bloque 1 magnitudes fÍsicas unidades

BLOQUE 1

MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES

TEMA 1

CONCEPTO DE MAGNITUD, DE

MEDIDA Y DE UNIDAD

Héctor Alonso Hernández Antonio Déniz Sánchez

1.1. INTRODUCCIÓN: CONCEPTOS DE MAGNITUD, CANTIDAD, UNIDAD

En la naturaleza existen oobbsseerrvvaabblleess. Por ejemplo la altura de un

armario, la superficie de un campo de fútbol, la belleza de un cuadro, la velocidad de un automóvil, un dolor de muelas, la duración de un concierto, etc.

La física no va a estudiar todos estos observables, sino solamente aquellos observables que además sean ccoommppaarraabblleess. Por ejemplo, la altura de un armario puede ser igual 1,5 veces la altura de otro armario; pero un dolor de muelas no podemos decir que es el doble que otro.

Es decir, dos observables son comparables cuando se puede establecer entre ellos una relación del siguiente tipo:

B Observable con comparable es

AObservable ⇔ número un

BObservable AObservable

=

Cuando podemos establecer entre dos observables la relación anterior,

decimos que dichos observables pertenecen a la misma mmaaggnniittuudd. Por ejemplo, la altura de los dos antedichos armarios, pertenece a la magnitud que llamamos lloonnggiittuudd.

Se llama ccaannttiiddaadd a un valor particular y concreto de una magnitud. Por ejemplo: la longitud del aula, la duración de un partido de baloncesto, etc.

Se llama uunniiddaadd a una cantidad determinada que se toma como patrón para medir. Por ejemplo, la masa de un cierto cilindro de platino-iridio que se tomó como kkiillooggrraammoo ppaattrróónn.

1.2. MEDICIÓN

Lo que caracteriza a las magnitudes es que pueden ser medidas. La mmeeddiicciióónn es el procedimiento mediante el cual asignamos un número

a una cantidad, como resultado de una comparación de dicha cantidad con otra similar tomada como ppaattrróónn, la cual se ha adoptado como uunniiddaadd.

Por lo tanto, una cantidad vendrá expresada por un número seguido de la unidad correspondiente, habiéndose obtenido dicho número por medio de una medición. Por ejemplo: la longitud de la clase es de 19 pasos, la duración de un partido de baloncesto es de 40 minutos.

Es decir:

⎭⎬⎫

==

minutos 40 partidodel duraciónpasos 19 clasela de longitud

⇒minutos o pasos : unidades

40) ó (19 valor : medidasduraciónolongitud:cantidades

Toda medida está afectada en algún grado por un error experimental (iinncceerrttiidduummbbrree) debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, y a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos al efectuar la medición. La incertidumbre es innata a la medición; puede ser disminuida, pero nunca anulada.

Esta incertidumbre en la medida se puede expresar de dos formas: como error absoluto, o bien como error relativo.

Se llama eerrrroorr aabbssoolluuttoo ( )Mδ de una medida a la diferencia entre el valor medido ( )M y el valor "verdadero" ( )*M . Es decir: *MMM −=δ

Ejemplo: Considerando el valor aceptado de la aceleración de la gravedad, 2s m 8,9*g −= , si el valor medido en un laboratorio es:

2s m 75,9g −= , el error absoluto de la medida sería: 2s m 05,080,975,9*ggg −=−=−=δ

Como el valor "verdadero" no podemos conocerlo, tenemos que eessttiimmaarr dicho valor "verdadero" y el error absoluto correspondiente, a partir de una o varias medidas de la misma cantidad.

Se llama eerrrroorr rreellaattiivvoo de una medida al cociente entre el error absoluto

de esta medida y el valor medido. Es decir: ( )MMM δ

=ε

Ejemplo: El error relativo del valor de la aceleración de la gravedad

obtenido anteriormente es: ( ) % 5,0005,0ms 75,9ms 05,0

ggg 2

2===

δ=ε

−

−

Normalmente el error relativo se expresa en porcentaje, como se ha expresado en el ejemplo anterior. El error relativo nos informa de la bondad de una medición.

Se dice que el resultado de una medida está dado en ffoorrmmaa eexxppllíícciittaa cuando se expresa el valor y la incertidumbre de la medida. Por ejemplo, el valor señalado anteriormente para la aceleración de la gravedad, se expresa:

( ) 2sm 05,075,9ggg −⋅±=δ±= Cuando solo se expresa el valor de la medida (con la unidad

correspondiente), se dice que está dado en ffoorrmmaa iimmppllíícciittaa.

1.3. TIPOS DE MAGNITUDES: ESCALARES Y VECTORIALES

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas, atendiendo a los parámetros que se necesitan para quedar completamente definidas, en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Un ejemplo de magnitud escalar es la masa. Para determinar la masa de una partícula es suficiente con dar el valor y la unidad en que se mide, por ejemplo: 5 kg.

Todas las ccaannttiiddaaddeess eessccaallaarreess quedan perfectamente determinadas dando su valor y la unidad correspondiente.

Un ejemplo de magnitud vectorial es la fuerza. Para determinar la fuerza que actúa sobre una partícula, además de dar el valor y la unidad, es necesario también dar la dirección y el sentido de la misma. Por ejemplo: se ha ejercido una fuerza de 5 newton, en la dirección vertical y sentido ascendente.

Todas las ccaannttiiddaaddeess vveeccttoorriiaalleess necesitan para su completa descripción el valor de su módulo con su unidad correspondiente, además de su punto de aplicación, dirección y sentido. Una magnitud vectorial se representa mediante un vveeccttoorr.

1.4. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿A qué llamamos observable en la naturaleza? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.- ¿Cómo distinguimos entre cantidad y unidad? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

3.- ¿Están todas las medidas en Física sometidas a error? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

4.- ¿Cómo se expresa correctamente una medida y su error?

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

5.- ¿Por qué definimos magnitudes físicas algunas como vectoriales? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

EJERCICIOS

1.- De las propiedades siguientes, subraye aquellas que se consideran magnitudes físicas y cuáles no: velocidad, peso, sabor mentolado, cansancio muscular, potencia de una turbina. 2.- Critique las siguientes definiciones de magnitud:

a) Magnitud es todo ente observable. ________________________________________________________

________________________________________________________

b) Magnitud es todo aquello susceptible de ser medido. ________________________________________________________

________________________________________________________

c) Magnitud es toda propiedad respecto de la que puede definirse la igualdad y la suma. ________________________________________________________

________________________________________________________

3.- Escriba una definición de mmaaggnniittuudd ffííssiiccaa. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

4.- Critique las siguientes definiciones de cantidad:

a) Cantidad es todo observable concreto. (Por ejemplo, el olor de una comida). ________________________________________________________

________________________________________________________

b) Cantidad es cualquier observable que podamos medir. ________________________________________________________

________________________________________________________

5.- Escriba una definición de cantidad ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

6.- Critique las siguientes definiciones de unidad:

a) Unidad es una cantidad cualquiera. ________________________________________________________

________________________________________________________

b) Unidad es una cantidad que se elige para definir los sistemas de unidades ________________________________________________________

________________________________________________________

7.- Escriba una definición de unidad. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

8.- Identifique en los siguientes ejemplos, la magnitud, la cantidad y la unidad: L=3 m; v=5 m·s-1; M= 15 kg. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

9.- Cuando se da la longitud de una habitación en pasos, ¿se está haciendo un proceso de medición? Explícalo ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

10.- ¿En qué unidades se expresa el error absoluto de una medida? ¿Y el error relativo de la misma medida? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

11.- Un péndulo está construido de forma que su periodo de oscilación es de 1,000 s. Al medirlo con un cronómetro, se obtiene un periodo de 1,017 s. ¿Cuál es el error absoluto de la medida? ¿Y el error relativo?

12.- Una pila Daniell tiene una fuerza electromotriz (fem) teórica de 1,10 V. Al medir con un voltímetro la diferencia de potencial entre sus bornes se obtiene que la fem es de 1,22 V. ¿Cuánto vale el error absoluto y el error relativo de la medida?

13.- Defina qué es magnitud escalar y qué es magnitud vectorial. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

14.- ¿Todas las magnitudes que maneja la física pueden ser vectores, dependiendo de las circunstancias?. Explíquelo. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

15.- ¿Se puede determinar una magnitud vectorial dando solamente su módulo y su punto de aplicación? Explíquelo. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

16.- ¿ El módulo de las magnitudes vectoriales tiene unidades? Explíquelo. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

BLOQUE 1


TEMA 2

SISTEMAS DE UNIDADES


2.1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

Atendiendo a las relaciones que existen entre ellas, las magnitudes se pueden clasificar en dos grupos:

• Magnitudes fundamentales: Son aquellas que no se definen mediante una relación con otras magnitudes y se eligen aarrbbiittrraarriiaammeennttee. Suelen corresponder a conceptos primarios, más o menos intuitivos. Por ejemplo: longitud, masa, carga eléctrica, etc. • Magnitudes derivadas: Son las que se definen mediante relaciones matemáticas con las magnitudes fundamentales. Por ejemplo:

- velocidad: cociente entre la distancia que recorre un móvil y el tiempo que tarda en recorrerla - densidad: cociente entre la masa de una sustancia y el volumen que ocupa.

Téngase en cuenta que estas definiciones han de ser operacionales, es decir, que en la definición debe estar explícita o implícitamente cómo medir la magnitud definida.

2.2. SISTEMAS DE UNIDADES

Se denomina ssiisstteemmaa ddee uunniiddaaddeess al resultado de fijar las unidades patrón de las magnitudes elegidas como fundamentales.

Dependiendo de qué magnitudes se tomen como fundamentales, se tendrán los sistemas absolutos y los sistemas gravitatorios. Asimismo, según qué unidades se adopten de cada una de las magnitudes elegidas, se tendrán diferentes sistemas.

Así, para la Mecánica, los llamados ssiisstteemmaass aabbssoolluuttooss toman como magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo.

Por ejemplo:

Sistemas absolutos Magnitudes fundamentales LONGITUD MASA TIEMPO GIORGI (mks)

metro kilogramo segundo

CEGESIMAL (cgs)

centímetro gramo segundo

Asimismo, para la Mecánica, los llamados ssiisstteemmaass ggrraavviittaattoorriiooss toman como magnitudes fundamentales: longitud, fuerza y tiempo. Por ejemplo:

Sistemas gravitatorios Magnitudes fundamentales LONGITUD FUERZA TIEMPO TÉCNICO metro kilogramo-fuerza

(kilopondio) segundo

TÉCNICO INGLÉS pie libra-fuerza segundo

Una vez elegidas las magnitudes (y las unidades) que se toman como fundamentales, pueden obtenerse las unidades derivadas a partir de las fundamentales mediante sus ecuaciones de definición. Con ello se tendrá un ssiisstteemmaa ccoohheerreennttee ddee uunniiddaaddeess. 2.3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

El Sistema Internacional de Unidades es el de uso obligatorio en España

(Ley de Pesas y Medidas de 8 de julio de 1892, ley 88/1967 de 8 de noviembre y ley 3/1985 de 18 de marzo) y en casi todo el mundo.

El S.I. se adoptó en 1960 por convenio entre 36 naciones, entre ellas España. Dicho sistema proviene del antiguo Sistema Métrico Decimal adoptado en la primera Conferencia General de Pesas y Medidas y que se basaba en el sistema de medidas adoptado por Francia en 1799.

2.3.1. UNIDADES FUNDAMENTALES.

Se ha comprobado que, para expresar cualquier magnitud utilizable en física, es suficiente con tomar como fundamentales siete magnitudes.

El Sistema Internacional de unidades toma como fundamentales las siguientes magnitudes, a las que corresponden las unidades que se expresan a continuación:

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd

NOTA: Téngase en cuenta que los ssíímmbboollooss no son abreviaturas. Por lo tanto, no llevan punto después de ellos, excepto si es al final de una frase. Asimismo, los que proceden de nombres propios se escriben con mayúsculas.

2.3.2. UNIDADES SUPLEMENTARIAS.

Se llaman magnitudes suplementarias a aquellas unidades del S. I. que no se sabe si son básicas o derivadas. Pueden considerarse básicas o derivadas según la ocasión:

Magnitud Unidad Símbolo

Ángulo plano radián rad Ángulo sólido estereorradián sr

2.3.3. UNIDADES DERIVADAS.

El resto de las magnitudes que utiliza la física se definen, como ya dijimos, a partir de relaciones entre magnitudes fundamentales, o entre otras magnitudes derivadas.

Magnitud Unidad SímboloExpresión en

unidades fundamentales

Superficie metro cuadrado m2 m2 Volumen metro cúbico m3 m3 Velocidad metro por segundo m s-1 m s-1 Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad s-2 rad s-2 Densidad kilogramo por metro cúbico kg m-3 kg m-3 Fuerza newton N m kg s-2 Energía julio J m2 kg s-2 presión pascal Pa m-1 kg s-2 potencia vatio W m2 kg s-3 resistencia eléctrica ohmio Ω m2 kg s-3 A-2 inductancia henrio H m2 kg s-2 A-2 ... ... ... ...

2.4. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿Son la masa, la velocidad y la fuerza magnitudes fundamentales? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.- ¿Por qué se define un sistema de unidades? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

EJERCICIOS

1.- ¿En qué se diferencian una magnitud fundamental y una derivada? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.- ¿Se puede elegir como magnitud fundamental una magnitud cualquiera, como por ejemplo, la presión, la viscosidad, la aceleración...? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

3.- ¿Qué magnitudes se toman como fundamentales en el Sistema Giorgi? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

4.- ¿Qué magnitudes se toman como fundamentales en el Sistema Técnico? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

5.- Enumere las siete magnitudes fundamentales del S.I. de unidades. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

6.- Exprese las unidades y símbolos correspondientes de las magnitudes suplementarias siguientes:

Magnitud Unidad Símbolo Ángulo plano Ángulo sólido

7.- Exprese las unidades y símbolos correspondientes de las magnitudes derivadas siguientes:

Magnitud Unidad Símbolo Superficie Volumen Velocidad angular Aceleración Densidad Fuerza Energía Trabajo Potencia Momento lineal

BLOQUE 1


TEMA 3

CONVERSIÓN DE UNIDADES


3.1. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES

Cuando las unidades del Sistema Internacional son muy grandes o muy pequeñas para expresar ciertas cantidades, se puede recurrir al uso de prefijos para simplificar los valores que se manejan. Los prefijos que se usan son los que aparecen en la siguiente tabla:

Factor Prefijo Símbolo

1810 exa E 1510 peta P 1210 tera T 910 giga G 610 mega M 310 kilo k 210 hecto h 110 deca da

110− deci d 210− centi c 310− mili m 610− micro µ 910− nano n 1210− pico p 1510− femto f 1810− atto a

3.2. CONVERSIÓN DE UNIDADES

Los cambios de una unidad a otra no presentan mayor dificultad en las

cantidades de longitud, masa y capacidad. Por ejemplo: Longitud: m250m100 2,5 hm 5,2 =×= ; m 3,5 m 10 35 dm 35 -1 =×= Masa: g000 12 g 1012 kg 12 3 =×= ; g0,025 g 10 25 mg 25 -3 =×= Capacidad: l670l 10 67 dal 67 =×= ; l 0,33l 10 33 cl 33 -2 =×=

En las unidades de superficie y de volumen, debido a su propia definición, superficie=longitud × longitud, y volumen=longitud × longitud × longitud, hay que tener en cuenta que los múltiplos y submúltiplos, aplicados a dichas unidades, no representan el valor que indica la tabla anterior, es decir:

• Superficie: 224222 m 000 250m1025m10m1025 hm 25 =×=××= 22-4-2-22 m 0,0107m 10107m 10m 10 107 dm 107 =×=××=

• Volumen: 393333 m 105,1m 10m 10m 10 1,5 km 1,5 ×=×××= 3-43-6-3-33 m 1050,7m 10750m 10m 10 750 cm 750 ×=×=××=

Cuando se tienen cantidades que no están expresadas en unidades del

S.I., puede ser necesario acometer el proceso de conversión de unidades que nos lleve a expresarlas adecuadamente.

El antedicho proceso se resuelve satisfactoriamente mediante el uso de los ffaaccttoorreess ddee ccoonnvveerrssiióónn. Por ejemplo: dada la velocidad de un automóvil, -1hkm 72 v ⋅= , queremos expresarla en -1sm ⋅ . Teniendo en cuenta que: m 1000 km 1 = , podemos obtener un término que vale la

unidad, despejando convenientemente: km1

m 1000 1= , o bien: m 000 1

km 1 1= .

De igual forma, podremos obtener otro término unidad para el tiempo:

s 3600 h 1 = ⇒ s 3600

h 1 1= , o bien: h1

s 3600 1=

Por lo tanto, eligiendo los factores de conversión adecuados se pueden obtener las unidades que se quería:

1-1- sm 20s3600

1hkm1

m 1000h

km 72hkm 72 v ⋅=××=⋅=

Obsérvese que los símbolos de las unidades se simplifican entre sí.

3.3. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿Por qué se definen los múltiplos y submúltiplos en los sistemas de unidades? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.- ¿Qué es un factor de conversión? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

3.- ¿Cuál es el factor de conversión de -3mkg ⋅ en -3cmg ⋅ ? ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

EJERCICIOS

1.- Complete la siguiente tabla de múltiplos del S.I. Factor Prefijo Símbolo

1210

mega

1810

910

peta

deca

210

kilo

2.- Complete la siguiente tabla de submúltiplos del S.I. Factor Prefijo Símbolo

micro

210−

mili

910−

atto

1210−

femto

deci

3.- Exprese las cantidades siguientes en las unidades que se indica:

a) 2,5 hm2 en m2 ________________________________________ b) 5 cm2 en dm2 ________________________________________ c) 23 nm en mm ________________________________________ d) 3,5 MHz en kHz _______________________________________ e) 10-6 F en mF ________________________________________ f) 2,5 mm en m ________________________________________ g) 7,5 pF en F ________________________________________ h) 330 cm3 en l ________________________________________ i) 0,25 kg en g ________________________________________ j) 98 µl en mm3 ________________________________________


a) 0,25 h en s ________________________________________ b) 1 día 3 h 27 min en s ____________________________________ c) 300 s en min ________________________________________ d) 45 min en h ________________________________________ e) 200 ms en s ________________________________________


a) 1 ángulo recto en grados _________________________________ b) 25° 30' en grados __________________________________ c) 40' 15'' en grados __________________________________ d) 2,5 rad en grados __________________________________ e) 180° en rad __________________________________


a) 108 -1hkm ⋅ en -1sm ⋅ ____________________________________ b) 340 -1sm ⋅ en -1hkm ⋅ ____________________________________ c) 1,5 -3cmg ⋅ en -3mkg ⋅ ___________________________________ d) 920 -3mkg ⋅ en -3cmg ⋅ ___________________________________ e) 98 N en kp_____________________________________________

7.- Sabiendo que la constante universal de los gases toma los siguientes valores:

mol·Kcal1,99

mol·KJ8,341

mol·Klatm0,082R ==⋅

=

calcule el factor de conversión de:

a) Jatm·l → b) calatm·l → c) calJ →

BLOQUE 1


TEMA 4

ECUACIONES DE DIMENSIONES

Jesús García Rubiano

4.1. ECUACIONES DE DIMENSIONES.

Como hemos visto anteriormente, en cualquier sistema de unidades (como es el caso del S. I.) se escogen arbitrariamente unas magnitudes como fundamentales, tomándose las restantes como derivadas. Cada una de las magnitudes fundamentales se puede denotar por un símbolo, que indica su dimensión. Así, para el S.I. se tendrá:

Magnitud Dimensión Longitud L Masa M Tiempo T Intensidad de corriente I Temperatura Θ Intensidad luminosa J Cantidad de sustancia N

A la expresión simbólica que define una magnitud derivada en función de las fundamentales se le llama eeccuuaacciióónn ddee ddiimmeennssiioonneess de la susodicha magnitud.

Por ejemplo, la magnitud derivada superficie puede expresarse simbólicamente como: [ ] 2LS = ; análogamente, la magnitud volumen se expresaría como: [ ] 3LV =

Véase que la dimensión de una magnitud derivada se denota poniendo el símbolo de la magnitud entre corchetes.

Otros ejemplos vienen señalados en la siguiente tabla:

Magnitud Símbolo Dimensión Área S 2L Volumen V 3L Velocidad v -1L T Aceleración a -2L T Fuerza F -2L TM Presión p -2-1 TLM Densidad ρ -3LM Potencia P -32 TLM

Para hallar la ecuación de dimensiones de una magnitud, hay que tener en cuenta que las constantes numéricas, así como los ángulos, y los

argumentos de funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc) son adimensionales.

Las constantes físicas que aparecen en las leyes físicas sí tienen dimensión, como por ejemplo, la constante de gravitación universal:

2

211

kgmN1067,6G ⋅

×= − → [ ] -2-13 T MLG =

4.2. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

Entre las diferentes magnitudes físicas, pueden establecerse relaciones

que no dependen de las unidades en que se expresan, sino solamente dependen de las magnitudes fundamentales del sistema adoptado. Así, para que cualquier relación entre magnitudes físicas sea correcta, debe ser ddiimmeennssiioonnaallmmeennttee hhoommooggéénneeaa; es decir, las ecuaciones de dimensiones de ambos miembros deben ser idénticas.

Por ejemplo, la ecuación que expresa la frecuencia de oscilación de un péndulo simple es:

lg

21fπ

=

siendo l la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad. Las ecuaciones de dimensiones del primer miembro y del segundo son,

respectivamente: [ ] -1Tf =

[ ][ ]

( )( )

1

21

212

21

21

21

TL

LT

l

g2π1

lg

2π1 −

−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Otro ejemplo puede ser la ecuación de movimiento de una partícula en la dirección del eje X, dada por la expresión:

200 at

21tvxx(t) ++=

Para que esta ecuación sea dimensionalmente homogénea, tenemos que comprobar la dimensión de cada uno de los sumandos del segundo miembro:

[ ] [ ] [ ]

[ ] LTTLat1at21

LTTLtv;Lx;Lx(t)

2222

100

=⋅⋅=⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=⋅⋅===

−

−

EJERCICIOS

ECUACIÓN DE DIMENSIONES 1.- ¿Cuál es la ecuación dimensional de la fuerza, habiéndose definido como: fuerza = masa x aceleración?

2.- ¿Cuál es la ecuación dimensional del trabajo de una fuerza, en un sistema absoluto (L, M, T), definido como: trabajo = fuerza x desplazamiento?

3.- ¿Cuál es la ecuación dimensional de la potencia, en un sistema absoluto (L, M, T), definida como: potencia = trabajo / tiempo?

4.- ¿Cuál es la ecuación dimensional de la constante universal de los gases ideales, 11 KmolJ8,314 R −− ⋅⋅= ?

