Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE

Matemáticas Discretas

Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Enrique Muñoz de Cotejemc@inaoep.mx

http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210

Diapositivas basadas en previas iteraciones de:

Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor

Series

Notación Series y recurrencias Manipulación de series Series múltiples

2

Series Una serie o secuencia o sucesión es una lista donde

se toma en cuenta el orden. Cada elemento en la serie tiene un número índice asociado Puede ser infinita

Una sumatoria es una notación compacta para la suma de todos los términos en una serie posiblemente infinita

3

Series Se denota por s ó {sn}, y por sn identificamos al n-

ésimo elemento de la serie Una secuencia o serie {an} se identifica con una

función generatriz f :S → A de algún subconjunto S⊆N y para algún conjunto A.

Si f es una función generatriz de una serie {an}, entonces para n ∈ S, el símbolo an denota f(n), también llamado término n de la serie. El índice de an es n (comúnmente se intercambia por i)

4

Series Una serie se denota comúnmente por una lista de sus

primeros y/o últimos elementos. Ejemplo

“{an} = 0, 1, 4, 9, 16, 25, …” es equivalente a ∀n∈N, an = n2.

5

Ejemplos de secuencias o series Un ejemplo de una serie infinita:

Considere la serie {an} = a1, a2, … donde (∀n≥1) an= f(n) = 1/n

Equivalentemente: {an} = 1, 1/2, 1/3, …

Una serie puede contener instancias repetidas de un elemento Considere la secuencia {bn} = b0, b1, … (notar que 0 es un

índice) donde bn = (−1)n. {bn} denota una secuencia infinita de 1’s y −1’s, no el

conjunto con 2 elementos {1, −1}.

6

Inferencia de secuencias Algunas veces sólo se proporcionan los primeros

términos de una secuencia Encontrar cuál es la función generatriz, ó Procedimiento para enumerar la secuencia

¿Cuál es el siguiente elemento de la secuencia? 1, 2, 3, 4, ... 1, 3, 5, 7, 9, … 2, 3, 5, 7, 11, …

7

Cadenas Sea Σ un conjunto finito de símbolos, i.e. un alfabeto

Una cadena sobre el alfabeto Σ es cualquier secuencia {si} de símbolos, si∈Σ , normalmente indexados por N.

Si a, b, c, … son símbolos, la cadena s = a, b, c, … puede escribirse como abc…

Si s es una cadena finita y t es cualquier otra cadena, entonces la concatenación de s con t, se denota como st

8

Cadenas La longitud |s| de una cadena finita s es el número de

posiciones (i.e., el número de valores del índice i). Si s es una cadena finita y n∈N,

Entonces sn denota la concatenación de n copias de s.

Ejemplos s = abc | s | = 3 t = de | t | = 2 st = abcde ts = deabc s2t3 = abcabcdedede

9

Notación sumatorias Dada una serie {an}, una cota inferior entera (o

límite) j≥0, y una cota superior entera k≥ j, entonces la sumatoria de {an} de j a k se define y denota por:

i se denomina índice de la sumatoria

10

kjj

k

jii aaaa +++= +

=∑ ...1

Sumatorias generalizadas Para una serie infinita, se puede denotar:

Para sumar una función sobre todos los miembros de un conjunto X={x1, x2, …}:

Si X={x|P(x)}, se puede escribir

11

...1 ++= +

∞

=∑ jj

jii aaa

...)()()( 21 ++=∑∈

xfxfxfXx

...)()()( 21)(

++=∑ xfxfxfxP

Ejemplo: sumatoria

32

17105

)116()19()14(

)14()13()12(1 2224

2

2

=++=

+++++=

+++++=+∑=i

i

12

Sumatoria finita

Ejemplos: sumatoria Una serie infinita con un resultado finito

Uso de predicados para definir un conjunto de elementos sobre una sumatoria

13

2...1...222 41

2110

0

=+++=++= −∞

=

−∑i

i

874925947532 2222

10 primo) es (

2 =+++=+++=∑<

∧x

x

x

Operaciones de sumatorias Algunas identidades útiles:

14

∑∑

∑ ∑∑

∑∑

+

+==

−=

+

=+

=

nk

nji

k

ji

x xx

xx

nifif

xgxfxgxf

xfcxcf

)()(

)()()()(

)()(

Operaciones de sumatorias Otras identidades útiles:

15

∑∑

∑∑∑

==

+===

−=

<≤+

=

k

i

k

i

k

mi

m

ji

k

ji

ikfif

kmjififif

00

1

)()(

if )()()(

Sumatorias múltiples Ejemplo:

Note la independencia de los límites de sumatoria

16

( )

60106

)4321(666

321

4

1

4

1

4

1

4

1

3

1

4

1

3

1

4

1

3

1

=⋅=

+++===

++=

=

=

∑∑

∑∑ ∑∑ ∑∑∑

==

== == == =

ii

ii ji ji j

ii

ijiijij

Ejemplo Evalué la sumatoria:

