problemas de esfuerzos y/o deformaciones planos y de

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E

INVESTIGACIÓN

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

“Análisis y Diseño de un Software para la Solución de

Problemas de Esfuerzos y/o Deformaciones Planos y de Fractura Lineal”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

P R E S E N T A:

Ing. Omar Alejandro González Rodríguez

DIRIGIDA POR: DR. JOSÉ ÁNGEL L. ORTEGA HERRERA

MÉXICO D.F. 2015

iv

Tabla de contenido

TABLA DE IMÁGENES ................................................................................................................................. VII

RESUMEN .................................................................................................................................................... X

ABSTRACT ................................................................................................................................................... XI

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... XII

OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................................ XII OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................................... XII JUSTIFICACIÓN. .................................................................................................................................................. XII

CAPÍTULO 1: ESTADO DEL ARTE DE GENERADORES DE REDES EN 1, 2, 3, D. ................................................. 1

1.1 HISTORIA DE LOS GENERADORES DE REDES .......................................................................................................... 1 1.2 TIPOS DE REDES............................................................................................................................................. 2

1.2.1 Redes estructuradas ......................................................................................................................... 2 1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques ................................................................................................................ 4

1.2.2 Redes no estructuradas .................................................................................................................... 5 1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay ...................................................................................................................... 6 1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas .......................................................................................................... 9

1.2.2.2.1 El método “octree” ............................................................................................................................. 9 1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d ........................................................................................................... 10 1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance ................................................................................................................. 13

1.2.3 Redes desbordadas ........................................................................................................................ 14 1.2.4 Redes híbridas ................................................................................................................................ 15

CAPÍTULO 2: PROBLEMAS DE LA INGENIERÍA: FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS, ANÁLISIS

DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS. TRANSFERENCIA DE CALOR ESTACIONARIO ..................... 17

2.1 FLUJOS DE POTENCIAL Y FLUJOS ESTACIONARIOS ................................................................................................ 17 2.1.1 Introducción .................................................................................................................................... 17 2.1.2 Flujos estacionarios y no estacionarios ........................................................................................... 19 2.1.3 Ecuaciones gobernantes en fluidos. ................................................................................................ 20

2.1.3.1 Conservación de la masa .......................................................................................................................... 20 2.1.3.2 Origen de las fuerzas en fluidos ................................................................................................................ 23 2.1.3.3 Esfuerzos en un punto .............................................................................................................................. 25 2.1.3.4 Conservación del momento ...................................................................................................................... 27 2.1.3.5 Ecuación constitutiva para un fluido newtoniano .................................................................................... 28 2.1.3.6 Ecuación de Navier-Stokes ........................................................................................................................ 32

2.1 4 Flujos de potencial no viscosos ....................................................................................................... 34 2.1.4.1 Flujo rotacional e irrotacional. .................................................................................................................. 35 2.1.4.2 Función de corriente ................................................................................................................................. 35 2.1.4.3 Formulación matricial ............................................................................................................................... 38 2.1.4.4 Ejemplo: La Ecuación Rayleigh-Plesset ..................................................................................................... 44

2.2 TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO ......................................................................................... 48 2.2.1 Introducción .................................................................................................................................... 48 2.2.2 Leyes de transferencia de calor....................................................................................................... 49 2.2.3 Problemas en una dimensión en estado estacionario. ................................................................... 51

2.2.3.1 Paredes planas .......................................................................................................................................... 51 2.2.3.1.1 Pared Homogénea ............................................................................................................................ 51 2.2.3.1.2 Pared Compuesta .............................................................................................................................. 52 2.2.3.1.3 Discretización por elemento finito .................................................................................................... 54

v

2.2.3.2 Flujo de calor radial en un cilindro. .......................................................................................................... 57 2.2.3.3 Sistemas Conducción – Convección. ......................................................................................................... 59

2.2.4 Problemas en varias dimensiones en estado estacionario. ............................................................ 61 2.2.4.1 Problemas planos en dos dimensiones ..................................................................................................... 62

2.2.4.1.1Elementos triangulares ...................................................................................................................... 62 2.2.4.1.2 Elementos Rectangulares.................................................................................................................. 64

2.2.4.2 Problemas en tres dimensiones ................................................................................................................ 66 2.3 ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y/O DEFORMACIONES PLANOS ....................................................................................... 69

2.3.1Esfuerzo plano ................................................................................................................................. 69 2.3.1.1 Esfuerzos sobre secciones inclinadas ....................................................................................................... 70 2.3.1.2 Casos especiales de esfuerzo plano .......................................................................................................... 72

2.3.2 Esfuerzos principales y cortantes máximos..................................................................................... 74 2.3.2.1 Esfuerzos principales ................................................................................................................................ 74

2.3.2.1.1 Ángulos principales ........................................................................................................................... 76 2.3.2.1.2 Esfuerzos cortantes máximos ........................................................................................................... 77

2.3.3 Ley de Hooke para el esfuerzo plano. ............................................................................................. 79 2.3.3.1 Casos especiales de la ley de Hooke ......................................................................................................... 82

2.3.3.1.1 Cambio de volumen .......................................................................................................................... 82 2.3.4 Deformación unitaria plana ............................................................................................................ 85

2.3.4.1 Deformación unitaria plana contra esfuerzo plano .................................................................................. 85 2.3.4.2 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ............................................................. 86

2.3.4.2.1 Deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 .................................................................................................... 86 2.3.4.2.2 Deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 ........................................................................................... 88 2.3.4.2.3 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana ..................................................... 90

2.3.4.3 deformaciones unitarias principales ......................................................................................................... 91

CAPÍTULO 3: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS ............................................................................... 92

3.1 ECUACIONES PARA TEORÍA DE ELASTICIDAD ....................................................................................................... 92 3.1.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio ............................................................................................ 92 3.1.2 Relación deformación-desplazamiento ........................................................................................... 94 3.1.3 Relación esfuerzo-deformación. ..................................................................................................... 97

3.2 ECUACIONES PARA EL ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA ........................................................................... 99 3.2.1 Conceptos de deformación plana y esfuerzo plano. ..................................................................... 100

