Proposiciones

Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o

"falso", pero no ambas cosas a la vez.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.

1: Verdadero

0: Falso

Ejemplos

P: La matemática es una ciencia.

q: 2 es un número impar.

r: mañana es 27 de junio.

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1 si la

proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos

decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

Operaciones Veritativas

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una

proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una

proposición molecular o compuesta.

A continuación daremos una tabla de los conectivos que se usarán y la operación que se realiza con

cada uno de ellos para formar nuevas proposiciones. Estas operaciones son

llamadas operaciones veritativas. Aquí g y t representan dos proposiones cualesquiera.

.Conectivos logicos: La negación

Tabla de verdad de los conectivos logicos

Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se

lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación

de dicha proposición.

La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera

cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica mediante la

siguiente igualdad:

VL (p)= 1- VL(~ p)

En efecto

Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0

Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera

cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica mediante la

siguiente igualdad:

VL (p)= 1- VL(~ p)

En efecto

Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0

Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

Si p es la proposición

P: Barcelona es un estado Oriental.

Entonces su negación se puede expresar de tres formas:

~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.

~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.

~ p: Barcelona no es un estado Oriental.

~ p: De ninguna manera Barcelona es un estado Oriental.

La conjunción

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q,

que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor

de los números dados.

Ejemplo

Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.

q: Bolívar murió en Colombia.

r: Miranda nació en Coro.

Entonces

1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.

Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.

2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.

Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.

La disyunción inclusiva

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p vq,

que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

La disyunción exclusiva

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición

p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la

disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).

El condicional

Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente

q es la proposición p q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la

siguiente tabla:

Ejemplo

a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:

1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

Condición Necesaria y Condición Suficiente

El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática, ya que la

mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado

hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con las

llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la condición suficiente y el

consecuente la condición necesaria.

Así el condicional A C puede ser leído de las siguientes maneras:

1. Si A entonces C

2. C es condición necesaria para A

3. Una condición necesaria para A es C

4. A es condición suficiente para C

5. Una condición suficiente para C es A

6. C si A

7. A sólo si C

8. A solamente si C

.El Bicondicional

Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q

a la proposición p q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para

q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

p q P q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

o en otras palabras el VL (P q ) = 1 si VL (p) = VL (q)

La tabla nos dice que p q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando

VL(p) VL(q)

Formas Proposicionales

A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los conectivos lógicos a las variables

proposicionales p, q, r, s, t, etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo t (q ~ r)

~ [(p s) (r q)] son formas proposicionales y podemos decir, para ser más preciso que las

variables proposicionales también son formas proposicionales.

Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Tablas de verdad

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y

depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este

caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes

combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de combinar

valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:

Pasos para construir la tabla:

( p q) (p r)

. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones

2. Determinamos las combinaciones:

p q r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

3. Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la

variables sus valores de verdad :

p q r ( p q ) ( p r )

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

(4)

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

(6)

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

(5)

F

V

F

V

F

V

F

V

Tautologias y Contradicciones

Proposición Tautológica o Tautología

Definición: Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los valores de

verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente de los valores de sus

variables.

Ejemplo: Probar que P P es una tautología

P P

1 1 0

0 1 1

Contradicción

Definición: Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de

verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo

siguiente es una contradicción, p p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de

verdad.

Ejemplo: Probar que p p es una contradicción

p p

1 0 0

0 0 1

Leyes del Algebra de Proposiciones

1. Leyes Idempotentes 1.1. p p p

1.2. p p p

2. Leyes Asociativas

2.1. (P q) r p (q r)

2.2. (P q) r p (q r)

3. Leyes Conmutativas

3.1. P q q p

3.2. P q q p

4. Leyes Distributivas

4.1. P ( q r ) ( p q ) (p r)

4.2. P ( q r ) ( p q ) (p r)

5. Leyes de Identidad

5.1. P F P

5.2. P F F

5.3. P V V

5.4. P V P

6. Leyes de Complementación

6.1. P P V (tercio excluido)

6.2. P P F (contradicción)

6.3. P P (doble negación)

6.4. V F, F V

7. Leyes De Morgan

7.1. ( P q ) P q

7.2. ( P q ) P q

Otras Equivalencias Notables

a. p q p q (Ley del condicional)

b. p q (p q) (q p) (Ley del bicondicional)

c. p q ( p q ) ( q p ) (Ley de disyunción exclusiva)

d. p q q p (Ley del contrarrecíproco)

e. p q ( p q )

f. ( (p q ) r ) ( p r ) (q r ) (Ley de demostración por casos)

g. (p q) (p q F) (Ley de reducción al absurdo)

Ejemplo

a. Probar la primera Ley de De Morgan: ( P q ) P q

b. Probar la Ley del contrarrecíproco: p q q p

Solución

Debemos probar que los siguientes bicondiconales son tautologías:

a. ( P q ) P q b. (P q) ( q p)

0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

Probar deductivamente la ley de exportación ( p q ) r ) ( p (q r )

Solución

( p q ) r ( p q ) r ( Ley condicional )

( p q) r ( Ley de De Morgan)

p ( q r ) ( Ley asociativa )

p (q r) ( Ley condicional)

Es evidente que cualquier forma proposicional que es equivalente a una tautología o a una contracción, también es una tautología o una contracción, respectivamente.