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL 5.- Compruebe que los tres términos de la ecuación de Bernouilli, de la dinámica de fluidos, son dimensionalmente homogéneos. Dicha ecuación es la siguiente:

cteghv21p 2 =ρ+ρ+

donde p es la presión absoluta, ρ es la densidad del fluido v es la velocidad del fluido g es la aceleración de la gravedad h es la altura

BLOQUE 1


FICHA DE AUTOEVALUACIÓN

FICHA DE AUTOEVALUACIÓN (BLOQUE 1) 1.- Defina el concepto de magnitud. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.- Elija, de las siguientes frases, la que corresponde a la definición de magnitud física:

θ a) Se denomina magnitud a todo ente observable. θ b) Se denomina magnitud a todo aquello susceptible de ser medido. θ c) Se denomina magnitud a la clase formada por los entes

observables que son comparables entre si. 3.- Dados los siguientes entes, subraye los que constituyen magnitudes físicas:

Masa, velocidad, sabor, presión, adaptabilidad, momento angular, ángulo sólido, resistividad, ansiedad.

4.- Defina el concepto de cantidad. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

5.- Defina el concepto de unidad. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

6.- Es posible que, al medir dos veces una misma magnitud física, nos dé dos cantidades diferentes:

a) No, es imposible. b) Sí, por ejemplo, cuando hemos utilizado dos unidades diferentes.

7.- Explique en qué consiste la medición. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

8.- Defina error absoluto y error relativo de una medida. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

9.- La temperatura de ebullición del agua, a nivel del mar y a una atmósfera de presión, es de 100 ºC. Se realiza una medición en un laboratorio obteniéndose un valor de 100,5 ºC. ¿Cuál es el error absoluto de la medida? ¿Y el error relativo?

10.- Defina qué son magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

11.- De las siguientes definiciones, señale cuál corresponde a magnitud escalar, E, y cuál a magnitud vectorial, V :

θ Aquella magnitud cuya medida queda especificada por un número real y su unidad.

θ Aquella magnitud que necesita para su definición, además de su módulo con sus unidades, una dirección, un sentido y un punto de aplicación

12.- Dadas las siguientes magnitudes, señale las que son escalares y las que son vectoriales:

MAGNITUD ESCALAR VECTORIAL Presión Velocidad Corriente eléctrica Peso Temperatura Volumen Aceleración Campo eléctrico

13.- Explique qué es una magnitud fundamental y una magnitud derivada. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

14.- Explique brevemente en qué consiste un sistema coherente de unidades ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

15.- Enumere las magnitudes fundamentales del S.I. de unidades. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

16.- Expresa las unidades fundamentales del S.I. de unidades, con sus símbolos correspondientes. ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

17.- A partir de la definición de densidad, como volumen

masa , expresa la

unidad correspondiente en el S.I.

18.- Expresa las cantidades siguientes en las unidades que se indica:

a) 7,1 m2 en hm2 _________________________________________ b) 0,09 mm en nm _________________________________________ c) 0.2 l en cm3 _________________________________________ d) 1,5 kg en g _________________________________________ e) 4,5 min en s _________________________________________ f) 45º en rad _________________________________________ g) 90 1hkm −⋅ en 1sm −⋅ ___________________________________ h) 2,5 kp en N _________________________________________ i) 1000 3mkg −⋅ en 3cmg −⋅ _____________________________ j) 300 nF en mF _________________________________________

19.- ¿Cuál es la ecuación dimensional del campo eléctrico, definido como

qFEr

r= ?

20.- Determina la ecuación dimensional, en un sistema absoluto (L, M, T), de la presión, definida como: presión = fuerza/superficie.

21.- Determina la ecuación dimensional de la Constante de Gravitación

Universal, dada a partir de la Ley de Gravitación Universal, 2rm'mGF ⋅

=r

.

22.- La elongación de un muelle sometido a una fuerza elástica viene dada por ( )φωtAsenx += . ¿Tiene la constante A dimensiones? ¿Cuáles son?

23.- Sabiendo que la fuerza magnética que siente una carga en movimiento sometida a un campo magnético B es, BvqF

rrr×= , ¿cuáles son las

dimensiones de Br

?

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN: 2.- c 3.- masa, velocidad, presión, momento angular, ángulo sólido y resistividad. 6.- b 9.- Error absoluto, Cº 5,01005,100T =−=δ

Error relativo, % 5,0005,0TT)T( ==δ

=ε

11.- magnitud escalar: un número real y su unidad

magnitud vectorial: módulo con sus unidades, dirección, sentido y un punto de aplicación

12.-

MAGNITUD ESCALAR VECTORIAL Presión X Velocidad X Corriente eléctrica X Peso X Temperatura X Volumen X Aceleración X Campo eléctrico X

17.- Densidad, VOLUMEN

MASA=ρ ⇒ ( )

3mkg

=ρ

18.-

a) 7,1 m2 = 7,1 x 10-4 hm2 b) 0,09 mm = 90 x 103 nm c) 0.2 l = 200 cm3 d) 1,5 kg = 1500 g e) 4,5 min = 270 s f) 45º = 0,785 rad

g) 90 1hkm −⋅ = 25 1sm −⋅ h) 2,5 kp =24,5 N i) 1000 3mkg −⋅ = 1 3cmg −⋅ j) 300 nF = 0,3 mF

19.- qFEr

r= ⇒ [ ] [ ]

[ ]31

2TMLI

ITMLT

qFE −−

−===

rr

20.- SFp = ⇒ [ ] [ ]

[ ]21

2

2TML

LMLT

SFp −−

−===

21.- 'mm

rFG2

⋅⋅

= ⇒ [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

2312

222TLM

MLMLT

'mmrFG −−

−=

⋅=

⋅⋅

=

22.- Sí. [ ] [ ]( )[ ]

L1L

tsenxA ==+

=φω

23.- φ⋅

=senvqF

B r

rr

⇒ [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

211

2TMI

LTITMLT

senvqFB −−

−

−=

⋅=

φ⋅⋅=

BLOQUE 2

MAGNITUDES VECTORIALES: ÁLGEBRA Y EXPRESIÓN ANALÍTICA.

ESTÁTICA DEL PUNTO. MOMENTO DE FUERZA Y ESTÁTICA DEL SÓLIDO.

TEMA 5

MAGNITUDES VECTORIALES Y

ÁLGEBRA VECTORIAL

Juan Miguel Gil de la Fe Ángeles Marrero Díaz

5.1. INTRODUCCIÓN El estudio de los vectores es importante en cualquier curso de física.

Muchas de las magnitudes físicas tienen las propiedades de los vectores y algunas de las relaciones entre esas magnitudes (leyes de la física) adoptan la forma más simple si se expresan en forma vectorial.

En los siguientes apartados repasaremos los conceptos y aplicaciones más relevantes del análisis vectorial de cara a un primer curso universitario de física.

5.2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas en magnitudes escalares y

magnitudes vectoriales. Un eejjeemmpplloo de magnitud escalar es la masa. Para determinar la masa de una partícula es suficiente con dar el valor y

la unidad en que se mide (Ejemplo: 5 kg). Un eejjeemmpplloo de magnitud vectorial es la fuerza. Para determinar la fuerza que actúa sobre una partícula además de dar el

valor y la unidad es necesario también dar la dirección y el sentido de la misma.

EEjjeemmpplloo: se ha ejercido una fuerza de 5 Newton en la dirección vertical y sentido ascendente

Una magnitud vectorial se representa mediante un vector.

5.3. DEFINICIÓN DE VECTOR

Desde el punto de vista geométrico un vector es un segmento orientado. Gráficamente se representa de la forma siguiente:

Un vector está caracterizado por:

.- Su oorriiggeenn o punto de aplicación (Punto O).

.- La longitud del segmento, también llamado mmóódduulloo del vector ( ar ).

.- Su ddiirreecccciióónn, dada por la recta que lo contiene.

.- Su sseennttiiddoo que se indica por la punta de la flecha.

ar br

cr

Siempre que se trate de una magnitud física el módulo del vector debe ir

acompañado de la unidad correspondiente. Para denotar una magnitud vectorial se utiliza una letra con una flecha en

la parte superior de la misma ( ar , br

, cr ), y para indicar su módulo se escribe dicha letra entre barras ( ar , b

r, cr ).

El módulo de un vector se determina fijando previamente una escala. Así para el caso que se representa en la figura anterior el módulo del vector ar vale 3 unidades. Si dicho vector representara la velocidad que lleva un automóvil, y se midiera el espacio en metros y el tiempo en segundos, su módulo sería 3 m s-1.

Un caso de especial interés es aquel en el que el módulo del vector vale la

unidad. A este vector característico se le denomina vector unitario ( ur ).

5.4. ÁLGEBRA VECTORIAL

Como se vio en el bloque anterior para toda magnitud física debe de estar definido las relaciones de igualdad y suma. En este apartado se introducirán estas relaciones para las magnitudes vectoriales, así como otras operaciones.

ur

ar

O •

ar

ar

O

Recta soporte

•

5.4.1. IGUALDAD DE VECTORES.

Dos vectores son iguales si lo son sus módulos, sus direcciones y sus sentidos.

5.4.2. SUMA DE VECTORES.

Dado dos vectores ar y br

se define la suma como el vector cr que se obtiene gráficamente mediante la siguiente regla:

Este procedimiento recibe el nombre de rreeggllaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo. Otra forma equivalente de realizar la suma de dos vectores es a través de la conocida rreeggllaa ddeell ppoollííggoonnoo es decir

Aunque ambas reglas de suma son equivalentes, la regla del polígono es más fácil de aplicar cuando se suman más de dos vectores. Si tenemos tres vectores y procediendo de la manera ya dicha el vector suma de éstos será:

ar

br

cr

cba rrr ≠=

cba rrr =+

ar

br

barr +

br

barr +

cba rrr =+

ar

ar

ar−

Por eejjeemmpplloo si tenemos dos fuerzas que actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O, el sistema de dos fuerzas 1F

r y 2F

r es equivalente a una

única fuerza, 21 FFFrrr

+= .

5.4.3. VECTOR NULO Y VECTOR OPUESTO.

Vector nulo: 0r

Es un vector de módulo cero (el origen y el extremo coinciden).

Vector opuesto. Diferencia de dos vectores. El vector opuesto a un vector ar es otro vector, - ar , de igual módulo y

dirección pero de sentido opuesto. Se verifica que:

ar+(- ar )= 0r

Dado dos vectores ar y br

, la diferencia será un vector cr que se obtiene de sumar ar con el opuesto de b

r. Gráficamente la diferencia se calcula de la

forma siguiente:

2Fr

• O

1Fr

Fr

ar

br

ar

br

−

br

br

ar

br

− cr

c)b(a rrr =−+

ar

br

cr

ar

br

cr

cba rrr ++

ar

br

cr

dcbarrrr =++

dr

5.4.4. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Se define el producto de un vector ar por un escalar K como un vector dr

que tiene por módulo K veces el del vector ar , y de sentido el indicado por el signo del escalar. Es decir:

Así si K=2 el vector dr

sería:

5.5. DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO

Como ya avanzamos al definir el módulo de un vector, se denomina vector unitario a un vector de módulo unidad. De esta forma, cualquier vector, ar , se puede expresar como:

auaa rrr =

donde ar es el módulo del vector ar y aur es el vector unitario con dirección y sentido el de ar . De la expresión anterior se obtiene que conocido un vector ar , un vector unitario en su dirección y sentido está dado por

aaua r

rr =

ar aKr

K>0

aKr

K<0

KaaKd rrr==

ar

a2d rr−=

K<0

K>0

a2d rr=

5.6. CUESTIONES DE CONTROL 1.- Dada una magnitud física de carácter vectorial, ¿queda correctamente expresada dando el valor de su módulo?. ¿Por qué?. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2.- Dado los vectores ar , b

r, cr y d

r representados en el siguiente dibujo,

halle el vector resultante, er , suma de los anteriores.

3.- ¿Puede cambiar la dirección de un vector al multiplicarlo por un escalar?. Justifique la respuesta con un ejemplo. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

cr

ar

br

dr

EJERCICIOS 1.- Sabiendo que la fuerza es una magnitud vectorial y se representa mediante un vector:

a) Represente una fuerza 1Fr

que actúa en el punto O cuyo módulo es de 2 N en dirección vertical y sentido descendente. Tome como vector unitario, j

r, uno en dirección vertical y sentido ascendente.

b) Represente igualmente una fuerza 2F

rde tal forma que 1F

r+ 2Fr

=0r

.

Idem una fuerza 3Fr

de forma que 1Fr

- 3Fr

=0r

• O

• O

2.- Recordando que una magnitud vectorial exige que se dé tanto el módulo como la dirección y el sentido de la misma, represente y exprese una fuerza Fr

de módulo 2N en la dirección perpendicular al plano del papel y en sentido desde el lector hacia el papel.

3.- Conteste a las siguientes cuestiones:

a) LLaa vveelloocciiddaadd eess oottrroo eejjeemmpplloo ddee mmaaggnniittuudd vveeccttoorriiaall. Si dos automóviles viajan con velocidades cuyos módulos son v1=10 m/s y v2=10 m/s ¿Se puede asegurar que son iguales las velocidades de los dos automóviles?.

Si/No

b) LLaass mmaaggnniittuuddeess vveeccttoorriiaalleess ccuummpplleenn llaass lleeyyeess ddeell áállggeebbrraa ddee vveeccttoorreess.. SSuu ssuummaa hhaa ddee hhaacceerrssee ppoorr llaa rreeggllaa ddeell ppaarraalleellooggrraammoo. ¿Si tenemos dos fuerzas de módulos F1=2 N y F2=3N, la fuerza resultante de las mismas es siempre R= 5 N?

Si/No

c) Si la suma de dos fuerzas es nula 1Fr

+ 2Fr

=0r

. ¿Es nula también la suma de sus módulos F1 +F2=0?

Si/No

4.- CCuuaannddoo uunn vveeccttoorr eess mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr uunn nnúúmmeerroo,, eell mmóódduulloo ddee llaa mmaaggnniittuudd vveeccttoorriiaall rreessuullttaannttee qquueeddaa mmooddiiffiiccaaddaa eenn eessee ffaaccttoorr. ¿Qué se puede decir de la dirección y el sentido de la misma?

5.- Dado el vector 1Fr

de la figura. Represente los vectores 1F2r

y 1F2r

− , siendo el vector unitario el indicado en la figura.

6.- Dados los vectores de la figura realizar gráficamente 2 ar + b

r+ cr y ar -

2 br

+ cr

ar

br

cr

7.- Dados los vectores ar , br

y cr del ejercicio anterior calcule gráficamente el vector resultante de la suma, así como un vector d

r tal que ar + b

r+ dr

= 0r

8.- En un examen a un alumno se le pregunta ddaarr llaa ffuueerrzzaa qquuee aaccttúúaa ssoobbrree ddeetteerrmmiinnaaddaa ppaarrttííccuullaa, y éste contesta : F

r= 4. ¿Qué fallos puede

encontrar el profesor en dicha respuesta?.

9.- Dada la fuerza F

r= 4 f

r (N) donde f

r es un vector de módulo 2 en la

dirección del eje OX positivo. ¿Cuál es el módulo de Fr

?.

BLOQUE 2



TEMA 6

MAGNITUDES VECTORIALES.

EXPRESIÓN ANALÍTICA

Juan Miguel Gil de la Fe Ángeles Marrero Díaz

6.1. DEFINICIÓN DE EJE. PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE 6.1.1. DEFINICIÓN DE EJE

Se denomina eejjee a una recta orientada en el espacio. Una recta en el espacio determina una dirección y dos sentidos. El sentido positivo del eje se indica con una punta de flecha. El vector unitario asociado al eje tiene la dirección de la recta y el sentido el elegido para éste (ver dibujo).

6.1.2. PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE.

Se define la pprrooyyeecccciióónn ddee uunn vveeccttoorr ar

ssoobbrree uunn eejjee como el escalar que resulta de multiplicar el módulo del vector por el coseno del menor ángulo que forman el vector y el vector unitario asociado a dicho eje. Ésta se denota como ( )aPe

r , y es:

Así, si se tiene un bloque sobre el que se ejerce una fuerza F

r según la

dirección y sentido indicado en la figura, su proyección sobre el eje es:

6.2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. Para el estudio de cualquier fenómeno físico necesitamos un sistema de

referencia respecto del cual localizamos espacialmente un punto. El más sencillo es el de ssiisstteemmaa oorrttooggoonnaall ddee ccoooorrddeennaaddaass ccaarrtteessiiaannaass. Éste está

)F(Per

eur • O

Fr

β α= cosF)F(Perr

Recta Eje eur

eur

α )a(Per

ar α= cosa)a(Pe

rr

formado por uunn ttrriieeddrroo ddee rreeffeerreenncciiaa, es decir por tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro. A los ejes de este sistema se les denota con las letras X, Y y Z, y a los vectores unitarios asociados k y j,i

rrr, respectivamente.

Las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas cartesiano

se especifica por la terna (x, y, z).

6.3. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR

Dado un sistema de coordenadas cartesiano de referencia, cualquier

vector ar se puede descomponer en la suma de tres vectores dirigidos sobre los ejes X, Y y Z, es decir:

jr

ir

Y

Z

X

kr

P(x,y,z)

yx

z

Y

Z

índice

corazón

pulgar

X

jr

ir Y

Z

X

kr

O

A la proyección de cada uno de esos vectores sobre cada eje cartesiano

se le denomina componentes cartesianas del vector ar y vienen dadas por:

γ==

β==

α==

cosa)a(Pa

cosa)a(Pacosa)a(Pa

zz

yy

xx

rr

rr

rr

donde α, β y γ son los menores ángulos que forman el vector ar y con los unitarios asociados a los ejes X, Y y Z respectivamente(ver figura). A los cosenos de dichos ángulos se les conoce como ccoosseennooss ddiirreeccttoorreess, y tal como acabamos de ver, éstos se pueden expresar en función de las componentes de un vector de la forma:

aa

cos,a

acos,

aa

cos zyxrrr =γ=β=α

De este modo un vector ar se puede escribir como:

( )kcosjcosicosakajaiaa zyx

rrrrrrrr γ+β+α=++=

Esta forma de expresar un vector en el sistema de coordenadas cartesianas se denomina eexxpprreessiióónn aannaallííttiiccaa de ar .

Conocidas las componentes cartesianas del vector ar , su mmóódduulloo viene dado por:

2z

2y

2x aaaa ++=r

donde se ha tenido en cuanta que ar es la diagonal del paralelepípedo de lados ax, ay y az (ver figura anterior).

zyx aaaa rrrr ++=

ar

zar

yar xar

Y

Z

X

α β

γ

jr

ir

kr

6.4. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Si λ es un escalar y ar un vector, el producto de un escalar por un vector

es otro vector. Las componentes de este vector se obtienen de multiplicar las del vector inicial por el escalar de componentes iguales a las componentes del vector original por el escalar, es decir:

( ) kajaiakajaiaa zyxzyx

rrrrrrr λ+λ+λ=++λ=λ

Al multiplicar un escalar por un vector, el módulo de éste se modifica en un factor igual al escalar por el que se multiplica. Así, si auaa rrr = ,

abuaab arrrrrr

λ=⇒λ=λ=

6.5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Dados dos vectores ar y b

r se define su producto escalar como el escalar

que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del menor ángulo que forman. El pprroodduuccttoo eessccaallaarr se denota por ba

rr ⋅ y se calcula de la siguiente forma:

Tal y como muestra la figura el producto del módulo de br

por el coseno de α es la proyección del b

r sobre ar .

Como consecuencia de la definición de producto escalar se verifican las siguientes propiedades:

• Si ar y br

perpendiculares, 0ba =⋅rr

• Si ar y br

son paralelos, babarrrr =⋅

• Conocidas las componentes cartesianas de ar : 2aaa rrr =⋅ , iaa x

rr ⋅= ,

jaa yrr ⋅= y kaaz

rr ⋅=

br

αcosbr

α ar α=⋅ cosbaba

rrrr

• La proyección del vector ar sobre el eje de vector unitario eur , se puede expresar como: ee ua)a(P rrr ⋅=

Conocidas las componentes cartesianas de dos vectores ar y br

su producto vectorial se puede expresar también como:

zzyyxx babababa ++=⋅rr

6.6. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿Cómo se define eje? La proyección de un vector sobre un eje, ¿es un vector o un escalar? ¿Cómo se denomina a los ejes en el sistema de coordenadas cartesiano?, ¿y a sus vectores unitarios? __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2.- Sea el vector kj2i3a

rrrr +−= ,

a) ¿Cuánto vale su módulo?

b) ¿Cuánto vale la proyección del vector ar sobre cada uno de los tres ejes coordenados?

c) ¿Cuánto valen las componentes cartesianas del vector ar ?

a) b) c)

3.- Dados dos vectores ar y b

r, ¿puede afirmar que la suma de los módulos

de los vectores es igual al módulo del vector suma de éstos? Ponga un ejemplo que se ajuste a su respuesta.

4.- El producto de un escalar por un vector, ¿es un vector o un escalar?, ¿y el producto escalar entre dos vectores? Exprese ambos productos en coordenadas cartesianas.

_______________________________________________________

_______________________________________________________

EJERCICIOS Antes de empezar Recuerde Dados dos puntos A(xo,yo) y B(x1,y1), la eeccuuaacciióónn ddee llaa rreeccttaa que los contiene viene dada por:

donde ( )o1 xx − y ( )o1 yy − son las componentes del vveeccttoorr ddiirreeccttoorr ddee

llaa rreeccttaa, dr

. Luego, en componentes cartesianas, el vector director tiene la forma:

( ) ( ) jyyixxd o1o1rrr

−+−= 1.- Escriba la expresión analítica de los vectores que vienen definidos de la forma siguiente:

a) El vector ar tiene de componentes (2,4,7) y está aplicado en el punto (0,2,2).

b) El vector br

tiene por origen y por extremo respectivamente los puntos (1,1,1) y (5,5,5).

c) El vector cr tiene de módulo 3 y además sus cosenos directores son iguales entre sí y de valor 0,5.

d) El vector dr

está sobre la recta 2x3y −= , cuyo módulo es 4. El sentido se toma positivo cuando se mueven hacia X crecientes.

a) b)

c) d)

o1

o

o1

o

yyyy

xxxx

−−

=−−

A

Bdr

2.- Dos vectores ar y br

tienen respectivamente de módulos 2, y 5 unidades. Los vectores forman entre sí un ángulo α. Dibújelos, efectúe gráficamente su suma y calcule el valor del módulo de la suma. Realícelo para los valores de α de 0º, 30º , 45º , 90º, 180º.

3.- Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura. Determine el módulo, dirección y sentido del vector desplazamiento resultante utilizando la escala de la figura.

