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Capítulo 02

Funciones discretas

Índice

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MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo

Tema pg2.1 Antecedenetes2.2 Introducción2.3 Función discreta2.4 Señales discretas elementales2.5 Operaciones con funciones discretas2.6 Diferencia de una función2.7 Diferencias de productos y cocientes2.8 Independencia lineal2.9 Energía y potencia

2.1. Antecedentes

Hay consideradas dos ramas del cálculo

• El cálculo infinitesimal

• El cálculo de diferencias finitas

Ambas ramas estudian tanto funciones continuas como funciones discretas considerando sus respectivos y muy particulares punrtos de vista [prospero].

Para ejemplificar, considere que la primera definición de derivada consiste del siguiente cociente diferencial.

f '(t )=limh→0f ( t+h)− f ( t )

h

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f (t+h)−f (t) . Si una diferencia finita se divide por h se obtiene una expresión similar al cociente diferencial. Nótese que el Cálculo de las Diferencias Finitas difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de cantidades infinitesimales, es decir:

f '(t )=f ( t+h)− f ( t )

h

El Cálculo de las Diferencias Finitas se inició como un método para calcular, de manera aproximada, las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando Ecuaciones en Diferencias Finitas para aproximar derivadas.

2.2. Introducción

El presente capítulo tiene la intención de apoyar el punto del vista, de un profesor en particular, para la exposición de su cátedra “Procesamiento Digital de Señales”.

Durante este segundo capítulo se estudiarán técnicas matemáticas, necesarias en el estudio de las señales discretas. Por su puesto se considera el punto de vista del cálculo de diferencias finitas y a la vez se considera también que el dominio de tales funciones es el conjunto de los enteros.

2.3. Función discreta

A continuación se proveen las definiciones que serán la base para el Procesamiento de Señales.

Definición 2.1. Una función de tiempo discreto se caracteriza por que su variable independiente sólo puede tomar determinados valores [prospero]. A este respecto se puede afirmar que el cojunto dominio de tal función es numerable.


El dominio de una función discreta puede estar formado por un conjunto de números reales, los cuales no guardan ninguna relación entre sí: muestreo no uniforme. Por ejemplo, en la función:

f (t )=t+1 ; donde t=...−1.1, 0.5,2.3,π ,4.02, ... (2.1)

Un caso particular es aquel en el cual, los valores del dominio de una función están equiespaciados por una cantidad llamada periodo de muestreo: muestreo uniforme. Por ejemplo, considere la función:

f (t )=rt cos(ω0t ) (2.2)

Al muestrear el tiempo uniformemente se define que:

t=n τs ; n=...−1,0,1,2,. .. (2.3)

Definición 2.2. Una función de tiempo discreto con muestreo uniforme se caracteriza por que su variable independiente sólo puede tomar valores que están equiespaciados por una cantidad constante llamada periodo de muestreo dom {f }={... ,0, τ

s,2 τ

s,3 τ

s...(N−1)τ

s, ...} . Entonces, el recorrido o imagen de la función es

Img{f }={... , f (0) , f (τs), f (2 τ

2), f (3 τ

s) ,... , f ((N−1)τ

s), ...}

Muchas veces, las diferentes bibliografías [prospero, proakis] consideran el estudio de las funciones discretas, considerando un muestreo uniforme de la señal, y por tanto tienden a ocultar el periodo de muestreo, aprovechando que es una constante para la función. Así que el dominio de la funciones discretas está constituido por un subconjunto impropio de los enteros. Considérese, por ejemplo, la ecuación (2.2), el dominio estará dado por los valores de n=[... 0,1,2,3,. .. ,N−1,. .. ] en tanto que la imagen quedará representada tal como se indica en la ecuación (2.3).

Las bibliografías también tienden a considerar que de la señal se toman, ya sea N muestras o bien N+1muestras. Tales muestras se toman en un intervalor de duración T , llamado intervalo de muestreo.

2.3.2 Ejemplo de función discreta

[prospero]

Debido a la depreciación a la que está sujeto un bien material, que originalmente costó $1,000.00, tiene un valor anual dado por la expresión siguiente

f (n )=1000(1−0.05)n ; n={0,1,2,3,...} (2.4)

Donde n representa el año de envejecimiento. Esta es una función discreta donde los valores de su dominio están equiespaciados y su representación en forma de sucesión es la siguiente:

f (n )={1000, 950, 900,850, ...} (2.5)

2.3.3 Propieades de las funciones discretas

Definición 2.3 Propiedad sobre el origen de la señal discreta. La señal discreta f (n ) fue obtenida de muestrear una señal análoga f

a(t) . Entonces f (n)=f

a(n τ

s) donde τs es el periodo de muestreo (tiempo

entre dos muestras consecutivas) [proakis].


Definición 2.4. Propiedad sobre la existencia de las muestras. La señal discreta f (n ) es no definida entre instantes de muestreo. Es incorrecto pensar que la señal f (n ) toma el valor de cero para n no entera, simplemente no está definida para valores no enteros de n [proakis]

Definición 2.5 Propiedad sobre el conjunto dominio. A pesar de que se conviene que una señal discreta tiene un origen analógico, el estudio temporal de tales señales se realiza considerando que el conjunto dominio de tales señales es el conjunto de los números enteros.

2.3.4 Representaciones para una señal discreta

[proakis]

Mas allá de la representación gráfica de una señal discreta o secuencia existen representaciones alternativas que son frecuentes dada la conveniencia de su uso. Estas son:

1. Representación funcional, tal como

f (n )={1, para n=1,34, para n=20, otro caso

(2.6)

2. Representación tabular, tal como

3. Representación en secuencia tal como una secuencia de duración infinita con el origen temporal en (n=0) indicado por una flecha:

f (n )={...0 ,0↑,1,4,1,0,0,...} (2.7)

4. Una secuencia f (n ) la cual es cero para n≤0 , puede ser representada como

f (n)={0↑,1,4,1,0,0,. ..} (2.8)

5. Una secuencia de duración finita puede ser representada como

f (n)={−3,−1,−2.5↑

,0, 4,−1} (2.9)

6. Un secuencia de duración finita, la cual es cero para n≤0 puede ser representada como

f (n)={0↑,1.4,1} (2.10)


n ... -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...f(n) ... 0 0 0 1 4 1 0 0 ...

La secuencia de la ecuación (2.9), al ser finita, se cuenta sus elementos y contiene un total de 6 elementos, razón por la cual se le llama secuencia de seis puntos. Siimilarmente, la secuencia de la ecuación 2.10 se le llamaría secuencia de 4 puntos.

2.4. Señales discretas elementales

Suelen presentarse con frecuencia algunas funciones que juegan un papel importante en el estudio de las señales y los sistemas discretos. Al respecto, cabe decir, que las diferentes bibliografías coinciden en que, las señales presentadas a continuación, tienen como conjunto dominio al conjunto de los enteros, en tanto que su conjunto imagen o recorrido es un subconjunto de los números reales.

Definición 2.6. Secuencia pulso unitario. La secuencia pulso unitario se representa por medio de la delta, δ(n) . El recorrido de la función pulso unitario vale uno para n=0 y cero para cualquier otro valor de n . Su representación gráfica puede verse en la figura 2.1 en tanto que su definición matemática es:

δ(n)={1, n=00, n≠0

(2.11)

Definición 2.7. Escalón unitario. El recorrido de la función discreta escalón unitario toma un valor constante, un uno, para cada elemento del dominio a partir de n≥0 . Su representación gráfica puede verse en la figura 2.2 en tanto que su definición matemática es:

u(t )={1 ; n=0,1,2,3,. ..0 ; n<0

(2.12)


Illustration 2.1: Función pulso unitario.

Definición 2.8. Rampa unitaria. La función rampa unitaria es aquella en la que cada valor del dominio se corresponde a así mismo a partir de n≥0 . Su representación gráfica puede verse en la figura 2.3 en tanto que su definición matemática es:

r (n)={n; n=0,1,2,3,...0 ; n<0

(2.13)

Definición 2.9. Exponencial. La función exponencial es aquella en la que cada valor del dominio es potencia de una constante llamada base. Su representación gráfica puede verse en la figura 2.4 en tanto que su definición matemática es:

exp(n)=an ; ∀n∈ℤ∧∀a∈ℝ (2.14)


Illustration 2.3: Función rampa.

Illustration 2.2: Función escalón unitario.

Definición 2.10. Exponencial compleja. Es una señal del tipo exponencial, como la indicada en la definición 2.10. Para este caso la base es un número complejo:

a=r e jϕ (2.15)

Así que la función exponencial compleja queda expresada como

f (n)=rne j nϕ ; ∀n∈ℤ (2.16)

2.5. Operaciones con funciones discretas

Para mantener cierta generalidad y formalidad matemática, en vez de emplear la frase “funciones discretas” para las respectivas definiciones, se utiliza la frase “funciones reales de variable entera”.


Illustration 4: Represetnaciones de la función exponencial para diversos valores y signos de la base. Figuras generadas en MATLAB (MATLAB es un produto de Mathworks). A la derecha de la figura se presenta el código que la generó

n=-5:5;

%%

% 0<a<1

a=0.75;

expo01=a.^n;

subplot(2,2,1)

stem(n,expo01)

title('0<a<1')

%%

% -1<a<0

a=-0.75;

expo02=a.^n;

subplot(2,2,2)

stem(n,expo02);

title('-1<a<0');

%%

% a>1

a=1.2;

expo03=a.^n;

subplot(2,2,3)

stem(n,expo03);

title('a>1');

%%

% a<-1

a=-1.2;

expo04=a.^n;

subplot(2,2,4);

stem(n,expo04);

title('a<-1');

2.5.1 Aĺgrebra de funciones discretas

Definición 2.11. Suma de funciones. Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera. La suma de ambas funciones, denotada por f (n)+g(n) , es otra función definida como (f +g)(n)=f (n)+g(n) . El dominio de (f +g )(n) es la intersección de los dominios de sendas funciones.

