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Departamento de Física y ATC

DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA

TEMA I. LAS MAGNITUDES FÍSICAS

1. MAGNITUDES FÍSICAS Y UNIDADES DE MEDIDA 1.1 Magnitudes físicas 1.2 Ecuaciones y leyes físicas 1.3 Dimensiones. 1.4 Sistemas de unidades

2. INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS

2.1 Clasificación de las causas de error 2.2 Formas de expresión de resultados. Cifras significativas 2.3 Error de medidas directas

2.3.1 Error cometido al realizar una sola medida 2.3.2 Error cometido al realizar N medidas directas de una misma magnitud

2.4 Error de medidas indirectas 2.5 Interpolación

3. TRATAMIENTO Y PRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES 4. MEMORIAS DE LABORATORIO 5. CONOCIMIENTOS BÁSICOS

6. CUESTIONES Y PROBLEMAS

Objetivos 1. Explicar la necesidad y utilidad del empleo de unidades en Física. Sistema Internacional. 2. Destacar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones y leyes físicas. 3. Introducir aspectos generales sobre la exactitud y precisión de las medidas como

preparación a las clases en el laboratorio. 4. Representar los resultados experimentales en forma gráfica. Bibliografía 1. Apuntes de la División Física Aplicada 2. Física (Cap.1) – Tipler Mosca - Reverté – 2003

Tema I: Magnitudes físicas 2

División de Física Aplicada

1. MAGNITUDES FÍSICAS Y UNIDADES DE MEDIDA

1.1. Magnitudes físicas

La Física estudia el comportamiento de los cuerpos en situaciones naturales o artificiales ensayadas en el laboratorio. El estudio, basado en la observación, conduce a observables y para cada conjunto de observables de características similares se define una magnitud.

Por ejemplo, de un libro, son observables el ancho de sus hojas, su masa, etc. Por otra parte, a los observables: ancho de las hojas de un libro, altura de un edificio, radio de la Tierra, etc., se les asigna la magnitud escalar longitud (L).

Las magnitudes pueden ser de dos tipos: escalares y vectoriales.

Si se observa la posición de un cuerpo respecto a otro, para expresarla se necesita, además de la distancia, su orientación relativa respecto a una dirección y sentido elegidos como referencia, tratándose

entonces de una magnitud vectorial longitud (�⃗� ).

1.2. Ecuaciones y leyes físicas

La mayoría de los fenómenos físicos (oscilación de un péndulo, transmisión de la luz por una lente, etc.) son muy complicados. En su estudio se suponen fenómenos más simples (ideales) proponiendo modelos que representan una cierta aproximación de la realidad y, con ayuda del lenguaje matemático, se establecen las leyes de comportamiento. En Física se formulan, como sistematización de los resultados experimentales, un número reducido de leyes básicas (de Newton, de Coulomb, etc.) y numerosas leyes empíricas (de Hooke, de Ohm, etc.).

La simplicidad que le aporta a la Física el lenguaje matemático tiene el riesgo de su lectura incorrecta. El trasfondo de las leyes físicas es la identificación de los símbolos que en ellas aparecen y la clarificación de sus condiciones de validez.

1.3. Dimensiones

Independientemente de la unidad que se emplee para expresar una magnitud física, ésta se caracteriza por sus dimensiones, que no se refiere a su tamaño, sino a que toda magnitud puede expresarse como un producto de potencias de una serie de magnitudes fundamentales.

Así, por ejemplo, la velocidad equivale al cociente de una distancia dividida por un intervalo de tiempo y

por tanto se verifica la ecuación dimensional

[𝑣] =[𝑥]

[𝑡]= 𝐿𝑇−1

donde con el corchete indicamos las dimensiones de la magnitud. Aquí la distancia y el tiempo son consideradas magnitudes fundamentales y la velocidad una magnitud derivada.

Las magnitudes que se eligen como fundamentales, e incluso el número de ellas, es arbitrario. En el Sistema Internacional (SI) existen siete magnitudes fundamentales:



longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, cantidad de materia, temperatura termodinámica e intensidad luminosa. Todas las demás son derivadas.

Cada magnitud derivada posee una única ecuación dimensional, caracterizada por los diferentes exponentes de las magnitudes fundamentales.

Así, por ejemplo, para la fuerza [𝐹] = 𝑀𝐿𝑇−2

Un principio importante de la física es el de homogeneidad dimensional: en toda ecuación, los dos miembros deben tener las mismas dimensiones. Lo mismo se aplica a toda suma o diferencia.

Así, por ejemplo, la ecuación

𝑣 = √2𝑎𝑥

con x la posición, v la velocidad y a la aceleración, cumple

𝐿

𝑇= (1 ∙

𝐿

𝑇2∙ 𝐿)

1 2⁄

=𝐿

𝑇

y por tanto es dimensionalmente correcta.

La homogeneidad dimensional permite localizar de forma rápida errores en los resultados de un problema. Así, si en la ecuación anterior se hubiese omitido el signo de raíz cuadrada el resultado sería dimensionalmente incorrecto y por tanto necesariamente erróneo.

Hay que destacar que la homogeneidad es independiente de las unidades que se empleen para medir las cantidades. Por lo que sabemos, 𝑥 podría estar medido en leguas, y 𝑣 en micrómetros/semana. Las dimensiones de una magnitud son algo más básico que las unidades en que se midan.

Por ello, una relación entre magnitudes no implica ninguna unidad en concreto (solo las dimensiones) y por tanto es incorrecto escribir una ley como

𝐸 =1

2𝑚𝑣2(julios) (expresión incorrecta)

ya que la energía podría estar expresada en ergios, calorías, kilovatios·hora o muchas otras, dependiendo de en qué midamos la masa o la velocidad. Por lo tanto, la regla es que, si una fórmula es puramente algebraica, no deben incluirse las unidades. Por contra, si se sustituye uno o todos los valores numéricos, es obligatorio incluir las unidades correspondientes.

1.4. Sistema de unidades



Las magnitudes físicas se valoran por comparación con un patrón o unidad de medida. La proliferación de patrones diferentes para una misma magnitud provocó una complicación en el trabajo científico y técnico hasta que, tras un largo proceso, se consiguió alcanzar un acuerdo internacional (1960) para establecer un sistema único. Éste sistema se conoce como Sistema Internacional (SI) de unidades y en España se adoptó legalmente en 1967. (R.D. 2032/2009 (BOE del 21/01/2010, revisado el 18/02/2010).

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Magnitudes Fundamentales

Magnitud Dimensión Unidad Símbolo

Longitud

Masa

Tiempo

Intensidad de corriente eléctrica

Temperatura

Intensidad luminosa

Cantidad de sustancia

L

M

T

I

J

N

metro

kilogramo

segundo

amperio

kelvin

candela

mol

m

kg

s

A

K

cd

mol

Magnitudes Suplementarias

Ángulo plano

Ángulo sólido

radián

estereorradián

rad

sr

Magnitudes derivadas con nombre especial

Frecuencia

Fuerza

Presión

Trabajo (energía)

Potencia

Carga eléctrica

Potencial eléctrico

Resistencia

Capacidad

Campo magnético

Flujo magnético

Inductancia

T-1

L M T-2

L-1

M T-2

L2

M T-2

L2

M T-3

T I

L2

M T-3

I-1

L2

M T-3

I-2

L-2

M-1

T4

I2

M T-2

I-1

L2

M T-2

I-1

L2

M T-2

I-2

hercio

newton

pascal

julio

vatio

culombio

voltio

ohmio

faradio

tesla

weber

henrio

Hz

N

Pa

J

W

C

V

F

T

Wb

H

El SI se basa en siete unidades básicas:

Metro, m, (longitud): el metro es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299792458 de segundo.

http://www.boe.es/boe/dias/2010/01/21/pdfs/BOE-A-2010-927.pdf

http://www.boe.es/boe/dias/2010/02/18/pdfs/BOE-A-2010-2625.pdf



De aquí resulta que la velocidad de la luz en el vacío es igual a 299792458 metros por segundo exactamente.

Kilogramo, kg (masa): el kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo, adoptado por la tercera Conferencia General de Pesas y Medidas en 1901.

Segundo, s (tiempo): el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Amperio, A (intensidad de corriente eléctrica): el amperio es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro uno del otro, en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2·10−7 Newtons por metro de longitud.

De aquí resulta que la constante magnética, 0, también conocida como

permeabilidad del vacío, es exactamente igual a 4·10−7 H/m.

Kelvin, K (temperatura termodinámica): el kelvin es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Esta definición se refiere a un agua de una composición isotópica definida por las siguientes relaciones de cantidad de sustancia: 0.00015576 moles de 2H por mol de 1H, 0.0003799 moles de 17O por mol de 16O y 0.0020052 moles de 18O por mol de 16O.

De aquí resulta que la temperatura termodinámica del punto triple del agua es igual a 273.16 K.

Mol, mol (cantidad de sustancia): el mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Esta definición se refiere a átomos de carbono 12 no ligados, en reposo y en su estado fundamental. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las entidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Candela, cd (intensidad luminosa): la candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hercios y cuya intensidad energética en dicha dirección es de 1/683 vatios por estereorradián.

A partir de estas unidades básicas se construyen una infinitud de unidades derivadas, mediante productos de potencias de las unidades básicas. Muchas de estas unidades poseen nombre propio, así por ejemplo, 1 hercio (Hz) es igual a 1 s−1, 1 Newton (N) es igual a 1 kg·m/s² y 1 Julio (J) equivale a 1 kg·m²/s².

Mención especial merece el radián (para ángulos planos) : Un ángulo medido en radianes se define como el cociente entre la longitud de un arco de circunferencia y el radio de dicha circunferencia

𝛼 =𝐿

𝑅



y por tanto

1 𝑟𝑎𝑑 = 1 𝑚

1 𝑚= 1

Esto es, el radián es una forma diferente de llamar a la unidad, aportando información sobre la magnitud que miden. Así en la relación entre la frecuencia angular 𝜔 y la frecuencia natural 𝑓

𝜔 = 2𝜋𝑓

la primera magnitud se mide en rad/s, mientras que la segunda se mide en Hz = 1/s. Esta ecuación es dimensionalmente correcta, por ser adimensional el radián. En la práctica, esto quiere decir que el radián es la única unidad que pueden aparecer y desaparecer de las ecuaciones “a voluntad”.

Para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas, comparadas con la unidad

correspondiente, se emplean múltiplos o submúltiplos a los que también se asigna un símbolo que se utiliza como prefijo de la unidad:

Múltiplos

Factor 1012

109 10

6 10

3

Nombre tera giga mega kilo Símbolo T G M k

Submúltiplos

Factor 10-12

10-9

10-6

10-3

Nombre pico nano micro mili

Símbolo p n m

Hay que destacar que, para expresar una medida, es necesario indicar la unidad de medida. La excepción son las magnitudes adimensionales (magnitudes relativas) cuya especificación se limita a un número. Por otra parte, sólo las magnitudes escalares quedan definidas por un único número y su unidad, ya que para las vectoriales se necesitan tres números (componentes).

2. INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS

La Física, como toda ciencia experimental, está basada en leyes matemáticas que relacionan entre sí magnitudes que pueden ser medidas en el laboratorio. Para construir o verificar tales leyes, es necesario recurrir a la experimentación. Sin embargo, el proceso de medida está siempre sometido a un conjunto de circunstancias, denominadas causas de error, que provocan una desviación de los valores medidos con respecto al “verdadero valor”.

Un experimentador debe tener presente que el “verdadero valor” de una magnitud física es una cantidad que nunca podrá conocer con una exactitud y seguridad absolutas. Por ello, el error de una medida (diferencia entre el valor verdadero y el valor medido) es



también una cantidad desconocida. Para extraer conclusiones fiables de un experimento, es imprescindible determinar el grado en que las medidas pueden estar afectadas por las diversas causas de error. En otras palabras, debemos dar alguna indicación que nos diga la probabilidad de que el resultado experimental obtenido se encuentre cerca del verdadero valor. Es posible estimar una cota superior del valor absoluto del error, que se denomina incertidumbre de la medida.

Para calcular la incertidumbre en una medida experimental es conveniente clasificar, tanto el tipo de medidas efectuadas, como el tipo de causas de error que pueden afectar el resultado de dichas medidas.

2.1 Clasificación de las causas de error: causas sistemáticas y accidentales

Errores sistemáticos

Son aquellos que afectan a la medida siempre en la misma cuantía. Suelen ser debidos a una mala construcción o calibración de los aparatos de medida, a su utilización en condiciones distintas de las debidas o al empleo erróneo del procedimiento de medida por parte del observador. En general, los errores introducidos por todas estas causas pueden ser evitados cambiando el aparato o el método de medida.

Ejemplo: Supongamos que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta altura, y utilizamos para ello un cronómetro que atrasa. El tiempo que midamos con ese cronómetro tenderá a ser menor que el verdadero valor. En consecuencia, nuestros resultados estarán sometidos a una causa de error sistemáticamente dirigida hacia la obtención de valores menores que el real.