3.2.1.1 Estado bidimensional del esfuerzo y la deformación plana .................................................................... 101 3.2.2 Derivación de la matriz de rigidez del elemento triangular de deformación constante y sus

ecuaciones. ............................................................................................................................................ 105 3.2.3 Fuerzas superficiales y de cuerpo .................................................................................................. 118 3.2.4 Ejemplo: solución a un problema de esfuerzo plano por el método del elemento finito. ............. 124

CAPÍTULO 4.- ANÁLISIS LINEAL DE LA FRACTURA. .................................................................................... 134

4.1 PROBLEMAS DE FRACTURA BIDIMENSIONAL. ................................................................................................... 134 4.1.1 Fractura bajo carga Modo I .......................................................................................................... 134 4.1.2 Fractura bajo carga Modo II ......................................................................................................... 138 4.1.3 Fractura bajo carga Modo III ........................................................................................................ 139

4.2 EIGENFUNCIONES DE LOS PROBLEMAS DE FRACTURA. ........................................................................................ 141 4.4 FACTORES DE INTENSIDAD DE ESFUERZO: K ..................................................................................................... 146 4.5 BALANCE DE ENERGÍA DURANTE LA PROPAGACIÓN DE LA FRACTURA ..................................................................... 148

4.5.1 Tasa global de liberación de energía ............................................................................................ 148 4.5.2 Tasa local de liberación de energía ............................................................................................... 152 4.5.3 Integral de aproximación a la fractura ......................................................................................... 154 4.5.4 Estabilidad de la propagación de la fractura ................................................................................ 157

vi

4.6 LA INTEGRAL J ........................................................................................................................................... 158 4.6.1 Derivación de la integral J ............................................................................................................. 159

4.7 EJEMPLO: FRACTURA EN PLACAS Y CARCAZAS .................................................................................................. 160

CAPÍTULO 5.- EL MEF Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FRACTURA LINEAL. .............................................. 164

5.1 INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN NUMÉRICA EN LA PUNTA DE LA GRIETA ............................................................. 164 5.2 ELEMENTOS FINITOS ESPECIALES EN LA PUNTA DE LA FRACTURA .......................................................................... 167

5.2.1 Elementos isoparimétricos de desplazamiento modificados ........................................................ 167 5.2.1.1 Elementos de un cuarto de punto en una dimensión. ............................................................................ 167 5.2.1.2 Elementos de un cuarto de punto en dos dimensiones, cuadriláteros y triangulares. ........................... 169 5.2.1.3 Elementos cuadriláteros colapsados. ..................................................................................................... 170 5.2.1.4 Elementos de un cuarto de punto en tres dimensiones ......................................................................... 173

5.2.2 Cálculo de los factores de intensidad de los elementos de un cuarto de punto. .......................... 176 5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto planos ........................................................................ 176 5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto tridimensionales. ...................................................... 177

5.3 MÉTODO DE LA TASA DE LIBERACIÓN DE ENERGÍA GLOBAL. ................................................................................ 179 5.3.1 Realización con elemento finito .................................................................................................... 179 5.3.2 Método de la extensión de la fractura virtual............................................................................... 180

5.4 MÉTODO DE LA INTEGRAL DE APROXIMACIÓN. ................................................................................................ 182 5.4.1 Ecuaciones básicas del método de energía local .......................................................................... 182 5.4.2 Implementación numérica en elemento finito en 2D .................................................................... 183

5.4.2.1 Integral de aproximación de fractura simple .......................................................................................... 183 5.4.2.2 Integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) ...................................................................... 184 5.4.2.3 Combinación de la integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) y elementos de cuarto de

punto. ................................................................................................................................................................. 186

CAPÍTULO 6: RESULTADOS COMPUTACIONALES ...................................................................................... 188

6.1 TDHEAT (TRANSFERENCIA DE CALOR) ............................................................................................................. 188 6.2 Tubo con temperatura interior y convección en el exterior ............................................................. 188

6.2 TORSION (TORSIÓN PURA) ........................................................................................................................... 192 6.2 Viga prismática sometida a torsión pura ......................................................................................... 192

6.3 STRESS (ESFUERZO Y DEFORMACIÓN PLANA) ................................................................................................. 196 6.3 Placa delgada con cambio de sección sometida a tensión .............................................................. 196

CONCLUSIONES ........................................................................................................................................ 201

TRABAJOS FUTUROS ......................................................................................................................................... 201

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 202

ANEXOS ................................................................................................................................................... 204

A.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE LAS SUBRUTINAS UTILIZADAS ..................................................................................... 204 A.1.1 Rutina BDYBAL .............................................................................................................................. 204 A.1.2 Rutina DCMPBD ............................................................................................................................ 207 A.1.3 Rutina SLVBD ................................................................................................................................ 208

A.2 PROGRAMA GRID..................................................................................................................................... 210 A.3 PROGRAMA TDHEAT ................................................................................................................................ 215 A.4 PROGRAMA TORSION .............................................................................................................................. 218

vii

Tabla de Imágenes

Ilustración 1 Triangulación de Delaunay ............................................................................ 7 Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales ........... 8 Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay ...................................... 8 Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree" ...................................................... 10 Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres ...................................... 11 Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay. ...................... 12 Ilustración 7 malla creada por el enfoque frente de avance. ............................................ 14 Ilustración 8 fragmento de una malla desbordada ............................................................ 14 Ilustración 9 Fragmento de una malla hibrida .................................................................. 15 Ilustración 10 placa separada por un fluido de una superficie fija.................................... 17 Ilustración 11 velocidad a través del espesor del fluido .................................................... 18 Ilustración 12 (a) transitorio y luego estacionario, (b) inestable pero estacionario, (c)

inestable .......................................................................................................................... 19 Ilustración 13 Conservación de la masa de un volumen fijo en el espacio ....................... 20 Ilustración 14 Fuerzas normales y cortantes en un área .................................................. 24 Ilustración 15 Esfuerzos en un punto ............................................................................... 25 Ilustración 16 esfuerzos cortantes.................................................................................... 26 Ilustración 17 Esfuerzos superficiales en un elemento movido por un fluido (en dirección

