tema i estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

Tema IEstudios de los

esfuerzos y deformaciones en la

región elástica

Fuerzas InternasFuerzas Internas

Las fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interacción entre las partículas de los materiales . Además se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a través del cuerpo.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Fuerzo resultante y momento Fuerzo resultante y momento resultanteresultante


EsfuerzoEsfuerzo

Las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en función de una cantidad llamada “esfuerzo” que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área.


Fuerzas que actúan sobre un punto o Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área una porción de área referido al plano referido al plano

de cortede corte

P


Esfuerzo PromedioEsfuerzo Promedio

Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas interiores anteriormente mostrado, se define “esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se debe considerar una porción ΔA sobre la cual actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el cociente de ΔF entre ΔA

A

F

A

Fmm


Esfuerzo en un punto de la sección Esfuerzo en un punto de la sección ΔΔAA

Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se define el esfuerzo en este punto como el límite del cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

dA

Fd

A

FA

s

0

lim


Esfuerzo NormalEsfuerzo Normal

La componente vectorial de F sobre la normal a la sección trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que es la componente vectorial de ΔF sobre la normal al plano.

A

N

A

Nnn


Esfuerzo normal en un puntoEsfuerzo normal en un punto

Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el esfuerzo normal en dicho punto se define como:

dA

Nd

A

NA

n

0

lim


Dirección normal al plano que pasa Dirección normal al plano que pasa por el punto Ppor el punto P

knjmiln

kjin

kznjynixnn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ

ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ


knjmiln ˆˆˆˆ

cosˆ ssn n

Como se vio anteriormente, la dirección normal al plano se representa de la siguiente manera:

La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como:

La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como:

nmm ˆ


esfuerzo normalesfuerzo normal

Donde es el ángulo entre σs y σn

La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy

nnnn ssnn ˆˆˆcosˆ

El esfuerzo normal es a tensión si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo).

El esfuerzo normal es a compresión si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).


esfuerzo normalesfuerzo normal

Esfuerzo TangencialEsfuerzo Tangencial

La componente vectorial de la fuerza F en dirección de la recta t a la sección trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A se define como:

A

Ttm

El esfuerzo tangencial promedio sobre la porción de área ΔA

A

Ttm


Esfuerzo Tangencial en un puntoEsfuerzo Tangencial en un punto

Sea P un punto perteneciente a la porción de área ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:

dA

Td

A

TA

t

0

lim


La dirección tangente viene dada por:

La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:

sen

nxsxnt

ˆˆˆˆ

tstˆ

nnttt sstt ˆˆˆˆˆ

La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:


esfuerzo tangencialesfuerzo tangencial


Componentes vectoriales del Componentes vectoriales del esfuerzo resultanteesfuerzo resultante

Ángulo entre el vector esfuerzo Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normalresultante y el vector esfuerzo normal

s

n

arccos


Componentes normal y tangencial del Componentes normal y tangencial del esfuerzo esfuerzo σσss

El vector esfuerzo referido a la sección A, a la porción de área ΔA o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si, podemos decir que:

222tns


Componentes escalares del esfuerzo Componentes escalares del esfuerzo σσss si la sección es un plano si la sección es un plano

coordenadocoordenado

Para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de ejes cartesianos. De manera que el plano π corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado;



Cortes del elementoCortes del elemento de volumen de volumen paralelos a los planos paralelos a los planos coordenadoscoordenados

Componentes escalares de Componentes escalares de σσ para los para los diferentes planos coordenadosdiferentes planos coordenados

Plano π Ox Oy Oz Identificación

Oyz σxx xy xzLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X

Oxz yx σyy yzLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y

Oxy zx xy σxxLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X



Componentes escalares de Componentes escalares de σσ para los para los diferentes planos coordenadosdiferentes planos coordenados

Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificación, para esto se busca una relación entre los esfuerzos tangenciales que actúan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paralelepípedo con aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuación se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz, para los demas se sigue el mismo procedimiento


Estado de esfuerzoEstado de esfuerzo

Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y yz ejercen su acción sobre las caras correspondientes del paralelepípedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el área de la cara.

F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔz igualmente para F3 y F4


estado de esfuerzoestado de esfuerzo

El paralelepípedo es una porción del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero.

F1 + F3 = 0 F1 = -F3

F2 + F4 = 0 F2 = - F4



Las fuerzas F1 y F3 forman un par, igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el paralelepípedo esté en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula:

zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0

de donde zy = yz



Se sigue el mismo procedimiento para los demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente

xy = yx xz = zx yz = zy

El estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un sólido sometido a cargas se define entonces con seis componentes

σx, σy, σ z, xy, xz, yz



Convención de signosConvención de signos

Planos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la dirección positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano será considerado negativo.

Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.


Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la dirección negativa (o positiva) de un eje coordenado.


convención de signosconvención de signos

Estado de esfuerzo en el punto PEstado de esfuerzo en el punto P

Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que actúa en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la dirección definida por el vector y que pasa por dicho punto:

222

ˆˆˆ

zyxss

zyxs

SSS

kSjSiS


Esfuerzo vectorial resultante en el Esfuerzo vectorial resultante en el punto Ppunto P


ABC BOC BOA AOC

A A1 A2 A3

Cosenos directores que definen la Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto Presultante sobre el punto P

s

xss

Slx

,cos

s

zss

Snz

,cos

s

yss

Smy

,cos


Si las dimensiones del tetraedro fueran constantes y finitas, además de las fuerzas sobre las caras habría que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el límite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentes

00

00

00

321

321

321

AAAASF

AAAASF

AAAASF

zyzxzzz

yyxyyy

zxyxxxx


A

An

A

Am

A

Al

3

2

1

cos

cos

cos


a

b

co

e

o a

eα

α

β

β

A1

A2

A

n

Componentes cartesianas del Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto Pesfuerzo resultante en el punto P

nmlS

nmlS

nmlS

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

n

m

l

S

S

S

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x


nijs ˆ

Esfuerzos y fuerzas en las caras del Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elementaltetraedro elemental

ABC BOC BOA AOC Dirección

A A1 A2 A3

Sx σxx yx zxOx

Sy xyσyy zy

Oy

Sz xz yzσzz

Oz

SxA - σxxA1 - yxA2 - zxA3Ox

SyA- xyA1

- σyyA2 - zyA3Oy

SzA- xzA1 - yzA2

- σzzA3Oz

Cara

Área

Componentes de esfuerzo

Componentes de fuerza


Tensor de esfuerzos de Cauchy Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)(estado de esfuerzo en el punto P)

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij


Esfuerzo normal sobre el punto P Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestiónreferido al plano en cuestión

nSmSlS

knjmilkSjSiSn

zyxn

zyxsn

ˆˆˆˆˆˆˆ


mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222

Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:

nmlS

nmlS

nmlS

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

Obtendríamos:


Esfuerzo tangencial en el punto P Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión referido al plano en cuestión

(vectorial)(vectorial)

kji

knnmlmmnml

ilnml

knSjmSilS

tztytxt

nzyzxznzyyxy

nzxyxxt

nznynxt

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ


Esfuerzo tangencial en el punto P Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)referido al plano en cuestión (escalar)

22

222

nst

tztytxtt


2222

222

2 nmnlmlnml

nmlnmlnml

yzxzxyzyx

zzyzxyzyyxxzxyxt

Esfuerzos PrincipalesEsfuerzos Principales

Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los únicos esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los “planos principales” y los esfuerzos normales a esos planos se les llama “esfuerzos principales”



esfuerzos principalesesfuerzos principales

El procedimiento es maximizar la ecuación del esfuerzo normal, haciendo uso del método de Lagrange donde la condición es:

Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que: 1222 nml

221 mlSmSlS zyxn



Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condición estacionaria y esta dada por:

0

0

n

mSnS

m

n

lSnS

l

zyn

zxn



De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores

n

S

m

S

l

S zyx

La proporcionalidad de la ecuación anterior genera el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo”.



De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones

nSmSlS iziyix ;;

La condición para que este sistema de ecuaciones lineales homogéneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero

0

izzyzx

yziyxy

xzxyix



0322

13 III iii

El desarrollo del determinante proporciona una ecuación característica de tercer grado


Ecuación característicaEcuación característica

Como los esfuerzos principales son independientes de la orientación del sistema de referencia, los coeficientes de la expresión anterior tienen que ser también independientes de la orientación del sistema de referencia; las expresiones de éste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se denominan invariantes de los esfuerzos.

222

3

2222

1

2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

I

I

I


Invariantes de esfuerzosInvariantes de esfuerzos

Invariantes de esfuerzoInvariantes de esfuerzo

El término I3 es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzos


zzyzx

yzyyx

xzxyx

I

3

Según el teorema fundamental del álgebra la ecuación característica se puede escribir como el producto de las diferencias entre la incógnita y las raíces de la ecuación

0321 iii

De lo anterior tendríamos que los invariantes de esfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma

3213

1332212

3211

I

I

I


Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:

σ1 > σ2> σ3

algebraicamente


Orden de los esfuerzos Orden de los esfuerzos principalesprincipales

Direcciones PrincipalesDirecciones Principales

Una vez determinados los esfuerzos principales se deben determinar los cosenos directores de los ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las tres direcciones principales se definen por medio de los vectores n1, n2, n3, dirigidos según la normal a cada unos de los planos principales. De esta forma se tiene:


