entrada

uno, mientras que v tiene grado de entrada cero .

Un árbol con raíz es un grafo dirigido tal que posee una raíz y el

grafo no dirigido asociado es un árbol.

Representación

Convenio:

1. El vértice superior es la raíz.

2. Si un vértice u es hijo de otro vértice v, se

representa u por debajo de v uniendo ambos con

un segmento.

Ejemplo:

Vértice o nodo raíz

Un árbol T es un grafo simple que satisface la siguiente

propiedad: Si v y w son vértices de T, entonces existe un único

camino simple que une v y w.

Si G es un grafo con n vértices, las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) G es un árbol

ii) G es conexo y no posee ciclos

iii) G es conexo y tiene n − 1 aristas

iv) G no tiene ciclos y tiene n − 1 aristas

Árbol Generador:

A es árbol generador del grafo G si A es un árbol y es

subgrafo recubridor de G.

Todo grafo conexo posee un árbol generador.

Grafo G: Árbol no dirigido: Árbol generador de G.

Mas ejemplos:

Ejemplo de un árbol recubridor mínimo.

Un árbol binario en un árbol en el cual cada

nodo puede tener como máximo dos hijos.

Recursivamente un árbol binario puede

definirse como: un árbol vacío, o un nodo raíz

con un subárbol izquierdo y un subárbol

derecho. A

B E

C D F G

Hijo Derecho

Hijo Izquierdo

Se puede usar en la organización de información en sistemas de bases de datos y para representar una estructura sintáctica de un programa fuente en los compiladores …

Es un árbol en el que todos sus nodos, excepto los del ultimo nivel, tienen dos hijos. Número de nodos en un árbol binario completo = 2h –1 (en el ejemplo h = 4, 15) esto nos ayuda a calcular el nivel de árbol necesario para almacenar los datos de una aplicación.

Árbol binario completo:

Un árbol es un ABB si éste es binario y sus nodos son subárboles de búsqueda binarios y contienen información ordenada de tal que todos los elementos a la izquierda de la raíz son menores a la raíz y todos lo elementos a la derecha de la raíz son mayores a la raíz.

Arboles de Busqueda Binaria

Todos los nodos a la izquierda son menores al padre. Todos los nodos a la derecha son mayores al padre. Y solo pueden tener 2 hijos a lo mucho.

Características

50

95

90

110

110 88

85

100

105

102

68 34

40

45 26

42 8

Ejemplo:

Recorrido de Arboles :

• Un árbol binario se puede recorrer de tres

maneras diferentes:

Recorrido en PreOrden

Recorrido en EnOrden

Recorrido en PostOrden 6

2 8

3

1 4

7

2

7

1 8

6

5

4

Visita el nodo raíz. Recorre el subárbol izquierdo. Recorre el subárbol derecho.

Recorrido en preorden (prefijo):

A

B C

D E F

H I G

Preorden = A B D G C E H I F

Recorre el subárbol izquierdo. Visita la raíz Recorre el subárbol derecho.

Recorrido en inorden (infijo)

A

B C

D E F

H I G

Inorden: D G B A H E I C F

Recorrido en postorden (postfijo)

Recorre el subárbol izquierdo. Recorre el subárbol derecho. Visita la raíz.

A

B C

D E F

H I G Postorden : G D B H I E F C A

La inserción es una operación que se puede realizar eficientemente

en un árbol binario de búsqueda. La estructura crece conforme se

inserten elementos al árbol.

Los pasos que deben realizarse para insertar un elemento a un

ABB son los siguientes:

Debe compararse el valor o dato a insertar con la raíz del árbol.

Si es mayor, debe avanzarse hacia el subárbol derecho. Si es

menor, debe avanzarse hacia el subárbol izquierdo.

Inserción en un Árbol Binarios:

Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de las

siguientes condiciones

El subárbol derecho es igual a vació, o el subárbol izquierdo es

igual a vació; en cuyo caso se procederá a insertar el elemento

en el lugar que le corresponde.

El valor o dato que quiere insertarse es igual a la raíz del árbol;

en cuyo caso no se realiza la inserción.

Inserción en un Árbol Binarios:

Supóngase que quieren insertarse las siguientes los siguientes datos en un árbol binario de búsqueda que se encuentra vació.

120 –87 – 43 – 65 – 140 – 99 – 130 – 22 – 56

Inserción en un Árbol Binario:

Para eliminar un nodo existen los siguientes casos: 1. Si el elemento a borrar es Terminal (hoja). 2. Si el elemento a borrar tiene un solo hijo. 3. Si el elemento a borrar tiene los dos hijo.

Eliminación en un Árbol Binario:

Caso 1 Si el elemento a borrar es terminal (hoja),

simplemente se elimina.