Ψ

Ψ

Inicio

Destino 45o

4.- Obtener las componentes x e y de los siguientes vectores:

a) Vector Ar

de la figura, si su módulo es 30 m y forma un ángulo con el eje X de 45º.

b) Vector Br

de la figura, si su módulo es 4,5 m y forma un ángulo con el eje Y de 37,0º.

a) b)

5.- ¿Es cierta la igualdad baba

rrrr +=+ ? Compruébelo para el caso de los

vectores kj3i2arrrr +−= y k2ji4b

rrrr−+−=

__________________________________________________________

__________________________________________________________

6.- Un avión despega y viaja 2,1 km en vertical, 10,4 km al oeste y 8,7 km al norte. ¿A qué distancia está de su punto de partida?

α

Ar

X

Y

β

Br XY

7.- Los tres finalistas de un concurso de orientación están en el centro de un campo plano y grande. La ruta que se les da es: 72,4 m-32,0º al este del norte; 57,3 m-36.0º al sur del oeste y 17,8 m al sur. Esta ruta les lleva al punto donde están enterradas las llaves de un Porshe. Dos concursantes comienzan de inmediato la ruta siguiendo las indicaciones anteriores, mientras que el tercer concursante, que había estudiado Física, calcula previamente el vector desplazamiento sigue esta ruta para llegar al punto.

a) Dibuje el desplazamiento tramo a tramo, así como el desplazamiento resultante, de los dos primeros concursantes.

b) Dibuje el vector desplazamiento del tercer concursante

c) Si todos iban a la misma velocidad, ¿Qué concursante ganó el Porsche?

8.- Dados los vectores k3j2iarrrr +−= y k3j4ib

rrrr++−= determine el

producto escalar entre ambos y el ángulo que forman.

9.- Encuentre un vector que tenga de módulo 2 y que sea:

a) perpendicular al vector j4i3arrr +=

b) paralelo al vector j4i3arrr +=

a) b)

10.- Dos vectores ar y b

r tienen respectivamente módulos 3 y 4 unidades.

Estos vectores forman entre sí un ángulo α. Dibújelos y efectúe gráficamente su suma para los valores de α de 0 º, 30º, 45º, 90º y 180º.

BLOQUE 2



TEMA 7

ESTÁTICA DEL PUNTO

Mercedes Pacheco Martínez Alicia Tejera Cruz

7.1. INTRODUCCIÓN

En este apartado estudiaremos la eessttááttiiccaa, parte de la mecánica que analiza situaciones en las que un cuerpo sometido a distintas fuerzas se encuentra en reposo.

Existe una clasificación de la estática dependiendo de las consideraciones que se hagan sobre las dimensiones o estructura del cuerpo en estudio:

• Cuando un cuerpo de masa m puede ser considerado puntual recibe el nombre de ppaarrttííccuullaa, y a la parte de la estática que se dedica a su estudio recibe el nombre de eessttááttiiccaa ddee llaa ppaarrttííccuullaa.

• Cuando no es posible la aproximación de partícula hablamos de cuerpo extenso y de estática de los cuerpos extensos. Cuando el cuerpo extenso no es deformable recibe el nombre de sólido rígido, y son éstos los que abordaremos en próximos apartados.

En la naturaleza existen objetos que se aproximan bastante bien a la idea de partícula, como una mota de polvo pequeña o un electrón. Hay otros, que aunque se les aprecian ciertas dimensiones, pueden ser considerados como tales. Este es el caso de cuerpos extensos en los que sólo se está interesado en estudiar su movimiento de traslación, y no los posibles giros o rotaciones que sufre el cuerpo durante su desplazamiento.

Un ejemplo clarificador de lo dicho sería considerar el movimiento de la Tierra en torno al Sol. En este caso el centro geométrico de la tierra se desplaza en una órbita elíptica (con el sol en uno de sus focos) y además la tierra rota entorno a un eje que la atraviesa de polo a polo (ver figura).

Si únicamente estamos interesados en conocer la posición de la tierra en la órbita y no nos interesa su estado de rotación, podemos aproximarla a un punto material o partícula situada en el centro geométrico de la tierra.

7.2. ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA.

Considérese a una partícula sometida a una serie de fuerzas. En este caso todas las fuerzas tienen el mismo punto de aplicación (u origen) en la propia partícula. Cuando la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella es nula se dice que la partícula cumple la ccoonnddiicciióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo.

EEss ddeecciirr,, ssii uunnaa ppaarrttííccuullaa eessttáá ssoommeettiiddaa aa llaass ffuueerrzzaass 1Fr

,, 2Fr

yy 3Fr

,, ssee eennccoonnttrraarráá eenn eeqquuiilliibbrriioo ssii ssee ccuummppllee::

0FFF 321rrrr

=++ Se denomina ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee sobre la partícula, RF

r,a la suma vectorial

de todas las fuerzas que actúa sobre la misma ( 321R FFFFrrrr

++= ). PPoorr lloo ttaannttoo,, llaa ccoonnddiicciióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo ppaarraa uunnaa ppaarrttííccuullaa ssee ppuueeddee

eessccrriibbiirr ttaammbbiiéénn ccoommoo::

0FRrr

=

Conviene tener presente que la condición de equilibrio establecida anteriormente no implica que la partícula se encuentre en reposo. Recordando la segunda ley de Newton, amFR

rr= , en el equilibrio 0FR

rr=

por lo que 0arr = y, por tanto, la velocidad de una partícula que se encuentre

en equilibrio será constante. Así pueden darse dos situaciones:

aa)) que una partícula que esté en equilibrio esté en reposo. Este tipo de problemas son el objeto de estudio de la eessttááttiiccaa ddee llaa ppaarrttííccuullaa.

bb)) que una partícula que esté en equilibrio no esté en reposo sino en movimiento rectilíneo uniforme, o lo que es lo mismo, con velocidad constante distinta de cero.

En las siguientes figuras dos atletas tiran de un bloque inicialmente en reposo (no existe rozamiento con el suelo) y utilizaremos estos ejemplos para ilustrar lo dicho anteriormente. En a) los dos atletas ejercen la misma fuerza por lo que el bloque cumple la condición de equilibrio y permanecerá en reposo. Sin embargo, en b), el atleta de la derecha ejerce más fuerza que el de la izquierda de forma que no se cumple la condición de equilibrio y el bloque comenzará a desplazarse hacia la derecha.

EEss ddeecciirr,, eenn eell ccaassoo aa)) eell bbllooqquuee eessttáá eenn eeqquuiilliibbrriioo mmiieennttrraass qquuee eenn eell ccaassoo bb)) eell bbllooqquuee ccoommeennzzaarráá aa mmoovveerrssee hhaacciiaa llaa ddeerreecchhaa ccoonn uunn mmoovviimmiieennttoo aacceelleerraaddoo..

En muchas aplicaciones, es cómodo hacer un análisis del problema descomponiendo previamente cada una de las fuerzas que actúa sobre el cuerpo en un sistema cartesiano preestablecido o seleccionado por nosotros. Entonces, teniendo en cuenta la descomposición cartesiana vista en la lección anterior, llaa ccoonnddiicciióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo ssee ppuueeddee eexxpprreessaarr aa ttrraavvééss ddee llaass ssiigguuiieenntteess eeccuuaacciioonneess eessccaallaarreess::

0FFF x3x2x1 =++ ; 0FFF y3y2y1 =++ ; 0FFF z3z2z1 =++

oo ttaammbbiiéénn,, hhaacciieennddoo uussoo ddee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee,, ccoommoo

0FRx = ; 0FRy = ; 0FRz =

7.3. DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS. DIAGRAMA DE FUERZAS.

Las distintas fuerzas que actúan sobre un cuerpo son una representación física, o dan cuenta, de la influencia que ejerce el medio sobre el estado de movimiento del cuerpo (o dinámica del cuerpo). Además, cada una de las fuerzas puede asociarse con distintos objetos del medio, hecho que hace más sencillo la determinación de las fuerzas en las distintas situaciones con las que podemos encontrarnos.

Por ejemplo, considérese un bloque de masa m, como el que se muestra en la siguiente figura, que desciende por un plano inclinado (no existe rozamiento), y que se encuentra sujeto a un muelle de constante elástica k.

a) b)

Estamos interesados en estudiar el bloque y el primer paso es aislarlo del resto de elementos, que representan el medio con el que interacciona el bloque (en la figura anterior se muestra el bloque aislado mediante una línea discontinua).

LLaa TTiieerrrraa,, eell ppllaannoo iinncclliinnaaddoo yy eell mmuueellllee ssoonn ssuu mmeeddiioo yy llaa iinnfflluueenncciiaa ddeell ddiicchhoo mmeeddiioo ssoobbrree eell ccuueerrppoo vviieennee rreepprreesseennttaaddaa ppoorr llaass ssiigguuiieenntteess ffuueerrzzaass:: eell ppeessoo ((oo ffuueerrzzaa ggrraavviittaattoorriiaa tteerrrreessttrree)),, P

r,,

eejjeerrcciiddoo ppoorr llaa ttiieerrrraa ssoobbrree eell bbllooqquuee;; llaa nnoorrmmaall,, N

r,, eejjeerrcciiddaa

ppoorr eell ppllaannoo iinncclliinnaaddoo ssoobbrree eell bbllooqquuee;; yy llaa ffuueerrzzaa eelláássttiiccaa oo rreeccuuppeerraaddoorraa,, eF

r,, eejjeerrcciiddaa ppoorr

eell mmuueellllee ssoobbrree eell bbllooqquuee..

En esta figura aparece cada fuerza con un tono de gris distinto, y el elemento del medio al que se debe con el mismo color que la fuerza también en tono grisáceo. Podríamos haber considerado que el plano inclinado ofrece alguna resistencia al movimiento del bloque, con lo que habríamos añadido una fuerza de rozamiento bloque-plano ejercida por el plano inclinado sobre el bloque. También podríamos haber considerado alguna influencia del aire sobre el bloque, con lo que habríamos considerado una fuerza de rozamiento bloque-aire.

EEnn ddeeffiinniittiivvaa,, aa llaa hhoorraa ddee eessttaabblleecceerr llaass ffuueerrzzaass qquuee aaccttúúaann ssoobbrree uunn ccuueerrppoo,, hhaayy qquuee iiddeennttiiffiiccaarr eenn eell mmeeddiioo,, llooss ppoossiibblleess oobbjjeettooss ssuusscceeppttiibblleess ddee iinnfflluuiirr eenn llaa ddiinnáámmiiccaa ddeell ccuueerrppoo..

Una vez identificadas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es muy útil para las aplicaciones prácticas o resolución de problemas hacer una representación gráfica de las fuerzas, sin incluir en dicho gráfico a los diferentes elementos del medio. A una representación de este tipo se le denomina ddiiaaggrraammaa ddee ffuueerrzzaass. Para el ejemplo comentado anteriormente, el diagrama de fuerzas del bloque queda como se indica en la figura.

P

N

P

Fe

N

7.4. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿Cuál es el objeto de estudio de la estática?.

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2.- ¿Cuándo es válida la aproximación de punto material o partícula? ¿Por qué crees que se utiliza?

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

3.- Si un cuerpo está siendo empujado con una fuerza 1Fr

y además está sometido a su peso, P

r, a una fuerza de rozamiento, RF

r, y a una reacción de

suelo, Nr

, ¿Cuál es la condición que debe cumplir para que se encuentre en equilibrio? ¿y para que sea considerado un problema de estática?

Equilibrio: Estática:

4.- ¿Qué representan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo?

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

5.- ¿Qué es un diagrama de fuerzas? ¿Cuáles son los pasos que hay que dar para realizar el diagrama de fuerzas de un cuerpo? ¿Por qué crees que se utiliza?

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

EJERCICIOS 1.- Indique en cada uno de los casos siguientes, si en el problema de dinámica planteado es aplicable o no la aproximación de partícula.

a) Al estudiar el movimiento de un coche que circula por una carretera

b) Al estudiar el movimiento de las ruedas del coche del ejemplo anterior c) Al estudiar el movimiento de traslación de una pelota de baloncesto d) Al estudiar el movimiento de una bola de billar que está trasladándose y girando sobre sí misma.

e) Al estudiar la rotación de poleas sin masa f) Al estudiar la rotación de poleas con masa

2.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cuando se encuentra la partícula en equilibrio. Sabiendo que dicha partícula parte del reposo, dibuje el sentido y la dirección de movimiento en aquel o aquellos casos en los que la partícula no se encuentre en equilibrio.

a) b)

c) d)

3.- Indique cuáles de las siguientes situaciones son situaciones de equilibrio, identificando además si se verifica la condición de estática.

a) Una partícula sobre la que no actúe ninguna fuerza o bien la resultante de todas las que actúan sobre ella sea nula.

b) Un patinador que se desliza sobre un lago helado, despreciándose los rozamientos con el hielo y con el aire.

c) Un atleta que corre con velocidad constante.

d) Un coche que va disminuyendo su velocidad.

e) Una mesa que, a pesar de estar siendo empujada, no se desplaza.

Situaciones de equilibrio Situaciones de estática

4.- En cada una de las siguientes situaciones, identifique qué parte del medio está interaccionando con la partícula estudiada (marcada en cursiva).

a) Un patinador que se desliza sobre un lago, despreciándose los rozamientos con el hielo y con el aire.

b) Al estudiar el movimiento de una pelota de baloncesto, estando sometida a un viento horizontal

c) Una mesa de la que se tira hacia la derecha mediante una cuerda. La mesa está apoyada sobre una superficie en la que no se puede despreciar el rozamiento.

d) Una partícula 1m que está apoyada sobre un plano inclinado y se une a m2 mediante una cuerda que pasa alrededor de una polea sin masa. (Ver figura).

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Figura tomada de Física para Ciencias e Ingeniería, 4ª ed. P. A. Tipler. Ed. Reverté

Parte del Medio Identificación de las fuerzas

a)

b)

c)

d)

5.- Realice el diagrama de fuerzas de las situaciones anteriores indicando a qué parte del medio es debida cada fuerza. Diagrama a)

b)

c)

d)

6.- Dibuje la fuerza necesaria para que las partículas de la figura se encuentren en equilibrio. Exprese el valor de dicha fuerza en coordenadas cartesianas.

a)

b)

c)

d)

7.- Considere que sobre una partícula actúan las fuerzas )N(j5i2F1rrr

+= ,

)N(j4i2F2rrr

+−= y )N(j3i2F3rrr

−−= . a) Represente en un sistema cartesiano las tres fuerzas, así como la fuerza resultante. b) ¿Cuál es la expresión analítica de la fuerza resultante.

c) ¿Se encuentra la partícula en equilibrio?. ¿Y en reposo?.

a) b)

c) d)

8.- Un bloque de masa M se ve sometida a las situaciones de equilibrio que se describen a continuación. Si se desprecia la fuerza de rozamiento, realice en cada caso el diagrama de fuerzas y determine el valor de la normal:

a) El bloque está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento (figura a).

b) El bloque está apoyado sobre un plano inclinado (figura b).

c) Idem (figura c).

d) Idem si además está sometido a la fuerza 1Fr

(figura d).

X

Y

30

MM M1Fr

Figura a Figura b Figura c Figura d

Diagrama Cálculos a)

b)

c)

d)

9.- Sabiendo que el cuerpo que cuelga de las cuerdas está en reposo y tiene una masa de 50 kg, determine las tensiones en las cuerdas en las siguientes situaciones:

a) b) c)

60º 60º 60º 60º30º


b)

c)

10.- Realice los diagrama de fuerzas de las siguientes situaciones de equilibrio y determinar el valor de la fuerza de rozamiento en cada caso:

a) Bloque de masa M (figura a), suponiendo que se conoce el valor de la tensión, T

r, y que la fuerza de rozamiento es la representada en la figura.

b) Bloque de masa M (figura b), que está sujeto mediante un resorte. Dicho resorte está alargado, ejerciendo sobre el bloque una fuerza elástica de módulo Fe. La fuerza de rozamiento tiene el sentido reflejado en la figura.

c) Bloque de masa M (Figura c), que es apretado contra una pared con una fuerza de módulo F.

Fig. a Fig. b Fig. c

M Fr

MFr Fr


b)

c)

BLOQUE 2 MAGNITUDES VECTORIALES:

ÁLGEBRA Y EXPRESIÓN ANALÍTICA. ESTÁTICA DEL PUNTO.

MOMENTO DE FUERZA Y ESTÁTICA DEL SÓLIDO.

TEMA 8

MOMENTO DE FUERZAS


8.1. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial es una operación definida entre magnitudes vectoriales. Dados dos vectores ar y b

r, su pprroodduuccttoo vveeccttoorriiaall se define

como un vector cr , perpendicular a ar y br

, de módulo c, igual al producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman (c= a b senβ) y sentido el dado por la regla de la mano derecha haciéndola girar llevando ar sobre b

r

siguiendo el menor ángulo. El producto vectorial de estos dos vectores se expresa matemáticamente como:

bacrrr ×=

Esta operación no verifica la propiedad conmutativa ya que el resultado de multiplicar vectorialmente b

r por ar es el vector opuesto a cr (mismo

módulo, misma dirección pero sentido opuesto).

cab rrr−=×

En la figura se representan los vectores ar y br

sobre un triedro cartesiano, a) representa el resultado de multiplicar vectorialmente ar por b

r,

mientras b) representa el producto vectorial de br

por ar .

8.1.1. CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

a) SSii ddee llooss vveeccttoorreess aa mmuullttiipplliiccaarr ssee ccoonnooccee ssuu mmóódduulloo yy eell áánngguulloo qquuee ffoorrmmaann eennttrree ssii,, ββ,, el resultado será un vector con la dirección y sentido dados por la regla de la mano derecha y de módulo:

ar

cr

β br

X

Z

Y

a)

ar br

cr−

β

X

Z

Y

b)

β= senbacrrr

b) SSii ssee ddaa llaa eexxpprreessiióónn aannaallííttiiccaa ddee llooss vveeccttoorreess,, kajaiaa zyx

rrrr ++= yy

kbjbibb zyx

rrrr++= ,, el producto vectorial se puede realizar desarrollando

el siguiente producto:

)kj)(baba()ki)(baba()ji)(baba(

)kbjbib()kajaia(bac

yzzyzxxzxyyx

zyxzyxrrrrrr

rrrrrrrrr

×−+×−+×−=

=++×++=×=

Resultando que

k)baba(j)baba(i)baba(bac xyyxzxxzyzzy

rrrrrr −+−+−=×=

donde se han aplicado las siguientes propiedades del producto vectorial entre los vectores unitarios kyj,i

rrr

jik;ikj;kjirrrrrrrrr

=×=×=× 0kkjjiirrrrrrr

=×=×=×

Estas propiedades están recogidas en la siguiente regla nemotécnica:

Se escriben los vectores unitarios kyj,irrr

sobre una circunferencia y en el sentido de rotación de las agujas del reloj. Siguiendo dicho sentido el producto de uno por otro da como resultado el que está enfrente, mientras que si el sentido del producto es el contrario a de las agujas del reloj se obtiene el opuesto del que está enfrente. Además cada vector por si mismo da cero.

Una forma sencilla y compacta de calcular el producto vectorial es calcular el siguiente determinante

k)baba(j)baba(i)baba(bbbaaakji

bac xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

rrr

rrr

rrr −+−+−==×=

ir

jr

kr

8.1.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

En la siguiente figura se representan los vectores ar y br

y el vector cr que se obtiene como resultado de multiplicar vectorialmente los dos primeros bac

rrr ×= . Observando la figura se ve que el módulo de cr coindide con el área del paralelogramo formado por los vectores ar y b

r,

cuyos lados son a y b.

En diversos problemas de Física es necesario representar una superficie sobre la que se trabaja y para ello se utilizará esta propiedad del producto vectorial. 8.2. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO

Sea un vector ar , cuyo origen está en P. Se llama mmoommeennttoo ddeell vveeccttoorr ar

rreessppeeccttoo aall ppuunnttoo OO,, )a(MOrv

, al vector que se obtiene de realizar el producto vectorial entre el vector rr , que tiene de origen O y extremo P, y el vector ar . Teniendo en cuenta las propiedades del producto vectorial, el resultado es un vector perpendicular a ar y a rr . Dicho vector está aplicado en el punto O. Matemáticamente se expresa como:

ar)a(MOrrrr

×=

A partir de la figura a) puede demostrarse que:

adsenraar)a(MOrvrrrrr

=β=×=

ar

cr

β

br

rX

Z

Y

β= senbhr

Paralelogramo formado por ar y b

r

Área=base·altura= har =

csenba rrr =β=

Los vectores que tienen un origen fijo se denominan vveeccttoorreess lliiggaaddooss, por lo tanto el momento de un vector respecto a un punto es un vector ligado. Los vectores que pueden desplazarse siempre que lo hagan a lo largo de su dirección se denominan vveeccttoorreess ddeesslliizzaanntteess. A partir de la figura b) se verifica que si ar es un vector deslizante, el momento de dicho vector respecto al mismo punto O no varía aunque esté aplicado en otro punto P’.

8.3. MOMENTO DE UNA FUERZA

Cuando el vector al que se le quiere calcular el momento es una fuerza, al

momento de dicha fuerza respecto a un punto se denomina mmoommeennttoo ddee ffuueerrzzaass. Por lo tanto si tenemos una fuerza F

r, cuyo origen se encuentra en

P, el momento de Fr

respecto a P será:

Fr)F(MOrrrr

×=

EEnn ggeenneerraall,, aauunnqquuee Fr

ssee ddeessppllaaccee ssoobbrree llaa llíínneeaa ddee aacccciióónn,, eell mmoommeennttoo ddee ffuueerrzzaass rreessppeeccttoo aa OO sseegguuiirráá tteenniieennddoo eell mmiissmmoo vvaalloorr.

Esta magnitud tiene una especial importancia en Física ya que es necesaria a la hora de estudiar las rotaciones de un cuerpo. Pensemos por ejemplo en una puerta, cuesta mucho menos abrir la puerta si se empuja por el extremo opuesto a las bisagras que si se hace por el centro de la puerta, aún cuando se utilice la misma fuerza. Es decir, será importante tener en cuenta el punto de aplicación de la fuerza.

β d rr)a(MOrr

ar O

P β

a)

β drr

)a(MOrr

arOP

ar

P’ 'rr

β

b)

8.4. CUESTIONES DE CONTROL

1.- ¿Cuáles son el módulo, la dirección y el sentido del vector cr que se obtiene de multiplicar vectorialmente las magnitudes ar y b

r?

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2.- ¿El producto vectorial cumple la propiedad conmutativa?. ¿Cuál sería el resultado si se altera el orden del producto? __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

3.- ¿Cuánto vale el producto vectorial de dos vectores paralelos? ¿Por qué? __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

4.- ¿Cómo se calcula el módulo del producto vectorial de dos magnitudes vectoriales de las que se conoce sus módulos y el ángulo que forman entre sí.

5.- Idem, si lo que se conocen son sus componentes cartesianas, de forma que kajaiaa zyx

rrrr ++= y kbjbibb zyx

rrrr++= .

