trabajo final de mate discretas

RELACIONES

Llamamos Relacioacuten de A en B a cualquier subconjunto del Producto Cartesiano de AmiddotB

A = ab B= 123

R = (a1) (a3) (b2) (b3)

Graacuteficos

Para ver el graacutefico seleccione la opcioacuten Descargar del menuacute superior

MR1= 1 0 1

0 1 1

Matriz booleana Tabla Simple Doble entrada

Diagrama de Venn Diagrama Cartesiano

Llamamos Dominio (D) de una relacioacuten al conjunto de elementos del primer conjunto que son primer componente de alguacuten par de la relacioacuten

Llamamos Imagen ( I) al conjunto de elementos del segundo conjunto que son segunda componente de alguacuten par

La Relacioacuten Complementaria (R) de otra dada es la diferencia entre el producto cartesiano de AmiddotB y la relacioacuten R definida de Areg B

La Relacioacuten Inversa (Rmacrsup1) es la relacioacuten que contiene a los pares (xy) (yx) Icirc R

FUNCIOacuteN

Decimos que una relacioacuten es una funcioacuten si para cada elemento del primer conjunto existe una uacutenica imagen

Si cada elemento del segundo conjunto es imagen de alguien entonces la funcioacuten es Sobreyectiva

Si cada elemento del segundo conjunto es a lo sumo imagen de un elemento del primer conjunto entonces la funcioacuten es Inyectiva

Si una funcioacuten es sobreyectiva e inyectiva entonces es Biyectiva

RELACIONES DEFINIDAS DE UN CONJUNTO EN SI MISMO (Areg A)

Reflexividad Una relacioacuten es Reflexiva cuando para cada x Icirc A el par (xx) Icirc a la relacioacuten Si estaacute escrita en forma de pares deben figurar tantos pares (xx) como elementos tenga el conjunto Si estaacute dado matricialmente la diagonal principal

debe ser toda de 1 Si algunos pares (xx) figuran y otros no la relacioacuten es No Reflexiva Si ninguacuten par (xx) figura la relacioacuten es Areflexiva

Simetriacutea Una relacioacuten es Simeacutetrica si todo par tiene su inverso en la relacioacuten Si algunos pares tienen simeacutetrico y otros no la relacioacuten es No Simeacutetrica Si ninguacuten par tiene simeacutetrico la relacioacuten es Antisimeacutetrica

Transitividad Una relacioacuten es Transitiva si existiendo en la relacioacuten dos pares del tipo (xy)(yz) entonces aparece tambieacuten el par (xy)

CLAUSURA DE UNA RELACIOacuteN

Clausura Reflexiva Es la menor relacioacuten reflexiva que contiene a la dada Si la relacioacuten es reflexiva es su propia Clausura Transitiva Si la relacioacuten estaacute dada por una matriz booleana la Clausura Reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal

Clausura Simeacutetrica Es la menor relacioacuten simeacutetrica que contiene a la dada Si una relacioacuten es simeacutetrica es su propia Clausura Simeacutetrica Si la relacioacuten estaacute dada como matriz booleana se cambian los 1 por 0 necesarios para que sea simeacutetrica respecto de la diagonal principal

Clausura Transitiva Es la menor relacioacuten transitiva que contiene a la dada Si la relacioacuten es transitiva es su propia Clausura Transitiva Si no lo es se halla usando el siguiente meacutetodo

1 t

2 Se encuentran las potencias de R (Rsup2 Rsup3 etc)

t t-1 i

3 Si R es la relacioacuten total o producto cartesiano no se buscan maacutes potencias y esa es la Clausura Transitiva

4 Si R es la matriz nula entonces la CT es la unioacuten generalizada Ryen = U R

t i=1

4) Si R es igual a alguna potencia anterior entonces no se buscan maacutes potencias y la CT es ideacutentica que en el punto anterior

Clasificacioacuten de las relaciones por sus propiedades

Una relacioacuten es de Orden Estricto si es asimeacutetrica y transitiva P Ej gt

Una relacioacuten es de Orden Amplio si es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva P Ej sup3

Una relacioacuten es de Equivalencia si es reflexiva simeacutetrica y transitiva

Ejemplificacioacuten

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

Al tener en su Diagonal Principal uacutenicamente 1 la matriz es simeacutetrica (Diagonal principal sombreada)

Como los elementos que bordean a la Diagonal principal son ideacutenticos la matriz es reflexiva (Elementos en cursiva)

Al multiplicar la matriz por si misma se obtiene otra matriz ideacutentica y por lo tanto se halla la clausura transitiva

COMPOSICIOacuteN DE FUNCIONES

R A reg T

T A reg A

R= (12) (23) (31) (32)

T= (11) (21) (31) (33)


Rdeg T= (12) (22) (32) (31)

Tdeg R= (11) (21) (23) (31)

Cuando componemos un conjunto con eacutel mismo lo podemos anotar con notacioacuten exponencial Rdeg R = Rsup2

Cuando componemos una matriz con ella misma puede ocurrir que obtengamos la matriz nula entonces a partir de ella todas las potencias restantes seraacuten la matriz nula Podemos obtener la matriz total (toda de 1) en cuyo caso de ahiacute en mas todas las potencias seraacuten iguales a ella Puede ocurrir que encontrando las potencias de una relacioacuten obtengamos una que ya habiacutea aparecido de tal forma que se repetiraacuten ciacuteclicamente

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una relacioacuten es de Relacioacuten de Equivalencia (ordm ) cuando es reflexiva simeacutetrica y transitiva Estas relaciones tienen una caracteriacutestica muy particular producen en el conjunto en el cual las definimos una particioacuten

