temas de competencias matemáticas
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Publicaciones IFEM
Temas de Competencias Matemáticas
Luis F. Cáceres Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez
Primera Edición, 2004 Derechos © IFEM-HaCuMa Director: Dr. Luis F. Cáceres Co-Director: Dr. Arturo Portnoy Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito del IFEM-HaCuMa. Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto IFEM-HaCuMa mediante una propuesta del Programa de Título V del Departamento de Educación de Puerto Rico. Realizado Por Luis F. Cáceres, Ph.D. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez
Impreso y hecho en Puerto Rico
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PROLOGO
Existen diferentes competencias de matemáticas que se
desarrollan a nivel local, regional, nacional e internacional. Puerto Rico ha participado en los últimos años en varias competencias a nivel internacional, y a pesar de que son muy pocos los entrenamientos intensivos que se ofrecen a los estudiantes, Puerto Rico ha logrado obtener diversos premios en estas competencias internacionales.
En este escrito presentamos una serie de temas relacionados con olimpiadas de matemáticas. Los temas que se estudian en este módulo representan una pequeña parte de lo que se requiere para las diferentes competencias nacionales e internacionales de matemáticas, pero constituye un punto de partida para la preparación de los estudiantes que quieran participar en estas competencias y también sirve de guía para los maestros que realizan entrenamientos en las escuelas. Luis F. Cáceres Agosto 2004
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IFEM Instituto para el Fortalecimiento en la Enseñanza de las Matemáticas HaCuMa Hacia Una Cultura de Matemáticos Estos proyectos están subvencionados por el Departamento de Educación de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.
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TABLA DE CONTENIDO
PROLOGO ....................................................................................................(iii)
1. Principios de conteo......................................................................................7
2. Permutaciones.............................................................................................11
3. Combinaciones ...........................................................................................17
4. Divisibilidad ................................................................................................20
5. La Ecuación Diofantina ax by c+ = ........................................................23
6. Números Primos .........................................................................................24
7. Aritmética modular .....................................................................................25
8. Congruencias ..............................................................................................33
9. Criterios de Divisibilidad ............................................................................36
10. El Pequeño Teorema de Fermat...............................................................40
11. Números Reales.........................................................................................43
12. Factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones...............................45
13. Paridad ......................................................................................................51
14. Identidad de Sophie Germain...................................................................52
15. Inducción Matemática: Efecto dominó....................................................53
16. Angulos internos de un triángulo.............................................................62
17. Angulo central versus ángulo inscrito .....................................................63
REFERENCIAS .............................................................................................68
ÍNDICE DE PALABRAS ...............................................................................69
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1. Principios de Conteo
La necesidad de contar, data de hace muchos años atrás. Uno de los conceptos más primitivos que conocemos es el de número y en particular el de número natural: 1, 2, 3,…. Con el crecimiento de la población y con los avances de la ciencia, el hombre se ha visto en la necesidad de pensar en técnicas más sofisticadas de conteo.
Presentamos a continuación dos principios fundamentales de
conteo. Principios Básicos
Principio de Adición: Si existen objetos diferentes en el primer conjunto y existen objetos diferentes en el segundo conjunto y los dos conjuntos no tienen elementos en común, entonces si formamos un conjunto nuevo uniendo los elementos de estos dos conjuntos, el número de formas diferentes de seleccionar un objeto de este nuevo conjunto es
mn
m n+ .
Usando inducción matemática es fácil generalizar este principio al caso en que tenemos conjuntos que no tienen elementos en común. r Ejemplo 1.1 El profesor Rodríguez tiene 40 estudiantes en la clase de álgebra y 30 estudiantes en la clase de geometría. ¿Cuántos estudiantes diferentes hay en las dos clases?
Por el Principio de Adición, la respuesta es 70, suponiendo que ningún estudiante toma las dos clases al mismo tiempo.
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Supongamos que hay 5 estudiantes que están tomando las dos clases. Para poder usar el principio de Adición se requiere tener conjuntos disyuntos (es decir que no tienen elementos en común), por lo tanto podemos considerar los siguientes conjuntos: Los estudiantes que toman únicamente álgebra (35),
los estudiantes que toman únicamente geometría (25) y los estudiantes que toman álgebra y geometría (5). Ahora podemos usar el Principio de Adición ya que los tres conjuntos mencionados son disyuntos. El número total de estudiantes es 65.
Un problema clásico es el de contar el número posible de
tablillas de autos formadas por tres letras y tres números. El siguiente principio nos permite solucionar este problema y muchos más de la vida cotidiana.
Principio Fundamental de Conteo (Principio de Multiplicación): Si una cierta tarea puede realizarse de maneras diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de maneras diferentes, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de
maneras diferentes.
m
n
m n×
El ejemplo siguiente es una muestra típica del uso del Principio Fundamental de Conteo. Ejemplo 1.2 Supongamos que tres ciudades, Mayagüez, Aguada y Aguadilla están localizadas de tal manera que dos caminos conectan a Mayagüez con Aguada y tres caminos conectan a Aguada con Aguadilla. ¿Cuántas rutas diferentes hay de Mayagüez a Aguadilla? Mayagüez Aguada Aguadilla
8
La idea clave para solucionar este ejercicio es considerar el problema en dos estados. En el primer estado (Mayagüez a Aguada), hay dos opciones. Para cada una de estas dos opciones hay tres opciones para realizar el segundo estado (Aguada a Aguadilla). Por lo tanto el número total de rutas diferentes es 2 3 6× = .
Existe una generalización inmediata del Principio Fundamental de Conteo para cualquier número de tareas: Si son tareas que ocurren en orden y puede ocurrir de formas diferentes, puede ocurrir de formas diferentes, etc., entonces las tareas pueden ocurrir, en orden, de
1 2, ,..., kT T T
1T 1n 2T
2n1 2 ... kn n n× × × maneras diferentes.
Ejemplo 1.3 ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto de dos letras: a y b? Algunas palabras posibles son aba, aab, bab, etc.
Consideremos tres casillas: , la primera para la letra
inicial, la segunda para la letra central y la tercera para la letra final. En la primera casilla hay dos posibilidades para elegir la letra. Una vez formada una palabra de una letra, para extenderla a una palabra de dos letras hay dos posibilidades, así que por el Principio Fundamental de Conteo existen 2 2 4× = palabras de dos letras. Para extender cada una de estas palabras a una de tres letras hay dos posibilidades, por lo tanto hay palabras de tres letras. 4 2 8× =
Otro argumento para solucionar este problema, que de hecho es
muy útil en problemas de conteo, es construir un árbol como se muestra a continuación. Además, este método permite encontrar de manera explícita las palabras de tres letras.
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Letra inicial
Letra central
Letra final
Palabra formada
a aaa a ⟨ b aab
A ⟨ a aba b ⟨ b abb a baa a ⟨ b bab
B ⟨ a bba b ⟨ b bbb
Ejercicios 1.4 1. Una tienda de mantecados ofrece 2 clases de barquillas (de azúcar y
regular) y 31 sabores diferentes de mantecados. Si te gustan mucho los mantecados y quieres comer uno diario, cuántos días puedes comer mantecado sin repetir la elección. (¡Obviamente no es lo mismo un mantecado de coco en barquilla de azúcar que un mantecado de coco en barquilla regular!).
2. Repetir el ejemplo 1.3 para el caso en que se quieren formar palabras de 4 letras con un alfabeto de tres letras a, b, c.
3. ¿Cuántas placas distintas de auto hay con tres letras a la izquierda y tres números a la derecha? (considerar el alfabeto castellano de 27 letras).
4. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con tres A´s y cinco B´s?
Veamos ahora un ejemplo en donde se usan los dos principios
.
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Ejemplo 1.5 Hay cinco libros diferentes de español, seis libros diferentes de francés y ocho libros diferentes de italiano. ¿De cuántas formas diferentes se puede seleccionar un par de libros de tal forma que sean de diferentes idiomas?
Si se seleccionan un
libro de español y uno de
francés, el Principio Fundamental de Conteo dice que hay 5 6 30× = maneras diferentes. Si se selecciona un libro de español y uno de italiano hay 5 8 40× = maneras diferentes. Si se selecciona un libro de francés y uno de italiano hay 6 8 48× = maneras diferentes. Estos tres tipos de selecciones son disyuntos, por el Principio de Adición hay 30 40 48 118+ + = formas en total.
2. Permutaciones
Una permutación de un conjunto de objetos diferentes es una manera de ordenar dichos objetos. Por ejemplo, algunas permutaciones de las letras OPITAS son
PITASO OSATIP SAPITO SOPITA POSITA
Una pregunta interesante es saber cuantas permutaciones son
posibles con estas 6 letras. Para contestar esta pregunta podemos pensar en llenar 6 casillas con las letras dadas:
Hay seis posibilidades para la primera posición, cinco para la
segunda (después de que la primera se ha escogido), cuatro para la tercera (después de que las dos primeras se han escogido), etc. Por el Principio Fundamental de Conteo se tiene que el número posible de permutaciones es
6 5 4 3 2 1 720× × × × × =
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Factorial: El producto de los primeros números naturales se denota por y se llama factorial:
n!n n
! 1 2 3 ...n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ También se define 0! como
0! 1=
La definición de 0! puede parecer extraña, pero definirlo de esta manera permite incluir el caso 0n = en algunas fórmulas en las que interviene . !n
El mismo razonamiento del ejemplo anterior donde 6 se reemplaza por nos lleva al siguiente resultado. n
El número total de permutaciones de objetos es n !n Ejercicios 2.1
1. ¿De cuántas maneras diferentes puede terminar una carrera de caballos, donde hay 8 caballos compitiendo y nunca hay empate?
2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis personas en una fila de seis sillas?
3. Un pianista interpretará 9 piezas musicales en un concierto. ¿De cuantas formas diferentes puede organizar las piezas musicales en el programa?
4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 6 estudiantes en una fila de seis sillas si Pedro insiste en sentarse en la última silla?
¿Cuántas permutaciones de cuatro letras se pueden formar con las mismas 6 letras OPITAS del ejemplo anterior? Algunas de estas permutaciones son
PITA TIPO TISA
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Podemos pensar ahora en cuatro casillas: Hay 6 posibilidades para la primera casilla, cinco posibilidades para la segunda, cuatro para la tercera y tres para la segunda. Por el Principio Fundamental de Conteo, el número de permutaciones es
. 6 5 4 3 360× × × =
En general, si un conjunto tiene elementos, entonces el número de maneras de ordenar elementos del conjunto se denota por
y se llama el número de permutaciones de n objetos tomando r a la vez.
nr
( , )P n r
Hemos probado que (6,4) 360P = . El mismo razonamiento que
usamos para encontrar (6,4) 360P = se puede usar para encontrar . Hay objetos y posiciones para colocarlos: ( , )P n r n r
...r
Hay opciones para la primera posición, n 1n − para la segunda, para la tercera, etc. La última posición puede llenarse de
formas diferentes. Por el Principio Fundamental de Conteo,
2n −( 1)n r n r− − = − +1
( , ) ( 1)( 2) ( 1)P n r n n n n r= − − ⋅⋅⋅ − +
Esta fórmula se puede escribir de manera mas compacta usando
la notación de factorial.
( , ) ( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2) ( 1)( ) 3 2 1
( ) 3 2 1!
( )!
P n r n n n n rn n n n r n r
n rn
n r
= − − ⋅⋅⋅ − +− − ⋅⋅⋅ − + − ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅
=− ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅
=−
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Permutaciones de n objetos tomando r a la vez El número de permutaciones de objetos tomado a la vez es
n r
!( , )( )
nP n rn r
=− !
Ejemplo 2.2 Un club de matemáticas tiene 20 miembros. ¿De cuántas formas diferentes se puede escoger un presidente, un vicepresidente y un tesorero de este club? Queremos encontrar el número de maneras de seleccionar tres miembros, en orden, de un grupo de 20 miembros. Es decir queremos llenar tres posiciones usando 20 miembros.
presidente
vice presidente
tesorero
Este número es
20! 20!(20,3) 18 19 20 6,840(20 3)! 17!
P = = = ⋅ ⋅ =−
Ejemplo 2.3 De un sombrero con 300 boletos se seleccionan tres boletos en orden. El primero que se seleccione gana una bicicleta, el segundo gana una motocicleta y el tercero gana un automóvil. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden otorgar estos premios?
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El orden es importante en este ejemplo. Necesitamos encontrar el número de maneras de seleccionar tres objetos, en orden, de 300 objetos. Este número es
300! 300!(300,3) 298 299 300 26,730,600(300 3)! 297!
P = = = ⋅ ⋅ =−
.
Permutaciones Distinguibles
Si tenemos una colección de 10 bolas, una de cada color, entonces el número de permutaciones de estas bolas es . Si todas las bolas son verdes, entonces tenemos únicamente una permutación distinguible porque todas las formas de ordenar estas bolas son exactamente las mismas. En general, cuando consideramos un conjunto de objetos, donde algunos de los elementos son de la misma clase, entonces dos permutaciones son distinguibles si una no se puede obtener de la otra intercambiando las posiciones de los elementos de la misma clase. Por ejemplo, supongamos que tenemos 6 bolas de las cuales 4 son rojas, una es verde y la otra es azul. Algunas permutaciones distinguibles son las siguientes:
(10,10) 10!P =
R
R
V
R
R
A
R
V
R
R
R
A
R
R
V
R
A
R
Note que en la primera permutación, si cambiamos la bola que está en la posición uno con la bola que esta en la posición dos obtenemos una permutación que no es distinguible. ¿Cuántas permutaciones distinguibles hay? La clave aquí es que las bolas rojas no se pueden distinguir. Por lo tanto cualquier permutación de bolas rojas, dejando las otras dos en la misma posición, da en esencia la misma permutación. El
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número total de permutaciones, suponiendo que todas las seis bolas fueran de colores diferentes es 6!, pero hay 4! rearreglos de las bolas rojas para cada posición fija de las otras bolas, por lo tanto el número
total de permutaciones distinguibles es 6! 304!= .
El mismo tipo de razonamiento nos lleva al siguiente principio.
Permutaciones distinguibles: Si un conjunto de objetos consiste de clases de objetos diferentes con objetos de la primera clase,
objetos de la segunda clase, objetos de la tercera clase, etc., donde
n k1n
2n 3n
1 2 ... kn n n n+ + + = , entonces el número de permutaciones distinguibles de los objetos
es 1 2
!! ! !k
nn n n⋅ ⋅ ⋅
.
Ejemplo 2.4 Encontrar el número de formas diferentes de colocar 10 bolas en una fila dado que 3 son rojas, 4 son verdes y 3 son azules. Deseamos encontrar el número de permutaciones distinguibles de estas bolas. Por la fórmula anterior, este número esta dado por
10! 4,2003! 4! 3!
=⋅ ⋅
.
Ejercicios 2.5 1. Encontrar el número de permutaciones distinguibles de las letras
AAABBCCCC. 2. Encontrar el número de permutaciones distinguibles de las letras
DISTINGUIBLES. 3. ¿De cuántas maneras posibles se pueden ordenar 4 pesetas, 5
chavitos y 3 monedas de 10 centavos en una fila? 4. Juan compró tres mantecados de coco, cinco de chocolate, cuatro de
fresa y dos de vainilla para distribuirlos entre él y los 13 estudiantes de su club de matemáticas. ¿De cuántas formas posibles se pueden distribuir los mantecados?
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5. Ocho trabajadores van a limpiar una casa. Se requieren 2 para limpiar las ventanas, 3 para limpiar el jardín y 3 para limpiar el resto de la casa. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir las tareas entre los trabajadores?
3. Combinaciones
Cuando estamos interesados en encontrar el número de maneras
de ordenar un conjunto pensamos en permutaciones. En muchos problemas de conteo, el orden no es importante. Por ejemplo si un club de matemáticas tiene 15 integrantes y se quieren seleccionar tres estudiantes para que representen al club en una competencia de matemáticas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar grupos de tres?
El número de maneras de seleccionar estudiantes de un grupo de
15 es , pero note que si un grupo esta integrado por Carlos, Luis y María, entonces el grupo integrado por María, Carlos y Luis es el mismo, al igual que el grupo integrado por Luis, Carlos y María, es decir que el orden de los tres elementos no importa.
(15,3)P
El número de permutaciones de tres elementos es 3! Por lo tanto
el número de maneras para seleccionar los tres estudiantes del club es
(15,3) 15! 13 14 15 4553! 3!(15 3)! 6
P ⋅ ⋅= = =
−.
Ejemplo 3.1 ¿Cuántos subconjuntos de tres elementos se pueden formar del conjunto
? { , , , , }a e i o uPodemos enumerar dichos subconjuntos:
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }.a e i a e o a e u a i o a i ua o u e o u e i o e i u i o u
Note que el subconjunto { , es igual a los subconjuntos , ya que en los conjuntos el
orden no importa.
, }e i u{ , , }, { , , }, { , , }, { , , }, { , , }e u i u i e u e i i u e i e u
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Es decir que para seleccionar los subconjuntos de tres elementos del conjunto de las vocales debemos contar el número de permutaciones de 5 objetos tomando 3 a la vez y después debemos dividir este resultado por 6 ya que por cada permutación de tres elementos hay 6 que son iguales, pues no estamos considerando el orden. Por lo tanto la respuesta para el ejercicio es
(5,3) 5! 103! 3!(5 3)!
P= =
−.
Una combinación de elementos de un conjunto es cualquier
subconjunto de elementos del conjunto (sin importar el orden). Si el conjunto tiene elementos, el número de combinaciones de
elementos es denotado por y es llamado el número de combinaciones de objetos tomando a la misma vez.
rr
nr ( , )C n r
n r El análisis del ejemplo anterior se puede generalizar para obtener
que ( , ) !( , )
! !(P n r nC n r
r r n r= =
− )!.
Combinaciones de objetos tomando r a la misma vez: nEl número de combinaciones de objetos tomando a la
misma vez es
n r!( , )
!( )!nC n r
r n r=
−.
La diferencia clave entre las permutaciones y las combinaciones
es el orden. Si estamos interesados en arreglos ordenados, entonces estamos contando permutaciones; pero si estamos interesados en subconjuntos sin importar el orden, entonces estamos contando combinaciones. Ejemplo 3.2 De un sombrero con 300 boletos se seleccionan 3 y los ganadores obtendrán un viaje por las islas del Caribe. ¿De cuántas maneras posibles se pueden seleccionar los ganadores?
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Debemos encontrar el número de maneras de seleccionar tres objetos de un grupo de 300. El orden no importa pues los tres ganadores obtienen el mismo premio. Por lo tanto queremos encontrar el número de combinaciones de 300 objetos tomando tres a la misma vez. Este número es:
300! 300!(300,3) 4, 455,100
3!(300 3)! 3! 297!C = = =
− ⋅.
Ejercicios 3.3 1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de lados? n2. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir con las letras de la
palabra MATEMÁTICAS? 3. El siguiente problema se
refiere al famoso juego de dominó. En este juego hay 28 fichas y cada ficha muestra dos números de la colección 0,1,2,3,4,5 y 6 (posiblemente repetidos).
Se llaman fichas dobles aquellas en las que los dos números mostrados son iguales. Se llama mano de dominó cualquier colección de 7 de las 28 fichas. a. ¿Cuál es el número total
de posibles manos de dominó?
b. ¿Cuántas manos de dominó tienen por lo menos dos fichas dobles?
4. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar tres personas de un grupo de 10?
5. Pizza Hut ofrece 12 ingredientes para sus pizzas. ¿Cuántas formas posibles hay de ordenar pizzas de tres ingredientes?
6. Un pianista ha ensayado 12 piezas musicales. ¿Cuántas formas distintas tiene para seleccionar 8 piezas para su próximo concierto?
7. Un comité de baile en la universidad constará de 2 estudiantes de primer año, tres de segundo, cuatro de tercero y cinco de cuarto año. Si 6 estudiantes de primer año, ocho de segundo, 12 de tercero y 10
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de cuarto año son elegibles ara formar el comité, ¿De cuántas maneras posibles se puede formar el comité?
8. ¿De cuántas formas posibles se puede formar un comité de cuatro de un grupo de diez si dos personas se niegan a estar juntas en el comité?
4. Divisibilidad
Comenzamos recordando que el conjunto de números enteros está formado por …,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…. Un entero a es divisible por un entero , en símbolos , si existe un entero tal que . 0b ≠ |b a c a bc=
Algoritmo de la división Dados dos enteros y , con , existen enteros únicos
y tales que a b 0b >
q r a bq r= + con 0 r b≤ < Ejemplo 4.1 Usar el algoritmo de la división para probar que a. El cuadrado de cualquier entero es de la forma o 3k 3k 1+ , para
algún entero . kb. El cubo de cualquier entero es de la forma , 9k 9 1k + o 9 8k + , para
algún entero . kPara la parte a. sea un entero, entonces al dividirlo entre 3, se obtiene que ,
d3d l= 3 1d l= + o 3 2d l= + .
Si , entonces 3d = l ( )2 2 29 3 3d l l= = .
Si , entonces 3 1d l= + ( )2 2 29 6 1 3 3 2d l l l l 1= + + = + + .
