ESTRUCTURASDISCRETAS

Manuel Luque Gallego

ESTRUCTURASDISCRETAS

ESTRUCTURAS DISCRETASAgradecimientosIntroduccin1 Sistema Siette2 Teora de Conjuntos

Resumen2.1 Conjuntos y operaciones

2.1.1 Conceptos bsicos deconjuntos2.1.2 Operaciones sobreconjuntos2.1.3 Particin de unconjunto

2.2 Representacin grfica deconjuntos2.3 Propiedades bsicas yprecedencia entre operadores

2.3.1 Propiedades bsicas2.3.2 Precedencia entreoperadores: Eliminacin deparntesis

2.4 Tuplas y conjunto potencia2.4.1 Tuplas y productocartesiano2.4.2 Conjunto potencia2.4.3 Tipos y signatura

2.5 Conjuntos notables3 Relaciones

Resumen3.1 Relaciones y operaciones

3.1.1 Conceptos bsicos derelaciones3.1.2 Operaciones sobrerelaciones

3.2 Relaciones binarias3.2.1 Dominio y rango3.2.2 Operacionesespeciales

3.3 Representacin derelaciones

3.3.1 Matriz de una relacin3.3.2 Grafo de una relacin

3.4 Propiedades de lasrelaciones

3.4.1 Propiedades msimportantes de lasrelaciones

3.4.2 Cierres3.4.3 Relaciones deequivalencia

3.5 Relaciones de orden3.5.1 Conceptos asociadosa orden parcial3.5.2 Notacin infija en eluso de algunas relacionesmuy comunes

4 FuncionesResumen4.1 Concepto de funcin4.2 Funciones parciales ytotales. Funciones especiales:identidad y constante4.3 Representacin formal ygrfica de funciones

4.3.1 Representacinmediante tablas4.3.2 Representacinmediante curvas4.3.3 Representacinmediante grafos

4.4 Propiedades de funciones4.5 Construccin de nuevasfunciones

4.5.1 Clases especiales defunciones

4.6 Conceptos avanzados decardinalidad de conjuntos4.7 Homomorfismos

5 CombinatoriaResumen5.1 Principios bsicos de la

Combinatoria5.2 Funciones importantes enCombinatoria5.3 Formas de agrupamiento

5.3.1 Variaciones5.3.2 Permutaciones5.3.3 Combinaciones

6 Teora de grafosResumen6.1 Conceptos bsicos deteora de grafos6.2 Representacin grfica delos grafos6.3 Conceptos avanzadossobre grafos6.4 Caminos y conectividad

6.4.1 Conceptos bsicos de

caminos6.4.2 Tipos bsicos decaminos6.4.3 Relacin deaccesibilidad6.4.4 Distancias en caminos6.4.5 Conexin en grafos

6.5 Recorridos y tiposespeciales de caminos

6.5.1 Recorridos6.5.2 Tipos especiales decaminos

6.6 rboles

ESTRUCTURASDISCRETASDr. Manuel Luque Gallego

Copyright 2013. Manuel LuqueGallego.Todos los derechos reservados.

Todos los derechos reservados.

Este libro ha sido autopublicadopor el autor Manuel Luque Gallego.Quedan rigurosamente prohibidas,sin la autorizacin escrita deManuel Luque Gallego, titular delCopyright, bajo las sancionesestablecidas en las leyes, lareproduccin o distribucin, total oparcial de esta obra, por cualquiermedio o procedimiento electrnicoo mecnico, comprendidos lareprografa y el tratamientoinformtico, y la distribucin deejemplares de ella mediante venta,alquiler o prstamo pblicos.

Si desea realizar cualquiera de las

acciones de arriba, por favor,pdame permiso contactando atravs de la direccin de correoelectrnico mluquega@gmail.com.

Versin 1.0.18.

Actualizaciones de esta versin enel enlace: Actualizaciones.

AgradecimientosQuiero mostrar mi agradecimiento atodas las personas que me hanayudado a la elaboracin de estelibro.

Quiero agradecer al profesor JosRamn lvarez Snchez toda laayuda que me ha brindado parasolucionar multitud de problemastcnicos relacionados con lamaquetacin y escritura de estelibro.

Agradezco al profesor Jos LuisFernndez Vindel sus consejos

acerca de cmo estructurar ypresentar el contenido del libropara un aprendizaje ms eficaz delos lectores.

Quiero expresar mi agradecimientoal profesor Ricardo Conejo Muoz,por el magnfico sistema Siette queha desarrollado con su grupo deinvestigacin, que tan til es paralos estudiantes y los profesores, ypor el apoyo que me ha prestadopara montar en Siette los tests queacompaan a este libro.

Tambin quiero mostrar mi gratituda los usuarios de blogs y foros

cuyas aportaciones me han servidopara resolver cuestiones delformato del texto.

Agradezco a todos losdesarrolladores de software librepor el trabajo que realizancontinuamente para construir unconjunto de herramientasinformticas de gran utilidad parala sociedad moderna y en particularpara la edicin de este libro.

En el plano personal quiero mostrartodo mi agradecimiento a Mariela.A la felicidad que ha aportado a mivida se le unen la paciencia y

comprensin que me ha demostradodurante estos ltimos mesesmientras escriba el libro.

IntroduccinEl objetivo de este libro esproporcionar los conocimientosbsicos de Estructuras Discretas. Elautor presenta los conceptos de unaforma concisa, aportando ejemplossencillos que ayuden a laasimilacin de los conceptos.

Este libro tambin incluye elacceso a tests informatizadosautoevaluables y autodaptativos enel sistema Siette. Este sistemaimplementa la teora clsica de lostests y la teora de respuesta altem, de forma que los tests

preparados a medida para estelibro ayudarn al lector a aprenderlos conceptos de una forma eficaz,totalmente gradual y autnoma. Seva a proporcionar posteriormenteuna introduccin a Siette junto conbreves instrucciones acerca decmo acceder a los tests.

Se recomienda encarecidamente allector que alterne la lectura deltexto con la realizacin de los testspara que as pueda obtener unamejor realimentacin de Sietteacerca de su aprendizaje. Msadelante se explicar cmo sepuede escoger realizar un test de

una parte concreta del libro comoun captulo, seccin o subseccin.

Los contenidos que el lectoraprender son:

Teora de conjuntos.

Relaciones.

Funciones.

Combinatoria.

Teora de grafos.

Con el objetivo de facilitar lalectura, se han estructurado los

contenidos de cada seccinutilizando distintos bloques detexto: definiciones, ejemplos,teoremas, proposiciones ycorolarios. Se han omitido lasdemostraciones, pues se escapan alos objetivos bsicos del libro.

Espero que disfrute de la lecturadel libro y que sta le resulteprovechosa.

Manuel Luque GallegoMadrid, noviembre de 2013

1 Sistema SietteEn la docencia actual es cada vezms importante que los estudiantesrealicen la mayor cantidad deactividades posibles que le ayudenen el aprendizaje. Entre losdistintos tipos de actividadesdestacan las que consisten enresponder a tests, que suelen venirdados por un conjunto de preguntas,cada una con varias respuestasposibles, de las cuales una o variaspueden ser las correctas. Adems,los tests son habituales en exmenesde Universidad con el objetivo de

evaluar de forma objetiva el nivelde conocimiento del estudiante enuna materia.

Hace unos aos surgi un sistemapara la creacin y mantenimiento depreguntas y realizacin de tests,denominado Siette. Siette es unsistema web que permite alestudiante realizar tests deautoevaluacin que se adaptanautomticamente a su nivel deconocimiento con el objetivo demejorar eficazmente el aprendizaje.Siette implementa la teora clsicade los tests y la teora de respuestaal tem, por lo que su

funcionamiento se sustenta eninvestigaciones psicopedaggicasmuy slidas.

Adicionalmente a este libro seproporciona al lector un conjuntode tests autoevaluables en Sietteque han sido elaborados a medidapara los contenidos de este libro.El objetivo de estos tests es ayudaral lector a aprender de formaautnoma, eficaz y gradual loscontenidos que aqu se explican.

Antes de realizar su primer test, ellector deber darse de alta enSiette. Para ello slo tiene que

acceder a la pginahttp://www.siette.org, pulsar enNuevo usuario y rellenar elformulario con sus datos.

Los tests que se han preparado parael lector estn disponibles en elenlace: Test. Tras pinchar en l,tendr que introducir su usuario ycontrasea de Siette, y acontinuacin le aparecer unapantalla como la de la siguientefigura.

La estructura de temas y subtemasintroducida en Siette secorresponde con la estructura deeste libro. El lector puede elegir entodo momento el captulo o laseccin o subseccin del librosobre el que desea que traten laspreguntas del test. Por ejemplo, enla figura aparece seleccionado el

tema de Teora de Conjuntos; sinembargo, haciendo click, se podraelegir otro tema o subtema oincluso seleccionar todo elcontenido del libro (EstructurasDiscretas).

El test puede ser realizadotranquilamente dedicndole eltiempo que estime oportuno,cuntas veces desee y a cualquierhora del da; el nico requisitotcnico es tener conexin a Internety utilizar un navegador moderno,preferiblemente Firefox. Dado queSiette incorpora cierta aleatoriedadal escoger las preguntas del test que

presenta al usuario, es muyprobable que en veces sucesivasque se realicen tests las preguntasque aparezcan sean distintas.

Recomendamos que si tiene tiempo,tras realizar el test, trabaje viendoqu preguntas ha acertado, culesha fallado, y trate de entender cules la respuesta correcta a cadapregunta. En ese caso, volver areleer algn punto concreto dellibro puede resultarle de gran ayudapara afianzar los conceptos.

Espero que disfrute realizando lostests de Siette y que stos le sean

tiles para aprender EstructurasDiscretas.

2 Teora de Conjuntos

Resumen

Este captulo trata los conceptosfundamentales de la Teora deConjuntos. Se presentan losconceptos bsicos de conjuntos, lasprincipales operaciones y lasdistintas formas de representacin.Se explican las propiedadesbsicas de las operaciones deconjuntos y conceptos esencialescomo las tuplas y el conjuntopotencia. Finalmente se explicanconjuntos notables, cuyo

conocimiento es fundamental paracualquier estudiante de Informtica.

2.1 Conjuntos yoperaciones

2.1.1 Conceptos bsicos deconjuntos

Definicin (Conjunto). Un conjuntoes una coleccin de objetosdistintos en la cual el orden no tieneimportancia.

Un conjunto se suele especificarutilizando las llaves { y }.

Ejemplo. Un ejemplo de conjuntoes A={1,2,3,4}. Otro ejemplo de

conjunto es B={c,d,e}.

Definicin (Elemento). Cada unode los objetos que forman parte deun conjunto se denomina elemento.

Ejemplo. Dado el conjunto A={1,2}, tanto el 1 como el 2 sonelementos de A. En cambio, el 3 yel 4 no son elementos de A.

Podemos determinar un conjunto dedos formas: por extensin y porcomprensin o intensin.

Definicin (Determinacin porextensin). Se determina unconjunto S por extensin cuando se

proporciona una lista que contienea todos los elementos de S y slo aellos.

Ejemplo. Los siguientes conjuntosA y B estn determinados porextensin:

A={c,d,e},

B={1,3,5,7}.

Definicin (Determinacin porcomprensin o intensin). Unconjunto S es determinado porcomprensin o intensin o deforma intensiva, cuando se

indica una propiedad que cumplentodos los elementos de S y sloellos.

Cuando se define un conjunto porintensin es frecuente utilizar labarra |, que se lee como tal que.

Ejemplo. Los siguientes conjuntosA y B estn determinados porcomprensin:

A={xx es un nmero par} ,

B={xx es un nmero primode dos cifras}.

Definicin (Pertenencia a un

conjunto). Sea un conjunto S y unobjeto x. Se dice que x pertenece aS si x es un elemento de S. Sedenota por xS. Si un objeto x nopertenece a un conjunto S se denotapor xS.

Ejemplo. Sea el conjunto A={1,2}. Se cumple que 1A, 2A,3A y 4A.

Definicin (Subconjunto). Sean S yT dos conjuntos. S es subconjuntode T si todo elemento que pertenecea S pertenece a T. Se denota por ST, ST.

