98 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS DE TEMPERATURA 5.1 EFECTO DE LOS CAMBIOS DE TEMPERATURA Cuando ocurren cambios de temperatura los cuerpos se dilatan o se contraen segn queelcambioseadeaumentoodisminucin,amenosqueexistanrestricciones impuestas por otros cuerpos. Cuando no existen restricciones el cambio de longitud por variacin en la temperatura se expresa como: L TT A =o o(5.1) frmula en la cual: To :esladeformacinporcambiodetemperaturayseexpresaenunidadesde longitud (m, mm) T A : es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centgrados, y siguiendo la convencin ms aceptada, se usar el signo + para un aumento de temperatura y el -para una disminucin. L: es la longitud original del cuerpo, expresada en m o:eselcoeficientededilatacintrmica,propiedaddecadamaterial,elcualse expresa en C mm CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 99 En la Tabla 5.1 se registran los valores deo para algunos materiales estructurales. La deformacin trmica unitaria,TLTA = oo, es igual en todas las direcciones, para los materiales isotrpicos, tal como puede verse en la Figura 5.1, de manera que: TZ Y XT T TA = = = o c c c(5.2) Figura 5.1:Deformaciones libres por cambio de temperatura Tabla 5.1 Valores deopara algunos materiales estructurales MaterialCoeficiente de dilatacin trmica C / 106 Ladrillo9 Hormign11,2 Fundicin11,2 Acero11,7 Latn16,6 Bronce18,9 Aluminio23,4 Fuente: SEELY, F; SMITH, J. RESISTENCIA DE MATERIALES. Uteha. Mxico, 1973. Cuando hay restriccin a la deformacin frente a cambios de temperatura se generan esfuerzos en el cuerpo, porque las fuerzas restrictivas hacen el mismo efecto que una cargacapazdegenerarunadeformacinelsticaigualadeformacintrmica.La restriccin puede ser: Nula: no hay restriccin y por lo tanto el cuerpo puede deformarse libremente sin que se generen esfuerzos. CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 100 Total:nopuedehaberdeformacinyporlotantolatotalidaddelasfuerzas restrictivas generan esfuerzos. Parcial:elcuerpointeractaconotroscuerposqueponenlmitesalas deformaciones sin impedirlas totalmente. 5.2 ESFUERZOS DE ORIGEN TRMICO EN BARRAS CON RESTRICCIN TOTAL Si no hay restricciones para la deformacin esta es libre, es decir, no va acompaada deesfuerzos.Perocuandoladeformacinestimpedidaorestringida,aparecen esfuerzosdecompresincuandohayaumentodetemperaturayesfuerzosde traccin cuando la temperatura disminuye. En la Figura 5.2 se explica la equivalencia de la accin de las fuerzas restrictivas con una fuerza imaginaria equivalente capaz de producir una deformacin elstica igual a ladeformacintrmicalibre.Lasituacindeunabarraquenopuededeformarse cuando ocurre un aumento de temperatura, es equivalente a la de una barra a la que se la deja deformarse libremente y una vez deformada se somete a una carga axial decompresin,lacualvaaproducirunadeformacinelsticaconlaquevuelvela barra a su longitud original. SinoexistieralarestriccinenB,Figura5.2(b),labarrapodradeformarse libremente una cantidad igual a L TT A =o o La accin del apoyo en B, Figura 5.2(c), equivale a la de una fuerza de compresin F capaz de producir en la barra una deformacin elstica E AL F= o , que sea igual a la deformacin trmica no restringida, o sea: To o = , y por lo tanto L TE AL F A =o Siendo F/A el esfuerzo axial que se produce en la barra impedida de deformarse por efecto de un cambio de temperatura: LE L TT A = ooE TT A =o o (5.3) CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 101 Figura 5.2: Esfuerzos trmicos en barras totalmente restringidas Ejemplo5.1.