Errores accidentales

Son aquellos que afectan de manera aleatoria e imprevisible a la medida, tomando ésta valores ligeramente distintos aunque se repita en condiciones aparentemente idénticas. Estos errores suelen ser debidos a múltiples factores que actúan simultáneamente: defectos en la apreciación del valor por parte del observador, pequeñas fluctuaciones en las condiciones de medida, etc. Afortunadamente, el carácter aleatorio de los errores accidentales permite que éstos puedan ser evaluados mediante procedimientos estadísticos.

Ejemplo: Supongamos de nuevo que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta distancia. Aunque usemos un cronómetro que funciona correctamente, el observador nunca podrá poner en marcha el cronómetro exactamente en el momento en que se inicia el movimiento de caída de la esfera. Unas veces se retrasará ligeramente al hacerlo y otras veces se adelantará. Lo mismo ocurrirá al detener el cronómetro. Además, cualquier fenómeno externo (pequeñas corrientes de aire, fluctuaciones de temperatura...) puede afectar de forma impredecible al resultado de la medida. Como consecuencia, el valor medido se desviará del verdadero valor de forma aleatoria. Si repetimos varias veces la medida de esa magnitud, encontraremos que el resultado no es siempre el mismo.

Error instrumental

Existe, además, una causa de error que siempre está presente en todo experimento. Se trata de la limitación instrumental, o causa instrumental, debida al hecho de que no existen instrumentos con una precisión infinita. Así, una regla graduada en milímetros será incapaz de detectar diferencias de longitud inferior al milímetro; un cronómetro



digital que marca hasta las centésimas de segundo será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.

Error absoluto

El error absoluto 𝜀(𝑥) de una medida se define como el intervalo de valores, alrededor del valor medido, dentro del cual debe encontrarse el valor verdadero. Se calcula como la diferencia entre el valor medido y el valor representativo.

𝜀(𝑥) = |𝑎 − 𝑥| (1)

Error relativo

Para saber si el error cometido es importante en comparación con el valor de la medida, puede indicarse el error relativo, definido como el cociente entre el error absoluto y el valor representativo (medio):

𝜀𝑟(𝑥) =𝜀(𝑥)

𝑥 (2)

Multiplicado 𝜀𝑟 por 100, el error relativo representa el tanto por ciento de incertidumbre en el resultado. 2.2. Forma de expresar el resultado de una medida. Cifras significativas

De acuerdo con lo anterior, el resultado 𝑥 de una medida no proporciona el valor exacto de la cantidad que deseamos determinar. Por ello, es necesario indicar de algún modo la confianza que tenemos en que el valor medido se encuentre próximo al verdadero valor. Expresaremos el resultado de la medida de la forma:

𝑥 ± 𝜀(𝑥) (3)

con sus unidades correspondientes. Aunque a 𝜀(𝑥) lo nombraremos como error de la medida, debe tenerse bien en cuenta que se refiere a incertidumbre.

Al expresar un resultado mediante la ecuación (3) suele ocurrir que, tanto el valor medido 𝑥, como su error absoluto 𝜀(𝑥) presentan un gran número de cifras decimales. Debido a la dificultad de evaluar el error con precisión, es evidente que no tiene sentido emplear un gran número de cifras para expresarlo. Del mismo modo, tampoco tiene sentido expresar el resultado de la medida con cifras que impliquen una precisión mayor que la del error. Por ello, para expresar el resultado y el error de una medida, debemos emplear los siguientes criterios:

1. El error sólo puede tener una cifra significativa distinta de cero, a no ser que ésta sea 1, en cuyo caso, opcionalmente, pueden emplearse dos cifras para expresar el error.

2. A la hora de eliminar cifras, aplicaremos el siguiente criterio de redondeo:

a. Si la primera cifra que se suprime es mayor o igual que 5, la última cifra conservada debe aumentarse en 1.

b. Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la última cifra conservada no varía.



Por ejemplo, 𝜀(𝑥) = 0.291 debe escribirse como 𝜀(𝑥) = 0.3 (sólo el 3 es distinto de cero), 𝜀(𝑥) = 0.237 debe escribirse como 𝜀(𝑥) = 200 (sólo el 2 es distinto de cero) y 𝜀(𝑥) = 117 debe escribirse como 𝜀(𝑥) = 120 (por tratarse de un uno).

c. La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud que su error absoluto.

Así, por ejemplo, si el error es 0.3 (décimas), el resultado 5.21, debe escribirse 5.2 (su última cifra es del orden de las décimas).

Ejemplo 3:

Números incorrectos Números correctos

7.3 ± 0.006 7.300 ± 0.006

22.33 ± 0.2 22.3 ± 0.2

0.0002833 ± 0.0000215 0.00028 ± 0.00002

485873 ± 3229 486000 ± 3000

(3.99 ± 0.28)·10-6

(4.0 ± 0.3)·10-6

(4.1234 ± 0.129 )·103

(4.12 ± 0.13 )·103

3.418 ± 0.123 3.42 ± 0.12

15.21 ± 1.963 15.2 ± 2.0

2.3. Error de una magnitud medida directamente

Las magnitudes directas son aquellas que han sido obtenidas directamente con ayuda de un instrumento de medida.

2.3.1 Error cometido al realizar una sola medida

Como antes hemos comentado, cuando usamos un aparato para medir el valor de una magnitud física, 𝑥, la precisión del resultado siempre está limitada por la división mínima en la escala del aparato de medida, o error instrumental. Recordemos: una regla graduada en milímetros será incapaz de detectar diferencias de longitud inferior al milímetro; un cronómetro digital que marca hasta las centésimas de segundo será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.

Cuando la medida se realiza con un instrumento de poca sensibilidad, al repetir la medida varias veces, encontraremos siempre el mismo resultado. En este caso, nos bastará con realizar una única medida, siendo su error el error instrumental.

𝜀(𝑥) = división mínima del aparato de medida

2.3.2 Error cometido al realizar N medidas directas de una misma magnitud

Si la sensibilidad del aparato de medida es grande, podemos encontrarnos que al repetir la medida, obtengamos valores ligeramente diferentes. En este caso se deberán realizar varias medidas.

Supongamos que hemos efectuado un conjunto de medidas de una misma cantidad. Por ejemplo, supongamos que hemos dejado caer una esfera desde un metro de altura y hemos medido el tiempo empleado por ésta en llegar al suelo. Repitiendo la experiencia varias veces, obtendremos un conjunto de medidas directas del tiempo de caída: 𝑡1, 𝑡2,



𝑡3,... 𝑡𝑁, que no serán idénticas, viéndose afectadas por errores accidentales que introducen una incertidumbre en el valor obtenido.