Si , entonces 3 2d l= + ( )2 2 29 12 4 3 3 4 1d l l l l 1= + + = + + + . En cualquier caso se obtiene que el cuadrado de d es de la forma 3 o
para algún entero k . k
3k +1La parte b. se hace de manera similar. El siguiente teorema presenta propiedades fundamentales de divisibilidad, su demostración se basa en la definición de divisibilidad y de deja como ejercicio al lector.
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Teorema 4.2 Sean números enteros. , ,a b ca. , 1| y . | 0a a |a ab. si y solo si |1a 1a = ± c. Si y , entonces |a b |c d |ac bdd. Si y , entonces . |a b |b c |a ce. y si y solo si |a b |b a a b= ± f. Si y , entonces |a b |a c |a bx cy+ , para enteros cualesquiera . ,x y
Máximo común divisor Sean a y enteros con por lo menos uno de ellos diferente de cero. El máximo común divisor de a y , denotado por
, es el entero positivo que satisface:
bb
( , )mcd a b di. y |d a |d bii. Si y , entonces |c a |c b c d≤
Ejemplo 4.3
( )24,15 3mcd =
Primos relativos Si ( , ) 1mcd a b = , decimos que a y b son primos relativos
Teorema 4.4 Sean y enteros con por lo menos uno de ellos diferente de cero. a ba. existen enteros tales que ,x y ( , )mcd a b ax by= + b. ( , ) 1mcd a b = si y solo si existen enteros tales que 1,x y ax by= + Ejemplo 4.5 Si y con |a c |b c ( , ) 1mcd a b = , entonces . |ab c
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Note que c a , para algunos enteros . Además 1r bs= = ,r s ax by= + , con enteros. Multiplicando por esta última ecuación obtenemos
, luego ,x y c
c acx bcy= +
( ) ( )( )
c a bs x b ar yab sx ry
= +
= +
Por lo tanto, . |ab c Teorema 4.6 (Lema de Euclides) Si son enteros y con , ,a b c |a bc ( , ) 1mcd a b = , entonces . |a cDemostración: 1 , con enteros. Multiplicando por c esta ecuación se obtiene c a . Como y , entonces .
ax by= + ,x ycx bcy= + |a ac |a bc |a c
Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos enteros y b , denotado por , es el entero positivo que satisface:
a( , )mcm a b m
i. y |a m |b mii. Si y con , entonces m c|a c |b c 0c > ≤
Ejemplo 4.7 Los múltiplos comunes positivos de –12 y 30 son 60, 120, 180, …, luego el . ( 12,30) 60mcm − = Teorema 4.8 Sean y enteros positivos. Entonces a b ( , ) ( , )mcd a b mcm a b ab⋅ = . Demostración:
Sea y ( , )d mcd a b= a dr= , b ds= con enteros. Si ,r s abmd
= ,
entonces m y as= m ar= , luego es un múltiplo (positivo) común de y b . Supongamos ahora que y . Entonces c
ma |a c |b c au= y , con enteros. Además,
c bv=,u v d ax by= + con enteros. Por lo tanto, ,x y
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( )c cd c ax by c cx y vx uym ab ab b a
+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Entonces . Por lo
tanto y
|m c
m c≤ ( , )m mcm a b= . Por lo tanto, abmd
= , luego md .
Entonces
ab=
( , ) ( , )mcd a b mcm a b ab⋅ = .
5. La ecuación Diofantina ax by c+ =
En esta sección estudiaremos las soluciones enteras de la ecuación , donde son números enteros. ax by c+ = , ,a b c
La ecuación Diofantina ax by c+ = tiene solución si y solo si es divisible por , donde c d ( , )d mcd a b= . Si 0 0,x y es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las
otras soluciones están dadas por 0bx x td
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
,
0ay y td
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
, donde va variando en los enteros. t
Ejemplo 5.1 ¿Es posible formar 83 centavos usando sellos de 6 centavos y 15 centavos? La ecuación que representa el problema es 6 15 83x y+ = . Como el
y 83 no es divisible por 3, entonces no es posible. (6,15) 3mcd = Ejemplo 5.2 ¿Es posible comprar $510 en cheques viajeros de $20 y $50? La ecuación para este problema está dada por 20 50 510x y+ = . Es decir
. Como 2 5 5x y+ = 1 (2,5) 1mcd = y 51 es divisible entre 1, entonces el problema si tiene solución. Note que 2( 2) 5(1) 1− + = . Multiplicando por 51 se obtiene
. Luego una solución de la ecuación es 2( 102) 5(51) 51− + = 0 102x = − y
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0 51y = . Las otras soluciones están dadas por 51021
x t= − + y
2511
y = − t , donde es cualquier entero. Como en este caso se quieren
valores positivos para
t
x y , se tiene que y 102 5 0t− + > , luego
, por lo tanto 5 102t >102 20.4
5t > = . Las soluciones se muestran en la
siguiente tabla: t x y
t=21 3 9 t=22 8 7 t=23 13 5 t=24 18 3 t=25 23 1
Ejercicio 5.3 Determinar todas las soluciones, si las hay, de las siguientes ecuaciones Diofantinas.
a. 24 138 18x y+ =b. 18 5 48x y+ =
6. Números Primos
Números Primos Un entero 1p > es llamado número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p . Un entero mayor que 1 que no es primo se llama compuesto.
Ejemplo 6.1 Sea p un número primo y un entero. Entonces o
. a ( , ) 1mcd p a =
( , )mcd p a p= Ejemplo 6.2 Si p es primo y |p ab , entonces |p a o |p b .
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Si |p a , no hay nada mas que demostrar. Si no es divisible por a p , entonces ( , ) 1mcd p a = . Por el lema de Euclides se tiene que |p b .
Teorema Fundamental de la Aritmética Todo entero positivo puede ser expresado como un producto de primos, esta representación es única, excepto por el orden de los factores.
1n >
Ejemplo 6.3 Hallar el menor entero positivo por el que hay que multiplicar a 3,960 para obtener un cubo perfecto. Note que 3 23960 2 3 5 11= ⋅ ⋅ ⋅ . Para obtener el menor cubo perfecto se requiere un tres, dos cincos y dos once. Luego
. 2 2 3 3 3 3(3960) 3 5 11 2 3 5 11 (2 3 5 11)⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 3
Teorema 6.4 (Euclides) Existen infinitos números primos. Demostración: Supongamos que hay un número finito de primos y coloquémoslos en una lista ascendente: 1 2p = , 2 3p = , 3 5p = , …, np . Consideremos el entero . Como , debe existir algún primo que sea divisor de . Pero los primos son
1 2 1nq p p p= + 1q >q 1 2, ,..., np p p . Por lo tanto hay un
primo p de la lista 1 2, ,..., np p p tal que |p q . Como 1 2| np p p p , entonces 1 2| 1np q p p p− = . Entonces 1p = ± , pero esto es imposible pues 1p > .
7. Aritmética Modular: 4 5 2+ = , una Aritmética Divertida
La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿cuántos somos?, ¿cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que
25
el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas.
Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones
negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, 1 3 10, ,2 8 3
− .
La geometría Griega y la necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números irracionales (números que no se pueden representar como fracciones) tales como 2, , 3π . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones algebraicas, surgen los misteriosos números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: . i
En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real.
Existen otros sistemas, no necesariamente de números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Más aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún más la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tienen aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este
26
tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita. Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó es tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Aunque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades.
Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo.
0 domingo
6 sábado
5 viernes
1 lunes 2 martes
4 jueves 3 miércoles
Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes, etc. En cierto sentido podemos pensar que etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día
7 0, 8 1, 9 2,= = =1− es el
sábado, el día 2− es el viernes, etc. Por lo tanto 1 6, 2 5,− = − = etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la semana.
Domingo …,-14,-7,0,7,14,… Lunes …,-13,-6,1,8,15,… Martes …,-12,-5,2,9,16,… Miércoles …,-11,-4,3,10,17,… Jueves …,-10,-3,4,11,18,… Viernes …,-9,-2,5,12,19,… Sábado …,-8,-1,6,13,20,…
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No es difícil encontrar un patrón para los números
correspondientes a cada día, dicho patrón se ilustra en la siguiente tabla.
Domingo números de la forma 7 nLunes números de la forma 7 1n + Martes números de la forma 7 2n + Miércoles números de la forma 7 3n + Jueves números de la forma 7 4n + Viernes números de la forma 7 5n + Sábado números de la forma 7 6n +
Note que los números de la forma 7n 7+ , son de la forma y por lo tanto son de la forma . Entonces, el día que le
corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo al dividir el número entre 7. Por ejemplo, el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que 38
7( 1)n + 7n
7 5 3= ⋅ + ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos. Podemos acordar que 4 5 2+ = , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente forma:
+ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5
Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la
semana. En este contexto, la pregunta ¿que día es 323 días después del jueves?, puede ser escrita como 4 323 ?+ = . El 323 no esta en nuestra tabla, pero note que 323 7 46 1= ⋅ + el cual es de la forma 7n 1+ , luego
28
323 1= , por lo tanto 4 323 4 1+ = + y buscando en la tabla tenemos que , que es viernes. 4 1 5+ =
Esta suma tiene cosas “extrañas” como el hecho de que
, pero cuando pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido. 1 1 1 1 1 1 1 0+ + + + + + =
Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema.
No tiene mucho sentido pensar en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a 6 . Es claro que lo ideal es que 6
4×4 4 4 4 4 4 4× = + + + + + y mirando en la
tabla de la suma se obtiene 6 4 3× = . También sería razonable pensar que y mirando en la tabla obtenemos (afortunadamente) la misma respuesta: 6 4
6 4 6 6 6 6× = + + +3× = . De hecho, si hacemos
la tabla de multiplicación (que no es otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos:
× 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1
El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de
los enteros módulo 7. No hay nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética. Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc.
Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3 y aquí 4 0= , 5 1= , , etc.
6 2=
29
Ejercicios 7.1 1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles? 2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros
módulo 4. 3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros
módulo 5. 4. En la aritmética usual a− es el número tal que cuando se le suma a
da 0. A a a− se le llama el inverso aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7.
5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 10 en la aritmética módulo 11.
El paso siguiente, obviamente es pensar en división. Para hacer
esto nos conviene formalizar un poco lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje, que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9
( )≡2= cuando hablamos de los enteros
módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 1= . Para evitar ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 2(mod 7)≡ y en el segundo caso 9 1(mod 4)≡ . En general escribiremos (mod )a b m≡ y esto quiere decir que al dividir entre se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre .
a mm
En la aritmética modulo m se pueden sumar y multiplicar
números básicamente de la misma forma que en la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos.