1. Usando las leyes del álgebra de proposiciones, probar que es una tautología. ( p ( p q )

) q

Solución

( p ( p q ) ) q ( p ( p q ) q ( Ley del condicional )

p ( p q ) q ( Ley de De Morgan)

p ( ( p q ) q ) ( Ley asociativa )

p (q ( p q) (Ley conmutativa )

( p q ) ( p q ) ( Ley asociativa )

v ( Ley del tercio Excluido )

Luego, ( p ( p q ) ) q , por ser equivalente a una tautología, es también una tautología.

Una de las grandes utilidades de las leyes dadas anteriormente es que nos

permiten simplificar proposiciones; el ejercio anterior es una prueba de ello. El procedimiento

probar que una proposición es equivalente a otra usando las leyes del álgebra proposicional, es

llamada prueba deductiva.

Equivalencia e Implicación logica

Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o

simplemente A implica a B, y se escribe:

A B si el condicional A B es una tautología

Ejemplos

Dos implicaciones lógicas muy conocidas son las leyes de simplificación y adición, las cuales

probaremos a continuación.

(Ley de Simplificación) Probar que p q implica lógicamente a p; o sea, ( p q ) p

(Ley de Adición) Probar que p implica lógicamente a p q; o sea, p ( p q )

Definición (Proposiciones Equivalentes)

Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a B, o

simplemente que A es equivalente a B, y escribimos

A B o A B,

Si y sólo si la forma bicondicional A B es una tautología.

Razonamientos

Definición: Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición,

llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.

Forma Proposicional de un Razonamiento

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en

forma proposicional como:

P1

P2

P3

P4

.

.

.

Pn

----

C

Ejemplo: razonamiento lógico:

Si el animal vuela, entonces el animal tiene alas.

Si el animal tiene alas, entonces el animal es un pájaro.

Luego, si el animal vuela, entonces el animal es un pájaro.

Simbólicamente lo podemos representar de la manera siguiente:

v ® a Donde v: el animal vuela

a ® p a: el animal tiene alas

_____ p: el animal es un pájaro

v ® p

En este razonamiento podemos notar que la conclusión es falsa, puesto que existen otros

animales que también vuelan pero no son pájaros.

Nos interesaremos en aquellos razonamientos en los que premisas verdaderas derivan

conclusiones verdaderas, éstos son los razonamientos correctos.

Definición: Diremos que un razonamiento es válido o correcto si la conjunción de premisas

implica lógicamente la conclusión, en otro caso se dice que es no válido.

Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.

Para saber si un razonamiento es válido utilizaremos una serie de pasos lógicos, tomando en

cuenta las premisas para llegar a la conclusión. Este procedimiento es llamado demostración.

En general, llamaremos demostración al encadenamiento de proposiciones que nos permitan

obtener otra proposición llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas

verdaderas. Las proposiciones iniciales las llamaremos premisas y constituyen las hipótesis de la

demostración.

Métodos de Demostración

Demostración Directa

En la demostración directa debemos probar una implicación:

P q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia de

proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas

previamente.

Demostración Indirecta

Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p C nos

proporciona la Ley del contrarrecíproco: P C C P.

Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del

contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que p C, se prueba que C P.

En el siguiente enlace encontrará ejemplos del método del contrarrecíproco, haga clic Aquí

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p q es

tautológicamente equivalente a la proposición (p q) (r r) siendo r una proposición

cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

Inferencia

1. Modus Ponendo Ponens(MPP)

(p q) p q p q

p

----------

q

2. Modus Tollendo Tollens (MTT)

(p q) q p p q

q

-----------

p

3. Silogismo Disyuntivo (S.D)

(p q) q p p q ó p q

(p q) p q q p

------------ -----------

p q

4. Silogismo Hipotético(S.H)

(p q) (q r) (p r) p q

q r

----------

p r

5. Ley de Simplificación

p q p p q ó p q

p q q p q

6. Ley de la Adición

p p q p q

---------- ó ---------

q p q p q p q

7. Ley de Conjunción

( p ) ( q) ( p q) p

q

---------

p q

Circuitos Logicos

Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma

proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un

circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la

misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Conexión en serie

Conexión en paralelo

Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

i) p (q r)

(ii) (p q) [( p r) ~ s)]

i)

p (q r)

ii)

(p q) [( p r) s)]

Simplificar el siguiente circuito:

Sol

(p q) ( p q) ( p q) [(p q) ( p q)] ( p q)

[(p p) q] ( p q)

[F q] ( p q)

q ( p q)

( q p) (q q)

( q p) F

( q p)

Así, el circuito se simplifica a: