SLIDESHARE Unidad IIICONJUNTOS

Yorman PiñeroC.I.: 17.880.941

Estructuras Discretas I

La noción de conjunto es  aceptada como sinónimo de las nociones usual de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”. Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A, se escribe:

x ∈ A.

Que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe: x  ∉ A.

Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:

A = { 2, 3, 5}

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:A= {a, c, b}B= {primavera, verano, otoño, invierno}

 

Conjunto

El símbolo є indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como ∉.

 Ejemplo: Sea B= {a, e, i, o, u}, a є  B y c  ∉  B

o CARACTERITICAS DE LOS CONJUNTOS

 

1. Conjunto unitario: conjunto compuesto de un solo elemento.

2. Conjunto vació o nulo: cuando no consta de elementos.

3. Conjunto universal: conjunto de elementos por los que se tiene interés

4. Si un conjunto tiene elementos y se relaciona con otro se dice que este es subconjunto del otro.

5. Por definición el conjunto nulo es subconjunto de cualquier otro conjunto.

6. Dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismo elementos

CONJUNTO UNIVERSAL

Conjunto que contiene todos los elementos posibles para un problema particular en consideración y contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U= { 1, 2, 3, 4, 5 }

FORMA ALTERNATIVA PARA INDICAR CONJUNTOS DE GRAN IMPORTANCIA:

o Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }o Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }o Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números

enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q

o Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

o Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada COMPRENSIÓN.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.

Por ejemplo: A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un conjunto definido por comprensión ya que sus elementos “x” se describen a través de una propiedad “es un número obtenido al lanzar un dado corriente”.

DIAGRAMA DE VENN

Esencialmente, se conoce  como una forma de mostrar de manera gráfica, una agrupación de elementos según los conjuntos, siendo representado cada conjunto con una circunferencia. Esta clase de gráficos se emplean en la Teoría de Conjuntos, dentro de las matemáticas modernas y nos explica el funcionamiento de un conjunto de elementos al realizar alguna operación con ellos.

La posición en que estén dispuestas las circunferencias, nos mostrará el vínculo que existe entre los conjuntos

En la imagen de abajo, el círculo del grupo A se haya dentro del círculo B, de manera que todos los componentes de B también se encuentran contenidos en A.

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B ∈ A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal ∉ .

Note que ∈se utiliza solo para elementos de un conjunto y ⊂ solo para conjuntos.

FÓRMULA: 

B С A: x €B = x C A 

С = no está incluido. Э = no contiene a. 

no es subconjunto EJEMPLO: 

- Conjunto de los números reales mayores que -2 y menores o iguales que 3- Conjunto de los números reales mayores o iguales que -1 y menores o iguales que 1.

B = -1, 0, 1, 2, 3

A = -1, 0, 1 

A es Subconjunto de B 

A Э B = B С A

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN 

1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo.

A С A 

2) Asimétrica.- para todo conjunto A y B se cumple que si A está incluido en B.

A С B ^ B С A = A = B 

3) Transitiva.- 

A С B ^ B С A A С C

Si se cumple las 3 propiedades se dice que existe una relación de orden.

Si al comparar dos conjuntos y estos no se incluyen entre A y B en este caso se dice que los dos conjuntos no son comparables.

El conjunto vacío es el conjunto matemático que no tiene ningún elemento. Se representa con el símbolo ∅ o simplemente como {}. Algunas de sus propiedades son:•Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A: {} ⊆ A.•Para cualquier conjunto A, la unión de A y el conjunto vacío es A: A ∪ {} = A.•Para cualquier conjunto A, la intersección de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío: A ∩ {} = {}.•El único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío.

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A, P(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.Otro símbolo para usar⊆

IGUALDAD DE CONJUNTO

Dos conjuntos son iguales el uno al otro s contienen exactamente a los mismos miembros. Indicado matemáticamente A= B si y solamente si A ⊆ B y B ⊆ A. Esto significa que si conjunto A contiene todo en el conjunto B y el conjunto B contiene todo adentro conjunto A, después los dos conjuntos tienen exactamente el mismo contenido.