Realizaremos varias medidas, y tomaremos como valor más representativo de la magnitud que estamos midiendo, el valor medio:

N

i

ixN

x1

(4)

El error que asignaremos al valor medio será el mayor de los tres errores siguientes:

1. Error instrumental: división mínima del aparato de medida.

2. Error de dispersión: N

xx

x

N

i

i

1)( (6)

3. Desviación típica N-1: 1

)(1

2

1

N

xx

s

N

i

i

N (7)

Estos métodos de tipo estadístico para reducir los errores no son aplicables a los

errores sistemáticos, sino sólo a los errores accidentales.

Nota práctica

El error debido a las limitaciones del instrumento de medida, bien lo facilita el fabricante o bien tendremos que estimarlo nosotros mismos a la vista del instrumento.

Por ejemplo, considerando que los instrumentos se fabrican de manera que el dispositivo indicador tenga una resolución acorde con su error, en los instrumentos dotados de una escala graduada el error absoluto es del orden de la división más pequeña de la escala; en los aparatos con pantalla numérica será del orden correspondiente a la cifra menos significativa que aparezca.

La mayoría de los instrumentos suelen tener un error relativo comprendido entre el 1 y el 5%. Esto se traduce, aproximadamente, en que el número de cifras significativas es 3, si la primera cifra es un 1 o un 2, o únicamente 2 en los demás casos. Algunos instrumentos, llamados “de precisión”, proporcionan una o dos cifras significativas más. En estos casos, suele tratarse de aparatos más caros y delicados, en los que es necesario seguir un cierto método de trabajo para obtener un buen rendimiento y adoptar una serie de precauciones para evitar su deterioro.

Al expresar el valor de una medida, no se suele indicar el error de forma explícita, entendiendo que todas sus cifras son significativas, esto es, que el error absoluto es del orden de una unidad correspondiente al dígito menos significativo aunque sea cero. Por esta razón, como medidas físicas no tienen el mismo significado 12 cm, 12.0 cm 12.00 cm, etc.

2.4. Error de una magnitud medida indirectamente

Con frecuencia se está interesado en conocer magnitudes que no se pueden medir directamente en el laboratorio, sino que se deben evaluar a partir de sus relaciones matemáticas con otras magnitudes que sí pueden ser medidas directamente.

Por ejemplo, si deseamos conocer el volumen 𝑉 de un sólido esférico, mediremos el diámetro 𝐷 y utilizaremos la siguiente expresión:



𝑉 =1

6𝜋𝐷3

Es evidente que el volumen es una magnitud indirecta, mientras que el diámetro del cuerpo es directa.

Consideremos el caso más sencillo, es decir, una magnitud indirecta que sea función de una sola variable, )(xfz . El error absoluto )(x de la magnitud indirecta z en

función de la magnitud directa x , vendrá dado por:

)()( xdx

dzz

Si la magnitud indirecta depende de más de una variable, ...),,( 321 xxxfz , el error

se calcula a partir de una expresión matemática siguiente:

)()()()()( 3

3

2

2

1

1

i

i

xx

zx

x

zx

x

zx

x

zz

El símbolo 𝜕 significa derivada parcial. Se llama parcial porque en este caso la función ya no depende únicamente de una variable, sino de varias. Se calcula exactamente igual que la derivada normal, suponiendo que el resto de las variables son constantes.

Ejemplo 4: Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 𝑥, calcular las derivadas parciales respecto de 𝑥 e 𝑦.

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 3𝑦 + 1

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 3𝑥

a. En sumas o restas el error absoluto es la suma de los errores absolutos de las medidas

directas. Si 21 xxz o 21 xxz , se tiene )()()( 21 xxz .

b. En productos o cocientes el error relativo es la suma de los errores relativos de las

medidas directas. Si 21 xxz o 21 xxz , se tiene 2211 )()()( xxxxzz .

Ejemplo 5: Al sumar dos resistencias, una de 1.00 k y otra de 56 , se escribirá 1.06 k. Si en el cálculo de una resistencia (𝑅 = 𝑉/𝐼), las medidas directas de la intensidad y el voltaje son 𝐼 = 1.22 A, 𝑉 = 9.0 V (errores del orden del 1%), la calculadora nos presentará en pantalla 7.3770492 y se escribirá 𝑅 =

7.4 .

Observa que al hacer los cálculos, se aumenta en una unidad la última cifra significativa si la siguiente es 5 o mayor de 5.

Ejemplo 6: Queremos calcular la aceleración de la gravedad, midiendo el periodo 𝑔 de un péndulo de longitud 𝑙 La ecuación que rige el movimiento de un péndulo es la siguiente:

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 ⇒ 𝑔 = 4𝜋2

𝑙

𝑇2



La expresión del error (g) de la variable dependiente g

𝜀(𝑔) = |𝑑𝑔

𝑑𝑙| · 𝜀(𝑙) + |

𝑑𝑔

𝑑𝑃| · 𝜀(𝑃) =

4𝜋2

𝑃2· 𝜀(𝑙) + |4𝜋2𝑙

−2

𝑃3| · 𝜀(𝑃)

Supongamos que medimos el periodo 𝑇 y la longitud 𝑙 del péndulo

𝑇 =1.936 ± 0.004 s

𝑙 =92.9 ± 0.1 cm

Calculamos la aceleración de la gravedad y el error:

𝑔 =979.035 cm/s2

𝜀(𝑔) =5.096

Expresamos correctamente la medida y el error de 𝑔:

𝑔 = 979 ± 5 cm/s2

2.5. Interpolación

Es frecuente que se necesite obtener valores de algunas magnitudes físicas a partir de tablas numéricas. Podemos clasificar éstas en dos tipos: de simple entrada, cuando la variable dependiente 𝑧 es sólo función de una variable independiente 𝑥, 𝑧 = 𝑓(𝑥).

Nuestro objetivo es determinar el valor de 𝑧 para un valor de 𝑥 no incluido en la tabla. Buscaremos los valores de 𝑥 tabulados entre los que se encuentra el valor a determinar.

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2

Si consideramos que para el intervalo de 𝑥1 a 𝑥2 la expresión 𝑧 = 𝑓(𝑥) puede asimilarse a una recta,

𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 − 𝑧1

𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

Podremos obtener el valor de 𝑧 en función de 𝑥 o viceversa. El error de 𝑧, suponiendo que los valores de las tablas tengan errores despreciables, vendrá dado por:

𝜀(𝑧) = |𝑧2 − 𝑧1

𝑥2 − 𝑥1| 𝜀(𝑥)

Ejemplo 7: Si queremos saber el valor de la densidad del agua a 27

oC con su error a partir de la tabla,

sabiendo que la sensibilidad del termómetro es de 0.1oC.