Cosenos directores para el eje (1)Cosenos directores para el eje (1)

kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ

ˆ,1cosˆ,1cosˆ,1cosˆ

1111

1111

1



kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ


2222

2222

2



kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ


3333

3333

3


En resumen tendríamos:

VECTOR EJE X Y Z

n11 L1 M1 N1

n22 L2 M2 N2

n33 L3 M3 N3



Z

X

Y

Cálculo de las direcciones principalesCálculo de las direcciones principales

i

yzxz

iyxy

i

xziz

xyzy

i

izyz

zyiy

i KNML

1222 iii NML


yzyz

iyxy

i

xziz

xyzy

iizyz

zyiy

i

C

BA


calculo de las direcciones principalescalculo de las direcciones principales

222

1

iii

i

iiiiiiiii

CBAKdonde

KCNKBMKAL



222

222222

iii

ii

iii

ii

iii

ii

CBA

CN

CBA

BM

CBA

AL



ijsiNNMMLL jijiji 0

Se demuestra asimismo que para dos planos principales cualesquiera :

lo cual significa que estos planos son perpendiculares entre si .



Direcciones principales referidas al Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3sistema coordenado ortogonal 1,2,3

nnnN

nnnM

nnnL

ˆˆcos3,cos

ˆˆcos2,cos

ˆˆcos1,cos

3

2

1


Esfuerzo resultante (vectorial y Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en función de escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales

kNjMiL

kSjSiS

s

s

ˆˆˆ

ˆˆˆ

321

321

223

222

221 NMLss


Esfuerzo normal (vectorial y escalar) Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en función de los en el punto P en función de los


23

22

21

ˆˆˆ

NML

kNjMiL

nn

nnnn


Esfuerzo cortante (vectorial y Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en función de escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales

22231

22232

22221

2

223

22

21

223

222

221

2

321ˆˆˆ

NLNMML

NMLNML

kNjMiL

t

nnnt

t


Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esféricoy esférico

Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3 son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).

Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociado con σ1 = σ2 (estado de esfuerzos cilíndrico).

Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una dirección principal (estado esférico).


Estados de esfuerzos triaxial, Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esféricocilíndrico y esférico


Valores extremos del esfuerzo Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes cortante o esfuerzos cortantes

principalesprincipales

223

22

21

223

222

221

2 NMLNMLt

Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:

23322

3122

323

22

223

21

22 MLMLt


El objetivo es maximizar la ecuación anterior, esto se hace diferenciando con respecto a L y M e igualando a cero

02

12

02

12

31322

31232

31322

31231

MLMM

MLLL

t

t

t

t


esfuerzos cortantes principalesesfuerzos cortantes principales

Posibles soluciones del sistema Posibles soluciones del sistema anterioranterior

Caso 1: L=±1 M=0 N=0 Caso 2: L=0 M= ±1 N=0 Caso 3: L=0 M=0 N= ±1 Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0 Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2 Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2


Esfuerzos cortantes máximos para los Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriorescasos anteriores

2:6

2:5

2:4

0:3

0:2

0:1

31

32

21

Caso

Caso

Caso

Caso

Caso

Caso


Esfuerzos cortantes principalesEsfuerzos cortantes principales

22221

331

232

1

Si los cosenos directores de los tres últimos casos son sustituidos por turno en la ecuación

223

22

21

223

222

221

2 NMLNMLt

Se obtienen los valores máximos del esfuerzo de corte


Si los valores de los cosenos directores para los planos sobre los cuales actúan los esfuerzos de corte principales son sustituidos en la ecuación del esfuerzo normal, se obtendrían los valores del esfuerzo normal sobre esos planos:

222

213

312

321

NNN


La ecuación que se presenta a continuación es muy importante en las teorías de falla, ya que esta muestra que cuando se alcanza la fluencia, el proceso de deformación plástica que prosigue es netamente de cizallamiento.

21

22

232 MNLNLMt


Forma general de las componentes Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en escalares del esfuerzo resultante en

un punto P sobre un plano cualquieraun punto P sobre un plano cualquiera

La normal en el punto P a la superficie plana de la sección y los dos ejes perpendiculares entre sí trazados en el plano π, forman un sistema de ejes cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos ejes cambian con la posición del punto P y con la inclinación del plano π.


