CALCULO PROPOSICIONAL

 

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERRECTORADO ACADEMICO

UNIVERSIDAD FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE ELECTRICA

AUTOR:NOGUERA PABLO

C.I: 17595671MAYO; 2014

PROPOSICION LOGICA:

Según Jiménez Murillo, Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez y que las mismas tienen un carácter coherente de si se puede tornar veritativo o no . La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es un planeta.

q: 15+25= 40

r: ¿Qué día es hoy?

n: ¡juega conmigo!

En este caso p y q son proposiciones; mientras que r y n no lo son.

PROPOSICION LOGICA:

Según Saenz, en su publicación 2006 Fundamentos De La Matemática, “los diferentes juicios que ocurren en nuestro lenguaje pueden ser clasificados en tres clases: juicios interrogativos, imperativos, y declarativos;” son estos últimos los que nos sirven para la exposición y fundamentación del pensamiento científico.

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

EN EL LENGUAJE DIARIO SE TIENEN CIERTOS TERMINOS, QUE NOS PERMITEN CONECTAR PROPOSICIONES PARA PRODUCIR OTRAS MAS COMPLEJAS. ASI, CON LAS PROPOSICIONES:

A- MARTE ES UN PLANETA B- EL SOL ES UNA ESTRELLA

ASI CONSTRUIMOS ESTAS OTRAS:

1- MARTE ES UN PLANETA Y EL SOL ES UNA ESTRELLA.

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

2- MARTE ES UN PLANETA O EL SOL ES UNA ESTRELLA.

3- O MARTE ES UN PLANETA O EL SOL ES UNA ESTRELLA.

4- SI MARTE ES UN PLANETA ENTONCES EL SOL ES UNA ESTRELLA.

5- MARTE ES UN PLANETA SI Y SOLO SI EL SOL ES UNA ESTRELLA.

6- MARTE NO ES UN PLANETA.

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

A LOS TERMINOS CONECTIVOS: Y; O; O…O; SI, … ENTONCES; SI Y SOLO SI; NO; PROVISTOS DEL SIGNIFICADO PRECISO QUE SE LES DARA MAS ADELANTE, SE LES LLAMA CONECTIVOS LOGICOS ELEMENTALES.

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

NOMBRE SIMBOLO TRADUCCION

NEGACIÓN ~ NO, NO ES EL CASO QUE.

CONJUNCIÓN ^ Y

DISYUNCIÓN(INCLUSIVA)

V O

DISYUNCION EXCLUSIVA

V O…O

CONDICIONAL → SI … , ENTONCES

BICONDICIONAL ↔ SI Y SOLO SI

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

LA NEGACIÓN: ESTA OPERACIÓN ANULA EL VALOR VERITATIVO QUE POSEE, EN CASO QUE SEA VERDADERO SE CONVIERTE EN FALSO Y SI ES FALSO EN VERDADERO, VIENE DADA POR LA SIGUIENTE TABLA DE VERDAD:

p ~p

10

01

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

LA CONJUNCIÓN: SE LEE “Y”, VIENE DADA POR LA SIGUIENTE TABLA DE VERDAD:

NOTA: LOS VALORES VERITATIVOS SE ASIGNAN DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE VARIABLES QUE SE ESTEN ANALIZANDO, EJEMPLO, SI SON DOS VARIABLES p Y q, ENTONCES LOS VALORES VERITATIVOS SERAN 22 LA BASE 2 CORRESPONDE A VERDADERO (1) Y FALSO (0), Y EL EXPONENTE 2 YA QUE SON 2 VARIABLES p Y q. LA FORMA DE COLOCAR ESTOS VALORES VERITATIVOS ES 50:50 PARA LA PRIMERA VARIABLE, 25:25 PARA LA SEGUNDA VARIABLE.

p q p ^q

1100

1010

1000

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

LA DISYUNCION: O DISYUNCION INCLUSIVA, VIENE DADA POR LA TABA DE VERDAD:

LA DISYUNCION EXCLUSIVA: SE LEE O p O q, VIENE DADA POR:

p q pvq1100

1010

1110

p q pvq1100

1010

0110

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

EL CONDICIONAL: EN ESTE CONECTIVO LAS PROPOSICIONES SE DENOMINAN ANTECEDENTE Y CONSECUENTE, SE LEE SI, ENTONCES, VIENEN DADA POR LA TABLA:

p q p→q

1100

1010

1011

CONECTIVOS LOGICOS DE UNA PROPOSICIÓN:

EL BICONDICIONAL: RECIBE EL NOMBRE DE BICONDICIONAL PORQUE p→q ES EQUIVALENTE A: ( p→q ) ^ (q→p), SU VALOR LOGICO VIENE DADO POR LA SIGUIENTE TABLA:

p q p↔q

1100

1010

1001

FORMAS PROPOSICIONALES

A LAS EXPRESIONES QUE SE OBTIENEN A PARTIR DE VARIABLES PROPOSICIONALES: p, q, r, ENTRE OTROS; MEDIANTE APLICACIONES DE LOS CONECTIVOS LOGICOS, SE LLAMAN FORMAS PROPOSICIONALES. A ESTAS LAS DENOTAREMOS CON LETRAS MAYUSCULAS A, B, C, ENTRE OTROS.