T (oC) 24 26 28 30

(g/cm3) 0.997323 0.996810 0.996259 0.995971

𝜌(27𝑜𝐶) = 0.996810 +0.996259 − 0.996810

28 − 26 (27 − 26) = 0.9965395



𝜀(27𝑜𝐶) = |0.996259 − 0.996810

28 − 26| 0.1 = 0.0000275

(27 o

C)= 0.99653 0.00003 (g/cm3)

3. TRATAMIENTO Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS EXPERIMENTALES

Los valores numéricos obtenidos en el laboratorio carecen de valor práctico si no llevan a una comprensión, lo más amplia posible, de la ley física que se pretende comprobar. Para eso es necesaria la adecuada manipulación e interpretación de dichos datos. La realización completa de una práctica consta de varias fases: 1. Obtención de los datos

Esta fase se desarrolla en el laboratorio y para su buena realización conviene tener en cuenta que: - En el guión correspondiente están relacionados los aspectos fundamentales de la práctica. Es preciso leer con detalle el guión antes de proceder al desarrollo experimental de la práctica. - En el cuaderno debe constar:

*Título de la práctica y fecha de realización. *Objetivos: indicación de forma clara y concisa de lo que se desea hallar o verificar en

la práctica. *Procedimiento experimental: descripción esquemática del montaje y los aparatos

de medida. *Resultados: Medidas agrupadas en tablas, representaciones gráficas, cálculos y

resultados correctamente expresados. *Discusión de los resultados, crítica y/o sugerencias a la práctica.

2. Agrupación de las medidas en tablas

Las medidas se agrupan en tablas para comparar fácilmente los resultados. En el encabezamiento de cada columna se escribe la magnitud y las unidades.

Por ejemplo, en el estudio experimental de la dependencia de la corriente que circula por una resistencia y por un diodo con la diferencia de potencial aplicada entre sus terminales, las medidas se agrupan como se indica en las tablas siguientes. En este estudio se han empleado polímetros digitales con un error relativo del orden del 2%.



3. Representación gráfica de las medidas

Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar experimentalmente en el laboratorio producen una distribución de valores que se puede representar gráficamente. La representación gráfica de las medidas tiene la ventaja de que muestra la tendencia de las mismas de un vistazo, aunque a veces se pierda algo de información. La representación gráfica de dichos fenómenos supone así una gran ayuda visual para la interpretación física de los mismos, ya sea a través del reconocimiento de la forma matemática de la curva resultante o a través de la determinación de valores como la pendiente o la ordenada en el origen.

Para que una representación gráfica sirva para los fines expresados es preciso que su realización se haga siguiendo una serie de criterios generales que se enumeran a continuación:

Soporte de realización. Es aconsejable emplear un programa informático o bien utilizar papel milimetrado.

Trazado de los ejes. El eje de abscisas debe representar la variable independiente y el eje de ordenadas debe corresponder a la función representada. En ambos ejes debe aparecer la magnitud que se representa y su correspondiente unidad entre paréntesis. Las escalas deben abarcar aproximadamente el intervalo de medidas realizadas aunque para ello el origen de coordenadas no coincida con el cero de la escala. En el caso de usar papel milimetrado, los ejes se dibujan dentro del plano milimetrado, no se deben emplear los márgenes como ejes.

Trazado de las gráficas. Los valores experimentales deben ser representados por una marca clara sobre el plano de la gráfica. Las funciones se representan mediante líneas

continuas.

Siguiendo estas normas comparamos el comportamiento eléctrico de la resistencia y del diodo cuyas características I-V recogían las tablas anteriores y que se representan en el gráfico de la izquierda.

Resistencia 𝑉 (V) 𝐼 (A)

0.100 6.6 0.200 13.2 0.30 20.1 0.40 26.5 0.50 33 0.60 40 0.70 46 0.80 53

Diodo 𝑉 (V) 𝐼 (A)

0.45 0 0.50 0.210 0.55 0.68 0.60 1.76 0.65 4.9 0.70 13.4 0.75 39 0.80 97



Ajustes. En algunos casos se trata de ajustar las medidas a una fórmula y obtener los parámetros que aparecen en ella. Para resolver estos problemas se utiliza el método de ajuste de mínimos cuadrados, que consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de

las diferencias (di

i

n

2

1

)

entre las medidas y las cantidades calculadas utilizando la fórmula

de prueba. Los cálculos se suelen realizar con la ayuda de un ordenador.

El caso más común es cuando una función es una línea recta (véase figura) 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑎. Los parámetros que se obtienen tras el ajuste son la pendiente (𝑏 = 5.32) y la ordenada en el origen (𝑎 = 1.086).

Los resultados experimentales pueden o no

ajustarse a una recta. La idoneidad del ajuste por regresión lineal viene determinado por el índice estadístico llamado coeficiente de correlación (R) cuyo valor está comprendido entre ±1. Cuanto más se aproxime a uno en valor absoluto, mejor será el ajuste.

4. MEMORIAS DE LABORATORIO

Una memoria de laboratorio completa consta de los siguientes apartados:

1. Fundamento teórico. Brevemente se debe hacer constar la base teórica en la que se apoya la práctica realizada. También debe incluir una breve descripción del método utilizado.

2. Presentación de datos. En esta parte se incluyen las tablas con los valores obtenidos en el laboratorio. Se debe indicar el número de medidas realizadas y el error experimental de las mismas. Las magnitudes medidas deben estar expresadas correctamente en sus unidades.

3. Resultados. Los resultados son el objetivo final de la práctica y se obtienen después del correcto tratamiento de datos. Estos resultados deben expresarse como se ha establecido en las secciones anteriores. En su expresión siempre se debe incluir el error correspondiente y las unidades. En esta sección deben incluirse aquellas representaciones gráficas que sean precisas para la interpretación de resultados.

𝑦 = 5.32𝑥 + 1.086

𝑅 = 0.9998



4. Comentario crítico. En esta sección se deben discutir las cuestiones propuestas en el guión y, además, el estudiante debe incluir su valoración de la práctica, comentando las dificultades que se hayan podido encontrar. En caso de que los resultados no sean del todo satisfactorios, se deben discutir las causas de la discordancia con los resultados esperados y se deben ofrecer alternativas que subsanen dichos fallos.

5. Apéndice con el cálculo de errores. El cálculo de errores completo debe incluirse en un apéndice en la parte final de la práctica.

6. Bibliografía. Donde se haga constar los libros consultados en la realización de la memoria.

5. CONOCIMIENTOS BÁSICOS

1. Calcula la derivada con respecto a x de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

d. 𝑓(𝑥) =3

𝑥

e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

f. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

g. 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥

𝑏 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

h. 𝑓(𝑥) =𝑥2+3

𝑥

6. CUESTIONES Y PROBLEMAS

1. Hallar las dimensiones y las unidades en el SI de la constante G de la ley de gravitación universal.

Sol: L3·M1

T2.