X) ..................................................................................................................................... 27 Ilustración 18 fluido en un elemento (a) flujo rotacional y (b) flujo irrotacional .................. 35 Ilustración 19 las líneas de ϕ y ψ son ortogonales ........................................................... 37 Ilustración 20 (a) fluido uniforme en un canal convergente. (b) modelo simétrico mostrando

las velocidades y los valores a la frontera, (c) modelo de elemento finito grueso usando

triangulación de tres nodos .............................................................................................. 40 Ilustración 21 Crecimiento de una burbuja ....................................................................... 44 Ilustración 22 transferencia de calor a través de una pared homogénea.......................... 51 Ilustración 23 transferencia de calor en una pared compuesta ........................................ 53 Ilustración 24 placa típica homogénea ............................................................................. 54 Ilustración 25 pared compuesta ensamblada para su discretización ................................ 56 Ilustración 26 tubería con condiciones de frontera uniformes ........................................... 57 Ilustración 27 tipos de aletas ............................................................................................ 59 Ilustración 28 aleta cónica ............................................................................................... 60 Ilustración 29 puntos i y j en aleta cónica ......................................................................... 60 Ilustración 30 Elemento triangular con transferencia de calor .......................................... 63 Ilustración 31 elemento tetraédrico lineal ......................................................................... 66 Ilustración 32 ejemplo en tres dimensiones ..................................................................... 68 Ilustración 33 (a) malla en tercera dimensión, (b) solución en tercera dimensión ............. 68 Ilustración 34 ................................................................................................................... 69 Ilustración 35 elemento de esfuerzo con forma de cuña .................................................. 71 Ilustración 36 elemento en cortante puro ......................................................................... 72 Ilustración 37 Elemento en esfuerzo biaxial ..................................................................... 73 Ilustración 38 variación de esfuerzos conforme se giran los ejes ..................................... 74 Ilustración 39 ................................................................................................................... 75 Ilustración 40 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 80

viii

Ilustración 41 elemento de material en esfuerzo plano .................................................... 80 Ilustración 42 Deformación unitaria por cortante .............................................................. 81 Ilustración 43 Elemento sometido a deformaciones unitarias ........................................... 83 Ilustración 44 componentes de la deformación unitaria .................................................... 85 Ilustración 45 ejes y1 y x1 girados a partir de x y y .......................................................... 86 Ilustración 46deformaciones de un elemento en deformación debido a (a) deformación

unitaria normal en x, (b) deformación unitaria normal en y y (c) deformación unitaria por

cortante............................................................................................................................ 87 Ilustración 47 Deformación unitaria por cortante asociada con los ejes x1y1 ................... 89 Ilustración 48 elemento plano sujeto a esfuerzos ............................................................. 93 Ilustración 49 estado tridimensional de esfuerzos ............................................................ 94 Ilustración 50 (a) elemento en esfuerzo uniaxial, (b) deformación axial resultante, (c)

elemento sujeto a cortante, (d) deformación a causa del cortante ................................... 95 Ilustración 51 a8placa con barreno, (b) placa con cambio de área................................. 100 Ilustración 52(a) presa sometida a carga horizontal, (b) tubería con carga vertical ........ 101 Ilustración 53 Estado bidimensional de esfuerzos .......................................................... 101 Ilustración 54 Esfuerzos principales y sus direcciones ................................................... 102 Ilustración 55 Desplazamientos y rotaciones de un elemento en el plano x-y ................ 103 Ilustración 56 (a) placa en tensión,(b) discretizacion de la placa en elementos triangulares

...................................................................................................................................... 105 Ilustración 57 Elemento triangular básico y sus grados de libertad ................................ 105 Ilustración 58 Variación de N sobre la superficie x-y de un elemento típico ................... 110 Ilustración 59 elemento con ejes coordinados en el centroide ....................................... 119 Ilustración 60 (a) elementos con traccion superficial uniforme en un borde, (b) elemento

uno con traccion superficial 1 a lo largo del borde 1-3 ................................................... 120 Ilustración 61 elemento sujeto a tracción "p" en un borde .............................................. 122 Ilustración 62 Fuerzas nodales equivalentes de la tracción superficial ........................... 124 Ilustración 63 Placa delgada sujeta a esfuerzo de tensión ............................................. 124 Ilustración 64 Discretización de la placa ........................................................................ 125 Ilustración 65 Elemento 1 de la placa discreteada ......................................................... 126 Ilustración 66 Elemento dos de la placa discretizada ..................................................... 128 Ilustración 67 fractura en una hoja infinita ...................................................................... 134 Ilustración 68 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 138 Ilustración 69 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante 139 Ilustración 70 Análisis del campo cercano a la punta de la grieta................................... 141 Ilustración 71 Balance de energía durante la propagación de la grieta .......................... 148 Ilustración 72 Correlación entre la curva esfuerzo-deformación y la tasa de liberación de

energía .......................................................................................................................... 151 Ilustración 73 Trabajo realizado durante la propagación de la fractura .......................... 154 Ilustración 74 Estabilidad de la propagación de la fractura ............................................ 157 Ilustración 75 Definición de J como la línea integral alrededor de la punta de la grieta .. 159 Ilustración 76 Tipos de apertura de grieta en hojas planas debido a esfuerzos, pandeos y

momentos torsionales .................................................................................................... 161 Ilustración 77 elemento de cuarto de punto unidimensional:(a) coordenadas naturales; (b)

coordenadas cartesianas locales ................................................................................... 167 Ilustración 78 (a) elemento cuadrilátero isoperamétrico de 8 nodos nodalmente

distorsionado,(b) elemento triangular de 6 nodos .......................................................... 169

ix

Ilustración 79 Elemento cuadrilátero de 8 nodos colapsado........................................... 170 Ilustración 80 Arreglo de cuarto de punto de diferentes elementos con fractura ............ 173 Ilustración 81 (a) elemento pentaedrico, (b) elemento hexaédrico colapsado ................ 174 Ilustración 82 determinación del espesor L’ en el caso de elementos curvilíneos .......... 179 Ilustración 83 método de energía local en la forma de la integral de aproximación ........ 182 Ilustración 84 integral simple de aproximación en MEF: (a) fuerzas antes y (b)

desplazamientos después de la extensión de la grieta .................................................. 184 Ilustración 85 Integral de aproximación modificada para (a) lineales, (b) cuadráticas,