Esta particioacuten se caracteriza porque en cada conjunto de los que integran la particioacuten encontramos elementos equivalentes entre si

Sea el conjunto A y en el definido una relacioacuten de equivalencia Tomamos el primer elemento y formamos la clase que lo contiene Comparamos el segundo elemento si son equivalentes B quedaraacute en la clase del A y sino abrimos la clase del B que lo contiene

Tomamos el elemento C y lo componemos con A si es de equivalencia queda en la clase del A sino lo comparamos con B y sino abrimos la clase del C que lo contiene y asiacute sucesivamente

Si los elementos son infinitos con alguacuten criterio podremos interpretar el armado de las clases de equivalencia

El conjunto de todas las clases de equivalencia es el Conjunto Cociente

CONJUNTO COCIENTE

Decimos que el Conjunto Cociente es una particioacuten porque

a como cada clase se abre para cada elemento ninguna puede ser AElig

b) Como comparamos todos los elementos de A la unioacuten de todas las clases seraacute A

Sea X1 Icirc Ca ^ X1 Icirc Cb

X1 Icirc Ca THORN X1 ordm a THORN a ordm X1 Œ

X1 Icirc Cb THORN X1 ordm b

Œ y a ordm b THORN b Icirc Ca THORN Ca = Cb

Ca y Cb = AElig

Relacioacuten de equivalencia compatible con una operacioacutenUcirc

Decimos que Ucirc y ordm son compatibles cuando si a es equivalente a b y c es equivalente a d entonces aUcirc c es equivalente a bUcirc d

OPERACIONES BINARIAS

Llamamos Operacioacuten Binaria a cualquier funcioacuten de Atimes B en C Es decir a un par ordenado con primer elemento perteneciente a A y segundo componente perteneciente a B le hacemos corresponder un elemento de C

Los conjuntos A B y C pueden ser distintos o iguales Cuando A=B y tenemos una funcioacuten Atimes A en C como puede ser la resta definida en nxn que va a parar a Z vemos que sale fuera de los nuacutemeros naturales Ejemplo 5-12= -7 donde 5 y 12 Icirc N y -7 Icirc Z

Puede ocurrir que B y C sean iguales y tenemos Ley de Composicioacuten Externa Ejemplo Producto de un escalar por un vector que va de rxb en b

Puede ocurrir que A=B=C en este caso la funcioacuten no va de Atimes A en A y decimos que es una Ley de Composicioacuten Interna o bien una Operacioacuten Cerrada o que cumple con la Ley de Cierre

Propiedades

Propiedad Conmutativa AUcirc B = BUcirc A Propiedad Asociativa (AUcirc B)Ucirc C = AUcirc (BUcirc C)

Elementos Notables

Idempotencia A Ucirc A = A Elemento Neutro A Ucirc e = A Elemento Inverso A Ucirc Arsquo = e Elemento Absorbente micro Ucirc A = micro Involucioacuten A Ucirc A = e


Sea AUcirc B= A+B - 3AB definida en Z

1) La operacioacuten es cerrada porque lo son la suma y la multiplicacioacuten en Z y porque lo es la multiplicacioacuten de nuacutemeros enteros

Propiedad Conmutativa A+B - 3AB = B+A ndash 3BA Esto es vaacutelido puesto que la suma y la multiplicacioacuten son operaciones conmutativas

Propiedad Asociativa

AUcirc (B + C - 3BC) = A + B + C ndash 3BC ndash 3A (B + C-3BC) = A + B + C - 3BC - 3AB - 3AC + 9ABC Œ

(A + B - 3AB)Ucirc C = A + B - 3AB + C - 3 (A + B - 3AB) C = A + B + C - 3AB - 3AC -3BC + 9ABC

Noacutetese que aplicando la asociatividad en ambos casos (Œ y ) se llegoacute al mismo resultado por lo tanto la operacioacuten es asociativa

Idempotencia

AUcirc A = A + A - 3AA

2A - 3AA = A

2A - 3Asup2 sup1 A

No es idempotente

Elemento Neutro

AUcirc C = A + C ndash 3AC

A + e ndash 3 Ae = A

e ndash 3 AC = 0

e (1ndash3A) = 0

e = 0

En este caso el Elemento Neutro es el Cero

Elemento Inverso

AUcirc Arsquo = A + Arsquo ndash 3AArsquo

A + Arsquo ndash 3AArsquo = 0

Arsquo ndash 3AArsquo = ndash A

Arsquo (1ndash3A)= ndash A

A = ndash A (1ndash3A)

Obseacutervese que Iuml Z y que ademaacutes A sup1 13 por lo tanto no existe un Elemento Inverso

Elemento Absorbente

AUcirc micro = A + micro ndash 3Amicro

A+micro ndash 3 Amicro = 0

micro = ndashA (-3A)

micro = 13

Al existir dos soluciones posibles no existe Elemento Absorbente

Si la operacioacuten no es conmutativa debemos probar el neutro a derecha y a izquierda Puede ocurrir que no exista neutro porque queda en funcioacuten de A o bien que exista derecha pero no izquierda o viceversa Por ejemplo La potencia tiene neutro a derecha pero no tiene neutroizquierda Para poderdecir que una operacioacuten no conmutativa tiene neutro debe tener neutroizquierda neutroderecha y ambos deben ser iguales

httpwwwmonografiascomtrabajos21matematica-discretamatematica-discretashtml

1 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta


Relacioacuten binaria en A3 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Representacioacuten de una relacioacuten

a4 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Diagrama sagital

bullRepresentacioacuten graacutefica con flechasndashaisinAbullandashaRb

ejemplo A=abcdR=(ac)(ad)(ba)(bb)(bd)(ca)(dc)