-Unelementoestructuraldeconcretoestntimamenteligadoensusextremoscon placas rgidas inamovibles. El coeficiente de dilatacin trmica del concretoeso=11,2 x 10-6 /C, su mdulodeelasticidadesE=18GPaysehadosificadoparaunaresistenciaacompresinfC=21 MPa.Elelementodeconcretotieneunalongitudde2,40myunaseccintransversalde0,30mx 0,30m.Culserelcambiodetemperaturamximoquesepuedeproducirsisedeseaqueel esfuerzo de origen trmico en traccin en la masa de concreto no sea mayor del 15% de la resistencia a la compresin. Solucin: Enunelementoconrestriccintotalparaquehayaesfuerzosdetraccindebedisminuirla temperatura. El esfuerzo admisible en el problema es:MPa MPaT15 , 3 21 15 , 0 = = o CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 102 ) /( E TT = A o oC TPa CMPaT 63 , 15) 10 18 ( ) / 10 2 , 11 (15 , 39 6= A = A Ejemplo 5.2(1).- La barra rgida AB de la figura 5.3 est articulada mediante un perno en O y conectada adosvarillas.Silabarrasemantieneenposicinhorizontaladeterminadatemperaturacalculela relacin de reas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra. 3m 4mAOBAceroE=200 GPao=11.7 x 10/CL=8 m-6AluminioE=70 GPao=23 x10/CL=8 m-6 Figura 5.3: Barra rgida conectada a varillas Solucin: El hecho de que la barra AB permanezca siempre horizontal, a cualquier temperatura, implica que las varillas de aluminio y acero nunca se deforman y por lo tanto en ellas se puede aplicar la frmula de clculo del esfuerzo trmico para restriccin total a la deformacin: E TT A =o o | | C m N A T F GPa T CAL T TAL AL A = A = 2 6 6/ 10 61 , 1 ) 70 ( ) / 10 23 ( o | | C m N A T F GPa T CS T TS S A = A = 2 6 6/ 10 34 , 2 ) 200 ( ) / 10 7 , 11 ( o Deestamanera,larelacinentrelasreasdelasvarillasparamantenerlacondicinexigidaenel problema ser: 1 Problema propuesto en PYTEL, SINGER. RESISTENCIA DE MATERIALES. Oxford University Press, cuarta edicin. Mxico, 1993. CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 103 SALSALsALTTTTTTSALFFFFFFAA45 , 161 , 134 , 234 , 261 , 1= = = Una ecuacin de equilibrio esttico permite establecer una relacin entre las fuerzas en las varillas: FA VO FS3 m 4 m Figura 6.3(a): DCL de la barra rgida AL SS ALT TT T OF FF F M75 , 00 4 3 0== = E Sustituyendo: 93 , 175 , 045 , 1= =ALALTTSALFFAA Esfrecuenteencontrarunassituacionescombinadasdedeformacinlibrey deformacinrestringida(totaloparcial).Esimportanteentenderquelosesfuerzos axialesdeorigentrmicosoloseproducencuandoloscuerposnopueden deformarse;encasosderestriccionescombinadas,unapartedelcambiode temperatura(1T A )producedeformacinlibrehastacuandoentraencontactocon otros cuerpos o con apoyos inamovibles; de ah en adelante,2T Aproduce esfuerzos. Ejemplo5.3.-Sehafundidounalosadepisodeconcretosimplede4mx4,50mentreparedesde hormign reforzado que se pueden considerar como inamovibles. Si a la temperatura de 10C la losa estencontactoconlasparedessinesfuerzo,calcularelmximoesfuerzoenlamasadeconcreto cuandolatemperaturaasciendea35C.Culseraelesfuerzomximosi lalosatiene holgurasde 0,5mmenambasdirecciones?ElconcretotieneunmdulodeelasticidadE=21GPa,yun coeficiente de dilatacin trmicao= 11,2 x 10-6/C. Solucin: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 104 Laprimerasituacinesuncasoderestriccintotalalasdeformacionestrmicas.Enlasegundase tieneunarestriccincombinada:deformacinlibreparaunT1, dehasta0,5mmyrestriccintotal