funciones de desplazamiento ......................................................................................... 185 Ilustración 86 integral de aproximación para elementos de cuarto de punto en 2D ........ 187 Ilustración 87 Tubo con temperatura interior .................................................................. 188 Ilustración 88 Número de elementos dado por la malla generada e el programa GRID . 190 Ilustración 89 Numero de nodos de la malla del tubo generada por el programa GRID . 190 Ilustración 90 Solución dada por el programa TDHEAT ................................................. 191 Ilustración 91 Solución dada por el software comercial .................................................. 191 Ilustración 92 Sección transversal .................................................................................. 192 Ilustración 93 Mala generada por el programa GRID y número de elementos ............... 192 Ilustración 94 Numero de nodos en la malla generada por el programa GRID ............... 193 Ilustración 95 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa TORSION .................... 193 Ilustración 96 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 194 Ilustración 97Esfuerzo cortante ZY generada por el programa TORSION .................... 194 Ilustración 98 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial. .................... 195 Ilustración 99 Malla de la placa generada por el programa GRID .................................. 196 Ilustración 100 Malla de la placa generada por el programa GRID y número de nodos 197 Ilustración 101 Esfuerzo principal 1 en la placa ............................................................. 197 Ilustración 102 Esfuerzo principal 1 generado por el programa comercial ...................... 198 Ilustración 103 Esfuerzo principal 2 generado por el programa STRESS ....................... 198 Ilustración 104 Esfuerzo principal 2 generado por el programa comercial ...................... 199 Ilustración 105 Desplazamientos en U dados por el programa STRESS ....................... 199 Ilustración 106 Desplazamientos en U dados por el programa comercial ...................... 200 Ilustración 107 Desplazamientos en V dados por el programa STRESS........................ 200 Ilustración 108 Desplazamientos en V dados por el software comercial ........................ 200

x

Resumen

En este trabajo se desarrolló un software computacional basado en la implementación del

método del elemento finito enfatizados en los capítulos desarrollados en esta tesis. El

software desarrollado puede ser usado con fines académicos y para tener una idea más

clara de las aplicaciones del método del elemento finito.

Los programas presentados son programas no altamente sofisticados que sin embargo

pueden resolver una amplia gama de problemas y son aplicables a nivel académico

compitiendo con otros softwares comerciales.

Dichos software consiste de 4 programas, que, como se mencionó anteriormente están

basados en los capítulos de esta tesis; el primero es el programa GRID que es el encargado

de generar la malla en dos dimensiones usando como base un grupo de ocho nodos, los

siguientes tres programas son: TDHEAT, TORSION y STRESS. Los cuales resuelven la

distribución de temperatura en cuerpos bidimensionales sujetos a temperaturas en la

frontera y/o convección en la superficie, esfuerzos cortantes en un eje no circular y el

análisis de cuerpos delgados sometidos a fuerzas externas y/o desplazamientos en la

frontera; respectivamente. Es decir, resuelven problemas que están gobernados bajo las

ecuaciones de Laplace y Poisson.

Como punto a destacar, estos programas son capaces de generar un ploteo de la

discretización de la figura con los valores ya sea por elemento o por nodo y así poder

interpretar o más bien de ver de manera más clara los resultados.

El presente escrito consta de seis capítulos en los cuales los primeros cinco son destinados

a la teoría en la que se basan los programas; empezando sobre teoría básica de

generadores de malla, pasando por teoría del elemento finito en transferencia de calor,

fluidos estacionarios, esfuerzo y deformaciones planas y por ultimo bases del elemento

finito en fractura.

El último capítulo está destinado a mostrar algunos problemas resueltos con los programas

desarrollados con la finalidad de comprobar su funcionamiento.

xi

Abstract

In this work a computational software implementation based on the finite element

emphasized in Chapters method developed in this thesis is developed. The developed

software can be used for academic purposes and to have a clearer idea of the applications

of the finite element method.

The programs presented are not highly sophisticated programs that nevertheless can solve

a wide range of problems and apply academically competing with other commercial

software.

Such software consists of four programs, which as mentioned above are based on the

chapters of this thesis; the first is the GRID program that is responsible for generating the

mesh in two dimensions using as a basis a group of eight nodes, the following three

programs are: TDHEAT, torsion and stress. Which solved the two-dimensional temperature

distribution in bodies subject to temperatures at the border and / or convection on the

Surface, shear stresses in a shaft non-circular and analysis of thin bodies subject to external

and / or displacement forces at the border; respectively. That is, solve problems are

governed under the Laplace and Poisson equations.

As a highlight, these programs are able to generate a plot of the discretization of the figure

with the values either element or node so we can interpret or rather more clearly see the

results.

The present document consists of six chapters in which the first five are intended for the

theory in which the programs are based; beginning on basic theory of mesh generators,

through finite element theory of heat transfer fluids stationary, plane stress and strain and

finally basics of the finite element in fracture.

The last chapter is intended to show some problems solved with programs developed in

order to test it.

xii

Introducción

El método del elemento finito es una herramienta muy poderosa para la solución

matemática de problemas de ingeniería y física. Su aplicación abarca desde el análisis del

chasis de un auto o una nave espacial hasta sistemas térmicos complejos tales como

plantas nucleares. Otras áreas de aplicación son, gases compresibles, electroestática, y

problemas de lubricación.

La implementación del elemento finito es un área muy amplia sobre la que se puede trabajar

de manera efectiva, ya que debido al avance de los computadores y la capacidad de las

mismas de procesar la información, se ha vuelto una de las formas más versátiles del

análisis de problemas de ingeniería.

Los programas realizados en este trabajo, están enfatizados en los capítulos siguientes de

esta tesis y pueden ser aplicables con fines académicos y algunos aún más complejos, ya

que permiten la solución de una amplia gama de problemas Además son programas no

altamente sofisticados que sin embargo pueden resolver una amplia gama de problemas y

son aplicables a nivel académico compitiendo con otros softwares comerciales.

Objetivo General

Desarrollar un software para la solución de problemas de ingeniería, basado en el método

del elemento finito y programado en lenguaje Fortran.