Matriz de adyacencia

Suponemos

un orden en los elementos de A en este caso el

alfabeacutetico


Operaciones con relaciones 1

Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten

R1cupR2=(ab) isinAxA aR1boacuteaR2bbullComposicioacuten o producto

R1degR2=(ab) isinAxA existcisinA aR1cy cR2bndashEn general R1degR2 neR2degR1ndashLa composicioacuten es asociativa Rn+1=RndegR7 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias


bullM(R1cupR2)=MR1 oplusMR2bullM(R1degR2)=MR1 otimesMR2ndashoplussuma booleanandashotimesproducto booleano

oplus00

1111

000101



Dada R sobre A=a1an y MRsu matriz de adyacenciabullMR= ORhArrR=empty(matriz nula de orden n)bullMR= 1RhArrR=AxA(matriz de unos de orden n) bullMRm= (MR )m m isinZ+(m-eacutesimapotencia booleana)

Rmestaacuteformada por los pares de elementos que se pueden conectar mediante un camino de longitud m


ejemplo


Propiedades

R definida sobre A con matriz de adyacencia M y Card(A)=n

bullReflexiva [forallxisinAxRx] hArrInoplusM=MbullSimeacutetrica [forallxyisinAxRyrArryRx] hArrM=MtbullTransitiva [forallxyzisinAxRy yRzrArrxRz] hArrMoplusM2=MbullAntisimeacutetrica [forallxyisinA xRy yRxrArrx=y] hArren M+Mtno aparece ninguacuten 2 salvo a lo sumo en la diagonal11 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Cierre de relaciones 1

bullCierre reflexivo CR(R) menor relacioacuten reflexiva que contiene a RndashR subCR(R)minusCR(R) es reflexivandashSi S es reflexiva y tal que RsubS entonces CR(R) subS bullCierre simeacutetrico CS(R) menor relacioacuten simeacutetrica que contiene a RndashR subCS(R)minusCS(R) es simeacutetricandashSi S es simeacutetrica y tal que RsubS entonces CS(R) subSbullCierre transitivo CT(R) menor relacioacuten transitiva que contiene a RndashR subCT(R)minusCT(R) es transitivandashSi S es transitiva y tal que RsubS entonces CT(R) subS12 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias


R definida sobre A=a1an con matriz de adyacencia MRbullMCR(R)= MRoplusInbullMCS(R)= MRoplusMtRbullMCTR(R)= MRoplusM2R oplusM3R oplusoplusMnR13 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Relaciones de orden

bullDada una relacioacuten binaria R definida sobre A se dice que R es una relacioacuten de ordenen A si verifica las propiedadesndashreflexivandashantisimeacutetricandashtransitiva

Se dice entonces que a estaacuteordenado por R o que el par (AR) es un conjunto ordenado

Rela

ciones de orden


Notacioacuten

Utilizaremos el siacutembolo lepara las relaciones de ordenaRba leb

Se lee a es anterior a b(menor o igual) o bien b es posterior a a(mayor o igual)

bullDistintas relaciones sobre un mismo conjunto dan lugar a distintos conjuntos ordenadosbullabisinA son comparablessi aRbo bRa

Relaci

ones de orden


ejemplo

En N a leb hArrexistn isinN b=anEs una relacioacuten de orden

ndashreflexiva a=a1 forallaisinN ndashantisimeacutetrica forallabisinN si a leb y blea existnm isinN b=any a=bm entonces b= [bm]n=bmmiddotnluego mmiddotn=1 y como nm isinN m=n=1 asiacutea=bndashtransitiva forallabcisinN si a leb y blec existnm isinN b=any c=bm entonces c= [an]m=anmiddotmluego si k = nmiddotm existkisinN c=ak es decir a lec

Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1

bullDada una relacioacuten de orden R en A y R1una relacioacuten asociada a R tal queaR1bhArraRby a neb(altb hArra leb y a neb)el diagrama Hassede R es el diagrama sagital de la relacioacuten HR=R1-R12Si Card(A)=n matricialmente MHR=(MR-In)-(MR-In)2

Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2

bullPermite asociar a una relacioacuten de orden un diagrama maacutes sencillo que el diagrama sagitalbullConstruccioacuten del diagrama Hasse a partir del diagrama sagitalndasheliminar los buclesndasheliminar todas las flechas que puedan derivarse de aplicar la propiedad transitiva

Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden


Orden total y parcial

bull(A le) estaacutetotalmente ordenadosi cualquier par de elementos son comparables se dice entonces que lees de orden total En otro caso se dice que (A le) estaacuteparcialmente ordenadoy que lees de orden parcialbullC es una cadenade (A le) si C subA y (C le) estaacutetotalmente ordenado

Relaciones de orden


Elementos notables 1

Dados (Ale) y C

subA Cneempty

bullaisinAes cota superiorde C si forallcisinC cleandashC estaacuteacotado superiormentendashLa menor de las cotas superiores es el supremobullaisinAes cota inferiorde C si forallcisinC alecndashC estaacuteacotado sinferiormentendashLa mayor de las cotas inferiores es el iacutenfimobullEl supremo y el iacutenfimo si existen han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores respectivamente

Relaciones de orden



Dados (Ale) y C subA Cneempty

bullaisinCes elemento maximalde C si forallcisinC alec rArra=cbullmisinCes maacuteximode C si forallcisinC clemndashsi existe es el uacutenico elemento maximalde CbullaisinCes elemento minimalde C si forallcisinC clea rArra=cbullmisinCes miacutenimode C si forallcisinC mlecndashsi existe es el uacutenico elemento minimalde C

