TEORA DE ERRORES AJUSTE A DATOS EXPERIMENTALES

Una magnitud fsica es un atributo de un cuerpo, un fenmeno o una sustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A la magnitud de un objeto especfico que estamos interesado en medir, la llamamos mesurando. Por ejemplo, si estamos interesado en medir la longitud de una barra, esa longitud especfica ser el mesurando.

Para establecer el valor de un mesurando tenemos que usar instrumentos de medicin y un mtodo de medicin.

Asimismo es necesario definir unidades de medicin. 1

CANTIDADES FSICAS

Cantidades Fsicas: expresan las leyes de la fsica. Son ejemplos: la masa, la fuerza, la longitud, temperatura, intensidad luminosa y otras.

DERIVADAS = COMBINACIN DE MAGNITUDES (velocidad, aceleracin, Fuerza, Energa, Potencia

FUNDAMENTALES = se definen directamente a partir de patrones de medidas (Tiempo, Masa, Longitud, Carga elctrica)

Una cantidad o magnitud fsica es todo elemento que sea susceptible de medida.

Magnitudes

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Patrones de medida Los patrones de medidas son tomados, en general, a partir de operaciones

precisas de laboratorio.

Se selecciona el menor nmero posible de magnitudes fsicas que conduzca a una descripcin completa de la FSICA en trminos sencillos.

Estos patrones una vez establecidos deben ser aceptados por la comunidad internacional, como es el caso del SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS.

Pero algunos de los patrones, an que no hacen parte del sistema internacional de medidas (SI) son utilizados desde hace mucho tiempo, entre ellos el sistema ingls de medidas y el sistema tcnico de medidas.

Tabla I: Patrn de algunas unidades fundamentales en el Sistema Internacional de Medidas

Unidad de longitud: metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vaco por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duracin de 9 192 631 770 periodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente elctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que mantenindose en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vaco, producira una fuerza igual a 210-7 newton por metro de longitud.

Unidad de intensidad luminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una direccin dada, de una fuente que emite una radiacin monocromtica de frecuencia 5401012 hertz y cuya intensidad energtica en dicha direccin es 1/683 watt por estereorradin. 3

MEDIR UNA MAGNITUD FSICA significa compararla con otra, necesariamente de misma especie, tomada como unidad; verificando as cuantas veces la unidad est contenida en la magnitud medida.

La medicin es la tcnica por medio de la cual asignamos un nmero a una propiedad fsica, como resultado de una comparacin de dicha propiedad con otra similar tomada como patrn, la cual se ha adoptado como unidad.

figura 2: la medida de la misma superficie da una cantidad diferente : 15 baldosas.

Supongamos una habitacin cuyo suelo est cubierto de baldosas, tomando una baldosa como unidad y contando el nmero de baldosas medimos la superficie de la habitacin.

Fig 1: 30 baldosas

La medida de una misma magnitud fsica (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida.

4

5

Unidades SI derivadas

Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes

con las unidades bsicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI bsicas y/o suplementarias con un factor numrico igual 1.

Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI bsicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un smbolo particular.

Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas

equivalentes utilizando, bien nombres de unidades bsicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distincin entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno,

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Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades bsicas y suplementarias.

Magnitud Nombre Smbolo (SI)

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleracin metro por segundo cuadrado m/s2

Nmero de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Masa en volumen kilogramo por metro cbico kg/m3

Velocidad angular radin por segundo rad/s

Aceleracin angular radin por segundo cuadrado rad/s2

Viscosidad dinmica pascal segundo Pas

Entropa joule por kelvin J/K

Capacidad trmica msica joule por kilogramo kelvin J/(kgK)

Conductividad trmica watt por metro kelvin W/(mK)

Intensidad del campo elctrico volt por metro V/m

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Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades bsicas y suplementarias.

Magnitud Nombre Smbolo Expresin en otras unidades SI

Expresin en unidades SI bsicas

Frecuencia hertz Hz s-1

Fuerza newton N mkgs-2

Presin pascal Pa Nm-2 m-1kgs-2

Energa, trabajo, cantidad de calor

joule J Nm m2kgs-2

Potencia watt W Js-1 m2kgs-3

Cantidad de electricidad carga elctrica

coulomb C sA

Potencial elctrico fuerza electromotriz

volt V WA-1 m2kgs-3A-1

Resistencia elctrica ohm W VA-1 m2kgs-3A-2

Capacidad elctrica farad F CV-1 m-2kg-1s4A2

Flujo magntico weber Wb Vs m2kgs-2A-1

Induccin magntica tesla T Wbm2 kgs-2A1

Inductancia henry H WbA-1 m2kg s-2A-2

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Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son mltiplos o submltiplos decimales de dichas unidades.

Magnitud Nombre Smbolo Relacin

ngulo plano

vuelta 1 vuelta= 2 rad

grado (/180) rad

minuto de ngulo ' ( /10800) rad

segundo de ngulo " ( /648000) rad

Tiempo

minuto min 60 s

hora h 3600 s

da d 86400 s

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente.

Magnitud Nombre Smbolo Valor en unidades SI

Masa unidad de masa atmica u 1,6605402 10-27 kg

Energa electrovolt eV 1,60217733 10-19 J

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Mltiplos y submltiplos decimales Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zeta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m

1015 peta P 10-6 micro

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deca da 10-24 yocto y 10

Magnitudes, unidades y smbolos

Magnitud fsica Smbolo Unidad SI

tiempo t s

posicin x m

velocidad v m s-1

aceleracin a m s-2

ngulo plano q rad

velocidad angular rad/s

aceleracin angular rads-2

radio r m

longitud de arco s m

rea A, S m2

volumen V m3

ngulo slido W sr

frecuencia f Hz

w s-1, rad s-1

Termodinmica

calor Q J

trabajo W J

temperatura termodinmica T K

temperatura Celsius t oC

energa interna U J

entropa S J K-1

capacidad calorfica C J K-1

razn Cp / Cv g 1

Cinemtica

Dinmica

Magnitud fsica Smbolo Unidad SI

masa m kg

momento lineal p kg m s-1

fuerza F N (= kg m s-2)

momento de una fuerza

M Nm

momento de inercia

I kg m2

momento angular

L kg m2 s-1 rad (= J s)

energa E J

energa potencial

Ep , V J

energa cintica Ek J

trabajo W J

potencia P W

densidad (masa) r kg m-3

presin p Pa

Fuente: Alonso M, Finn E. Fsica. Fondo Educativo Interamericano (1972) 11

ANLISIS DIMENSIONAL

En fsica se busca establecer las posibles relaciones entre las magnitudes fsicas, o mejor, entre los parmetros capaces de caracterizar los fenmenos que se observa en la fsica.

El anlisis dimensional es un protocolo de gran vala, pues permite resolver problemas cuyas soluciones no son encontradas a travs de procesos de calculo usual. Tambin facilita a la hora de verificar los problemas en la resolucin de un ejercicio. As pues La ecuacin dimensional representa la dependencia existente entre 1 magnitud derivada y las fundamentales. Esta dependencia la expresa de forma cualitativa y cuantitativa.

Verificacin de la homogeneidad ---- la homogeneidad de una frmula consiste en que obligatoriamente las dimensiones del primer miembro de la ecuacin sean iguales a las del segundo ---.

Previsin de frmulas fsicas.

12

Anlisis dimensional Ecuacin de dimensiones

13

Homogeneidad de la frmula

Para que la frmula representativa de una ley que relaciona diferentes magnitudes fsicas sea correcta, debe ser homognea, es decir:

Las ecuaciones dimensionales de ambos miembros deben ser idnticas

Ejemplo

14

Ejemplo 2.

Hallar la ecuacin de dimensiones de la superficie de una lmina rectangular de dimensiones a y b.

Ejemplo 3.

Calcular la ecuacin de dimensin del trabajo.

Ejemplo 4.

Qu ecuacin de dimensiones tiene las razones trigonomtricas?

Como las razones trigonomtricas son el cociente entre dos longitudes a son adimensionales

Para saber la correcta debemos comprobar cul de las dos formulas es homognea, esto es, con los dos miembros dimensionalmente iguales.

15

Fisica: Tippler cap.1

16

Ejercicio: Calculate the following, round off to the correct number of significant figures, and express your result in scientific notation. (a) (1.14)(9.99 X 104) (b) (2.78 X 10-8) - (5.31 X10-9) (c) 12/(4.56 X 10-3) (d) 27.6 + (5.99 X102)

(a) The number of significant figures in each factor is three, so the result has three significant figures. (1.14)(9.99 104) = 11.4 104 = 1.14 105

(b) We must first express both terms with the same power of ten. Since the first number has only two digits after the decimal point, the result can have only two digits after the decimal point. (2.78 x 10-8) - (5.39 x 10-9) = (2.78 - 0.531) x 10-8 = 2.24 x 10-8

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c) We assume here that 12 is an exact number. Hence the answer has three significant figures. 12/(4.56 10-3) = 8.27 10-3

We must first express both terms with the same power of ten. Since the first number has only two digits after the decimal point, the result can have only two digits after the decimal point. 27.6 + 599 = 627 = 6.27 102

Calculate the following, round off to the correct number of significant figures, and express your result in scientific notation. (a) (2.00 104)(6.10 10-2) (b) (3.141592)(4.00 105) (c) (2.32 103)/(1.16 108) (d)(5.14 103) + (2.78 102); (e) (1.99 102) + (9.99 10-5)

Ejercicios:

A) 1.22 X 103

B) 1.26 X 106

C) 2.00 X 10-5

D) 5.42 X 103

E) 1.99 X 102

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La membrana celular mide 7 nm. Cuntas membranas de este espesor deberan apilarse para conseguir una altura de 1 pulgada?

1. The number of membranes is the total thickness divided by the thickness per membrane: N = (1 in)/(7 X 10-9 m/membrane) 2. Use all SI units N = (1 in)(2.54 X 10-2 m/1 in)/(7 X 10-9 m/membrane) 3. Solve for N; give result to 1 significant figure N = 4 X 106 membranes

Procedimiento e toma de medidas y anlisis de las mismas

19

Definicin de errores

20

Es la diferencia entre el

valor medido y el verdadero.

Error es la incertidumbre que

tienen las medidas.

Error

El estudio de los errores nos da la fiabilidad de los resultados que

obtenemos.

Tipos de errores

Errores sistemticos:

Son errores debido a la mala calibracin

en un aparato, por ejemplo.

Errores de observacin:

Usar escalas inadecuadas. No considerar

la paralaxis Son evitables

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Errores de Resolucin:

Se debe a la precisin limitada de los

aparatos de medida.

Tambin se incluyen los errores estadsticos

o aleatorios, o sea errores accidentales.

Estos errores son inherentes a cualquier

medida y por tanto inevitable

Pese a que las fuentes de error en medidas experimentales puedan ser muy variadas se

suele clasificar los errores en DOS GRUPOS:

Lo que procuramos en toda medicin es conocer las cotas (o lmites

probabilsticos) de estas incertidumbres.

VALOR MEDIO Y DESVIACIN

Cuando se obtiene la medida a partir de una serie lecturas de una misma

magnitud el error cometido se denomina DESVIACIN

Errores inducidos por el instrumento. Error de apreciacin: si el instrumento est correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medicin estar asociada a la mnima divisin de su escala o a la mnima divisin que podemos resolver con algn mtodo de medicin. Ntese que no decimos que el error de apreciacin es la mnima divisin del instrumento, sino la mnima divisin que es discernible por el observador. La mnima cantidad que puede medirse con un dado instrumento la denominamos apreciacin nominal. Error de exactitud: representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestin ha sido calibrado. Error de interaccin: esta incertidumbre proviene de la interaccin del mtodo de medicin con el objeto a medir. Su determinacin depende de la medicin que se realiza y su valor se estima de un anlisis cuidadoso del mtodo usado. Falta de definicin en el objeto sujeto a medicin: las magnitudes a medir no estn definidas con infinita precisin. Con este error designamos la incertidumbre asociada con la falta de definicin del objeto a medir y representa su incertidumbre intrnseca.

22

Errores de observacin.

Son debidos a defectos en la actuacin del experimentador:

Observar la escala de un aparato desde un ngulo no adecuado. No equilibrar una balanza. Demorarse en parar o encender un reloj. Utilizar un ampermetro o un voltmetro en una escala de medida que no es la adecuada.

Este tipo de errores debe ser siempre eliminado.

Errores sistemticos. Son debidos a la presencia de algn factor que no ha sido tenido en cuenta y que altera de un modo significativo el resultado de la misma. Se originan, generalmente, por las imperfecciones de los mtodos de medicin. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los errores introducidos por estos instrumentos o mtodos imperfectos afectarn nuestros resultados siempre en un mismo sentido. Otro ejemplo sera el de una balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios, como es usual que las personas (en pblico) se pesen vestidas, los valores registrados con estas balanzas tendrn un error sistemtico por el peso de la vestimenta. Estos errores se repiten constantemente en las medidas y afectan al resultado final siempre en el mismo sentido (una medida siempre mayor que la real o siempre menor).

23

La precisin de un instrumento o un mtodo de medicin est asociada a la sensibilidad o menor variacin de la magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o mtodo. As, decimos que un tornillo micromtrico (con una apreciacin nominal de 10 mm) es ms preciso que una regla graduada en milmetros; o que un cronmetro es ms preciso que un reloj comn, etc. La exactitud de un instrumento o mtodo de medicin est asociada a la calidad de la calibracin del mismo. Imaginemos que el cronmetro que usamos es capaz de determinar la centsima de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera comn no lo hace. En este caso decimos que el cronmetro es todava ms preciso que el reloj comn, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibracin de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. En general los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertos limites. Es deseable que la calibracin de un instrumento sea tan buena como la apreciacin del mismo. La Figura siguiente ilustra de modo esquemtico estos dos conceptos. 24

Error Instrumental

Precisin vs. exactitud

Los centros de los crculos indican la posicin del verdadero valor del mesurando y las cruces los valores de varias determinaciones del centro. La dispersin de los puntos da una idea de la precisin, mientras que su centro efectivo (centroide) est asociado a la exactitud. a) es una determinacin precisa pero inexacta, mientras d) es ms exacta pero imprecisa; b) es una determinacin ms exacta y ms precisa; c) es menos precisa que a).

25

26

Error de precisin instrumental

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Errores estadsticos o aleatorios.

Son el resultado de la contribucin de numerosas fuentes no controladas que desplazan aleatoriamente (en un sentido o en otro) el valor de la medida respecto a su valor real.

Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas mltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el nmero de divisiones de una regla, o si estamos mal colocados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Es a este tipo de errores a los que comnmente hace referencia la teora estadstica de errores de medicin.

Estos errores pueden ser inducidos por causas muy dispares: fluctuaciones en la corriente elctrica, variaciones de la luminosidad, variaciones de la presin, de la temperatura, seales elctricas externas de motores, vibraciones de la mesa, etc...

Los errores aleatorios tienen signo positivo o negativo, indiferentemente, y la influencia sobre los resultados no sigue ninguna ley constante.

No se pueden evitar y para disminuir su influencia:

se tiene que recurrir a la repeticin de las medidas muchas veces.!

28

Clculo de errores.

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se obtiene utilizando un nico instrumento de medida. Ejemplo: Medir la masa de un cuerpo.