Matemáticamente, la suma de funciones se define como:

(f +g)(n)=f (n)+g(n); dom {f+g}=dom {f }∩dom{g} (2.17)

Definición 2.12. Resta de funciones. Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera. La resta de ambas funciones, denotada por f (n)−g(n) , es otra función definida como (f −g)(n)=f (n)−g(n) . El dominio de (f −g )(n) es la intersección de los dominios de sendas funciones.

Matemáticamente, la resta de funciones se define como:

(f −g)(n)=f (n)−g(n); dom {f−g}=dom {f }∩dom{g} (2.18)

Definición 2.13. Producto de funciones. Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera. El producto de ambas funciones, denotado por f (n)g(n) , es otra función definida como (f g)(n)=f (n) g(n) . El dominio de (f g)(n) es la intersección de los dominios de sendas funciones.

Matemáticamente, el producto de funciones se define como:

(f g)(n)=f (n) g(n); dom {f g}=dom{f }∩dom {g} (2.19)

En el caso del producto, suele omitirse el operador de multiplicación.

Definición 2.14. Cociente de funciones. Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera. El cociente de ambas funciones, denotado por f (n)/g(n) , es otra función definida como (f / g)(n )=f (n)/g(n) . El dominio de (f / g)(n) es la intersección de los dominios de sendas funciones.

Matemáticamente, el cociente de funciones se define como:

(f / g)(n )=f (n)/g(n); dom {f /g}=dom{f }∩dom{g} (2.20)

La función (f / g)(n ) sólo está definida en aquellos valores del dominio en los cuales la función g (n) no sea nula.

Definición 2.15. Producto por un escalar. Sea f (n ) una función real de variable entera y sea λ un número real llamado escalar. El producto de un escalar por la función, denotado como λ f (n) , es otra función definida por (λ f )(n)=λ f (n) . El dominio de (λ f )(n) es el dominio de f (n ) . Matemáticamente, el producto de un escalar por una función se expresa como:

(λ f )(n)=λ f (n); dom {(λ f )}=dom{f } (2.21)

2.5.2 Convolución y correlación

Estas operaciones serán tratadas en un capítulo posterior y esto es debido a la extensión del tema.


2.5.3 Combinación lineal

Definición 2.16. Combinación lineal. Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera y sean dos números reales λ1 y λ2 , ambos llamados los escalares. La combinación lineal de ambas

funciones, denotada por λ1f (n)+λ

2g(n) , es otra función definida por (λ1

f +λ2g)(n)=λ

1f (n)+λ

2g(n) . El

dominio de la combinación lineal es la intersección de los dominios de sendas funciones. Matemáticamente se puede expresar la combinación lineal como:

(λ1f +λ

2g)(n)=λ

1f (n)+λ

2g(n); dom {(λ

1f +λ

2g)(n)}=dom {f }∩dom{g} (2.22)

2.6 Diferencia de una función

El cálculo de diferencias finitas se aplica tanto a funciones continuas com a funciones discretas, para el caso que compete al presente capítulo se aplicarán las diferencias finitas a funciones reales de variable entera.

2.6.1 Primera diferencia de una función

Sea la función discreta f (n) y partiendo del instante n , éste se decrementa en una cantidad finita 1 , de tal manera que para n−1 el valor de la función es f (n−1) . Entonces el incremento que experimenta la función es f (n)−f (n−1) y se le conoce como primera diferencia de la función.

Definción 2.17. primera diferencia de una función. El cambio de una función f (n) debido a un decremento en 1 de su argumento n , se llama primera diferencia de la función y se representa por Δ f (n) . Matemáticamente, la primera diferencia se expresa como:

Δ f (n)= f (n)−f (n−1) (2.23)

2.6.2 Ejemplo

Se desea obtener la primera diferencia de la función siguiente

f (n)=2n2 (2.24)

Solución

Δ f (n)= f (n)−f (n−1)

=2n2−2(n−1)2

=2n2−2(n2−2 n+1)

=4 n−2

(2.25)


2.6.3 Segunda diferencia de una función

De forma semejante a como se calculó la primera diferencia de la función f (n ) , se calcula la segunda diferencia, es decir

Δ2 f (n)=Δ{Δ f (n)} (2.26)

Ahora se sustituye la ecuación (2.23) en la ecuación (2.26) y se realiza el siguiente desarrollo

Δ2 f (n)=Δ{Δ f (n)}

=Δ{f (n)−f (n−1)}

=f (n)−f (n−1)

−f (n−1)+f (n−2)

=f (n)−2f (n−1)+ f (n−2)

En conclusión, la segunda diferencia de una función se expresa como

Δ2 f (t )=f (n)−2f(n−1)+ f (n−2) (2.27)

2.6.4 Tercera diferencia de una función

De forma semejante a como se calculó la segunda diferencia de la función f (n) , se calcula la tercera diferencia, es decir

Δ3 f (n )=Δ{Δ2 f (n)} (2.28)

Ahora se sustituye la ecuación (2.27) en la ecuación (2.28) y se realiza el siguiente desarrollo