6.- ¿Cuánto valen los siguientes productos vectoriales?

a) ( ) k5j2i3arrrr ×+=

b) ( ) ( )k10j6k4i8b

rrrrr+×+=

7.- ¿Cuál es el origen de la magnitud vectorial momento de un vector respecto a un punto? __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

8.- ¿El momento de fuerzas es una magnitud escalar o vectorial? ¿Cómo se define? ¿Cuáles son sus unidades en SI? __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

EJERCICIOS 1.- Indique en cuál de los siguientes casos cr podría representar el producto vectorial de ar por b

r.

a) b) c) 2.- El módulo de ar es 5 unidades, mientras que el módulo de b

r es de 20

unidades. Estas dos magnitudes vectoriales forman entre sí un ángulo de 30º.

a) ¿Cuánto vale el módulo de barr× ?

b) ¿Y el de ab rr

× ? c) ¿Qué relación hay entre la magnitud vectorial que se obtiene al hacer ba

rr× y la que se obtiene al hacer ab rr

× ? 3.- Sea la magnitud vectorial k3i5a

rrr += (unidades). Indique cuál o cuáles de las siguientes magnitudes vectoriales son paralelas a ar :

a) j3i15b1rrr

+= (unidades) b) k8j6b2

rrr+= (unidades)

c) i5b3

rr= (unidades)

d) kib4

rrr+= (unidades)

ar br

cr

ar

br

cr

ar

br

cr

4.- Sean las magnitudes vectoriales k2j3i5arrrr ++= (unidades) y

k6j2ibrrrr

−+= (unidades).

a) Calcule barr× .

b) ¿Qué ángulo forman entre sí cr y ar ?

c) ¿Y qué ángulo forman cr y br

?

5.- Sean las magnitudes vectoriales j6i10arrr += (unidades) y k2j6b

rrr+−=

(unidades).

a) Calcule una magnitud vectorial que tenga de módulo 10 unidades y que sea perpendicular a las magnitudes vectoriales antes mencionadas.

b) ¿Cuál es el área del paralelogramo que forman ar y br

?

6.- En una región del espacio hay un campo magnético uniforme )T(k4,0B

rr= . Calcule la fuerza magnética ( ))Bv(qFm

rrr×= a la que se ven

sometidas las siguientes partículas:

a) Un protón (qp=1,6·10-19C) que se mueve a una velocidad

)sm(i108v 16 −⋅=rr

b) Un electrón (qe= -1,6·10-19C) que se mueve a la misma velocidad que el protón.

c) Un neutrón (qn=0 C) que se mueve a la misma velocidad que las dos partículas anteriores.

________________________________________________________

________________________________________________________

d) Un protón en reposo. ________________________________________________________

________________________________________________________

e) Un protón que se mueve con una velocidad )sm(k108v 16 −⋅=rr

________________________________________________________

________________________________________________________

7.- La magnitud vectorial )unidades(j3i2a

rrr +−= tiene por origen el punto (3,2).

a) Calcule el momento de dicho vector respecto al origen de coordenadas.

b) ¿Esta nueva magnitud es una magnitud vectorial? _______________________________________________________

_______________________________________________________

c) ¿Cuál es el origen del momento de ar respecto a (0,0)? _______________________________________________________

_______________________________________________________

8.- La fuerza j2i2F

rrr+= (N) está aplicada en el punto (1,2) (las distancias

están en metros).

a) Si se calculase el momento de esta fuerza respecto a un punto ¿Cuáles serían sus unidades?

b) ¿Cuánto vale el momento de Fr

respecto al punto (4,2)?

c) ¿Cuánto vale el momento de esta fuerza respecto al origen de coordenadas?

d) Si Fr

se desplaza a lo largo de su recta soporte de forma que su punto de aplicación es ahora el (3,4), ¿Cuánto vale en este caso el momento de Fr

respecto al origen de coordenadas?

9.- Realice el diagrama de fuerzas y calcule el momento de fuerzas respecto al centro de la polea, O, en las siguientes situaciones (suponga todas las poleas con masa):

a) Una polea sujeta al techo y sometida a una tensión 1Tr

(figura a).

b) Una polea de radio R, alrededor de la cual pasa una cuerda sometida a las tensiones 1T

r y 2Tr

, 21 TTrr

> (figura b)

c) Una polea cilíndrica acoplada formada por dos cilindros de radios r y R (r<R) que se encuentra sometida a las fuerzas 1T

r y 2T

r, 21 TT

rr>

(figura c).

Figura a Figura b Figura c

1Tr

1Tr

2Tr

1Tr

2Tr


b)

c)

10.- Realice el diagrama de fuerzas y calcule el momento de fuerzas respecto al centro del cilindro, O, en las siguientes situaciones:

a) Un cilindro de radio R que rueda por una superficie sin rozamiento con una cuerda enrollada de forma que ejerce sobre el cilindro una fuerza F

v en la parte superior del mismo (figura a).

b) Un cilindro de radio R que rueda por una superficie con rozamiento por lo que siente una fuerza RF

r, y además se le aplica en su centro una

fuerza Fv

(figura b). c) Idem al apartado a) pero de forma que F

v forma un ángulo β con la

horizontal (figura c).


β Fr

Fr

Fr


b)

c)

BLOQUE 2 MAGNITUDES VECTORIALES:

ÁLGEBRA Y EXPRESIÓN ANALÍTICA. ESTÁTICA DEL PUNTO.

MOMENTO DE FUERZA Y ESTÁTICA DEL SÓLIDO.

TEMA 9

ESTÁTICA DEL SÓLIDO


9.1. INTRODUCCIÓN.

En el tema 8 hemos estudiado la condición de equilibrio sobre un cuerpo cuando éste puede ser considerado puntual. Sin embargo cuando el cuerpo no puede ser considerado puntual, sino que presenta cierta estructura o dimensiones, la situación es distinta a la tratada en dicha lección. En este caso, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo o sólido rígido pueden en general estar aplicadas en distintos puntos del mismo, con lo que el problema es más complejo, y no es suficiente considerar a las fuerzas para establecer la condición de equilibrio. PPaarraa eessttee ttiippoo ddee ssiittuuaacciioonneess sseerráá nneecceessaarriioo tteenneerr eenn ccuueennttaa llooss mmoommeennttooss ddee llaass ffuueerrzzaass qquuee aaccttúúaann ssoobbrree ddiicchhoo ssóólliiddoo rrííggiiddoo. 9.2. ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO.

Al tratar un sólido rígido, las fuerzas darán cuenta de su traslación, mientras que los momentos de dichas fuerzas serán responsables de los giros o rotaciones del sólido. Por tanto, para garantizar el eeqquuiilliibbrriioo ddee uunn ssóólliiddoo rrííggiiddoo debe establecerse una condición de eeqquuiilliibbrriioo ppaarraa llaa ttrraassllaacciióónn y otra para el eeqquuiilliibbrriioo ddee rroottaacciióónn..

Con el siguiente ejemplo queremos poner de manifiesto, que efectivamente, no es suficiente un equilibrio de fuerzas para mantener a un cuerpo extenso en reposo, así como cual es el papel de las fuerzas y el de los momentos de las fuerzas.

Considérese el bloque (cuerpo extenso) de la figura, que se encuentra sometido además de a la acción de la Tierra (el peso, P

r) y del suelo en el

que se apoya (la normal, Nr

), a dos fuerzas de igual módulo, dirección y sentidos opuestos (las tensiones T

r y 'T

r) ejercidas, utilizando cuerdas, por

dos atletas. En este caso Tierra, suelo, cuerdas y atletas, son el medio, mientras que el bloque es el objeto de estudio.

Como los dos atletas tiran de la cuerda con la misma fuerza, los módulos de las dos tensiones son los mismo y se verifica que T'T

rr−= .

Pr

Nr

Tr

Tr

X

Y

A partir del diagrama de fuerzas de la figura se puede realizar la suma de las fuerzas sobre las direcciones X e Y indicadas en la figura. Como la mesa no se traslada en la dirección vertical (Y) la suma de fuerzas es esta dirección ha de ser nula. Es decir:

Eje Y: 0PN =−rr

Además, en la dirección horizontal las únicas fuerzas a considerar son las dos tensiones, por lo que

Eje X: 0'TT'TTrr

rr

=↑=−

EEss ddeecciirr,, llaa ssuummaa ddee llaass ffuueerrzzaass qquuee aaccttúúaann ssoobbrree eell ccuueerrppoo eess nnuullaa yy ppoorr lloo ttaannttoo ssee ccuummppllee llaa ccoonnddiicciióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo eessttaabblleecciiddaa ppaarraa llaa ttrraassllaacciióónn.

Sin embargo, es bien sabido que en esta situación el bloque va a experimentar un giro, o un movimiento de rotación, como consecuencia de la acción de los atletas. La causa de este movimiento está en el hecho de que llaass llíínneeaass ddee aacccciióónn ddee aammbbaass ffuueerrzzaass nnoo ssoonn llaass mmiissmmaass,, yy eennttoonncceess,, ddiicchhaass ffuueerrzzaass ddaann lluuggaarr aa uunn mmoommeennttoo ddee ffuueerrzzaass rreessuullttaannttee nnoo nnuulloo ssoobbrree eell ccuueerrppoo;; eess eessttee mmoommeennttoo rreessuullttaannttee eell ccaauussaannttee ddeell mmoovviimmiieennttoo ddee rroottaacciióónn.

Para determinar el momento de fuerzas tomemos el punto O, situado en el centro del bloque, como punto respecto del cual calculamos el momento de cada una de las fuerzas actuando sobre el bloque. Entonces se tiene que tanto la normal como el peso tienen momento de fuerzas nulo respecto a O, la primera porque Nr

r es paralelo a Nr

, mientras que la segunda porque tiene su origen en el mismo punto O. Por tanto, las únicas fuerzas que tienen momento de fuerzas no nulo respecto a O son las dos tensiones. La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas aplicadas sobre el bloque visto desde arriba, y a partir de esta figura es fácil ver que:

)T(r'Tr)'T(M;Tr)T(M

0Nr)N(M;0Pr)P(M

T'TOTO

NOPOrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

−×−=×=×=

=×==×=

Por lo que el momento de fuerzas resultante sobre el bloque es distinto de cero:

0Tr2)'T(M)T(M)N(M)P(MM TOOOOOrrrrrrrrrrrr

≠×⋅=+++=

La situación es distinta si las fuerzas que ejercen los dos atletas tienen la

misma línea de acción tal y como se muestra en la siguiente figura.

EEnn eessttee ccaassoo ssee ssiigguuee ccuummpplliieennddoo qquuee llaa rreessuullttaannttee ddee llaass ffuueerrzzaass

eess cceerroo,, yy aaddeemmááss,, ccoommoo Trr

yy Tr

ssoonn ppaarraalleellooss,, eell mmoommeennttoo ddee ffuueerrzzaass rreessuullttaannttee eess cceerroo;; ccoommoo ccoonnsseeccuueenncciiaa llaa mmeessaa ppeerrmmaanneecceerráá eenn rreeppoossoo. En efecto,

0Tr2)'T(M)T(M)N(M)P(MMTr

TOOOOTO

T

rrrrrrrrrrrr

rr↑=×⋅=+++=

PPoorr ttaannttoo,, ppaarraa uunn ssóólliiddoo rrííggiiddoo ssoobbrree eell qquuee aaccttúúaann llaass ffuueerrzzaass 1Fr

,,

2Fr

yy 3Fr

llaass ccoonnddiicciioonneess ddee eeqquuiilliibbrriioo ssoonn:

EEqquuiilliibbrriioo ddee ttrraassllaacciióónn: 0FFF 321rrrr

=++ EEqquuiilliibbrriioo ddee rroottaacciióónn: 0)F(M)F(M)F(M 3O2O1O

rrrrrrr=++

ssiieennddoo OO uunn ppuunnttoo aarrbbiittrraarriioo,, ddeennoommiinnaaddoo ppuunnttoo ddee rreedduucccciióónn. 9.3. PAR DE FUERZAS. BRAZO DE PALANCA

Se define el par de fuerzas como dos fuerzas 1Fr

y 2Fr

que actúan sobre un cuerpo y tienen el mismo módulo y dirección pero sentidos opuestos. La

Pr

Nr

Tr

'Tr

Trr 'TrrO O

Tr

'Tr

Trr'Trr

Pr

Nr

Tr

'Tr

O Trr'Trr

OTr

'Tr

Trr

'Trr

distancia entre las líneas de acción de ambas fuerzas recibe el nombre de brazo de palanca del par de fuerzas.

EEll pprriimmeerroo ddee llooss eejjeemmppllooss aanntteerriioorreess eess uunnaa ccaassoo ddee ppaarr ddee ffuueerrzzaass yyaa qquuee llaass ddooss tteennssiioonneess ttiieenneenn eell mmiissmmoo mmóódduulloo,, llaa mmiissmmaa ddiirreecccciióónn yy sseennttiiddooss ddiiffeerreenntteess.. HHaacciieennddoo uunn ddiiaaggrraammaa ddee ffuueerrzzaass ddee ddiicchhoo eejjeemmpplloo eenn eell qquuee ssóólloo ssee ccoonnssiiddeerreenn llaass ffuueerrzzaass hhoorriizzoonnttaalleess llaa ssiittuuaacciióónn sseerrííaa:

En este ejemplo el brazo de palanca es D, de forma que el módulo del

momento resultante es:

DTdT2Tr2M TO ⋅=⋅⋅=×⋅=rrrrr

EEnn rreessuummeenn,, eell ppaarr ddee ffuueerrzzaass ssee ccaarraacctteerriizzaa ppoorr tteenneerr uunnaa rreessuullttaannttee ddee ffuueerrzzaass nnuullaa mmiieennttrraass qquuee eell mmoommeennttoo eess nnoo nnuulloo,, ddee mmooddoo qquuee ddaa lluuggaarr aa uunn eeqquuiilliibbrriioo eenn llaa ttrraassllaacciióónn ppeerroo nnoo eenn llaa rroottaacciióónn. 9.4. CUESTIONES DE CONTROL 1.- ¿Qué entiende por cuerpo extenso?. ¿Y por sólido rígido?. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2.- Ponga un ejemplo de sólido rígido y considere una situación en la que pueda ser aproximado a una partícula y otra en la que no. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

O

θ

Tr

Tr

Trr

θ= senrd T

r D=2 d

3.- Considere un sólido rígido sobre el que actúan las fuerzas 1Fr

, 2Fr

y 3Fr

aplicadas respectivamente en los puntos P1, P2 y P3 del sólido. Además se tiene que las posiciones de estos puntos respecto de un punto O vienen dadas respectivamente por los vectores 1r

r , 2rr y 3r

r , y que el sólido se encuentra en equilibrio.

a) Haga un dibujo en donde se reflejen los datos del enunciado (un sólido, las fuerzas, los puntos, ...).

b) Escriba para esta situación las condiciones de equilibrio respecto del punto O.

4.- Sobre un sólido rígido están aplicadas las fuerzas 1Fr

, 2Fr

, 3Fr

y 4Fr

cuyos momentos respecto de un punto O son respectivamente )F(M 1O

rr,

)F(M 2Orr

, )F(M 3Orr

y )F(M 4Orr

. En el recuadro que acompaña a cada afirmación indique cuáles de las siguientes condiciones se cumplen (a, b, c, d ó ninguna).

a) Si 0FFFF 4321rrrrr

=+++ y 0)F(M)F(M)F(M)F(M 4O3O2O1Orrrrrrrrr

=+++ b) Si 0FFFF 4321

rrrrr=+++ y 0)F(M)F(M)F(M)F(M 4O3O2O1O

rrrrrrrrr≠+++

c) Si 0FFFF 4321rrrrr

≠+++ y 0)F(M)F(M)F(M)F(M 4O3O2O1Orrrrrrrrr

=+++ d) Si 0FFFF 4321

rrrrr≠+++ y 0)F(M)F(M)F(M)F(M 4O3O2O1O

rrrrrrrrr≠+++

• El sólido está en equilibrio • El sólido está en equilibrio de traslación • El sólido está en equilibrio de rotación • El sólido se traslada • El sólido rota • El sólido está en reposo

5.- ¿Qué se entiende por par de fuerzas?. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

6.- Si sobre un sólido rígido está aplicado un par de fuerzas, indique con V cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y con F las falsas.

ο El sólido se encuentra en equilibrio ο El sólido se encuentra en equilibrio de traslación ο El sólido se encuentra en equilibrio de rotación

EJERCICIOS 1.- Indique cuando está justificado utilizar la aproximación de partícula, en los siguientes casos.

οa) Determinación del tiempo que tarda la luna en dar una vuelta a la tierra.

οb) Estudio del movimiento de una esfera que desciende por un plano sin rozamiento, por lo que la esfera desliza y no rota.

οc) Estudio del movimiento de una esfera que desciende por un plano inclinado, existiendo rozamiento y donde la esfera rueda sin deslizar (hay rotación).

οd) Estudio de la estática de un cuerpo extenso cuando las fuerzas que actúan están aplicadas en puntos distintos del cuerpo.

2.- A continuación se representan una serie de poleas con masa (sencillas y dobles) en diferentes situaciones. Dibuje cada una de las fuerzas que actúan sobre las poleas.

a) b)

c) d)

3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, marcando con una cruz, cuando se encuentra el sólido rígido en equilibrio. En el caso en el que no haya equilibrio de rotación indique con una flecha el sentido de la rotación (sentido horario o antihorario).

4.- Considere el sólido rígido de la figura así como las fuerzas 1F

r, 2Fr

y 3Fr

que actúan sobre él. Sabiendo que dicho cuerpo se encuentra en equilibrio,

a) Dibuje los vectores 1rr , 2r

r y 3rr necesarios

para calcular los momentos de las correspondientes fuerzas respecto del punto O de la figura y escriba las condiciones de equilibrio respecto de dicho punto. b) Repita el apartado anterior pero expresando las condiciones de equilibrio respecto del punto O’ de la figura (denote ahora los vectores por 1r′

r , 2r′r y 3r′

r ).

O

O’

1Fr

2Fr

3Fr

a) b)

c) d)

Dibujo Condiciones de equilibrio a)

b)

5.- Considere una lámina delgada cuadrada de 2m de lado sometida a las fuerzas que se indican en la figura. Determine:

a) La fuerza resultante.

b) El momento de cada una de las fuerzas respecto del punto O que se indica, así como el momento resultante.

c) ¿Se encuentra el sólido en equilibrio?.

O

2Fr

1Fr

3Fr

4Fr

O

1Fr

2Fr

3Fr

O’

1Fr

2Fr

3Fr

a) =RF

r

b) =)F(M 1Orr

=)F(M 2Orr

=)F(M 3O

rr =)F(M 4O

rr

=ORM

r

c)

6.- Considere una varilla delgada de longitud L=2m y masa M=50kg. Sobre ella actúan fuerzas hacia abajo de 3500N, 2500N y 1000N a una distancia del extremo izquierdo de la varilla de 0, 0.75m y 2m respectivamente, y fuerzas de 4000N y 10000N que actúan hacia arriba a 0.50m y 1m, también respecto del extremo izquierdo de la varilla.

a) Dibuje la varilla y las fuerzas aplicadas, indicando las distancias de los puntos de aplicación de las diferentes fuerzas respecto del extremo izquierdo de la varilla, punto que denotaremos por O.

b) Calcule la fuerza resultante y el momento de fuerzas resultante respecto al punto O.

c) Determine el módulo, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar así como el vector de posición (respecto de O) de su punto de aplicación para que la varilla quede en equilibrio.

a)

b) =RFr

=oMr

c) =Fr

=rr

7.- Sobre un disco en equilibrio de radio r=1m actúa un par de fuerzas aplicado como se indica en la figura, siendo el módulo de las fuerzas del par de 10N. Si sustituimos el par de fuerzas por uno aplicado a una distancia d=r/2 del punto O, cuál debe ser el módulo de las fuerzas del nuevo par para que el momento resultante sea el mismo.

O O

BLOQUE 2




FICHA DE AUTOEVALUACIÓN (BLOQUE 2)

1.- Dado el vector kj8i3arrrr +−= , su módulo vale:

θ a) 12 θ b) -4 θ c) 12 θ d) 74 2.- Dado los vectores de la figura realice gráficamente las operaciones

c3b2a rrr ++ y c2b3a rrr +−

3.- Indique cual de los vectores siguientes es un vector unitario:

θ a) kjirrr

++ θ b) ( )kji22 rrr

++

θ c) ( )kji3

1 rrr++ θ d) kj

rr+

4.- Los ángulos que forma el vector ji3r

rrr += con los ejes de coordenadas OX y OY son respectivamente:

θ a) 60º y 30º θ b) 90º y 0º θ c) 45º y 45º θ d) 30º y 60º 5.- Dados los vectores )1,2,3(A

r y ( )3,4,1B −−

r, el vector BA

rr− tiene de

componentes:

θ a) (4,6,4) θ b) (2,6,-2) θ c) (4,-2,4) θ d) (-4,2,-4)

ar

br

cr

6.- Sean los vectores ki2arrr −= y k5j2i3b

rrrr+−= . El producto escalar

entre ambos vale:

θ a) k5i6rr

− θ b) 1 θ c) 5 θ d) k4j2i5rrr

+− 7.- Para los vectores dados en la cuestión anterior, ¿qué vale el coseno del ángulo que forman ambos vectores?

θ a) 2

1 θ b) 0.5 θ c) 130º θ d) 1901

8.- ¿Puede darse como dato en un problema de estática la velocidad del cuerpo a estudiar? ¿y en uno de equilibrio?. Justifique su respuesta. __________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

9.- Un cuerpo apoyado en un plano horizontal y en equilibrio, está sometido a las siguientes fuerzas: 1F

r, su peso, P

r, una fuerza de rozamiento, RF

r, y a

una rección de suelo, Nr

. Si las únicas fuerzas en la dirección horizontal son 1Fr

y RFr

, y 1Fr

es ejercida hacia la derecha: a) Realice el diagrama de fuerzas del bloque: b) ¿Cuál ha de ser el módulo dirección y sentido de RF

r?.

c) ¿Cuál será la relación entre Pr

y Nr

?

10.- El bloque de masa M (ver figura) está en equilibrio, apoyado sobre un resorte al que contrae. El módulo de la fuerza elástica que ejerce el resorte sobre el bloque es F’e, si F’e>Mgsen30.

a) Realice el diagrama de fuerzas sobre el bloque.

b) Determine el módulo de la fuerza de rozamiento.

Diagrama Cálculos

11.- Sean las magnitudes vectoriales kji2arrrr ++−= (unidades) y

k6j3i5brrrr

−+= (unidades).

a) Calcule bacrrr ×= .

b) ¿Qué ángulo forman entre sí cr y ar ?¿Y cr y br

? ________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

M

c) Calcule una magnitud vectorial que tenga de módulo 10 unidades y que sea perpendicular a ar y b

r, dv

.

d) ¿Cuál es el área del paralelogramo que forman ar y br

?