Ejemplo. Sean los siguientesconjuntos:

A={2,4},

B={xx es un nmero parmayor que 1 y menor que 10},

C={xx es un nmero primomayor que 1 y menor que 10}.

Se cumple que AB, ya que losdos elementos de A pertenecen a B.En cambio, A no es subconjunto deC, ya que no todo elemento de Apertenece a C; en concreto, se tieneque 4A, pero 4C. Tambin

se verifica que ni B ni C sonsubconjuntos de A.

Definicin (Superconjunto). Sean Sy T dos conjuntos. T es unsuperconjunto de S si S essubconjunto de T. Se denota por TS, TS.

Ejemplo. Sean los conjuntos A y Bdel ejemplo anterior. Se cumpleque BA. En cambio, A no essuperconjunto de B.

Proposicin. Sean S y T dosconjuntos. Se cumple que ST siy slo si TS.

Definicin (Conjuntos iguales yconjuntos distintos). Sean S y T dosconjuntos. Entonces:

S y T son iguales si se cumpleq u e ST y TS. Sedenota por S=T.

S y T son distintos si S y T noson iguales. Se denota como ST.

De la definicin anterior se deduceque si S=T entonces T=S.Adems, si ST entonces TS.

Ejemplo. Sean los conjuntos:

A={2,4,6,8},

B={8,6,4,2},

C={xx es un nmero parmayor que 1 y menor que 10},

D={2,4,6}.

Se tiene que A=B, B=C, A=C,AD, CD y BD.

Definicin (Subconjunto propio).Se dice que un conjunto S es unsubconjunto propio de un conjuntoT si ST y ST.

Ejemplo. El conjunto S={1,2,3}

es un subconjunto propio delconjunto T={1,2,3,4}, ya que Ses un subconjunto de T, pero S y Tson distintos.

Proposicin. Sea S cualquierconjunto. Se cumple que S no essubconjunto propio de S.

Definicin (Conjunto finito yconjunto infinito). Un conjunto esfinito si contiene un nmero finitode elementos. Un conjunto esinfinito si no es finito.

Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={xx es una

provincia de Espaa que tieneplaya}. Tanto A como B sonconjuntos finitos.

Ejemplo. El conjunto C={xx esun nmero natural mayor que 7000}es un conjunto infinito. En cambio,el conjunto D={xx es unnmero natural menor que 10800} esun conjunto finito.

Definicin (Cardinalidad de unconjunto finito). Sea S un conjuntofinito. La cardinalidad o cardinalde S es el nmero de elementos deS. Se denota por S.

La cardinalidad de ciertosconjuntos infinitos se estudiar msadelante.

Ejemplo. Sean los conjuntosfinitos:

A={2,4,6,8},

B={3,5,7},

C={xx es una provincia deEspaa, exceptuando Ceuta yMelilla}.

Se cumple que A=4, B=3 yC=50.

Definicin (Conjunto universal). Enun determinado contexto o teora,que puede ser un ejemplo o unejercicio, el conjunto universalest formado por todos los posibleselementos que pueden pertenecer acualquier otro conjunto.

Ejemplo. Considrese que estamostrabajando con un ejemplo dondetenemos los siguientes conjuntos: A={2,4,6,8} y B={3,5,7}. Unconjunto universal para ese ejemplos e r a U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, ya que se puede comprobarque los conjuntos A y B sonsubconjuntos de U. No obstante, no

es el nico conjunto universalposible para dicho ejemplo. Otroconjunto universal sera U={xxes un nmero natural mayor que 1 ymenor que 20}. En cambio, elconj unto S={1,2} no es unconjunto universal para dichoejemplo, ya que uno de los dosconjuntos definidos arriba, elconjunto A, no es subconjunto de S.

Definicin (Conjunto vaco).Conjunto vaco es un conjunto queno contiene ningn elemento. Serepresenta por .

Ejemplo. Sea el conjunto A={x

x es un equipo de ftbol deprimera divisin de Espaa cuyaciudad se encuentre ubicadageogrficamente en el hemisferioSur}. Se cumple que A=, ya queno existe ninguna ciudad delhemisferio Sur con equipo de ftbolen primera divisin de Espaa.

Definicin (Conjunto no vaco). Unconjunto es no vaco si es distintode .

Ejemplo. El conjunto A={3,5,7}es un conjunto no vaco.

Proposicin. Sea S un conjunto. Se

cumple que S=0 si y slo si S=.

2.1.2 Operaciones sobreconjuntos

Definicin (Interseccin, unin ydiferencia de conjuntos). Sean S y Tdos conjuntos. Entonces:

La interseccin de S y T es elconjunto de los elementoscomunes a S y a T. Se denotapor ST.

L a unin de S y T es elconjunto que contiene a los

elementos de S y a los de T. Sedenota por ST.

La diferencia de S y T es elconjunto formado por loselementos de S que nopertenecen a T. Se denotacomo S\T.

Ejemplo. Sean los siguientesconjuntos:

A={1,2,3,5,7},

B={2,3,4,6},

C={4,6,8}.

Se verifica que AB={2,3}, yaque tanto 2 como 3 pertenecen a A ya B, y no hay ningn otro elementoque pertenezca a la vez a A y a B.As, 5AB, ya que 5A pero5B. Tambin se tiene que 6AB, ya que 6A pero 6B.Adems, se cumple que AC=,ya que no hay ningn elemento quepertenezca a la vez a A y a C.

Se tiene que:

AB={1,2,3,4,5,6,7},

AC={1,2,3,4,5,6,7,8},

BC={2,3,4,6,8}.

Ejemplo. Sean S={1,2,3,4} y T={2,4,6}. Se tiene que S\T={1,3}, y T\S={6}.

Definicin (Complemento de unconjunto). Dado un conjuntouniversal U y sea S un subconjuntode U, se denomina el complementod e S, y se denota como S, alconjunto formado por aquelloselementos de U que no pertenecen aS.

Ejemplo. Sea el conjunto U={1,2,3,4,5} y sea S={2,3,5}.

Tenemos que S={1,4}.

2.1.3 Particin de unconjunto

Definicin (Conjuntos disjuntos).Dos conjuntos S y T son disjuntossi ST=.

Ejemplo. Sean los conjuntos S={1,2} y T={3,4,5}. S y T sondisjuntos, ya que ST=.

Definicin (Particin de unconjunto). Particin de un conjuntoS es una coleccin de conjuntosS1,S2,,Sn tales que:

ninguno es vaco,

la unin de ellos es S y

cada par de conjuntos Si y Sj,con ij, son disjuntos.

Ejemplo. Sea el conjunto S={1,2,3,4,5,6,7}. Sean los conjuntosS1={1,2,6}, S2={3,4} y S3={5,7}. Se tiene que:

S1, S2 y S3 son distintos de .

S1S2S3=S.

S1S2=, S1S3= y S2

S3=.

Por tanto, S1, S2 y S3 constituyenuna particin de S.

2.2 Representacingrfica de conjuntos

Definicin (Diagrama de Venn). Undiagrama de Venn es unarepresentacin que sirve paravisualizar varios conjuntos y susinteracciones relativas a inclusin einterseccin. Cada conjunto S serepresenta mediante un recinto, quees una lnea cerrada generalmentecon forma de crculo. El recinto delconjunto universal se representarmediante un rectngulo. Cadaregin cerrada representa lainterseccin de los conjuntos cuyos

recintos la delimitan.

Ejemplo. Sea el conjunto universalU, y sean los conjuntos S y T. Undiagrama de Venn para U, S y Taparece en la siguiente figura. Elrecinto relleno con color violetacorresponde a ST, ya quecorresponde a una regin encerradapor el recinto de S y el de T.

Ejemplo. Sean los mismosconjuntos del ejemplo anterior. Elrecinto coloreado del diagrama deVenn de la siguiente figuracorresponde a ST, ya queabarca el recinto de S y el de T.

Ejemplo. Sea el conjunto universalU, y sea el conjunto S. El recintocoloreado de la siguiente figuracorresponde a S, ya que aparececoloreado todo el recinto de Uexcepto el recinto que abarca S.

En los ejemplos anteriores cadaconjunto aparece indicado con sunombre (S, T, etc.). No obstante,tambin es muy frecuenterepresentar los elementos de cadaconjunto ubicndolos en la regin

correspondiente. Veamos unejemplo sobre esto.

Ejemplo. Sean los conjuntos S={1,2,3,4} y T={2,4,6}. Sea elconjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Un diagrama de Vennpara representar S, T y U vienedado en la siguiente figura. Hemosrepresentado con color violeta lasletras de los conjuntos. Loselementos de cada conjuntoaparecen en negro. Podemoscomprobar en el diagrama de Vennque ST={2,4} y (ST)={5,7,8,9}. A la izquierda de STtenemos un recinto con los

elementos 1 y 3 que corresponde aS\T. De la misma forma, a laderecha de ST tenemos el recintode T\S={6}.

2.3 Propiedades bsicasy precedencia entreoperadores

2.3.1 Propiedades bsicas

Las principales propiedadesbsicas que se deducen a partir delas definiciones de las operacionessobre conjuntos se muestran acontinuacin. Las letras A, B y Cindican conjuntos cualesquiera, y Urepresenta el conjunto universal.

2.3.1.1 Asociativa

(AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)

2.3.1.2 Conmutativa

AB=BA

AB=BA

2.3.1.3 Distributiva

A(BC)=(AB)(AC)

A(BC)=(AB)(AC)

2.3.1.4 Idempotencia

AA=A

AA=A

2.3.1.5 Absorcin

A(AB)=A

A(AB)=A

2.3.1.6 De De Morgan

(AB)=AB

(AB)=AB

2.3.1.7 Doble Complementacin

(A)=A

2.3.1.8 Identidad

A=A

AU=A

2.3.1.9 Complemento

AA=U

2.3.1.10 Exclusin

AA=

2.3.1.11 Dominacin

AU=U

A=

2.3.1.12 Complementacin delconjunto universal y del conjuntovaco

U=

=U

Las anteriores propiedades se

pueden aplicar en demostracionespara obtener otras igualdades quesean siempre verdaderas. Para ello,basta con sustituir A, B C encualquier propiedad. Veamos estocon un ejemplo.

Ejemplo. Sean S, T y V tresconjuntos. La propiedadconmutativa establece que AB=BA. Podemos sustituir A porS\T y B por V en dicha igualdadcon lo que obtenemos que (S\T)V=V(S\T).

Las sustituciones que se realicen enlas propiedades anteriores se deben

hacer de forma simultnea en todaslas apariciones de las variables asustituir. Veamos un ejemplo paraentender qu sucede si no lohacemos as.

Ejemplo. Consideremos lapropiedad conmutativa, que afirmaq ue AB=BA. Supongamosque queremos sustituir en dichaigualdad la letra B por AC, y laletra A por D, para obtener otraigualdad que siempre seaverdadera. Si comenzamossustituyendo la primera aparicinde B en la igualdad tendramos que:A(AC)=BA.

Si ahora pasramos a sustituir A porD en todas las aparicionestendramos que D(DC)=BD.Podramos terminar sustituyendo Bpor AC en la nica aparicin quequeda, por lo que obtendramos D(DC)=(AC)D,que podramos simplificaraplicando la propiedad deabsorcin en el lado izquierdo de laigualdad y nos quedara D=(AC)D, que no es una frmulaque sea siempre verdadera paracualesquier conjuntos A, C y D. Elmotivo de haber llegado a estepunto es que no hemos aplicado

correctamente la sustitucin, puesno la hemos realizadosimultneamente en la igualdad departida.Si aplicamos correctamente lasustitucin de partida entoncesobtendramos la siguiente igualdad:D(AC)=(AC)D,que s es una frmula verdaderapara cualesquier conjuntos A, C yD.

2.3.2 Precedencia entreoperadores: Eliminacin deparntesis

Como consecuencia de la

propiedad asociativa, se tiene que (AB)C=A(BC)para 3 conjuntos cualesquiera A, By C. En ese caso es frecuenteescribir ABC pues no hayambigedad acerca de quoperacin de unin se aplicaprimero ya que por la propiedadasociativa el resultado sera elmismo en cualquier caso. El mismorazonamiento se podra hacer parael caso de que se tuvieran ms de 3conjuntos; por ejemplo, tampocohabra ambigedad en la expresinABCD. De igual manerapodramos razonar si todos losoperadores que interviniesen fueran

de interseccin, pues aplicaramosla propiedad asociativa (AB)C=A(BC)y podramos escribir simplementeABC.

Es frecuente suprimir parntesiscuando se expresan operacionesentre conjuntos. Ello se puede hacersi no hay ambigedad gracias aque:

los dos parntesis msexteriores de una frmula sepueden suprimir siempre, porlo que si nuestra frmula es (AB) basta con que la

escribamos como AB;

en cuanto a los parntesisinteriores de la frmula,podremos suprimirlos si:

estamos aplicando lapropiedad asociativa taly como hemos explicadoms arriba, y/o

hacemos uso de laprecedencia entre los 4operadores de conjuntos(unin, interseccin,diferencia ycomplemento), como

vamos a ver acontinuacin.

El convenio de precedencia entreoperadores que vamos a seguirestablece que el operador conmayor orden de precedencia es elcomplemento (), y le siguen losotros tres operadores (, y \)con igual orden de precedencia. Eloperador de mayor precedencia seaplicar antes y por tanto colocarantes los parntesis en presencia deotros operadores. Veamos unejemplo sobre ello.

Ejemplo. Sean A, B, C, D, E y F

seis conjuntos. Supongamos quetenemos la expresin ((A((B)(C\D)))E)F.Podemos suprimir parntesis, yescribirla como A(B(C\D))EF.A pesar de haber eliminadoparntesis, no presenta ambigedady es equivalente a ((A((B)(C\D)))E)F.

En cambio, veamos ahora unejemplo donde tenemos unaexpresin que, por falta deparntesis, presenta ambigedad.

Ejemplo. Sean A, B y C tresconjuntos. Sea la expresin ABC. Los operadores y tienen igual orden de precedencia,por lo que no podemos determinarsi se trata de la expresin A(BC) o de (AB)C. Dado queestas dos expresiones no sonequivalentes para cualesquieraconjuntos A, B y C entoncesdecimos que la expresin departida presenta ambigedad.

A partir de ahora siempre queescribamos expresiones sobreconjuntos han de carecer deambigedad.

2.4 Tuplas y conjuntopotencia

2.4.1 Tuplas y productocartesiano

Definicin (Secuencia). Unasecuencia es una lista de objetos enla que el orden tiene importancia.

Una secuencia se suele especificarutilizando parntesis ( y ), [ y ].

Ejemplo. La secuencia (1,a) esdiferente de la secuencia (a,1).

Definicin (Tupla). Sea lasecuencia de n conjuntos (S1,S2,,Sn). Una tupla, o n-tupla, es unasecuencia (s1,s2,,sn) donde cadasiSi, siendo 1in.

Ejemplo. Sea la secuencia deconjuntos S=(S1,S2) donde:

S1={a,b,c},

S2={1,2}.

La secuencia (b,1) es una 2-tuplade S. (a,2) es otra 2-tupla de S. Encambio, (2,a) no es una 2-tupla de

S ya que 2S1 (y aS2); se veas cmo el orden de los conjuntose n S tiene importancia. Tampocoseran 2-tuplas de S las secuencias(a,b) (a,2,c).

Definicin (Producto cartesiano).E l producto cartesiano de losconjuntos de la secuencia S=(S1,S2,,Sn), con n>1, es elconjunto de todas las posibles n-tuplas de S. Se denota como S1S2Sn.

Ejemplo. Sea la secuencia deconjuntos del ejemplo anterior. El

producto cartesiano de S1 y S2 es S1S2={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}.El producto cartesiano de dosconjuntos se puede visualizar muybien representando en una matriztodas las tuplas posibles. As, en lasiguiente figura se ve como, dentrodel rectngulo, cada filacorresponde a un elemento de S1 ycada columna a un elemento de S2.

Ejemplo. Sea la secuencia deconjuntos (S1,S2,S3) donde S1={1,2}, S2={3,4} y S3={a,b}. El

producto cartesiano de S1, S2 y S3es S1S2S3={(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b)}.

Definicin (Sucesin finita). Sea Sun conjunto. Una sucesin finita deelementos en S es una secuencia(s1,s2,...,sn) en la que cada sipertenece a S. A n se le denominalongitud de la sucesin finita.

Ejemplo. Sea el conjunto S={1,2,3}. Un ejemplo de sucesin finitade elementos en S es (1,3,1,2), ysu longitud es 4.

Definicin (Sucesin infinita). SeaS un conjunto. Una sucesininfinita de elementos en S es unasecuencia infinita (que no termina)en la que cada elemento pertenece aS.

Ejemplo. Sea S={1,2,3}. Unejemplo de sucesin infinita deelementos en S es (1,2,3,3,2,1,1,) en la que los puntossuspensivos indican que lasecuencia no termina.

Definicin (Sucesin vaca). Unasucesin vaca es una sucesin delongitud 0. Se representa as: (),

[].

Definicin (Alfabeto). Un alfabetoes un conjunto cuyos elementos sonsmbolos (generalmente letras).

Ejemplo. Algunos ejemplos dealfabetos son S={a,b,c,d}, T={,,,} y V={0,1}.

Definicin (Palabra). Sea unalfabeto S. Una palabra (o cadena)es cualquier sucesin finita deelementos de S.

Una palabra se puede representareliminando los smbolos que ladelimitan ((, ),[ y ]) y las comas

que separan los elementos.Adems, en el caso de que elalfabeto est formado por letras, sepueden usar como delimitadores lossmbolos de comillas dobles ( y).

Ejemplo. Sea el alfabeto S={a,b,c,d}. Un ejemplo de palabraformada a partir de dicho alfabetoes acaba; o expresado con comillasdobles sera acaba. Otra ejemplode palabra es acabada.

Definicin (Concatenacin depalabras). Sean dos palabras w1 yw2 formadas a partir de un mismo

alfabeto. La concatenacin de w1 yw2 es la palabra formada por todoslos elementos de w1 seguidos detodos los elementos de w2. Sedenota como w1w2.

Ejemplo. Sean las palabras w1=abda y w2=cddbab. Laconcatenacin de w1 y w2 es w1w2=abdacddbab.

Esperamos que el lector sepadistinguir a partir del contexto cules el significado del smbolo ,que aqu representa laconcatenacin de palabras, pero

que tambin se puede usar paraindicar el producto de nmeros.

2.4.2 Conjunto potencia

Definicin (Conjunto potencia).Sea un conjunto S. El conjuntopotencia o de las partes de S estformado por todos los subconjuntosde S. Se denota por P(S) 2S.

Ejemplo. Sea el conjunto S={1,2,3}. El conjunto potencia de S es P(S)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Proposicin. Dado un conjunto S,

se tiene que P(S) y SP(S).

Teorema. Sea un conjunto finito S.El cardinal de P(S) es 2S.

Ejemplo. Considrese el conjunto Sdel ejemplo anterior. El cardinal deP(S) es P(S)=2S=23=8.

2.4.3 Tipos y signatura

Definicin (Variable). Variable esun smbolo que puede tomar comovalor cualquier elemento de unconjunto S. En este caso decimosque el tipo de la variable es S.

Ejemplo. Algunos ejemplos devariables son x, y y temperatura.Los tipos de cada variable podranser los conjuntos {1,2}, {3,4} y{Alta,Baja} respectivamente.

Definicin (Declaracin). Sea unavariable v y sea T su tipo. Lacadena v:T es la declaracin osignatura de v.

Ejemplo. Sea x una variable y seael conjunto {1,2} el tipo de x. Ladeclaracin de x se expresa comox:{1,2}.

Las signaturas se suelen utilizar

mucho en cursos de fundamentos deprogramacin, pues sirven paraindicar qu valores posibles puedetomar una variable. Tambin esmuy frecuente construir tipos apartir de otros mediante lautilizacin de operaciones entreconjuntos; as, por ejemplo, eshabitual que las estructuras de datoscomplejas tengan como tipo elproducto cartesiano de variosconjuntos.

2.5 Conjuntos notables

Vamos a ver varios conjuntos queson muy importantes por ser muyutilizados en la declaracin devariables en programacin, y en laconstruccin de otros tipos a partirde ellos.

Definicin (Conjunto booleano yvalor booleano). El conjuntobooleano est formado por doselementos: Verdadero y Falso. Sedenota como B. Cada elemento deB es un valor booleano.

Se pueden encontrar formas

alternativas de nombrar loselementos del conjunto booleano.En ingls, lo habitual es que B={True,False}. En un dominio dondese emplee terminologa de laLgica lo habitual es que los doselementos B sean top, denotado poruna letra similar a una , y bottom,denotado por el smbolo de topi nver ti do ; top corresponde aVerdadero, y bottom a Falso.

Definicin (Conjunto de bits).Conjunto de bits es el conjuntoformado por los elementos 0 y 1.Cada elemento de este conjunto esun bit.

El conjunto de bits tiene una granimportancia en computacin. Sesuele confundir a veces con elconjunto booleano, hasta el puntode que se suele asociar el valor 1con Verdadero y el 0 con Falso. Noobstante, el conjunto de bits sesuele emplear en el campo de laElectrnica Digital, mientras que elconjunto booleano se utilizageneralmente en el rea deFundamentos de Programacin yLgica Computacional.

Definicin (Conjunto decaracteres). Un conjunto decaracteres o juego de caracteres

est formado por smbolos quepueden ser reconocidos por unprograma informtico u ordenador.Cada elemento de este conjunto esun carcter.

Ejemplo. El lenguaje Java permitedeclarar variables cuyo tipo es unconjunto de caracteres que contienesmbolos utilizados en mltiplesidiomas. Algunos de los elementosde ese conjunto son las letras delabecedario, los dgitos decimales ysmbolos de puntuacin.

Ejemplo. Un conjunto de caracteresmuy utilizado en Informtica y

aceptado como estndar a nivelmundial es el Unicode.

Definicin (Conjunto de losnmeros enteros). Un nmeroentero es un elemento del conjuntoinfinito de nmeros {,3,2,1,0,1,2,3,}. El conjunto detodos los nmeros enteros sedenota por Z.

Ejemplo. Los nmeros 23478 y 102934 son nmeros enteros. Encambio, los nmeros 1.5 y 2.3no son nmeros enteros.

Definicin (Conjunto de los

nmeros naturales). Un nmeronatural es un nmero enteropositivo (mayor que cero). Elconjunto de todos los nmerosnaturales se denota por N.

A partir de la definicin anterior estrivial ver que N es un subconjuntopropio de Z.

Ejemplo. Los nmeros 940567 y 12son nmeros naturales. En cambio17.4 y 3 no son nmerosnaturales.

No hay un acuerdo total en lacomunidad matemtica acerca de si

el nmero 0 debe considerarse o noun nmero natural. Sin embargo, enla definicin anterior hemosestablecido el criterio que seconsidera en esta asignatura: que eln me r o 0 no es un nmeronatural. ste es el criterio msgeneralizado en la comunidadmatemtica hoy en da.

Definicin (Conjunto de losnmeros racionales). Nmeroracional es un nmero que puedeexpresarse de la forma p/q, dondep y q son nmeros enteros y q0.E l conjunto de todos los nmerosracionales se denota por Q.

Ejemplo. Los nmeros 0, 2/3 y128 son nmeros racionales. Encambio, 5/0 y la raz cuadrada de2 no son nmeros racionales. Noobstante, la raz cuadrada de 9 s esracional y su valor es 3.

Ejemplo. Todos los nmerosdecimales peridicos (aqulloscuya parte decimal se repite) sonracionales. Por ejemplo, 4.3333es racional, ya que se puedeexpresar como 13/3.

Proposicin. El conjunto de losnmeros enteros, Z, es unsubconjunto del conjunto de los

nmeros racionales, Q.

Definicin (Conjunto de losnmeros reales). Nmero real escualquier nmero que se puederepresentar en una recta en la quese ha establecido una escala y se hamarcado la posicin del nmero 0.E l conjunto de todos los nmerosreales se denota por R.

Ejemplo. Los nmeros 0, 2/3,128, la raz cuadrada de 2 y sonnmeros reales. En cambio, no sonnmeros reales 5/0 ni la razcuadrada de 1.