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS. 

UNIÓN

La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A U B y se llama unión de A y B.

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B. 

Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria (aquella operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que se pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal (Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia) dado. Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U le es asociado otro conjunto (A U B) de U.

PROPIEDADES

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera

o A ∪ A = A (propiedad idempotente) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y también de intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión o intersección de un conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto.o A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión no se altera.o (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).o (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).o A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).

INTERSECCIÓN

Una intersección de dos o más conjuntos es un conjunto que contiene a los miembros que están en todos los conjuntos. Se habla esto, “conjunto C es la intersección de los conjuntos A y B.” Escriba esto como, C = A ∩ B.

Gráficamente, una representación de A ∩ B es:  

La región rayada corresponde a A B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos. 

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

o Comutativo A ∩ B = B ∩ A La intersección de conjuntos es comutativa.

o Asociativo (D ∩ E) ∩ F = D ∩ (E ∩ F) La intersección de conjuntos es asociativa

o Distributivo (D ∩ E) ∪ F = (D ∪ F) ∩ (E ∪ F)А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C La intersección y la unión de conjuntos son distributivas

o Propiedad IdempotenteА ∩ А = А

o     Propiedad Conmutativa.А ∩ B = B ∩ А

Intersección con el VacíoА ∩ Ø = Ø

Diferencia La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por A - B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto de A y no pertenecen al conjunto B.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es {h, j}

Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

o Unicidad:  Dados dos conjuntos A y B, el resultado de la diferencia entre los conjuntos A y B es un único conjunto C y no puede ser otro distinto.

o Propiedad conmutativa: o Propiedad conmutativa

o Elemento neutro: El elemento neutro de la operación diferencia es el conjunto vacío.

COMPLEMENTO

Sean los conjuntos A y universal U. El complemento del conjunto A  es la parte el conjunto universal

U que no pertenece al conjunto A.Sean:

PROPIEDADES

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

o Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:

(A∁)∁ = A

o La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:A ∪ A∁ = U

o Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:

(A∁)∁ = Ao La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto

universal:

A ∪ A∁ = Uo Un conjunto y su complementario son disjuntos:

A ∩ A∁ = ∅o El complementario de A está contenido en el complementario de

cualquier subconjunto de A:

B ⊆ A implica que A∁ ⊆ B∁

ALGEBRA DE CONJUNTOS

PROPIEDADES UNION INTERSECCION1.- Idempotencia A  A = A A A = A

2.- Conmutativa A  B = B   A A  B = B  A3.- Asociativa A   ( B   C ) = ( A   B )   C A  ( B  C ) = ( A  B )  C4.- Absorción A   ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A5.- Distributiva A   ( B  C ) = ( A  B ) 

 ( A   C )

A  ( B   C ) = ( A  B )   ( A  C )

6.- Complementariedad A   A' = U A  A' =

Propiedades de identidad

o A∪ φ = A o A∪U = U o A∩U = Ao A∩φ = φ

LEYES DE D’MORGAN

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos: Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

En el diagrama de la izquierda, A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado, por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∩ 'B está representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas: dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir, primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir dentro de un paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo: ( y,x ) es la pareja ordenada, en donde x es la primera componente y y es la segunda componente. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A , y como

segunda componente a un elemento que pertenezca a B .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A× B y se lee “ A cruz B ”.

A× B = { ( y,x ) x∈ A y y ∈ B }

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B , son la parejas ordenadas ( y,x ) tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B .

Ejemplo.

Obtener el producto cartesiano A× B de los siguientes conjuntos: A = {1,2,3}B = {2,4,6,7 }

Solución.

A× B = {(1,2),(1,4),(1,6),(1,7),(2,2),(2,4),(2,6),(2,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,7)}

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus cardinalidades. En el ejemplo anterior, η(A) = 3 y η(B) = 4 , el número de parejas ordenadas es:

(3)(4) = 12.