Relaciones de orden



bullPueden existir uno varios o ninguacuten elemento maximaly minimalbullEl maacuteximo (miacutenimo) cuando existe es el uacutenico elemento maximal(minimal)bullSi en C existe supremo (iacutenfimo) es uacutenicobullSi C tiene maacuteximo (miacutenimo) coincide con el supremo (iacutenfimo)

Relaciones de o

rden


ejemplo

bullabendashdes cota superior y supremondashbe son elementos maximalesndashno tiene maacuteximondashaes cota inferior iacutenfimo miacutenimo y el uacutenico elemento minimal

Relaciones de orden


Relaciones de equivalencia

Dada una relacioacuten binaria R definida sobre A se dice que R es una relacioacuten de equivalenciaen A si verifica las propiedades

ndashreflexiva

ndashsimeacutetricandashtransitiva



Clase de equivalencia

Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente

bullUna particioacutende un conjunto A es una familia de subconjuntos no vaciacuteos de A Ai disjuntos entre siacutey cuya unioacuten es Aforalli Aineempty AjcapAi=emptyforallinejcupAi=AbullLa relacioacuten de equivalencia R define en A una particioacuten formada por las clases de equivalenciabullLlamamos conjunto cociente de A por R a AR=[a] aisinAbullCada particioacuten de A estaacuteasociada a una relacioacuten de equivalencia definida en eacutel

Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1

A=palabras de n bitsw(a) el nuacutemero de unos que contiene a

aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2

)R es de equivalencia

ndashReflexiva aRaw(a) equivw(a)(mod2)ndashSimeacutetrica aRbrArrbRaw(a) equivw(b)(mod2) rArrw(b)equivw(a)(mod2)ndashTransitiva aRby bRcrArraRcw(a)equivw(b)(mod2) y w(b)equivw(c)(mod2) rArrw(a)equivw(c)(mod2)

Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2

R define en A una particioacuten formada por dos clases de equivalencia cada una con 2n-1elementos[0]=aisinA a tiene un nuacutemero par de unos[1]=aisinA a tiene un nuacutemero impar de unosPara n=3

[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel

aciones de equivalencia


Planificacioacuten de tareas 1

bullTareas entre las que hay relaciones de dependencia unas han de realizarse antes que otrasbullUno o varios equipos simultaacuteneamente realizan las tareasbullObjetivo distribuir las tareas entre los equipos disponibles acatando la dependencia entre tareasbullPlanificacioacuten asignacioacuten ordenada de tareas a cada equipo

Planificacioacuten

de tareas



Planificacioacuten de tareas


Orden topoloacutegico 1

bullUn orden topoloacutegico lt es una extensioacuten de un orden parcial lesobre un conjunto Asi se verifica que

si aleb entonces altb




1Iniciar T=[]2Mientras Aneemptyndashsi existmisinA minimal1048707Incluir m en T1048707Eliminar m de (AR)1048707Volver a (2)ndashEn otro caso A no es realizable Salir3Salida T orden topoloacutegico



Planificacioacuten correcta

1Iniciar T=[]2Mientras Aneemptyndashsi existmisinA minimaly primera tarea de un equipo E1048707Incluir m en T1048707Eliminar m de (AR) y de E1048707Volver a (2)

ndashEn otro caso P no es correcta Salir3Salida T orden topoloacutegico



Tiempo de realizacioacuten de tareas

bullcoste de m w(m) es el tiempo que se necesita para realizar la tarea m una vez terminadas las tareas previas a mbullt(m) tiempo que se necesita para la realizacioacuten de la tarea m incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m

t(m)=w(m) + maxt(ai)

aiRmbullt(R)=maxt(a) aisinA es el tiempo miacutenimo en el que se pueden realizar las tareas de A

Plan

ificacioacuten de tareas


Tiempo miacutenimo para la realizacioacuten de tareas

1Mientras existan tareas no marcadas en Andashsi existe misinA minimalno marcado1048707Calcular t(m)=w(m)+maxt(b) bRm1048707Marcar m1048707Volver a (1)ndashEn otro caso A no es realizable Salir2Salida t(R)=maxt(a) aisinA

Planificacioacuten

de tareas


bulltp(m) tiempo que se necesita para la realizacioacuten de la tarea m en la planificacioacuten P incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m y las anteriores a m en su equipo

tp(m)=w(m) + maxtp(ai) aiRmoacuteaies anterior a m en su equipobulltp(R)=maxtp(a) aisinA es el tiempo miacutenimo en el que se pueden realizar las tareas de A en la planificacioacuten P37 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

1Mientras existan tareas no marcadas en Andashsi existe misinA minimalno marcado y primera tarea no marcada de un equipo1048707Calcular tp(m)=w(m)+maxtp(b) bRmoacuteb es el anterior a m en su equipo1048707Marcar m1048707Volver a (1)ndashEn otro caso P no es correcta Salir2Salida tp(R)=maxtp(a) aisinA38 Matemaacutetica discreta Relaciones binarias

Optimizacioacuten del nuacutemero de equipos equipos 1

bullW=Σw(a) aisinAbullA conjunto de n tareasbullSi P es una planificacioacuten con n equipos se verifica Wlenmiddott(R) rArrngeWt(R) Esto nos da una cota inferior para el nuacutemero de equipos necesarios para ejecutar las tareas en el menor tiempo t(R)