Los nmeros reales son usadoshabitualmente para expresarcantidades de nuestra vida diariacomo por ejemplo temperatura,distancias, dinero, etc.

Definicin (Conjunto de losnmeros irracionales). Nmeroirracional es un nmero real que noes racional. El conjunto de todoslos nmeros irracionales se denotapor I.

Ejemplo. La raz cuadrada de 2 y elnmero son nmeros irracionales.En cambio, 0, 2/3 y la razcuadrada de 9 no son nmeros

irracionales.

Los nmeros que no son reales seutilizan en reas especficas de lasMatemticas y su estudio se escapaa los objetivos de este libro.

Ejemplo. Tanto N, Z, Q, I como Rson conjuntos infinitos y lacardinalidad de algunos de estosconjuntos se estudiar ms adelantecuando se trate el tema defunciones.

3 Relaciones

Resumen

Este captulo trata los conceptosesenciales de las relaciones. Sepresentan los fundamentos bsicosde las relaciones y sus operaciones.Se muestran las distintas formas derepresentacin de relaciones. Seexplican las propiedades msimportantes que puede satisfaceruna relacin. Finalmente, se tratanlas relaciones de orden.

3.1 Relaciones yoperaciones

3.1.1 Conceptos bsicos derelaciones

Definicin (Relacin y aridad). Sean un nmero natural. Una relacindeo definida enlos conjuntosS1,S2,,Sn1 y Sn es unsubconjunto de S1S2Sn1Sn. La aridad de la relacin esn.

Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={a,b,c,d}. El

conj unto R={(1,a),(2,c),(2,d)}es una relacin de A y B; su aridades 2. En cambio, {(b,1)} no es unarelacin de A y B, ya que (b,1)AB.

Definicin (Relacin binaria). SeaR una relacin de aridad 2 definidaen la secuencia de conjuntos (A,B).Decimos que R es una relacinbinaria (de A en B), o simplementeR es una relacin de A en B.

Ejemplo. La relacin R delejemplo anterior es una relacinbinaria.

Definicin (Relacin ternaria). Unarelacin ternaria es una relacinde aridad 3.

Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2}, B={a,b,c} y C={x,y}.El conjunto R={(2,a,x),(2,b,x),(1,a,y)} es una relacin de A, B yC. Su aridad es 3; por tanto, R esuna relacin ternaria. En cambio{(2,a)} no es una relacin de A, By C, ya que se trata de un conjuntocon una tupla de longitud 2.Tampoco lo es el conjunto{(b,a,x)}, ya que se tiene que elprimer elemento de la tupla (b,a,x)(el elemento b) no pertenece a A.

Definicin (Relacin universal yrelacin vaca). Sea la secuencia deconjuntos (S1,S2,,Sn). Entonces:

l a relacin universal enS1,S2,,Sn1 y Sn contienetodas las tuplas de S1S2Sn.

l a relacin vaca en S1,S2,,Sn1 y Sn no contieneninguna tupla.

Ejemplo. Considrense lossiguientes conjuntos:

A={1,2,3}

B={a,b,c,d}

La relacin universal en A y B es {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(3,a),(3,b),(3,c),(3,d)}.

La relacin vaca de A y B es unconjunto que no contiene tuplas: elconjunto vaco ().

3.1.2 Operaciones sobrerelaciones

Definicin (Unin, conjuncin o

interseccin y diferencia de dosrelaciones). Sean R1 y R2 dosrelaciones definidas en losconjuntos S1,S2,,Sn1 y Sn.Entonces:

l a relacin unin de R1 y R2es la unin de todas las tuplasde R1 y de R2. Se denota comoR1R2.

l a relacin conjuncin ointerseccin de R1 y R2 estformada por las tuplascomunes a R1 y R2. Se denotacomo R1R2.

la relacin diferencia de R1 yR2 est formada por las tuplasde R1 que no pertenecen a R2.Se denota como R1\R2.

Ejemplo. Sean los siguientesconjuntos:

A={1,2,3}

B={a,b,c,d}

Sean las siguientes relaciones en Ay B:

R1={(1,b),(2,c)}

R2={(1,c),(2,b),(2,c),(3,a),(3,d)}

Se tiene que la relacin unin de R1y R2 es: R1R2={(1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,a),(3,d)}.Se puede comprobar que, portratarse de la unin de conjuntos, latupla (2,c), que pertenece a R1 y aR2, slo aparece una vez en R1R2.

La relacin conjuncin ointerseccin de R1 y R2 es: R1R2={(2,c)}.

La relacin diferencia de R1 y R2es: R1\R2={(1,b)}.

Definicin (Complemento de unarelacin). Sea una relacin Rdefinida en los conjuntos S1,S2,,Sn1 y Sn. La relacincomplemento o complementaria deR est formada por todas las tuplasd e S1S2Sn que nopertenecen a R. Se denota como R.

Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={a,b}. Sea la

relacin R de A en B dada por R={(1,a),(2,a),(2,b)}. Se tiene que: AB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}.Entonces, R es el conjunto de lastuplas de AB que no pertenecen aR, esto es, R={(1,b),(3,a),(3,b)}.

Definicin (Contener a unarelacin). Sean dos relaciones R yR definidas en los conjuntos S1,S2,,Sn1 y Sn. R contiene a R sitodas las tuplas de R pertenecen aR.

Ejemplo. Sean los conjuntos A y B

y la relacin R del ejemploanterior. Sea la relacin R de A enB dada por R={(1,a),(2,b)}. Sepuede comprobar que las dos tuplasd e R pertenecen tambin a R. Portanto, R contiene a R.

Proposicin. Sea R cualquierrelacin. Se cumple que:

R contiene a la relacin vacay

la relacin universal contienea R.

Definicin (Relaciones iguales).Sean R y S dos relaciones. R y S

son iguales si R contiene a S y Scontiene a R. Se denota por R=S.

Ejemplo. Sean R y S dos relacionesdefinidas en X={1,2} y {a,b,c}dadas por R={(1,a),(2,b)} y S={(2,b),(1,a)}. R y S son iguales,denotado por R=S.

Es trivial ver que, dadas dosrelaciones R y S, si R=S entoncesS=R.

3.2 Relaciones binarias

3.2.1 Dominio y rango

Definicin (Dominio de unarelacin binaria). Sea R unarelacin binaria de X en Y. Eldominio d e R es el conjunto detodos los elementos xX talesque para algn yY se cumpleq ue (x,y)R. Se denota comodom(R).

Ejemplo. Sean los conjuntos X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea larelacin R de X en Y dada por R={(1,a),(1,b),(2,d)}. Para el

elemento 1X se cumple que hayal menos una tupla (1,y)R, conyY; en concreto tenemos dostuplas: (1,a) y (1,b). Para 2Xtenemos una tupla (2,y)R;concretamente aparece la tupla(2,d). Por tanto, el dominio de larelacin R es dom(R)={1,2}.

Definicin (Espacio de dominio deuna relacin binaria). Sea R unarelacin binaria de X en Y. Elespacio de dominio d e R es elconjunto X.

Es trivial ver que el dominio de unarelacin binaria es siempre un

subconjunto de su espacio dedominio.

Ejemplo. Consideremos la relacindel ejemplo anterior. El espacio dedominio de R es el conjunto X={1,2,3}. Se puede comprobarc o m o dom(R)={1,2} es unsubconjunto del espacio dedominio.

Definicin (Rango de una relacinbinaria). Sea R una relacin binariade X en Y. Se denomina rango de Ral conjunto de todos los elementosyY tales que para algn xXse cumple que (x,y)R. Se

denota como ran(R).

Ejemplo. Sea la relacin R delejemplo visto al comienzo de estaseccin. Para el elemento aY secumple que hay una tupla (x,a)R, con xX; en concretotenemos (1,a). Para el elemento bY existe una tupla (x,b);concretamente tenemos (1,b).Igualmente, para dY tenemos(2,d). En cambio, para el elementoc no hay ninguna tupla (x,c). Portanto, el rango de R es ran(R)={a,b,d}.

Definicin (Espacio de rango de

una relacin binaria). Sea R unarelacin binaria de X en Y. Elespacio de rango d e R es elconjunto Y.

Es trivial ver que el rango de unarelacin binaria es siempre unsubconjunto de su espacio de rango.

Ejemplo. Sea la relacin R delejemplo visto al comienzo de estaseccin. El espacio de rango de Res Y={a,b,c,d}.

3.2.2 Operaciones especiales

Definicin (Relacin inversa). Sea

una relacin R de X en Y. Larelacin inversa de R, denotadapor R1, es la relacin de Y en Xque para todo xX e yY secumple que (y,x)R1 si y slosi (x,y)R.

De manera muy informal podemosdecir que la relacin inversabsicamente toma cada tupla de larelacin R y da la vuelta a susdos elementos: el primer elementode la tupla pasa a ser el segundo yviceversa. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Sean los conjuntos X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la

relacin R de X en Y dada por R={(1,a),(1,b),(2,d)}. La relacininversa de R es R1={(a,1),(b,1),(d,2)}.

Definicin (Composicin de dosrelaciones). Sea R una relacin deX en Y y sea S una relacin de Y enZ. La composicin de R y S es larelacin de X en Z formada por elconjunto de pares (x,z), siendo xX y zZ, para los que existealgn yY tal que (x,y)R e(y,z)S.

Ejemplo. Sean los conjuntos X={1,2,3}, Y={a,b,c,d} y Z=

{t,u,v,w}. Sea la relacin de X enY dada por R={(1,a),(1,b),(2,c),(3,a)}. Sea la relacin de Ye n Z dada por S={(b,t),(b,w),(c,v),(d,u)}. La composicin de Ry S es la relacin T={(1,t),(1,w),(2,v)}. Por ejemplo, dadoq u e (1,b)R y (b,t)S,entonces se tiene que (1,t)T.Adems, como (2,c)R y (c,v)S, entonces (2,v)T.Igualmente, como (1,b)R y(b,w)S, entonces (1,w)T.

Definicin (Relacin en unconjunto). Sea X un conjunto. Unarelacin (definida) en X es una

relacin de X en X.

Ejemplo. Sea X={1,2,3}. Setiene que R={(1,2),(3,1),(3,2)}es una relacin en X.

Definicin (Relacin identidad). Larelacin de identidad sobre X es larelacin en X formada por todos losp a r e s (x,x), siendo xX. Sedenota IX.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. La relacin de identidadsobre X es IX={(1,1),(2,2),(3,3)}.

3.3 Representacin derelaciones

Las relaciones se describen porintensin o por extensin, al igualque cualquier conjunto. En el casode que sean descritas por extensin,constan de una lista de pares. Sinembargo, la descripcin de unarelacin mediante una lista detuplas no es muy visual ya que noayuda a apreciar con facilidadalgunas propiedades de lasrelaciones. Es por ello que existendos tipos principales de formas derepresentacin de relaciones

binarias que son muy utilizadas: lasmatrices y los grafos dirigidos. Noobstante, slo se utilizan si losespacios de dominio y de rango sonfinitos.

3.3.1 Matriz de una relacin

Definicin (Matriz de unarelacin). Sean los conjuntos finitosX={x1,x2,...,xm} e Y={y1,y2,...,yn}. Sea R una relacinde X en Y. La matriz de R tiene mfilas y n columnas y cumple que elelemento de la fila i y columna j es1 si (xi,yj)R, y es 0 en otro

caso. La matriz de R se denota porMR,

Ejemplo. Sean los conjuntos X={3,7,9} e Y={b,c,d,e}, y lar e l a c i n R={(3,c),(7,b),(9,c),(9,d)}. Siguiendo la notacin de ladefinicin anterior se tiene que:

x1=3, x2=7, x3=9,

y1=b, y2=c, y3=d, y4=e.

La matriz MR de la relacin R es laque aparece en la siguiente figura:

Cada fila de la matriz correspondea un elemento de X, y cada columnacorresponde a un elemento de Y.Considrese el elemento de la fila 3y columna 2. Dado que x3=9 e y2=c, dicha casilla corresponde alp a r (9,c). Como (9,c)Rentonces el valor de dicha casillaen la matriz es 1. En cambio, el

elemento de la fila 2 y columna 4toma el valor 0, ya que (x2,y4)=(7,e)R.

