revista de funciones estructura discretas
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funciones, tipos, ejempos, definiciones, imagenes, etcTRANSCRIPT
Funciones.
Sean X e Y dos
conjuntos.
Una función de X en Y
es una tríada (f, X, Y),
donde f es una relación
de X en Y que satisface
las dos siguientes
condiciones: dom(f) = X
x f y Ù x f z Þ y = z
Es costumbre generalizada
escribir
Para indicar que (f, x, y) es una
función de X en Y. Aún más, en
lugar de x f y o (x, y) Î f, se
escribe Y = f(x)Y. En este caso,
se dice que y es la imagen de x
mediante f y que x es una pre
imagen de y.
Funciones.
Ejemplos
Cada persona en el salón de clase
tiene
Asignada una calificación:
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4
Cardona 2.9
Navarrete 4.9
Cada persona en el salón de clase
anterior tiene asignada una
calificación:
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4
Cardona 2.9
Navarrete 4.9
Se presenta una
asignación De
valores Entre dos
conjuntos
Funciones. Ejemplos
X Y
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4 Cardona 2.9
Navarrete 4.9
X Y
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4 Cardona 2.9
Navarrete 4.9
X Y
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4 Cardona 2.9
Navarrete
X Y
Arias 1.2
Benavides 4.5
Calero 4.4 Cardona 2.9
Navarrete 5.0
¿Es esto posible?
¿Es esto posible?
¿Es esto posible?
Funciones.
Dominio, Codominio y Rango
A es el
DOMINIO de la
función
B es el CODOMINIO de la función
Si f(x) = y entonces
y es la imagen de x bajo f
x es llamada pre imagen
El RANGO de f es el
conjunto de todas las
Imágenes de
elementos de A bajo f
Funciones. Inyectivas.
Una función es inyectiva si
a cada valor del conjunto X
(dominio) le corresponde un
valor distinto en el conjunto
Y (imagen) de . Es decir, a
cada elemento del conjunto
Y le corresponde un solo
valor de X tal que, en el
conjunto X no puede haber
dos o más elementos que
tengan la misma imagen.
Funciones.
Ejemplos
Inyectivas.
Determinar si cada una de las aplicaciones
siguientes es inyectiva.
(a) A cada alumno de ´algebra se le asigna el
número que se corresponde con su edad. (b) A cada país en el mundo se le asigna la
longitud y la latitud de su capital.
(c) A cada libro escrito por un determinado
autor, se le designa con el nombre del mismo.
(d) A cada país en el mundo que tenga un primer ministro se le asigna su primer ministro.
(a) No, ya que hay muchos alumnos de
´algebra que tienen la misma edad.
(b) Si, porque a dos países distintos le
corresponderán diferentes longitudes y
latitudes. (c) No, ya que hay diferentes libros que
están escritos por el mismo autor.
(d) Si, porque a países diferentes les
corresponderán distintos primeros
ministros.
Funciones.
Ejemplos
Inyectivas.
Determinar si la función f :R −→ R tal
que f(x) = x + 2 es inyectiva.
Solución
En efecto, sean x1 y x2 dos números
reales cualesquiera, entonces
f(x1) = f(x2) =⇒ x1 + 2 = x2 + 2 =⇒
x1 = x2
luego f es inyectiva
Funciones. Sobreyectivas
Una función es sobreyectiva (epiyectiva, su
prayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyecti
va), si está aplicada sobre todo el codominio,
es decir, cuando laimagen , o en palabras
más sencillas, cuando cada elemento de "Y"
es la imagen de como mínimo un elemento
de "X.
Funciones.
Ejemplos
Sobreyectiva
Sea f :A −→ B donde A = B = R y f(x) = x + 1,
∀x ∈ A. ¿Es sobreyectiva?
Solución
Sea y cualquiera de B. Hemos de encontrar un x en
A tal que f(x) = y. Dicho de otra forma se trata
de ver si la ecuación x + 1 = y
tiene solución, lo cual, en este caso, es evidente.