8 1

9 7

6

8 1

9 7

6

8 1

6

Eliminación en un Árbol Binario:

Ejemplo eliminar nodo 9

7

Eliminación en un Árbol Binario:

Caso 2 Si el elemento a borrar tiene un solo hijo, entonces tiene

que sustituirlo por el hijo

8 1

9

7

1 9

7

8 1

9

7

Ejemplo: eliminar nodo 8

Caso 3 Si el elemento a borrar tiene los dos hijos, entonces se tienen que sustituir por el nodo que se encuentra mas a la izquierda en el subárbol derecho, o por el nodo que se encuentra mas a la derecha en el subárbol izquierdo.

Eliminación en un Árbol Binario:

8 1

9 7

6

8 1

9 7

7

8 1

9

7

Ejemplo : Las fórmulas algebraicas, debido a que los operadores que intervienen son operadores binarios, nos dan un ejemplo de estructura en árbol binario.

(a + b*c) / (d - e/f)

(2+4)*(9-2)

((4+3)*(2-1))*(3/1)

Genera a partir de expresiones aritméticas los árboles binarios

Enumere los vértices según un recorrido en orden preorden , un recorrido

inorden y otro recorrido Postorden

( ((4+3)*(2-1))*(3/1)) - ((2+5)*(1+1))

• Elimina el 22,. 99, 87, 120, 140, 135, 56

93

87

43 99

120

130

140

65

56

22

135

Insertar las siguientes los siguientes datos en un árbol binario de búsqueda que se encuentra vació. 8 , 5 ,1 , 20 , 12, 6, 4

Solucionario:

Alumno: Choquenaira Florez Alexander

Un árbol de decisión es una forma gráfica y analítica de representar todos los eventos (sucesos) que pueden surgir a partir de una decisión asumida en cierto momento.

Nos ayudan a tomar la decisión “más acertada”, desde un punto de vista probabilístico.

Es un modelo de predicción usado en la inteligencia artificial

Ventajas del árbol de decisiones Plantea el problema para que todas las opciones sean

analizadas y analizar las consecuencias de cada una de ellas

Nos ayuda a tomar las mejores decisiones, desde un punto de vista probabilístico, ante un abanico de posibles decisiones

Aplicaciones de un árbol de decisiones

Los árboles de decisiones pueden tener todo tipo de aplicaciones:

Para decisiones de posicionamiento de mercado de una empresa

Para evaluar el riesgo crediticio de una persona

Para los videojuegos

Para cualquier tipo de problema, en el que se desee analizar todas las posibles consecuencias de cada uno de nuestros actos

Partes del Árbol • Nodo de decisión: Indica que una decisión necesita

tomarse. Está representado por un cuadrado.

• Nodo de probabilidad: Indica que ocurre un evento aleatorio. Está representado por un círculo.

• Rama: Nos muestra los distintos caminos que se pueden emprender cuando tomamos una decisión

¿Como dibujar un árbol de decisiones? 1. Lo primero que se debe hacer es escribir cuál es la

decisión que se necesita tomar.

2. Se dibuja un recuadro para representar esto en la parte izquierda de una página grande de papel.

3. Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la derecha para cada posible solución, y escribir cuál es la solución sobre cada línea. Se debe mantener las líneas lo más apartadas posibles para poder expandir tanto como se pueda el esquema.

• Al final de cada línea se debe estimar cuál puede ser el resultado. Si este resultado es incierto, se puede dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra decisión que necesita ser tomada, se debe dibujar otro recuadro. Se debe escribir la decisión o el causante arriba de los cuadros o círculos. Si se completa la solución al final de la línea, se puede dejar en blanco.

• Desde los círculos se deben dibujar líneas que representen las posibles consecuencias. Nuevamente se debe hacer una pequeña inscripción sobre las líneas que digan lo que significan.

• Seguir realizando esto hasta que se tengan dibujadas tantas consecuencias y decisiones como sea posible ver asociadas a la decisión original.

Ahora se pueden hacer ciertas cosas a los arboles, podemos ponerle un valor a cada posible resultados, para esto analizaríamos cada uno de los círculos, si usamos porcentajes deberían sumar 100%,si usamos fracciones deberían sumar 1

Calcular el valor de los nodos de incertidumbre Para hallar el valor para resultados inciertos, debemos

multiplicar el costo o ganancia de estos resultados por la probabilidad de que estos resultados se produzcan. El total para esos nodos es la suma de todos estos valores

Calcular el valor de los nodos de decisión

Cuando evaluamos los nodos de decisión, debemos escribir el costo de cada una de las decisiones (que parten del nodo de decisión) y restarla con la ganancia o sumarla con el costo (que se genero al calcular el valor de los nodos de incertidumbre) y quedarnos con el mas conveniente en caso de que hallan mas de 2 ramas que salen de el

• En este ejemplo aclaratorio, el beneficio que hemos calculado para "Nuevo Producto, Desarrollo Meticuloso" fue $210.000.Luego estimamos el futuro costo aproximado de esta decisión como $75.000. Esto da un beneficio neto de $135.000

• El beneficio neto de "Nuevo Producto, Desarrollo Rápido" es $15.700, dados estos resultados escogemos la primera opción "Nuevo Producto, Desarrollo Meticuloso", ya que este seria nuestro mejor resultado

• Ejercicio 1:

Una compañía de seguros nos ofrece una indemnización por accidente de 210.000$. Si no aceptamos la oferta y decidimos ir a juicio podemos obtener 185.000$, 415.000$ o 580.000$ dependiendo de las alegaciones que el juez considere aceptables. Si perdemos el juicio, debemos pagar las costas que ascienden a 30.000$.