Supongamos que queremos darle sentido a 5 (mod 7)2
. Es
importante notar que el símbolo 52
no tiene sentido con lo que hemos
hecho hasta el momento y por lo tanto estamos listos para darle un
sentido. Obviamente el sentido que le demos a 52
debe estar de acuerdo,
en lo posible, con el sentido que se le da en la aritmética usual. De lo
30
contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría aplicaciones inmediatas.
La definición mas natural para 52
sería el número x que
satisface la ecuación 2 5(mod 7x )≡ .
Mirando la tabla de la multiplicación módulo 7, vemos que
, luego 2 6 5(mod 7)⋅ ≡5 6(mod 7)2= .
En general, si p y son números entre 0 y 6, queremos definir qpq
igual a , donde y mod 7qy p≡ .
Note que es el número que aparece en la fila q y en la columna de la tabla de multiplicación. Por lo tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución , el número
qyy
y p debe aparecer una sola vez en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si no apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única de , para cualquier diferente de cero. Esto significa
que siempre podemos definir
mod 7qy p≡ qpq
, excepto cuando 0q ≠ , pero esto no es
una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0. Ejercicios 7.2 1. En la aritmética usual, 1/ es el número que cuando se multiplica
por da como resultado 1. A 1/ se le llama el inverso multiplicativo de . Hallar 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 módulo 7.
aa a
a2. Hallar 3/ módulo 7. 4, 5 / 3, 10 /8.
31
Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla de multiplicación que se obtiene es la siguiente.
× 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que
aparecen muchos ceros. En particular, 3 2 0⋅ = . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si , entonces obligatoriamente se tiene que
0a b⋅ =0a = o 0.b = El hecho de que
trabajando módulo 6, la multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo menos de la manera usual) ya que no existe un número en la tabla tal que 3 1y .y⋅ =
Ejercicios 7.3 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al
11 en la aritmética módulo 12. Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo.
2. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para describir a los números que poseen inverso multiplicativo.
3. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos.
4. Para varios valores de 7a < calcular . Para varios valores de calcular . Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene.
7 mod 7a5a < 5 mod5a
32
8. Congruencias
Dados los enteros con , decimos que es congruente a módulo m si al dividir a entre se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre . Cuando es congruente a módulo
, lo denotamos por
, ,a b m 0m > ab m
m a bm (mod )a b m≡ . Ejemplo 8.1 5 9(mod 4)≡ , 5 1(mod 4)≡ y 9 1(mod 4)≡ .
Si , entonces existen enteros tales que y
(mod )a b m≡ 1 2, ,q q r
1a mq r= + 2b mq r= + . Por lo tanto
1 2
1 2
( ) (( )
a b mq r mq rm q q
)− = + − += −
Entonces es un factor de . Es fácil demostrar que si es un factor de a
m a b− mb− , entonces al dividir entre se obtiene el mismo
residuo que al dividir b entre . Por lo tanto, a m
m (mod )a b m≡ si y solo si es un factor de m a b− .
Si m no es un divisor de a b− , se escribe (mod )a b m≡/ .
Es fácil verificar que congruencia módulo satisface las siguientes propiedades:
m
Propiedades 8.2
1. Propiedad reflexiva: Si es un entero, entonces a ( )moda a m≡ .
2. Propiedad simétrica: Si son enteros tales que ,a b ( )moda b m≡ ,
entonces ( )modb a m≡ . 3. Propiedad transitiva: Si son enteros tales que
y , ,a b c
( )moda b m≡ ( )modb c m≡ , entonces ( )moda c m≡ . Propiedades 8.3
33
Si y son enteros, con , tales que , ,a b c m 0m > ( )moda b m≡ , entonces
1. ( )moda c b c m+ ≡ +
2. ( )moda c b c m− ≡ −
3. ( )modac bc m≡ Para verificar la propiedad 1., note que si (mod )a b m≡ , entonces
es un factor de m
a b− . Pero ( ) (a b a c b c)− = + − + , luego es un factor de y esto significa que
m( ) (a c b c+ − + ) ( )moda c b c m+ ≡ + . Las demás
se verifican de manera similar.
Las siguientes propiedades son más generales que las anteriores, pero su demostración es similar. Propiedades 8.4 Si y son enteros, con , tales que , , ,a b c d m 0m > ( )moda b m≡ y
( )modc d m≡ , entonces
1. ( )moda c b d m+ ≡ +
2. ( )moda c b d m− ≡ −
3. ( )modac bd m≡ Ejemplo 8.5 Demostrar que 2 1n + no es divisible por 3 para ningún número natural . nSea un número natural cualquiera. Es claro que n 3n k= , 3n k 1= + o
para algún entero . En otras palabras, 3n k= + 2 k 0(mod3)n ≡ , o 1(mod3)n ≡ 2(mod3)n ≡ .
Si , entonces , luego . 0(mod3)n ≡ 2 0(mod 3)n ≡ 2 1 1(mod 3)n + ≡Si , entonces , luego . 1(mod3)n ≡ 2 1(mod 3)n ≡ 2 1 2(mod 3)n + ≡Si , entonces , luego . 2(mod3)n ≡ 2 1(mod 3)n ≡ 2 1 2(mod 3)n + ≡De esta manera, en ningún caso se obtiene . 2 1 0(mod 3)n + ≡
34
Ejemplo 8.6 Encontrar el residuo al dividir entre 7. 1006Note que 6 1(mod 7)≡ − , luego . Entonces
. Por lo tanto el residuo al dividir entre 7 es 1. ( )1001006 1 (mod≡ − 7)
)
1n
1006 1(mod 7≡ 1006 Ejemplo 8.7 Demostrar que 2 211 12n+ ++ es divisible por 133 para cualquier número natural . nEn efecto,
2 2 1 2
2
2
11 12 121 11 12 12133 11 12 11 12 12133 11 12(12 11 )133 11 12(144 11 )0(mod133)
n n n n
n n
n n n
n n n
+ ++ = ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅ + ⋅
= ⋅ + −
= ⋅ + −≡
n
Ejercicios 8.8
1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas. a. ( )13 1 mod 2≡
b. ( )13 1 mod 2≡
c. ( )22 7 mod5≡
d. ( )111 9 mod 40≡ −
e. ( )666 0 mod37≡
f. ( )3 30 mod11− ≡
2. Para que valores de es cierta cada una de las siguientes congruencias:
m
a. ( )27 5 mod m≡
b. ( )1000 1 mod m≡
c. ( )1331 0 mod m≡
35
3. Probar las propiedades 8.2. 4. Probar las propiedades 8.3. 5. Probar las propiedades 8.4. 6. S i y son enteros, con y , ,a b k m 0, 0k m> > ( )moda b m≡ ,
entonces ( )modk ka b m≡
7. Probar que si a es un entero par, entonces ( )2 0 mod 4a ≡ y si
es un entero impar, entonces a ( )2 1 mod 4a ≡ .
8. Probar que si es un entero impar, entonces a ( )2 1 mod8a ≡ .
9. Dar un ejemplo para probar que ( )2 2 moda b n≡ no
necesariamente implica que ( )moda b n≡ . 10. Reducir los siguientes números a módulo 13.
a. 22 b. 100 c. 1001 d. -1 e. -100 f. -1000
11. Encontrar el residuo cuando y se dividen entre 7. 502 654112. Hallar el residuo al dividir la suma entre
7. 5 5 51 2 ... 99 100+ + + + 5
13. Dado un entero a , probar que ( )3 0,1 o 6 mod 7a ≡ .
14. Dado un entero a , probar que ( )4 0 o 1 mod5a ≡ . 15. ¿Para qué enteros positivos se cumple que
? n
( ) (22 21 2 ... 1 0 modn n+ + + − ≡ )
9. Criterios de divisibilidad En esta sección presentamos los criterios más importantes de divisibilidad. La justificación de estos criterios se basa en la manera de representación de los números naturales como sumas de potencias de 10. Por ejemplo, el número 3,481 se puede representar como
36
_______3 23481 3 10 4 10 8 10 1= ⋅ + ⋅ + ⋅ + . En general el número , donde
son los dígitos del número se puede representar de la siguiente forma
_____________
1 2 na a a
1 2, ,..., na a a
________________1 2 1
1 2 1 2 110 10 ... 10n nn na a a a a a a− −
− n= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
De la definición de congruencia se tiene de manera inmediata que si son enteros positivos y ,a b (mod )a b n≡ , entonces es divisible por
si y solo si b es divisible por a
n n
Como 10 0(mod 2)≡ , entonces 10 para cualquier numero natural . Por lo tanto
. De aquí se obtiene el criterio de divisibilidad por 2 que resumimos a continuación:
0(mod 2)r ≡r
________________1 2 1
1 2 1 2 110 10 ... 10 (mod 2)n nn na a a a a a a a− −
−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ≡n n
Divisibilidad por 2 Un número natural es divisible por 2 si y solo si su última cifra decimal es divisible por 2.
Como también 10 0(mod5)≡ y 10 0(mod10)≡ , se obtienen de manera inmediata los criterios para divisibilidad por 5 y por 10.
Divisibilidad por 5 Un número natural es divisible por 5 si y solo si su última cifra decimal es 0 o 5.
Divisibilidad por 10 Un número natural es divisible por 10 si y solo si su última cifra decimal es 0.
Ejemplo 9.1
Demostrar que ________________ _________
1 2 1 1 (mod 4)n n n na a a a a a− −≡
37
En efecto, ________________
1 2 11 2 1 2 1
1 2 2 11 2 2 1
1_________
1
10 10 ... 10
2 2 ... 2 2 (mod 4)10 (mod 4)
(mod 4)
n nn n n
n nn n n
n n
n n
a a a a a a a
a a a a aa a
a a
− −−
− −− −
−
−
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
≡ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ +≡ ⋅ +
=
De este ejemplo obtenemos el criterio de divisibilidad para el 4
Divisibilidad por 4 Un número natural es divisible por 4 si y solo si el número formado por sus dos últimas cifras decimal es divisible entre 4.
El ejemplo anterior, y el criterio de divisibilidad para el 4, se
pueden generalizar para divisibilidad por . 2n
Note que 10 1(mod3)≡ . Entonces 10 para cualquier
número natural k . Así, 1(mod 3)k ≡
1 2 11 2 1 1 210 10 ... 10 ... (mod3)n n
n n na a a a a a a− −−⋅ + ⋅ + + ⋅ + ≡ + + + .
Por lo tanto obtenemos el criterio para divisibilidad por 3:
Divisibilidad por 3 Un número natural es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es un número divisible por 3.
Como también se cumple que 10 1(mod9)≡ , se obtiene un
criterio similar para divisibilidad por 9:
Divisibilidad por 9 Un número natural es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es un número divisible por 9.