Depende de medidas de diferentes propiedades o instrumentos. Normalmente hay que aplicar una frmula matemtica. Ejemplo: medir el volumen de un cuerpo, su densidad.

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VALORES PROMEDIOS Y ERRORES de las medidas directas Una medida directa es aquella que se obtiene utilizando un nico instrumento de medida.

Una medida de tiempo se obtiene utilizando un cronmetro. Una medida de longitud se obtiene utilizando una regla o un calibre. Una medida de voltaje se obtiene utilizando un voltmetro.

Supongamos que una determinada magnitud, por ejemplo, el tiempo que tarda en caer una bolita de acero desde una determinada altura. Para minimizar los errores aleatorios se mide n veces y se obtienen los siguientes resultados: a1 , a2 , ..........., an .

El verdadero valor de a NO se conoce.

Por ello se define como valor ms probable de la magnitud (la mejor aproximacin a su valor real) el valor promedio (media aritmtica):

Valor ms probable de la magnitud (la mejor aproximacin a su valor real) es el valor promedio (media aritmtica):

aa a ..... a

n

a

n

1 2 nj

j 1

n

El error que asignamos a la media se determina utilizando el error estndar: que es un promedio sobre los cuadrados de las derivaciones de los datos respecto a la media.

a a

n n 1

j

2

j 1

n

Este error es una medida de la dispersin de las medidas en torno a la media, por lo tanto cuanto menor sea este error mejor ser la calidad de las medidas. Al aumentar el nmero de medidas el histograma se va acercando a una curva acampanada Denominada Campana de Gauss. Se trata este parte con probabilidad y estadistica

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Modo de expresar los resultados Representamos los resultados de una medida como: (valor medio error absoluto) Siendo la mejor estimacin del valor de la medida, es decir:

Valor medio si solo hay errores estadsticos (efectuamos varias medidas). Valor numrico hasta la mitad de ltima cifra del aparato de medida si hay que considerar solo errores de precisin (basta con efectuar una sola medida).

x es la cota del error , es decir: en caso de errores estadsticos P en caso de errores de precisin

Cuando existen errores estadsticos y de precisin : El error se toma como el mximo de ambos: x = max ( , P) 32

33

Aunque nunca podemos conocer el valor verdadero de una magnitud, si podemos obtener una muy buena estimacin de esa cantidad a travs de los datos obtenidos experimentalmente.

Para proporcionar una idea de la precisin de una medida podemos utilizar el error relativo r :

r = / Xm

Es habitual expresar este error en tanto por ciento. Cuando determinamos un error debemos pararnos a pensar si la cantidad obtenida es correcta (lo mismo cabe decir en cuanto al valor de la magnitud). Recordar que el error absoluto o estndar solo nos indica cuanta de error. El porcentual permite evaluar si el error es aceptable o no. Una comprobacin que debe hacerse es que las dimensiones del error sean las mismas que las de la magnitud. Debemos tener en cuenta si el error es demasiado grande (ej. del orden de la magnitud medida) o demasiado pequeo (ej. un error del 0.01% de la magnitud medida) comparado con la medida. Tambin debe tenerse en cuenta que si una medida se desva significativamente de las otras, seguramente habremos cometido algn error al tomarla y no debemos incluirla en nuestros promedios.

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Verificaciones importantes a la hora de evaluar y representar los resultados

Cifra significativa es Todo digito (exceptuando el que se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad. Ejemplo: el valor 2,50 tiene 3 cifras significativas, 2,503 tiene 4 cifras significativas 0,00103 tiene 3 cifras significativas (los ceros en este caso no son significativos, puesto que se utiliza para posicionar la coma decimal).

REPRESENTACIN DE UNA MEDIDA

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Tomemos el ejemplo de un hoja de papel: Si presentamos el valor de la longitud de la hoja como L = 32,67 cm se entiende que el ltimo algoritmo es dudoso y por lo tanto la menor divisin debe corresponder al milmetro, con lo cual podemos inferir que el error en la medida es del orden de 0.05cm o 0.5 mm.