La dirección y sentido de cada eje con relación a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz están determinados respectivamente por los vectores unitarios

kzzjyzixzn

kzyjyyixyt

kzxjyxixxt




1111

1112

1111


Componentes del esfuerzo Componentes del esfuerzo cortantecortante

O también

knjmiln

knjmilt

knjmilt

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

1

2222

1111


componentes del esfuerzo cortantecomponentes del esfuerzo cortante

Componentes del esfuerzo cortanteComponentes del esfuerzo cortante


El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las componentes con relación al sistema coordenado de referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son las componentes con relación al sistema variable Px1y1z1. Estas últimas se calculan usando las igualdades siguientes:

ntt snss ˆˆˆ2211



En función de los elementos del tensor se tendría

mnnllmnml

nmmnnllnmllmnnmmll

nmmnnllnmllmnnmmll

yzxzxyzyxn

yzxzyxzyx

yzxzyxzyx

2222

2222222222

1111111111

22

21 t



Escribiéndolo de forma matricial se tendría:

n

m

l

nml

nml

nml

zyzxz

zyyxy

zxyxx

n

111

111

2

1



Transformación de ejesTransformación de ejes

'''

'''

'''

zzCosyzCosxzCos

zyCosyyCosxyCos

zxCosyxCosxxCos

A tt

nn

Tijij

ss

A

A

AA

nAn

A

ˆ'ˆ

ˆ'ˆ

'

ˆ'ˆ

ˆ'ˆ


transformación de ejestransformación de ejes

321

321

321

333

222

111

'''

'''

'''

nnn

mmm

lll

nml

nml

nml

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx


Esfuerzos normales después de la Esfuerzos normales después de la transformación de ejestransformación de ejes

Resolviendo lo anterior podemos encontrar los elementos del tensor para la nueva ubicación de los ejes:

333333

23

23

23

22222222

22

22

11111121

21

21

2'

2'

2'

nmnlmlnml

nmnlmlnml

nmnlmlnml

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx


Esfuerzos cortantes después de la Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejestransformación de ejes

'

'

'

'

'

'

1313

13131313313131

3232

32323232323232

2121

21212121212121

zxxz

yzxyzyxxz

zyxz

yzxyzyxyz

yxxz

yzxyzyxxy

nlln

mnnmlmmlnnmmll

nlln

mnnmlmmlnnmmll

nlln

mnnmlmmlnnmmll


Esfuerzo normal octaédrico y Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédricoesfuerzo de corte octaédrico

23

22

21

213

232

221

321

3

2

3

1

3

oct

oct

moct


Desviador de esfuerzos y esfuerzo Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostáticohidrostático

El estado de esfuerzo en un punto interior de un cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un estado de esfuerzo que produce distorsión o cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un estado de esfuerzo que produce variación de volumen (esfuerzo esférico o hidrostático).

m

m

m

m

m

m

3

2

1

3

2

1

00

00

00

00

00

00

00

00

00


Componentes del desviador de Componentes del desviador de esfuerzosesfuerzos

3

2

3

2

3

2

2133

''3

3122

''2

3211

''1

m

m

m


La dirección del esfuerzo principal del desviador de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo principal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene la misma dirección de σ1. Puesto que un cuerpo isotrópico incompresible no se deforma por la presión hidrostática, la deformación depende solamente del desviador de esfuerzo, sin la contribución del componente esférico


Dirección del desviador de Dirección del desviador de esfuerzosesfuerzos

Desviadores de esfuerzo principalDesviadores de esfuerzo principal

32131

''3

22

1''

2

''3

''''2

3''

2792127

1

33

1

0

IIIII

III

donde

II


Circulos de MohrCirculos de Mohr

2

3222

32

22

n

La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:


Centros y radios de los círculos de Centros y radios de los círculos de MohrMohr

22221

331

232

1

CCC

22221

331

232

1

RRR


Observando las ecuaciones de centros y radios dadas anteriormente podemos afirmar que los centros de los círculos de Mohr equivalen a los esfuerzos normales, y los radios de dichos círculos equivalen a los esfuerzo cortantes.


Relación entre radios y centros Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzode Mohr y el estado de esfuerzo


Círculos de MohrCírculos de Mohr

Pasos para conseguirPasos para conseguir σσnn,,σσss, y , y tt

Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3


Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de una vertical trazada por σ3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son los esfuerzos buscados.

Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).


Solución gráficaSolución gráfica


Q2

Q3

S1

S2A

n

t

s

Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio

En esta parte se van a obtener las ecuaciones que deben verificar las fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen en el interior de un cuerpo, de manera que este se encuentre en equilibrio. Para hacer este estudio se deben tomar un punto P y un punto Q ubicados en vértices opuestos del paralelepípedo elemental, como se muestra en la figura.

A

B

C

D

E

FPQ


Esfuerzos sobre las caras que Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto Pconcurren en el punto P


Esfuerzos que concurren en el punto Esfuerzos que concurren en el punto QQ


mzmymx

zz

zyzy

zxzx

yzyx

yy

yxyx

xzyx

xyxy

xx

zzx

yzyyx

yzy

zy

yz

FFF

dxdydzz

dxdydzz

dxdydzz

ODAB

dxdzdyy

dxdzdyy

dxdzdyy

QDFE

dydzdxx

dydzdxx

dydzdxx

OBCE

dxdydxdyPCHF

dxdzdxdzdxdzPADF

dxdzdxdz

dxdydxdzPABC

OZOYOXCARA


Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

Fzyx

Fzyx

Fzyx

0

0


Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobre un cuerpo que está impedido de moverse por las restricciones que imponen las condiciones de borde, o si por un medio físico-químico cualquiera se altera su temperatura, bajo estas circunstancias el cuerpo sufre cambios en su geometría que se llaman comúnmente deformaciones.