Ejercicio 9.2
38
Determinar si los enteros 176,521,221 y 149,235,678 son divisibles por 3 o por 9. Ejemplo 9.3
Demostrar que ________________
1 2 1 1... ( 1) (mod11)nn n na a a a a a−≡ − + + −
Note que 10 1(mod11)≡ − . Usando este hecho y la representación
se sigue el resultado.
________________1 2 1
1 2 1 2 110 10 ... 10n nna a a a a a a− −
−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +n n
1
Del ejemplo anterior se desprende un criterio de divisibilidad por 11:
Divisibilidad por 11
Un número natural es divisible por 11 si y solo si es divisible por 11.
________________
1 2 na a a
1 ... ( 1)nn na a a−− + + −
Ejemplo 9.4 Encontrar el dígito d en el número 2315 para que este número sea divisible por 11.
8106d
6 0 1 8 5 1 3 2 6d d− + − + − + − + = − y 6 0(mod11)d − ≡ si y solo si . 6d =
Note que 1,001 7 11 13= ⋅ ⋅ y . Por lo tanto
310 1(mod1,001)≡ −________________
1 2 11 2 1 2 1
1 2 3 42
6 7 8
1 2 3 4 5
6 7
10 10 ... 10( 10 100 ) 1,000( 10 100 )
(1,000) ( 10 100 ) ...( 10 100 ) ( 10 100 )( 10 100
n nn n n
n n n n n n
n n n
n n n n n n
n n n
a a a a a a aa a a a a a
a a aa a a a a aa a a
− −−
− − − −
− − −
− − − − −
− − −
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ += + + + + +
+ + + +≡ + + − + ++ + + 8
______________ ________________ _________________
2 1 5 4 3 8 7 6
) ...(mod1,001)
...(mod1,001)n n n n n n n n na a a a a a a a a− − − − − − − −
+
≡ − + −
5−
Por lo tanto para verificar divisibilidad por 7, 11 o 13 se puede
usar este criterio.
39
Ejemplo 9.5 Hallar un dígito d para que el número 4 sea divisible por 7. 231560 33d
4231560 33 33 560 231 4(mod1,001)33 333(mod1,001)
d dd
≡ − + −≡ −
.
Luego . 3d = Ejemplo 9.6 Encontrar todos los números naturales, los cuales aumentan 9 veces, si entre la cifra de unidades y la cifra de decenas se coloca un cero. El número buscado se puede escribir de la forma 10a b+ , donde b es la cifra de las unidades. Entonces 100 . Luego 10 , es decir 5 . Por lo tanto b es divisible por 5 , así
9(10 )a b a b+ = + 8a b=4a b= 0b = o b . La
única solución es 5=
5b = y el número buscado es 45.
10. El Pequeño Teorema de Fermat
En esta sección presentamos un resultado importante y útil en varios ejercicios de olimpiadas matemáticas. Ejemplo 10.1 Note que , pero 3 no es congruente con 7 módulo 10. 5 3 5 7(mod10)⋅ ≡ ⋅
El siguiente ejemplo nos provee un criterio para “cancelar”
cuando se está trabajando con multiplicación en congruencias. Ejemplo 10.2 Sea y (mod )ka kb m≡ ( , ) 1mcd k m = . Entonces (mod )a b m≡ . Como , entonces es divisible por . Luego
es divisible por . Pero como (mod )ka kb m≡ ka kb− m
(k a b− ) m ( , ) 1mcd k m = , entonces es divisible por , luego
a b−m (mod )a b m≡
Ejercicio 10.3
40
Sea , entonces (mod )ka kb km≡ (mod )a b m≡ .
Teorema 10.4 (Fermat) Sea p un número primo y a un entero que no es divisible por p . Entonces . 1 1(mod )pa p− ≡
Demostración: Consideremos los números
,2 ,3 ,..., ( 1)a a a p a− . Veamos que entre ellos no hay dos números que tienen residuos iguales al dividirlos por p . Efectivamente, si (mod )ka la p≡ , entonces como
ya que a no es divisible por el primo ( , ) 1mcd a p = p , por el ejemplo 10.2 se tiene que (mod )k l p≡ . Esto es imposible para diferentes números naturales y l menores que k p . Por consiguiente la lista de
1p − números ,2 ,3 ,.a .., ( 1)a a p a− son todos los posibles residuos al dividir por 1p − (en otras palabras, los números deben ser congruentes módulo
,2 ,3 ,..., ( 1)a a a p a−p a 1,2,3,..., 1p − en algún orden.
Multiplicándolos se obtiene 2 3 ( 1) 1 2 3 ( 1)(moda a a p a p p⋅ ⋅ − ≡ ⋅ ⋅ − )
).
Entonces . Como 1( 1)! ( 1)!(modpa p p p− − ≡ − (( 1)!, ) 1mcd p p− = , usando el ejemplo 10.2 se tiene que . 1 1(mod )pa p− ≡
Como consecuencia del teorema de Fermat se tiene que si p es un número primo, para cualquier entero , . a (mod )pa a p≡ Ejemplo 10.5 Encontrar el residuo de la división de entre 101. 1002La pregunta se puede reducir a encontrar el valor de 101x < en la siguiente congruencia . 101 es primo y 2 no es divisible por 101, luego . Por lo tanto el residuo buscado es uno.
1002 (mod10x≡ 1)1002 1(mod101)≡
Ejemplo 10.6
41
Encontrar el residuo de la división de por 101. 1023Como 101 es primo, entonces , luego y el residuo buscado es nueve.
1003 1(mod101)≡ 1023 9(mod101)≡
Ejercicios 10.7 1. Probar que cualquier entero de la forma 6k 5+ también es de la
forma . Sin embargo, el recíproco no necesariamente es cierto, es decir no todo número de la forma
3k + 223k + tiene la forma . 6 5k +
2. Probar que 23a 1− nunca es un cuadrado perfecto. [ayuda: el cuadrado de cualquier entero es de la forma o 3k 3 1k + ].
3. Probar que si un entero es simultáneamente un cuadrado y un cubo, entonces debe ser de la forma 7 o k 7 1k + .
4. Probar que la diferencia de dos cubos consecutivos nunca es divisible por 2.
5. Para cualquier entero a , demostrar que (2 1,9 4) 1mcd a a+ + = . 6. Sea un entero impar, establecer que a 2 2 2( 2) ( 4)a a a 1+ + + + + es
divisible por 12. 7. Probar que para cualquier entero a , uno de los tres , a 2a + o
es divisible por 3. [ayuda: tiene la forma 3 , 4a +
a k 3 1k + o 3 2k + ]. 8. Probar que cualquier primo de la forma 3 1n + también tiene la
forma . 6 1m +9. Hallar todos los primos de la forma 3 1n − . [ayuda:
] 3 21 ( 1)( 1)n n n n− = − + +10. Si es un entero que no es de la forma 1n > 6k 3+ , probar que
es compuesto. [ayuda: probar que 2 2nn + 2 2nn + es divisible por 2 o por 3.
11. Demostrar que es divisible por 31. 99 10030 61+12. Demostrar que es divisible por 66. 101 10143 23+13. Si es un número natural impar, demostrar que n na bn+ es divisible
por a . b+14. ¿Existe un número natural tal que n 2 1n n+ + sea divisible por
1,955? 15. Encontrar el residuo al dividir entre 9. [ayuda:
]
4444444432 1(mod 9)≡ −
42
16. Determinar los últimos tres dígitos de . [ayuda:
]
9997( )47 1 400 (mod1,000)1 400 (mod1,000)
nn
n≡ +
≡ +17. Entre las cifras de un número de dos cifras, múltiplo de tres,
colocaron un cero y al número de tres dígitos obtenido le adicionaron dos veces la cifra de sus centenas. Se obtuvo un número 9 veces mayor al inicial. Encontrar el número inicial.
18. Demostrar que todos los números de la sucesión 10001, 100010001, 1000100010001, … son compuestos.
19. Demostrar que 3,000300 1− es divisible por 1,001. 20. Encontrar el residuo de la división de entre 29. 900821. Demostrar que 1207 1− es divisible por 143. [ayuda: Usar Fermat
para demostrar que 1207 1− es divisible por 11 y por 13] 22. Sean p y primos diferentes. Demostrar que q
a. (mod )q pp q p q pq+ ≡ +
b. q pp qpq+ es un número par, si , 2p q ≠ .
11. Números reales
0
reales negativos origen reales positivos Ejemplo 11.1 Si los números 5 , 3 9 , 1, 2, 3 se ordenan de izquierda a derecha en orden de magnitud, ¿cuál de ellos queda en el medio? Elevando los números a la sexta potencia se conserva el orden y se obtiene
43
( )65 125= , ( )6
3 9 81= , 61 1= , 62 64= , . Por lo tanto 63 729=31 2 9 5 3< < < < .
Ejemplo 11.2
Si , ¿cuánto vale 2 5 10a b= =1 1a b+ ?
Note que 1
10 2a = y 1
10 5b = . Entonces 1 1
10 10 10a b = , luego 1 1
10 10a b+= . Por lo tanto 1 1 1
a b+ = .
Ejemplo 11.3 Calcular 99-97+95-93+91-…+3-1 Agrupando se obtiene
25 veces
(99-97)+(95-93)+...+(3-1)= 2+2+...+2 50=
Valor absoluto Sea un número real. El valor absoluto de , denotado por | , se define como:
a a|a
si 0| |
si 0a a
aa a
≥⎧= ⎨− <⎩
Propiedades 11.4 Sean números reales ,a bi. | | 0a ≥ii. | | | |a a= − iii. | | | |a b b a− = − iv. es la distancia, en la recta real, desde hasta el origen. | |a av. | a b |− es la distancia, en la recta real, desde a hasta b . vi. | | | ||ab a b |= Veamos la demostración de vi, las demás se demuestran de manera similar.
44
Caso 1. y . Entonces y | |0a ≥ 0b ≥ 0ab ≥ a a= , y . Por lo tanto | |
| |b b=| |ab ab= | ||ab a b |= Caso 2. y 0a ≥ 0b ≤ . Entonces 0ab ≤ y | |a a= , y
. Por lo tanto | || |b = −b
|( )| |ab ab= − | ||ab a b= Caso 3. 0a ≤ y . Similar al Caso 2. 0b ≥Caso 4. 0a ≤ y 0b ≤ . Entonces y | |0ab ≥ a a= − , y
. Por lo tanto | || |b = −b
|| |ab ab= | ||ab a b= Propiedades 11.5 Dados números reales con , ,a r 0r >| |a r≤ si y solo si r a r− ≤ ≤ | |a r> si y solo si o a r> a r< − Ejemplo 11.6 Solucionar en los números reales | 4 2 | 5x− ≤ Dado| 4 , entonces 2 | 5x− ≤ 5 4 2 5x− ≤ − ≤ . Restando 4 en los tres lados de las desigualdades se tiene 9 2 1x− ≤ − ≤ . Dividiendo por –2 los tres lados de las desigualdades se obtiene (note que el sentido de las desigualdades cambia por ser –2 un número negativo) 92 2
x≥ ≥ −1 . Por lo tanto los números reales x que satisfacen
son los que satisfacen | 4 2 | 5x− ≤1 92 2
x− ≤ ≤ .