Tratndose de una medida experimental tambin expresa la precisin del instrumento: La imprecisin en la medida queda sugerida por el nmero de algoritmos significativos utilizados.

El nmero de cifras significativas del resultado de una multiplicacin o divisin no debe ser mayor que el menor nmero de cifras significativas de cualquiera de los factores. Por lo tanto se considera que la precisin de las medidas corresponde al instrumento de menor precisin

El resultado de la suma o resta, multiplicacin o divisin de dos o ms medidas depende de la precisin de cada instrumento utilizados.

En la suma o resta se considera el resultado se toma en funcin del valor de menor nmero de cifras significativas

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2,3456 3,45 + 9,0 4,56785 3,0 22,36245 m Correcto = 22,3m

- Reglas de redondeo.

Los resultados de las operaciones son nmeros para los cuales, en principio, no se conoce el valor exacto. Por ello, el nmero de cifras significativas en el resultado ser limitado. No tiene, pues, sentido considerar en ms cifras decimales de las que muestra el error.

Supongamos que queremos redondear un nmero de manera que quede expresado con n cifras significativas:

Si la (n+1)-sima cifra suprimida es menor que 5 la n-esima cifra conservada no varia.

Si la (n+1)-sima cifra suprimida es mayor que 5 la n-sima cifra conservada aumenta en 1. Si la (n+1)-sima cifra suprimida es igual a 5: 1) Si entre las cifras suprimidas adems de la 5 hay otras cifras distintas de cero: la n-sima cifra conservada aumenta en 1. 2) Todas las cifras suprimidas, salvo la cifra 5 son cero: la n-sima cifra conservada aumenta en 1 si el nmero de cifras suprimidas es impar, no varia si es par.

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El error se expresa con una nica cifra significativa. Salvo que esta sea la unidad o un 2 seguido por un nmero menor que cinco, en ese caso se pueden admitir 2 cifras significativas. La ltima cifra en la expresin de la magnitud y en el error deben ser del mismo orden decimal.

38

39

40

Ejemplo:

Supongamos que se conocen las magnitudes x1 y x2 con sus respectivos errores x1 , x2 , entonces el error en la magnitud:

se obtendr de la siguiente forma:

por lo tanto:

y f x x a x b x 1 2 1 2, ;

f

xa

f

xb

1 2

;

1 2y a x b x

y = a x + x 1 b 2

41

En el caso de productos, cocientes o potencias, resulta mucho ms sencillo tomar logaritmos neperianos antes de diferenciar: Ejemplo:

Si se conocen las magnitudes x1 y x2 con sus respectivos errores x1 , x2 , la expresin para el error de la funcin y ser:

n m

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

y x x

Ln y n Ln x m Ln x

yLn y n Ln x m Ln x

y

n my y x x

x x

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Un condensador se descarga a travs de una resistencia. Calcular la carga al cabo de 12s. C = (1000 100) F; V = 12 V; R = (12000 1200) ; t = (12.0 0.5) s. Expresin para la carga de un condensador en funcin del tiempo: donde

Convertimos la carga del condensador a unidades de S.I :

C = (1000 100) F = (1000 100) x 10- 6 F = (0.0010.0001) F

La carga inicial del condensador es : Q0 = 0.001 x 12 = 0.012 C Al cabo de 12 s la carga del condensador ser:

Q C V0 .Q Q e

t

R C

0

.

Q x e x e x Cx

0012 0012 4404 10

12

12000 0 001 0 1 3. . .. . El error en la carga es:

ln ln ln.

ln ln.

.Q Q e Qt

R CC V

t

R C

t

R C

0 0

Q

Q

C

C

V

V

t

R C

C

C

V

V

t

R C

t

R C

R

R

C

C

.