Deformaciones en tres dimensionesDeformaciones en tres dimensiones


La teoría que se va a presentar sobre las deformaciones esta basada en un conjunto de suposiciones que caracterizan el modelo físico descrito a partir de los siguientes postulados:

a) El cuerpo tiene una distribución continua de la materia (homogéneo).

b) Cuando aparecen en los cálculos ángulos pequeños expresados en radianes, se pueden sustituir por el seno o la tangente trigonométrica respectiva.


deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones

c) Las deformaciones son pequeñas. Los desarrollos de las relaciones donde intervienen se interrumpen en los términos de primer grado despreciándose todos los demás, desde aquellos en donde aparecen cuadrados o productos de las mismas deformaciones; la teoría basada en estas suposiciones se conoce como la teoría linealizada de la deformación.



d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de la deformación quedan como tales después de la misma.

e) La teoría es aplicable únicamente a regiones pequeñas dentro del cuerpo y el análisis de las deformaciones sólo se refiere a las cercanías inmediatas de un punto determinado.



Supongamos que A y B son dos puntos en un material cualquiera, la distancia entre ellos es lo, cuando no se han aplicado fuerzas externas al cuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, el mismo tomará una nueva posición (líneas punteadas), en la cual AB se movió a A’B’. La distancia AA’ ha sido el desplazamiento del punto A y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.



Si A’B’ es paralela e igual que AB el desplazamiento ha sido solamente de traslación; pero si no es paralela, entonces incluye rotación y traslación.

Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a lo entonces ha existido desplazamiento relativo de B con respecto a A y por lo tanto ha sucedido un estado de deformación.



La posición de cualquier punto y su desplazamiento pude ser especificada con respecto a cualquier sistema de coordenadas X, Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tiene coordenadas XA, YA, ZA de manera que el desplazamiento de A a A’ puede ser representado por ΔXA, ΔYA, ΔZA, proyectando el desplazamiento sobre los ejes X, Y, Z respectivamente.



La notación que debe usarse es:

ΔX=u ΔY=v ΔZ=w

De manera que las cantidades u, v y w son usualmente referidas a “desplazamientos”



Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumen


dx

dx

dy dy

Relación entre desplazamientos y Relación entre desplazamientos y deformacionesdeformaciones

Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ; w = f’’ (x,y,z)

Existe traslación

Existe deformación

X


x

u

dx

dxxu

iniciallongitud

ientorgamala

l

ll

dxx

uuuupuntodelentoDesplazami

xdirecciónlaenupuntodelentoDesplazami

xf

0

0

2

)(1


Desplazamiento del punto 1 y Desplazamiento del punto 1 y el punto 2el punto 2

y

v

dy

dyyv

iniciallongitud

ientorgamala

dyy

vvvvpuntodelentoDesplazami

ydirecciónlaenvpuntodelentoDesplazami

y

3

)(1


Desplazamiento de los puntos Desplazamiento de los puntos 1 y 31 y 3

Análogamente en la tercera dimensión se tiene: z = ∂w/∂z.

Por lo tanto:

z

w

y

v

x

uzyx


Deformaciones en dirección de Deformaciones en dirección de los ejes coordenadoslos ejes coordenados

Lo que realmente ocurre es:


Desplazamiento de la arista 1-2

=(∂v/∂x)dx


Desplazamiento de la arista 1-3Desplazamiento de la arista 1-3

(∂u/∂y)dy



(∂u/∂y)dy

(∂v/∂x)dx

u+(∂u/∂x)dx

dx+(∂u/∂x)dx

v+(∂v/∂y)dy

dy+(∂v/∂y)dy

(∂v/∂x)dx

(∂u/∂y)dy

La deformación de corte xy sobre un punto es definido como el cambio en el valor del ángulo entre los dos elementos originalmente paralelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y 13), de manera que en nuestro caso.