Nota práctica

Formas de reducir errores aritméticos en las operaciones de ejercicios y laboratorio:

A) Evitar cálculos innecesarios. Por ejemplo no cambiar de unidades todos los datos iniciales. Hacerlo para dar el resultado final en el Sistema Internacional.

B) Operar con las variables. Dejar los cálculos numéricos para el final. C) Ser ordenado y sistemático en el desarrollo. Trabajar con tablas por columnas de datos. D) Comprobar y repasar los cálculos. Evaluar lo razonable del resultado y órdenes de magnitud. E) Verificar dimensiones y unidades.



2. Entre las diferentes formas de expresar un trabajo en Física se encuentran las siguientes: Energía cinética = m·v

2/2; Energía potencial = m·g·h; Trabajo termodinámico = P·ΔV. Demuestre que todas

ellas tienen las mismas dimensiones Sol: M·L2·T

-2.

3. El trabajo termodinámico desarrollado por un gas está relacionado matemáticamente con la presión

externa (Pext) y con la variación de volumen del gas (V). Hallar mediante análisis dimensional una combinación sencilla de estas magnitudes que tenga unidades de trabajo (energía). Sol: W = Pext ΔV.

4. Utilizando análisis dimensional obtener la relación que nos da la fuerza F que hay que aplicar a un cuerpo de masa m para que describa un movimiento circular uniforme, de velocidad v y radio R. Sol: F = mv

2/R.

5. El período (𝑇) de un péndulo simple depende de la longitud del péndulo (𝑙) y la aceleración (𝑔) de la

gravedad. Encuentra la combinación de 𝑙 y 𝑔 que tiene las mismas dimensiones que 𝑇. Sol: √𝑙 𝑔⁄ .

6. En la siguiente fórmula empírica F = (a + b/√v). d · v2 · L, donde F es la fuerza de rozamiento, v la

velocidad lineal, d el diámetro de la tubería, y L la longitud de la misma. Determinar las dimensiones

de a y b. Sol= [𝑎] = 𝑀 · 𝐿−3; [𝑏] = 𝑀 · 𝐿− 5

2 · 𝑇− 1

2

7. En la siguiente fórmula física: E=Av2 +Bp, donde E=energía; v=velocidad; p=presión. Hallar las

dimensiones y unidades en el S.I. de [A/B]. Sol: [A/B]=M·L-3

; kg/m3

8. En la siguiente expresión:

𝑣 =𝑎

𝑡3+

(𝑏 + ℎ)

𝑐

donde v es velocidad, h es altura y t tiempo, determinar las dimensiones de 𝑏

𝑎·𝑐 .¿Cuáles son las

unidades de a, b y c, en el sistema internacional? Sol: [𝑏

𝑎·𝑐]= T

-3

9. Halle las dimensiones de 𝑎 y 𝑏 en la siguiente ecuación, en la que 𝑈 representa energía interna,

𝑉 volumen, 𝑛 número de moles y 𝑇 es temperatura: Sol= [a]=M·L-1

·T-2

; [b]=M·L2·T

-2·

-1·N

-1

𝑈 = 𝑎𝑉 + 𝑛𝑏𝑇

10. Se observa que una estación orbital permanece siempre en la vertical de un mismo punto de un

planeta. Si R es la distancia de la estación al centro del planeta, R0, el radio de este último y g la aceleración de la gravedad sobre su superficie, la velocidad del satélite viene dada (en módulo) por:

a) (g

R)

1

2R0 b)

R02

Rg c)

(R0g)12

R

Sol: a)

11. Si la expresión es dimensionalmente correcta, calcular las dimensiones de B, si v es la velocidad, φ un ángulo y F una fuerza

𝐹 = 𝑃(𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜑 − 𝑘 · 𝑣) + 𝑘

Sol: [𝐵] = 𝑀 · 𝐿2 · 𝑇−3

12. La ecuación de estado de Van der Waals es la siguiente:

(𝑝 +𝑎

𝑉2) (𝑉 − 𝑏) = 𝑛𝑅𝑇



Determinar mediante análisis dimensional cuales son las dimensiones y unidades en el sistema internacional de a y b. Sol: [𝑎] = 𝑀 · 𝐿5 · 𝑇−2 ; [𝑏] = 𝐿3

13. Si la expresión siguiente es dimensionalmente correcta:

𝐹 = 𝜌𝑥 · 𝑣𝑦 · 𝐴𝑧

Donde 𝐹 es una fuerza, 𝜌 es una densidad, 𝑣 es una velocidad y 𝐴 es un área. Calcular el valor de x+y+z. Sol: 4

14. A ciertas estrellas, cuya luz y velocidad radial realizan vibraciones periódicas, se les conoce como estrellas pulsantes. Se ha formulado la hipótesis de que el periodo t de pulsación depende del radio de la estrella r, su masa m y la constante gravitacional G. ¿Cuál sería la relación entre las variables?

Recuerde la ley de la gravitación de Newton: 𝐹 =𝐺·𝑚1·𝑚2

𝑟2 .Sol: 𝑡 = √𝑟3

𝑚·𝐺

15. Indicar los apartados correctos de expresión numérica de errores o de resultados de operaciones con

adecuadas cifras significativas y corregir en caso contrario: a) (7.23 0.05) m; b) (2934 1000) s;

c) (1.077102 1.2) m

2.

16. Expresar las siguientes medidas correctamente:

6051.78 ± 30 m/s 24567 ± 2928 m 23,463 ± 0,165 Pa 43 ± 0.06 m

3

345,20 ± 3,10 N

17. Expresa los siguientes resultados experimentales correctamente:

a) (235249 493) m; b) (2210,2410-2

13,55) m2; c) (1,203 0,0104) s; d) (136,24 3,4) s;

e) (6854 1,75) m; f) (0,000687 0,0001837) kg.

18. Con una balanza se han realizado las siguientes determinaciones de la masa (g) de un cuerpo:

¿Qué resultado para la masa de ese cuerpo deberíamos dar como consecuencia de estas medidas? ¿Qué error absoluto y relativo le asignaríamos? Sol: 1,2345 g; 0.0003; 0.02%.

19. Calcula la sección transversal de un hilo si su diámetro mide 0.69 mm ¿Cuánto vale el error relativo? Sol: 0,37 mm

2; 3%.

20. Si x = (20 1) m y b = (5 1) m. Cuáles son los errores absoluto y relativo de y, en: a) y = 3x + b b) y = 5b/x

Sol: 4, 6%; 0.3, 24%

21. La magnitud F se obtiene como función de otras tres x, y y z cuyo valor medido es: x=0,1000,002;

y=1,0000,005; z=0,50,1 en unidades fundamentales del SI. Exprese correctamente tanto el valor de F como su error correspondiente en los siguientes casos:

a. 𝐹 =𝑥

𝑦(𝑥2 + 𝑦2)

b. 𝐹 = 𝑥4 +𝑦

√𝑧

Sol: 0,1010,003; 1,410,15

22. La medida de los lados de un rectángulo son 1,53 ± 0,06 cm, y 10,2 ± 0,1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta. Sol: 15,6 ± 0,8 cm

2.