Δ3 f (n)=Δ{Δ2 f (n)}

=Δ{f (n)−2f (n−1)+f (n−2)}

=f (n)−2f (n−1)+f (n−2)

− f (n−1)+2f (n−2)−f (n−3)

=f (n)−3f (n−1)+3f (n−2)−f (n−3)

En conclusión, la tercera diferencia de una función se expresa como

Δ3 f (n)=f (n)−3f (n−1)+3f (n−2)−f (n−3) (2.29)


2.6.5 Cálculo de la m-ésima diferencia de una función

La m-ésima diferencia de una función puede generalizarse mediante la fórmula siguiente:

Δm f (n)=∑i=0

m

(−1)i Cimf (n−i) (2.30)

con

C im =m!

i !(m−i)!(2.31)

Donde:

• C im Todos los posibles valores se conocen como el triángulo de Pascal

• (−1)i representa los signos alternados de los coeficientes dados por el triángulo de Pascal

2.6.6 Ejemplo

Calcule las diferencias Δ0 , Δ1 , Δ2 y Δ

3 , de la función

f (n)=n3 (2.32)

La diferencia de orden cero de una función es:

Δ0 f (n)=f (n)=n3 (2.33)

La primera diferencia se calcula como

Δ f (n)=n3−(n−1)3=3n2

−3n+1 (2.34)

La segunda diferencia se calcula como

Δ2 f (n)=Δ{Δ f (n)}=3n2

+3n+1−[3(n−1)2+3(n−1)+1 ]=6n−2 (2.35)

La terecera diferencia se calcula como

Δ3 f (n)=Δ{Δ2 f (n)}=6n−2−[6(n−1)−2 ]=6 (2.36)

2.6.7 Conclusión sobre el cálculo de diferencias finitas

Nótese a lo largo de los segmentos 2.6.1 a 2.6.4 la forma en que se calcularon las diferencias. A este respecto se aconseja considerar que la diferencia m−ésima es mas fácil de calcular si se parte de la diferencia m−1.


2.7 Diferencias de productos y cocientes

2.7.1 Primera diferencia de una constante

Teorema 2.1. La primera diferencia de una constante es cero, es decir

Δcte=0 (2.38)

2.7.1 Producto de dos diferencias

Teorema 2.2. El producto de dos diferencias. Sean las funciones reales de variable entera f (n ) y g(n) . El producto de sus diferencias es:

Δ{f (n)}Δ{g(n)}=f (n)g(n)− f (n)g(n−1)−g(n) f (n−1)+ f (n−1)g(n−1) (2.39)

A modo de demostración considérense las funciones reales de variable entera f (n ) y g(n) . El producto de sus diferencias puede expresar como:

Δ{f (n)}Δ{g(n)}=[f (n)− f (n−1)] [g(n)−g(n−1)] (2.40)

Realizando el producto binomial

Δ{f (n)}Δ{g(n)}=f (n)g(n)− f (n)g(n−1)−g(n) f (n−1)+ f (n−1)g(n−1)

Obsérvese que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación (2.39) por lo cual se valida el teorema 2.2.


2.7.1 Primera diferencia de un producto de funciones

Teorema 2.3. Primera diferencia de un producto. Sean las funciones reales de variable entera f (n ) yg(n) . La primera diferencia de su producto es:

Δ{f (n)g(n)}= f (n)Δg(n)+g(n)Δ f (n)−Δ f (n)Δ g(n) (2.41)

A modo de demostración considérense las funciones reales de variable entera f (n ) y g(n) . La primera diferencia de su producto es:

Δ{f (n)g(n)}= f (n)g(n)−f (n−1) g(n−1) (2.42)

Restando y sumando f (n)g(n−1) al término a la derecha del signo igual se logra

Δ{f (n)g(n)}= f (n) g(n)− f (n) g(n−1)+ f (n)g(n−1)−f (n−1)g(n−1) (2.43)

Simplificando los términos en negrita de la eucación anterior se logra

Δ{f (n)g(n)}= f (n)Δg(n)+ f (n)g(n−1)−f (n−1)g(n−1) (2.44)

Sumando y resrtando g(n)Δ f (n) en el miembro derecho de la ecuación se logra

Δ{f (n)g(n)}= f (n)Δg(n)+g(n) Δ f (n)− g(n)Δ f (n)+ f (n)g(n−1)−f (n−1)g (n−1) (2.45)

Desarrollando el término −g (n)Δ f (n ) se logra

Δ{f (n)g(n)}= f (n)Δg(n)+g(n)Δ f (n)−g(n) f (n)+ g(n) f (n−1)+ f (n) g(n−1)− f (n−1) g(n−1) (2.46)

Comparando los términos en negrita de la ecuación (2.43) con la ecuación (2.39) y sustituyendo se tiene que

Δ{f (n)g(n)}= f (n)Δg(n)+g(n)Δ f (n)−Δ f (n)Δ g(n)

Obsérvese que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación (2.41) por lo cual se valida el teorema 2.3.


