unidad - transformaciones de esfuerzos y deformaciones

8/13/2019 Unidad - Transformaciones de Esfuerzos y Deformaciones

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MECANICA DEMATERIALES

CICLO 2013 - I

CAPITULO

Transformacin de

Ing. Ivn D. Sipin Muoz.

esfuerzos ydeformaciones


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaTransformacin de esfuerzos y deformaciones

Introduccin

Transformacin de esfuerzo plano

Esfuerzos principales

Esfuerzo cortante mximo

Ejemplo 01

Ejemplo 02

Circulo de Mohr ara esfuerzo lano

Ing. Ivn D. Sipin Muoz 7 - 2

Ejemplo 03

Ejemplo 04


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaIntroduccin

El estado general de esfuerzos en un punto

puede ser representado por 6 componentes:

),,:(NotacortanteEsfuerzo,,

normalEsfuerzo,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

===

Si los ejes se hacen girar, el mismo estado de


diferente de componentes.


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaIntroduccin

Para el anlisis de transformacin de esfuerzos se

tratara el esfuerzo plano en el que dos caras del

elemento cbico estn libres de esfuerzo. Para el

ejemplo ilustrado, el estado de esfuerzo se define

por

.0y,, xy === zyzxzyx


sometida a fuerzas que actan en su plano medio

El esfuerzo plano tambin ocurre en la superficie

libre de un elemento estructural o elemento de

maquina.


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaTransformacin de Esfuerzo Plano

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

+

+==

==

Considere las condiciones de equilibrio de un

elemento prismtico con caras respectivamente

perpendiculares a los ejesx,y,x.


2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xy

yx

yx

xy

yxyx

y

xy

yxyx

x

+

=

+

=

+

++

=

Las ecuaciones pueden reescribirse en funcin del

esfuerzo como:


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEsfuerzos Principales

Las ecuaciones obtenidas anteriormente

son las ecuaciones paramtricas de un

circulo:

( )

2

2

222

22

:Donde

xy

yxyx

prom

yxpromx

R

R

+

=

+=

=+


Los esfuerzos principales ocurren en los

planos principales de esfuerzo, en el cual el

esfuerzo cortante es nulo

o

2

2

minmax,

90endiferidosangulosdosdefine:Nota

22tan

22

yx

xy

p

xy

yxyx

=

+

+

=


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEsfuerzo cortante mximo

El esfuerzo cortante mximo ocurre :promx =

22tan

2

o

2

2

max

xy

yx

s

xy

yxR

=

+

==


2

45endedesplazado

o

yx

prom

p

+==


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaEjemplo 01:

SOLUCION:

Calculamos el ngulo de inclinacin para los

planos principales:

yxxyp

=

22tan

Determinamos el esfuerzo principal:

2


Para el estado tensional mostrado

determine: (a) los planos

principales, (b) los esfuerzos

principales, (c) el esfuerzo cortante

mximo y el esfuerzo normalcorrespondiente.

minmax, 22 xy

yxyx

+

=

Calculamos los mximos esfuerzos a partir

de:2

2

max 2 xy

yx

+

=

2

yx

+=


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SOLUCION:

Reemplazando valores obtenemos:

( )

( )

=

=

+

==

1.233,1.532

333.11050

4022

2tan

p

yx

xyp

= 6.116,6.26


Los esfuerzos principales son:

( ) ( )22

22

minmax,

403020

22

+=

+

+= xy

yxyx

MPa30

MPa70

min

max

=

=

MPa10

MPa40MPa50

=

+=+=

x

xyx


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Calculamos el esfuerzo cortante maximo

( ) ( )22

22

max

4030

2

+=

+

= xy

yx

MPa50max =


MPa10

MPa40MPa50

=

+=+=

x

xyx

2

1050

2

=

+== yx

prom

El esfuerzo normal correspondiente:

MPa20=

45=

ps = 6.71,4.18s


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SOLUCION:

Se reemplaza la fuerza P por un sistema

equivalente de par fuerza en el centro

de las seccin transversal que contienea H.