12.- Dado un sistema de dos poleas acopladas de radios R2 y R3 (R2>R3) sometido a 1T

r, 2Tr

y 3Tr

, 1Tr

> 2Tr

( ver figura). a) Realice el diagrama de fuerzas que actúan sobre las poleas. b) Calcule el momento de fuerzas respecto al centro de las poleas, O.

Diagrama de fuerzas Cálculos

x

y

2Tr

1Tr 3T

r

R3

R2

13.- Un cilindro de radio R que rueda por una superficie sometido a una fuerza de rozamiento con el suelo dirigida hacia la derecha, RF

r. Tiene una

cuerda enrollada que ejerce sobre el cilindro una fuerza Fv

en la parte superior del mismo ( ver figura).

a) Realice el diagrama de fuerzas

b) Calcule el momento de fuerzas respecto al centro del cilindro, O

Diagrama Cálculos

14.- Dado el sólido rígido de la figura (lámina delgada en forma de cruz) y la fuerzas que actúan sobre el mismo:

a) Seleccione un sistema coordenado de ejes XY con origen en O y exprese en dichos ejes coordenados las fuerzas. Dibuje los ejes seleccionados así como los correspondientes vectores unitarios. b) Determine el momento de las fuerzas respecto del punto O.

Fr

O

1Fr

3Fr

2Fr

15.- Indique en cada uno de los siguientes casos, marcando con una cruz, cuando se encuentra el sólido rígido en equilibrio. En el caso en el que no haya equilibrio de rotación indique con una flecha el sentido de la rotación (sentido horario o antihorario).

a) ο b) ο 16.- A continuación se representan una serie de poleas con masa en diferentes situaciones. Dibuje cada una de las fuerzas que actúan sobre las poleas e indique el sentido de giro (horario o antihorario) en aquellos casos en los empieza a rotar. Justifique la respuesta

1Tr

2Tr

T1>T2

a) b) c) d)

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN

1.- d)

3.- c)

4.- d)

5.- c)

6.- b)

7.- d)

8.- No, en un caso de estática no hay movimiento, sin embargo puede haber equilibrio ya que en este caso es suficiente con que la velocidad sea constante.

b)Para que esté en equilibrio la fuerza de rozamiento ha de tener la misma dirección y el mismo módulo que F1 pero sentido contrario. c) N-P

rr=

b) 30MgsenF'F er −=

11.- a) 2 (un.)k11-j7-i9-crrrr =

b) con ambos forma un ángulo de 90º

c) )k11j7i9(25110d

rrrr++−=

c2b3a rrr +−

c3b2a rrr ++

2.-

Pr

Nr

rFr

1Fr9.- a)

Pr

Nr

rFr eF

r

10.- a)

d) 2 (un.)251cárea == r

b) ( )[ ]kTRTTRM 33212o

rr+−−=

b) ( ) kFFRM ro

rr−−=

14.- a) j3F;j4F;j3i3F 321rrrrrrr

=−=−= b) k18Mo

rr−=

15.- En el primer caso hay equilibrio de traslación y rotación. En el segundo caso no hay equilibrio, gira en sentido antihorario y se traslada hacia arriba.

[ ]kTRTRM 1122o

rr−−= y como R2T2

> R1T1 gira en sentido horario

( )[ ]kTRTTRM 32211o

rr+−−= y como

T1 > T2 y T3 favorece el giro en el mismo sentido que T1, giro en sentido antihorario.

Pr

3Tr

1Tr

2Tr R

r12.- a)

Pr

Nr

rFr

Fr

13.- a)

Pr

Rr

16.- a) Equilibrio

Pr

Rr

b) Equilibrio

Pr

1Tr 2T

r

Rrc)

Pr

3Tr

1Tr

2Tr R

r

d)

BLOQUE 3 CONOCIMIENTOS ELEMENTALES DE

CINEMÁTICA. DESCRIPCIÓN ESCALAR Y

VECTORIAL DEL MOVIMIENTO. MOVIMIENTOS

RECTILÍNEO Y CIRCULAR. MOVIMIENTO

CURVILÍNEO: COMPONENTES INTRÍNSECAS DE

LA ACELERACIÓN

TEMA 10

TRAYECTORIA, VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y

ESPACIO RECORRIDO

José Luis Trenzado Diepa Rafael Rodríguez Pérez

10.1. INTRODUCCIÓN: CINEMÁTICA Y MOVIMIENTO.

La CCiinneemmááttiiccaa es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta la causa que lo origina.

El movimiento es un fenómeno físico muy frecuente en la naturaleza. Un cuerpo se mueve cuando cambia su posición en el espacio. Para apreciar el cambio de posición resulta necesario referir el movimiento a un punto fijo, y que en general se denomina SSiisstteemmaa ddee RReeffeerreenncciiaa.

Por tanto, podemos definir el mmoovviimmiieennttoo como el cambio de posición de un cuerpo respecto del sistema de referencia elegido.

En CCiinneemmááttiiccaa, cualquier cuerpo en movimiento se denomina mmóóvviill y se considera como una ppaarrttííccuullaa oo ppuunnttoo mmaatteerriiaall, debido a que, en general, las dimensiones del cuerpo son mucho menores que las distancias que recorre. 10.2. TRAYECTORIA, ESPACIO RECORRIDO Y DESPLAZAMIENTO.

La línea que describe un móvil en su movimiento se denomina ttrraayyeeccttoorriiaa, cuya longitud da la ddiissttaanncciiaa oo eessppaacciioo rreeccoorrrriiddoo por el móvil.

El ddeessppllaazzaammiieennttoo de un punto móvil es la ddiissttaanncciiaa en llíínneeaa rreeccttaa entre sus ppoossiicciioonneess iinniicciiaall yy ffiinnaall.

10.3. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.

Desde el punto de vista cinemático el movimiento puede estar descrito mediante la trayectoria y la posición del móvil sobre la misma (contada desde el punto tomado como referencia) para cualquier instante de tiempo.

t = 0

t = t

A

B

Existe una relación entre la posición de un móvil en la trayectoria, que denotaremos por la letra s, y el tiempo. Dicha relación se expresa matemáticamente por la denominada eeccuuaacciióónn ddeell mmoovviimmiieennttoo: )t(ss = . 10.4. VELOCIDAD.

Generalmente los móviles no llevan en todo momento igual rapidez en su marcha. Resulta por ello útil introducir una magnitud física que de cuenta de dichos cambios, siendo esta la vveelloocciiddaadd. 10.4.1. VELOCIDAD MEDIA.

La vveelloocciiddaadd mmeeddiiaa es la distancia que, por término medio, recorre un móvil en el intervalo de tiempo empleado en recorrerla. Se calcula entonces como:

ts

ttssv

12

12m ∆

∆=

−−

=

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es el ms-1 y su ecuación de dimensiones es [ ] 1LTv −= . Otra forma habitual de expresar la velocidad es en Kmh-1 (1 ms-1 = 3.6 Kmh-1). 10.4.2. VELOCIDAD INSTANTÁNEA.

La velocidad media no da una idea exacta del movimiento de un cuerpo ya que, en cada punto de la trayectoria, la velocidad puede variar. La

B

P

A

velocidad calculada en cada punto, o lo que es lo mismo, en cada instante del movimiento es su vveelloocciiddaadd iinnssttaannttáánneeaa. Esta se define como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir:

tslimvlimv

0tm0t ∆∆

==→∆→∆

Matemáticamente esta última ecuación implica que la velocidad instantánea es la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo, y por

tanto podemos escribir que dtdsv = .

10.5. ACELERACIÓN.

La aacceelleerraacciióónn en el movimiento aparece siempre que haya cambios en la velocidad. Para establecer la definición de esta magnitud física procederemos de forma análoga al apartado anterior. 10.5.1. ACELERACIÓN MEDIA.

La aacceelleerraacciióónn mmeeddiiaa de un movimiento se define como el cociente entre el cambio de velocidad por unidad de tiempo en el intervalo de tiempo, y viene dada por tanto por la siguiente expresión:

tv

ttvva12

12m ∆

∆=

−−

=

La unidad en el S.I. es el ms-2 y su ecuación de dimensiones es [ ] 2LTa −= . 10.5.2. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA.

El cálculo de la aceleración de un móvil en un instante puede realizarse de forma semejante al de la velocidad instantánea. En este caso, la aceleración instantánea vendrá dada por:

dtdv

tvlima

0t=

∆∆

=→∆

con lo que podemos definir la aacceelleerraacciióónn iinnssttaannttáánneeaa como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, y nos dará cuál será la aceleración del móvil en cada punto de la trayectoria, o lo que es lo mismo, en cada instante de tiempo.

10.6. OBTENCIÓN POR INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA POSICIÓN Y DE LA VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO 10.6.1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CONSTANTES Ó DEPENDIENTES DEL TIEMPO.

Dada la velocidad en cualquier instante de tiempo y las condiciones iniciales para la posición, se puede obtener la posición para cualquier instante de tiempo. Para ello, basta con integrar la relación entre el espacio infinitesimal recorrido y el tiempo infinitesimal empleado:

∫∫ =t

t

s

s 00

dtvds

Si la velocidad del móvil es constante, esta se extraería de la integral, obteniendo:

( )00 ttvss −=−

Por el contrario, si la velocidad es una función del tiempo debe realizarse la integral temporal teniendo en cuenta, para ello, la dependencia funcional de la velocidad con el tiempo.

Igualmente, dada la aceleración para cualquier instante de tiempo y las condiciones iniciales para la velocidad se puede obtener la expresión de la velocidad para cualquier instante de tiempo empleando la expresión:

∫∫ =t

t

v

v 00

adtdv

Si la aceleración es independiente del tiempo, se obtiene:

( )00 ttavv −=−

10.6.2. VELOCIDAD QUE DEPENDE DE LA POSICIÓN O ACELERACIÓN QUE

DEPENDE BIEN DE LA POSICIÓN O DE LA VELOCIDAD.

En el apartado anterior se obtuvieron las expresiones para obtener la posición a partir de la velocidad o bien la velocidad a partir de la aceleración. Para ello, sólo bastaba con realizar las pertinentes integrales temporales.

Sin embargo, hay situaciones en las que esto no es posible. Tales son cuando sólo conocemos la velocidad en función de la posición o la aceleración en función de la velocidad. En estos casos, al no conocer la

dependencia con el tiempo de esas magnitudes de una forma explícita, no es posible realizar la integración temporal directa como en el apartado anterior.

10.7. CUESTIONES DE CONTROL.

1.- Defina Sistema de Referencia y justifique su necesidad en Cinemática.

2.- Defina trayectoria, desplazamiento y espacio recorrido.

3.- Explique la diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad media.

4.- Defina la aceleración media.

EJERCICIOS

1.- La ecuación de un determinado movimiento es: 8t2t4s 2 ++= (SI). Determine la celeridad y la aceleración a los 2 segundos. 2.- La ecuación de un determinado movimiento viene dada por la expresión:

3tt510s ++= (SI). Determine la distancia al origen, la velocidad y la aceleración al cabo de 5 segundos de iniciado el movimiento. 3.- La distancia alcanzada por un proyectil disparado verticalmente hacia arriba viene dada por la expresión: 2t5t800s −= (SI). Deduzca las expresiones de su velocidad y aceleración y el tiempo para el cual se anula la velocidad. 4.- La ecuación de un determinado movimiento es: 5t2t8t6s 23 −++= (SI). Determine el espacio recorrido, la velocidad y la aceleración al cabo de 3 segundos, así como el espacio que recorrió el móvil durante el tercer segundo. 5.- La expresión del desplazamiento frente al tiempo para un movimiento a lo largo del eje X viene dada por 2tt1020x −+= (m). (a) Encuentre el instante de tiempo a partir del cual la velocidad se hace negativa. (b) Determine la posición del móvil en los instantes 0t = , 5t = y 8t = segundos. (c) Calcule el espacio recorrido entre los instantes 0t = y 5t = s, y también entre los instantes 0t = y 8t = s. 6.- Determine en qué instante de tiempo tendrán la misma velocidad dos móviles cuyas respectivas ecuaciones del movimiento son:

⎭⎬⎫

+=++=

8t6s6t5t3s

2

21 (SI)

7.- La velocidad de un móvil sobre una trayectoria determinada viene dada por 4t2v += ms-1. Calcule la posición del móvil para cualquier instante de tiempo sabiendo que en el instante inicial su posición era 5 m respecto al origen. 8.- La velocidad de un móvil sobre una trayectoria determinada viene dada en función de la posición sobre la misma por 5s2v += . Sabiendo que en

0t = su posición respecto al origen es 3s0 = m, determine la posición en función del tiempo. 9.- La aceleración de un movimiento viene dada en función de la velocidad como v4a −= ms-2. Sabiendo que cuando 0t = s la velocidad y posición iniciales eran de 10 ms-1 y 0 m, respectivamente, encuentre las expresiones de la velocidad y de la posición en función del tiempo.






LA ACELERACIÓN

TEMA 11

MOVIMIENTOS RECTILÍNEO Y CIRCULAR


11.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO. Un movimiento de un móvil es rreeccttiillíínneeoo cuando la trayectoria que

describe dicho móvil es en llíínneeaa rreeccttaa. 11.1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.

Si en un movimiento permanece la vveelloocciiddaadd ccoonnssttaannttee, dicho movimiento se denomina uunniiffoorrmmee. En éste, la velocidad media y la velocidad instantánea coinciden. Por tanto, un movimiento rectilíneo en el que la velocidad permanezca constante se denomina mmoovviimmiieennttoo rreeccttiillíínneeoo uunniiffoorrmmee (MRU) y el espacio recorrido por el móvil en un tiempo t viene dado por la expresión:

( )00 ttvss −+=

donde 0s es el espacio recorrido por el móvil en el instante inicial )tt( 0= . Si se representa en un sistema de ejes coordenados los valores de la velocidad en ordenadas y los del tiempo en abscisas (representación que se conoce como ddiiaaggrraammaa vveelloocciiddaadd--ttiieemmppoo), se obtiene, en un MRU, una línea recta paralela al eje de los tiempos, puesto que la velocidad permanece constante.

Si lo que se representa en el sistema de ejes son los valores de las magnitudes espacio y tiempo, se obtendrá el denominado ddiiaaggrraammaa eessppaacciioo--ttiieemmppoo. Para un MRU el resultado consistirá en una línea recta, cuya pendiente coincide numéricamente con el valor de la velocidad.

t

v

ctev =

11.1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.

Un movimiento rectilíneo en el que la velocidad varíe es un mmoovviimmiieennttoo rreeccttiillíínneeoo vvaarriiaaddoo. El caso más sencillo de éste se presenta cuando la velocidad varía proporcionalmente con el tiempo (depende linealmente de él). Por tanto, la aceleración es constante y se le denomina mmoovviimmiieennttoo rreeccttiillíínneeoo uunniiffoorrmmeemmeennttee vvaarriiaaddoo. En esta última situación, si el móvil aumenta su velocidad con el tiempo, tendremos un movimiento rectilíneo uniformemente aacceelleerraaddoo, y si disminuye, un movimiento rectilíneo uniformemente rreettaarrddaaddoo. Dos ejemplos de movimiento uniformemente variados son la caída libre de un móvil hacia la superficie de la Tierra y la caída por un plano inclinado sin rozamiento.

En un movimiento uniformemente variado, la velocidad cambia en proporción directa al tiempo transcurrido, según la ecuación:

t

s

vtss 0 +=

0s

α

)tt(avv 00 −+=

El diagrama velocidad-tiempo, en este caso, consistirá en una línea recta cuya pendiente coincidirá numéricamente con el valor de la aceleración (ver figura adjunta, en donde se ha supuesto el instante inicial 0t0 = segundos).

El espacio recorrido en función del tiempo vendrá dado por la ecuación:

( ) ( )20000 tta21ttvss −+−+=

y el diagrama espacio-tiempo consistirá en una gráfica similar a la de la figura (en la que se ha supuesto que el instante inicial es 0 segundos).

t

v

0v

tavv 0 +=

200 ta

21tvss ++=

t

s

s0

Finalmente, y debido a que la aceleración en este tipo de movimiento es constante, el diagrama aceleración-tiempo consistirá en una línea recta paralela al eje de abscisas.

11.2. MOVIMIENTO CIRCULAR.

Un móvil realiza un mmoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr cuando describe una ttrraayyeeccttoorriiaa cciirrccuullaarr alrededor de un eje. Un ejemplo de él es el movimiento que describe el extremo del segundero de un reloj.

En la descripción de estos movimientos resulta conveniente introducir las denominadas mmaaggnniittuuddeess aanngguullaarreess. La primera de ellas sería la posición del móvil en la trayectoria circular, que viene determinada por el ángulo )t(ϕ descrito a partir de su posición inicial.

t

a

ctea =

ϕ (t) r

La unidad en el SI de la posición angular es la del ángulo plano y se denomina rraaddiiáánn (rad). El número de radianes se encuentra dividiendo el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria circular entre la longitud del radio de la trayectoria:

Rs

=ϕ

Como se desprende de la expresión anterior, el ángulo descrito no tiene ecuación de dimensiones.

Es frecuente expresar el ángulo descrito en ggrraaddooss sseexxaaggeessiimmaalleess. La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es sencilla. Sólo es necesario saber que a una circunferencia le corresponde un ángulo de 360º o de π2 radianes.

11.2.1. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR.

Se define la vveelloocciiddaadd aanngguullaarr iinnssttaannttáánneeaa como la derivada del ángulo descrito respecto a la unidad de tiempo:

dtdϕ

=ω

Su unidad en el SI es el rads-1, o s-1 puesto que el radián es adimensional, y su ecuación de dimensiones es [ ] 1T−=ω . Es usual expresar la velocidad angular en lugar de rads-1 en rreevvoolluucciioonneess ppoorr mmiinnuuttoo (r.p.m.), que es el número de vueltas que realiza el móvil por minuto. La equivalencia entre ambas es sencilla:

1rads602.m.p.r1 −π

=

Se define la aceleración angular instantánea a la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo:

2

2

dtd

dtd ϕ

=ω

=α

Su unidad en el SI es el rads-2 o s-2, y su ecuación de dimensiones es [ ] 2T−=α .

11.2.2. RELACIONES ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y LAS ANGULARES.

De acuerdo con la definición de radián, el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria viene dado por:

Rs ⋅ϕ=

donde R es el radio de la circunferencia. Derivando la expresión anterior respecto al tiempo y teniendo en cuenta que el radio es constante se obtiene:

Rv ⋅ω= y derivando nuevamente con respecto al tiempo:

Ra ⋅α= 11.2.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

El mmoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr uunniiffoorrmmee es un movimiento circular en el que la velocidad angular es constante. En este caso el movimiento es ppeerriióóddiiccoo y el móvil pasa por cada punto del círculo a intervalos iguales de tiempo. Se define el ppeerriiooddoo T como el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución. La ffrreeccuueenncciiaa, ν , se define como el número de revoluciones por unidad de tiempo. Ambas cantidades están relacionadas por la siguiente expresión:

T1

=ν

Cuando el periodo se expresa en segundos la frecuencia debe expresarse en s-1, unidad denominada hheerrttzz (Hz).

Si la velocidad angular es constante, entonces integrando la ecuación que define la velocidad angular a partir de la posición angular, se obtiene:

( )00 tt −ω+ϕ=ϕ

donde 0ϕ es la posición angular inicial del móvil. Formalmente, esta última ecuación es similar a la obtenida para el movimiento rectilíneo uniforme. Si suponemos que el instante inicial se corresponde a 0 segundos y que para ese instante el móvil no ha descrito ningún ángulo, la expresión anterior se simplifica:

tt ϕ

=ω⇒ω=ϕ

Para una revolución completa, Tt = y π=ϕ 2 , resultando:

πν=π

=ω 2T2

11.2.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO.

El mmoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr uunniiffoorrmmeemmeennttee vvaarriiaaddoo consiste en un movimiento circular en el que la aceleración angular es constante. Por tanto, integrando la expresión que define la aceleración angular instantánea, se obtiene:

( )00 tt −α+ω=ω

donde 0ω es la velocidad angular del móvil en el instante inicial. Integrando nuevamente esa expresión con respecto al tiempo, se llega a:

( )20000 tt21)tt( −α+−ω+ϕ=ϕ

Ambas expresiones coinciden formalmente con las correspondientes obtenidas en el movimiento rectilíneo uniformemente variado. 11.2.5. ACELERACIÓN NORMAL Y ACELERACIÓN TANGENCIAL EN UN

MOVIMIENTO CIRCULAR.

Considérese a continuación un vector tangente en cada punto a la trayectoria circular del móvil cuyo módulo sea la velocidad. A dicho vector lo denominaremos vector velocidad.

La rapidez con que cambia el módulo de dicho vector con el tiempo se conoce como aacceelleerraacciióónn ttaannggeenncciiaall, y viene dada por

dtvd

at

r=

Si se considera un movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad permanece constante, con lo que la aceleración tangencial es nula. Sin embargo, a lo largo de la trayectoria circular descrita por el móvil, la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, al ser tangente a la trayectoria en cada punto. Este cambio instantáneo en la velocidad respecto al tiempo debido a su cambio de dirección viene dado por un vector con

dirección radial y con sentido hacia el centro de la circunferencia y cuyo módulo viene dado por:

Rva

2

n =

siendo R el radio de la circunferencia. Este vector recibe el nombre de aacceelleerraacciióónn nnoorrmmaall del movimiento.

En resumen, en un movimiento circular en general se encuentran dos tipos de aceleración: la aceleración tangencial, relacionada con el cambio en el módulo de la velocidad, y la aceleración normal, relacionada con el cambio en dirección de la velocidad. 11.3. CUESTIONES DE CONTROL. 1.- Deduzca las expresiones de la velocidad y el espacio recorrido para el

movimiento rectilíneo uniformemente variado.

2.- Explique la diferencia entre un movimiento rectilíneo uniforme y uno rectilíneo uniformemente variado.

3.- Explique la diferencia entre un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y uno retardado.

4.- Determine a cuántos grados sexagesimales equivale un radián.

5.- Aceleración normal y aceleración tangencial: defina y exponga cómo se calculan.

EJERCICIOS

1. La ecuación de un movimiento en el SI es 5t21t2s 2 ++= .

a) Calcule el espacio y la velocidad iniciales. b) Calcule la aceleración y la distancia recorrida al cabo de 3 segundos. c) Realice los diagramas v-t y a-t de este movimiento.

2. Un móvil posee una aceleración constante de 2 ms-2 y una velocidad inicial de 5 ms-1.

a) Determine la velocidad que llevará al cabo de 5 s. b) Calcule la distancia que habrá recorrido en ese tiempo. c) Realice el diagrama v-t de este movimiento.