Ejemplo 11.7 Las soluciones de la ecuación , con , están dadas por
.
2x = a 0a ≥| |x a=
12. Factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Ecuación cuadrática 2 0ax bx c+ + = , números reales con
, ,a b c0a ≠
Si , la ecuación tiene dos soluciones reales 2 4b ac− > 0
45
dadas por 2 4
2b b acx
a− ± −
=
Si , le ecuación tiene una solución real dada
por
2 4b ac− = 0
2bxa−
=
Si , la ecuación no tiene soluciones reales 2 4b ac− < 0 Ejemplo 12.1 Encontrar las soluciones reales de la ecuación 23 9 1x x 0+ − = Esta ecuación se puede solucionar completado el cuadrado perfecto (sumando y restando una cantidad apropiada) de la siguiente manera:
( )2
2
2 22
2
2
2
3 9 1 0
3 3 1 0
3 33 3 1 02 2
9 273 3 1 04 4
3 332 4
3 32 1
x x
x x
x x
x x
x
x
1
12
+ − =
+ − =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Por lo tanto 3 32 1
x + =12
o 3 32 1
x + = −12
. Entonces 31 3
22 3x = − o
31 322 3
x = − − . Luego 93 36 2
x = − o 93 36 2
x = − − .
Con la ecuación cuadrática se pueden obtener rápidamente las
soluciones 9 81 126
x − ± += , y por lo tanto 3 93
2 6x = − ± .
46
Ejemplo 12.2 Si , ¿cuánto vale 2 8 2 0x x+ − = 4 38 16 1x x x 0+ + + ?
( )
( )
4 3 2 2 2
2
2
8 16 10 8 2 2 16 10
2 16 10
2 8 2 14
14
x x x x x x x x
x x
x x
+ + + = + − + + +
= + +
= + − +
=
Ejemplo 12.3 Si y son soluciones de a b 2 7 15 0x x+ + = , ¿cuánto vale
? 2 2 12a b ab+ +( )( )2 27 15 ( )x x x a x b x a b x a+ + = − − = − + + b . Por lo tanto y
. Entonces .
15ab =
7a b+ = −
( ) ( ) ( )2 22 2 12 10 7 10 15 199a b ab a b ab+ + = + + = − + =
En la siguiente tabla se resumen algunas fórmulas importantes.
( )2 2 22a b a ab b+ = + +
( )2 2 22a b a ab b− = − +
( )3 3 2 23 3a b a a b ab b3+ = + + +
( )3 3 2 23 3a b a a b ab b3− = − + −
( )( )2 2a b a b a b− = − +
( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + Ejemplo 12.4 ¿Cuál es el máximo común divisor de 4 4a b− y 2 2a b− ? Note que
47
( )( )( )( )( )( )( )
4 4 2 2 2 2
2 2
2 2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
− = − +
= − + +
− = − +
Si a b , ≥ ( )4 4 2 2 2 2,mcd a b a b a b− − = −
Si a b , < ( )4 4 2 2 2,mcd a b a b b a2− − = − Ejemplo 12.5 ¿Si y son enteros positivos que satisfacen m n 1 2 39n n nm m m+ ++ + = , entonces cuánto vale ? mnFactorizando en la ecuación dada se obtiene nm ( )21 3nm m m 9+ + = .
Por lo tanto Es factor de 39. Entonces . nm 1,3,13 o 39nm =
• Si , 1nm =1
no es posible1
mn= ⎫
⎬= ⎭
• Si , 3nm =3
luego =11
mmn
n= ⎫
⎬= ⎭
• Si , 13nm =13
no es posible1
mn= ⎫
⎬= ⎭
• Si , 39nm =39
no es posible1
mn= ⎫
⎬= ⎭ Ejemplo 12.6 La suma de tres números impares consecutivos es 135, ¿cuál es el más pequeño de estos tres números? Los números buscados se pueden representar por 2, , 2x x x− + . Por lo tanto , luego 2 2 135x x x− + + + = 45x = . El número más pequeño es 43.
48
Ejemplo 12.7 Ana, Bernardo y Carmen tomaron 13 dulces de una mesa. Al final Ana dijo que tomó 2 dulces más que Bernardo; Bernardo dijo que tomó la mitad de dulces que Ana y 5 menos que Carmen; Carmen dijo que tomó un número par de dulces. Si sabemos que a lo más uno de ellos mintió, ¿quién fue el mentiroso? Digamos que son las cantidades de dulces que tomaron Ana, Bernardo y Carmen respectivamente. Entonces
, ,a b c13a b c+ + = .
Según Ana, 2a b= + . (1)
Según Bernardo, 2ab = y 5b c= − . (2)
Según Carmen, es par. (3) cSi Ana y Bernardo no mintieron, de (1) y (2) se obtiene 4a = , y
. Este caso sería posible y Carmen sería la que mintió. 2b =
7c =Si Bernardo y Carmen no mintieron, de (2), (3) y 13a b c+ + = se obtiene y 2b = 7c = que no es par, así que Carmen mintió y esto no es posible. Si Ana y Carmen no mintieron, usando 13a b c+ + = y (1) tenemos
, luego 2b b c+ + + =13 13 2 2c b= − − que es impar, así que Carmen mintió y este caso no es posible. En resumen se obtiene que Carmen fue quien mintió. Ejemplo 12.8 Juan fue de compras y pagó $120 con 36 monedas. Si sólo utilizó monedas de $2 y de $5, ¿cuántas monedas de $2 utilizó? Sea el número de monedas de $2 y sea b el número de monedas de $5 que Juan utilizó.
a
Entonces y 36a b+ = 2 5 12a b 0+ = . Multiplicando por 2 la primera ecuación y restándola de la segunda se obtiene 3 4b 8= . Luego . Entonces . Por lo tanto Juan usó 20 monedas de $2.
16b =36 20a b= − =
Ejemplo 12.9 Ana compró 3 bolígrafos, 7 lápices y una regla y pagó $31.50. Sofía compró 4 bolígrafos, 10 lápices y una regla y pagó $42. Pedro compró un bolígrafo, un lápiz y una regla. ¿Cuánto pagó Pedro?
49
Sean , y los precios de un bolígrafo, un lápiz y una regla respectivamente. Entonces
b l r
3 7 31.4 10 42
b l rb l r
b l r A
5+ + =+ + =+ + =
donde A es la cantidad pagada por Pedro. Al multiplicar la primera ecuación por 3 y restarle dos veces la segunda ecuación se obtienen los coeficientes de la tercera, así ( )3 31.5 2(42) 10.5A = − = . Ejercicios 12.10
1. Solucionar en los números reales a. 3 9x x 4< + b. 4 3 2 13x≤ − <c. ( )( )2 3x x 0− − ≤
d. 1 11
xx
+≥
−
e. 21
xx
<−
f. | 2 |x 3− < g. | 3 |x 8+ ≥
2. Hallar las soluciones reales, si existen, de las siguientes ecuaciones a. 2 2 5x x 0− + = b. 23 2 5x x 0+ − = c. 2 6 9x x 0− + =
3. Encontrar (en términos de y x ) tal que 1 42 16 2 4y x x+ += + . 4. En un mismo mes tres domingos cayeron un día par. ¿Qué día
de la semana fue el 22 de ese mes? 5. Un barril lleno de vino pesas 34 Kg. Y cuando está lleno a la
mitad pesa 17.5 Kg. ¿Cuál es el peso del barril?
50
6. Encontrar y b tales que a 11 12 134
ab= +
++
.
7. Dado que ( ) 3 2P x x ax= + + y que ( )2P 1= , ¿Cuánto vale
? ( )1P8. Tres trabajadores necesitan tres días para pintar un edificio.
¿Cuántos trabajadores pueden hacerlo en 9 días? 9. ¿Cuál es la mitad de ? 108210. ¿Cuál es la suma de las cifras del número 9210 92− ? 11. Se sabe que el producto de 1,998 enteros positivos es igual a
1,998. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de esos enteros?
12. En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes, como meses en un año. Si un año tiene 1,331 días, ¿cuántos días tiene cada semana?
13. Paridad Presentamos algunos ejemplos en donde la idea de “par” o “impar” ayuda a encontrar la solución del problema. Ejemplo 13.1 Resolver el siguiente sistema en los enteros positivos
( )
3 3 3
2
32
a b c abca b
− − =
c= +
Se podría tratar de resolver el problema despejando alguna variable en una de las ecuaciones y reemplazándola en la otra, sin embargo los cómputos pueden ser largos y quizás no nos lleven a nada. Note que de la segunda ecuación se tiene que es par, luego a as par. Por otro lado, como estamos buscando soluciones positivas, de la primera ecuación se tiene que y . Luego , entonces
2a
a b> a c> 2a b c> +( )4 2a b c> + . Así, , luego . Por lo tanto 24a a> 4 a> 1,2 o 3a = .
51
Como es par, entonces a 2a = . Entonces, de la segunda ecuación se tiene, , luego 4 2( )b c= + 2 b c= + . Así, 1b c= = . Ejemplo 13.2 Resolver donde son números primos. 1yx + = z , ,x y zNote que . Entonces 2z ≠ x debe ser par para que sea impar. Además
debe ser par para que z
y 1yx + no sea factorizable. Entonces 2x y= = y . 5z =
Ejercicios 13.3 1. Se colocan los números 1,2,3,4,…,1,984 en la pizarra. Se borran dos
de ellos y se coloca su diferencia. Si se repite este proceso hasta el final, ¿qué se obtine, un par o un impar?
2. Hallar , si . N_______
2N aab= b
)
14. Identidad de Sophie Germain
La siguiente propiedad es atribuida a Sophie Germain y la presentamos a manera de ejemplo de identidades algebraicas importantes que ayudan a solucionar diversos problemas.
Note que
( )( )(
4 4 4 2 2 4 2 2
22 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 4
2 2 2 2
a b a a b b a b
a b a b
a b ab a b ab
+ = + + −
= + −
= + − + +
Por lo tanto:
Identidad de Sophie Germain ( )( )4 4 2 2 2 24 2 2 2a b a b ab a b ab+ = + − + + 2
52
Ejemplo 14.1 545 44 545+ no es primo.