2xy


Deformación angularDeformación angular

x

ventonces

x

ucomo

xuxv

dxxu

dx

dxxv

11

1tan


Deformación angularDeformación angular

y

u

x

v

y

uentonces

y

vcomo

yv

yu

dyyv

dy

dyyu

xy

11

1

tan


De manera similar se hace para yz y para xz entonces tendríamos:

z

u

x

w

z

v

y

w

y

u

x

v

yz

yzxy


Deformaciones angularesDeformaciones angulares

El alargamiento Δu en la dirección X se dijo que era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucede análogamente en tres dimensiones


(∂w/∂x)dx

(∂v/∂x)dx

dx+(∂u/∂x)dx

Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:

dzz

vdy

y

vdx

x

vv

dzz

udy

y

udx

x

uu


Haciendo superposición en las tres dimensiones:

dzz

wdy

y

wdx

x

ww

dzz

vdy

y

vdx

x

vv

dzz

udy

y

udx

x

uu


Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices

dz

dy

dx

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

w

v

u


Matriz de los desplazamientos Matriz de los desplazamientos relativosrelativos

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

Dij


Aplicando la identidad matricial:

jt

ijt

ijij dxDDDDD

2

1

2

1

Se obtiene el siguiente resultado


Z

W

Z

V

Y

W

Z

U

X

W

Y

W

Z

V

Y

V

Y

U

X

V

X

W

Z

U

X

V

Y

U

X

U

Dij

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

Z

V

Y

W

Z

U

X

W

Y

W

Z

V

Y

U

X

V

X

W

Z

U

X

V

Y

U


O también:

0

0

0

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

xy

xz

yz

zzzyzyzxzx

yzyzyyyxyx

xzxzxyxyxx

ijD

ijijijD


Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación

Tensor de deformaciónTensor de deformación

Z

W

Z

V

Y

W

Z

U

X

W

Y

W

Z

V

Y

V

Y

U

X

V

X

W

Z

U

X

V

Y

U

X

U

ij

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1


Tensor de deformaciónTensor de deformación

zzyzx

yzy

yx

xzxyx

ij

22

22

22


O también

Tensor de rotación Tensor de rotación ωω

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

Z

V

Y

W

Z

U

X

W

Y

W

Z

V

Y

U

X

V

X

W

Z

U

X

V

Y

U

ij


Deformación normal unitaria en Deformación normal unitaria en cualquier direccióncualquier dirección


Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:

2222

2222

dzdydxr

wdzvdyudxdrr


Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos:

2222 2222 wwdzvvdyuudxdrrdr

2

2

22

2

22

2

22

2

2222 r

w

r

wdz

r

v

r

vdy

r

u

r

udx

r

dr

r

dr

Dividiendo por 2r


2

Sabemos que:

rndznr

dz

rmdymr

dy

rldxlr

dx

cos

cos

cos


2

2

22

2

22

2

22

2

2222 r

w

r

wnr

r

v

r

vmr

r

u

r

ulr

r

dr

r

dr

r

wn

r

vm

r

ul

r

dr

Despreciando términos cuadráticos por ser muy pequeños se tiene:

Entonces la ecuación quedaría:


dzz

wdy

y

wdx

x

w

r

n

dzz

vdy

y

vdx

x

v

r

mdz

z

udy

y

udx

x

u

r

l

r

dr

Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:


rnz

w

r

nrm

y

w

r

nrl

x

w

r

n

rnz

v

r

mrm

y

v

r

mrl

x

v

r

m

rnz

u

r

lrm

y

u

r

lrl

x

u

r

l

r

dr


Sabiendo que:

z

u

x

w

z

v

y

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

xzyzxy

zyx


Deformación normalDeformación normal

nmnlmlnml yzxzxyzyxn 222

Si comparamos esta ecuación con la ecuación del esfuerzo normal

podemos observar la estrecha relación que guardan ambas ecuaciones y por consiguiente se da el siguiente diccionario.


mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222

2

2

2

yzyzzz

xzxzyy

xyxyxx


Correspondencia entre Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesesfuerzos y deformaciones

33

22

11

,,,,2

nmlnml

Correspondencia entre esfuerzos Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesy deformaciones


zzyzx

yzy

yx

xzxyx

22

22

22

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ijij

Correspondencia entre esfuerzos Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesy deformaciones


Ecuaciones de compatibilidad para Ecuaciones de compatibilidad para las deformacioneslas deformaciones

Los desplazamientos de un punto en un cuerpo deformado están dados por las tres componentes u v y w, como funciones continuas de x, y, z y las deformaciones están definidas por seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si se tienen las tres componentes de los desplazamientos, todas las componentes de la deformación pueden ser determinadas mediante el siguiente procedimiento.


Las tres primeras ecuaciones se deducen de la siguiente manera:

Se parte de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.

Se derivan cada una de ellas dos veces en relación a las variables que aparecen como subíndices.

En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivas expresiones x, y, z.


ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones

yxxy

xzzx

zyyz

xyyx

zxxz

yzzy

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



Se parte también de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.

Se deriva cada una de ellas con respecto a la variable que no aparece en el subíndice.

Se suman los resultados obtenidos. A esta suma se resta cada vez el doble de

cada una de las derivadas, obteniéndose tres expresiones en donde aparecen en los segundos miembros las derivadas segundas de las componentes u, v y w.



Se deriva cada una de estas tres igualdades respectivamente con respecto a la tercera variable x, y o z que no aparecen en las segundas derivadas.