3.- Un móvil se desplaza por una recta con movimiento uniformemente variado. En los instantes 1, 2 y 3 segundos, las distancias son 140, 180 y 200 metros, respectivamente. Determine la aceleración que lleva el móvil, su velocidad inicial y el espacio que recorrerá hasta detenerse totalmente. 4.- Un móvil lleva una velocidad de 40 ms-1. Se le comunica una aceleración de –2 ms-2. Determine el espacio que recorre hasta detenerse, el tiempo empleado para ello y la velocidad que lleva cuando han transcurrido 3 segundos desde que empieza a frenar. 5.- Dibuje un esquema de un diagrama v-t de un coche que arranca y acelera hasta alcanzar una cierta velocidad, continua con movimiento uniforme y frena después hasta detenerse totalmente. 6.- Una rueda de 15 cm de diámetro gira a razón de 300 r.p.m. y en 15 segundos, mediante la acción de un freno, logra detenerse. Calcule su aceleración angular y la aceleración lineal de un punto de su periferia. 7.- Un móvil describe en su movimiento una circunferencia de 8 cm de radio y su velocidad angular es de 20 r.p.m. Calcule:

a) Velocidad angular y aceleración centrípeta del punto. b) Periodo y frecuencia del movimiento.

8.- Siendo 30 cm el radio de las ruedas de un coche y 956 las revoluciones que dan por minuto, calcule:

a) Velocidad angular de las mismas. b) Velocidad del coche en ms-1 y Kmh-1. c) La aceleración radial de un punto situado en la periferia de dichas ruedas.

9.- Un tren eléctrico de juguete da vueltas en una pista circular de 2 m de radio, con una velocidad constante de 4 ms-1.¿Posee aceleración?. En caso afirmativo, determine su valor. 10.- Un coche parte del reposo en una vía circular de 400 m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 segundos de iniciada su marcha alcanza la velocidad de 72 kmh-1, desde cuyo momento conserva su velocidad. Determine:

a) La aceleración tangencial en la primera etapa de su movimiento. b) La aceleración radial en el momento de conseguir los 72 kmh-1.






LA ACELERACIÓN

TEMA 12

DESCRIPCIÓN VECTORIAL DEL MOVIMIENTO


12.1. VECTOR POSICIÓN.

En lecciones anteriores se ha visto que un movimiento queda descrito conociendo su trayectoria y, además, la expresión de la posición sobre la misma en función del tiempo, s = s(t), expresión que, como se ha dicho, se denomina ecuación de la trayectoria.

Cuando la trayectoria que describe el móvil es ccuurrvviillíínneeaa resulta necesario, para describir el movimiento, emplear la hheerrrraammiieennttaa vveeccttoorriiaall. En esta descripción vectorial, la posición de la partícula sobre una trayectoria viene dada por el extremo de un vector referido a un sistema de referencia prefijado. Dicho vector se denomina vveeccttoorr ddee ppoossiicciióónn y se denota por )t(rr .

Por comodidad tomaremos un sistema de referencia basado en un ssiisstteemmaa ddee ccoooorrddeennaaddaass oorrttoonnoorrmmaalleess ((ccaarrtteessiiaannoo)), con vectores unitarios que denominaremos i

r, jr

, kr

orientados en la dirección de los ejes X, Y, Z respectivamente. De esta forma, el vector de posición adopta la expresión:

k)t(zj)t(yi)t(x)t(rrrrr ++=

Si conocemos la expresión del vector de posición de la partícula en función del tiempo queda descrito completamente el movimiento de la misma, incluso la trayectoria. El ddeessppllaazzaammiieennttoo del móvil entre dos puntos, que será también un vector, se calculará como la diferencia entre los vectores de posición de los dos puntos considerados.

)t(rr

O

X

Y

Z

ttt)t(r)t(r)t(r

12

1122

∆+=−=∆ rrr

Asimismo, si el vector de posición es conocido, la eexxpprreessiióónn ppaarraammééttrriiccaa ddee llaa ttrraayyeeccttoorriiaa viene dada por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)t(zz)t(yy)t(xx

12.2. VECTOR VELOCIDAD.

Se define como vveeccttoorr vveelloocciiddaadd o simplemente velocidad, a la derivada

del vector de posición respecto al tiempo

dtrdvr

r =

el módulo de este vector coincide con la rraappiiddeezz oo cceelleerriiddaadd, es decir

vdtds

dtrdv ===r

r

La dirección, teniendo en cuenta la definición de la derivada de una función, es tangente a la trayectoria en cada punto. Si denotamos por tur al vveeccttoorr uunniittaarriioo ttaannggeennttee a la trayectoria en cada punto, la velocidad en dicho punto viene dada por:

1rr

O

X

Y

Z

2rr

rr∆t1t2

tuvv rr =

es decir

tt udtdsuv

dtrdv rrr

r ===

12.3. VECTOR ACELERACIÓN.

Se define el vveeccttoorr aacceelleerraacciióónn o simplemente la aceleración como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo:

2

2

dtrd

dtvda

rrr ==

El módulo de este vector, como se verá en una lección posterior, no coincide con el valor de la aceleración estudiada por el alumno en el tratamiento escalar de la cinemática.

Como se desprende de todo lo anterior, si conocemos el vector de posición de móvil para cualquier instante de tiempo podemos obtener el vector velocidad calculando su derivada respecto al tiempo, y el vector aceleración realizando una segunda derivada. Asimismo, si lo que se conoce es el vector aceleración podemos obtener los otros mediante integración con respecto al tiempo, esto es:

∫+=t

t0

0

dtavv rrr

)t(rr

O

X

Y

Z )t(vr

∫+=t

t0

0

dtvrr rrr

en estas últimas ecuaciones, 0rr y 0vr son, respectivamente, los vectores

posición y velocidad iniciales.

12.4. CUESTIONES DE CONTROL 1.- Defina los vectores posición y desplazamiento.

2.- Defina la rapidez o celeridad.

3.- Indique la dirección que posee, con respecto a la trayectoria, el vector velocidad. Explique por qué.

4.- Deduzca matemáticamente la expresión del vector posición para un movimiento en el que la aceleración es constante.

EJERCICIOS

1.- El vector de posición de un móvil viene dado por k5jtit2)t(r 2rrrr ++=

m. Encuentre las expresiones para la velocidad y la aceleración. 2.- El vector de posición de un punto en función del tiempo está dado por:

( ) ktj2titr 22rrrr +++= (SI). Determine su posición, velocidad y aceleración

en el instante t=2 s. 3.- La posición de una partícula, en función del tiempo, viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

5zt3y

tx 2

(SI)

Determine la velocidad y aceleración de la partícula, al cabo de 2 segundos de iniciarse el movimiento. 4.- Una partícula se desplaza a través de un plano XY con una velocidad

j3i)2t2(vrrr +−= (SI). Cuando t=2 s su vector de posición es j3i2r

rrr += (m). Determine la ecuación de la trayectoria de dicha partícula. 5.- Una partícula P se mueve en un plano, siendo su trayectoria la curva x⋅y=1 (x e y en metros). La proyección de su vector velocidad sobre el eje OY es constante e igual a –10 cms-1, y para t = 4 s, x = 2 m. Determine:

a) Ecuaciones del movimiento : x = x(t) e y = y(t). b) Posición, velocidad y aceleración de la partícula en los instantes 1 y 5 segundos.

6.- Una partícula se mueve en el espacio con una velocidad dada por:

kt31jmtiev 32t

rrrr −+= (SI)

Determine el vector de posición de la partícula en función del tiempo, sabiendo que en el instante inicial (t = 0) la partícula se encuentra en el punto (0,0,1) (SI).

7.- El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión: k5jtit2)t(r 2rrrr ++= (SI)

a) Determine la posición inicial y la posición para t = 1 s. b) Determine el vector desplazamiento entre esos dos instantes. ¿Coincide el módulo de este con el espacio recorrido por el móvil?. c) De la expresión cartesiana de la trayectoria.

8.- Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que su vector velocidad es:

( ) jt4it4t4v 3rrr ++= (SI)

Si la posición inicial del punto es (1,2) (en metros), encuentre la ecuación cartesiana de la trayectoria. 9.- Una partícula se mueve en el plano XY con una aceleración dada por:

jtcos3isent4arrr +−= (SI)

Si en el instante inicial ( t = 0) se encuentra en una posición dada por (0,3) y con una velocidad (4,0), determine la ecuación de la trayectoria y el valor de la velocidad para el instante π/4 s.






LA ACELERACIÓN

TEMA 13

SISTEMA DE REFERENCIA INTRÍNSECO O MÓVIL. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN


13.1. SISTEMA DE REFERENCIA INTRÍNSECO O MÓVIL.

En esta lección, vamos a hacer uso de algunos de los conceptos explicados en el Tema 11 sobre el movimiento circular.

Dada una trayectoria curvilínea genérica descrita por un móvil, en cada punto de la misma el movimiento se puede aproximar localmente por una circunferencia de radio máximo tangente a la trayectoria en dicho punto (véase la figura adjunta). El centro de dicha circunferencia se denomina cceennttrroo ddee ccuurrvvaattuurraa, y el radio de la misma, radio de curvatura. Denotando como nur al vveeccttoorr uunniittaarriioo nnoorrmmaall a la trayectoria en cada punto, el sistema de vectores tur (introducido en el Tema 12) y nur recibe el nombre de ssiisstteemmaa ddee rreeffeerreenncciiaa mmóóvviill oo iinnttrríínnsseeccoo que se define en cada punto la trayectoria que recorre el móvil.

Como ya se ha visto en la lección anterior, la velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cada punto, por tanto, en el sistema de referencia intrínseco vendrá dado, en cada punto, como:

tuvv rr =

13.2. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN.

De acuerdo con lo visto al estudiar el movimiento circular, la aceleración tiene dos componentes: la aacceelleerraacciióónn ttaannggeenncciiaall tar y la aacceelleerraacciióónn

tur

O

X

Y

Z

ρ

centrode

curvatura nur

nnoorrmmaall nar . La primera tenía dirección tangente en cada punto a la trayectoria y la segunda dirección normal. Como hemos visto en el apartado anterior, para cada punto de una trayectoria curvilínea, el movimiento se puede aproximar localmente por una circunferencia y, por tanto, en cada punto de dicha trayectoria podemos definir una componente tangencial y una normal de la aceleración en el sistema de referencia intrínseco. Estas componentes tendrán las direcciones de tur y nur , respectivamente.

En el sistema de referencia intrínseco la aceleración vendrá dada como:

nt aaa rrr +=

el módulo de este vector es: 2t

2n aaa +=r

El significado de cada una de las componentes se puede evidenciar fácilmente. En el sistema de referencia intrínseco la velocidad viene dada por

tuvv rr = por otra parte

dtvdar

r =

luego ( )

dtudvu

dtdv

dtuvda t

tt

rr

rr +==

ar

turtar

nurnar

O Y

Z

X

El primer sumando de la expresión anterior es un vector cuyo módulo representa la variación en el tiempo del módulo del vector velocidad y cuya dirección es tangente en cada punto a la trayectoria, luego debe corresponder con la aceleración tangencial:

tt udtdva rr =

por tanto, razonando a la inversa, la aceleración tangencial dará cuenta del cambio en el tiempo del módulo del vector velocidad.

Si el primer sumando es la aceleración tangencial, y dado que la descomposición en el sistema de referencia intrínseco es unívoca, el segundo término debe corresponder con la aceleración normal:

dtudva t

n

rr =

como se desprende de la expresión anterior, la aceleración normal dará cuenta de los cambios en el tiempo de la dirección del vector velocidad (recuerde que tur era el vector unitario que proporciona la dirección del vector velocidad en el sistema de referencia intrínseco).

Se puede demostrar, aunque aquí no se hará, que la aceleración normal viene dada por:

n

2

n uva rr

ρ=

debido a que el vector aceleración da cuenta de los cambios tanto en módulo como en dirección del vector velocidad, no coincide con la aceleración definida en el estudio escalar del movimiento. 13.3. CUESTIONES DE CONTROL 1.- Defina el sistema de referencia móvil o intrínseco. 2.- Defina los conceptos de centro y radio de curvatura. 3.- Defina las componentes intrínsecas de la aceleración. ¿Qué evalúa cada una de ellas?. 4.- Explique por qué no coincide el vector aceleración, ar , con la aceleración definida en el estudio escalar del movimiento (Tema 10). 5.- En un movimiento circular uniforme, ¿existiría nar ?, ¿por qué?. ¿Y tar ?, ¿por qué?.

EJERCICIOS

1.- El vector de posición de una partícula viene dado por :

k5jtit2)t(r 2rrrr ++= (SI)

Determine para t=1 s: a) Un vector unitario tangente a la trayectoria. b) Los vectores aceleración tangencial y normal. c) El radio de curvatura.

2.- La posición de una partícula en función del tiempo viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

5zt3y

tx 2

(SI)

Determine la velocidad y la aceleración de la partícula, así como el radio de curvatura de la trayectoria, al cabo de 2 segundos de iniciarse el movimiento. 3.- La trayectoria descrita por un móvil viene definida por el vector de posición:

jt2it4)t(r 2rrr += (SI)

Determine: a) Los vectores velocidad y aceleración del móvil, así como sus módulos respectivos. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración. c) El radio de curvatura de la trayectoria.

4.- El vector de posición de un punto material respecto a un sistema de ejes coordenados OXY viene dado por: ( ) ( ) jt2sent24it2cos14r

rvr −+−= (SI). Determine:

a) Los vectores velocidad y aceleración, así como sus módulos respectivos. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración. c) El radio de curvatura de la trayectoria.

5.- Un punto se mueve sobre una circunferencia de acuerdo con la ley: 23 t2ts += (SI)

siendo s la longitud del arco recorrido y t el tiempo. Si la aceleración total del punto al cabo de 2 s es 216 ms-2, ¿cuál es el radio de la circunferencia?. 6.- Las coordenadas de un cuerpo en función del tiempo vienen dadas por:

)SI(tcos2y

tsen2x

⎭⎬⎫

ω=ω=

Determine el valor de la velocidad en cualquier instante y las componentes tangencial y normal de la aceleración. 7.- Las coordenadas de un cuerpo en movimiento vienen dadas por:

( ))SI(

1ty

tx2

2

⎭⎬⎫

−=

=

a) Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria. (Ayuda: elimine el tiempo de las ecuaciones). b) Represente la trayectoria. c) Determine el instante de tiempo para el cual la velocidad es mínima. d) Encuentre las coordenadas cuando el módulo de la velocidad es 10 ms-1. e) Calcule las componentes tangencial y normal en cualquier instante de tiempo.

8.- Sea una partícula que tiene el siguiente vector de posición:

( ) k2j)t2(sen10it2cos5)t(rrrrr +π+π= (SI).

Determine: a) Las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de la trayectoria. b) El vector velocidad y la velocidad escalar a los 0,5 s. c) Los vectores aceleración tangencial y normal y radio de curvatura a los 0,5 s. d) La velocidad y aceleración media entre los instantes 0 y 1,5 s.

9.- Dos partículas que parten desde un mismo punto, describen un movimiento circular con sentidos contrarios. Una de ellas tiene una velocidad angular constante de 4 rad s-1, mientras que la otra se mueve con una aceleración angular constante de 2 rad s-2. Suponiendo que la posición angular inicial de ambas es de 0 rad y que el radio de la circunferencia es de 1 m, determine:

a) El tiempo que tardarán en encontrarse de nuevo. b) El desplazamiento angular de cada partícula. c) La velocidad que posee cada partícula en el instante en que se encuentran. d) Las aceleraciones tangencial y normal de las partículas en ese instante.






LA ACELERACIÓN


FICHA DE AUTOEVALUACIÓN (BLOQUE 3) 1.- Si la aceleración de un cuerpo en movimiento, es cero, la gráfica s (desplazamiento) frente a t (tiempo)

a) Es una recta con pendiente positiva. θ b) Es una parábola. θ c) Es una recta horizontal. θ

2.- La ecuación 2

21

00 attvxx +=−

a) Sólo es válida para movimientos rectilíneos con aceleración constante θ b) Sólo es válida para movimientos con velocidad constante. θ c) Es también aplicable a movimientos con velocidad constante. θ

3.- Dos objetos son lanzados verticalmente en sentidos opuestos con la misma velocidad inicial, entonces:

a) Tardan lo mismo en llegar al suelo. θ b) Los dos llegan al suelo con la misma velocidad. θ c) La velocidad con la que lleguen al suelo depende de la masa de cada uno θ

4.- Un objeto lanzado horizontalmente:

a) Tarda más en llegar al suelo que otro que se deja caer desde la misma altura. θ b) Tarda lo mismo en llegar al suelo que otro que se deja caer desde la misma altura. θ c) Tardará menos en llegar al suelo si su masa es mayor. θ

5.- Un cuerpo es lanzado verticalmente y otro parabólicamente

a) Llegarán a la vez al suelo si son lanzados con la misma velocidad. θ b) Llegarán a la vez al suelo si ascienden a la misma altura. θ c) El cuerpo lanzado verticalmente siempre ascenderá mas alto. θ

6.- La velocidad angular en los movimientos circulares:

a) Tiene la dirección y sentido del movimiento. θ b) Es perpendicular al plano del movimiento. θ

c) Tiene dirección radial. θ 7.- La aceleración angular en los movimientos circulares:

a) Tiene dirección radial. θ b) Tiene la dirección y sentido del movimiento. θ c) Es perpendicular al plano del movimiento. θ

8.- Si un móvil efectúa diez vueltas cada ocho segundos:

a) Su periodo es de 0,8 s. θ b) Su periodo es de 1,25 s. θ c) Su velocidad angular es de 7,85 rad/s. θ

9.- El movimiento de rotación de la tierra hace que un punto situado en ecuador terrestre recorra una distancia igual al perímetro del Ecuador en 24,00 horas. Sabiendo que el radio de la tierra es RT = 6,37×103 km, indique cuál de las siguientes expresiones es la correcta para la velocidad del punto:

a) 0,46323947 km⋅s-1 θ b) 0,4632 km⋅s-1 θ c) 4,632×02 m⋅s-1 θ d) 4,63×02 m⋅s-1 θ

10.- La figura 1 representa el movimiento de un tren. Calcule:

a) el espacio recorrido en 8 minutos

0 2 4 6 8 10t(min)

0

10

20

30

s(km

)

Figura 1

b) la velocidad en ese instante, expresada en km⋅s-1 y m⋅s-1.

11.- La velocidad de un coche en un circuito evoluciona según la figura 2. Calcule:

a) el espacio recorrido en 25 s

b) la velocidad media en ese trayecto.

0 5 10 15 20 25 30t(s)

0

10

20

30

40

50

v(m

s-1 )

Figura 2

12.- Desde una torre de comunicaciones de 125 m de altura se deja caer un objeto.

a) ¿Con qué velocidad llegará al suelo?.

b) Complete la tabla 1 y construya la gráfica correspondiente. En este caso, considere g = 10 m s-1.

s(m) t(s) 0,0 0,0 5,0 1,0

2,0 3,0 4,0 5,0

13.- Un jugador A de hockey sobre el hielo lanza una falta. El disco, que se desplaza en línea recta y con velocidad constante, llega al jugador B en 2 s. A la vista de la figura 3, determine:

A(7,6)

B(3,2)

x

y

O Figura 3

Tabla 1

0 1 2 3 4 5t(s)

a) los vectores de posición de ambos jugadores;

b) el vector desplazamiento del disco;

c) el vector velocidad media del disco y su módulo. (Las distancias están en metros.)

14.- La ecuación del movimiento de un coche por una carretera es s(t) = 2t2+t+1, donde s se mide en metros y t en segundos. Calcule:

a) la posición inicial (t = 0) del móvil;

b) el espacio recorrido entre los instantes 4 s y 6 s;

c) la rapidez media en el intervalo anterior.

15.- Una partícula se mueve sobre una trayectoria circular de radio R = 5 m, de modo que la longitud de arco recorrida es s = 2 + t2 en m. Calcule:

a) Las velocidades lineal y angular instantáneas.

b) Las aceleraciones lineal y angular instantáneas.

c) La aceleración de la partícula para t = 2 s y las componentes cartesianas de la velocidad lineal para t = 2 s.

16.- ¿Qué representa el área encerrada bajo la una gráfica velocidad tiempo?. ¿Por qué?.

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

17.- Una partícula se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas y su velocidad vienen dada por jtit8v 23

rrr += .

a) Determine su trayectoria.

b) Obtenga las componentes tangencial y normal de su aceleración.

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN:

1.- a

2.- a

3.- b

4.- b

5.- c

6.- b

7.- c

8.- c

9.- a

10.- a) 10 Km en 8 minutos. b) 0.021 Km s-1=20.83 m s-1.

11.- a) En los primeros 5 s ha recorrido 125 m. En los 5 s siguientes ha recorrido 300 m. En los últimos 10 s ha recorrido 150 m.

b) 5 m s-1.

12.- La velocidad con la que llega al suelo es en módulo 50 m s-1.

13.- a) mj6i7rArrr += ; mj2i3rB

rrr += . b) mj4i4rrrr −−=∆ .

c) -1m smj2i2v

rrr −−= ; -1m sm22v = .

14.- a) La posición inicial es 1m. b) El espacio recorrido es de 42 m. c) La velocidad media es 21 m s-1.

15.- a) 1-srad5t2

ω = ; -1smt2v = . b) -2sm2a = ; 2-srad52

=α .

c) -1smj81.1i66.4vrrr +−=

16.- Representa el espacio recorrido por el móvil. Por la propia definición de integral.

17.- a) 4

3

2x

31y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= . b) ( ) 2-23

24

3

t smjtit8t4t576t4t1152

arrr +

++

= .

c) -22 smjt2it24arrr += .

APÉNDICE MATEMÁTICO

TEMA 14

GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES

Luis Cana Cascallar Diana Grisolía Santos

3

14.1 DENSIDAD

En la vida cotidiana el término ddeennssiiddaadd se usa con frecuencia. Estamos acostumbrados a utilizar este término al determinar la cantidad de masa que ocupa un determinado volumen. Por ejemplo, si la densidad del agua es de

3gcm1 − , indica que g1 de agua llenaría un recipiente de 3cm1 . Sin embargo, la densidad del mercurio es de 3gcm6,13 − , luego en el mismo recipiente cabrían g6,13 de mercurio. Como vemos, se define la densidad, que se representa con el símbolo ρ, como:

volumenmasa

=ρ

Hay cuerpos con geometría plana (por ejemplo, un disco) o con geometría unidimensional (por ejemplo, un hilo). Para éstos se definen, respectivamente la densidad superficial, σ, y la densidad lineal, λ, de forma análoga a la anterior; esto es:

erficiesupmasaσ =

longitudmasaλ =

Por tanto, conocida la densidad de una sustancia, basta con conocer en cada caso el volumen, la superficie o la longitud en la que está contenida para conocer la masa de la misma.