3.3.2 Grafo de una relacin

Los grafos constituyen una formamuy visual de representar unarelacin binaria. El tema deTeora de grafos se explicarms adelante en el libro, y en l sever cmo representar una relacinbinaria en un conjunto X medianteun grafo.

No obstante, tambin es frecuentetener una relacin binaria R de un

conjunto X en otro conjunto Y. Enese caso se suele utilizar unarepresentacin grfica que consisteen:

dibujar cada elemento de Xrodeado con un crculo yubicado a un lado en la figura,por ejemplo a la izquierda,

dibujar los elementos de Y alotro lado, por ejemplo a laderecha, y

trazar una flecha desde unelemento xX a un elementoyY si y slo si (x,y)R.

Ejemplo. Sean X={1,2,3,4} e Y={a,b,c,d}. La siguiente figuramuestra la relacin de X en Y dadapor R={(1,b),(1,c),(2,a),(4,b)}.

Adems, existen distintasmodalidades de la anteriorrepresentacin grfica. Porejemplo, se pueden rodear loselementos de cada conjunto con unalnea curva cerrada, con lo que nosera necesario dibujar el crculopequeo de cada nodo, sinosimplemente el nombre delelemento. Cuando se vea la seccinde conceptos avanzados deconjuntos se ver un ejemplo deesta representacin.

3.4 Propiedades de lasrelaciones

3.4.1 Propiedades msimportantes de lasrelaciones

Vamos a centrarnos ahora en lasrelaciones sobre un conjunto yvamos a estudiar las distintaspropiedades que pueden verificar.

Definicin (Propiedad reflexiva).Sea R una relacin en X. R cumplela propiedad (o es) reflexiva, sipara todo xX se cumple que

(x,x)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. La relacin R en X dada porR={(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(3,3)} es reflexiva, ya que se tiene quelos pares (1,1), (2,2) y (3,3)pertenecen a R. En cambio, lar e l a c i n S={(1,2),(2,2),(3,1),(3,3)} no es reflexiva, ya que elpar (1,1)S.

Definicin (Propiedad simtrica).Sea R una relacin en X. R cumplela propiedad (o es) simtrica, sipara todo par (u,v)R se cumpleque (v,u)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. Sea la siguiente relacin: R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}.R es simtrica. As, por ejemplo, sitomamos el par (1,2)R,entonces podemos comprobar que(2,1)R; de la misma formapodramos realizar lacomprobacin para cualquier otropar de R. En cambio, la relacin S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3)} no essimtrica, ya que el par (2,3)S,pero (3,2)S.

Definicin (Propiedad transitiva).Sea R una relacin en X. R cumple

la propiedad (o es) transitiva sisiempre que (u,v)R y (v,w)R se cumple que (u,w)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3,4}. Sea la siguiente relacin: R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4),(4,4)}.R es transitiva. Se puede ver, porejemplo, que (1,2)R, (2,4)R y (1,4)R. En cambio, larelacin S={(3,2),(2,4)} no estransitiva, ya que (3,2)S y (2,4)S, pero (3,4)S.

Definicin (Propiedadantisimtrica). Sea R una relacin

en X. R cumple la propiedad (o es)antisimtrica si siempre que (u,v)R y (v,u)R se cumple que u=v.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3,4}. Sea la siguiente relacin: R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,4),(4,4)}.R es antisimtrica. En cambio, lar e l a c i n S={(1,1),(1,3),(1,4),(3,1),(3,4),(4,4)} no esantisimtrica, pues se tiene que (1,3) y (3,1) pertenecen a R, pero 13.

Definicin (Propiedad irreflexiva).

Sea R una relacin en X. R cumplel a propiedad (o es) irreflexiva sino existe ningn xX tal que(x,x)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3,4}. La relacin R={(1,3),(1,4),(2,4)} es irreflexiva. Encambio, la relacin S=R{(1,1)} no es irreflexiva. Adems, Stampoco es reflexiva.

3.4.2 Cierres

Definicin (Cierre de una relacinrespecto a una propiedad). Sea Runa relacin en X y sea P una

propiedad de las relacionesbinarias. El cierre de R respecto aP es una relacin R tal que:

1. R contiene a R,

2. R satisface la propiedad P,

3. si otra relacin R cumple lospuntos 1 y 2 anterioresentonces R contiene a R.

De una manera informal ladefinicin anterior expresa el hechode que el cierre de una relacin Rrespecto a una propiedad P es larelacin ms pequea quecontiene a R y que satisface P.

Teorema. Sea R una relacin en Xque satisface una propiedad P. SeaR el cierre de R respecto a P.Entonces R=R.

Definicin (Cierre reflexivo de unarelacin). Sea R una relacin en X.El cierre reflexivo de R es el cierred e R respecto a la propiedadreflexiva.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3} y sea R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,2)}. Se puede comprobar que Rno es reflexiva. En cambio, larelacin R=R{(2,2),(3,3)} s

es reflexiva. Adems, paracualquier relacin R que contengaa R y sea reflexiva se cumple queR contiene a R. Por tanto, R es elcierre reflexivo de R.

Definicin (Cierre simtrico de unarelacin). Sea R una relacin en X.E l cierre simtrico de R es elcierre de R respecto a la propiedadsimtrica.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3} y sea R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)}. Se puede comprobar que Rno es simtrica. En cambio, larelacin R=R{(2,1),(3,2)} s

es simtrica. Adems, paracualquier relacin R que contengaa R y sea simtrica se cumple queR contiene a R. Por tanto, Res elcierre simtrico de R.

Definicin (Cierre transitivo de unarelacin). Sea R una relacin en X.E l cierre transitivo de R es elcierre de R respecto a la propiedadtransitiva.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3} y sea R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)}. Se puede comprobar que Rno es transitiva. El cierre transitivode R es R=R{(1,3)}.

3.4.3 Relaciones deequivalencia

Definicin (Relacin deequivalencia). Sea R una relacine n X. R es una relacin deequivalencia si cumple laspropiedades reflexiva, simtrica ytransitiva.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3,4}. Sea la relacin R en X dadapor: R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}.R cumple las propiedadesreflexiva, simtrica y transitiva. Por

t a nto , R es una relacin deequivalencia.

Ejemplo. Sea Y={1,2}. Sea larelacin S definida en Y dada por S={(1,2)}. S no es relacin deequivalencia ya que no es reflexivani simtrica.

Definicin (Cierre de equivalenciade una relacin). Sea R unarelacin en X. El cierre deequivalencia de R es el cierre de Rrespecto a la propiedad serrelacin de equivalencia.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,

2,3}. Sea la relacin R={(1,1),(2,1),(3,3)}. R no es una relacinde equivalencia. Su cierre deequivalencia es R=R{(2,2),(1,2)}.

Definicin (Clase de equivalencia).Sea R una relacin de equivalenciasobre X. Sea xX. La clase deequivalencia asociada a x en R esel conjunto de los elementos yXtales que (x,y)R. Se denota por[x].

Ejemplo. Sea el conjunto X y larelacin R del primer ejemplo deesta subseccin. Se vio que R es

una relacin de equivalencia. Laclase de equivalencia asociada alelemento 1 en R es [1]={1,3}.

Teorema. Sea R una relacin deequivalencia en X. Sean yX yzX. Si (y,z)R entonces [y]=[z].

Ejemplo. Sea el conjunto X y larelacin R del primer ejemplo deesta subseccin. Se cumple que [1]=[3], y que [2]=[4].

Proposicin. Sea R una relacin deequivalencia sobre X. La coleccinformada por todas las clases de

equivalencia en R constituye unaparticin de X.

Ejemplo. En el ejemplo anterior sevio que [1]=[3] y [2]=[4]. Portanto, hay dos clases deequivalencia en X, que son

[1]=[3]={1,3} y

[2]=[4]={2,4}.

Se puede comprobar que dichosdos conjuntos, {1,3} y {2,4},constituyen una particin de X.

Definicin (Conjunto cociente). SeaR una relacin de equivalencia

sobre X. El conjunto cociente de Xsegn R est formado por todas lasclases de equivalencia en R.

Ejemplo. Sean el conjunto X y larelacin R del ejemplo anterior. Elconjunto cociente de X segn R es{{1,3},{2,4}}.

3.5 Relaciones de orden

Definicin (Orden parcial u ordenparcial dbil). Sea R una relacinsobre X. R es un orden parcialdbil, o simplemente ordenparcial, si es reflexiva,antisimtrica y transitiva.

Definicin (Conjunto parcialmenteordenado). Sea X un conjunto. X esu n conjunto parcialmenteordenado si existe un orden parcialdbil para X. Las siglas paradenotarlo son cpo.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,

2,3}. La relacin sobre X dada porR={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} es un orden parcial. Portanto, X es un cpo.

Ejemplo. Sea la relacin R sermenor o igual que definida sobreel conjunto de los nmeros enteros.Es decir, dados x e y dos nmerosenteros, (x,y)R si y slo si x esmenor o igual que y. Por ejemplo,(2,5)R ya que 2 es menor oigual que 5. Tambin se tiene que (4,4)R. En cambio (3,2)R. Se puede comprobar que Rreflexiva, antisimtrica y transitiva.Por tanto, R es un orden parcial

para el conjunto de los nmerosenteros, y ste es un cpo.

Definicin (Orden estricto). Sea Runa relacin sobre X. R es un ordenestricto si es irreflexiva ytransitiva.

Teorema. Todo orden estrictocumple la propiedad antisimtrica.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. La relacin sobre X dada porR={(1,2),(1,3),(2,3)} es unorden estricto, ya que es irreflexivay transitiva (y antisimtrica).

Ejemplo. Sea la relacin R ser

menor que definida sobre elconjunto de los nmeros enteros. Esdecir, dados x e y dos nmerosenteros, (x,y)R si y slo si x esmenor que y. Por ejemplo, (2,5)R ya que 2 es menor 5. Encambio, (4,4)R y (3,2)R. Se puede comprobar que Rirreflexiva y transitiva (y tambinantisimtrica). Por tanto, R es unorden estricto para el conjunto delos nmeros enteros.

Definicin (Orden estricto inducidopor un orden parcial). Sea el ordenparcial R para el conjunto X. Ordenestricto inducido por R sobre X es

la relacin R=R\IX.

Se puede ver fcilmente la pruebade que, de acuerdo a la definicinanterior, R=R\IX es una relacinde orden estricto. As, si R es unarelacin de orden parcial sobre Xentonces verifica las propiedadesreflexiva, antisimtrica y transitiva.Por tanto, al hacer la diferencia deR con la relacin identidad sobre X,IX, la relacin obtenida esirreflexiva, antisimtrica ytransitiva, y por tanto cumple laspropiedades de orden estricto.

Ejemplo. Sea el conjunto de los

nmeros naturales con la relacinde orden parcial R ser menor oigual que. El orden estrictoinducido por R es la relacin R=R\IX, que corresponde a larelacin ser menor que. Se puedecomprobar que cumple laspropiedades de un orden estricto.

Definicin (Orden total o lineal).Sea R un orden parcial sobre X. Res un orden total u orden lineal sipara cualesquiera dos elementos y yz de X se cumple que (y,z)R (z,y)R.

Definicin (Conjunto totalmente

ordenado). Sea un orden total Rpara X. Entonces se dice que X esun conjunto totalmente ordenado olinealmente ordenado.

Ejemplo. Anteriormente vimos quela relacin R ser menor o igualque definida sobre el conjunto delos nmeros enteros es un ordenparcial. Dado que paracualesquiera x e y nmeros enterosse cumple que x es menor o igualque y o viceversa, entonces R es unorden total. Por tanto, el conjuntode los nmeros enteros es unconjunto totalmente ordenado.

Ejemplo. Sea X={1,2,3,4}. Larelacin R sobre X dada por R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(3,4),(4,4)} es un orden parcial, pero no esun orden total, ya que, por ejemplo,ni (1,3) ni (3,1) pertenecen a R.