para el T2 restante. La variacin de la temperatura es:C T T T 251 2= = A Clculo del mximo esfuerzo trmico GPa C CT21 25 ) / 10 2 , 11 (6max =o ) ( 88 , 5maxcompresin en MPaT= o Clculo de los esfuerzos trmicos cuando hay holguras En la direccin de longitud 4,50 m: mm m C CT26 , 1 50 , 4 25 ) / 10 2 , 11 (6= =o Esto indica que al aumentar la temperatura 25 C la losa se deforma ms all del espacio de la holgura y aparecen esfuerzos de compresin. La variacin de temperatura para que la losa se deforme libremente hasta entrar en contacto con la pared es: Cmm CmmT 92 , 94500 ) / 10 2 , 11 (5 , 061= = A Desdelatemperaturade19,92Cenadelantecualquieraumentodetemperaturagenera esfuerzos de compresin, puesto que la restriccin es total: 2 9 62/ 10 21 08 , 15 ) / 10 2 , 11 ( 08 , 15 92 , 19 35m N C CC C C TT == = Ao MPaT55 , 3 = o En la direccin de longitud 4 m: mm m C CT12 , 1 4 25 ) / 10 2 , 11 (6= =o Tambin en esta direccin entra en contacto con la pared; de igual manera: Cmm CmmT 16 , 114000 ) / 10 2 , 11 (5 , 061= = A Desdelatemperaturade21,16Cenadelantecualquieraumentodetemperaturagenera esfuerzos de compresin, puesto que la restriccin es total: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 105 2 9 62/ 10 21 84 , 13 ) / 10 2 , 11 ( 84 , 13 16 , 21 35m N C CC C C TT == = Ao MPaT26 , 3 = o 5.3 ESFUERZOS DE ORIGEN TRMICO EN BARRAS CON RESTRICCIN PARCIAL Elcuerpointeractaconotroscuerposqueponenlmitesalasdeformacionessin impedirlas totalmente, por lo cual los esfuerzos no se pueden calculardirectamente. Cuando un sistema estructural, conformado por elementos de diversas caractersticas mecnicasybajocualquierdisposicingeomtrica,sesometeauncambiode temperatura,suselementossedeforman,peroporlainteraccindeunoscuerpos conotrosesasdeformacionesnisonlibresnitienenrestriccintotal.Msbien,los elementos logran posiciones de equilibrio inducidas por deformaciones forzadas. Es necesarioanalizar el problema como uno estticamente indeterminado. Porregla general los pasos necesarios son: Dibujar un esquema del sistema deformado, en la posicin de equilibrio.Una orientacin para este esquema la da el clculo de las deformaciones libres de loselementosdelsistema(calculadassuponiendoquenoexistenlosotros elementos); esto permite establecer rangos, definidos por los valores mayor y menordelasdeformacioneslibres,dentrodeloscualesseencuentrala posicin de equilibrio. Establecer la compatibilidad de las deformaciones. Utilizar las relaciones constitutivas (deformaciones por cambio de temperatura y Ley de Hooke) para definir las ecuaciones de deformacin. Congruente con el esquema del sistema deformado establecer las fuerzas que actan sobre los elementos del sistema. Encontrar las ecuaciones de equilibrio esttico del sistema. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las incgnitas del problema. Ejemplo 5.4.- A la temperatura de 22 C una barra rgida se mantiene en posicin vertical, sostenida comoseindicaenlaFigura5.4(a),porunaarticulacinypordosvarillas,unadeaceroyotrade bronce,lascualesestnaesatemperaturasinesfuerzos.Calcularlosesfuerzosenlasvarillassila temperaturadesciendea-5C.Lascaractersticasdelosmaterialesdelasvarillasseindicanenla tabla. CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 106 VARILLASLONGITUD (m) REA (mm2) o(x 10-6 / C) E (GPa) BRONCE2,090018,983 ACERO1,562511,7200 Solucin: Sidisminuyelatemperatura,lasvarillasdelsistematratarndeacortarse;sinembargo,porla restriccindelabarrargidaalasdeformacionestrmicaslibresdelasvarillasestasquedarn sometidas a esfuerzos determinados por la posicin final de la barra rgida. Es un problema estticamente indeterminado, con dos incgnitas que son las fuerzas enlas varillas, unaecuacindedeformacionesdeterminadaporladiferenciaentrelaposicininicialylaposicin final de la barra rgida, y una ecuacin de equilibrio. BRONCEACERO1 m3 mASB1 m3 mASBTsEsFs oo oFBTBEB oooB'S'BF B''SF S''1 m3 mASB FBFSFigura 5.4:Barra rgida soportada por varillas; esquema de deformacin del sistema; DCL del sistema Ecuacin de deformaciones Puedeverseenelesquemadedeformacionesdelafigura5.4(b)quelabarrargidacuyaposicin inicialesASB adoptaunaposicinfinal F FB AS .Comosegmentosdeuntringulo,las deformaciones totales S BF Fo o . en las varillas son proporcionales. Compatibilidad de deformaciones: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 107 B SSBF FFFmmo ooo = = 75 , 034

Las deformaciones totales son el resultado de la interaccin entre los elementos de la estructura. Es evidentequesinoexistieralavarilladeacerolaposicinfinaldelabarraseraB S A ' ' determinada por la contraccin trmica libre de la varilla de bronce. De la misma manera, si no existiera la varilla de bronce la posicin final sera determinada por la contraccin trmica libre de la varilla de acero y la posicinfinalseraB S A ' ' ' ' .DeestamaneraB S A ' ' ' ' yB S A ' ' sonlosextremosdeunrangode posiblesposicionesfinalesparalabarrargida.Eslgicoquelaposicinfinalrealdebeseruna posicinintermediaentrelosextremos,posiblementeunacomolaquesehaescogidoparael esquema de deformaciones para este problema, pero de todos modos, la posicin final de una varilla selapuedecalcularcomoelresultadodeladeformacintrmicalibreyunadeformacinelstica causada por una fuerza ejercida por el sistema a travs de la barra rgida. La deformacin trmica y la deformacin elstica en una varilla no son iguales. En una de ellas la deformacin elstica ser menor que la trmica, en la otra ser al contrario. Las contracciones trmicas libres se calculan con los datos del problema: mm mm C Cmm mm C CSBTT4739 , 0 1500 27 ) / 10 7 , 11 (0206 , 1 2000 27 ) / 10 9 , 18 (66 = = = =oo En el esquema de deformaciones supuesto para este problema: B B B S S SB B B S S SE T F T E FE F T F T Eo o o o o oo o o o o o = =+ = + = mmmm kN mmmm FSFS4739 , 0/ 200 62515002 2= o 2 2/ 83 90020000206 , 1mm kN mmmm FmmBFB = o Sustituyendo en la ecuacin de compatibilidad: kN F FB S28 , 103 667 , 1 = +(1) Ecuacin de equilibrio EnlaFigura5.4(c) setieneundiagramadecuerpolibredel sistema,congruenteconelesquemade deformaciones adoptado en la Figura 5.4(b) m F m F MB S A4 3 0 = = E CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 108 S BF F 75 , 0 =(2) Resolviendo el sistema de ecuaciones: kN FkN FBS42 , 349 , 45== Clculo de los esfuerzos en las varillas: tracci n) (en ) compresi n (enMPammNMPammNBS24 , 38900420 3444 , 73625900 4522= == =oo Enlosdosejemplossiguienteselcontactoentreloscuerposesdirecto,demanera que suceden dos cosas: la primera es que hay fuerzas de empuje entre los cuerpos a maneradeaccinyreaccin,ylaotra,quelasdeformacionessecompatibilizande manera general mediante una relacin en la que la extensin de un cuerpo implica la compresin del otro. Ejemplo5.5.