En efecto,
x + 1 = y ⇐⇒ x = y − 1
luego dado y ∈ R, tomando x = y − 1, se verifica que
f(x) = f(y − 1) = y − 1 + 1 = y
es decir,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y
luego f es suprayectiva
Funciones.
Ejemplos
Sobreyectiva
Sea f :A −→ B, siendo A = B = R y f(x) = x
2
, ∀x ∈ A
Solución
Esta función no es suprayectiva. En efecto, dado un y
cualquiera negativo en B, no existe ningún x en
A tal que su cuadrado sea y, ya que el cuadrado de cualquier numero siempre es positivo. Es decir,
si y < 0, entonces x
2
=6 y, ∀x ∈ A
luego, ∃y ∈ B : ∀x ∈ A, f(x) =6 y
de aquí que según la nota anterior, la función propuesta
no sea suprayectiva.
Funciones. Sobreyectivas
Una función es inyectiva
si a cada valor del
conjunto (dominio) le
corresponde un valor
distinto en el
conjunto (imagen) de . Es
decir, a cada elemento del
conjunto Y le corresponde
un solo valor de X tal que,
en el conjunto X no puede
haber dos o más
elementos que tengan la
misma imagen. Así, por ejemplo, la
función de números
reales , dada por no es
inyectiva, puesto que el
valor 4 puede obtenerse
como y . Pero si el
dominio se restringe a
los números positivos,
obteniendo así una
nueva función entonces
sí se obtiene una
función inyectiva.
Funciones.
Ejemplos
Sobreyectiva
Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x
∈ A. ¿Es biyectiva?
Solucion
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.
(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos numeros reales
arbitrarios. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2
=⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.
(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,
y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x =
y + 3
2
luego tomando x =
y + 3
2
, se verifica que x ∈ A y
f(x) = f
y + 3
2
= 2
y + 3
2
− 3 = y
Consecuentemente,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y
o sea, f es suprayectiva.
Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.
Funciones.
Ejemplos
Sobreyectiva
Sea f :[0, 1] −→ [a, b] : f(x) = (b − a)x + a.
Determinar que tipo de función es.
solución
(a)Veamos si f es inyectiva.
Sean x1 y x2 cualesquiera de [0, 1]. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ (b − a)x1 + a = (b − a)x2 + a
=⇒ (b − a)x1 = (b − a)x2 {a =6 b}
=⇒ x1 = x2
luego,
∀x1, x2 ∈ [0, 1] (f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2)
es decir, f es inyectiva.
b) Veamos si f es suprayectiva.
En efecto, sea y cualquiera de [a, b]. Entonces,
y = (b − a)x + a ⇐⇒ x =
y − a
b − a
y al ser a =6 b existe x, y
a 6 y 6 b ⇐⇒ −b 6 −y 6 −a ⇐⇒ a − b 6 a − y 6 a − a
⇐⇒ 0 6 y − a 6 b − a ⇐⇒ 0 6
y − a
b − a
6 1
⇐⇒ 0 6 x 6 1 ⇐⇒ x ∈ [0, 1]
Pues bien,
f(x) = f
y − a
b − a
= (b − a)
y − a
b − a
+ a = y
luego,
∀y ∈ [a, b], ∃x ∈ [0, 1] : f(x) = y
es decir, f es suprayectiva.
Al ser inyectiva y suprayectiva, la funcion propuesta
es biyectiva.
Funciones.
Inversas.
Una función puede tener inversa, es decir, otra función
que al componerla con ella resulte en la identidad, del
mismo modo que un número multiplicado por
su inverso da 1.
Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es
la inversa o recíproca de f si se cumple:
La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se
dicen invertibles.
No todas las funciones son invertibles, sino
que solo aquellas que sean biyectivas
poseen inversa:
Toda función biyectiva f es invertible, y su
inversa f−1 es biyectiva a su vez.
Recíprocamente, toda función invertible f es
biyectiva.
Funciones.
Ejemplos
Inversas.