Objetivos Específicos

• Desarrollo de un programa que genere una malla en 2D que sea compatible con los

programas de solución

• Desarrollo de un programa destinada a la solución de problemas en ingeniería tales

como: Transferencia de Calor, Torsión y Esfuerzo Plano.

Justificación.

Para obtener una solución por elemento finito existen diversos softwares comerciales con

procedimientos ya definidos y algoritmos diseñados para optimizar una solución. Sin

embargo en estos softwares no se puede apreciar de manera clara el cómo se genera

dicha solución, así que para esto se propone el desarrollo de un software en lenguaje

FORTRAN basado en la implementación del elemento finito para la solución de algunos

problemas de ingeniería, en el cual se pueda apreciar el cómo afectan los parámetros

modificados y establecer de manera más clara las condiciones iniciales y a su vez dicho

software sea capaz de entregar soluciones muy próximas a las reales.

1

Capítulo 1: Estado del arte de generadores de redes en

1, 2, 3, d.

1.1 Historia de los generadores de redes

Se puede afirmar que el método de elementos finitos (FEM) fue iniciado por los ingenieros

y profesionales en los años cincuenta; Zienkiewicz (1977), por ejemplo. Luego, durante los

años sesenta, los matemáticos establecieron los fundamentos teóricos y matemáticos de

este método; Ciarlet (1991) o Hughes (1998), entre muchas otras referencias. El FEM

entonces fue ampliamente utilizado por las diversas categorías de personas implicadas en

la ingeniería. Un número de aplicaciones en diferentes campos de la ingeniería motivó el

desarrollo de métodos de generación de malla. Excepto cuando se considera una región

cuadrada o geometrías de formas simples, donde la generación de mallas es de aplicación

sencilla y concreta en dominios arbitrarios que requieren de diseño y aplicación de los

métodos de generación de malla automáticos. Un trabajo pionero de George (1971), a

principios de los años setenta, demostró un método para dos geometrías tridimensionales.

La generación numérica de redes tiene la doble distinción de ser la ciencia más joven en el

área de simulación numérica y uno de los campos más interesantes de la investigación

numérica. Aunque se utilizaron aplicaciones similares en la industria aeroespacial para

superficies de sustentación, una metodología general para redes 2D irregulares se presentó

por primera vez en la obra de A. Winslow “Numerical Solutions of the quasi-linear Poisson

Equation in a Nonuniform Triangular Mesh”.

En 1974, un documento titulado "generación numérica automática de cuerpo montado de

sistemas de coordenadas curvilíneas para campos que contienen cualquier número de

cuerpos bidimensionales arbitrarios" apareció en el J. of Computational Physics, escrito por

Thompson, Thames, y Mastin. Este documento puede ser considerado un documento

histórico, que origina el campo de la frontera en homogeneizadas rejillas, y haciendo posible

el uso de las eficientes técnicas de diferencias finitas y volúmenes finitos para geometrías

complejas.

Los métodos de generación de malla en base cuaternaria fueron iniciados por Yerry y

Shephard (1983), pocos años después. Los métodos de generación de malla basados en

métodos de Delaunay fueron introducidos por diversos autores, (Hermeline, 1980; Watson,

1981).

En cuanto a tres dimensiones, las instalaciones disponibles de los años ochenta (incluyendo

la capacidad de memoria y la eficiencia de la CPU) de computadoras, junto con la necesidad

de simulaciones más realistas, desencadenaron la investigación de métodos de generación

de malla capaces de construir mallas tridimensionales. En este sentido, el avance frontal,

de base octal y métodos de tipo Delaunay se extendió a este caso, mientras que la

superficie de los engranes recibió una atención particular. Las primeras referencias incluyen

Hermeline (1980); Watson (1981); Yerry y Shephard (1984); Lohner y Parikh (1988); Joe

(1991); Weatherill y Hassan (1994) y Marcum y Weatherill (1995).

2

1.2 Tipos de redes

Hay dos clases fundamentales de redes populares en la solución numérica de problemas

de contorno en las regiones multidimensionales: estructurados y no estructurados. Estas

clases se diferencian en la forma en que los puntos de la malla se organizan a nivel local.

En el sentido más general, esto significa que si la organización local de los puntos de la

rejilla y la forma de las celdas de la cuadrícula no dependen de su posición, pero se definen

por una regla general, la malla se considera como estructurada. Cuando la conexión de los

nodos de la red vecinas varía de un punto a otro, la malla se llama no estructurado. Como

resultado, en el caso estructurado la conectividad de la red se toma en cuenta

implícitamente, mientras que la conectividad de mallas no estructuradas debe ser descrita

de manera explícita mediante un procedimiento de estructura de datos apropiada.

Las dos clases fundamentales de malla dan lugar a tres subdivisiones adicionales de tipos

de red: estructurado en bloques, desbordado, e híbridos. Estos tipos de malla poseen en

cierta medida las características de ambas redes estructuradas y no estructuradas,

ocupando así una posición intermedia entre las redes puramente estructuradas y no

estructuradas.

En general, las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y el acceso de datos fácil, mientras

que las mallas no estructuradas ofrecen más adaptabilidad de malla a dominios

complicados. Las mallas híbridas de alta calidad disfrutan de las ventajas de ambos

enfoques, pero el mallado híbrido aún no es totalmente automático.

Las divisiones entre estructuradas y no estructuradas generalmente se extiende a la forma

de los elementos: las mallas estructuradas bidimensionales utilizan típicamente

cuadriláteros, mientras las mallas no estructuradas utilizan triángulos. En tres dimensiones

las formas de elementos análogos son hexaedro y tetraedros. Sin embargo, no hay razón

esencial para que las mallas estructuradas y no estructuradas utilicen diferentes formas de

elementos. De hecho, es posible subdividir los elementos con el fin de convertir entre

triángulos y cuadriláteros y entre tetraedros y hexaedros.

1.2.1 Redes estructuradas

Una malla estructurada se caracteriza por la conectividad regular que puede ser expresado

como una matriz de dos o tres dimensiones. Esto limita las opciones de los elementos a los

cuadriláteros en 2D o hexaedros en 3D.

