PRÁCTICA I: Magnitudes Físicas. Unidades y dimensiones.

Estimación de valores e Incertidumbres: Determinación de la

resistencia interna de una batería.Ángeles Marrero Díaz y Alicia Tejera Cruz

Alumnos

Objetivos: Conocer el concepto de magnitud física, los sistemas de unidades y la ecuación de

dimensiones.

Saber realizar conversión de unidades.

Conocer la diferencia entre precisión y exactitud.

Identificar el número de cifras significativas de un valor, conocer las reglas del

redondeo y expresar adecuadamente un número según el valor de la incertidumbre

asociada al mismo.

Aplicar reglas sencillas para estimar el número de cifras significativas en los

resultados de operaciones sencillas.

Estimación de la incertidumbre en magnitudes determinadas indirectamente.

Aplicar estos conceptos en un ejercicio donde se determina la fuerza electromotriz y

la resistencia interna de una batería.

Introducción teórica1.- MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES

De todas las cualidades que pueden observarse, se denominan magnitudes físicas

a aquellas que se pueden medir objetivamente, utilizando un valor patrón de la misma

magnitud para indicar su valor. Por ejemplo, la belleza no sería una magnitud física ya

que no se le puede asignar un valor objetivo. Sin embargo, la longitud sería una

magnitud física ya que cualquier observador estaría de acuerdo con otro en que

determinado cuerpo es más largo que otro.

Unidades

Para determinar el valor de una magnitud física debe compararse con cierto

valor unitario de la misma. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntos debe

utilizarse una medida patrón, supongamos el metro, de forma que si la distancia entre

estos dos puntos es 5 veces el valor del metros decimos que están distanciados 5 metros.

Por tanto, es indispensable expresar cualquier magnitud física como su valor seguido de

las unidades adecuadas ( d=5m).

Muchas de las magnitudes físicas pueden expresarse en función de otras

magnitudes, a las que se denominan magnitudes fundamentales. Normalmente se toman

como magnitudes fundamentales: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la

cantidad de sustancia, la cantidad de corriente y la intensidad luminosa.

La asignación de las unidades patrón para cada una de las magnitudes

fundamentales da origen a los diferentes sistemas de unidades. Nosotros utilizaremos el

Sistema Internacional de Unidades, SI, que toma como unidades fundamentales las

que aparecen en la tabla 1. En ocasiones la magnitud a medir es mucho mayor o mucho

menor que su unidad patrón y entonces se utilizan prefijos para indicar la unidad. Los

más comunes aparecen en la Tabla 2

Magnitud Unidad Símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

temperatura Kelvin K

cantidad de sustancia mol mol

corriente eléctrica Amperio A

intensidad luminosa candela cd

Tabla 1: Unidades fundamentales, SI

Múltiplo Prefijo Símbolo

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

102 hecto h

101 deca da

10-1 deci d

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro

10-9 nano n

10-12 pico p

Tabla 2: Prefijos para potencias de 10

Aunque las unidades fundamentales son las que aparecen en la Tabla 1, hay

algunas magnitudes cuyas unidades tienen nombre propio, aún cuando se puedan

expresar en función de estas magnitudes fundamentales. Por ejemplo, la unidad de

fuerza en el SI es el Newton (N), cuya relación con las unidades de la tabla 1 es:

1N=1kg m s-2.

Operar con magnitudes físicas. Conversión de unidades

Cuando se realizan operaciones algebraicas con magnitudes físicas, estas

operaciones afectan tanto al valor de la magnitud como a sus unidades, y se opera con

las unidades como con cualquier otra magnitud algebraica.

Por ejemplo, sea un rectángulo de 5 cm de largo por 2 cm de ancho. Su

superficie será , de donde operando con los valores y sus

unidades se obtiene una nueva magnitud física, la superficie, con sus unidades

correspondientes cm2.

Esta propiedad se aplica para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo,

sabemos que un coche circula a 80 km/h y queremos expresar su velocidad en m/s.

Como 1 km son 103 m y 1 h son 3600 s, se verifica que:

El caso inverso sería un coche que circula a 30 m/s del que se quiere conocer su

velocidad en km/h. En este caso,

Dimensiones. Ecuación de Dimensiones

Encontrar las dimensiones de una magnitud es expresar dicha magnitud en

función de las magnitudes fundamentales. La dimensión de las magnitudes

fundamentales es: Magnitud Dimensión

longitud L

masa M

tiempo T

La relación entre magnitud no fundamental y las magnitudes fundamentales es la

denominada ecuación de dimensiones. Para obtener la ecuación de dimensiones de

cierta magnitud deben seguir ciertos pasos.

1. Las magnitudes de las que se quiere obtener su dimensión se escriben entre

corchetes.

2. En la expresión final de la ecuación de dimensiones sólo pueden aparecer

dimensiones de magnitudes fundamentales.

3. Los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas y

trigonométricas son adimensionales.

4. Los ángulos y las constantes matemáticas son adimensionales.

5. Las magnitudes adimensionales tienen dimensión 1.

6. Las dimensiones de las constantes físicas se pueden deducir a partir de las

unidades en las que se expresan.

Así, la ecuación de dimensiones de la fuerza es . Por

otro lado, supongamos que queremos conocer las dimensiones de la constante de

amortiguamiento, , que aparece en la expresión de la amplitud del movimiento

amortiguado: . Como el exponente ha de ser adimensional:

La ecuación de dimensiones es muy útil porque puede ayudar a identificar

relaciones incorrectas entre magnitudes físicas, ya que las relaciones han de ser

dimensionalmente coherentes, esto es:

1. A ambos lados de una igualdad las dimensiones deben ser las mismas.

2. Todos los sumandos de una expresión han de tener las mismas dimensiones.

2.- ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA

En la Física, y en la Ciencias experimentales en general, es imprescindible el

proceso de medición. Desde el momento que se determina experimentalmente el valor

de una magnitud, existe cierta incertidumbre asociada a la medida. Esta incertidumbre

depende tanto de la habilidad del experimentador como de la precisión de los aparatos

utilizados y es fundamental su estimación para tener una idea de la bondad de la

medida. Ninguna medición es exacta y cuando se determina experimentalmente el valor

de una magnitud, su expresión debe contener: el valor obtenido, la precisión estimada

de la medida y las unidades en las que está expresada.

Precisión y exactitud

Hay que distinguir entre precisión y exactitud. Un ejemplo habitual para

diferenciar estos concepto es el de un jugador da dardos. Cuando todos sus lanzamientos

están muy cercanos entre sí, pero alejados del centro de la diana, se diría que tiene

buena precisión, pero poca exactitud. Cuando sus lanzamientos están separados entre sí

y además alejados del centro de la diana, tiene poca precisión y poca exactitud. Ahora

bien, si sus lanzamientos están cercanos entre sí y además en el centro de la diana, tiene

buena precisión y buena exactitud. Es decir, con la precisión obtenemos al repetir las

medidas valores muy parecidos, esto no indica que sea el valor correcto (por ejemplo

porque el aparato esté mal calibrado). Ya hemos indicado que ninguna medida va a ser

exacta, es decir, no podremos dar el valor verdadero de la medida, daremos un valor con

un rango de incertidumbre y el valor verdadero debe estar dentro de ese intervalo si

nuestro experimento se ha desarrollado cuidadosamente.

Si pretendemos medir la longitud de una tabla, podremos ser más precisos con

una regla de milímetros que con una de centímetros. Con la primera podríamos decir

que la longitud de la tabla está entre 52 cm y 53 cm, estimando por la cercanía a 52, una

longitud de 52.2 cm. Con la segunda puedes afinar más la medida y decir que está entre

52.2 y 52.3, estimando una longitud de 52.25 cm. En ambas lecturas, se añade a los

dígitos conocidos con exactitud, un dígito más que ha sido estimado. La medida con la

segunda regla es más precisa que con la primera.

Cifras significativas

La precisión se indica con el número de cifras significativas, que son los dígitos

que se conocen con certeza más un dígito afectado de incertidumbre. Para identificar el

número de cifras significativas en valores dados, existen una serie de reglas:

1. En los números que no contienen ceros todas sus cifras son significativas

(3.1428 cinco cifras significativas)

51 52 53 51 52 53

2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos (7.053 cuatro

cifras significativas)

3. Los ceros a la izquierda del primer dígito no son significativos ya que sólo

sirven para fijar la posición del punto decimal (0.0056 dos cifras

significativas)

4. En un número con ceros a la derecha del punto decimal los ceros son cifras

significativas (43.00 cuatro cifras significativas)

5. En números decimales, los ceros a la derecha de la última cifra diferente de

cero son significativos (0.00200 tres cifras significativas)

6. En un número sin punto decimal, que termine en uno o más ceros, estos

pueden ser significativos o no. Para evitar confusiones es aconsejable

expresar los números en notación científica, donde todas las cifras son

significativas (3600 no se sabe cuántas cifras significativas tiene, sin

embargo, expresado como 3.60103 sabemos que tiene tres cifras

significativas)

Redondeo

Al estimar el valor de una magnitud puede ser necesario redondear el valor para

expresarlo de acuerdo a las cifras significativas que indica su incertidumbre. Por ello es

necesario conocer las reglas del redondeo:

1. Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que cinco, simplemente se

elimina ese dígito y todos los que le siguen (32.647 se redondea a tres cifras

significativas como 32.6)

2. Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que cinco o es cinco

seguido de dígitos distintos de cero, todos los dígitos siguientes se eliminan y

se aumenta una unidad el valor del último dígito que se conserva (454.3598

se redondea a cuatro cifras significativas como 454.4)

3. Si el primer dígito a eliminar es 5 y va seguido sólo de ceros o bien no va

seguido de ningún otro dígito, se aplica la siguiente regla. Si el último dígito

a conservar es par, su valor no cambia y simplemente se eliminan el 5 y los

ceros siguientes. Si el último dígito a conservar es par, su valor se aumenta

en una unidad. (263.2500 se redondea a cuatro cifras significativas como

263.2; 63.350 se redondea a tres cifras significativas como 63.4)

Cifras significativas en cantidades medidas

Al realizar determinaciones experimentales de magnitudes los resultados han de

expresarse con las cifras significativas adecuadas. Podemos distinguir dos casos

distintos, el de magnitudes determinadas directamente en el laboratorio y el de

magnitudes indirectas obtenidas a partir de su relación con magnitudes medidas en el

laboratorio.

Además de la determinación de incertidumbres debidas a las limitaciones

impuestas por el instrumento de medida, y que puede ser determinado con una medida,

se puede hacer una análisis estadístico del error cometido a partir de la repetición del

número de medidas. Esta análisis será obviado en esta práctica ya que será tratado

detalladamente en la asignatura de estadística.

a) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas directamente.

Normalmente los instrumentos de medida indican cuál es su precisión. En caso

contrario hay dos criterios, bien se toma como precisión la cantidad más pequeña que

puedan medir, bien la mitad de esta cantidad. Así, por ejemplo, en el caso de una regla

de milímetro, la cantidad más pequeña que puede medir es 0.1 cm. En el primer caso la

precisión de la regla se tomaría como 0.1cm, mientras que el segundo la precisión sería

de 0.05 cm. Con nuestro criterio de cifras significativas, elegiremos el segundo caso

para la asignación de precisión en aparatos en los que no se indique la misma.

Una vez que se sabe la precisión del aparato, todas las medidas obtenidas con el

mismo deben expresarse como

valor de la medida precisión del aparato (unidades)

Para expresar adecuadamente este valor, la precisión sólo debe tener una cifra

significativa, y el valor debe tener el último dígito en la misma posición que la precisión

del aparato correctamente expresada. Así, que nos dicen que la longitud de un tablón es

de 86.7935 cm con una precisión de 0.01267 cm debemos redondear la precisión a una

sola cifra significativa, esto es 0.01 cm. Ahora debemos redondear la longitud de la

tabla de forma que tenga el último dígito en la misma posición que la cifra significativa

de la precisión, esto es 86.79 cm. De forma que la expresión correcta de la medida es:

L=86.790.01 (cm)

El resto de cifras no tiene sentido ya que están afectadas de error.

b) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas

indirectamente.

En este caso se quiere determinar cómo afecta a la precisión de ciertas

magnitudes su relación con magnitud obtenidas directamente en el laboratorio. Por

ejemplo, supongamos que queremos determinar la velocidad de caída de un objeto que

se mueve con velocidad constante a partir de la determinación del espacio que recorre y

el tiempo que invierte en ese recorrido. Las magnitudes medidas directamente son la

altura, h, y el tiempo, t, y la relación entre éstas y la velocidad, v, es v=x/t.

Para determinar el error asociado a la magnitud determinada indirectamente, se

realiza la siguiente operación. Supongamos una magnitud q=q(r,s,t) de la que se

pretende obtener su valor a partir de la magnitudes r, s y t medidas directemente y de las

que se conoce su incertidumbre, r, s y t, respectivamente. La incertidumbre que q,

q, se obtiene de la siguiente manera:

de forma que el valor de q sería el obtenido en la relación al sustituir los valores de r, s

y t, con la precisión dada por la expresión anterior.

En el ejemplo de la velocidad, la relación es v=x/t y supongamos que las

medidas de la altura y el tiempo dan, respectivamente, x=25.30.1 (cm) y

t=10.0340.001 (s). La precisión de la velocidad será:

que escrita con una cifra significativa vale: v=0.1 (cm/s). El valor de la velocidad

obtenida a partir de los datos del laboratorio es , por lo

que el resultado, expresado correctamente es .