Planifi

cacioacuten de tareas


1Iniciar los equipos Ei=[] y los tiempo ti=0 1leilen2forallmisinA minimalndashEncontrar el menor k tk=0 xk= m tk= w(m) incluir m en Ek3Mientras existan tareas no marcadas en AndashSi existEi tine01048707forallj tj= mintitine0 marcar xj(uacuteltimo elemento de Ej) tjrsquo= tj tj=01048707foralla xjRay todos sus previos estaacuten marcadosbullEncontrar el menor k tk=0 xk=a tk= tjrsquo+ w(a) incluir a en Ek1048707Volver a (3)ndashR no es realizable Salir4Salida P=Ei Eine[]

httpwwwuclmesprofesoradoraulmmartinFundamentosMatematicosIIRelaciones20binarias_auxpdf

Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 123Matemaacuteticas DiscretasTC1003Relaciones entre Conjuntos PropiedadesDepartamento de Matemaacuteticas Centro de Sistema Inteligentes

ITESMRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3

SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 223Representacioacuten Alternativa para RelacionesSea A un conjunto y R una relacioacuten de A en A Eneste caso diremos que R es una relacioacuten sobre A ouna relacioacuten en A Alternativamente al diagramade flechas del conjunto hacia si mismoa

bcabcabcRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 323

EjemploSi A = 1 2 3 4 yR = (1 2) (1 3) (1 4) (2 2) (3 3) (4 1) dibuje eldiagrama de flechas de las relacioacutenSoluciacuteon1 23 4RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 423

Relacioacuten ReflexivaDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice quen R es reflexiva si forallx (x isin A rarr (x x) isin R)Es decir toda relacioacuten que sea reflexiva debe teneral menos n flechas (suponiendo que n es el nuacutemerode elementos de A) deben estar todas las parejas(a a) donde a barre todos los elementos de ARepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7

Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 523Ejemplos1 23 4Relacioacuten no Reflexiva1 23 4Relacioacuten ReflexivaCada nodo debe tener un ciacutecloRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7

Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 623EjemplosDe acuerdo a la mtriz de adyacencia de unarelacioacuten2666666666666666666641 middot middot middot0377777777777777777775

2666666666666666666641 middot middot middot 11377777777777777777775Relacioacuten No reflexiva Relacioacuten ReflexivaEn la diagonal principal debe haber soacutelo unospara relaciones reflexivas En las no reflexivas hayal menos un ceroRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4Transitividad

Ejemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 723Relacioacuten SimeacutetricaDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice queR es simeacutetrica siforallx y ((x y) isin R rarr (y x) isin R)Que no nos engantildee la implicacioacuten no dice quetengamos flechas de x a y para todo x y y Diceque en caso de haber una flecha de x a y debemosde tener una de y a x en las relaciones simeacutetricas

RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 823Ejemplos1 23 4Relacioacuten no simeacutetrica1 23 4Relacioacuten SimeacutetricaRepresentaciacuteon

Ejemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 923Relacioacuten AntisimeacutetricaDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice queR es antisimeacutetrica siforallx y ((x y) isin R and (y x) isin R rarr x = y)

Cuando estaacuten las parejas (x y) y (y x) en larelacioacuten es porque las parejas son (x x)RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1023Ejemplos1 23 4Relacioacuten no Antisimeacutetrica

1 23 4Relacioacuten AntisimeacutetricaRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1123Relacioacuten TransitivaDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice queR es transitiva si

forallx y z ((x y) isin R and (y z) isin R rarr (x z) isin R)RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1223Ejemplos1 23 4Relacioacuten no Transitiva1 23 4

Relacioacuten TransitivaRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1323Relacioacuten de EquivalenciaDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice queR es una relacioacuten de equivalencia si R es reflexivasimeacutetrica y transitiva

RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1423Ejemplos1 23 4Relacioacuten no de Equivalencia1 23 4Relacioacuten de EquivalenciaRepresentaciacuteon

Ejemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1523Relacioacuten de Orden ParcialDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten Se dice queR es una relacioacuten de orden parcial si R esreflexiva antisimeacutetrica y transitivaRepresentaciacuteonEjemplo 1

ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1623Ejemplos1 23 4Relacioacuten que no es Orden Parcial1 23 4Relacioacuten de Orden ParcialRepresentaciacuteonEjemplo 1Reflexiva

Ejemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1723EjemploConsidere el conjuntoA = 1 2 3y la relacioacutenR =8gtgtltgtgt(2 2) (2 3) (1 2) (1 1) (3 3)9gtgt=gtgt

Indique cuaacuteles propiedades tiene la relacioacutenRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1823EjemploIndica cuaacuteles de las siguientes son relaciones deequivalencia1 mod5 en los enteros2 La relacioacuten vecinos en los paises

3 Primos en una familia4 ge en los enterosRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 1923Cerradura Transitiva de una RelacioacutenDefiniciacuteonSean A un conjunto y R una relacioacuten La cerradura

transitiva de R es una relacioacuten Rprimeque cumplen Rprime es transitivan R sube Rprime (Rprime contiene a R) yn Cualquier otra relacioacuten transitiva que contiene aR tambieacuten contiene a RprimeEs decir la cerradura transitiva de una relacioacuten Res la maacutes pequentildea relacioacuten transitiva que contienea RRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9Cerradura

Ejemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 2023Ejemplos1 23 4Relacioacuten1 23 4Cerradura TransitivaCuidado A veces hace falta una segunda pasadapara revisar si ya es transitivaRepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7

Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 2123Considere el conjuntoA = 1 2 3y la relacioacuten sobre AR =8gtgtltgtgt (11) (12) (13) (2 1) (2 2) (3 3)

9gtgt=gtgtSoacutelo de la siguiente lista indique cuaacuteles parejasdeben aatildedirse a R en la cerradura transitiva1 (2 3)2 (3 1)3 (3 2)RepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 2223