Las mallas estructuradas ofrecen simplicidad y eficiencia. Una malla estructurada requiere

significativamente menos memoria que una malla no estructurada con el mismo número de

elementos, porque el almacenamiento conjunto puede definir la conectividad vecina

implícitamente. Una malla estructurada también puede ahorrar tiempo: para tener acceso a

las células vecinas cuando se calcula una plantilla de diferencias finitas, el software

simplemente incrementa o disminuye los índices de matriz. Los compiladores producen un

código eficiente para estas operaciones; en particular, pueden optimizar el código para

máquinas de vectores.

3

Por otro lado, puede ser difícil o imposible calcular una malla estructurada para un dominio

geométrico complicado. Además, una malla estructurada puede requerir muchos más

elementos que una malla no estructurada para el mismo problema, porque los elementos

de una malla estructurada no tienen la calidad de tamaño. Estas dos dificultades se pueden

resolver por el método híbrido estructurado de aproximación/no estructurada, que se

descompone en un complicado dominio en bloques soportando redes estructuradas. El

enfoque híbrido, sin embargo, aún no está totalmente automático, se requiere la orientación

del usuario en la etapa de descomposición. Una malla híbrida tridimensional complicada

puede llevar semanas o incluso meses de trabajo; por lo tanto, los enfoques híbridos se

utilizan normalmente sólo en fases tardías en el ciclo de diseño.

El enfoque de diferencias finitas, utilizando los puntos discretos, está asociado

históricamente con rejillas cartesianas rectangulares, ya que una estructura de red regular

proporciona una fácil identificación de puntos vecinos para ser utilizado en la representación

de los derivados, mientras que el enfoque de los elementos finitos ha sido siempre, por la

naturaleza de su construcción, en las celdas diferenciadas de forma general, considerado

muy adecuado para regiones irregulares, ya que una red de tales celdas se puede hacer

para llenar cualquier región de forma arbitraria y cada celda es una entidad en sí misma, la

representación debe estar en una celda, no través de las celdas.

La generación de redes estructuradas tiene sus raíces en los EE.UU. en la obra de Winslow

y Crowley en el “Lawrence Livermore National Lab” a finales de 1960, y en Rusia desde

Godunov y Prokopov casi al mismo tiempo. Otro componente muy fundamental fue el

trabajo de Bill Gordon en Drexel en la interpolación transfinita para la industria automotriz,

una presentación a la comunidad generación cuadrícula emergente en la conferencia de

rejilla en Nashville en 1982.

El uso de las redes en materiales compuestos ha sido la clave para el tratamiento de

configuraciones 3D generales con redes estructuradas. Aquí, en general, de material

compuesto se refiere al hecho de que la región física se divide en subregiones, dentro de

cada uno de los cuales se genera una cuadrícula estructurada. Estos subcuadrículas

pueden ser parchadas juntas en interfaces comunes, pueden ser superpuestas, o pueden

estar conectadas por una red no estructurada. Considerable confusión ha surgido en cuanto

a la terminología para redes de compuestas, por lo que es difícil clasificar de inmediato

trabajos sobre el tema.

Las rejillas compuestas en las que los subcuadrículas comparten interfaces comunes se

conocen como bloque, parcheado, incrustado, o redes zonales en la literatura. El uso de

los dos primeros de estos términos es bastante consistente con este tipo de rejilla

(parcheado proviene de las interfaces comunes, bloques de la estructura lógica

rectangular), pero los dos últimos son a veces también se aplica a las redes superpuestas.

Cuadrículas superpuestas (desbordadas) a menudo se llaman las redes quimera tras el

monstruo compuesto de la mitología griega. Desafortunadamente, las rejillas de interfaz

común también se puede decir que se desbordan, ya que normalmente al rodear utilizan

capas de puntos para lograr la continuidad. El uso de la zonal proviene principalmente de

las aplicaciones CFD donde la sugerencia de la aplicación de diferentes ecuaciones de

solución en diferentes regiones de flujo. Quizás bloques o parcheados sería mejor para las

rejillas de interfaz comunes, quimera para las redes superpuestas, e híbridas para las

combinaciones estructuradas - no estructuradas.

4

Con esta terminología adoptada, las redes en bloque (o parcheadas) pueden ser

completamente continuas en las interfaces, tienen pendiente o continuidad de línea, o son

discontinuas (compartir una interfaz común, pero no son comunes los puntos de la misma).

La continuidad completa se logra a través de una capa circundante de (imagen, phantom)

puntos en los que los valores se mantienen iguales a los correspondientes a los puntos del

objeto dentro de un bloque adyacente. Esto requiere un procedimiento de indexación de

datos para enlazar los bloques a través de las interfaces. Con la continuidad completa, la

interfaz no es fija (ni siquiera en forma), sino que se determina en el curso de la solución.

Este tipo de interfaz necesita de un sistema de generación elíptica. La continuidad

pendiente requiere que el procedimiento de generación de rejilla incorporar algún control

sobre el ángulo de intersección en los límites (por lo general, pero no necesariamente,

ortogonalidad), una exploración se realiza a través de la interpolación de Hermite en los

sistemas de generación algebraicas o a través del ajuste iterativo de las funciones de control

en los sistemas elípticos. En este caso los puntos de la interfaz son fijos, y las

subcuadrículas se generan de forma independiente, excepto por el uso de los puntos de

interfaz común y un ángulo común (presumiblemente ortogonal) de intersección con la

interfaz. La construcción de codificación PDE se simplifica en gran medida, ya sea con

continuidad completa o pendiente, desde entonces, las modificaciones en el algoritmo no

son necesarias en las interfaces.

1.2.1.2 Redes estructuradas en bloques

En la técnica aplicada de bloques, la región se divide sin agujeros o se superpone en unos

pocos subdominios contiguos, que pueden ser considerados como las celdas de un grueso,

generalmente rejillas no estructuradas. Y entonces una rejilla estructurada se genera en

cada bloque. La unión de estas redes locales constituye una malla que se refiere como una

cuadrícula de bloques estructurados o multi-bloque. Las rejillas de este tipo por lo tanto

pueden ser consideradas como estructurado localmente en el nivel de un bloque individual,

pero no estructurada cuando se ve como una colección de bloques. Así, una idea común

en la técnica de la rejilla de bloques estructurados es el uso de diferentes redes

estructuradas, o sistemas de coordenadas, en las diferentes regiones, lo que permite la

configuración de cuadrícula más adecuada para ser utilizado en cada región.