2.7.2 Primera diferencia de un cociente de funciones

Teorema 2.4. Primera diferencia de un cociente. Sean las funciones reales de variable entera f (n ) yg(n) . La primera diferencia de su cociente es:

Δf (n)g(n)

=1

g(n)g(n+1)[g(n)Δ f (n )− f (n)Δg(n)] (2.47)

A modo de demostración considérense las funciones reales de variable entera f (n ) y g(n) . La primera diferencia de su cociente es:

Δ{f(n)g(n )}=

f (n)g (n )

−f (n−1 )g (n−1)

(2.48)

Realizando la resta de quebrados

Δ{f(n)g(n)}=

f (n)g (n−1)−g (n ) f (n−1)g (n) g(n−1)

(2.49)

Restando y sumando f (n−1)g(n−1) en el numerador de la ecuación (2.49)

Δ{f(n)g(n)}=

f (n)g(n−1)−f (n−1) g(n−1)+ f (n−1)g(n−1)−g(n) f (n−1)g(n )g(n−1)

(2.50)

Factorizando términos comunes

Δ{f(n)g(n)}=

[ f (n)−f (n−1)] g (n−1)+ f (n−1)[g (n)−g (n−1)]g (n )g (n−1)

(2.51)

Sabiendo que

Δ f (n)= f (n)− f (n−1)

Δ g(n)=g(n)−g(n−1)

Sustituyendo se logra:

Δ{f (n )g (n)

}=g (n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g (n)

g (n)g (n−1)


2.8. Independencia lineal

2.8.1 Teoremas de dependencia-independencia lineal

Teorema 2.5 Dependencia lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n ) y g (n) , éstas formarán un conjunto de ecuaciones linealmenrte dependiente si una de ellas es un múltiplo escalar de la otra.

Teorema 2.6 Criterio del cociente para valuar la dependencia lineal. Una condición suficiente y necesaria para que dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n ) y g (n) , sean linealmente dependientes implica que su cociente es una constante para toda n en el dominio común de las funciones, lo cual indica que una de las funciones es múltiplo escalar de la otra. Matemáticamente se tiene que

f (n )g (n)

=cte. para toda n del dominio (2.52)

Teorema 2.7 Criterio del cociente para valuar la independencia lineal. Una condición suficiente y necesaria para dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n ) y g (n) , sean linealmente independientes implica que su cociente es una función de la variable independiente. Matemáticamente se tiene que

f (n)g(n)

=h(n) (2.53)

Teorema 2.8 Criterio de la diferencia de un cociente para valuar la dependencia lineal . Una condición suficiente y necesaria para que dos funciones reales, ambas de variable entera: f (n ) y g (n) , sean linealmente dependientes es que satisfagan:

g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)=0 para toda n del dominio (2.54)

A modo de demostración considérese calcular la primera diferencia del cociente dado en la ecuación (2.44). Debido a que este cociente resulta en una constante, su primera diferencia será cero, es decir:

Δf (n)g(n)

=Δcte=0 (2.55)

Igualando la ecuación (2.47) con la ecuación (2.55) se tiene que:

1g(n)g(n−1 )

[g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)]=0 (2.56)

Despejando el denominador se logra:

g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)=0

Nótese que la ecuación obtenida corresponde con la ecuación (2.54)


Teorema 2.9 Criterio de la diferencia de un cociente para valuar la independencia lineal . Una condición suficiente y necesaria para que dos funciones reales, ambas de variable entera: f (n ) y g (n) , sean linealmente independientes es que satisfagan:

g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)=h(n) para toda n del dominio (2.57)

A modo de demostración considérese la ecuación (2.53) y calcúlese la primera diferencia del cociente, es decir,

Δf (n)g(n)

={cte ó❑

función de n(2.58)

Nótese que la primera diferencia de h (n) puede resultar en una constante o en una función de n . Igualando la ecuación (2.47) con la euación (2.50) se logra

1g(n)g(n−1 )

[g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)]={cte❑

función de n(2.59)

Despejando el término g(n)g(n−1) se logra:

g(n−1)Δ f (n)−f (n−1)Δ g(n)=función de n

Nótese que la ecuación obtenida corresponde con la ecuación (2.57)

Teorema 2.10 Criterio de la combinación lineal para dependencia lineal. Sea un conjunto de funciones reales de variable entera: ϕ={f 1

(t) , f2(t ) , ... , f

i(t ) ,... f

N(t )} . Este conjunto será linealmente dependiente si

existe al menos una función que sea múltiplo escalar de una combinación lineal de las restantes, es decir:

λifi(t)=λ

1f

1(t )+λ

2f

2(t )+...+λ

NfN(t) ∀n∈dom {ϕ} (2.60)

Nótese que la ecuación (2.60) debe satisfacerse para toda n en el dominio del conjunto de funciones.