3.5.1 Conceptos asociados aorden parcial

Definicin (Cota superior y cotainferior). Sea el orden parcial Rp a r a X. Sean yX y zX.Entonces:

z es una cota superior de y si(y,z)R.

z es una cota inferior d e y si(z,y)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. Sea la relacin de ordenparcial sobre X dada por R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}.El elemento 1 es una cota inferiordel elemento 3; el 2 y el 3 tambinson cotas inferiores de 3. Elelemento 3 es una cota superior de1; el 1 el 2 tambin son cotassuperiores de 1.

Definicin (Elemento maximal yelemento minimal). Sea el ordenparcial R para X. Sea R el orden

estricto inducido por R sobre X.Sea zX. Entonces

z es un elemento maximal sino existe ningn yX tal que(z,y)R.

z es un elemento minimal si noexiste ningn yX tal que(y,z)R.

Ejemplo. Sean el conjunto X y larelacin R de orden parcial delejercicio anterior. El 1 es unelemento minimal y el 3 es unelemento maximal.

Ejemplo. Sea el conjunto de los

nmeros naturales con la relacinde orden parcial R ser menor oigual que. El orden estrictoinducido por R es R=R\IX, quees la relacin ser menor que. Elelemento 1 es un elemento minimal,ya que no hay ningn nmeronatural que sea menor que 1.

Definicin (Conjunto parcialmenteordenado bien fundado). Sea R unorden parcial para X. X es un cpobien fundado si todo subconjuntode X distinto de tiene un elementominimal.

Teorema. Sea el orden parcial R

para el conjunto finito X. X tiene unelemento maximal y un elementominimal.

Proposicin. Sea el orden parcial Rpara el conjunto finito X. X es uncpo bien fundado.

Ejemplo. Cualquier orden parcialde los vistos en este tema que sehayan basado en un conjunto finitoes un ejemplo de cpo bien fundado.

Ejemplo. El conjunto de losnmeros naturales con la relacinde orden parcial ser menor o igualque es un cpo bien fundado.

Ejemplo. El conjunto de losnmeros enteros con la relacin deorden parcial ser menor o igualque no es un cpo bien fundado, yaque existe algn subconjunto de Zque no tiene elemento minimal. Porejemplo, si tomamos el conjuntoformado por los enteros pares(mltiplos de 2) con la relacin deorden parcial ser menor o igualque podemos comprobar quedicho conjunto no tiene elementominimal.

Definicin (Elemento mximo yelemento mnimo). Sea el ordenparcial R para X. Sea zX.

Entonces:

z es un elemento mximo de Xsegn R si para todo yX secumple que (y,z)R.

z es un elemento mnimo de Xsegn R si para todo yX secumple que (z,y)R.

Es trivial comprobar que todoelemento mximo es maximal, y quetodo elemento mnimo es minimal.

Teorema. Sea el orden parcial Rpara el conjunto X. Entonces:

Si existe un elemento mximo

d e X segn R entonces esnico.

Si existe un elemento mnimod e X segn R entonces esnico.

Ejemplo. El conjunto de losnmeros naturales con la relacinde orden parcial ser menor o igualque es un orden parcial cuyoelemento mnimo es el 1.

Ejemplo. Sea el conjunto de losnmeros naturales. Sea la relacinR tal que, dados dos nmerosnaturales x e y, (x,y)R si y slo

si x es menor o igual que y e (yx)es mltiplo de 2. R es una relacinde orden parcial. Existen doselementos minimales: el 1 y el 2.Sin embargo, no existe ningnelemento mnimo, ya que (1,2)Ry (2,1)R.

Definicin (Orden lexicogrfico).Sea la secuencia de conjuntos(S1,S2,,Sn), tal que cada Si es uncpo con relacin de orden parcialRi. Orden lexicogrfico es larelacin de orden parcial R en S=S1S2Sn tal que, dadoscualesquiera dos elementos x=

(x1,...,xn) e y=(y1,...,yn) de S,(x,y)R si y slo si: i1in,(j1j

(x,y)Ri si y slo si x precede ay en el alfabeto del idioma espaolo castellano. Se puede comprobarque cada Si es un cpo con larelacin Ri. Veamos algn ejemplode relacin entre elementos segnel orden lexicogrfico R para S=S1S2S3. Dados x=(a,c,c) ey=(b,a,a) se tiene que (x,y)R, ya que, segn la notacin dela definicin de ordenlexicogrfico, x1=a, y1=b y(x1,y1)R1. Adems, dados x=(b,a,c) y y=(b,c,a) se tiene que(x,y)R, ya que:

x1=b, y1=b, x1=y1,

x2=a, y2=c, y (x2,y2)R1.

Definicin (Relacin de cobertura).Sea un cpo X con la relacin R. SeaR el orden estricto inducido por Rsobre X. La relacin de coberturade X es una relacin R tal que paratodo xX e yX, (x,y)Rsi y slo si

(x,y)R, y

no existe ningn zX quecumpla que (x,z)R y

(z,y)R.

Ejemplo. Sea el conjunto X={a,b,c,d,e,f}. Sea la relacin R enX dada por: R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,b),(b,f),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,d),(d,f),(e,e),(e,f),(f,f)}.

La relacin R es un orden parcialpara X. El orden estricto inducidopor R es la relacin R dada por R={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,f),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,f),(e,f)}.

La relacin de cobertura para X es: R={(a,b),(a,c),(b,f),(c,d),(c,e),(d,f),(e,f)}.

Teorema. Sea R una relacin deorden parcial sobre X. Sea R larelacin de cobertura sobre X. SeaR el cierre transitivo de RIX.Se cumple que R=R.

De manera informal, segn elteorema anterior, la relacin decobertura R es una reduccin dela relacin original R tal que sicalculamos el cierre transitivo deR y le aadimos la relacin deidentidad entonces obtenemos la

relacin R. Se puede ver que en elejemplo anterior la relacin decobertura R contena 7 tuplas,mientras que la relacin R contena16. Dicha reduccin en el nmerode tuplas permite representargrficamente R mediante un tipoespecial de diagrama, como vamosa ver a continuacin.

Definicin (Diagrama de Hasse).Sea R un orden parcial para X. SeaS la relacin de cobertura para X.El diagrama de Hasse de X es ungrafo en el que:

c a d a xX aparece

representado por un nodo,

para cada xX e yX, si(x,y)S entonces x aparecems abajo que y en eldiagrama y los nodos de x e yestn conectado por unsegmento.

Ejemplo. Consideremos el conjuntoX, la relacin de orden parcial R yla relacin de cobertura R delejemplo anterior. Un diagrama deHasse para X aparece en la figurasiguiente. Se puede comprobar queel elemento mnimo es a, ya que esel que aparece ms abajo; y el

elemento mximo es f, que es el queaparece ms arriba. A partir deldiagrama de Hasse tambin es fcilver relaciones entre elementos de larelacin de partida R. As, porejemplo, dado que en el diagramahay dos segmentos consecutivos,uno de c a e y otro de e a f,entonces, por la propiedadtransitiva, sabemos que (c,f)R.

3.5.2 Notacin infija en eluso de algunas relacionesmuy comunes

A partir de ahora vamos a suponerque el lector est familiarizado conlos smbolos de relacin =, , , que se utilizan paracomparar la magnitud de losnmeros naturales, enteros,racionales y reales. La relacincorrespondiente de algunos de esossmbolos se ha usado en variosejemplos de este tema, como larelacin ser menor o igual que () o la relacin ser menor que (

Con dichos smbolos se sueleutilizar notacin infija, de formaque en lugar de escribir (x,y)Rse suele escribir xRy. As, porejemplo, para indicar que la tupla(2,5) pertenece a la relacin

4 Funciones

Resumen

Este captulo trata los conceptosfundamentales de las funciones. Sepresentan las definiciones bsicasrelacionadas con el concepto defuncin. Se diferencia entrefunciones totales y parciales. Semuestran las distintas formas derepresentacin de funciones. Seexplican las operaciones msimportantes, como son lacomposicin y la funcin inversa.Se estudia la categorizacin de

funciones inyectivas, sobreyectivasy biyectivas. Se profundiza en eltema de la cardinalidad deconjuntos infinitos, un tema que nopoda se tratado sin unconocimiento adecuado delconcepto de funcin biyectiva.Finalmente, se estudia el conceptode homomorfismo y algunos tiposde homomorfismos.

4.1 Concepto defuncin

Definicin (Funcin y aridad). Sean un nmero natural y sea lasecuencia de conjuntos S=(X1,X2,,Xn,Y). Una funcin es unarelacin R sobre S tal que para todo(x1,x2,,xn)X1X2Xnexiste un nico yY tal que(x1,x2,,xn,y)R. La aridad dela funcin es n.

Ejemplo. Sean los conjuntos X1={1,2}, X2={5,7} e Y={3,8,9}.

La relacin R sobre X1X2Ydada por R={(1,5,3),(1,7,8),(2,5,3),(2,7,9)} es una funcin. Suaridad es 2.

Ejemplo. Sean los mismosconjuntos X1, X2 e Y del ejemploanterior. La relacin R sobre X1X2Y dada por: R={(1,5,3),(1,7,8),(2,5,3),(2,5,9),(2,7,9)}no es una funcin, ya que para lat up l a (2,5)X1X2 hay doselementos de Y, el 3 y el 9, talesque (2,5,3) y (2,5,9) pertenecen aR.

Ejemplo. Sean los conjuntos X1={1,2}, X2={5,7} e Y={3,8,9}.La relacin R sobre X1X2Ydada por R={(1,5,3),(1,7,8),(2,7,9)} no es una funcin, ya quepara la tupla (2,5)X1X2 noexiste ningn yY tal que (2,5,y)R.

Como notacin, para referirse afunciones se suelen emplear letrasminsculas comenzando a partir dela letra f y siguiendo el ordenalfabtico: f, g, h, etc. Si f es unarelacin definida en la secuencia deconjuntos (X1,X2,,Xn,Y) y f es

una funcin, entonces se denota: f:X1X2XnY.Adems, dados (x1,x2,,xn)X1X2Xn e yY, elhecho de que (x1,x2,,xn,y) estnrelacionados mediante f se denotapor f(x1,x2,,xn)=y. Finalmente,es habitual decir entonces que f esuna funcin de X1X2Xn eno a Y.

Ejemplo. Considrense losconjuntos X1, X2 e Y y la relacin Rdel ejemplo del comienzo de estaseccin. Usando la notacin queacabamos de describir, la relacin

R, que es una funcin, se puedeexpresar usando la letra f y escribircomo f:X1X2Y. Adems, setiene que f(1,5)=3, f(1,7)=8,f(2,5)=3 y f(2,7)=9.

Definicin (Dominio y codominiode una funcin). Sea la funcinf:X1X2XnY. Entonces:

El dominio de f es X1X2Xn. Se denota por Dom(f).

E l codominio d e f es Y. Sedenota por Cod(f).

Ejemplo. Sean X1={1,2}, X2=

{5,7} e Y={3,8,9}. Sea lafuncin f:X1X2Y. Se tieneque Dom(f)=X1X2={(1,5),(1,7),(2,5),(2,7)} y Cod(f)=Y={3,8,9}.

Vamos a usar la notacin de letrasen minscula y negrita, como x,para referirnos a tuplas como(x1,x2,,xn).

Definicin (Imagen de unelemento). Sean el conjunto Y y lafuncin f:Dom(f)Y. Dado une l e m e n t o x=(x1,x2,,xn)Dom(f), se denomina imagen d e xsegn f al elemento yY tal que

f(x)=y.

Ejemplo. Vuelva al ejemplo delcomienzo de esta seccin yconsidere los conjuntos X1, X2 e Y,y la funcin f:X1X2Y que allse vieron. Sea x=(1,7)Dom(f). La imagen de x segn f esf(x)=8.

Definicin (Imagen o rango de unafuncin). Sea el conjunto Y y sea lafuncin f:Dom(f)Y. La imageno rango de f es el conjunto deelementos yY para los queexiste algn x=(x1,,xn)

Dom(f) tal que f(x1,,xn)=y. Sedenota por Im(f) Ran(f).

Por la definicin anterior es fcilver que Im(f)Cod(f).

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=b, f(2)=d y f(3)=b. Se tiene que Im(f)={b,d}.