La función «exponencial» h : R → R, que asocia
a cada número real su exponencial, h(x) = ex, no
es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún
número negativo pertenece a la imagen de h.
Existe una función que calcula el cambio entre
dos divisas. En el caso del cambio
de rupias a quetzales (las monedas de
la India y Guatemala), la conversión está dada
(en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la
conversión recíproca de quetzales a rupias:
R(q) = 6,65 × q
Funciones.
Ejemplos
Inversas.
La función cubo f(x) = x3 es invertible, ya
que podemos definir la función inversa
mediante la raíz cúbica, f−1(x) = 3√x.
La función que asigna a cada día de la semana
su siguiente tiene por inversa la función que
asigna a cada día de la semana su antecesor:
Lunes → Domingo, Martes → Lunes,...,
Domingo → Lunes
La función de clasificación en
géneros γ : M → G no es invertible,
ya que no es inyectiva, y para cada
género pueden existir varios
mamíferos clasificados en él
Funciones.
Compuestas
Una función
compuesta es
una función formada por
la composición o aplicación
sucesiva de otras dos
funciones. Para ello, se
aplica sobre el argumento
la función más próxima al
mismo, y al resultado del
cálculo anterior se le aplica
finalmente la función
restante.
Usando la notación
matemática, la función
compuesta g ∘ f: X → Z exp
resa que (g ∘ f)(x) = g(f(x))
para
todo x perteneciente X.
A g ∘ f se le
llama composición de f y g.
Nótese que se nombra no
siguiendo el orden de
escritura, sino el orden en
que se aplican las
funciones a su argumento.
Dadas las funciones f : R ® R y g : R ® R están
definidas
f (x) = x2 g(x) = x + 1
Funciones.
Compuestas Ejemplos
Solución
( 1) ( g o f ) (x) = g ( f(x) ) = g (x2) = x2 + 1
( 2) ( f o g ) (x) = f ( g(x) ) = f ( x + 1 ) = ( x + 1 )2 = x2 + 2x + 1
Si f : X ® Y es invertible, entonces
(1) f 1 o f = Ix (2) f o f 1 = Iy
Permutaciones.
Llamamos permutación de un conjunto a cada
una de las posibles ordenaciones de todos los
elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada
ordenación posible de sus elementos, sin
repetirlos, es una permutación. Existe un total de
6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3",
"1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La definición
intuitiva de p
Una
permutación
de un
conjunto X es
una función
biyectiva de
dicho conjunto
en sí mismo.
Ejemplo de
permutación
considerada
como función
biyectiva.
Para ilustrar la
definición,
retomemos el
ejemplo
descrito en la
introducción.
En el
ejemplo, X={1,
2, 3}.
Entonces,
cada
corresponden
cia uno a uno
entre el
conjunto {1, 2,
3} a sí mismo
equivale a una
forma de
ordenar los
elementos.
Por ejemplo,
la asignación
biyectiva dada
por
1 → 1
2 → 2
3 → 3
puede
hacerse
corresponder
al
ordenamiento
"1, 2, 3".
Por otro lado,
la .
.asignación biyectiva
dada por
1 → 3
2 → 2
3 → 1 puede hacerse
corresponder al
ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de
permutación, no se establece condición
alguna sobre X, el cual
puede incluso ser
infinito. Sin embargo, es
común considerar únicamente el caso en
que X es un conjunto
finito al estudiar
permutaciones.
Combinatoria.
Es una rama de la matemática perteneciente
al área de matemáticas discretas que estudia
la enumeración, construcción y existencia de
propiedades de configuraciones que
satisfacen ciertas condiciones establecidas.
Combinatoria enumerativa
La combinatoria
numerativa o enumera
ción estudia los
métodos para contar
(enumerar) las distintas
configuraciones de los
elementos de
un conjunto que
cumplan ciertos criterios
especificados.