2.8.2 Estudio sobre la independencia lineal

Si ahora se resta λifi(t) a ambos lados del signo igual de la ecuación (2.60) se tiene que:

λ1f

1( t )+λ

2f

2(t )+...+λ

NfN(t )−λ

ifi(t)=0 ∀n∈dom {ϕ} (2.61)

Si las funciones de la ecuación (2.61) fueran linealmente dependientes, se puede afirmar que hay un conjunto de constantes diferentes de cero para las cuales la combinación lineal de todas las funciones del conjunto es cero.

Si las funciones de la ecuación (2.61) fueran linealmente independientes, no habría un conjunto de constantes diferentres de cero para las cuales la combinación lineal sea nula. Entonces, la única forma en que tal combinación lineal sea cero sería que todas las constantes sean cero. Así entonces se tiene el siguiente criterio de independencia lineal.


Teorema 2.11. Criterio de la combinación lineal para la independencia lineal. Sea un conjunto de funciones reales de variable entera: ϕ={f 1

(n) , f2(n) ,... , f

i(n), ... f

N(n)} y sea el conjunto de constantes reales

λ={λ1 ,λ2 , ...,λN } . Si la combinación lineal de las funciones es cero, es decir, λ

1f

1(n)+λ

2f

2(n)+...+λ

NfN(n)=0 para toda n en el dominio del conjunto, sólamente cuando las

constantes son cero (λ1=λ

2=...=λ

N=0) , se dice que las funciones son linealmente independientes.

2.8.3 La matriz casorati

Suponga ahora un conjunto de tres funciones reales, las tres de variable entera

ϕ={f (n) , g(n) , h(n)} (2.62)

Estas funciones serán linealmente independientes si satisfacen

λ1f (n )+λ

2g(n)+λ

3h(n)=0 ∀n∈dom {ϕ}

solo para λ1=λ2=λ3=0 (2.63)

Dado que la ecuación (2.63) se cumple para toda n del dominio del conjunto de funciones, entonces se cumple también para los dos valores consecutivos siguientes, es decir: n−1 y n−2 . Así entonces podemos plantear las dos ecuaciones siguientes:

λ1f (n−1)+λ

2g (n−1)+λ

3h(n−1)=0 ∀n∈dom{ϕ}


y

λ1f (n−2)+λ

2g(n−2)+λ

3h(n−2)=0 ∀n∈dom {ϕ}


Ahora bien, es posible reunir las ecuaciones (2.55), (2.56) y (2.57) en el siguiente sistema:

[f (n) g(n ) h(n)f (n−1) g(n−1) h(n−1)f (n−2) g(n−2) h(n−2)][

λ1

λ2

λ3]=[000 ] (2.66)

donde la matriz de coeficientes formada por las diferencias de las funciones se llama matriz de Casorati de las funciones y el determinante de la matriz de llama casoratiano de las funciones. El casoratiano será representado como WC .

Teorema 2.12. Criterio de Casorati para dependencia lineal Una condición suficiente y necesaria para que un conjunto de N funciones reales de variable entera: ϕ={f 1

(n) , f2(n) ,... , f

N(n)} para toda n en el

dominio del conjunto, sean linealmente dependientes es que su casoratiano sea cero, matemáticamente:

WC( f

1,f

2,... , f

N)=0 ∀n∈dom {ϕ} (2.67)


Teorema 2.13 Criterio de Casorati para independencia lineal Una condición suficiente y necesaria para que un conjunto de N funciones reales de variable entera: ϕ={f 1

(n) , f2(n) ,... , f


dominio del conjunto, sean linealmente independientes es que su casoratiano sea una función de n , matemáticamente:

WC( f

1,f

2,... , f

N)=h(n) ∀n∈dom{ϕ} (2.68)

Es posible extender el teorema 2.13 pensado que es suficiente evaluar el casoratiano para un único valor de la variable independiente y encontrar que el determinante es diferente de cero. Este valor de la variable independiente puede ser cualquiera dentro del dominio del conjunto de funciones.

Teorema 2.14. Segundo Criterio de Casorati para independencia lineal Una condición suficiente para que un conjunto de N funciones reales de variable entera: ϕ={f 1

(n) , f2(n) ,... , f


dominio del conjunto, sean linealmente independientes es que su casoratiano sea diferente de cero para algún valor de n dentro del dominio, matemáticamente:

WC( f

1,f

2,... , f

N)≠0 para alguna n en el dom {ϕ} (2.69)

2.8.4 Ejemplo

Sean f (n ) y g (n) dos funciones reales, ambas de variable entera, definidas a continuación, defínase el respectivo casoratiano

f (n); ∀n∈ℤ

g(n); ∀n∈ℤ(2.70)

El respectivo casoratiano queda establecido como

∣ f (n) g(n)f (n−1) g(n−1)∣

Resolviendo el determinante se logra

∣ f (n) g(n)f (n−1) g(n−1)∣=f (n)g(n−1)−g(n) f (n−1 ) (2.71)

2.8.5 Ejemplo

Se desea saber si las funciones siguientes son linealmente independientes

f (n )=n; ∀n∈ℤ

g (n)=an ; ∀n∈ℤ ∧ a∈ℝ(2.72)