Particioacuten de un ConjuntoDefiniciacuteonSea A un conjunto no vaciacuteo Una particioacuten para Aes una coleccioacuten de subconjuntos de A A1A2 Am tal quen Ninguacuten subconjunto Ai es vaciacuteoforalli Ai emptyn Los conjuntos no tienen elemento en comuacutenforalli j (i j rarr Ai cap Aj = empty)n La unioacuten de los conjuntos es igual a AA1 cup A2 cup middot middot middot cup Am = ARepresentaciacuteonEjemplo 1ReflexivaEjemplo 2Ejemplo 3SimetracuteıaEjemplo 3AntisimetracuteıaEjemplo 4TransitividadEjemplo 5EquivalenciaEjemplo 6

Orden ParcialEjemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9CerraduraEjemplo 10Ejemplo 11ParticiacuteonEjemplo 12Relaciones entre Conjuntos Propiedades Matemaacuteticas Discretas - p 2323EjemploIndica cuaacuteles de las siguientes son particiones delconjunto1 3 5 2 41 empty 1 3 5 2 42 1 3 5 2 43 1 3 5 2 44 1 3 5 2 4

httpliztmtyitesmmx~eurestidiscretaslecturastc1003-102ppdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIOacuteNFACULTAD POLITEacuteCNICAINGENIERIacuteA EN INFORMAacuteTICAPLAN 2008PROGRAMA DE ESTUDIOSAprobado por Resolucioacuten 080809-00 Acta 75114042008 del Consejo Directivo de la FP-UNA Paacutegina 1 de 4I - IDENTIFICACIOacuteN1 Materia Matemaacutetica Discreta2 Semestre Primer3 Horas semanales 7 horas31 Clases teoacutericas 4 horas

32 Clases praacutecticas 3 horas4 Total real de horas disponibles 112 horas41 Clases teoacutericas 64 horas42 Clases praacutecticas 48 horasII - JUSTIFICACIOacuteNEn esta materia se estudian algunas herramientas baacutesicas de la matemaacutetica discreta asiacute como otras de caraacutecter maacutes profundo Lateoriacutea de conjuntos constituye un elemento baacutesico en la notacioacuten de la matemaacutetica discreta por lo tanto un buen manejo de la mismapermitiraacute al alumno comprender mejor los temas posteriores La relacioacuten entre diversos entes puede formalizarse en la idea de unarelacioacuten binaria que pueden ser representadas de diferentes maneras y que permiten mediante sus propiedades y aplicacionesutilizarlas en otros campos diferentes de los puramente matemaacuteticos Es importante tambieacuten el estudio de las funciones ya que eacutestaspermiten establecer relaciones especiales entre conjuntos estudiados El Aacutelgebra de Boole desarrollada como una teoriacutea de laLoacutegica que utiliza siacutembolos en vez de palabras resulta muy importante para el anaacutelisis de los circuitos eleacutectricos y por lo tanto se haconvertido en una herramienta indispensable para el anaacutelisis y el disentildeo de las computadoras electroacutenicas Y por uacuteltimo el estudio deestructuras matemaacuteticas como grupos y semigrupos sirven como herramienta principal para el posterior estudio de las maacutequinas deestado finito y la teoriacutea de coacutedigosIII - OBJETIVOS1 Operar con conjuntos2 Demostrar propiedades de los conjuntos a partir de otras ya conocidas3 Aplicar el concepto de relacioacuten en la solucioacuten de ejercicios4 Aplicar el concepto de funciones en la solucioacuten de problemas5 Diferenciar relaciones y funciones6 Representar graacuteficamente relaciones y funciones7 Utilizar la teoriacutea de graacuteficas en la solucioacuten de problemas8 Comprender la importancia del aacutelgebra booleana en la ciencia de la computacioacuten9 Aplicar el aacutelgebra de Boole en la solucioacuten de problemas10 Estudiar las aplicaciones de la teoriacutea de grupos en el campo computacional11 Cambiar los nuacutemeros de un sistema de numeracioacuten a otroIV - PRE - REQUISITONo tieneV - CONTENIDO51 Unidades programaacuteticas1 Aacutelgebra de conjuntos2 Relaciones y digrafos3 Funciones4 Teoriacutea de grafos5 Aacutelgebra de Boole6 Estructuras algebraicas7 Sistemas numeacutericos52 Desarrollo de las unidades programaacuteticas1 Aacutelgebra de conjuntos11 Concepto12 Subconjunto13 Operaciones con conjuntos131 Unioacuten132 Interseccioacuten133 Complemento134 Diferencia135 Diferencia simeacutetricaIngenieriacutea en Informaacutetica - Plan 2008 Facultad PoliteacutecnicaAprobado por Resolucioacuten 080809-00 Acta 75114042008 del Consejo Directivo de la FP-UNA Paacutegina 2 de 4136 Propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos14 El principio de adicioacuten(principio de inclusioacuten ndash exclusioacuten)15 Principio de adicioacuten para conjuntos disjuntos2 Relaciones y digrafos21 Conjuntos productos y particiones211 Conjunto producto2111 Definicioacuten2112 Aplicacioacuten212 Particioacuten o conjunto cociente2121 Definicioacuten2122 Aplicacioacuten22 Relaciones221 Definicioacuten222 Aplicacioacuten223 Conjuntos que surgen de las relaciones224 Matriz de una relacioacuten23 Digrafos o graacuteficas dirigidas231 Definicioacuten232 Aplicacioacuten233 Trayectorias en relaciones y digrafos2331 Trayectoria Definicioacuten2332 Ciclo

