UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

CABUDARE ESTADO LARA

INTEGRANTES: Héctor Peraza

TUTOR: Domingo Méndez

CONJUNTOSCONJUNTOS

• Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los

cuales se llaman Elementos.

• Se llama Conjunto Universal, el cual se denota por U, al

conjunto que contiene todos los elementos a considerar.

• Ejemplo:

• Considere el conjunto formado por todos los números naturales

menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A =

{1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N,

el conjunto formado por todos los números naturales.

• Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como

A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan

minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc.

• Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en

un círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.

• Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se lee

"x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se

escribe así: x є A la cual significa que x no está en A o no

pertenece a A.

Existen dos formas de determinar un conjunto:

Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno

a uno.

• Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}

• Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una

función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que

cumplen una condición dada.

Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18}

(Los números reales divisores de 18)

• Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo

cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un

elemento de B.

• Simbólicamente lo expresaremos como:

• A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )

• Ejemplo:

• A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto

formado por todos los Venezolanos

• Entonces, tenemos que todo elemento de A es también

elemento de B. Esta relación se simboliza por A B.

• TEOREMA:

• La relación de inclusión entre conjuntos es

•

• Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.

• Antisimétrica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.

• Transitiva: A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

• DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido

propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B

si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.

• Ejemplo:

• Si A = { a,d,f,} y B = { a,b,c,d,e,f,h }

• Entonces A es subconjunto propio de B.

• Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o

conjunto partes de A como (A) = { X / X ⊂ A}, es decir, es el

conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

• Ejemplo:

• Si A = {x,y,z} entonces

• (A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

CARACTERISTICAS:

La principal característica de este conjunto es que es un

conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.

Dado un conjunto A podemos conocer el número de

elementos de (A), ya que si A tiene n elementos, entonces

(A) tiene 2n elementos.

• El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes

conserva la relación de inclusión:

• Teorema A ⊂ B Û (A) ⊂ (B)

• DEFINICION:

• Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:

• ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x є

A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es

subconjunto de todo conjunto A.

• REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO

• Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas

como veremos en el siguiente ejemplo.

• Ejemplo :

• Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación

tabular de AXB

• Solución

• AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

• Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son

iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {9,3,5,2,10} son

iguales.

• El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos

conjuntos son iguales.

• Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂

A

• Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión,

la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:

• (x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )

• Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el

conjunto:

• A U B = { x є U / x є A ^ X єB}

• Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.

• Ejemplo:

• Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,

• A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:

A U A = A

A U U = U

A U Φ = A

A U B = B U A

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d,e} B = {a,c,e,h,i,j,k}

La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e}

• Sean A y B conjuntos, luego se cumple:

• A I A = A , ∀ A

• A I U = A , donde U es el conjunto universal

•

• A I Φ = Φ

•

• A I B = B I A

• Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia

entre A y B como el siguiente conjunto:

• A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los

elementos que están en A pero que no están en B.

• Ejemplo:

• Consideremos los conjuntos

• A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}

• Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-

4,6,8,10,18}

• TEOREMA:

• Sean A y B dos conjuntos luego:

• A - B = AI C(B)

• C(C(A)) = A

• A U C(A) = U

• A I C(A) = f

• C(U) = f

• C(f ) = U

• A Ì B Û C(B) Ì C(A)

(Leyes de Morgan para conjuntos)

• C(A U B) = C(A) I C(B)

• C(A I B) = C(A) U C(B)

• Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra

de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las

leyes del álgebra de conjuntos que veremos a

continuación:

• Leyes de Idempotencia

• A U A = A ⋂ A = A

• A

• Leyes Asociativas

• A U (B U C) = (A U B) U C

• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

• Leyes Conmutativas • A U B = B U A • A ⋂ B = B ⋂ A

Leyes Distributivas • A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C) • A

• Leyes de Identidad • A U Φ = A ⋂ Φ = Φ• A Leyes de Dominación• A U U = U U: conjunto universal • A ⋂ U = A

Leyes de Complementación• A U C(A) = U • A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U • C (C(A)) = A • C (U) = • C

Leyes de De Morgan • C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B) • C(A)

• Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù b Î B}

• TEOREMA:• Si A,B,C son tres conjuntos entonces:

• A x B = F Û A = F Ú B = F

• A x (B U C) = (A x B) U (A x C)• • A x (B I C) = (A x B) I (A x C)

• A x (B -C) = (A x B) - (A x C)

• Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de

conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un

conjunto.

• Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de

conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.

• Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de

X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:

• Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir,

una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de

la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de

la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.

• Ejemplo:

• Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d,

f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

• Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.

• TEOREMA:

• Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:

• (B - A) = #B - #(A I B)

• #(A U B) = #A + #B - #(A I B)

• TEOREMA:

• Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces

• #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).

• Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana

cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos.

A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la

teoría de cardinalidad de conjuntos.