En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x, y, z



yxzzxz

xzyxzy

zyxzyx

zxyzxyy

yzxyzxx

xyzxyzz

2

2

2

2

2

2



Deformaciones principalesDeformaciones principales

0

22

22

22

n

m

l

izzy

zyzx

zx

yzyziy

yxyx

xzxz

xyxyix

Para hallar las deformaciones principales se hace el mismo procedimiento que con los esfuerzos principales, esto es debido a la analogía de las ecuaciones.


La condición para que el anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas presente soluciones no triviales es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero, es decir:


deformaciones principalesdeformaciones principales

0

22

22

22

izzyzx

yziy

yx

xzxyix

Ecuación característicaEcuación característica

0322

13 JJJ iii

Desarrollar el determinante anterior proporciona una ecuación característica de tercer grado.


Invariantes del tensor de las Invariantes del tensor de las deformacionesdeformaciones

222

3

2222

1

2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

J

J

J


Invariantes del tensor de las Invariantes del tensor de las deformacionesdeformaciones


zzyzx

yzy

yx

xzxyx

J

22

22

22

3

El invariante J3 es el determinante del tensor de deformación

222222

4

1

4

1

4

1yzyzxzxzxyxy

4442222

444222

3

222

2

1

xyz

xzy

yzx

yzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

J

J

J


Como

Entonces los invariantes se escriben:

Invariantes de las deformaciones en Invariantes de las deformaciones en función de las deformaciones función de las deformaciones

principales.principales.

3213

3132212

3211

J

J

J


Direcciones principalesDirecciones principales

Tomando las dos últimas ecuaciones del sistema lineal homogéneo y resolviendo se pueden hallar los cosenos directores:

22

2

2

22

2

2

yzxz

iyxy

i

xziz

xyzy

i

izyz

zyiy

i NML


Si llamamos:

izyz

zyiy

iA

2

2

2

22

xziz

xyzy

iB

22

2

yzxz

iyxy

iC


direcciones principalesdirecciones principales

222

222

222

iii

ii

iii

ii

iii

ii

CBA

CN

CBA

BM

CBA

AL

Entonces los cosenos directores serían:


direcciones principalesdirecciones principales

Estado de deformación en el punto P Estado de deformación en el punto P referido al sistema coordenado referido al sistema coordenado

ortogonalortogonal

El estado de deformación en el punto P viene dado por:

Deformación resultante. Deformación normal. Deformación angular.


Deformación resultante en el punto P Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)

kNjMiL

kSjSiS

s

s

ˆˆˆ

ˆˆˆ

321

321

223

222

221 NMLss


Deformación normal en el punto P Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)

23

22

21

ˆˆˆ

NML

kNjMiL

nn

nnnn


Deformación angular en el punto P Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)

22231

22232

22221

2

222

321

2

2

ˆˆˆ2

NLNMML

kNjMiL

t

nst

nnnt


Deformaciones normales máximasDeformaciones normales máximas

2

22

213

312

321

n

nn


Deformaciones angulares máximasDeformaciones angulares máximas

22

22222

213

31

max

2321


Circulo de Mohr para deformacionesCirculo de Mohr para deformaciones

En el circulo de Mohr para el caso de deformaciones, las coordenadas del punto A corresponden a las componentes cartesianas ( , /2) del vector s. Estas componentes estan relacionadas con las deformaciones principales y con los cosenos directores del vector normal.

1222

23

22

21

2223

222

221

NML

NML

NML

n

s


2313

21

2

2

1232

13

2

2

3121

32

2

2

2

22

N

ML

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:


Tomando, por ejemplo, la primera ecuación, podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y (1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:

02 32

2

Análogamente se hace para las otras dos ecuaciones, obteniéndose lo siguiente:


2

21

2

21

2

2

31

2

31

2

2

32

2

32

2

222

222

222


Centros de los círculos de Mohr para Centros de los círculos de Mohr para deformacionesdeformaciones

0,2

0,2

0,2

213

312

321

C

CC


Radios de los círculos de Mohr para Radios de los círculos de Mohr para deformacionesdeformaciones

2

22

213

312

321

R

RR


Círculos de Mohr para deformacionesCírculos de Mohr para deformaciones


Pasos a seguir para obtener la Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Aubicación del punto A

Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.


Se mide el ángulo = arc cos(N) a partir de una vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2.

Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son las deformaciones buscadas.


Pasos a seguir para obtener la ubicación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Adel punto A

Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).