El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que A× B ≠ B× A , a menos que A = B . Ejemplo.

Obtener el producto cartesiano B × A dados los mismos conjuntos anteriores: A = {1,2,3}B = {2,4,6,7 }

Solución.

B × A = {(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

A× B ≠ B × A

OPERACIONES GENERALIZADAS

El concepto de familia indexada de conjunto, permite generalizar las operaciones con conjuntos (unión, intersección, producto cartesiano) que se habían definido para dos conjuntos, al caso de un número arbitrario de conjuntos.

Dada una familia de conjuntos F y un conjunto I, se denomina familia indexada de conjuntos con conjuntos Índices I a toda

función f: I -> F

Si I es cualquier conjunto, una familia de conjuntos indizada por I es una colección de conjuntos, denotada por {Xi}, donde, para cada i € I, se tiene que Xi es un conjunto miembro de la familia. Entonces la unión de la familia {Xi} es el conjuntos de elementos x tales x pertenece a alguno de los conjuntos Xi. De igual forma, la intersección de la familia es el conjunto de todos los y tales y € Xi, para todos los i € I. De manera simbólica se tiene

PARTICIÓN

Una partición de un conjunto A es una clase de subconjuntos Sі de A que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes. En otras palabras, los subconjuntos son disjuntos (excluyentes) y su unión es A (exhaustivos).

Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A1,A2, . . . ,An, constituyen una partición del mismo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Ai ≠ Ø; Ʉi = 1,2,3,…,n2 Ai ᴖ Aj = Ø; Ʉi ≠ j,i, j=1,2,3,…,n3. A1 ᴗ A2 ᴗ A3 …An = A

Las particiones de conjuntos ya han demostrado ser muy útiles en las cuestiones de Combinatoria: la regla de la suma nos permitirá evaluar el tamaño de un conjunto si lo

“partíamos” en subconjuntos (disjuntos dos a dos) cuyo tamaño fuera más fácil de calcular.

Sea X un conjunto con n elementos, que supondremos, como hacemos habitualmente,que son los números {1, . . . , n}. Una partición en k bloques no vacios de X será una

colección de subconjuntos {A1, A2, . . . Ak} , tales que

1. los bloques, efectivamente, conforman una partición de X:X = A1 ∪ · · · ∪ Ak y Ai ∩ Aj = Ø para cada i = j.2. Y los bloques son no vacíos , esto es, Ai = Ø para cada i = 1, . . . , k.

Es importante señalar que el orden de los elementos dentro de cada bloque es irrelevante y el de presentación de los bloques, también. Observemos que, pese a que los nombremos como

A1, . . . , Ak, no estamos dando un orden entre ellos.

LA CARDINALIDAD

Es simplemente la forma en que se relacionan las Entidades, o expresa cuantas entidades se relacionan con otras entidades. Hay varias maneras de mostrar las cardinalidades:

-Poner etiquetas en las líneas que unen las relaciones con las entidades, consiste en un mínimo y máximo que contiene un cero (varios a varios) y lo usual es poner una “M” en unExisten 4 tipos de relaciones que pueden establecerse entre entidades, las cuales establecen con cuantas ocurrencias de entidad de tipo b se puede relacionar una ocurrencia de entidad de tipo a:Relación uno a uno. Relación uno a varios (n). Relación varios (n) a uno. Relación varios a varios (n)- (n).

UNO A UNOCada registro de la tabla A se relaciona sólo con un registro de una tabla B y cada registro de la tabla B se relaciona sólo con un registro de la tabla A.

UNO A VARIOS

Cada registro de la tabla A está relacionado con varios registros de la tabla B y cada registro de la tabla B está relacionado con un sólo un registro de la tabla A.

VARIOS A VARIOS Cada registro de la tabla A puede estar relacionado con más de un registro de la tabla B y cada registro de la tabla B puede estar relacionado con más de un registro de la tabla A.

FIN