Note que
( )
545 4 4 544
44 136
4 545 545 4 4
545 4 4
+ = + ⋅
= +
Por la identidad de Sophie Germain se tiene que no es primo. 545 44 545+ Ejemplo 14.2 Si , entonces 1n ≥ 4 4nn + nunca es primo. En efecto, si es par, entonces n 4 4nn + es par mayor que dos, luego no es primo. Si n es impar, entonces 2 1n k= + , para algún entero , luego k
( )( )
4 4 2
4 2
44
4 4
4 4
4 2
n k
k
k
n n
n
n
++ = +
= +
= +
1
Entonces por la identidad de Sophie Germain, 4 4nn + no es primo.
15. Inducción Matemática: Efecto Dominó
El método de inducción matemática es uno de las herramientas más poderosas en matemáticas y es un instrumento para manejar en ciertas situaciones el concepto de infinito. Este método permite probar que un patrón se cumple para todos los números naturales, basándose en solamente dos pedazos de información. El método es poderoso pues solamente hay que probar dos cosas para concluir que el patrón o propiedad es cierto para todos los (infinitos) números naturales.
El método es similar al “efecto de dominó”. Supongamos que tenemos una fila de fichas de dominó. Sea la proposición “la ficha de dominó en la posición n de la fila se cae”. Vamos a probar (o a
( )P n
53
convencernos) que todas las fichas de domino se caen bajo ciertas circunstancias.
Supongamos que las fichas están suficientemente cerca de tal
forma que si una cualquiera se cae, entonces la inmediatamente siguiente se cae. En términos de nuestra representación estamos diciendo que si
es cierta para un cierto , entonces ( )P n n ( 1P n )+ es cierta. Esta es la primera pieza de información.
Supongamos ahora que la primera ficha en la fila se cae. En
términos de nuestra notación, estamos diciendo que es cierta. Esta es la segunda pieza de información.
(1)P
De estas dos piezas de información se concluye claramente que
todas las fichas de dominó en la fila se caen. Es decir que podemos concluir que es cierta para todo número natural n . ( )P n
En la vida real, la fila de fichas de dominó es finita, pero esta misma idea se puede usar para concluir que una propiedad es cierta para todo número natural , si se logra probar dos cosas: que
es cierta y que cierta para , implica
( )P nn
(1)P ( )P n n ( 1P n )+ cierta.
Note que para probar que una propiedad es cierta para todo número natural , no es suficiente probar que la propiedad es cierta para los primeros valores de , es decir que si por ejemplo probamos que
, ,…, son ciertas, no podemos concluir que sea cierta para todos los números naturales n , pues podría suceder que por ejemplo sea falsa.
( )P nn
n(1)P (2)P (800)P ( )P n
(936)P Podemos resumir el Principio de Inducción Matemática de la
siguiente manera:
Principio de Inducción Se desea probar que una propiedad es cierta para todo número natural . Si se cumplen las siguientes
( )P nn
54
dos condiciones: 1. es cierta (1)P2. Suponer que y es cierta. Entonces
…Entonces 1n ≥ ( )P n
( 1P n )+ es cierta. Entonces, por el Principio de Inducción Matemática se concluye que es cierta para todo número natural
. ( )P n
n Nota: Los puntos suspensivos en 2. Simbolizan los pasos que hay que hacer para llegar de a
. ( )P n
( 1P n+ )
Cuando usamos inducción para probar una propiedad que envuelve un parámetro en los números naturales, decimos que la demostración es por inducción sobre . El paso 1. se llama usualmente el paso base. Para probar el paso base es suficiente verificar que la propiedad es cierta cuando
nn
1n = . El paso 2. se llama el paso inductivo. Para probar el paso inductivo se supone que es cierta para (y por esta razón se le llama la hipótesis de inducción) y se demuestra que
es cierta.
( )P n 1n ≥
( 1P n+ )
Ejemplo 15.1 Probar que . 21 3 5 ... (2 1) ( 1)n n+ + + + + = +Para se obtiene en el lado izquierdo de la ecuación 1 31n = 4+ = . En el lado derecho se obtiene 2(1 1) 4+ = . Por lo tanto el paso base se cumple. La hipótesis de inducción es 21 3 5 ... (2 1) ( 1)n n+ + + + + = + . Queremos demostrar . 21 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) (( 1) 1)n n n+ + + + + + + = = + +Sumando 2( 1) 1n+ + a ambos lados de la hipótesis de inducción se obtiene
55
2
2
2
2
2
1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) ( 1) (2( 1) 1)( 1) 2 3
2 1 2 34 4
( 2)
n n n nn n
n n nn nn
+ + + + + + + + = + + + +
= + + +
= + + + +
= + +
= +
Por lo tanto . 21 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) ( 2)n n n+ + + + + + + = = +Esto completa la demostración por inducción. Ejemplo 15.2 Demostrar que si n∈ y , entonces 2q ≥ nn q< . Usamos inducción sobre . Por hipótesis se tiene que , por lo tanto el paso base se cumple y el ejercicio es cierto para
n 1q >1n = . Como hipótesis
de inducción supongamos que el resultado es cierto para n k= , es decir . Entonces kk q<
11 2 k kk k k k qk q q q ++ ≤ + = ≤ < ⋅ = Note que en la última desigualdad se está usando la hipótesis de inducción. Por lo tanto el ejercicio se cumple para 1n k= + y esto completa la demostración por inducción. Ejemplo 15.3 Supongamos que se colocan bolas en línea recta, tocándose una con otra. Entonces se forman
n1n − contactos.
Si , el resultado es claro. Si para k bolas se tienen 1n = 1k − contactos, cuando adicionamos una bola esto agrega un contacto. Por lo tanto bolas forman k contactos.
1k +
Ejemplo 15.4 Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces es divisible por 9.
4 1 3n n− −
Como 0 es divisible por 9, entonces la propiedad es cierta para y el paso base se cumple.
1n =
56
Supongamos, como hipótesis de inducción, que 4 1 3n n− − es divisible por 9 y demostremos que 1 14 1 3( 1) 4 4 3n nn+ + n− − + = − − es divisible por 9. Por hipótesis se tiene que 4 1 3n n− − es divisible por 9, luego existe un entero k tal que 4 1 3 9n n k− − = . Si multiplicamos a ambos lados de esta ecuación por 4, obtenemos . Por lo tanto,
. Entonces
14 4 12 36n n+ − − = k36 9n n k n+ − − = + )n14 4 3 14 4 3 9(4n n k+ − − = + . Note que
es un entero. Por lo tanto, la última ecuación muestra que es divisible por 9. Esto completa la demostración por
inducción.
4k n+14 4 3n n+ − −
Algunas veces la demostración de ( )1P k + en el paso inductivo
necesita la hipótesis de que ( )P i es cierta para todos los valores de menores que
i1k + . El Principio de Inducción Completa nos permite
asumir como hipótesis el hecho de que ( )P i es cierta para todos los valores de i menores que 1k + . El próximo teorema muestra que de hecho el Principio de Inducción Completa implica el Principio de Inducción. Teorema 15.5 (Principio de Inducción Completa) Para cada entero , sean 1n ≥ ( ) ( ) ( )1 , 2 ,..., ,...P P P n proposiciones. Si se cumplen las propiedades siguientes i. y ii., entonces para cada la propiedad es cierta.
n∈( )P n
i. ( )1P es cierta
ii. Para , si 2k ≥ ( )P i es cierta para todo i k< , entonces
( )P k es cierta.
Demostración: Para n∈ , sea ( )R n la proposición “ ( )P i es cierta para todo i que satisface 1 i n≤ ≤ ”. Probaremos por inducción en n que todas las son ciertas, esto implica claramente que todas las son ciertas.
( )R n ( )P n
57
Por i. se tiene que ( )1R es cierta. Para , supongamos que 1k > ( )1R k −
es cierta. Por lo tanto ( )P i es cierta para todo i k< . Entonces, por ii. se
tiene que es cierta. Luego ( )P k ( )R k es cierta. El principio de
inducción matemática implica que todas las ( )R n son ciertas.
El siguiente teorema muestra una aplicación del Principio de Inducción Completa. Teorema 15.6 Todo entero es primo o un producto de primos. 2n ≥Demostración: La propiedad es cierta para 2n = ya que 2 es un número primo. Sea
un entero arbitrario y supongamos que la propiedad es cierta para todo entero . Si es primo, entonces terminamos la demostración. Si no es primo entonces n
2n ≥k n< n
n ab= , donde son enteros tales que y . Por hipótesis se tiene que y son primos o son
el producto de primos. Por lo tanto es el producto de (por lo menos dos) primos.
,a b2 a n≤ < 2 b n≤ < a b
n
Ejemplo 15.7 En el siguiente juego, los dos jugadores mueven alternadamente y el juego comienza con dos montones de monedas, donde cada montón tiene el mismo número de monedas. Cada jugador toma un número positivo de monedas de un montón cualquiera. El ganador es el jugador que remueve la última moneda. Demostraremos, usando inducción completa sobre el número de monedas de cada montón, que el jugador que no comienza el juego, llamémoslo el jugador B, es el ganador (siempre y cuando juegue bien). Si los montones tienen inicialmente una moneda cada uno, entonces el jugador A tomará obligatoriamente 1 moneda y el jugador B tomará la otra moneda, ganando así el juego. Por lo tanto el paso base de la inducción se cumple. Para la hipótesis de inducción supongamos que comenzamos con dos montones con monedas cada uno y supongamos que el resultado es cierto para todos los juegos en donde se comienza el juego con montones que tienen menos de monedas. Si el jugador A
n
n
58
toma un montón completo, el jugador B tomará el otro montón y gana. Si el jugador A toma monedas de un montón, el jugador B responde tomando monedas del otro montón. Lo que queda del juego es equivalente a un juego en el que se comienza con n
jj
j− monedas en cada montón y donde el jugador A tiene que jugar primero. La hipótesis de inducción garantiza que el jugador B gana el juego. Esto completa la demostración. Ejercicios 15.8 1. Usar el principio de inducción matemática sobre para probar que
las siguientes proposiciones son ciertas para todos los números naturales.
n
a. ( 1)1 2 3 ...2
n nn ++ + + + =
b. 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...6
n n nn + ++ + + + =
c. 2 2
3 3 3 3 ( 1)1 2 3 ...4
n nn ++ + + + =
d. (3 1)1 4 7 ... (3 2)2
n nn −+ + + + − =
e. 1 2 12 2 ... 2 2 2n n++ + + = −f. 1 1! 2 2! ... ! ( 1)! 1n n n⋅ + ⋅ + + ⋅ = + − g. 3 1 2n n≥ +h. es divisible por 3 4 1n −i. es divisible por 3 3 5 6n n+ +j. es divisible por 9 210 3 4 5n n++ ⋅ +k. Si , entonces 2q ≥ nn q<
2. Sean puntos en un plano tales que no hay tres puntos colineales (no hay tres de estos puntos que estén en la misma recta). Probar que el número de segmentos que unen todos los pares de
puntos es
1 2, ,..., nP P P n
2
2n n− .