Evaluar los esfuerzos normal y cortante


Una fuerza horizontal P de 150 lb es

aplicada en el extremo D de la palanca

ABD. Determine (a) los esfuerzo normaly cortante en un elemento situado en el

puntoHcon lados paralelos a los ejes x-

y, (b) Los planos principales y los

esfuerzos principales en el punto H

en el puntoH.

Determinar los planos y esfuerzos

principales.


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SOLUCION:

Clculo de l sistema de par de fuerzas

equivalente:

( )( )

( )( ) inkip5.1in10lb150

inkip7.2in18lb150

lb150

==

==

=

M

T

P


Clculo de esfuerzos en el puntoH.

( )( )

( )

( )( )

( )421

4

41

in6.0

in6.0inkip7.2

in6.0

in6.0inkip5.1

+=+=

+=+=

J

Tc

I

Mc

xy

y

ksi96.7ksi84.80 +=+== yyx


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Determinacin de inclinacin de los

planos y esfuerzos principales:

( )

=

=

=

=

119,0.612

8.1

84.80

96.7222tan

p

yx

xyp

= 5.59,5.30p


( )22

22minmax,

96.72

84.80

2

84.80

22

+

+=

+

+= xy

yxyx

ksi68.4

ksi52.13

min

max

=

+=


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ec n ca e ater a es Escuela Ingeniera Mecnica ElctricaCirculo de Mohr para Esfuerzo Plano

Con el significado fsico del crculo de Mohr

para el plano de esfuerzos establecido, basados

en consideraciones geomtricas simples, los

valores crticos se estiman o calculan

grficamente. Para un estado conocido del esfuerzo plano

dibujamos los puntos X y Y

y construimos un circulo con centro en C.xyyx ,,


2

2

22 xy

yxyx

prom R

+

=

+=

Los esfuerzos principales obtenidosA yB.

yx

xy

p

prom R

=

=

22tan

minmax,

La direccin de rotacin de Ox hacia

Oa es el mismo que CXhacia CA.


15/22


Como el crculo de Mohr esta definido en

forma nica, el mismo circulo puede

obtenerse en otros planos de orientacin.

Para el estado de esfuerzo y el ngulo

respecto a los ejes axialesxy , se construye un

nuevo dimetroXY y un ngulo 2 respecto


a XY.

Los esfuerzos normal y cortante se

obtienen de los nuevos ejesXY.


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Circulo de Mohr para carga axial concntrica:

0, === xyyxA

P

A

Pxyyx

2===


Circulo de Mohr para torsin:

J

Tcxyyx === 0 0=== xyyx

J

Tc


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Para el estado de esfuerzo plano

mostrado, (a) Construya el circulo de

Mohr (b) Determine el plano

principal, (c) Determine los esfuerzos

principales, (d) el maximo esfuerzocortante y el esfuerzo normal

correspondiente

SOLUCION:

Construccin del circulo de Mohr

( ) ( )

( ) ( ) MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

1050

2

22=+==

===

=+

=+

=

CXR

FXCF

yx

prom


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19/22



Esfuerzos normal y cortante maximos:

+= 45ps

= 6.71s

R=max

MPa50max =

prom =

MPa20=


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Para el estado de esfuerzo mostradodetermine: (a) Los planos y

esfuerzos principales, (b) las

componentes del esfuerzo ejercidas

sobre el elemnto obtenido rotando

30 en sentido opuesto a las agujasdel reloj.

SOLUCION:

Construccin del circulo de Mohr:

( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820

MPa802

60100

2

2222=+=+=

=+

=+

=

FXCFR

yx

prom


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Planos y esfuerzos principales

=

===

4.672

4.220

482tan

p

pCF

XF

)(7.33 horariop =

5280

max

+=

+== CAOCOA

5280

min

=

= BCOC

MPa132max += MPa28min +=

t


22/22



==

+=+==

===

==

6.52sin52

6.52cos5280

6.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOL

KCOCOK

yx

y

x

Los componentes de los esfuerzos

despues de la rotacion de 30o:

Los puntos X - Y en el circulo seobtiene girando el planoXYen el

sentido antihorario un angulo =602

MPa3.41

MPa6.111

MPa4.48

=

+=

+=

yx

y

x

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