2333 Relacioacuten de conectividad24 Propiedades de las relaciones241 Reflexividad242 Simetriacutea2421 Graacutefica de la relacioacuten simeacutetrica2422 Lados no dirigidos2423 Veacutertices adyacentes2424 Relacioacuten simeacutetrica conectada243 Asimetriacutea244 Antisimetriacutea245 Transitividad246 Relacioacuten de equivalencia2461 Definicioacuten2462 Particioacuten2463 Representacioacuten en computadora de relaciones y digrafos247 Relacioacuten complementaria2471 Definicioacuten2472 Aplicacioacuten2473 Cerraduras24731 Definicioacuten24732 Cerradura reflexiva24733 Cerradura simeacutetrica24734 Cerradura transitiva3 Funciones31 Definicioacuten32 Argumento33 Imagen34 Dominio35 Rango36 Tipos especiales de funciones37 Funciones inyectivas38 Funciones sobreyectivas39 Funciones biyectivas310 Funciones inversas311 Funciones de Hashing4 Teoriacutea de grafos (o graacuteficas)41 Graacuteficas42 Aristas y veacutertices43 Veacutertice aislado44 Veacutertices adyacentes45 Trayectoria46 Circuito47 Graacutefica conexa48 Graacutefica disconexa49 Subgraacuteficas y graacuteficas cociente410 Trayectorias y circuitos de Euler4101 Concepto4102 Algoritmo de FleuryIngenieriacutea en Informaacutetica - Plan 2008 Facultad PoliteacutecnicaAprobado por Resolucioacuten 080809-00 Acta 75114042008 del Consejo Directivo de la FP-UNA Paacutegina 3 de 4411 Trayectoria y circuitos hamiltonianos412 Coloracioacuten de graacuteficas4121 Concepto4122 Polinomios cromaacuteticos5 Aacutelgebra de Boole51 Circuitos combinatorios511 Definicioacuten512 Compuertas5121 AND5122 OR5123 NOT513 Tabla loacutegica52 Expresiones booleanas521 Concepto522 Propiedades523 Teoremas53 Aacutelgebra boolenana531 Definicioacuten532 Teoremas533 Dual54 Funciones booleanas541 Concepto542 Teoremas55 Aplicaciones del Aacutelgebra de Boole a circuitos combinatorios6 Estructuras algebraicas61 Semigrupos611 Concepto612 Semigrupo conmutativo613 Semigrupo libre generado por un conjunto no vaciacuteo614 Elemento identidad

615 Isomorfismo616 Homomorfismo617 Semigrupos productos y cocientes62 Grupos621 Concepto622 Elemento inverso623 Grupo abeliano624 Teoremas de grupos625 Grupo finito626 Grupos productos y grupos cocientes627 Aplicacioacuten7 Sistemas numeacutericos71 Concepto72 Definicioacuten73 Teorema fundamental de la numeracioacuten74 Conversioacuten de un sistema de numeracioacuten a otro75 Nuacutemeros enteros76 Conversioacuten de un nuacutemero en base b (binaria octal y hexadecimal) a la base 1077 Conversioacuten de un nuacutemero en base 10 a la base b78 Conversioacuten de un nuacutemero en una base cualquiera b a otra base cualquiera bacute79 Nuacutemeros fraccionarios710 Conversioacuten de un nuacutemero en base b a la base 10711 Conversioacuten de un nuacutemero en base 10 a la base b712 Conversioacuten de un nuacutemero en una base cualquiera b a otra base cualquiera bacute713 Operaciones en los sistemas de numeracioacuten7131 Suma7132 Resta7133 Multiplicacioacuten7134 DivisioacutenVI - ESTRATEGIAS METODOLOacuteGICAS1 Exposicioacuten oral de la teoriacutea2 Resolucioacuten individual y grupal de ejercicios3 Presentacioacuten de trabajos praacutecticosVII - MEDIOS AUXILIARES1 Pizarra2 MarcadoresIngenieriacutea en Informaacutetica - Plan 2008 Facultad PoliteacutecnicaAprobado por Resolucioacuten 080809-00 Acta 75114042008 del Consejo Directivo de la FP-UNA Paacutegina 4 de 43 Borrador de pizarra4 Bibliografiacutea de apoyoVIII - EVALUACIOacuteNEl aprendizaje y conocimiento adquirido por el alumno se mediraacute por medio de dos exaacutemenes parciales y al menos dos trabajospraacutecticos de cuyo promedio conforme a la reglamentacioacuten de escalas permitiraacute o no al alumno acceder al examen final donde seraacuteevaluado sobre el total del contenido programaacutetico de la materiaIX - BIBLIOGRAFIacuteA Ayres Frank Aacutelgebra Moderna Frank Ayres Meacutexico Mc Graw Hill 1991 ndash 242 p Garciacutea Valle Joseacute Luis Matemaacuteticas especiales para computacioacuten Joseacute Luis Garciacutea Valle ndash Espantildea Mc Graw Hill 1988 ndash 472p Johnsonbaugh Richard Matemaacuteticas Discretas Richard Johnsonbaugh Traducido por Oacutescar Alfredo Palmas Velasco RevisioacutenTeacutecnica Victor Hugo Ibarra Mercado 4ordf Ed ndash Meacutexico Prentice Hall 1997 ndash 701 p KolmanBernard Estructuras de Matemaacuteticas Discretas para la Computacioacuten Bernard Kolman Robert C Busby Sharon Ross -- Meacutexico Prentice-Hall 1997 -- 524 p Lipschutz Seymor Matemaacutetica para computacioacuten Seymour Lipschutz ndash Meacutexico Mc Graw Hill 1990 ndash 356p

httpwwwpolunapyarchivosIngeInfoprogramasMatematicaDiscretapdf

debe ser toda de 1 Si algunos pares (xx) figuran y otros no la relacioacuten es No Reflexiva Si ninguacuten par (xx) figura la relacioacuten es Areflexiva