FORMAS PROPOSICIONALESEN CASO DE QUE QUERAMOS ENFATIZAR LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN EN LAS FUNCIONES PROPOSICIONALES ESCRIBIREMOS ASI: A(p, q), B(p1, p2, p3), ENTRE OTROS.

EJEMPLO 1: SON FORMAS PROPOSICIONALES LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

1- A(p, q) = ~[p→(~q)]

2- B( p, q, r) = p ^ (q ^ r)

FORMAS PROPOSICIONALESCONTINUACION DE EJEMPLO 1:

3- C (p1, p2, p3)= p1 → [p2 ↔(p3 ^(~p1))]

DEFINIMOS FORMA PROPOSICIONAL COMO UNA EXPRESION QUE SE OBTIENE SIGUIENDO LAS SIGUIENTES REGLAS:

1- TODAS LAS VARIABLES PROPOSICIONALES SON FORMAS PROPOSICIONALES. A ESTAS LAS LLAMAREMOS FORMAS PROPOSICIONALES ATOMICAS.

2- SI A Y B SON FORMAS PROPOSICIONALES, ENTONCES TAMBIEN LO SON:

~A, A^B, A V B, A V B, A→B Y A↔B

FORMAS PROPOSICIONALESSIGNOS DE AGRUPACIÓN: LOS SIGNOS DE

AGRUPACION, PARENTESIS (), CORCHETES [], LLAVES {}; SON USADOS EN LA CONSTRUCION DE FORMAS PROPOSICIONALES PARA EVITAR AMBIGÜEDADES. ASI LOS PARENTESIS NOS PERMITEN DIFERENCIAR LAS DOS FORMAS:

(pVq)^r y p v (q^r)

QUE TIENEN SIGNIFICADOS DIFERENTES, EN (pVq)^r EL CONECTOR PRINCIPAL ES ^, MIENTRAS QUE EN p v (q^r) EL CONECTOR PRINCIPAL ES v.

FORMAS PROPOSICIONALESTABLAS DE VERDAD DE FORMAS

PROPOSICIONALES:

COMO CADA FORMA PROPOSICIONAL ESTA DEFINIDA MEDIANTE OPERACIONES VERITATIVAS, EL VALOR LOGICO DE UNA FORMA PROPOSICIONAL DEPENDE UNICAMENTE DE LOS VALORES LOGICOS QUE SE ASIGNE A SUS VARIABLES PROPOSICIONALES. PARA EL CALCULO DE ESTE VALOR SE USAN LAS TABLAS DE VERDAD.

EJEMPLO: SE DESEA CONSTRUIR LA TABLA DE VERDAD PARA LA PROPOSICION (p ^ ~ q) ↔ q

FORMAS PROPOSICIONALES SOLUCION: EXISTEN DOS METODOS EL ACUMULATIVO Y EL

ABREVIADO. EL ACUMULATIVO: SE ASIGNA UNA COLUMNA PARA CADA

VARIABLE PROPOSICIONAL, Y UNA COLUMNA PARA CADA OPERACIÓN INDICADA, CONSERVANDO EL ORDEN EN QUE ESTAS SE LLEVARA A CABO:

LA PRIMERA OPERACIÓN QUE SE REALIZO FUE LA NEGACION DE q, LUEGO LA CONJUNCION DE p Y ~q; POR ULTIMO EL BICONDICIONAL CON q.

p

q ~q p ^ ~q

(p ^ ~q) ↔ q

1100

10.10

0101

0100

0 0 0 1

FORMAS PROPOSICIONALESMETODO ABREVIADO: ESTE ES EL MAS USADO

YA QUE PERMITE AHORRAR TIEMPO Y ESPACIO. SE COMIENZA A OPERAR DIRECTAMENTE SOBRE LA TABLA DE LA SIGUIENTE MANERA:

p

q (p ^ ~q) ↔ q

1100

10.10

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1

1 1 3 2 4

FORMAS PROPOSICIONALESTAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES:TAUTOLOGIAS: ES LA FORMA PROPOSICIONAL

QUE ES VERDADERA PARA CUALQUIER VALOR LOGICO QUE SE LE ASIGNE A SUS VARIABLES PROPOSICIONALES.

EJEMPLO:

p ~p p v ~p

10

01

11

FORMAS PROPOSICIONALESCONTRADICCIONES: ES UNA FORMA

PROPOSICIONA QUE ES FALSA EN CUALQUIER VALOR LOGICO QUE SE LE ASIGNE A LA VARIABLE PROPOSICIONAL.