Masa 1,2345 1,2347 1,2343 1,2341 1,2348 1,2349 1,2350 1,2342 1,2343



23. Calcular el volumen y la superficie lateral de un bote de refresco (cilindro) sabiendo que su diámetro

es d=6,0±0,5 cm y su altura es h=11,5±0,3 cm. Calcular el error. Sol: 22020cm2; 33060cm

3

24. La velocidad con la que llega al suelo un objeto que se deja caer desde una determinada altura depende de la aceleración de la gravedad (𝑔) y de la altura (ℎ). Encontrar la relación (a falta de la

constante √2) entre todas las variables mediante análisis dimensional. En un cierto experimento se desea determinar el valor de la aceleración de la gravedad con su error. Se realizan una serie de lanzamientos obteniendo que el valor de la velocidad con la que llega un objeto dejado caer desde una altura de 10,0 ± 0,1 m es de 14,3 ± 0,5 m/s. Calcule el valor de la aceleración y su error. Sol:

10.20.8m/s2

25. Escribe la expresión matemática correspondiente al error relativo que se cometería al calcular la

energía cinética como Ec = ½ mv2. Si m = (2,3 0,2) kg y v = (47 3)10

-2 m/s, ¿cuánto vale Ec con su

error? Sol: 0,25 ± 0,05 J.

26. A partir de la ecuación: Ep= m·g·h, si los valores determinados al medir las magnitudes de masa, gravedad y altura son 5.23 ± 0.08 g, 9.81 ± 0.02 m/s

2 y 32.1 ± 0.1 m, respectivamente, calcular la

energía potencial y determinar: a) error relativo, b) error absoluto cometido. Sol: 1,65; 1,8%; 0,03.

27. El volumen de una esfera es 𝑉 = (4/3)𝜋𝑟3. Si su diámetro es D= (5.0 0.1) cm, calcular el error que se comete al hallar su volumen. Sol: 6%.

28. La constante elástica de un muelle se puede determinar a partir de la energía potencial elástica (Epe) y de la elongación (x). Calcular mediante análisis dimensional la ecuación que las relaciona sabiendo que existe una constante de proporcionalidad de valor 1/2. En un cierto experimento un alumno comprime un muelle con un objeto de masa 1.0±0.1Kg una distancia de 27±3mm y mide la velocidad de salida del objeto una vez se suelta obteniendo 2.2±0.6km/h. Calcular el valor de la

constante elástica con su error. Sol:500400N/m

29. El área de un cono se puede dividir en dos componentes: el área de su base (círculo) y el área de su superficie lateral. Esta última depende del radio de la base y de la generatriz g (segmentos cuyos

extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base), siendo su expresión Alat= rg. Un alumno decide calcular el área de un cono utilizando una regla con una precisión de milímetros. Las medidas que obtiene son las siguientes: r=216 mm y g=423 mm. Calcular el área total del cono con su error. Sol: 0,434±0,003)m

2

30. Un recipiente cónico se utiliza para almacenar cierta sustancia líquida en una farmacia. Si el diámetro de la base es de 20 cm y su altura de 30 cm, medidos con una cinta métrica que aprecia milímetros, ¿el error relativo que cometemos al indicar el volumen del líquido que contiene es mayor del 5%? Volumen cono: (π·r

2·h)/3. Sol: 1%.

31. Se sabe que la velocidad de un cuerpo que realiza un movimiento circular uniforme depende de la fuerza (F), de la masa del cuerpo (m) y del radio de la circunferencia que describe (R). Utilizando análisis dimensional encontrar la fórmula que permite calcular dicha velocidad. Calcular la velocidad de un cuerpo sometido a una fuerza de 29,4 ± 0,8 N que realiza un movimiento circular de radio 1,0 ± 0,1 m. La masa del cuerpo se midió con una balanza cuyo error relativo es del

5%, obteniéndose un valor de 500 g. Sol: v=7,70,7m/s

32. Un cuerpo de masa 20,10 ± 0,05 kg flota en agua del grifo, quedando sumergido 1/3 de su volumen. ¿Cuál es la densidad del objeto con su correspondiente error? Dato: La densidad del agua del grifo

es de 1,005 ± 0,003 kg/L. Sol: 0,3350,001 kg/L

33. El flujo en un fluido puede caracterizarse mediante un número adimensional denominado Número de

Reynols NR, que se define así: NR= (2·r··𝑣)/, donde r es el radio del tubo, es la densidad del fluido,

𝑣 la velocidad media del fluido y es el coeficiente de viscosidad. ¿Cuáles son las unidades de en el sistema internacional? Un alumno realiza un experimento para calcular el número de Reynolds en la

sangre y mide una 𝑣=30 1 cm/s por una aorta de 1.0 0.1 cm de radio y una viscosidad de 4.0 0.1



mPa·s ¿Cuál será el valor del número de Reynols y su error absoluto y relativo? Dato: sangre=1600

kg/m3. Sol: NR=2400 ± 400; r=17%.

34. a) Demostrar que el número de Reynolds es adimensional. b) Expresa los siguientes resultados

correctamente: (235649 493) m; (1,203 0,0104) s; (2210,2410-2

13,55) m2.

35. Un alumno intenta calcular experimentalmente la diferencia de presión existente entre dos puntos en el seno de un líquido. Para ello, ha tomado medidas de la densidad del líquido (1033 ± 12 kg/m

3) y de

la diferencia de altura entre dichos puntos (0,45 ± 0,05 m). a) El alumno para poder calcular la

diferencia de presión necesita la ecuación fundamental de la hidrostática [P = f (, g, h)] pero la olvidó. ¿Cómo podría obtenerla empleando el análisis dimensional? b) Calcular y expresar en la forma correcta la diferencia de presión entre dichos puntos. ¿Cuál es la precisión (error relativo) del experimento? Sol: ΔP = ρ g h; 4600 ± 600 Pa; 13%.

36. La velocidad del sonido en un gas depende básicamente (salvo una constante) de la presión y de la densidad del gas. Mediante análisis dimensional encontrar la relación entre estas tres variables. En un cierto experimento un alumno mide la presión a la que está sometida el gas P=1,03±0,08 atm y la densidad del mismo 1,18±0,03 kg/m³. Si la constante de proporcionalidad es 1,15, calcular la

velocidad del sonido en el gas con su error. Sol: 34118m/s

37. Un alumno quiere calcular el número de moles de un gas ideal en función de la presión, el volumen, y

la temperatura. Para ello realiza un experimento y mide: T=30 1 °C, P=3.5 0.2 atm y un volumen

V=0.52 0.05 L. Calcule el número de moles y el error absoluto y relativo que tiene el alumno en el

experimento. (Dato: PV=nRT; R=0.082 atm·L/K·mol). Sol: n=0,07 ± 0,01 moles; r=14%.