59
3. El juego de las torres de Hanoi consiste de un tablero con tres palos y varios discos de diferentes diámetros que se ponen dentro de los palos. En la posición inicial todos los discos están puestos en uno de los palos y están ordenados por tamaño, de mayor a menor, donde el más grande va abajo. Un movimiento consiste en levantar el disco que está en la parte de arriba y ponerlo en otro palo. Estos movimientos se hacen de tal forma que nunca exista un disco grande sobre uno más pequeño. El objetivo el juego es cambiar todos los discos a otro de los palos. ¿Cuántos movimientos son necesarios para mover discos? Usar el Principio de Inducción Matemática para probar su resultado.
n
4. Suponer que una población de hormigas se duplica en cada año
sucesivo. Una colonia se establece con 10 hormigas. ¿Cuántas hormigas habrá después de años? n
5. Probar que un conjunto con elementos tiene 2 subconjuntos. n n
6. Suponer que dibujamos líneas en un pedazo de papel de tal forma
que todo par de líneas se interceptan pero tres líneas no se cortan en un mismo punto. ¿En cuántas regiones divide el plano estas n líneas? Probar su respuesta.
n
7. Probar por inducción que si es un entero positivo, entonces n
( )4 1 3 mod9n n≡ + . 8. Encontrar el error en la siguiente demostración:
Para todo número natural , n 2n n+ es impar. “prueba”: Supongamos que 2n n+ es impar, entonces
2 2 2( 1) ( 1) 2 1 1 ( ) (2 2n n n n n n n n )+ + + = + + + + = + + + es la suma de un número impar y un número par. Por lo tanto
es impar. Por el principio de inducción matemática podemos concluir que para todo número natural ,
2( 1) ( 1n n+ + + )n 2n n+ es impar.
9. Encontrar el error en la siguiente prueba:
60
Para todo número natural n, dado cualquier grupo de n niñas, todas las niñas del grupo tienen los ojos del mismo color. “prueba”: Claramente si se tiene un grupo de una sola niña, todas las niñas tienen los ojos del mismo color. Supongamos que todas las niñas en cualquier conjunto de n niñas tienen los ojos del mismo color. Considerar un conjunto de niñas. Si removemos una niña del grupo, entonces todas las n niñas que quedan en el grupo tienen los ojos del mismo color (esto es por la hipótesis de inducción). Considerar ahora el grupo de n niñas que se obtiene al remover una niña diferente a la primera. Por hipótesis todas las n niñas tienen los ojos del mismo color. Por lo tanto todas las
1n +
1n + niñas tienen los ojos del mismo color. Por el Principio de Inducción Matemática se obtiene que para todo número natural n, dado cualquier grupo de n niñas, todas las niñas del grupo tienen los ojos del mismo color. Note que de aquí concluimos que todas las niñas del mundo tienen los ojos del mismo color.
10. En la villa del razonamiento perfecto, cada patrón tiene un aprendiz. Por lo menos uno de los aprendices es un ladrón. Para solucionar este problema, sin quedar mal, el alcalde de la villa proclama la siguiente proposición cierta: “Por lo menos un aprendiz en esta villa es un ladrón. Todo ladrón es conocido como ladrón por todos los patrones excepto por el suyo y todos los patrones razonan perfectamente. Si n días a partir de hoy usted concluye que su aprendiz es un ladrón, usted vendrá ese día al centro del pueblo a medio día y denunciará a su aprendiz”. La gente de la villa se reunió de ahí en adelante todos los días en el centro del pueblo. ¿Si de hecho de los aprendices son ladrones, cuándo serán denunciados, y como sus patrones razonan?
1k ≥
11. Comenzando en el origen, dos jugadores mueven alternadamente una ficha en el plano. Cuando la ficha esta en la posición ( , , el jugador escoge un número natural y mueve a
)x yn ( ,x n y)+ o a
. Probar que el segundo jugador siempre puede retornar a la línea ( , 5 )x y n+
5 .y x=
61
NOTA: Una propiedad que es cierta para los números naturales mayores o iguales que un cierto puede ser probada por inducción inclusive cuando . Tendíamos que probar que la propiedad es cierta para y después probar que cierta para implica que es cierta. Esto equivale en la fila de fichas de dominó a que las primeras fichas, no están suficientemente cercanas para que al tumbar la primera se caigan las demás. Pero a partir de la ficha que está en la posición si están suficientemente cercanas.
0n
0 1n > 0n( )P n 0n n≥ ( 1P n+ )
0n
12. Usar el principio de inducción matemática para probar que
para todo entero . 22n n> 5n ≥
16. Ángulos internos de un triángulo
En esta sección probamos un principio fundamental de los triángulos.
Trazamos un triángulo cualquiera ABC . Por el vértice A
trazamos una paralela al lado BC como en el dibujo.
A
B C
D E
Note que DAB CBA= y EAC ACB= . Además
. Entonces
. Por lo tanto hemos probado el siguiente teorema:
180DAB BAC EAC+ + =180CBA BAC ACB+ + =
Teorema 16.1 La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180
62
Ejemplo 16.2 Los ángulos internos de un cuadrilátero convexo suman . 360
Basta dividir el cuadrilátero en dos triángulos y usar el teorema anterior. Ejercicios 16.3 1. ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos internos de un pentágono
regular? 2. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono
convexo de n lados? 3. Demostrar que todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la
suma de los ángulos internos no adyacentes. NOTA: Un ángulo exterior de un triángulo se forma cuando un lado del triángulo es extendido.
AB
C
El ABC es un ángulo exterior del triángulo que se muestra en la figura.
17. Ángulo central versus ángulo inscrito Existen diferentes ángulos asociados con los círculos. Unos de los más importantes son los ángulos centrales y los ángulos inscritos. En esta sección veremos una relación fundamental entre ellos.
63
Ángulos centrales: Los ángulos centrales son aquellos formados por dos radios del círculo. El vértice es el centro del círculo. En la figura,
AOB es un ángulo central.
A
O
B
Ángulos inscritos: A cualquier segmento de recta que tenga sus extremos sobre la circunferencia y que no sea diámetro se le llama cuerda. Un ángulo inscrito en una circunferencia es cualquier ángulo formado por dos cuerdas que tienen un extremo común sobre la circunferencia. En la figura ABC es un ángulo inscrito.
A
B
C
64
Teorema 17.1 Si dos ángulos inscritos en un círculo abren el mismo arco, entonces ellos son iguales e iguales a la mitad del ángulo central correspondiente. Es decir,
A
O
B
C
D
12
BCA BDA BOA= =
Demostración: Caso 1: Uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia.
OBC
A
Como el triángulo ABO es isósceles, entonces
OBA BAO CBA= = . Además, como la medida del ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos ángulos no adyacentes, entonces
2COA OBA BAO
CBA= +=
.
Caso 2: El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo inscrito.
65
OB
C
D
A
Sea el diámetro de la circunferencia que pasa por O
y . Sean
BD
B 1 DBAα = y
2 CBDα = . Note que
1CBA 2α α= + . Por el Caso 1. se tiene que 12DOA α= y
22COD α= . Además, COA DOA COD= + . Por
lo tanto 1 22 2 2COA CBAα α= + = .
Caso 3: El centro de la circunferencia es un punto exterior del ángulo inscrito.
OB
C
D
A
Sea el diámetro que pasa por y . Sean
BDO B 1 ABDα = y
2 CBDα = . Note que
2CBA 1α α= − . Además, por el Caso 1, se tiene que
12AOD α= y 22COD α= . Entonces
2 12 22
COA COD AOD
CBAα α
= −= −=
De los tres casos anteriores se concluye que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abre el mismo arco. De aquí se sigue, de manera inmediata, que dos ángulos inscritos que abren el mismo arco son iguales.
66
Ejercicios 17.2 1. Demostrar que en la figura siguiente , donde el
segmento 90BAC =
BC es un diámetro de la circunferencia.
BC
A
2. En la siguiente figura, encontrar la medida del , sabiendo
que . DCB
60DOB =
B
C
D
O
67
REFERENCIAS
[1] Andreescu Titu and Feng Zuming, Mathematical Olympiads, The
Mathematical Association of America, 2000. [2] Barbeau Edward, Klamkin Murray and Moser William, Five
Hundred Mathematical Challenges, The Mathematical Association of America, 1995.
[3] Cáceres Luis, Introducción a Temas de Competencias Matemáticas, Publicaciones CRAIM.
[4] Fortes Mauricio, Olimpiadas de Matemáticas, Academia de la Investigación Científica, México, 1993.
[5] Larsen Loren, Problem-Solving Through Problems, Springer Verlag, 1983
[6] Pérez María Luisa, Combinatoria, Instituto de Matemáticas 2000.
[7] Smith Douglas, Eggen Maurice and Andre Richard, A transition to Advanced Mathematics, fifth edition, Brooks/Cole, 2001.
68
ÍNDICE DE PALABRAS
A
Algoritmo de la división · 17 ángulo exterior · 53, 55 ángulo inscrito · v, 53, 54, 55, 56 ángulos centrales · 53 ángulos internos · 52, 53 aritmética · 23, 24, 25, 26, 27, 28 aritmética modular · 23
C
colineales · 50 combinación · 16 compuesto · 21, 36 congruente · 28
D
Diofantina · v, 20 disyuntos · 7, 10 Divisibilidad por 10 · 32 Divisibilidad por 11 · 33 Divisibilidad por 2 · 32 Divisibilidad por 3 · 33 Divisibilidad por 4 · 32 Divisibilidad por 5 · 32 Divisibilidad por 9 · 33
E
Ecuación cuadrática · 39 enteros módulo 7 · 25, 26
F
factorial · 10, 12 Fermat · 35, 37
H
hipótesis de inducción · 47, 51
I
Inducción Completa · 48, 49 inducción matemática · 7, 45, 49, 51, 52 inverso multiplicativo · 27, 28
L
Lema de Euclides · 19
M
máximo común divisor · 18, 40 mínimo común múltiplo · 19 módulo · iii, 25, 26, 27, 28, 31
N
Números reales · 37
P
Paridad · v, 43 permutación · 10, 13, 14, 16 permutaciones distinguibles · 13, 14 Permutaciones Distinguibles · 13 primo · 21, 22, 35, 36, 45, 49 primos relativos · 18 Principio de Adición · 7, 10 Principio de Multiplicación · 8 Principio Fundamental de Conteo · 8, 9, 10,
11, 12
69
S
Sophie Germain · v, 44, 45
T
Teorema de Fermat · v, 34 Teorema Fundamental de la Aritmética · 21
V
valor absoluto · 38
70