Simetriacutea Una relacioacuten es Simeacutetrica si todo par tiene su inverso en la relacioacuten Si algunos pares tienen simeacutetrico y otros no la relacioacuten es No Simeacutetrica Si ninguacuten par tiene simeacutetrico la relacioacuten es Antisimeacutetrica

Transitividad Una relacioacuten es Transitiva si existiendo en la relacioacuten dos pares del tipo (xy)(yz) entonces aparece tambieacuten el par (xy)

CLAUSURA DE UNA RELACIOacuteN

Clausura Reflexiva Es la menor relacioacuten reflexiva que contiene a la dada Si la relacioacuten es reflexiva es su propia Clausura Transitiva Si la relacioacuten estaacute dada por una matriz booleana la Clausura Reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal

Clausura Simeacutetrica Es la menor relacioacuten simeacutetrica que contiene a la dada Si una relacioacuten es simeacutetrica es su propia Clausura Simeacutetrica Si la relacioacuten estaacute dada como matriz booleana se cambian los 1 por 0 necesarios para que sea simeacutetrica respecto de la diagonal principal

Clausura Transitiva Es la menor relacioacuten transitiva que contiene a la dada Si la relacioacuten es transitiva es su propia Clausura Transitiva Si no lo es se halla usando el siguiente meacutetodo

1 t

2 Se encuentran las potencias de R (Rsup2 Rsup3 etc)

t t-1 i

3 Si R es la relacioacuten total o producto cartesiano no se buscan maacutes potencias y esa es la Clausura Transitiva

4 Si R es la matriz nula entonces la CT es la unioacuten generalizada Ryen = U R

t i=1

4) Si R es igual a alguna potencia anterior entonces no se buscan maacutes potencias y la CT es ideacutentica que en el punto anterior

Clasificacioacuten de las relaciones por sus propiedades

Una relacioacuten es de Orden Estricto si es asimeacutetrica y transitiva P Ej gt

Una relacioacuten es de Orden Amplio si es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva P Ej sup3

Una relacioacuten es de Equivalencia si es reflexiva simeacutetrica y transitiva


1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1





R A reg T

T A reg A

R= (12) (23) (31) (32)

T= (11) (21) (31) (33)


Rdeg T= (12) (22) (32) (31)

Tdeg R= (11) (21) (23) (31)










CONJUNTO COCIENTE








Ca y Cb = AElig








Propiedades


Elementos Notables










Idempotencia


2A - 3AA = A

2A - 3Asup2 sup1 A

No es idempotente

Elemento Neutro



e ndash 3 AC = 0

e (1ndash3A) = 0

e = 0


Elemento Inverso







Elemento Absorbente




micro = 13





Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1





R A reg T

T A reg A

R= (12) (23) (31) (32)

T= (11) (21) (31) (33)


Rdeg T= (12) (22) (32) (31)

Tdeg R= (11) (21) (23) (31)










CONJUNTO COCIENTE








Ca y Cb = AElig








Propiedades


Elementos Notables










Idempotencia


2A - 3AA = A

2A - 3Asup2 sup1 A

No es idempotente

Elemento Neutro



e ndash 3 AC = 0

e (1ndash3A) = 0

e = 0


Elemento Inverso







Elemento Absorbente




micro = 13





Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi











































CONJUNTO COCIENTE








Ca y Cb = AElig








Propiedades


Elementos Notables










Idempotencia


2A - 3AA = A

2A - 3Asup2 sup1 A

No es idempotente

Elemento Neutro



e ndash 3 AC = 0

e (1ndash3A) = 0

e = 0


Elemento Inverso







Elemento Absorbente




micro = 13





Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi








































Elementos Notables










Idempotencia


2A - 3AA = A

2A - 3Asup2 sup1 A

No es idempotente

Elemento Neutro



e ndash 3 AC = 0

e (1ndash3A) = 0

e = 0


Elemento Inverso







Elemento Absorbente




micro = 13





Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi












































Elemento Absorbente




micro = 13





Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































Relaciones binarias

Matemaacutetica

discreta





Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































Diagrama sagital





Suponemos


alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi








































alfabeacutetico



Dadas R1y R2sobre A

bullUnioacuten





oplus00

1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































1111

000101






ejemplo


Propiedades







Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi













































Relaciones de orden



Rela

ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































ciones de orden


Notacioacuten




Relaci

ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


aRbhArrw(a)

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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































ones de orden


ejemplo



Relaciones

de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































de orden


Diagrama Hasse

1


Relaciones de orden


Diagrama Hasse

2


Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


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equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi








































Relaciones de orden


ejemplo

Relaciones

de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




Relaciones de o

rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































de orden




Relaciones de orden



Dados (Ale) y C

subA Cneempty


Relaciones de orden





Relaciones de orden




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rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































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Relaciones de orden





Relaciones de orden




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ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































Relaciones de orden




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rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































rden


ejemplo


Relaciones de orden




ndashreflexiva





Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi











































Relaciones de

equivalencia


Conjunto

cociente


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ivalencia


ejemplo 1


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equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































equivalencia


Conjunto

cociente


Relaciones de equ

ivalencia


ejemplo 1


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equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































ivalencia


ejemplo 1


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equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

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111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































equivw(b) (mod2



Relaciones de

equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































equivalencia


ejemplo 2


[0]=000 011 101

110[1]=001 010 100

111

Rel





Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi











































Planificacioacuten

de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































de tareas























Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi























































Plan





Planificacioacuten

de tareas







Planifi











































Planificacioacuten

de tareas







Planifi







































de tareas







Planifi







































trabajo final de mate discretas

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