38. Un alumno desea calcular el volumen de un cilindro. Para ello dispone de una regla que es capaz de medir hasta milímetros. Realiza ciertas medidas y obtiene que la altura del cilindro es 0,5 m y el diámetro es 23,2 cm. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Qué error tiene esta medida? ¿Y qué error relativo? Sol: 21.1 ± 0.2 dm

3, 1%.

39. El flujo o caudal total (𝐼𝑉) para un fluido en régimen de circulación laminar viscoso depende de la

diferencia de presión en los extremos de la tubería (P), el radio de la tubería (r) elevado a la cuarta,

la viscosidad (), la longitud de la tubería (L), y la constante de proporcionalidad /8, y sus unidades en el SI son m

3/s. a) Mediante análisis dimensional deducir la fórmula que los relaciona. b) En un

cierto experimento se mide la viscosidad de la sangre [=(2.08 ± 0.03)·10-3

Pa·s], el radio de la arteria (r=2.3 ± 0.1 mm), la longitud de la arteria (10 ± 1 cm) y la diferencia de presión en los extremos de 0.0187 ± 0.0005 atm. Calcular el flujo volumétrico a lo largo de la arteria con su error. Sol: (10 ± 3)·10

-

5 m

3/s.

40. La intensidad de una onda sonora se pude escribir en términos de la presión, la densidad y la velocidad de la onda a falta de un factor 1/2. Sabiendo que la intensidad es inversamente proporcional a la velocidad, determine la ecuación que relaciona estas variables. ¿Cuál es la presión

de una onda sonora, con su respectivo error, si la intensidad es (4,80,4)·10-11

W/m2, la densidad del

aire es =1,220,03 kg/m3 y la velocidad es v=3434m/s? Sol: I=1/2·p

2/(·v), p=(20,01,2)·10

-5Pa

41. La profundidad (h) que alcanza una infiltración en una estructura depende del tamaño de poro (dp), la

tensión superficial líquido-vapor (σ), la raíz cuadrada del tiempo (t), de la viscosidad (η) y de una constante adimensional k. Deduzca, mediante análisis dimensional, la ecuación de la profundidad. En un determinado experimento se quiere calcular la profundidad cuando se han dejado transcurrir

221s, sabiendo que el tamaño del poro es de 0,200,02mm, la tensión superficial es de

(70,720,17)·10-3

J/m2, la viscosidad es de 1,0020,006cP (mPa·s) y la constante tiene un valor de

0,25. Calcule su valor con su error. Sol: ℎ = √𝑑𝑝·𝜎·𝑡

𝜂,



42. Si, como hipótesis de un tiro con un cañón, se supone que el alcance x es una función que depende de v, la velocidad inicial, g, la aceleración de la gravedad, m la masa del proyectil y f(α), una función adimensional del ángulo de lanzamiento. Determinar la ecuación que relaciona el alcance con las otras variables mediante análisis dimensional.

43. Se ha medido, con un tornillo micrométrico, el grosor de una moneda de 2 euros, siendo el valor

obtenido 0,220 ± 0,002 cm. Para medir el diámetro se empleó un calibre, con el que se obtuvo un valor de 2,575 ± 0,001 cm. Finalmente, la moneda se colocó en una balanza de precisión, obteniéndose una masa de 8,50 ± 0,02 g. Calcule su densidad volumétrica en el Sistema Internacional con su correspondiente error. Sol: 7420±90 kg/m

3.

44. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad, con su correspondiente error, si al dejar caer un cuerpo en un pozo de profundidad 990,45 ± 0,02 m, la duración de la caída es de 14,215 ± 0,008 s.

45. La altura a la que se puede subir un fluido depende de la potencia de la bomba utilizada, el caudal del fluido y el peso específico del mismo. Determinar por análisis dimensional la ecuación que relaciona

todas las variables. Si la potencia de la bomba es 2000100W, el caudal es 0,220,03m3/s y el peso

específico es 80010 kg/m3. Calcular la altura máxima a la que se puede elevar con su error. Sol:

112 m.

46. Se sabe que la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en la pared de un tanque, que contiene un fluido cualquiera, es una función de: la altura del fluido dentro del tanque (H), de la

aceleración de la gravedad (g) y de una constante de proporcionalidad de valor √2. Determinar la

forma de la ecuación para la velocidad. Si la altura es 2,230,04 m, y el diámetro del orificio es de

0,400,03dm, ¿cuál será el caudal de salida con su error? Suponer que la aceleración de la gravedad

tiene un valor de g=9,810,02m/s2. Sol : 6,610,07 m/s.

47. La potencia teórica que se puede obtener con un aerogenerador depende de la densidad del aire, la superficie de barrido (la superficie barrida por las hélices) y la velocidad del viento. Obtener la fórmula que relaciona estas variables mediante análisis dimensional sabiendo que la constante de proporcionalidad es ½. Calcular la potencia que se puede obtener si la velocidad del viento un día

determinado es 5,10,2m/s, la densidad del aire es 1,2550,003 kg/m3 y el radio de giro es de

3,20,1m. Estimar el error. Sol: 2700500W.

48. Un alumno desea calcular el valor de la de la viscosidad del agua a la temperatura de 35oC. Para ello

dispone de la tabla adjunta:

Calcular el valor de la viscosidad con su error a 35oC de temperatura. Suponer una variación lineal de

la viscosidad con la temperatura y una sensibilidad del termómetro utilizado de 1 oC.

Sol:(72.61.4)·10-5

Pa·s

49. Justifica cada respuesta: Expresar correctamente: i) 72383±105m; ii) 0,006870±37.10-6

kg. iii) El valor

de es 3,141592… ¿Con cuantas cifras decimales debe darse para que su error sea inferior al 1%? iv) con una balanza que aprecia miligramos se determina que la masa de un objeto es 0,2 g. ¿cuál es el error absoluto y el relativo cometidos en el cálculo de la densidad si el objeto tiene un volumen de

50±1 mm3? Sol: 72400100; 0.006870.00004; 2 cifras; 4000100 kg/m

3

Temperatura [

oC]

Densidad [kg/m

3]

Calor específico [J/kg·K]

Viscosidad [Pa·s]

Tensión superficial [N/m]

30 995.6 417.84 797.7·10-6

0.07120 40 992.2 417.85 653.2·10

-6 0.06960

tema i. las magnitudes fÍsicas -...

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