- Dos barras, una de aluminio y una de bronce, cuyas propiedades aparecenen la tabla, estn en contacto, sin esfuerzo, a la temperatura de 20 C. Si se calienta el conjunto hasta los 60 C calcularlosesfuerzosnormalesenlasbarras.Elconjuntoestcolocadoentreapoyosinamovibles, como se representa en la Figura 5.5. BARRALONGITUD (m) REA (mm2) o(x 10-6/C) E (GPa) ALUMINIO0,60250023,470 BRONCE0,40200018,983 Solucin: Es de observar que el conjunto est entre apoyos inamovibles pero en el otro extremo de las barras la restriccinaladeformacintrmicanoestotal.Alaumentarlatemperaturalasbarrasseempujan una a la otra tratando de dilatarse. En ese empuje se logra una posicin de equilibrio para la cual una de las barras se ha dilatado y la otra ha tenido que contraerse, ya que el conjunto no puede variar su longitud total. Clculos preliminares C C C T 40 20 60 = = A Deformaciones trmicas libres: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 109 mm mm C Cmm mm C CBATT3024 , 0 ) 400 ( ) 40 ( ) / 10 9 , 18 (5616 , 0 ) 600 ( ) 40 ( ) / 10 4 , 23 (66= == =oo FBBRONCEALUMINIOiA iBPosicion finalde las barras f Af B EB TB TA EAooooL L f Af B L LFAL L Figura 5.5: Sistema de barras; esquema de deformaciones; DCL del sistema Ecuacin de deformaciones El esquema de deformaciones supuesto en la Figura 5.5(b), muestra que las barras tienen restriccin parcialparalasdeformacionestrmicas,causadaporelcontactodirectodelosdoscuerposque formanelsistema,locualindicaqueambasbarraspodrndeformarseunpocomenosquesu deformacintrmicalibre;unafuerzaelsticaequivalentesupuesta,acortarlasbarrashasta llevarlas a la posicin de equilibrio. Enotraspalabras,lalongitudfinaldecadabarraserigualasulongitudinicialmssu deformacin trmicalibremenossudeformacinelsticarestitutiva.Comolaposicindeequilibrioesdiferente delaposicininicial,unadelas barrassehabralargadoylaotrasehabracortado,perocomola longitudfinaldelconjuntodebeserigualalalongitudinicialyaqueelconjuntoestentreapoyos inamovibles CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 110 0) ( ) (= + + = + + + + = + =+ = +B B A AB A B B B A A AB B B BA A A AB A B AE T E Ti i E T i E T iE T i fE T i fi i f fL L L LL LL LL L L Lo o o oo o o oo oo o B A B AE E T To o o o + = + Esta es la ecuacin de compatibilidad de las deformaciones Utilizandolasrelacionesconstitutivas,leydeHookeyfrmuladeclculodelasdeformaciones trmicas mm mmm N mmm Fm N mmm FB A3024 , 0 5616 , 0/ 10 83 10 000 2400/ 10 70 10 500 26002 9 2 6 2 9 2 6+ = + kN F FB A864 41 , 2 43 , 3 = +(1) Ecuacin de equilibrio Como puede verse en el diagrama de cuerpo libre de la Figura5.5(c), la nica ecuacin de equilibrio esttico es ) 2 (0B AH H HF FR R FB A= = = E Clculo de fuerzas y esfuerzos Resolviendo el sistema: kN F FB A148 = = ) ( 74000 2000 148) ( 2 , 59500 2000 14822compresin en MPammNcompresin en MPammNBA= == =oo Ejemplo 5.6.- En la Figura 5.6 se representa un tubo de aluminio con rea transversal de 600 mm2 que se usa como camisa para un perno de acero con rea transversal de 400 mm2. Cuando la temperatura es T1 = 15 C la tuerca mantiene el conjunto en una condicin ligeramente apretada, tal que la fuerza axialenelpernoesdespreciable.SilatemperaturaseaumentaaT2=80C,determineelesfuerzo CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 111 normalpromedioenelpernoyenlacamisa.Ca =/ 10 236o ;CS =/ 10 126o ; GPa EA1 , 73 = ;GPa ES200 = 150 mEA TA ESTSooooPosicion InicialPosicion finalFsFAa b c Figura 5.6: Sistema de perno y tubo; esquema de deformaciones; DCLdel sistema Solucin: Cuandoaumentalatemperaturalosdoselementoscamisayperno,tiendenadilatarse;comoel aluminio tiene un coeficiente de dilatacin mayor que el del