Definicin (Preimagen de unelemento). Sea la funcin f:Dom(f)Y. Sea un elemento yY.Preimagen d e y segn f es unelemento xDom(f) tal que f(x)=y.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=b, f(2)=d y f(3)=b. Se tiene que una preimagen deb es 1. Por su parte, una preimagende d es 2.

Ejemplo. Sea la funcin f dada porla relacin R del ejemplo delcomienzo de esta seccin. Unapreimagen de 8 es (1,7), ya quef(1,7)=8.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b}. Sea f:XY tal que f(1)=b, f(2)=a y f(3)=b. Unapreimagen de b es 1, ya que f(1)

=b. No obstante, el 1 no es lanica preimagen de b, pues el 3tambin lo es, ya que f(3)=b.

4.2 Funciones parcialesy totales. Funcionesespeciales: identidad yconstante

Definicin (Funciones parciales ytotales). Sean dos conjuntos X e Y, ys e a X un subconjunto de X. Unafuncin parcial de X en Y es unafunc i n f:XY. Una funcintotal de X en Y es una funcin f:XY.

En la definicin anterior, porsimplicidad en la notacin hemosescrito un solo conjunto X, aunque

X podra representar el productocartesiano de otros conjuntos, tal ycomo hemos visto en ejemplosanteriores.

Proposicin. Toda funcin total esparcial.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=b, f(2)=d y f(3)=b. Dicha funcin es total.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea X={2,3}, y seala funcin g:XY dada por g(2)=a y g(3)=c. Dado que XX,

g es una funcin parcial de X en Y;adems, g no es una funcin total deX en Y, ya que XX.

Definicin (Funcin identidad). Seaun conjunto X. Funcin identidaden X es la funcin f:XX tal quepara todo xX se cumple quef(x)=x.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. La funcin identidad para Xe s f:XX tal que f(1)=1, f(2)=2 y f(3)=3.

Definicin (Funcin constante).Sean dos conjuntos X e Y, siendo Y

. Sea yY. Funcin constantees una funcin f:XY tal quepara todo xX se cumple quef(x)=y.

Ejemplo. Sean los conjuntos X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Unafuncin constante para X es f:XY tal que f(1)=b, f(2)=b yf(3)=b.

4.3 Representacinformal y grfica defunciones

Vamos a ver cmo representar lasfunciones mediante tres formasdistintas: tablas, curvas y grafos.

4.3.1 Representacinmediante tablas

Las funciones que tienen dominiofinito se pueden representarmediante una tabla. As, sea unconjunto Y y sea una funcin f:Dom(f)Y de aridad n. La

funcin f se puede representarmediante una tabla de n+1columnas y Dom(f)+1 filas. Laprimera fila queda reservada parael encabezado de la tabla. Cada unade las dems filas contiene unelemento distinto xDom(f), queocupa las celdas de las n primerascolumnas, y en la celda de la n+1-sima columna aparece f(x).

Ejemplo. Sean los conjuntos X1,X2e Y y la funcin f del ejemplo delcomienzo de este captulo. La tablade la siguiente figura representa lafuncin f.

4.3.2 Representacinmediante curvas

Las funciones cuyo rango y dominioson los nmeros reales suelenrepresentarse mediante curvas. Enel caso de funciones de R en R

( a r i d a d 1) se usa unarepresentacin en el planoeucldeo, como vamos a ver acontinuacin.

Ejemplo. En la siguiente figuraaparecen representadas variasfunciones de R en R. Pordefinicin, para cada funcin slopuede haber un nico valor f(x)para cada x. La figura muestra dosejes de coordenadas: uno para x yotro para f(x). El origen decoordenadas, el punto (0,0),aparece sealado con una cruz.Segn el eje de la coordenada x(llamado eje de abscisas), los

valores de x crecen hacia laderecha, mientras que decrecenhacia la izquierda. En cuanto al ejede f(x) (llamado eje de ordenadas),los valores de f(x) decrecen haciaabajo y crecen hacia arriba. Se hadibujado una cuadrcula paraayudar a la visualizacin de lasfunciones. Se puede comprobar laforma de algunas funciones cuyotipo ya se ha visto anteriormente: lafuncin f(x)=x, que es la funcinidentidad, o la funcin f(x)=5/4,que es una funcin constante.

Para funciones de aridad mayor que1 no basta con una representacincomo la de la figura. No obstante,para funciones de RR en R(aridad 2) se utiliza el espacioeucldeo, por lo que en este caso se

tiene una representacin en 3dimensiones.

4.3.3 Representacinmediante grafos

Dado que toda funcin es unarelacin, cualquier funcin de unconjunto X en s mismo se puederepresentar mediante un grafo derelacin, como se ver en el temade grafos.

De la misma forma, una funcin deun conjunto X en un conjunto Y, porser una relacin de X en Y, se puederepresentar mediante un grafo como

vimos en el tema anterior. Veamosun ejemplo.

Ejemplo. Sean X={1,2,3,4} e Y={a,b,c,d}. La siguiente figuramuestra una funcin f de X en Y talq u e f(1)=b, f(2)=a, f(3)=d,f(4)=b.

Adems, con esta representacingrfica es muy fcil ver si unarelacin de X en Y es una funcin,ya que tiene que cumplirse que paracada nodo de X salga exactamenteuna flecha.

4.4 Propiedades defunciones

Definicin (Funcin inyectiva).Sean X e Y dos conjuntos, y sea lafuncin f:XY. Se dice que f esinyectiva si para todo x1 y x2pertenecientes a X tales que x1x2se cumple que f(x1)f(x2).

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=c, f(2)=b y f(3)=a. Se cumple que f es inyectiva,ya que f(1)f(2), f(2)f(3) yf(1)f(3).

Ejemplo. En cambio, sea la funcing:XY dada por: g(1)=c, g(2)=b y g(3)=c. Se cumple que g noes inyectiva, ya que g(1)=g(3).

Teorema. Sean X e Y dos conjuntosfinitos. Existe una funcin inyectivade X a Y si y slo si XY.

La representacin grfica vista enel ltimo apartado de la seccinanterior es muy til para ayudarnosa ver si una funcin de X en Y esinyectiva, ya que para que seainyectiva tiene que cumplirse quepara cada nodo de Y llegue a losumo una flecha, o expresado de

otra forma, que no haya ningnnodo en Y al que llegue ms de unaflecha.

Definicin (Funcin sobreyectiva osuprayectiva). Sean X e Y dosconjuntos, y sea la funcin f:XY. Se dice que f es sobreyectivao suprayectiva si para todo yYexiste un xX tal que f(x)=y.

Teorema. Sean X e Y dosconjuntos, y sea la funcin f:XY. Se cumple que f essobreyectiva si y slo si Im(f)=Y.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y=

{a,b}. Sea la funcin f:XY talque f(1)=a, f(2)=b y f(3)=a.Para aY se tiene que f(1)=a(tambin se tiene que f(3)=a), ypara bY se tiene f(2)=b. Portanto, f es sobreyectiva.

Teorema. Sean X e Y dos conjuntosfinitos. Existe una funcinsobreyectiva de X a Y si y slo siXY.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c,d}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=c, f(2)=b y f(3)=a. f no es sobreyectiva, ya que noexiste ningn xX tal que f(x)

=d.

La representacin grfica vista enel ltimo apartado de la seccinanterior es muy til para ayudarnosa ver si una funcin de X en Y essobreyectiva, ya que para que seasobreyectiva tiene que cumplirseque para cada nodo de Y debellegar al menos una flecha.

Definicin (Funcin biyectiva obiyeccin). Sean X e Y dosconjuntos y sea la funcin f:XY.Se dice que f es biyectiva o unabi yecc i n si es inyectiva ysobreyectiva.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=b, f(2)=c y f(3)=a. Se cumple que f es inyectiva ysobreyectiva. Por tanto, f esbiyectiva.

Teorema. Sean X e Y dos conjuntosfinitos. Existe una funcin biyectivaf de X a Y si y slo si X=Y.

La representacin grfica vista enel ltimo apartado de la seccinanterior es muy til para ayudarnosa ver si una funcin de X en Y esbiyectiva, ya que para que seabiyectiva tiene que cumplirse que

para cada nodo de Y llegaexactamente una flecha.

4.5 Construccin denuevas funciones

Definicin (Composicin defunciones). Sean tres conjuntos X, Yy Z, y sean las funciones f:XY yg:YZ. La composicin de f y ges la funcin h:XZ tal que parato d o xX se tiene que h(x)=g(f(x)).

Ejemplo. Sean X={1,2,3}, Y={a,b,c,d} y Z={t,u,v,w}. Sea lafuncin f:XY tal que f(1)=d,f(2)=c y f(3)=b. Sea g:YZtal que g(a)=u, g(b)=v, g(c)

=w y g(d)=u. La composicin def y g es h:XZ tal que:

para x=1 se tiene que h(1)=g(f(1))=g(d)=u;

para x=2 se tiene que h(2)=w; y

para x=3 tenemos que h(3)=v.

Definicin (Funcin inversa). Seauna funcin f:XY que esbiyectiva. La funcin inversa de f,que se denota f1, es la funcin f1:YX tal que la composicin de

f y f1 es la funcin identidad.

Ejemplo. Sean X={1,2,3} e Y={a,b,c}. Sea la funcin f:XYtal que f(1)=b, f(2)=c y f(3)=a. Dado que f es biyectiva, sepuede definir su inversa. La inversad e f es f1:YX y viene dadapor: f1(b)=1, f1(c)=2 y f1(a)=3.

Ejemplo. Sea la funcin f:RRdada por f(x)=3x+7. Dado que fes biyectiva, se puede definir suinversa. La inversa de f es f1:RR y viene dada por f1(y)=(1/3)(y7).

Ejemplo. Sea la funcin f:RRdada por f(x)=x2. Dado que f noes inyectiva, tampoco es biyectiva,y por tanto no se puede definir suinversa.

Teorema. Sea una funcinbiyectiva f. Entonces f1 esbiyectiva y su funcin inversa es f.

4.5.1 Clases especiales defunciones

Hay que destacar una clase especialde funciones, que son las funcionesaritmticas: suma, resta, producto ydivisin. Suelen definirse sobre los

conjuntos de nmeros naturales,enteros, reales, etc. Tambintenemos funciones como lapotencia, la exponenciacin,logaritmos, etc. Todas estasfunciones se estudian enBachillerato.

Dichas funciones se suelen utilizarpara construir funciones mscomplejas mediante la operacin decomposicin. Es lo que se hizo enun ejemplo en el que la funcinf(x)=3x+7 se compuso con otrasfunciones como la suma y elproducto.

Ahora vamos a definir aqu variasfunciones especiales que son muyimportantes en Informtica.

Definicin (Funcin mnimo). Sea Sun conjunto de nmeros. La funcinmnimo es la funcin parcial deP(S) en S, denotada por min, tal quepara todo XP(S), si existe un yX que es mnimo de X segn larelacin , entonces minX=y.

Hay que resaltar dos aspectosacerca de la definicin anterior:

1. Se ha utilizado el hecho que sevio cuando se estudiaron las

relaciones de orden parcialacerca de que si el elementomnimo existe entonces esnico.

2. Se ha indicado que la funcinmin es parcial, ya que puedenexistir elementos de P(S) paralos que min no est definida,como vamos a ver ahora conun ejemplo.

Ejemplo. Consideremos la funcinmin y sea S el conjunto de losnmeros reales. Supongamos quetomamos el elemento X={1.5,2.4,7.3}, que es un subconjunto de

S, es decir, XP(S). En este casola funcin min est definida yasignara el valor 7.3. Paracualquier otro conjunto finito lafuncin min tambin nos devuelveun valor. En cambio, si tomamos elc onj unto X formado por losnmeros reales negativos entoncesla funcin min no nos puededevolver ningn nmero real, porlo que para este X la funcin no estdefinida.

Definicin (Funcin mximo). SeaS un conjunto de nmeros. Lafunc i n mximo es la funcinparcial de P(S) en S, denota por

max, tal que para todo XP(S), siexiste un yX que es mximo deX segn la relacin , entoncesmaxX=y.

Al igual que cuando se defini lafuncin mnimo, aqu se ha utilizadoel hecho que se vio anteriormentede que si el elemento mximo existeentonces es nico y se ha indicadoque la funcin mximo es parcial.