En la práctica es útil expresar diversas magnitudes por unidad de volumen, de superficie o de longitud. Por ello, se ha definido la densidad volumétrica de cierta magnitud como la cantidad de dicha magnitud contenida en la unidad de volumen, es decir:

volumenmagnitud

m =ρ

donde mρ es la densidad de la magnitud buscada. Por ejemplo, una distribución esférica de carga que tenga una densidad volumétrica de carga de 36 Cm102 −−× , tiene una carga de C102 6−× por cada 3m .

De la misma forma se definen las densidades superficiales y lineales de cualquier magnitud como:

erficiesupmagnitudσm =

longitudmagnitudλm =

A la vista de las expresiones anteriores es imprescindible conocer la forma de calcular las longitudes, áreas y volúmenes de las principales figuras

para determinar la densidad de masa o de cualquier otra magnitud del cuerpo objeto de estudio. 14.2 TABLA DE LAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS Áreas planas:

Rectángulo: Círculo: A= π R

2

A = a b Longitud: L = 2 π R Paralelogramo: Corona circular: A = a h A= π (R

2- r

2)

Triángulo: A = 1/2 a h

Volúmenes y Áreas tridimensionales:

Paralelepípedo: Cilindro:

V = a b c V = h π R2

A = ac + bc + ab Slateral = h 2 π R Sbase = π R

2

Paralelepípedo inclinado: Cono circular: V=a b h=a b c senθ V = 1/3 h π R

2 Slateral = π R L Sbase = π R

2

Esfera: V = 4/3 π R

3

A= 4 π R2

b

a

h

a

a

h

R

R

r

a b

c

θ h c

b a

R

R

h

h

R

L

14.3 RECORDATORIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA • Recta: Representación gráfica:

b

θ

Y

X

P

P

1

2

y - y

x - x

2

2 1

1

Ecuación: •Explícita:

12

12

xxyym=tgθ dondebmxy

−−

=+= ;

•Dados dos puntos P1 y P2

12

12

1

1

xxyym= dondem

x-xy-y

−−

= ;

• Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos de los puntos del Plano cuya distancia -denominada radio- a un punto fijo llamado centro es constante. Representación gráfica: Y

X

(a,b)

R

Ecuación: •De centro en (a,b) y de radio R:

( ) ( ) 222 Rbyax =−+−

•Implícita: x

2+y

2+mx+ny+p = 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

−=−=

⇒

pbaR

2n/b2m/a

22

• Elipse: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Representación gráfica:

Y

Xf acb

donde f son los focos, c es la semidistancia focal, b es el semieje menor y a el semieje mayor

Ecuación:

1by

ax

2

2

2

2=+

•Excentricidad: 1ace <=

•Semieje menor: 222 cab −=

• Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Representación gráfica:

Y

X

Ecuación:

1by

ax

2

2

2

2=−

•Excentricidad: 1ace >=

•Semieje menor: 222 acb −= • Parábola: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. Representación gráfica:

Ecuación:

20 px2yy +=

donde p es la distancia del foco a la directriz •Excentricidad: 1e =

yo x

y

• Esfera de centro (x y z0 0 0, , ) y de radio R: Representación gráfica:

R(x ,y ,z )o o o

Ecuación:

( ) ( ) ( ) 220

20

20 Rzzyyxx =−+−+−

• Elipsoide de centro (x y z0 0 0, , ) y de semiejes a, b, c: Representación gráfica:

a b

c(x ,y ,z )0 0 0

Ecuación:

( ) ( ) ( )1

czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−+

−+

−

• Cilindro elíptico Representación gráfica:

a b

zo

Z

Y

X

Ecuación:

ozz0;1b

y

a

x2

2

2

2

≤≤=+

EJERCICIOS 1.- Calcular el área de la figura:

2.- Calcular la masa que tendría una chapa con la forma del ejercicio anterior si su densidad superficial de masa fuese 2gcm200σ −= .

3.- Un cable tiene una sección de 24 m102 −× , una longitud de 100 m y una masa de 1 kg. Calcular:

a) El área lateral del hilo

b) La densidad lineal de masa

4.- Una corteza esférica tiene de radio R=1 m y una densidad superficial de carga 2µCm2σ −= . Calcular la carga en dicha corteza.

8 1411

5

8

5.- Una esfera tiene un radio R=1 m, y una densidad de masa 33 kgm102 −×=ρ . Calcular:

a) El volumen de la esfera en metros cúbicos y en litros

b) La masa total de la esfera

6.- Una habitación tiene forma de paralelogramo rectangular de dimensiones m254 ×× . Calcular:

a) La superficie lateral

b) Su volumen en 3m y en litros

c) La masa de aire que hay en su interior ( 1aire gl5,28 −=ρ )

7.- A partir de una chapa de 50 kg de masa y 2 m de largo, cuya densidad superficial de masa es 2kgm25 −=σ , ¿cuántas varillas de 1 cm de ancho pueden hacerse?

8.- Cierta figura viene definida por la ecuación: ( ) ( ) 25z2y5x- 222 =+−+

a) Identificar de qué figura geométrica se trata b) ¿Cuáles son las coordenadas de su centro? c) Calcular su área y su volumen

9.- Cierta figura viene definida por la ecuación:

4z2;25yx 22 ≤≤=+ a) Identificar de qué figura geométrica se trata. b) Identificar el valor del radio así como su altura. c) Calcular su área lateral y su volumen.

10.- Dos rectas distintas vienen dadas por las ecuaciones:

5x3y;5x3y 21 +−=+= a) ¿Cuánto vale la pendiente y la ordenada en el origen en cada caso? b) ¿Qué sucede en cada recta con el valor de y a que aumenta el valor de x?. ¿Cómo se refleja este hecho en la ecuación de la recta?


TEMA 15

CONCEPTOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRÍA

Miguel Ángel Arnedo Ayensa Ángeles Marrero Díaz

15.1. UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS 15.1.1 ÁNGULOS EN GRADOS. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS

Expresión de un ángulo en grados: Un ángulo puede medirse en grados (con sus subunidades: minutos y segundos) o bien en radianes. Cuando se mide en grados se le asigna un ángulo de 360º a una vuelta completa de circunferencia, de forma que cualquier ángulo se puede expresar como múltiplos o submúltiplos de esta cantidad.

Por ejemplo: Cuando se da media vuelta el ángulo recorrido será 180º, cuando se da 41 de vuelta el ángulo recorrido será 90º (360/4=90). Cuando se da vuelta y media será 540º (1,5·360=540).

Conversión a grados, minutos y segundos: En ocasiones, los ángulos se expresan en grados, minutos y segundos. Un grado tiene 60 minutos y 1 minuto tiene 60 segundos. Para pasar un ángulo en grados a grados, minutos y segundos el procedimiento a seguir es: la parte entera son los grados, para calcular los minutos se multiplica la parte decimal por 60 y la parte entera de esta operación son los minutos. Los decimales restantes se multiplican por sesenta y son los segundos.

Por ejemplo: 36,842º=36º 52’ 31,2” ya que 0,842·60=50,52 (por tanto tiene 52’) y 0,52·60= 31,2 (por lo que tiene 31,2’’).

Reducción de un ángulo a la primera vuelta: Cuando los ángulos son mayores de 360º suelen reducirse al ángulo equivalente en la primera vuelta más el número de vueltas que se han dado. Esto es porque hay determinadas magnitudes, que veremos más tarde, cuyo valor es independiente del número de vueltas se dan.

Por ejemplo: Para calcular el ángulo equivalente en la primera vuelta a 540º, se divide este ángulo por 360º (540/360=1,5). La parte entera del resultado indica el número de vueltas (en el ejemplo, 1 vuelta) y la parte decimal se multiplica por 360 para conocer el ángulo equivalente (en el ejemplo, 360·0,5=180º). Así, el ángulo equivalente en la primera vuelta de 540º es 180º.

15.1.2. ÁNGULOS EN RADIANES. CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES.

Expresión de un ángulo en radianes: Otra unidad para expresar los ángulos, y que se utilizará frecuentemente en física son los radianes. Se simboliza como rad y se define como un cociente de longitudes.

En la figura se representa un arco, de longitud S, de una circunferencia de radio R. Dicho arco está siendo subtendido por un ángulo θ. El resultado que se obtiene de dividir el arco, S, entre el radio, R, es el valor del ángulo en radianes. Así, únicamente si un ángulo se expresa en radianes se verifica:

Como la longitud de una circunferencia de radio R es 2πR, utilizando la

expresión anterior, cuando se da una vuelta completa (el arco es la circunferencia) el ángulo vale: rad2RR2 π=π .

Por ejemplo: Al recorrer 41 de circunferencia, el ángulo subtendido es rad2π ya que ( ) 2RR)rad( 2 π==θ π .

Conversión entre grados y radianes: Para pasar de grados a radianes simplemente hay que tener en cuenta que radº180 π= , de forma que:

radnºnradº1 180180ππ =→=

( ) ( )ºmradmºrad1 180180ππ =→=

15.2. MAGNITUDES TRIGONOMÉTRICAS. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS.

En trigonometría se definen una serie de magnitudes que relacionan los

lados y los ángulos de triángulos rectángulos. Recordemos que en un triángulo rectángulo a cada uno de los lados que forma el ángulo recto se le denomina ccaatteettoo, mientras que el tercer lado se denomina hhiippootteennuussaa. Si a y b son los catetos se verifica el teorema de Pitágoras, que dice: ““ LLaa ssuummaa ddee llooss ccuuaaddrraaddoo ddee llooss ccaatteettooss eess iigguuaall aa llaa hhiippootteennuussaa aall ccuuaaddrraaddoo””.

En la figura se representa un triángulo rectángulo, de lados a y b, y de

hipotenusa h, donde α es el ángulo que forman a y h. Las magnitudes

α a

bh222 bah +=

R θ

S

θ= RS

trigonométricas básicas para el ángulo α son el seno, sen α; el coseno, cosα; y la tangente, tg α, que se definen respectivamente como:

hbsen =α ;

hacos =α ;

ab

cossentg =

αα

=α

A partir de las definiciones del seno y del coseno del ángulo y del teorema de Pitágoras se puede demostrar que:

1αcosαsen 22 =+ Otras relaciones trigonométricas usuales son:

( ) ( ) 22cos1cos22cos1sensencos2coscossen22sen

22

22

α+=αα−=αα−α=ααα=α

Además para la suma o la diferencia de ángulos se verifica:

( ) senβαcosβcossenαβαsen ±=± ( ) senβsenαβcosαcosβαcos m=±

Otras magnitudes trigonométricas son la secante, secα; la cosecante, cosecα; y la cotangente, cotgα, que se relacionan con el inverso del coseno, del seno y de la tangente, respectivamente, del mismo ángulo de la siguiente forma:

bh

sen1cosecα =

α= ;

ah

cos1sec =

α=α ;

ba

tg1cotgα ==

15.3. EL CÍRCULO UNIDAD. APLICACIONES

Una forma sencilla de recordar distintas relaciones trigonométricas es

mediante la utilización del círculo unidad. El ccíírrccuulloo uunniiddaadd es una circunferencia de radio 1 que se utiliza para obtener, de forma sencilla, el valor de las funciones trigonométricas de diferentes ángulos y recordar diferentes relaciones trigonométricas. El convenio adoptado para el signo de los ángulos en el círculo unidad es que se toma como positivo cuando se comienza a medir desde eje horizontal del primer cuadrante y en sentido antihorario (el ángulo α representado en la figura adjunta es positivo). Así, cuando se ha recorrido 41 de circunferencia en sentido antihorario el ángulo vale rad2π . Cuando se recorre media circunferencia vale radπ ,

con 43 de circunferencia, el ángulo vale rad23π y cuando vuelve a la posición inicial 0 ó rad2π . Partiendo del mismo origen, si se da la vuelta a la circunferencia en sentido contrario (horario) los ángulos se toman con negativos, de forma que rad23rad2 π=π− .

Sobre el círculo unidad, los triángulos rectángulos que se forman

partiendo del centro tienen de hipotenusa 1. Recordando las definiciones de las magnitudes trigonométricas básicas, se pueden expresar sobre el círculo unidad como:

bsen =α ; acos =α ; ab

cossentg =

αα

=α

de forma que conociendo el valor de los catetos se puede obtener el valor del seno y del coseno de ángulo. La tangente es el cociente de ambos catetos. Es fácil ver que el coseno y el seno de un ángulo nunca pueden ser mayores que 1 (valor del radio del círculo unidad). No así la tangente, que será mayor que 1 si el seno del ángulo es mayor que su coseno. Hay valores de magnitudes trigonométricas que pueden obtenerse fácilmente del círculo unidad.

Por ejemplo, es fácil ver que el º30sen ó el º60cos valen 21 . También es

fácil ver que el 22º45cosº45sen == , por lo que 1º45tg = . En cuanto a los signos de las proyecciones sobre los ejes del círculo

unidad, las distancias medidas sobre la horizontal son positivas hacia la derecha del centro y negativas hacia la izquierda. Las distancias medidas en la vertical son positivas por encima del centro y negativas por debajo. Esto implica que el seno, el coseno y la tangente pueden tener signo positivo o

0 rad

rad2π

rad23π

1 b

aradπ

negativo. En la siguiente figura se muestran los signos de las tres principales magnitudes trigonométricas en cada cuadrante del círculo unidad.

15.4. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS Se dice que un ángulo es el áánngguulloo ccoommpplleemmeennttaarriioo de otro cuando su

suma es igual a 90º o rad2π . A partir del círculo unidad puede verse fácilmente que si γ es el complementario de α (α+γ=90º), se verifica:

Se dice que un ángulo es el áánngguulloo ssuupplleemmeennttaarriioo de otro cuando su suma es igual a 180º o π rd. A partir de círculo unidad puede verse fácilmente que si γ es el suplementario de α (α+γ=180º), se verifica:

sen α > 0 cos α > 0 tg α > 0

sen α >0 cos α < 0 tg α < 0

sen α < 0 cos α > 0 tg α < 0

sen α < 0 cos α < 0 tg α > 0

α

cos γ = - cos α

γ α

sen γ = sen α

γ

α

sen γ = cos α

γ α

cos γ = sen α

γ

15.5. REGLA NEMOTÉCNICA Existe una regla nemotécnica que permite recordar los valores de las

magnitudes trigonométricas de algunos ángulos. Se construye una tabla donde la primera fila contiene los ángulos; la segunda fila contiene el valor del seno de dicho ángulo y en la tercera el valor del coseno.

α 0 30 45 60 90

sen α 20 2

1 22 2

3 24

cos α 24 2

3 22 2

1 20

EJERCICIOS 1.- Sea el ángulo 586,32º

a) Expréselo en grados, minutos y segundos (haga el cálculo con la calculadora).

b) Calcule con la calculadora (modo grados) su seno, coseno y tangente:

c) Calcule el ángulo equivalente en la primera vuelta.

d) Expréselo en radianes

e) Obtenga con la calculadora (modo radianes) su seno, coseno y tangente.

2.- Dado el arco de una circunferencia de 3 m de radio, cuya longitud es de 6 m, calcule el ángulo que subtiende en:

a) radianes

b) grados

c) fracciones de vuelta

3.- Reduzca el ángulo –1235º a la primera vuelta y expréselo en radianes.

4.- Dado el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5,

a) Identifique los catetos y la hipotenusa

b) Calcule el seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo α.

c) Exprese la relación existente entre α y γ. A partir de los resultados del apartado anterior, calcule el seno, el coseno y la tangente del ángulo γ utilizando el círculo unidad.

γ

α

5

4

3

5.- Sabiendo que sen α = 0,5 y que el ángulo es menor de 90º calcule el ángulo y las restantes razones trigonométricas.

6.- Sabiendo que tg α = 1 y que es un ángulo mayor de 90º determine el ángulo y el resto de razones trigonométricas

7.- Calcule el cateto contiguo y el opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo de hipotenusa 10 m.

8.- Calcule la altura de una torre sabiendo que cuando el sol forma un ángulo de 30º con la torre la sombra proyectada es de 10m.

9.- Sabiendo que sen 21º = 0,3583

a) Calcule las razones trigonométricas de 69º

b) Calcule las razones trigonométricas de 159º


TEMA 16

CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Miguel Ángel Arnedo Ayensa

16.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial de x es cualquier función, f(x), que tenga la forma:

f(x) = ax donde a es una constante positiva. Se dice entonces que a está elevada a x o bien que x es el exponente de a. x indica el número de veces que se está multiplicando por sí misma la constante a. 16.1.1. PROPIEDADES:

a) Si 0<a<1, entonces ax es una función decreciente y limx→∞ ax = 0 y

limx→-∞ ax = ∞.

b) Si a>1, ax es una función creciente y limx→∞ ax = ∞ y limx→-∞ a

x =0. c) Si a,b >0 y x,y ∈ℜ, se verifica:

1a0 = aa1 = 11x = yxyx aaa += x-y

y

xa

aa

= x

-x

a1a =

( ) x·yyx aa = ( ) xxx baab = d) La raíz n-ésima de un número real positivo a se puede expresar como:

n1aan = n

1−= aa

1n

Estas propiedades permiten simplificar mucho la expresiones en las que aparecen funciones exponenciales.

La función inversa a la función exponencial es la función logarítmica y por ello al número a suele llamarse base. Las funciones exponenciales más comunes son las de base exponencial (e), base decimal (10) y base binaria (2), esto es:

f(x) = ex f(x) = 10x f(x) = 2x 16.2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Sea a un número real positivo, se define la función logarítmica de base a,

denotada como loga, como aquella función que verifica que: yaxylog x

a =⇔= Es decir, el logaritmo en base a de y nos da el número de veces que hay que

elevar a la base a para obtener el valor y.

16.2.1. PROPIEDADES a) Si a,b >0 y x,y ∈ℜ, se verifica:

01log a = 1alog a = xalog x

a = xalogalog xa

-xa −=−=

( ) ylogxlogx·ylog aaa += ylogx-logyxlog aaa =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xylog

yxlog aa xlogpxlog a

pa =

xlogp1xlog a

pa = f(x)a (f(x))loga =

b) Si 0 < a < 1 y x∈ℜ, se verifica que 0alog xa <

c) Si a > 1 y x∈ℜ, se verifica que 0alog xa >

Los logaritmos más utilizados son los de base exponencial, e, también denominado logaritmo neperiano; y el de base decimal, 10, y se representan como:

logex = lnx log10x = log x A continuación se realiza la representación gráfica de una función

exponencial y una logarítmica:

Exponencial Logarítmica

⎩⎨⎧

=⇒=

=⇒=

=

xe

x10

xa

e)x(expeasi10)x(exp10asi

a)x(exp

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

=⇔=

xlnylogeasixlogylog10asi

yaxylog

e

10

xa

•Representación gráfica.

x

y

1

y = ex

•Representación gráfica.

1x

y

y = ln(x)

Cambio de base:alogxlogxlog

b

ba =

EJERCICIOS 1.- Calcular x sabiendo que lnx=3 2.- Calcular x sabiendo que log(2x)=2 3.- Calcular x sabiendo que log(x2)=2 4.- Agrupar en un solo logaritmo: 2log(x)+3log(y)- ½ log (z)

5.- Resolver la siguiente ecuación: 3 x1x2 41255 −− =

6.- Calcular x en la siguiente ecuación: 2)1(xlog

)8x6(xlog 2=

++−

7.- Resolver el siguiente sistema: ⎩⎨⎧

=+=−

4(y)log2(x)log3(y)log(x)log2

8.- En un movimiento oscilatorio amortiguado la amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido 5 s. Calcular el coeficiente de amortiguamiento, γ, haciendo uso de la expresión: tγ

oeAA(t) −= 9.- Un gas ideal de, γ = 1,4, sufre un proceso adiabático entre los estados 1 y 2. Sabiendo que entre estos estados se verifica que γγ = 2211 VPVP , donde P es la presión, V es el volumen y γ es la constante adiabática; y que P1=1 atm, P2=4 atm y que V1=10 l, obtener V2. 10.- Complete la siguiente tabla de propiedades del logaritmo neperiano

K=1ln K=eln K=xeln K=−= x-x elneln

( ) KKKK=x·yln KKKK=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yxln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xy

yxln KK ( ) KKKK=pxln

KKKK=p xln KKK=)x3(ln 2e


TEMA 17

CÁLCULO DIFERENCIAL

Juan Miguel Gil de la Fe

17.1. TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN Sea una función f(x). Se define como tasa de variación de dicha función

en el intervalo (x0, x0+h) a la siguiente expresión:

h)f(xh)f(x

m 00 −+=

Ejemplo.- Dada la función f(x)= 5x, calcula la tasa de variación de dicha función en (1, 4) .

53

5203

)1f()4f(m =−

=−

=

Supongamos que esta función f(x)=5x define el perfil de una carretera recta de pendiente 5 (tg α=5)

La tasa de variación obtenida anteriormente, no es otra cosa que la tangente del ángulo α que forma la recta 5x con el eje x, es decir la pendiente de la gráfica f(x). En este caso la pendiente de la carretera, es decir, la altura alcanzada por unidad de distancia en la horizontal.

Si consideramos en el ejemplo anterior la sustitución x→t, donde t es el tiempo, la tasa de variación entre los instantes t=1 y t=4 es precisamente la velocidad media entre esos instantes 5 m/s.

17.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea y=f(x) una función real de variable real. Se define la derivada de dicha función en el punto x0 como:

h)f(xh)f(x

lim)f´(x 00

0h0−+

=→

53

5203

)1f()4f(tgα =−

=−

=

1

5

y=f(x)

Y

4

20

α

X

donde lim con h→0 indica evaluar la tasa de variación para un intervalo (x0, x0+h) muy pequeño, y por tanto muy cercano al punto x0.

Así definida, la derivada de la función en un punto, tiene la interpretación de la tasa de variación en torno a ese punto. Desde el punto de vista geométrico se interpreta como la pendiente de la recta de la curva en dicho punto. Entendiendo por pendiente de la curva por la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto

Ejemplo físico:

Consideremos que la función f reperesenta la posición s de un movil respecto al origen y la variable x el tiempo t . La derivada de la función s’(t) en t= t0 es el cociente entre la variación en la posición en torno al instante t0 y el tiempo infinitesimal h=t- t0 empleado, es decir la velocidad instantánea en ese punto.