1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n

Hay n/2 pares de elementos que suman n+1

17

…n+1n+1

n+1

∑=

n

i

i1

Ejemplo Evalué la sumatoria:

1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n

Hay n/2 pares de elementos que suman n+1

18

…n+1n+1

n+1

2/)1(1

+=∑=

nnin

i

Progresión geométrica Una progresión geométrica es una serie de la forma

a, ar, ar2, ar3, …, ark, donde a, r ∈ R Por ejemplo, 5,15,45,135… es una progresión

geométrica con razón r=3, ya que:5 × 3 = 15

5 × 32 = 45

5 × 33 = 135 y así sucesivamente.

19

Progresión geométrica

Dejen: s = a+ar+ar2+...+arn-1

Al multiplicar por r

sr =ar+ar2+ar3+...+arn

Entonces

s – sr = s(1-r) = a - arn

Por lo tanto:

20

€

ark = a1− rn

1− rk= 0

n−1

∑

€

s = ark = a1− rn

1− rk= 0

n−1

∑

Progresión geométrica

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma.

21

€

s = ark = a1− rn

1− rk= 0

n−1

∑

Progresión geometrica: cuando n tiende a infinito Cuando n tiende a infinto, el valor absoluto de r tiene

que ser < 1 para que la serie no diverga Para r < 1, la suma queda:

22

€

ark = a1

1− rk= 0

∞

∑

Convergencia para r < 1DemostraciónDejen: s = 1 + r + r2 + …

Al multiplicar por r

sr =r+r2+r3+...

Entonces

s – sr = s(1-r) = 1

Por lo tanto:

Y

23

€

rk =1

1− rk= 0

∞

∑

€

ar k = a1

1− rk= 0

∞

∑

Expresiones útiles

24

4/)1(

6/)12)(1(

22

1

3

1

2

+=

++=

∑

∑

=

=

nnk

nnnk

n

k

n

k

RESUMEN

25

Recordemos: ¿Qué es una sucesión?

Observemos las siguientes sucesiones:

3;6;9;12;15;...... Se suma ... a cada término.

2;6;18;54;162;... Se multiplica por ... a cada término.

5;6;8;11;15;........ Se suma un______________________

1;4;9;16;25;...... Se eleva al _______________________

SUCESIÓN

Es un conjunto de números ordenados y consecutivos que tienen una ley de formación.

3;6;9;12;15;18.

SUCESIÓN

De lo observado, se tiene:

Es una Progresión Aritmética.

2;6;18;54;162;486.Es una Progresión Geométrica

PROGRESIÓN

CLASES DE PROGRESIONES:

a) Progresión Aritmética:

•) Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen sumando un misma número real al término anterior.

b) Progresión Geométrica:

•) Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen multiplicando una misma cantidad real al término anterior.

• Es una sucesión, donde los términos siguientes se obtienen sumando o multiplicando, un número real llamado razón, a un término anterior.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Consideremos la sucesión de término general:an = 5, 8, 11, 14, 17, 20,...

Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3. En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n

primeros términos de la progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada.

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ELEMENTOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Pn a1 a2 a3 a4 a5 a1 d n anP1 6 10 14 18 22 6 4 5 22P2 32 27 22P3 -9 -6 -3 0 3P4 -9 -

12-15

-18

P5 7 7a1 : primer término d: diferencia comúnan : último término n: número de términos

Profundiza

Ejercicio

31

Halla el primer término, la diferencia común y el número de términos de la P.A. mostrada.

32

33

• Calcular el término de lugar 26 de la siguiente P. A., para ello resuelve y pulsa la alternativa correcta:PA: 25;31;37;43;.....a)105 b)125 c)155 d)175

• Calcular el término de lugar 40 de la siguiente P. A., para ello resuelve y pulsa la alternativa correcta:PA: 180;171;162;153;.....a)-151 b)-161 c)-171 d)-181

34

Convergencia y divergencia

35

Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por:

Convergencia Serie.

Dada una seria , tal que , entonces:

Si existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S.

Si no existe entonces la serie Diverge.

{ }na

∑∞

=

+++++=1

321n

nn aaaaa

∑∞

=1nna

nn

n Sa =∑∞

=1

nn

S∞→

lim

nn

S∞→

lim

Propiedades de las Series

36

• Dadas las series convergente ,

y c un número real, entonces las

siguientes series también son convergentes, y

sus sumas son:

• Si es convergente y es

divergente, entonces:

es Divergente

Aan =∑ Bbn =∑

cAac n =∑ BAba nn +=+∑ )( BAba nn −=−∑ )(

∑ na ∑ nb

BAba nn ±=±∑ )(

Importante: Si y son Divergente, entonces no se tiene certeza si

es Convergente o Divergente

∑ na ∑ nb

BAba nn ±=±∑ )(

Serie Geométrica

37

A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:

o

se denomina serie geométrica.