. .Los errores siempre se suman

En el caso de productos, cocientes o potencias, resulta mucho ms sencillo tomar logaritmos neperianos antes de diferenciar:

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Calculemos los valores que aparecen en esta expresin: C

C

R

RR C

Q

Q 01 01 12 03416667. ; . ; . ; . ;

Por lo tanto : Q = (1.5047 x 10- 3 ) C

La carga que estamos buscando es: Q = ( 4.4 1.5 ) x 10-3 C

44

Propagacin de las incertezas

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En el caso de una nica variable x la ecuacin se reduce a :

46

simplificando, tenemos una relacin que es vlida para el producto y la razn:

Sustituyendo estos valores en la ecuacin de la incerteza estndar,

47

Dividiendo los trminos por

se obtiene:

Este resultado puede ser generalizado para cualquier nmero de variables.

48

para x en rdianos

Esta expresin slo es vlida para x en rdianos.

Con lo cual,

49

En resumen: Tabla ejemplo de formulas de propagacin de errores

50

Tabla ejemplo de formulas de propagacin de errores

a a

51

52

53

Ejemplo: Se conoce la tensin superficial de un lquido, T, obtenida con dos mtodos distintos: T1 = (73.5 0.3) din/cm; T2 = (74.2 0.8) din/cm. Queremos conocer la mejor estimacin para la tensin superficial de ese lquido.

Aplicando las relaciones anteriores, el valor ms probable para la tensin superficial ser: 2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

1 1

73.6 /1 1

T TT T

T din cm

T T

2 2

1 2

10.3 /

1 1

T din cm

T T

Es decir: T = (73.6 0.3) din/cm

54

55

56

57

58

Ejemplos: Se efectan medidas del dimetro D y la longitud L de un tubo de vidrio , se ha utilizado un pie de rey y una cinta mtrica respectivamente, obtenindose la siguiente serie de datos: D 1.00 1.01 1.03 0.98 0.99 1.01 1.02 cm

L 2.02 2.01 2.00 1.97 1.99 2.02 2.00 m Cul es el volumen del tubo?

Paso 1. Calcular los errores de ambas medidas

59

60

Ajuste por mnimos cuadrados

Tenemos un conjunto de n medidas experimentales de x e y:

( xi (exp), , yi (exp) )i = 1,...., n

conocemos la ley terica que liga las variables x e y:

y = f (x, a, b)

podemos pues calcular los valores tericos de y:

yi (tericos) = f (xi (exp) , a, b)

Los valores yi (exp) no coinciden con los valores yi (tericos) debido a los errores experimentales, de redondeo, etc..... . 61

Ajuste a datos experimentales. Estimacin de parmetros.

Supongamos que hemos obtenido n medidas independientes de dos magnitudes fsicas x e y que, tericamente, estn relacionadas por medio de una cierta funcin en la que aparecen varios parmetros:

y = f (x, a, b)

siendo a, b = parmetros ; ( xi , yi )i= 1,......, n medidas experimentales Una forma de proceder es utilizar un ajuste por mnimos cuadrados

Las mejores estimaciones de los parmetros a y b sern aquellas que hagan mnima la diferencia entre los valores tericos y los experimentales, yi (tericos) e yi (exp) , es decir:

Para fijar ideas vamos a efectuar un ajuste a una recta: y = a x + b. Sabemos que tericamente y = a x + b, sustituimos en esa expresin los xi(exp) y obtenemos un conjunto de yi (tericos) :

yi (tericos) = a xi (exp) + b

2n

i teor i expi 1y y mnimo

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Entonces debe cumplirse:

Pero esta cantidad mnima depende de los valores, desconocidos, de a y b. Es decir, tenemos una funcin F (a,b) que depende de a y de b, debemos calcular los valores de a y b que minimizan esa funcin. Para ello deben anularse las derivadas de esta funcin respecto de a y de b: Vamos a prescindir del subndice (exp)

n n n n2

ii 1 i 1 i 1 i 1

n

i ii 11 1

1) 0a

a b x 0 1

2 ) 0

a x b 0 2

i i i i i i

n n

i i

i i

F

a x b y x x x y

F

b

y a x b n y

a x b y minimo(exp) i (exp) i2

i 1

n

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Para simplificar estas expresiones llamamos: Entonces las expresiones (1) y (2) quedarn finalmente como: a W + b X = P a X + b n = Y que es un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, a y b , que puede ser fcilmente resuelto, por ejemplo utilizando la regla de Cramer.

n n 2

ii 1 i 1

n n

ii 1 i 1

x i

i i

X W x

P x y Y y

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Los parmetros a y b vienen dados entonces, por: Estas son las mejores estimaciones de los parmetros a y b en base a las medidas disponibles De forma similar podramos efectuar un ajuste a una parbola: y = a x2 + b x + c, o a cualquier otra funcin polinmica.

a

P X

Y n

W X

X n

b

W P

X Y

W X

X n

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66

Representacin grfica de datos experimentales.

- Representacin grfica de datos experimentales. En la prctica es muy til expresar los resultados experimentales grficamente ya que tiene las siguientes ventajas: 1) De un solo golpe de vista se destacan no solo los detalles, sino el conjunto del fenmeno en el intervalo en que se han hecho las medidas. 2) Es posible conocer otros valores de la variable dependiente sin necesidad de determinacin experimental. 3) Se ponen de relieve aquellas medidas que estn afectadas de un error anormal pues se separan netamente de la grfica, etc....

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Ahora bien, para que de la representacin grfica se obtenga la mxima informacin ha de ajustarse a ciertas normas que vamos a dar a continuacin:

1.- La grfica debe representarse en papel milimetrado, empezando por dibujar los ejes de coordenadas.

2.- Debe llevar un ttulo suficientemente explcito en la parte superior. Sobre ambos ejes se debe indicar la magnitud representada en cada uno de ellos, as como la unidad en que ha sido medida. Tambin se anotar sobre el papel milimetrado la tabla de valores de las variables obtenidos en la experiencia.

3.- La variable independiente ha de ir representada en el eje de abcisas y la dependiente en el de ordenadas.

4.- Hay que procurar que los puntos experimentales no queden demasiado juntos. Para obtener una mayor informacin los puntos tienen que estar bien esparcidos.

5.- Deben escogerse las escalas correspondientes a ambos ejes de forma que comprendan solamente los intervalos dentro de los cuales vamos a representar las medidas realizadas, por tanto, en algunos casos las escalas no empezaran en cero.

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6. Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala, que quedan de esta forma uniformemente esparcidos, jams se sealan sobre ellos los valores correspondientes a las medidas realizadas.

7.- Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (puntos experimentales) y rodeados por el llamado rectngulo de error cuya base abarca desde x-x hasta x+x y cuya altura desde y-y hasta y+y. En el caso de que x o y sean despreciables en comparacin con la escala correspondiente utilizada, el rectngulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, respectivamente. Si son despreciables ambos errores, solamente se representa un punto.

8.- Las grficas han de ser lneas finas y continuas, nunca quebradas, aunque, para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o a izquierda de la grfica. Si algn punto cae exageradamente desplazado hay que rechazarlo y suponer que, por alguna razn la medida fue errnea, por lo que debe repetirse.

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Bibliografa: Fundamentos de la teora de errores J. Henrique Vuolo- Ed. Edgard Blcher LTDA. Fsica General - Burbano de Ercilla, Burbano Garca y C Gracia Muoz. ed Mira Fsica - Tipler Ed. Reverte Fsica Universitaria- Sears y Zemansky Ed. Pearson Education Apuntes del curso Introduccin a Tcnicas Experimentales, curso 2011/2012 de Silvana Radescu Apuntes de teora de errores de Emilio Cuevas.

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El error que asignamos a la media se determina utilizando

el error estndar:

a a

n n 1

j

2

j 1

n

Resumen