Las redes estructuradas en bloquea son considerablemente más flexible en el manejo de

geometrías complejas que las redes estructuradas. Desde estas rejillas se retiene el patrón

regular de conectividad simple de una malla estructurada a nivel local, estas rejillas de

bloques estructurados mantienen, en casi la misma manera que las redes estructuradas, la

compatibilidad con los algoritmos de diferencias finitas o volumen finito eficientes utilizados

para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la generación de redes de

bloque estructurado puede tener una buena cantidad de interacción con el usuario y, por lo

tanto, requiere la aplicación de una técnica de automatización para diseñar la topología de

bloque.

Las principales razones para el uso de las redes multi-bloque en lugar de las redes de

bloque único son que

(1) la geometría de la región es complicada, que tiene una frontera con conexiones

múltiples, cortes, protuberancias estrechas, cavidades, etc.;

5

(2) el problema físico es heterogéneo con respecto a algunas de las magnitudes físicas, de

modo que se requieren diferentes modelos matemáticos en diferentes zonas del dominio

para describir adecuadamente los fenómenos físicos;

(3) la solución del problema se comporta de manera no uniforme: pueden existir zonas de

variación suave y rápida de diferentes escalas.

Los bloques de redes estructuradas localmente en una región tridimensional son

comúnmente homeomorfas a un cubo tridimensional, por lo tanto tener la forma de un

hexaedro curvilíneo. Sin embargo, algunos dominios se pueden dividir de manera más

eficaces con el uso de bloques cilíndricos. Los bloques cilíndricos se aplican comúnmente

para la solución numérica de problemas en regiones con agujeros y para el cálculo de los

flujos de aeronaves o sus componentes (alas, fuselajes, etc.). Para muchos problemas es

más fácil tener en cuenta la geometría de la región y la estructura de la solución mediante

el uso de bloques cilíndricos. Además, el número total de bloques y secciones puede ser

menor que cuando se utilizan sólo bloques homeomorfos a un cubo.

Los solucionadores de bloques estructurados usualmente requieren la menor cantidad de

memoria para un tamaño de malla determinado y se ejecutan más rápidamente, ya que

están optimizados para la disposición estructurada de la cuadrícula. Por último, el

procesamiento posterior de los resultados en una cuadrícula bloque estructurado es una

tarea mucho más fácil porque los planos de la cuadrícula lógica son excelentes puntos de

referencia para examinar el campo de flujo y el trazado de los resultados.

El principal inconveniente de las redes de bloques estructurados es el tiempo y la

experiencia necesaria para diseñar una estructura de bloque óptimo para un modelo

completo. A menudo, esto se reduce a la experiencia del usuario más allá de la fuerza bruta

y la colocación de puntos de control y los bordes. Algunas geometrías, por ejemplo: conos

de poca profundidad y las cuñas, no se prestan a las topologías de bloques estructurados.

En estas zonas, el usuario se ve obligado a estirar o torcer los elementos en un grado que

afecta drásticamente la precisión y el rendimiento solucionador haciendo que los tiempos

de generación de cuadrícula generalmente se midan en días.

1.2.2 Redes no estructuradas

Muchos de los problemas de campo de interés implican geometrías muy complejas que no

son fácilmente susceptibles al marco del concepto red estructurada pura. Las redes

estructuradas pueden carecer de la necesaria flexibilidad y robustez para el manejo de

dominios con fronteras complicadas, o las celdas de la cuadrícula pueden llegar a ser

demasiado sesgadas y retorcidas, prohibiendo así una solución numérica eficiente. Un

concepto de red no estructurada se considera como una de las soluciones adecuadas para

el problema de la producción de rejillas en regiones con formas complejas.

Las mallas no estructuradas han distribuido irregularmente nodos y sus celdas no están

obligados a tener una sola forma estándar. Además de esto, la conectividad de las celdas

de la cuadrícula vecina no está sujeta a ninguna restricción; en particular, las celdas pueden

solaparse o encerrar entre sí. Por lo tanto, las mallas no estructuradas proporcionan la

herramienta más flexible para la descripción discreta de una geometría.

6

Estas mallas son adecuadas para la discretización de dominios con una forma complicada,

como las regiones alrededor de superficies de una aeronave. También permiten aplicar un

enfoque natural para la adaptación local, ya sea por la inserción o eliminación de nodos. El

refinamiento de la celda en un sistema no estructurado puede llevarse a cabo localmente

dividiendo las celdas en las zonas apropiadas en unas pocas celdas más pequeñas. Las

mallas no estructuradas también permiten la resolución excesiva al eliminar celdas de la

cuadrícula local en regiones en las que la solución no varía apreciablemente. En la práctica,

el tiempo total requerido para generar mallas no estructuradas en geometrías complejas es

mucho más corto que para las redes estructuradas y estructuradas en bloque.

Sin embargo, el uso de redes no estructuradas complica el algoritmo numérico debido al

problema de la gestión de datos inherente, lo que exige un programa especial para el

número y el orden de los nodos, bordes, caras, y las células de la red, y se requiere más

memoria para almacenar información acerca de las conexiones entre las células de la malla.

Una desventaja adicional de mallas no estructuradas que causa excesivo trabajo

computacional se asocia con el aumento del número de celdas, las caras y los bordes de

celdas, en comparación con los de mallas hexaédricas. Por ejemplo, una malla tetraédrica

de N puntos tiene aproximadamente las 6 N celdas, 12N caras y 7N bordes, mientras que

una malla de hexaedros tiene aproximadamente N celdas, 3N caras y 3N bordes. Por otra

parte, mover fronteras o mover las superficies internas de los dominios físicos es difícil de

manejar con mallas no estructuradas. Además de esto, los operadores del esquema de

diferencia linealizado en mallas no estructuradas no suelen congregar matrices, lo que hace

más difícil el uso de esquemas implícitos. Como resultado, los algoritmos numéricos

basados en una topología de red de no estructurada son los más costosos en términos de

operaciones por tiempo y de memoria por punto de la cuadrícula.