La Convergencia o no de una serie geométrica

viene dada por:

• Si , entonces la serie Diverge.

• Si , entonces la serie Converge y su

suma es

∑∞

=0n

nra ∑∞

=

−

1

1

n

nra

1≥r

1≤rr

aS

−=

1

Serie de potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:

en donde x es una variable y los cn son constantes llamadas coeficientes de la serie.

De una manera más general, la serie de la forma:

se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a.

++++=∑+∞

=

33

2210

0

xcxcxccxcn

nn

+−+−+−+=−∑+∞

=

33

2210

0

)()()()( axcaxcaxccaxc n

nn

Convergencia Una serie de potencias es convergente en

un valor especificado de x si su sucesión de sumas parciales {SN(x)} converge, es decir, existe

Si el límite no existe en x, entonces se dice que la serie es divergente.

n

nn axc )( −∑

+∞

=0

.)()( ∑+∞

=

−∞→

=∞→ 0n

nnN axC

N

LimxS

N

Lim

Ejemplo La serie:

es una serie de potencias con cn=1 para toda n.Esta serie es una serie geométrica que converge si -1<x<1.El valor de convergencia de la serie es:

++++=∑+∞

=

32

0

1 xxxxn

n

xxxxx

n

n

−=++++=∑

+∞

= 1

11 32

0

Prueba de la razónLa convergencia de una serie de potencias

suele determinarse mediante el criterio de la razón. Suponga que para toda n y que

Si L<1, la serie converge absolutamente.Si L>1, la serie diverge y

Si L=1, el criterio no es concluyente.

0≠nC

LC

C

n

Limax

axC

axC

n

Lim

n

nn

n

nn =

∞→−=

−−

∞→+

++ 1

11

)(

)(

Series de Taylor y de Maclaurin

Suponiendo que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias:

xf =)(

0)( caf =

+− )(1 axc+0c +− 22 )( axc +− 3

3 )( axc ...)( 44 +− axc Rax <−

1

xf =)('

1)(' caf =

+− )(2 2 axc+1c +− 23 )(3 axc ...)(4 3

4 +− axc Rax <−2

xf =)(''

22)('' caf =

Rax <−3

+22c +−⋅ )(32 3 axc ...)(43 24 +−⋅ axc

Series de Taylor y de Maclaurin

43

xf =)('''

33 !332)(''' ccaf =⋅=

Rax <−4

!

)()(

n

afc

n

n =

nnn cnncaf !...432)()( =⋅⋅⋅⋅=

+⋅ 332 c +−⋅⋅ )(432 4 axc ...)(543 25 +−⋅⋅ axc

Series de Taylor y de Maclaurin

44

!

)()(

n

afc

n

n =

Rax <−

5

∑∞

=

−=0

)()(n

nn axcxf

Teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es, si

Los coeficientes están expresados por la fórmula

Series de Taylor y de Maclaurin

45

+= )(af

6 ∑∞

=

−=0

)(

)(!

)()(

n

nn

axn

afxf

+− )(!1

)('ax

af+− 2)(

!2

)(''ax

af...)(

!3

)(''' 3 +− axaf

+)0(f7 ∑∞

=

==0

)(

!

)0()(

n

nn

xn

fxf +x

f

!1

)0('...

!2

)0('' 2 +xf

Ejemplo

46

EJEMPLO 1 – Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia

1)0( 0 == ef nSOLUCIÓN – Si f(x) = ex , de modo que para toda n.

En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 (esto es, la serie de Maclaurin) es

∑∞

=

=0

)(

!

)0(

n

nn

xn

f...

!3!2!11

32

++++ xxx∑∞

=

=0 !n

n

n

x

Para hallar el radio de convergencia, sea . Entonces

101

!

)!1(

11 <→

+=⋅

+=

++

n

x

x

n

n

x

a

an

n

n

n

!/ nxa nn =

De modo que, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia ∞=R

Serie de Maclaurin En el caso especial de que a=0, la serie de Taylor se

transforma en:

Esta serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

++++== ∑+∞

=

32

0

)(

)(!3

)0´´´()(

!2

)0´´()(

!1

)0´()0()(

!

)0()( x

fx

fx

ffx

n

fxf n

n

n

Problemas:

Obtenga la serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones:

1. f(x) = ex

2. f(x) = Sen(x)

3. f(x) = Cos(x)

Nota: Son analíticas en x=0.

+−+−=

+−+−=

++++=

!!!

!!!

!!!

