Jhoan Francisco Páez Gutiérrez.C.I: 21.503.833

SAIA: BProf. Domingo Méndez

Cabudare, 04 de Noviembre de 2.012

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO.FACULTAD DE INGENIERÍA.

CÁTEDRA

ESTRUCTURAS DISCRETA I.

UNIDAD I

PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS.

.Por Ejemplo: p:         La tierra es plana.q:         -17 + 38 = 21R:          x > y-9T:          Hola ¿como estas?W:         Lava el coche por favor.  Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El  inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

  A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se

indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y): Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica: Ejemplo.Sea el siguiente enunciado �El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería � Sean:p: El coche enciende.q: Tiene gasolina el tanque.r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:                         p =  q Ù r

Operador Or (o): Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}. Se conoce como la suma lógica. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado �Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase. Dónde. p: Entra al cine.q: Compra su boleto.r: Obtiene un pase.

Operador Not (no): Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {, Ø,-}. �Ejemplo. Ejemplo Sean las proposiciones: p: Hoy es domingo.q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.r: Aprobaré el curso.  El enunciado: Hoy es domingo y tengo que �estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso. Se puede representar simbólicamente de �la siguiente manera:

 p Ù qÚ r

LOS CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS.

Con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y

Not).

LOS CONECTIVOS LÓGICOS.Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones

compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente:

Conectivo Nombre Lógico Símbolo

No Negación ~

Y Conjunción ð

O Disyunción Inclusiva V

O…O Disyunción Exclusiva V

Si Entonces Implicación o Condicional →

Si Solo Si Doble Implicación o Bicondicional ð

LOS CONECTIVOS LÓGICOS . La negación.

Tabla de verdad de la Negación

La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.

Por ejemplo: si Pes: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la

Vega”.

p ~p

V F

F V

LA CONJUNCIÓN.

p q p ð q

V V V

V F F

F V F

F F F

La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.

Esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.

Por Ejemplo:Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería“. Sean:p= tiene gasolina el tanqueq = tiene corriente la bateríar = el auto enciende = p ^ qLa conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará

Tabla de conjugación

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Por ejemplo:Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene una entrada gratis”.p= compra boletoq = obtiene un paser = una persona entra al cine = p v qLa conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar a

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera. Es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.

Tabla de disyunción inclusiva

p q p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

La Disyunción exclusiva: solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa. Es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”. O una o la otra (NUNCA ambas juntas)

Tabla de disyunción exclusiva

Por ejemplo, en el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrá ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aplica o se suspende.

ESTRUCTURAS DISCRETAS.Próxima clase

Evaluación

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera. Es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras “Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.

Ejemplo. Un candidato dice “Si salgo electo presidente de la República  recibirán �un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como �esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: p: Salió electo Presidente de la República.q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera:

 p ® q

EL CONDICIONAL

Tabla el condicional

p q p ð q

V V V

V F F

F V F

F F V

Por ejemplo: Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez � Donde:p: Es buen estudiante.q: Tiene promedio de diez. por lo tanto su tabla de verdad es.

 

La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa. Es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:”ð”

EL BICONDICIONAL

Tabla el bicondicional

TABLA DE LA VERDAD Las tablas de verdad, de la logica matematica: ayudan a establecer el valor de verdad de diferentes razonamientos lógicos construidos a base de la combinación de dos o mas enunciados nucleares. Los enunciados nucleares se identifican con las letras del alfabeto, usualmente las de la segunda mitad del alfabeto:  p, q, r, s, t, entre otros. Puede usarse cualquier símbolo para identificar a los enunciados nucleares. La tabla de verdad mas simple es la que corresponde a los valores de verdad de un solo enunciado nuclear.

Cuando hay dos enunciados nucleares, p y q, las tablas de verdad para los cuatro (4) conectivos básicos  (conjuncion, disyuncion, implicación y doble implicación), tienen cuatro niveles (2 elevado al numero de enunciados).  Se pretende en la tabla que se puedan establecer todas las combinaciones de valores de verdad asumidos por los enunciados nucleares.  Los conectivos logicos son Y (para la conjuncion), O (para la disyuncion inclusiva), SI… ENTONCES (para la implicación o condicional), SI Y SOLO SI (para la doble implicación o bicondicional).

P

V

F

Conjunción Disyunción Implicación Doble implicación

P Q P Y Q P Q P O Q P Q P ENTONCES Q P Q P SI Y SOLO SI Q

V V V V V V V V V V V V

V F F V F V V F F V F F

F V F F V V F V V F V F

F F F F F F F F V V F V

TABLA DE LA VERDAD

Las tablas de verdad son las siguientes: Una prueba simple se hace con la ayuda de dos enunciados nucleares como los siguientes:

• P = el tejado esta sobre el piso.• Q = el piso esta debajo del tejado.

Este es un ejemplo muy sencillo en una relación de posición entre dos objetos.

P Q ConjuncionP y Q

DisyuncionP o Q

ImplicaciónSi P

entonces Q

Doble implicaciónP si y solo si

Qel tejado

esta sobre el piso

el piso esta debajo del

suelo

Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero

el tejado esta sobre el

piso

Es falso que el piso esta debajo del

tejado

Falso Verdadero Falso Falso

Es falso que el tejado

esta sobre el piso

el piso esta debajo del

suelo

Falso Verdadero Verdadero Falso

Es falso que el tejado

esta sobre el piso

Es falso que el piso esta debajo del

tejado

Falso Falso Verdadero Verdadero