El casoratiano de estas funciones se plantea como


∣ f (n) g(n)f (n−1) g(n−1)∣=∣ n an

n−1 a(n−1)∣=an(n−1)−an (n−1)=0 (2.73)

Dado que el casoratiano es cero se puede afirmar que las ecuaciones (2.72) son linealmente dependientes

2.8.6 Ejemplo


f (n)=n; ∀n∈ℤ

g(n)=n2 ; ∀n∈ℤ(2.74)


∣ f (n) g(n)f (n−1) g(n−1)∣

Sustituyendo las respectivas funciones y resolviendo el determinante resulta que:

∣ f (n) g(n)f (n−1) g(n−1)∣=∣ n n2

n−1 (n−1)2∣=n(n+1)2−n2(n+1)=−n2

+n (2.75)

El casoratiano de la ecuación (2.67) es notablemtne una curva parabólica. La evaluación del casoratiano para algunos valores puede verse en la tabla 2.3.

Dado que el casoratiano es una función de n se puede concluir que el conjunto de ecuaciones (2.66) es linealmentre independiente.


n n^2+n-5 -30-4 -20-3 -12-2 -6-1 -20 01 02 -23 -64 -125 -12

Tabla 2.3. Evaluación del casoratiano para la pareja de funciones (2.29)

2.8.7 Ejemplo


f (n)=n; ∀n∈ℤ

g(n)=2n ; ∀n∈ℤ

h(n)=n2; ∀n∈ℤ

(2.76)


∣f (n) g(n) h(n)

f (n−1) g (n−1) h(n−1)f (n−2) g (n−2) h(n−2)∣ (2.77)

Sustituyendo las respectivas funciones se tiene que el casoratiano es:

∣n 2n n2

n−1 2(n−1) (n−1)2

n−2 2(n−2) (n−2)2∣ (2.78)

Resolviendo el determinante, es posible mostrar que esta matriz no es inversible. Sin embargo, es más rápido recurrir a alguna herramienta de cálculo en la que se sustituyan diversos valores de n y calcular los respectivos determinantes. La evaluación del casoratiano para valores de n en elintervalo de -5 a 5 puede verse en la tabla 2.4.

Dado que la tabla muestra consistentemente cero para los valores de n exhibidos, se puede concluir que el conjunto de ecuaciones (2.76) es linealmente dependiente, al menos para el intervalo de valores de n dados en la tabla.


n Det{ }-5 0 casoratiano=[,];

-4 0-3 0-2 0-1 0 casoratiano=[casoratiano ; n,aux];

0 0 end

1 0 casoratiano

2 03 04 05 0

Tabla 2.4. Evaluación del casoratiano para la pareja de funciones (2.34). A la derecha de la tabla se exibe el código M empleado para generar la tabla

for n=-5:5

aux=det( [n 2*n n*n; n-1 2*(n-1) (n-1)*(n-1) ; n+2 2*(n-2) (n-2)*(n-2) ] )

2.8.8 Ejemplo


f (n)=1n ; ∀n∈ℤ

g(n)=(−2)n ; ∀n∈ℤ

h(n)=3n; ∀n∈ℤ

(2.71)

El casoratiano de estas funciones se plantea como:

∣1n

(−2)n 3n

1(n−1 )(−2)(n−1) 3(n−1)

1(n−2 )(−2)(n−2) 3(n−2)∣ (2.72)

Mediante operaciones por fila se puede mostrar que esta matriz es siempre inversible. Sin embargo, es posible recurrir al teorema 2.13 y sustituir un valor para n , por ejemplo n=0 y calcular el determinante.

∣1 1 11 −0.5 0.3331 0.25 0.111∣=0.833 (2.73)

Entonces, deacuerdo al teorema 2.13 dado que el casoratiano es diferente de cero para algún valor de n se puede concluir que el conjuto de tres funciones es linealmente independiente.

2.8.9 Ejemplo

Sean las funciones siguientes, determine si son linealmente independientes. Evalúe el determinante casoratiano para para valores de n∈[−5,5 ] y analice los resultados.

f (n)=n2 ∀n∈ℤ

g(n)=n∣n∣ ∀n∈ℤ (2.74)

El casoratiano para esta funciones se plantea como

∣ n2 2n∣n∣

(n−1)2 (n−1)∣n−1∣∣ (2.75)

Evaluando el casorati para los valores de n indicados en el problema, se consigue la tabla 2.3


La figura 2.5 ilustra la gráfica del comportamiento tanto de n2 y n∣n∣ . Nótese que no es aparente su relación de dependencia, no obstante que el casoratiano indica que son funciones linealmente dependientes. Tal situación indica que los teoremas de dependencia e independencia lineal aún son discutibles.

Finalmente, es posible establecer una relación de dependencia para las funciones (2.74) si el dominio de n se considera únicamente como el conjunto de los entreros positivos incluyendo al cero.