6421

753

3211

642

753

32

xxxCosx

xxxxSenx

xxxe x

Formulae

49

Taylor Polynomials at x=a

2 3( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2! 3!p p p p p p

x px x x− − −+ = + + + +K

The Binomial Series

2 4 2

0

1 1 ( 1)cos( ) 1

2! 4! (2 )!

kk

k

x x x xk

∞

=

−= − + − = ∑K1

2 13 5

0

1 1 ( 1)sin( ) .

3! 5! (2 1)!

k k

k

xx x x x

k

+∞

=

−= − + − =+∑K2

2 3

0

1 1 1e 1

2! 3! !x k

k

x x xk

∞

=

= + + + = ∑K3

Maclaurin series = Taylor series at x = 0. Basic Maclaurin series:

Formulae 1 – 3 can be used for all x.

Valid only if -1 < x < 1.

Encontrar la serie de Maclaurin

50

( ) ( )( )

2 1

0

1Start with the Taylor series sin .

2 1 !

k

k

k

z zk

∞+

=

−=

+∑

( )2Find the Maclaurin series of the function sin x .

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

2 12 2 4 2

0 0

Substitute to get

1 1 sin .

2 1 ! 2 1 !

k kk k

k k

z x

x x xk k

∞ ∞+ +

= =

=

− −= =

+ +∑ ∑

Problem

Solution

Encontrar la serie de Maclaurin

51

( ) ( )( )

∞+

=

−=

+∑ 2 1

0

1Start with the Maclaurin series sin .

2 1 !

k

k

k

x xk

( )sin xFind the Maclaurin series of the function .

x

( ) ( )( )

( )( )

2 1 2

0 0

Divide all terms by to get

sin 1 11 .

2 1 ! 2 1 !

k k

k k

k k

x

xx x

x x k k

∞ ∞+

= =

− −= =

+ +∑ ∑

Problem

Solution

Encontrar la serie de Maclaurin (3)

52

( ) 2

2

1Observe that f . This is the sum of a geometric

1

series with first term 1 and ratio of two subsequent terms .

xx

q x

′ =+

= −

( ) ( )=Find the Maclaurin series for the function f arctan .x x

( ) ( )2 4 6 2

0

Hence f 1 1 .k k

k

x x x x x∞

=

′ = − + − + = −∑K

Problem

Solution

( ) ( ) 1

3 5 7 2 1

0

This implies by integration that

11 1 1f .

3 5 7 2 1

k

k

k

x C x x x x xk

+∞+

=

−+ = − + − + =

+∑K

To determine the constant of integration C, insert x = 0 in the above equation to get C = 0.

Serie Telescópica

53

Es aquella serie que se puede expresar de la forma:

La serie telescópica siempre converge a L si .

Serie Armónica.

Es aquella serie que se puede expresar de la forma:

La serie armónica siempre es Divergente.

∑∞

=+−

11

nnn aa

Lann

=∞→

lim

∑∞

=1

1

n n

Serie p

54

A toda aquella serie que se puede expresar de la forma:

se denomina serie p.

La Convergencia o no de una serie p viene

dada por:

• Si , entonces la serie Diverge.

• Si , entonces la serie Converge.

∑∞

=1

1

npn

1≤p

1≥p

Criterio de la Divergencia

55

Si la serie infinita converge, entonces

, con lo cual se puede concluir que:

Si , entonces la serie es Divergente.

Importante: Si no implica que la

serie sea Convergente, por lo tanto se debe

utilizar otro criterio.

∑∞

=1nna 0lim =

∞→ nn

a

0lim ≠∞→ n

na

0lim =∞→ n

na

Criterio de Comparación

56

Si , para todo n entonces:

• Si Converge, entonces

también Converge.

• Si Diverge, entonces también

Diverge.

∑∞

=1nnb

∑∞

=1nna

∑∞

=1nna

∑∞

=1nnb

nn ba ≤≤0

Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie converge o no, por

lo tanto se debe elegir otro criterio.

Criterio de Comparación

57

Sean y , dos series de términos

positivos entonces:

• Si , entonces ambas series

Converge o Divergen.

• Si y Converge, entonces

Converge.

• Si y Diverge, entonces

Diverge.

∑ na ∑ nb

0lim ≥∞→

n

n

n b

a

0lim =∞→

n

n

n b

a ∑ nb ∑ na

∞=∞→

n

n

n b

alim ∑ nb ∑ na

Criterio del Cociente o de la Razón

58

Sea una serie de términos positivos tal

que an es distinto de 0, entonces:

• Si , entonces Converge.

• Si ó , entonces

Diverge.

• Si el criterio falla.

1lim 1 ≤+

∞→ n

n

n a

a

∑ na

∑ na

1lim 1 ≥+

∞→ n

n

n a

a ∞=+

∞→ n

n

n a

a 1lim ∑ na

1lim 1 =+

∞→ n

n

n a

a