Existen algunas reglas para no tener que realizar continuamente las derivadas

parciales. Así para las operaciones siguientes los criterios son los que se muestran a

continuación:

Multiplicación y división: La magnitud calculada debe tener el mismo número

de cifras significativas que el valor de la variable multiplicada o dividida con menor

número de cifras significativas. (3.625·2.36=8.555 debe redondearse a tres cifras

significativas, que es el menor número de cifras significativas de entre las dos

magnitudes que se multiplican, así el resultado es 8.56)

Suma y resta: La magnitud que se deriva a partir de estas operaciones no puede

dígitos más allá de la posición del último dígito común a todos los números sumados o

restados. ( 34.5+10+36.7=81.2 y el último dígito común a todos los sumando es la

unidad, por lo tanto debe redondearse el resultado, quedando 81)

Incertidumbre porcentual

Se calcula como: y da cuenta de la

calidad de la medida. Una medida aceptable suele ser aquella con una incertidumbre

porcentual inferior al 10%

Parte Práctica:A) MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES

1.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes magnitudes no son magnitudes fundamentales en el

Sistema Internacional de medidas?

a) masa b)tiempo c) fuerza d)temperatura e)presión

2.- La constante universal de los gases vale

Utiliza esta igual para encontrar los siguientes factores de conversión:

1J=________cal 1 atm l=_______J 1cal =________atm l

3.-Escribe las siguientes expresiones con notación científica y sin utilizar prefijos :

15nC=_______C 3MW=_______W 4.6km=______m 56pF=______F

4.-Expresa los siguientes valores utilizando los prefijos de la tabla 2:

4·10-12C=_______ 0,003 m=______ 7·10-6F=________

5.- En las siguientes ecuaciones x representa una distancia, t un tiempo y v una

velocidad. Realizar el análisis de dimensiones de cada ecuación y determinar la

unidades de cada constante para que las expresiones sean dimensionalmente correctas

así como sus unidades en el sistema internacional de medidas.

a) x=C1 sen(C2 t2) [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___

b) x=½C1 t2 [CI]=_______; unid(C1)=______;

c) v=C1 e-C2 t [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___

d) v=0.5 C1 x [CI]=_______; unid(C1)=______;

B) ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA

1.- En la siguiente tabla se muestran una serie de medidas obtenidas en el

laboratorio. Expresar cada una de ellas correctamente indicando el número de cifras

significativas.

Medida obtenida Expresión correcta Nº de cifras sig. de la medida

5698 0.56

0.459 0.063

186342 3620.3

32.92 0.096

0.035 0.001

258 32

693.2 0.003

1.69853 0.0388

548 120

0.003659 0.000064

2.- Realizar los siguientes cálculos redondeando al número apropiado de cifras

significativas y expresando el resultado en notación científica

(1.14)·(9.99·104)=_____________ (2.78·10-8)-(5.31·10-9)=________________

27.6 + (5.99·102)=_____________ 2·3.141592·0.76=__________________

4/3 ·(1,1)3=________________ (2,0)5/(3.141592654)=_________________

3.-Se han determinado en el laboratorio los valores de la resistencia interna de una

batería, r, y la intensidad que recorre el circuito, I. Además se determinaron las

incertidumbres asociadas a dichas magnitudes, de forma que las medidas dieron como

resultado: I=0.960.01 (A) y r=0.610.02 (). Sabiendo que la potencia disipada por

la resistencia interna de la batería se puede expresar como P = I r, calcula la expresión

general para la determinación de la incertidumbre de P, en función de I, I, r y r.

Obtén también el valor de la potencia disipada en el caso medido en el laboratorio así

como la incertidumbre asociada.

4.-Tras hacer varias medidas en el laboratorio para las magnitudes a y b se obtienen los

siguientes valores:

a = 49 3 b = 35 1

a) Calcular la incertidumbre porcentual asociada a dichas magnitudes.

b) Las magnitudes r y q están relacionadas con a y b de la siguiente forma: r a b q = a - b ; . Calcular la incertidumbre relativa de estas nuevas magnitudes y

discutir si la estimación de las mismas se ve afectada de la misma manera.

c) Otras magnitudes s y t están relacionadas con a y b así: s = a.b t = a / b; .

Calcular el error relativo de s y t y discutir si la estimación de las mismas se ve afectada

de la misma manera. Calcular también el error absoluto de cada una de ellas.

5.- Sea la función z cos x . En el laboratorio se estima un valor de x en: x 27 1º º .

¿Cuál es la incertidumbre en la estimación de z?

6.- Suma la siguiente lista de números, a continuación omite en todos ellos la última

cifra y súmalos de nuevo, por último redondea todos los números a dos cifras según las

reglas estudiadas y vuelve a sumarlos. Compara y discute los resultados.2 342 2 359 2 367 2 373 2 351 2 362 2 368 2 374 2 356 2 363. . . . . . . . . .

7.- Sean los números x=8.5637 e y=1.72, cuyas cifras son todas significativas. Escribe

los resultados de las siguientes operaciones con todas sus cifras significativas:

x+y ; xy ; y