Pasos a seguir para obtener la ubicación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Adel punto A



Solución gráficaSolución gráfica

Q2

Q3

S1

S2A

n

t

s

Cambio unitario de volumenCambio unitario de volumen

El cambio unitario de volumen en un punto de un cuerpo sometido a un estado de esfuerzo triaxial se puede determinar considerando un elemento de volumen. El volumen original que tiene este elemento es Vo = dxdydz y el volumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfz donde:

)1()1(

)1()1(

)1()1(

0

0

0

zzfz

yyfy

xxfx

dxLL

dxLL

dxLL


Las anteriores son las longitudes finales de cada arista, de esta forma el volumen final sería:

dxdydzV zyxf 111

dxdydzVVV zyxf 11110

Por lo tanto el cambio de volumen sería:


cambio unitario de volumencambio unitario de volumen

El cambio unitario de volumen o deformación volumétrica sería:

11110

zyxV

V

10

JV

Vzyx

Despreciando el producto de cantidades pequeñas:


cambio unitario de volumencambio unitario de volumen

Relación de PoissonRelación de Poisson

Cuando una pieza se somete a un esfuerzo normal de tensión en una dirección dada, en la dirección del esfuerzo se produce un alargamiento y en cada una de las direcciones perpendiculares aparece una contracción. Si la pieza se somete a un esfuerzo de compresión, sucede lo contrario, hay una contracción en dirección del esfuerzo y un alargamiento en cada una de las direcciones perpendiculares.


A la dirección del esfuerzo se le llama axial, y a las direcciones perpendiculares se les llama transversales. Se le da el nombre de Relación de Poisson () al cociente de la deformación unitaria transversal y la deformación unitaria axial

x

z

x

y

a

t


relación de Poissonrelación de Poisson

Dando a los alargamientos el signo positivo y a las contracciones un signo negativo tendríamos:

Esfuerzo a tracción en la dirección Ox

Esfuerzo a compresión en la dirección Ox

xzxy

xzxy


relación de Poissonrelación de Poisson

Módulo de ElasticidadMódulo de Elasticidad

La relación entre el esfuerzo y la deformación en la región elástica es una relación lineal. Esta idealización amplia y su generalización aplicable a todos los materiales se conoce como Ley de Hooke (σ = E), que significa simplemente que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, donde la constante de proporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad o módulo de Young.


E


módulo de elasticidadmódulo de elasticidad

Módulo de RigidezMódulo de Rigidez

Igualmente que para el módulo de elasticidad, se sabe que existe una relación lineal entre el esfuerzo tangencial o de corte y la deformación angular. Se llama Módulo de Rigidez al cociente del esfuerzo de corte y la deformación angular (G = /)


12

EG

G

módulo de rigidezmódulo de rigidez


Ley de Hooke en tres dimensionesLey de Hooke en tres dimensiones Todo esfuerzo normal actuando en dos caras

opuestas de un elemento cúbico produce una deformación longitudinal proporcional al esfuerzo aplicado y del mismo signo.

Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismo tiempo una deformación transversal de signo opuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitud es una fracción de la deformación longitudinal.

Si en dos caras contiguas de un elemento cúbico y en sus caras opuestas actúan esfuerzos tangenciales en equilibrio, se produce una deformación angular, proporcional al esfuerzo tangencial actuante.


Es decir:


Esfuerzo σx σy σz

Ox σx/E -σy/E -σz/E

Oy -σx/E σy/E -σz/E

Oz -σx/E -σy/E σz/E


A los alargamientos se les ha dado un signo positivo y al acortamiento un signo negativo, entonces se tiene

Ecuaciones de deformaciones en Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzosfunción de esfuerzos

xzxzyxzz

yzyzzxyy

xyxyzyxx

EE

EE

EE

121

121

121


2111

2111

2111

zyxzz

zyxyy

zyxxx

EE

EE

EE


Ecuaciones de esfuerzos en Ecuaciones de esfuerzos en función de deformacionesfunción de deformaciones

yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

1211

1211

1211

Otra forma de escribirlo sería:


Esfuerzos cortantesEsfuerzos cortantes

12

12

12

yzyzyz

xzxzxz

xyxyxy

EG

EG

EG


Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente manera

2111

321

EE i

i


Esfuerzos principales en función de Esfuerzos principales en función de las deformaciones principaleslas deformaciones principales

Constante de LameConstante de Lame

211

E


Esfuerzos en función de la constante Esfuerzos en función de la constante de Lamede Lame

11

11

11

21

21

21

JGJE

JGJE

JGJE

zzz

yyy

xxx


Esfuerzos principales en función de Esfuerzos principales en función de la constante de Lamela constante de Lame

0

21

21

21

13133

12122

11111

yzxzxy

JGJE

JGJE

JGJE


Relación entre esfuerzos y Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohrdeformaciones en el circulo de Mohr


RosetasRosetas


θa

θb

θc

Ecuaciones de rosetasEcuaciones de rosetas

ccxycycxc

bbxybybxb

aaxyayaxa

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

22

22

22


tema i estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región elástica

Documents