acero, la posicin de equilibrio implicar una compresin en el tubo y una traccin en el acero (perno). Clculos preliminares C C C T 65 15 80 = = A Deformaciones trmicas libres: mm mm C CAT22425 , 0 ) 150 ( ) 65 ( ) / 10 23 (6= =omm mm C CST117 , 0 ) 150 ( ) 65 ( ) / 10 12 (6= =o Ecuacin de deformacin CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 112 El diagrama de deformaciones adoptado es el de la Figura 5.6(b). Segn este, la compatibilidad de las deformaciones viene dada por la expresin S S A AE T E To o o o + = 2 9 2 6/ 10 1 , 73 10 600150m N mmm FAEA =o 2 9 2 6/ 10 200 10 400150m N mmm FSES =o mm mmm N mmm Fm N mmm FA S117 , 0 22425 , 0/ 10 1 , 73 10 600150/ 10 200 10 4001502 9 2 6 2 9 2 6+ = + Realizando las operaciones kN F FA S25 , 107 42 , 3 875 , 1 = + Ecuacin de equilibrio En el diagrama de cuerpo libre de la Figura 5.6(c): S A VF F F = = E 0 Clculo de fuerzas y esfuerzos Resolviendo el sistema de ecuaciones kN F FS A26 , 20 = = ) ( 65 , 50400260 202traccin en MPammNS= = o ) ( 77 , 33600260 202compresin en MPammNA= = o Cuandoocurrenloscambiosdetemperaturaenlossistemasestructuralesestn actuandocargasexternas,demaneraquelosesfuerzosenloselementosson producto tanto de las cargas como de las fuerzas inducidas por la variacin trmica. Unaformadeanalizarycalcularlosesfuerzosenloselementosdeunsistema estructural esla de la superposicin de los efectos gravitacionales con los trmicos: losesfuerzosfinalessernlosqueresultendesumarlosefectosdelascargas, calculadosindependientementedeloscambiosdetemperatura,mslosefectos CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 113 trmicoscalculadosindependientementedelascargas.Elrequisitoparapoder superponerestosefectoseseldequenilosesfuerzosparcialesnilosesfuerzos finalesseanmayoresqueloscorrespondienteslmitesdeproporcionalidaddelos materiales. Los siguientes son dos ejemplos de este caso: Ejemplo5.7.-Unavarilladebronceseestiraconunafuerzade15kNysefijaadospuntos inamovibles, cuando la temperatura es de 22 C.A qu temperatura la varilla quedar sin esfuerzo? Las caractersticas de la varilla son: GPa E C mm A 83 / 10 9 , 18 9006 2= = =o Solucin: Lavarillatieneunesfuerzoelsticoinicialdetraccin;sidisminuyelatemperaturaseinduceun esfuerzoadicionaldetraccin,demaneraque,paraanularelesfuerzoesnecesarioaumentarla temperatura. Clculo del esfuerzo elstico por la carga de traccin: traccin en MPammNi67 , 16900000 152 = = o Clculo del cambio de temperatura necesario para producir un esfuerzo trmico de igual valor y sentido contrario: Debido a que la varilla est totalmente restringida para deformarse ) / 10 83 ( ) / 10 9 , 18 (/ 10 67 , 162 9 62 6m N Cm NETE TTT == A A =ooo o C T 63 , 10 = AT T Ti fA + =C C C Tf 63 , 32 63 , 10 22 = + = Ejemplo 5.8.- La viga rgida de la Figura 5.7 est articulada en A y sostenida del techo por dos varillas de acero en B y C, cada una de 625 mm2 de rea de seccin transversal. El mdulo de elasticidad del acero es 200 GPa y su coeficiente de dilatacin trmica esC / 10 7 , 116 = o . El peso propio de la viga esm kN w / 5 , 1 = ; en elextremo C se aplica una carga de 5 kN. A la temperatura T1= 15 C las varillas de acero no soportan esfuerzos de origen trmico. Calcular los esfuerzos totales en las varillas cuando la temperatura sea T2 = 40 C. El lmite de proporcionalidad del acero es MPap240 = o . CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 114 A2 m 4 mL=2,5 mL=1,4 mBCP Figura 5.7: Viga rgida soportada