EJEMPLO:

p ~p p^~p

10

01

00

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

EXISTEN ABUNDANTES EQUIVALENCIAS LOGICAS, SIN EMBARGOTODAS ESTAS PUEDEN DEDUCIRSE A PARTIR DE UNAS POCAS EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES, A LAS QUE LLAMAREMOS LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES, LAS MISMAS SON:

LEYES IDEMPOTENTES:

p v p = p p ^ p = pLEYES ASOCIATIVAS:

(p v q ) v r = p v (q v r ) / (p ^ q ) ^ r = p ^ ( q ^ r )LEYES CONMUTATIVAS:

p v q = q v p p ^ q = q ^ p

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

LEYES DISTRIBUTIVAS:

p v ( q ^ r ) = (p v q) ^ (p v r)/p ^ ( q v r) = (p ^ q) v ( p ^ q)

LEYES DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO:

p v 0 = p p ^ 1 = pLEYES DE DOMINACION:

p v 1 = 1 p ^ 0 = 0LEYES DE COMPLEMENTACION:

TERCIO EXCLUIDO: CONTRADICCION:

p v ~p = 1 p ^~ p = 0

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

DOBLE NEGACION:

~~p = p ~1 = 0, ~0 = 1LEYES DE MORGAN:

~( p v q ) = ~ p ^ ~ q ~ ( p ^ q ) = ~ p v ~qLEY DEL CONDICIONAL:

p → q = ~ p v qLEY DEL BICONDICIONAL:

p ↔ q = ( p →~ q) ^ ( q →~ p) LEY DE DISYUNCION EXCLUSIVA:

p v q = (p ^~q) v ( q^~ p)

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

LEY DEL CONTRARECIPROCO:

p → q = ~ q →~ pLEY DE REDUCCION AL ABSURDO:

( p → q) = ( p ^ ~ q → 0)LEY DE DEMOSTRACION POR CASOS:

[( p v q ) → r] = (p → r) ^ ( q → r)LEYES DE ABSORCION:

p v ( p ^ q) = p p ^ ( p v q ) = p

METODOS DE DEMOSTRACION EN

MATEMATICA E INGENIERIA:UNA DEMOSTRACION ES UNA SECUENCIA DE PROPOSICIONES QUE TERMINA CON LA CONCLUSION. CADA UNA DE LAS PROPOSICIONES ES UNA PREMISA O UNA CONSECUENCIA LOGICA DE PROPOSICIONES ANTERIORES. EXISTEN DOS METODOS PARA REALIZAR UNA DEMOSTRACION:

A- DEMOSTRACION DIRECTA: SI UNA DE LAS PREMISAS ES UNA DISYUNCION, SE PUEDE PROCEDER A PROBAR POR CASOS:

[( p v q ) → r] = (p → r) ^ ( q → r), ESTE METODO TAMBIEN ES VALIDO SI UNA DE LAS PREMISAS ES UNA DISYUNCION EXCLUSIVA, ESTA SITUACION SE FUNDAMENTA EN UNA IMPLICACION: p v q → p v q

METODOS DE DEMOSTRACION EN

MATEMATICA E INGENIERIA:B- DEMOSTRACION INDIRECTA: LOS METODOS DE

DEMOSTRACION INDIRECTA EN LUGAR DE PROBAR LA IMPLICACION P1^ P2^ P3 …^ Pn → C; PRUEBAN UNA IMPLICACION EQUIVALENTE, ESTOS METODOS SON:

METODO DEL CONTRARECIPROCO: EN LUGAR DE DEMOSTRAR P1^ P2^ P3 …^ Pn → C, SE DESARROLLA: ~C → ~(P1^ P2^ P3 …^ Pn).

METODO DE REDUCCION AL ABSURDO: SI (P1^ P2^ P3 …^ Pn → C) = (P1^ P2^ P3 …^ Pn ^~ C→0)

SI AL AGREGAR LAS PREMISAS DE LA NEGACION DE LA CONCLUSION SE OBTINENE UNA CONTRADICCION, ENTONCES EL RAZONAMIENTO ES VALIDO.

RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE UNA FORMA PROPOSICIONAL:

p

q

~r

q

r

~ r

p

r

p

DADO UN CIRCUITO, HALLAR OTRO MAS SIMPLE QUE CUMPLA LA MISMA FUNCION, EMPLEANDO EL ALGEBRA DE FUNCIONES PARA SIMPLIFICAR CIRCUITOS.

RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE UNA FORMA PROPOSICIONAL:

SOLUCION: TRABAJAMOS CON SU FORMA PROPOSICIONAL:{(p^r)v(q^~r)v(~r^p)v(q^r)}^ p={(p^r)v(~r^p)v(q^~r)v(q^r)} ^ p LEY CONMUTATIVA={ [(p^r)v(~r^p)]v[(q^~r)v(q^r)]}^ p LEY ASOCIATIVA={[p^(rv~r)]v[q^(~rvr)]}^ p LEY DISTRIBUTIVA={[p^1] v [q^1]} ^ p LEY DEL TERCIO

EXCLUIDO={p v q} ^ p LEY IDENTIDAD= p ^{ p v q} LEY CONMUTATIVA= p LEY DE LA ABSORCION

RED DE CIRCUITOS LOGICOS DE UNA FORMA PROPOSICIONAL:

EL CIRCUITO DADO PUEDE REEMPLAZARSE POR EL CIRCUITO:

p

FIN

Contacto pablo.zenon@hotmail.com