Ejemplo. Consideremos la funcinmax y sea S el conjunto de losnmeros reales. Supongamos quetomamos el elemento X={1.5,2.4,7.3}, que es un subconjunto de

S, es decir, XP(S). En este casola funcin max est definida yasignara el valor 2.4. Paracualquier otro conjunto finito lafuncin max tambin nos devuelveun valor. En cambio, si tomamos elc onj unto X formado por losnmeros reales positivos entoncesla funcin max no nos puededevolver ningn nmero real, porlo que para este valor de X lafuncin no est definida.

Definicin (Funcin parte entera).La funcin parte entera es unafuncin de R en Z, denotada con lasbarras y , tal que a cada nmero

r ea l x le asigna el valor x=max{yZyx}.

Ejemplo. Se tiene que 2.39=2,=3, 1.03=2 y 5=5.

Definicin (Funcin signo). Lafuncin signo es una funcin de Ren el conjunto {1,0,1}, denotadasign(x) para indicar el signo de xR, y que a cada nmero real x leasigna el valor:

1, si x

1, si x>0.

Ejemplo. Se tiene que sign(0)=0,sign(2.15)=1 y sign(4.78)=1.

Definicin (Funcin divisinentera). La funcin divisin enteraes una funcin de R(R\{0}) enel conjunto R, denotada como div,que para todo xR e yR\{0} se define con notacin infijacomo xdivy=x/y.

Ejemplo. Se tiene que:

13div4=13/4=3,

(6.3)div5=(6.3)/5=2,

21.7div(4)=21.7/(4)=6 y

7div0 no est definido.

Definicin (Funcin mdulo). Lafuncin mdulo es una funcin deR(R\{0}) en el conjunto Z,denotada con mod, que para todo xR e yR\{0} se define comoxmody=x(xdivy)y.

Ejemplo. Se tiene que:

13mod4=1,

(6.3)mod5=3.7,

21.7mod(4)=2.3 y

7mod0 no est definido.

4.6 Conceptosavanzados decardinalidad deconjuntos

En el tema de Teora de Conjuntosse defini el concepto decardinalidad de conjuntos finitos.En ese caso el cardinal de unconjunto es un nmero que indicacuntos elementos hay en elconjunto. Para un conjunto X finito,su cardinalidad se denotaba comoX. Adems, se vieron variosteoremas que, dados dos conjuntos

fini tos X e Y, relacionaban laexistencia de funcin biyectiva,inyectiva y sobreyectiva con elhecho de que X fuera igual,menor o igual, o mayor o igual queY respectivamente.

En el caso de un conjunto infinitono es posible dar un nmero queindique cuntos elementos contiene.En su lugar, vamos a establecerdistintas relaciones que nospermitan comparar la cardinalidad,entendida como tamao, de losconjuntos, ya sean finitos oinfinitos. Vamos a seguir utilizandolos smbolos de cardinalidad ( )

y los smbolos de comparacin =,,

uno de ellos es infinito.

Definicin (Conjuntos equipotenteso tener la misma cardinalidad).Dados dos conjuntos X e Y, X e Yson equipotentes o tienen la mismacardinalidad si existe unabiyeccin de X en Y. Se denota porX=Y. Si no son equipotentesse denota por XY.

Ejemplo. Sea X el conjunto de losnmeros naturales pares y sea Y elconjunto de los nmeros naturalesimpares. Sea la funcin f:XYdada por f(x)=x1. Se puedeprobar que f es una biyeccin de X

e n Y. Por tanto, X e Y sonequipotentes, es decir, X=Y.

Definicin (Tener menor o igualcardinalidad). Sean dos conjuntos Xe Y. X tiene menor o igualcardinalidad que Y si existe unafuncin inyectiva de X en Y. Sedenota por XY.

Ejemplo. Sea el conjunto X de losnmeros naturales menores de 100y sea el conjunto de los nmerosnaturales N. Sea la funcin f:XN dada por f(n)=n. Se puedeprobar que f es inyectiva. Por tanto,XN.

Definicin (Tener menorcardinalidad). Dados dos conjuntosX e Y. X tiene menor cardinalidadq ue Y si XY pero XY. Se denota por X

Proposicin. Sea X un conjuntofinito y sea n=X. Sea elc o n j u n t o Y={1,2,...,n}. Secumple que X=Y.

La demostracin de la proposicinanterior es trivial. Dado unconjunto finito X, ordenamos suselementos en una lista, comenzandoen la posicin 1 y terminando en n=X, y a cada elemento de Xhacemos que f le asigne la posicinque ocupa en la lista. Se cumpleque f es biyectiva.

Proposicin. Sea X un conjuntofinito. Se tiene que X

Teorema. No existe ningnconjunto infinito X que cumpla queX

Si n es impar entonces f(n)=n/2.

Si n es par entonces f(n)=n/2.

Una definicin alternativa yequivalente para f sera f(n)=(1)n+1n/2. La figura siguientemuestra una representacin grficade la funcin f, en la que se handibujado slo los primeros valoresd e f(n). En dicha figura se puedeintuir que f es biyectiva, pues al 1le asigna el valor a 0 y a partir del2 va asignando de forma alternadanmeros negativos y positivos en

secuencia de valor absoluto: 1,1, 2, 2, 3, 3, etc.

Definicin (Conjunto numerable).Sea X un conjunto. Se dice que X esnumerable si X0. Si unconjunto no es numerable sedenomina no numerable.

Ejemplo. Anteriormente hemosvisto que los conjuntos N y Z tienencardinalidad 0. Por tanto, ambosson numerables.

Teorema. Todo conjunto finito esnumerable.

Teorema. Sea X un conjuntoinfinito y numerable. Se tiene queX=0.

Teorema (Teorema de Cantor).Se a X un conjunto, cuyo conjuntopotencia es P(X). Se cumple queX

las cardinalidades de los conjuntoscon los que trabajamos en estelibro. Para cualquier conjunto finitoX se tiene que X

4.7 Homomorfismos

Definicin (Homomorfismo). Seandos funciones f:XX y g:YY.Se dice que f y g son homomorfassi existe una funcin h:XY talque g(h(x))=h(f(x)), y entonces hes un homomorfismo.

Ejemplo. Sean las funciones f:RR y g:RR tales que, paratodo xR se cumple que f(x)=x3, y para todo yR se tieneq u e g(y)=y1. Tomemos lafuncin h:RR tal que para todoxR se cumple que h(x)=x/3. Se puede comprobar que para

todo x se tiene que h(f(x))=x/31=g(h(x)). Por tanto, f y gson homomorfas y h es suhomomorfismo.

Definicin (Isomorfismo). Sean dosfunciones f:XX y g:YY queson homomorfas, y sea h suhomomorfismo. Se dice que f y gson isomorfas si h es biyectiva, yentonces h es su isomorfismo.

Ejemplo. Sean los conjuntos X={1,2,3} e Y={a,b,c}. Sean lasfunciones f:XX y g:YYtales que:

f(1)=2, f(2)=2, f(3)=1,

g(a)=a, g(b)=c, g(c)=a.

Tomemos la funcin h:XY talque h(1)=c, h(2)=a y h(3)=b.Veamos para todo xX se tieneque h(f(x))=g(h(x)):

P a r a x=1 tenemos queh(f(1))=h(2)=a, y g(h(1))=g(c)=a.

P a r a x=2 se tiene queh(f(2))=h(2)=a, y g(h(2))=g(a)=a.

P a r a x=3 se cumple que

h(f(3))=h(1)=c, y g(h(3))=g(b)=c.

Dado que la funcin h es biyectiva,podemos afirmar que f y g sonisomorfas y que h es unisomorfismo.

Ejemplo. Sean las funciones f, g yh del ejemplo de homomorfismovisto al comienzo de estasubseccin. Se puede comprobarque h no es un isomorfismo, ya queno es una funcin biyectiva.

Definicin (Endomorfismo). Seandos funciones f:XX y g:YY

que son homomorfas, y sea h suhomomorfismo. Si X=Y entoncesse dice que f y g son endomorfas, yque h es un endomorfismo.

Ejemplo. Sean las funciones f, g yh del ejemplo de homomorfismovisto al comienzo de estasubseccin. Se vio que f y g sonhomomorfas y que h es unhomomorfismo. Dado que f y gestn definidas sobre R, se puedeafirmar que f y g son endomorfas, yque h es un endomorfismo.

Definicin (Automorfismo). Seandos funciones f:XX y g:YY

que son isomorfas, y sea h suisomorfismo. Si X=Y entonces sedice que f y g son automorfas, yque h es un automorfismo.

Ejemplo. Sea el conjunto X={1,2,3}. Sean las funciones f:XXy g:XX tales que:

f(1)=2, f(2)=2, f(3)=1,

g(1)=1, g(2)=3, g(3)=1.

Tomemos la funcin h:XY talque h(1)=3, h(2)=1 y h(3)=2.Veamos que para todo xX setiene que h(f(x))=g(h(x)):

P a r a x=1 tenemos queh(f(1))=h(2)=1, y g(h(1))=g(3)=1.

P a r a x=2 se tiene queh(f(2))=h(2)=1, y g(h(2))=g(1)=1.

P a r a x=3 se cumple queh(f(3))=h(1)=3, y g(h(3))=g(2)=3.

Dado que la funcin h es biyectiva,podemos afirmar que f y g sonisomorfas y que h es unisomorfismo. Adems, como f y gson funciones de X en X entonces

decimos que f y g son automorfas, yque h es un automorfismo.

5 Combinatoria

Resumen

Este captulo trata los fundamentosde la Combinatoria. Se presentanlos principios bsicos de laCombinatoria. Se estudian lasfunciones ms importantes que seutilizan en Combinatoria.Finalmente se estudian las distintasformas de agrupamientovariaciones, combinaciones ypermutaciones en dosmodalidadescon repeticin y sinrepeticin.

5.1 Principios bsicosde la Combinatoria

Definicin (Combinatoria). LaCombinatoria es la rama de lasMatemticas que se encarga deestudiar el recuento de elementosde los conjuntos y las propiedadesque los relacionan.

Ejemplo. Un ejemplo tpico deproblema que resuelve laCombinatoria consiste en contar elnmero de apuestas distintas que sepuede realizar en un juego como laLotera Primitiva, la Quiniela o la

Bono Loto.

Teorema (Principio o regla de lasuma). Sea nN y sean S1, S2,, Sn una coleccin de conjuntosfinitos tales que para cualesquiera iy j, siendo 1i

Por el principio de la suma se tieneque: S1S2S3=S1+S2+S3=3+2+6=11.Se puede comprobar que dichovalor coincide con el cardinal de S1S2S3={1,2,3,a,b,4,6,8,10,12,14}.

Teorema (Principio o regla deinclusin-exclusin). Sea nN, ysean S1,S2,,Sn una coleccin deconjuntos finitos. Se cumple que:

S1S2Sn=i=1nSii,j:1i

+i,j,k :1i

con el cardinal de S1S2={1,2,3,4,5,6,8,10,12}.

Corolario. Sean S1, S2 y S3 tresconjuntos finitos. Se cumple que: S1S2S3=S1+S2+S3S1S2S1S3S2S3+S1S2S3.

Ejemplo. Sean los conjuntos S1={1,2,3,4}, S2={2,4,6,8} y S3={2,3,5,7,11}. Se tiene que S1S2={2,4}, S1S3={2,3}, S2S3={2} y S1S2S3={2}.Entonces, siguiendo la frmula del

corolario anterior, S1S2S2=4+4+5221+1=9. Se puede comprobar quecoincide con el cardinal de S1S2S3={1,2,3,4,5,6,7,8,11}.

La regla de inclusin-exclusingeneraliza la regla de la suma, yaque la regla de la suma slo seaplica para el caso particular deque los conjuntos sean disjuntosdos a dos.

Teorema (Principio o regla delproducto). Sea nN, y sean S1,

S2, , Sn una coleccin deconjuntos finitos. Se cumple queS1S2Sn=S1S2Sn.

Ejemplo. Sean los conjuntos S1={1,2}, S2={a,b,c} y S3={4,5}.Se tiene que S1S2S3=232=12. Se puedecomprobar