Sabiendo que el 70% de los juicios se gana, y de

éstos, en el 50% se obtiene la menor

indemnización, en el 30% la intermedia y en el 20%

la más alta.

Determinar la decisión más acertada

• Ejercicio 2:

Una fábrica está evaluada en 150 millones. La fábrica desea incorporar un nuevo producto al mercado. Existen tres estrategias para incorporar el nuevo producto:

Alternativa 1 Hacer un estudio de mercado del producto de forma de determinar si se introduce o no al mercado.

Alternativa 2 Introducir inmediatamente el producto al mercado (sin estudio).

Alternativa 3 No lanzar inmediatamente el producto al mercado (sin estudio).

En ausencia de estudio de mercado, la fábrica estima que el producto tiene un 55% de posibilidades de ser exitoso y de 45% de ser un fracaso. Si el producto es exitoso, la fábrica aumentaría en 300 millones su valor, si el producto fracasa se devaluaría en 100 millones. El estudio de mercado vale 30 millones. El estudio predice que existe un 60% de probabilidad de que el producto sea exitoso. Si el estudio de mercado determina que el producto sería exitoso, existe un 85% de posibilidades de que efectivamente lo sea. Si el estudio de mercado determina que el producto sería un fracaso, existe sólo un 10% de posibilidades de que el producto sea exitoso. Si la empresa no desea correr riesgos (desea maximizar el valor esperado de la empresa).

¿Qué estrategia debería seguir ?

• Ejercicio 3: Una pizzería está planificando su actividad para el próximo domingo. En

función de los datos que se reflejan en la siguiente tabla (beneficios obtenidos), realizar el árbol de decisión correspondiente y en función de este

Ejercicio 4:

Algunas personas parecen tener toda la suerte del mundo. Debido a su mente sutil y su encanto devastador, el gran "Paco" ha recibido tres propuestas de matrimonio durante la semana pasada. Después de decidir que es tiempo de sentar cabeza, "Paco" necesita ahora escoger a una de sus pretendientes. Como es una persona muy lógica, ha determinado que los atributos emocionales y físicos de las tres mujeres son casi los mismos y ha decidido escoger en base a sus recursos financieros que le puedan brindar. Parece que una de las solicitantes, Jenny, tiene un padre rico que sufre de artritis crónica. "Paco" calcula una probabilidad de 0.3 de que el padre muera en los próximos años y les deje una herencia de $100.000 (después de impuestos). Si el padre de Jenny vive una larga vida, "Paco" no recibirá ni un centavo de él. Diana, otra de las novias, es una contadora ambiciosa, calculadora y manipuladora de una compañía con reputación. "Paco" estima una probabilidad de 0.6 de que Diana siga su carrera y una probabilidad de 0.4 de que la deje y se dedique a sus hijos. Si continúa con su trabajo, ella podría seguir en el Área de Auditoria, o bien cambiar al Área de impuestos de la firma. Al quedarse en el área de Auditoria existe una probabilidad de 0.5 de que gane $40.000 y el resto de que sean $25.000. Si deja su carrera para dedicarse a sus hijos ganará $20.000 en un trabajo de tiempo parcial. Mary, la última competidora, sólo puede ofrecer a "Paco" su dote de $25.000 ¿Con quién debe casarse en buen "Paco"?

Llegamos a la conclusión de que «Paco» debe casarse con Diana

Ejercicio 5:

La decisión inicial del grupo financiero "VALICCSA", sociedad dedicada a ofrecer consultorías financieras fiscales, administrativas y contables, involucra la instalación de unas nuevas oficinas en el oriente de la ciudad o bien en el cetro de la misma. El gerente no tiene establecida la demanda de consultorías de manera segura pero ha estimado que en el próximo año puede obtener una demanda alta, media y baja, otorgándoles probabilidades de 0.23 para la demanda alta e igual estimación para la demanda baja. Estos eventos son relativamente independientes de los elementos de la disyuntiva y pueden ocurrir, sea cual sea la decisión. Si se instalan en el oriente de la ciudad, los rendimientos de operación bonificados con una demanda alta, moderada y baja son $33.500, $36.600 y $19.580 respectivamente. El cálculo de los costos por concepto de instalación asciende a $16.790 La instalación en el centro de la ciudad costaría $22.546, pero ante los tres tipos de demanda obtendrían rendimientos de $55.870, $37.690 y $25.770 respectivamente. Elaborar el árbol de decisión y llevar a cabo su análisis para tomar la decisión más acertada

Llegamos a la conclusión de que lo mejor sería construir en el centro