por varillas Solucin: Silosesfuerzosenlasvarillasnosuperanellmitedeproporcionalidaddelacerosepuedeusarel principiodesuperposicin:calcularlosesfuerzosproducidosporlacargayporelcambiode temperatura en forma independiente y sumarlos para obtener los esfuerzos definitivos. Clculos preliminares El peso propio de la viga es: kN m m kN L w W 9 ) 6 ( ) / 5 , 1 ( = = = Las deformaciones trmicas libres son: mm mm C Cmm mm C CC C C TCBTT4095 , 0 400 1 25 ) / 10 7 , 11 (73125 , 0 500 2 25 ) / 10 7 , 11 ( 25 15 4066= == == = Aoo Clculos de los esfuerzos por carga Porladisposicindelavigargidahorizontalyelsentidodelacargalasdosvarillastrabajana traccin. Ecuacin de equilibrio: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 115 RAFBW = 9 kNFCP = 5 kN2 m 1 m 3 mA B D C2 m6 mA B C B C ooab Figura 5.8: DCL del sistema y esquema de deformacionespara el anlisis de esfuerzo por cargas El diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 5.8(a): ) 1 ( 57 6 26 5 3 9 6 2 0A kN F Fm kN m kN m F m F MC BC B A= + + = + = E Ecuacin de deformacin: Segn el esquema de deformaciones de la Figura5.8(b), la compatibilidad de las deformaciones est dada por la relacin B CBCmmo ooo326== DesarrollandolarelacindecompatibilidaddedeformacionesconlaleydeHooke,teniendoen cuenta que las dos varillas son del mismo material y tienen la misma seccin transversal CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 116 ) 2 ( 357 , 550 , 2340 , 1A F FE Am FE Am FB CB C= = Resolviendo el sistema de ecuaciones traccin en MPammNkN Ftraccin en MPammNkN FC CB B30 , 14625940 894 , 867 , 2625670 167 , 122= = == = =oo Clculo de los esfuerzos originados por la variacin de la temperatura 2 m6 mA B CFB TC o4 m ECEBTBooBFB'C'CFooFTB FTC2 m 4 mA B C Figura 5.9: Esquema de deformaciones y DCL del sistema para el anlisis de los esfuerzos originados por el cambio de temperatura La deformacin libre de la varilla C es menor que la de la varilla B. Para la posicin de equilibrio de la vigargidaseinduceunadeformacinmsalldelalibreparalavarillaC,peroparalavarillaBla deformacindefinitivaesmenorquelalibre,talcomoserepresentaeneldiagramade deformaciones de la Figura 5.9(a). Esto indica que la varilla B se va a encontrar comprimida, mientras que la varilla C va a ser tensada por la viga rgida Ecuacin de deformaciones: CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPTULO 5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA 117 La compatibilidad de las deformaciones viene dada por la relacin 2 22 2/ 200 625500 273125 , 0/ 200 625400 14095 , 0326mm kN mmmm Fmmmm kN mmmm FmmmmBB B B BCC C C CB CBCTF E T FTF E T FF FFF = =+ = + ===o o o oo o o oo ooo Sustituyendoestosvaloresenlaecuacindecompatibilidadseobtienelaecuacinde deformaciones, as: ) 1 ( 31 , 159 36 , 5 B kN F FB CT T= + Ecuacin de equilibrio: El diagrama de cuerpo libre de la Figura 6.9(b) muestra que la ecuacin de equilibrio disponible es: 0 2 6 0 = = E m F m F MB CT T A ) 2 ( 3 B F FC BT T = Resolviendoelsistemadelasecuaciones(1B)y(2B)seobtienenlasfuerzasqueocasionaenlas varillas el cambio de temperatura: ) ( 93 , 14625330 9) ( 33 , 9) ( 77 , 44625980 27.) ( 98 , 2722traccin en MPammNtraccin kN Fcompresin en MPammNcompr kN FC CB BF TF T= = == = =oo Clculo de los esfuerzos totales Superponiendo los efectos de las cargas y del cambio de temperatura: ) ( 23 , 29 93 , 14 30 , 14) ( 10 , 42 10 , 42 77 , 44 67 , 2traccin en MPa MPa MPacompresin en MPa MPa MPa MPaCB= + == = =oo