Esta fue una de las
primeras áreas de la
combinatoria en ser
desarrollada, y como
otras áreas más recientes se estudian
sólo en cursos
especializados, es
común que se haga
referencia a esta subárea cuando se menciona
combinatoria en entornos
escolares.
Ejemplos
Considérese el conjunto . Podemos
imaginar que estos elementos
corresponden a tarjetas dentro de un
sombrero.
Un primer problema
podría consistir en hallar
el número de formas
diferentes en que
podemos sacar las
tarjetas una después de
otra (es decir, el número
de permutaciones del
conjunto).
Por ejemplo, dos formas
distintas podrían
ser: EIAOU o OUAIE.
Después, se
puede preguntar
por el número de
formas en que se
puede sacar sólo
3 tarjetas del
sombrero (es
decir, el número
de 3-
permutaciones
del conjunto).
En este caso,
ejemplos pueden
ser IOU, AEI o E
AI.
También se puede
preguntar sobre cuáles
son los posibles grupos
de 3 tarjetas que se
pueden extraer, sin dar
consideración al orden
en que salen (en otras
palabras, el valor de
un coeficiente binomial).
Aquí,
consideraríamos AOU y
UAO como un mismo
resultado.
Otro problema
consiste en hallar el
número de formas en
que pueden salir 5
tarjetas, una tras otra,
pero en cada
momento se regresa
la tarjeta escogida al
sombrero.
En este problema los
resultados posibles
podrían
ser EIOUO, IAOEU o I
EAEE
Una sucesión es
una lista ordenada de
objetos, cada uno de
ellos
denominado término
(también elemento o
miembro) de la
sucesión y al número
de elementos
ordenados
(posiblemente
infinitos) se le
denomina
la longitud de la
sucesión.
Sucesiones.
A diferencia de un
conjunto, el orden en
que aparecen los
términos sí es
relevante y un mismo
término puede
aparecer en más de
una posición. De
manera formal, una
sucesión puede
definirse como
una función sobre el
conjunto de
los números
naturales (o un
subconjunto del
mismo) y es por tanto
una función discreta.
Ejemplos
La sucesión (A, B, C) es
una sucesión de letras
que difiere de la
sucesión (C, A, B). En
este caso se habla de
sucesiones finitas (de
longitud igual a 3). Un
ejemplo de sucesión
infinita sería la sucesión
de números positivos
pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se
identifica a las
sucesiones finitas
con palabras sobre un
conjunto. Puede
considerarse también
el caso de una
sucesión vacía (sin
elementos), pero este
caso puede excluirse
dependiendo del
contexto.
Relación de Recurrencia.
Una relación
recursiva para una
sucesión {an} es una
ecuación que se
expresa en términos
de uno o más de los
términos previos: a0,
a1, a2, a3,& .an-1.
Una sucesión es
llamada solución de
una relación de
recurrencia, si los
términos de la
sucesión satisfacen la
relación de
recurrencia.
Ejemplos
Sea la relación de
recurrencia an = 2ªn-1 an-2.
Determinar si las
siguientes sucesiones
son soluciones de esta
relación de recurrencia.
{an}, donde an = 3n
{an}, donde an = 3n + 4
{an}, donde an = 3n.
Reemplazando an =
3n en la relación de
recurrencia
an = 2ªn-1 an-2 = 2[3(n-
1) 3(n-2)] = 6n 6 3n
+6 = 3n =an luego:
{an}, donde an = 3n es
solución.
Para an = 3n + 4
an = 2ªn-1 an-2 = 2[3(n -
1) + 4] [3(n - 2) + 4] =
6n 6 + 8 3n + 6 4 = 3n
+ 4 = an.
Así, {an}, con an = 3n
+ 4 también es
solución.
Para an = 3n
an = 2ªn-1 an-2 = 2(3n - 1) 3n
2 = 6 = 2(2 . 3n - 2) 3n 2 = 3n
2(2 . 3 - 1) = 3n 2(6 - 1)=
3n 2 . 5 = 5 (3n - 2) ¹ an, por
lo tanto {an}, donde an =
3n no es solución