17.3. CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DERIVADA

Dada la función y=f(x) llamamos y´= f´(x) a la función que expresa la derivada de la función para todo valor de x. Ejemplo

y=3x2 y´=6x

En la práctica, el cálculo de la función derivada se realiza mediante el uso de una tabla de derivadas y una serie de reglas de derivación. Exponemos algunas de las mas usuales:

x0 x

f(x)

α

tgα)f´(x 0 =

Tabla de derivadas y= f(x) f´(x)

y = k (k, constante) y’ = 0 y = xm (m, constante) y’ = m xm-1

y = ln x y’ = 1/x y = loga (x) y’ = 1/x loga e y = sen (x) y’ = cos(x) y = cos(x) y’ = -sen(x) y = ex y’ = ex y = ax y’ = ax ln a y = arcosen(x)

y’ = 2x1

1−

Algunas reglas o propiedades de uso frecuente:

•Derivada de una combinación lineal de funciones. (a,b constantes)

y= a u(x) + b v(x) y' = au´(x) + bv´(x)

Ejemplo: y = 3 sen(x) + 4 lnx y´=3 cos(x) + 4 /x

•Derivada de una función de función

y=f(u(x)) y´= fu´ (x) u´(x)

Ejemplos: y = sen(ln x) y' = cos(ln x) 1/x y= sen2(ln x) y´=2 sen(lnx)cos(lnx) 1/x

17.4. CONCEPTO DE DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea y=f(x) una función real de variable real. Llamamos incremento diferencial de la variable x a un incremento de dicha variable tendiendo a cero

dx ≡ ∆x (cuando ∆x→0)

Cuando a la variable x le damos un incremento dx, el valor de la función y=f(x) quedará incrementado en un valor infinitesimal dy

dy= ∆y (cuando ∆x→0)

De acuerdo con la interpretación de Leibniz de derivada, como cociente incremental se cumple que

dxdyf´(x) =

o, lo que es lo mismo dy=f´(x) dx Ejemplos:

y=sen(x) dy=cos(x)dx y=ln(x2) dy= 2/x dx

Ejemplo físico:

Sea la función s(t) = 2t+5 la expresión de la posición de un móvil en función del tiempo. Entonces, la expresión

2dtdss´(t) ==

representa la velocidad instantánea del móvil (en este caso constantemente igual a 2 m/s ). Es, como se aprecia, el cociente entre el incremento diferencial (infinitesimal) en la posición y el incremento diferencial de tiempo en cualquier instante. La expresión ds=2 dt , despejada de la anterior, confirma que para obtener el espacio infinitesimal recorrido hemos de multiplicar la velocidad por el tiempo infinitesimal transcurrido. 17.5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

El estudio de la derivada de una función nos permite estudiar el comportamiento local (en torno a un punto) de la misma. 17.5.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

• Una función y=f(x) es creciente en los puntos en los que su primera derivada sea positiva f´(x)>0 • Una función es decreciente en los puntos en los que su primera derivada sea negativa f´(x)>0 Desde un punto de vista geométrico esto se interpreta estudiando el

signo relativo de los incrementos diferenciales de la función y de la variable.

Máximos y mínimos relativos.

En los puntos donde la derivada primera se anula, la función no crece ni decrece y por lo tanto dy/dx=f´(x)=0 En ese caso la función puede alcanzar un máximo o un mínimo local (o relativo). En la figura que sigue el punto A es un máximo y el B es un mínimo.

El criterio para distinguir un máximo de un mínimo local lo obtenemos de la segunda derivada. Si es un máximo f´´(x)<0 y si es un mínimo f´´(x)>0

Obsérvese que en ambos puntos la tangente es horizontal, es decir, de pendiente (derivada primera) nula. Obsérvese también que en los alrededores del punto A la primera derivada decrece (f´(A))´=f´´(A) <0 , mientras que en los alrededores del punto B la primera derivada crece (f´(B))´=f´´(B)>0.

f(x)

dy

dx dx

dy

x

x↑ ⇔ y↑ dy/dx > 0 f’(x)>0 creciente

dy

dx dx

dyx↑ ⇔ y↓ dy/dx < 0 f’(x)<0 decreciente

f´(A) = 0 f´´(A) <0f(x)

x A B

f´(B) = 0 f´´(B) >0

Ejemplos: Dada la función f(x)= x3 -12x, calcula los intervalos de crecimiento y

decrecimiento. (1) Calculamos en primer lugar su derivada primera y la igualamos a cero

f´(x)=3x2-12 =0 ⇒ x=-2 y x=2. (2)Calculamos también la derivada segunda

f´´(x)=6x (3) En la figura vemos los valores de f´(x) en los distintos puntos del eje real. (4) Idem los valores de f´´(x) en los puntos donde se anula la derivada primera

La función es decreciente en el intervalo (-2,2) , creciente en todos los

demás. En x=-2 presenta un máximo y en x=2 un mínimo.

-2 2

f'(x)>0 f'(x)>0 f'(x)<0f’’(-2)<0 f’’'(2)>0

EJERCICIOS 1.- Realice las derivadas y complete la siguiente tabla.

y=f(x) f´(x) 5 3x2+2x+5 3sen(x)+4cos(x)+7logx+2x tgx cotg x

sen(x)ex

xcossen(x)ex

2x5

sen3(x2+3x+2) log(sen2(x2+2))

2.- Calcule la tasa de variación entorno al punto x=2 de la función f(x)= 4x2+5. Si la variable x indica tiempo en segundos y la función f(x) temperatura. ¿Qué significado tiene dicha tasa?.

3.- Calcule la pendiente de la curva y= 5x3 en el punto x=1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva en dicho punto.

4.- Calcule la diferencial de la función y= x ln (x3)

5.- Sea la función f(x)=x2+3x ¿cuál es el valor del cociente incremental dy/dx en el punto x=1?

6.- Dada la función y= x2-2x , calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función. Calcule también los puntos extremos.

7.- Dada la función y= x2+2x, calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función. Calcule también los puntos extremos.

8.- Dada la función y=sen(x), calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función en el intervalo (0,2π). Calcule también los puntos extremos.


TEMA 18

CÁLCULO INTEGRAL


18.1. CONCEPTO DE PRIMITIVA (INTEGRAL INDEFINIDA) La integración se puede tomar como el proceso inverso de la

diferenciación.

Ejemplo: Sea la función ( ) ( ) Cxlnxv += , su derivada es x1 • La diferencial de dicha función es dv=1/x dx • La integral ∫1/xdx es igual a ( ) Cxln +

En general

f(x)(x)FCF(x)f(x)dx =′⇔+=∫

y se dice que F(x) es la función primitiva de f(x). Viceversa f(x) es la derivada de la función F(X) +C definida salvo una constante arbitraria. 18.2.TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS. REGLAS DE INTEGRACIÓN

Al igual que habíamos visto en el caso del cálculo de la función derivada, existen tablas y reglas para la determinación de la función primitiva de otra dada.

Mostraremos aquí, solamente, aquellas que nos resultan más útiles a los fines de este curso: Tabla de Integrales inmediatas u=u(x) cualquier función de x • ∫ += Cxdx • ∫ += Cudu

• ∫ ++

=+

C1m

xdxx1m

m m constante • ∫ ++

=′+

C1m

udx u u1m

m

• ∫ += Cedxe xx • ∫ +=′ Cedx u e uu

• ( )∫ += Caln

adxax

x a, constante • ( )∫ +=′ Caln

adx u au

u

• ∫ += Csenx x dxcos • ∫ +=′ Csenudx uu cos

• ∫ += Cxcossen x dx • ∫ +=′ Ccosudx uu sen

• ( )∫ += Cxln dxx1 • ( )∫ +=′ Culndx u

u1

Se cumple también que

• ∫ ∫ ∫+=+ v(x)dxbu(x)dx ab v(x) dxa u(x) (a, b constantes u=u(x) v=v(x))

• ∫ ∫−= vduuvudv (regla de integración por partes) Algunas integrales utilizadas ampliamente en el curso de física

• ∫ += Cx1-dx

x12

• bxalnb1dx

bxa1

+=+∫ +C

• ∫ ++= Cx)senx(cosx21xcos2

• ∫ +−−= Cx)senx(cosx21xsen2

• ∫ ∫ ++−

=+−

− C1n

xdxxdx x1 1n

nn

18.3. ÁREA BAJO UNA CURVA. LA INTEGRAL DEFINIDA

En muchos casos, a lo largo del curso se nos planteará calcular el área

encerrada bajo una curva. Veremos que la integración nos facilita dicho cálculo.

Consideremos la gráfica de una función f(x) frente a la variable x, en la que deseamos conocer el área encerrada entre la curva, el eje x y los puntos A y B

A Bdx

y

X

Y

Para ello tomamos un pequeño rectángulo de altura y=f(x) y de base dx. El área infinitesimal de dicho rectángulo dA viene dada por

dA= f(x) dx

El área total será la suma de todas las áreas infinitesimales que se pueden formar tomando elementos de base dx entre los puntos x=A y x=B . Ésta se puede poner como

∫B

A

f(x)dx

Se demuestra (Regla de Barrow) que dicha expresión es igual a la diferencia entre los valores de la función primitivas F(X) entre los puntos A y B.

F(A)F(B)f(x)dxB

A

−=∫

Ejemplo Calcular el área encerrada entre la curva y=x , el eje x desde el punto

x=0 y x=4.

uds.820

24

2xxdx

2224

0

=−==∫

EJERCICIOS 1.- Calcule el área del rectángulo de la figura mediante la integración de la función f(x)=3 entre las coordenadas x=2 y x=8.

2.- Calcule el área del trapecio que se señala en la figura, sabiendo que la recta tiene por expresión y = x

3.- Determine el área de la región comprendida entre la curva 4xy 2 +−= y el eje x.

2 8

3

2 4 x

y y=x

-2 2

4.- Determine el área de la media luna representada en la figura

5.- Sabiendo que ∫∫∫ ===5

2

2

0

1

0

1f(x)dx, 4f(x)dx, 6f(x)dx , calcule cada una

de las siguientes integrales

a) ∫5

0

dx)x(f =

d) ∫ =1

1

dx)x(f

b) ∫ =2

1

dx)x(f

e) ∫ =0

2

dx)x(f

c) ∫ =5

1

dx)x(f

f) ∫ =1

5

dx)x(f

y=x4y=x3

x

y

6.- Calcule las siguientes integrales:

a) =+−∫ dx)5x6x2(1

0

4

b) ∫−

=+−1

1

dx)2x)(1x(

c) ∫2

12t

dt =

SOLUCIONES A LOS

EJERCICIOS

En este capítulo se presentan las soluciones de algunos de los ejercicios propuestos en cada uno de los temas.

SOLUCIONES TEMA 1

9.- s017,0T =δ ; ( ) %67,10167,0017,1017,0T ===ε

10.- V12,0=δε ; ( ) %83,90983,022,112,0

===εε

SOLUCIONES TEMA 3 3.- a) 25000 m2 b) 0,05 dm2 c) 23·10-6 mm d) 3500 KHz e) 10-3 mF f) 0,025 m g) 7,5·10-12 F h) 0,33 l i) 250 g j) 98 mm3

4.- a) 900 s b) 98820 s c) 5 min d) 0,75 h e) 0,2 s

5.- a) 90º b) 25,5º c) 0,67º d) 143,24º e) π rad

6.- a) 30 m·s-1 b) 1224 km·h-1 c) 1500 kg·m-3 d) 0.92 g·cm-3 e) 10 kp

7.- a) l·atm

J72,101 b) l·atm

cal27,24 c) J

cal24,0

SOLUCIONES TEMA 4 1.- [F]=[MLT-2]

2.- [W]=[ML2T-2]

3.- [P]=[ML2T-3]

4.- [R]=[ML2T-2θ]

5.- [p]=[ML-1T-2] ; [ ] [ ]21221 TMLv −−=ρ ; [ ] [ ]21TMLgh −−=ρ

SOLUCIONES TEMA 5 1.-

3.- a) No b) No c) No

4.- La dirección del vector no cambia. El sentido del vector no cambia si el número es positivo, y si es negativo, el sentido del vector cambia dando lugar a un vector de sentido opuesto al original.

5.-

8.- Como la fuerza es un vector, falta indicar la dirección y sentido.

9.- 8F1 =r

SOLUCIONES TEMA 6

1.- a) k7j4i2arrrr ++= b) ( )kji4b

rrrr++=

c) ( )kjic 23

rrrr ++= d) ( )j3id104

rrr+=

4.- a) 215Ax = ; 215A y −= b) 59,3Bx = ; 71,2By =

6.- km72,13r =r

9.- a) ( )jib 34

56

rrr+= b) ( )j4i3b 5

2rrr

+=

1Fr

1F2r

1F2r

−

SOLUCIONES TEMA 7 1.- a) sí b) no c) sí d) no e) sí f) no.

2.- a) no b) no c) sí d) no.

4.- Parte del Medio Identificación de las fuerzas

a) Tierra Lago

Peso Normal

b) Tierra Viento

Peso Fuerza debida al viento

c) Tierra Cuerda Superficie de apoyo

Peso Tensión Normal y fuerza de rozamiento

d) Tierra Caja B

Peso Normal

e) Tierra Cuerda Superficie de apoyo

Peso Tensión Normal

6.- a) i2R

rr−= b) jR

rr−=

c) j2i2Rrrr

−−= d) j2i2Rrrr

+−=

8.- Diagrama Cálculos a)

NjgMN

NgMNNP0NP0F

rr

rrrrr

=

==⇒=

=+⇒=∑

b)

NjMg23N

030cosPN:YEje030senPT:XEje

0TNP0F

rr

rrrrrr

=

⇒=−=−

=++⇒=∑

Pr

Nr

M

Pr

Tr

Nr

c)

NjMg23N

030cosPN:YEje030senPT:XEje

0TNP0F

rr

rrrrrr

=

⇒=−=−

=++⇒=∑

d) ( ) NjFMg3

21N

030senF30cosPN:YEje030cosF30senPT:XEje0FTNP0F

1

1

1

1

rr

rrrrrrr

+=

⇒=+−=−−

=+++⇒=∑

SOLUCIONES TEMA 8 1.- a) No b) Si c) Si

2.- a) .unid50ba =×rr b) .unid50ab =× r

r c) ( )abba rrrr ×−=×

3.- a) No b) No c) No d) No

4.- a) k7j32i22barrrrr ++−=× b) 90º c) 90º

5.- a) ( ) .unidk15j5i325910c

rrrr −−= b) 2.unid2594Área =

6.- a) Nj1012,5F 13rr

−⋅−= b) Nj1012,5F 13rr

−⋅= c) 0F

rr= d) 0F

rr= e) 0F

rr=

7.- a) ( ) k13aM )0,0(

rrr= b) Si. c) (0,0)

8.- a) Nm b) ( ) Nmk6FM )2,4(

rrr−=

c) ( ) Nmk2FM )0,0(

rrr−= d) ( ) Nmk2FM )0,0(

rrr−=

30º

M

Pr

Tr

Nr

M 1Fr

Tr

Nr

Pr

9.- Las fuerzas que actúan sobre las poleas son las tensiones ( )Tr

, el peso de las poleas ( )P

r y la reacción sobre el eje ( )R

r, estas últimas aplicadas en el

centro de las poleas. a) kRTM 1O

rr−= b) ( )kTTRM 12O

rr−= c) ( )kRTrTM 12O

rr−=

10.- a) kRFMO

rr−= b) kRFM RozO

rr−= c) kcosRFMO

rrβ−=

SOLUCIONES TEMA 9

1.- a) Si. b) Si. c) No. d) No

3.- a) Equilibrio de traslación y rotación. b) Equilibrio de traslación y de rotación c) Traslación hacia arriba y equilibrio de rotación d) Traslación hacia arriba y rotación en sentido antihorario

1Tr

2Tr

Pr

Rr

1Tr

Pr

Rr

x

y

z

1Tr

2Tr

Pr

Rr


x

y

z

Fr

Pr

Nr

Figura a

RozFr

Fr

Pr

Nr

Figura b

Fr

Pr

Nr

Figura c

5.- a) 0FRrr

= b) ( ) Nmk9FM 1O

rrr−= ; ( ) Nmk12FM 2O

rrr−= ; ( ) Nmk9FM 3O

rrr−=

( ) Nmk18FM 4O

rrr= ; Nmk12MO

rr−=

c) No, solo hay equilibrio de traslación

6.- a) b) Nj7000FRrr

= ; Nmk8125MO

rr=

c) Nj7000Frr

−= ; mi16,1rrr =

SOLUCIONES TEMA 10 1.- v=18 ms–1 ; a=8 ms–2.

2.- s=160 m ; v=80 ms–1 ; a=30 ms–2.

3.- v=800–10t (SI) ; a=–10 ms–2 ; t=80 s.

4.- s=240 m ; v=212 ms–1 ; a=124 ms–2 ; ∆s=156 m.

5.- a) t=5 s b) x=20 m, 45 m, 36 m ; ∆x=25 m, 34 m.

6.- t=1/6 s.

7.- s=t2+4t+5 m

8.- s=(11 e2t–5)/2 m.

9.- v=10 e–4t ms–1 ; s=–(10/4) e–4t m.

0,5m

0,75m

1m

2m

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

5Fr

O

SOLUCIONES TEMA 11 1.- a) s=160 m ; v=0,5 ms–1 b) a=4 ms–2 ; ∆s=19,5 m c) Gráficas.

2.- a) v=15 ms–1 b) s=50 m c) Gráfica.

3.- a=–20 ms–2 ; v0=70 ms–1 ; s=202,5 m.

4.- s=400 m ; t=20 s ; v=34 ms–1.

5.- Gráfica

6.- α=–2,09 rads–2 ; a=0,15 ms–2.

7.- a) ω=2,09 rads–1 ; an=0,35 ms–2 b) T=3 s ; ν=0,33 Hz.

8.- a) ω=100,11 rads–1 b) v=30 ms–1=108 kmh–1.

SOLUCIONES TEMA 12 1.- jit4v

rrr += (ms–1) ; i4arr = (ms–2).

2.- k4j6i2rrrrr ++= (m) ; k4j4iv

rrrr ++= (ms–1) ; k2j2arrr += (ms–2).

3.- i4vrr = (ms–1) ; i2a

rr = (ms–2).

4.- y2=9x–9.

5.- a) x(t)=1/(0,9–0,1t); y(t)=0,9–0,1t. b) j8,0i25,1r

rrr += (m) , j1,0i16,0vrrr −= (ms–1) ; i039,0a

rr = (ms–2).

j4,0i5,2rrrr += (m) , j1,0i625,0v

rrr −= (ms–1) ; i3125,0arr = (ms–2).

6.- k12t1jt

3mi)1e()t(r

43t

rrrr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−= (m).

7.- a) k5r0rr = (m) ; k5ji2r

rrrr ++= (m) b) ji2rrrr +=∆ (m)

c) x=2t2 , y=t , z=5.

8.- x(t)=t4+2t2+1 , y(t)=2t2+2.

9.- jsent3itcos4vrrr += (ms–1) ; j)tcos36(isent4r

rrr −+= (m).

SOLUCIONES TEMA 13 1.- a) 17ji4ut

rrr += (ms–1)

b) )ji4(1716at

rrr += (ms–2) , j1716i

174an

rrr −= (ms–2) c) ρ=17,5 m.

2.- v=5 ms–1 ; a=2 ms–2 ; ρ=20,83 m.

3.- a) jt4i4vrrr += (ms–1) , j4a

rr = (ms–2) ; 2t1v += ms–1 , a=4 ms–2

b) 2

2

t t1jt4it4a

++

=rr

r (ms–2) , 2n t1j4it4a

++−

=rr

r (ms–2)

c) ρ=4(1+t2)3/2 m.

4.- a) j)t2cos1(8it2sen8vrrr −+= (ms–1) , jt2sen16it2cos16a

rrr += (ms–2);

)t2cos1(28v −= ms–1 , a=16 ms–2.

b) jt2sen8it2cos1t2sen8a

2

trrr +

−= (ms–2),

jt2sen8it2cos1)t2cos41(a2

n

rrr +−

−= (ms–2).

5.- ρ=60,35 m.

6.- v=2ω ms–1 ; 0atrr = (ms–2) ; )jωtcosiωtsen(ω2a 2

n

rrr +−= (ms–2).

7.- a) 1x2xy +−= b) Gráfica c) t=0,5 s d) x=16 m , y=9 m

e) ( )j)1t2(it21t2t2

1t2a 2t

rrr −++−

−= (ms–2)

( )j)t23(i)t1(21t2t2

1t2a 2n

rrr −+−+−

−= (ms–2).

8.- a) x(t)=5 cos2πt , y(t)=10 sen2πt , z(t)=2 b) jπ20v

rr −= (ms–1) , v=20π ms–1 c) at=0 ms–2 , an=20π2 ms–2 , ρ=20 m.

9.- a) t= 2,87 s b)∆φA=11,45 rad , ∆φB=8,25 rad c) ωA=4 rads–1 , ωB=5,75 rads–1 d) atA=0 ms–2 , anA=16 ms–2 , atB=2 ms–2 , anB=33 ms–2.

SOLUCIONES TEMA 14 1.- unidades27,107

3.- 2m02,5)a 12 kgm10)b −−

5.- l 4188m 188,4V )a 3 == kg6,8377V )b =

7.- s varilla106,25 4×

9.- cilindro )a 2h 5;R )b == π=π= 50V ;70 A)c l

SOLUCIONES TEMA 15 1.- a) 586º 19’ 12” b) senα=-0,7232; cosα=-0,6906; tgα=1,0472 c) 226,32º=226º 19’ 12” d) 3,95 rad e) senα=-0,7232; cosα=-0,6906; tgα=1,0472

2.- a) 2 rad b)114,59º c)0,32 vueltas

4.- a) catetos: 3 y 4; hipotenusa: 5 b) 5

3sen =α ; 54cos =α ; 5

3sen =α ; 35cosec =α ; 4

5sec =α ; 34cotg =α

c) 53sencos =α=γ ; 5

4cossen =α=γ ; 34tg =γ

7.- cateto contiguo: 8,66 m ; cateto opuesto: 5 m

9.- a) 9336,069sen = ; 3583,069cos = ; 60,269tg = b) 3583,0159sen = ; 9336,0159cos −= ; 3838,0159tg −=

SOLUCIONES TEMA 16 1.- x=e3

2.- x=50

3.- x=10

4.- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

zyxlog

zyxlog

3232

21

5.- x=5/8

6.- x=7/8

7.- x=102 ; y=10

8.- 1s52ln −=γ

9.- V2 = 3,71 l

SOLUCIONES TEMA 17 1.-

y=f(x) f´(x) 3x2+2x+5 6x+2 3sen(x)+4cos(x)+7logx+2x 3cosx-4senx+(7/x)loge+2x ln2

sen(x)ex (senx+cosx) ex

2x5

-10/x3

sen3(x2+3x+2) 3sen(x2+3x+2)cos(x2+3x+2)(2x+3)

2.- 16dx

)x(df2x

==

3.- x5)x(recta;5dx

)x(dytgm1x

===α==

4.- ( ) dx3)xln(dy 3 +=

5.- 5dx

)x(dy1x

==

8.- crecimiento [ [ ] ]πππ 2,232,0 U ; decrecimiento [ ]23,2 ππ máximo: 2x π= ; mínimo: 23x π=

SOLUCIONES TEMA 18 1.- 18 u.a.

2.- 6

3.- 32/2 u.a.

4.- 1/12 u.a.

5.- a) 5 b) –2 c) 1 d) 0 e)-4 f)-1

6.- a)9/2 b) –10/3 c) 1/2

bloque 1 magnitudes fÍsicas unidades

Documents