Illustration 5: Gráficas de "n^2" y "n|n|".

n f(n)-5 0-4 0-3 0-2 0-1 00 01 0 end

2 03 04 05 0

Tabla 2.3. Evaluación del casoratiano de la ecuación (2.38). A la derecha se presenta el código en M empleado para generar la tabla.

casoratiano=[,];

for n=-5:5

aux=det( [1^n , (-2)^n , 3^n ; 1^(n+1) , (-2)^(n+1) , 3^(n+1) ; 1^(n+2) , (-2)^(n+2) , 3^(n+2) ] );

casoratiano=[casoratiano ; n,aux];

casoratiano

2.9 Energía y potencia

[proakis; cap 2]

La señales, para su tratamiento correcto, deben clasificarse en función de la energía consumida por ellas y en función de la rapidez con la cual consumen energía. A este respecto, las señales son de dos tipos, señal energía y señal potencia.

Los métodos matemáticos empleados en el análisis de señales discretas están en función del tipo de señal que se desea analizar. Así entonces, las señales potencia serán analizadas empleando series trigonométricas de Fourier y series exponenciales de Fourier. Por otra parte, las señales energía se analizan mediante transformadas de Fourier.

2.9.1 Energía

Considere inicialmente la siguiente secuencia discreta:

f (n )={f (−N )... f (0)↑

...f (N )} (2.79)

La energía consumida por la serie de la ecuación (2.79), en el intrevalo −N≤n≤N se calcula entonces como:

ξN{f (n)}= ∑

n=−N

N

∣f (n)∣2 (2.80)

La energía media total consumida por la serie de la ecuación (2.80) se evalúa considerando un intervalo inifinito.

ξ{f (n)}= limN →∞

∑n=−N

N

∣f (n)∣2 (2.81)

2.9.2 Potencia

La rapidez con la cual se consume la energía por la secuencia discreta de la ecuación (2.79) se calcula como la energía consumida entre el intervalo de consumo −N≤n≤N .

SN {f (n)}=1

2N+1ξN {f (n)} (2.82)

La potencia media total se evalúa considerando un intervalo infinito

S {f (n)}= limN →∞

12N+1

ξN

f (n) (2.83)

Sustituyendo la ecuación (2.80) en la ecuación (2.83) se logra


S {f (n)}= limN →∞

12N+1 ∑n=−N

N

∣f (n)∣2 (2.84)

2.9.3 Señal energía

Definición 2.18. Una señal energía es aquella que:

• Tiene energía media total finita, es decir, requiere de un consumo finito de energía

ξ{f (n )}<∞ (2.85)

• Tiene potencia media total cero

S {f (n)}=0 (2.86)

• Son señales de duración finita

• Son también señales de duración infinita pero que concentran su consumo de energía en un pequeño intervalo. El resto del tiempo el consumo de energía en mínimo y tiende a cero.

2.9.4 Señal potencia

Definición 2.21. Una señal potencia es aquella que:

• Tiene potencia media total finita.

S {f (n)}<∞ (2.87)

• Tiene energía media total infinita, es decir, requiere de un consumo infinito de energía.

ξ{f (n)}=0 (2.88)

• Son señales periódicas, las cuales son de duración infinita.

• Son señales constantes, las cuales tienen una duración infinita

• Son señales aleatorias, las cuales son de duración infinita.

2.9.5 Ejemplo de señal energía: exponencial unilateral

Sea la función exponencial unilateral siguiente, se desea calcular su energía media total y su potencia media total.

f (n)=u−1(n)an ; a<1 (2.89)

El cálculo de la energía media total se despliega a continuación


ξ{u−1(n)an ; a<1}= lim

N →∞∑n=0

N

a2n

= limN →∞∑n=0

N

(a2)n

= limN →∞

1−(a2)N+1

1−a2

Considere ahora que 0<a<1 por lo cual

limN →∞

a2N=0 (2.90)

Entonces la energía media total de la exponencial unilateral es:

ξ{u−1(n)an ; a<1}=

1

1−a2 (2.91)

El cálculo de la potencia media total se despliega a continuación

S {u−1(n)an; a<1}= lim

N→∞

12N+1

ξN

= limN→∞

1

2N+1

1

1−a2

=0

Entonces, la potencia media total de la exponencial unilateral es:

S {u−1(n)an; a<1}=0 (2.92)


2.9.6 Ejemplo de señal potencia: escalón unitario

Sea la función escalón unitario de la cual se desea calcular su potencia media total y su energía media total.El cálculo de la potencia media total se despliega a continuación

S {u−1(n )}= lim

N →∞

12N+1 ∑n=0

N

u2(n)

= limN →∞

12N+1 ∑n=0

N

1

= limN →∞

N+12N+1

= limN →∞

N+12N+1

1/N1/N

= limN →∞

1+1N

2+1N

=12

Entonces, la potencia media total de una señal escalón unitario es:

S {u−1(n)}=12

(2.93)

El cálculo de la energía media total del escalón unitario se realiza a continuación

ξ{u−1(n)}= lim

N→∞∑n=0

N

u−1

2(n)

= limN→∞∑n=0

N

1

= limN→∞∑n=0

N

N+1

=∞

Entonces la energía media total de un escalón unitario es infinita:

ξ{u−1(n)}=∞ (2.94)


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