Originalmente, se utilizaron mallas no estructuradas principalmente en la teoría de la

elasticidad y plasticidad, y en los algoritmos numéricos basados en métodos de elementos

finitos. Sin embargo, el ámbito de aplicación de mallas no estructuradas se ha ampliado

considerablemente e incluye la dinámica de fluidos computacional.

Otro inconveniente de los métodos es su dependencia de los buenos datos CAD. La

mayoría de los fracasos de mallado son debido a algún error (posiblemente minúsculo) en

el modelo CAD. Solucionadores de flujo no estructurados normalmente requieren más

memoria y tienen tiempos de ejecución más largos que los solucionadores de cuadrícula

estructurados sobre una malla similar. Publicar el procesamiento de la solución en una

malla no estructurada requiere herramientas poderosas para la interpolación de los

resultados en el plano y las superficies de rotación para facilitar la visualización.

1.2.2.1 Triangulaciones de Delaunay

Con mucho, las más populares técnicas de generación de malla triangular se basan en el

concepto de triangulación de Delaunay. El criterio de Delaunay, también conocido como la

propiedad circulo vacio, establece que cualquier nodo no debe estar contenido dentro del

círculo circunscrito de cualquier triángulo de la malla, como se muestra en la ilustración 1.

Si bien el criterio Delaunay se conoce desde hace muchos años, no fue hasta que el trabajo

de Lawson y Watson que el criterio fue explotado para el desarrollo de algoritmos para

formar una triangulación convexa conexión de un conjunto determinado de puntos. Con el

7

rápido desarrollo de la FEM, el algoritmo de triangulación de Delaunay se amplió para

generar mallas de elementos finitos válida para el análisis numérico de ingeniería, por

Weatherill, Baker & Vassberg, George & Hermeline, y otros.

Ilustración 1 Triangulación de Delaunay

En el algoritmo incremental del Bowyer y Watson, los puntos se procesan de uno en uno.

En un paso típico de inserción de punto, los triángulos cuyos circumcirculo contiene el punto

de inserción son identificados y eliminados. Nuevos triángulos se construyen en la cavidad

dejada por los triángulos eliminados. Por lo tanto, la eficiencia del algoritmo de triangulación

depende de lo rápido que podemos identificar los triángulos para ser retirados y determinar

correctamente la cavidad para la inserción, y la velocidad con la que se calculan el

circuncentro, circunradio y la relación de adyacencia de los nuevos triángulos.

El criterio de Delaunay en sí no es un algoritmo para la generación de la malla. Simplemente

proporciona una regla para conectar un conjunto de puntos existentes en el espacio. Como

resultado, es necesario diseñar un método para determinar el número y las ubicaciones de

los puntos de nodo a ser insertados dentro del dominio de interés. Un enfoque típico es

crear primero una malla triangular lo suficientemente grande como para contener todo el

dominio. Los nodos de frontera son entonces insertados y conectados de acuerdo con el

criterio de Delaunay, y esto constituye una triangulación de los nodos frontera. Más nodos

se insertan de forma incremental en la malla gruesa límite, la redefiniendo los triángulos

cada que se introduce cada nuevo nodo, hasta que se forman un número deseable de

elementos en posiciones apropiadas.

En las aplicaciones de elementos finitos, hay un requisito de que se mantenga una

triangulación superficie existente, es decir, la integridad de la barrera de dominio. En la

mayoría proceso de triangulación Delaunay, antes de que se insertan nodos interiores, se

produce una teselación de los nodos en el límite del dominio. Sin embargo, en este proceso,

no hay garantía de que los segmentos de contorno estarán presentes en la triangulación.

En muchas implementaciones, el enfoque es teselar los nodos frontera utilizando un

algoritmo de Delaunay estándar sin tener en cuenta la integridad del dominio frontera.

Entonces se emplea un segundo paso a la fuerza o la recuperación de los segmentos de

contorno. Por supuesto, al hacerlo, la triangulación, en general, no es estrictamente

Delaunay, de ahí el término "triangulación de Delaunay frontera con limitaciones". En dos

dimensiones, la recuperación de borde es relativamente sencillo. Weatherill describe cómo

bordes de una triangulación pueden recuperarse simplemente intercambiando diagonales,

como se muestra en la ilustración 2.

8

Ilustración 2 bordes de una triangulación recuperados intercambiando diagonales

Hay muchas maneras para la segunda fase de inserción del punto de acuerdo a la función

de separación de nodo, que de hecho daría lugar a mallas de diferentes características.

Hermeline propone un esquema en el que se insertan los puntos en el baricentro bajo

ciertas condiciones. Algunos investigadores han propuesto insertar puntos en los

circuncentro de los triángulos. George propuso la inserción de puntos a lo largo de los

bordes de los triángulos. Otros hacen uso de un conjunto de puntos en posiciones

predeterminadas con la ayuda de una rejilla regular, una red “quadtree” o algún tipo de

métodos de descomposición espacial. Un esquema combinado con el enfoque frente de

avance también se presentó, en el que se insertan los puntos en posiciones estratégicas

como se determina en procesos frontales y las conexiones de elementos se modificarán de

acuerdo con el criterio de Delaunay.

Borouchaki hizo uso de los conceptos de espacio de control y criterio de longitud para la

inserción de puntos para crear una malla adaptativa de elementos de tamaños variables. El

mapa de tamaño del elemento puede ser dado explícitamente como una función continua

sobre todo el dominio o implícitamente definido por medio de una malla de fondo. Los

puntos se insertan basados en la subdivisión de los bordes de los elementos. Esta idea se

extendió más tarde con la introducción de un tensor métrico general para la generación de

mallas anisótropas en la que no sólo el tamaño del elemento puede variar, también los

elementos se someten a diferentes requisitos de tamaño a lo largo de diferentes

direcciones, como se muestra en la ilustración 3.

Ilustración 3 Malla anisotrópica por la triangulación de Delaunay

9

1.2.2.2 Redes tetraédricas no estructuradas

La generación de malla automática ha alcanzado una etapa tan madura que hay algoritmos

eficientes que pueden generar redes de alta calidad que se adaptan en los dominios de dos

dimensiones generales y sobre superficies curvas arbitrarias de una manera robusta. Sin

embargo, cuando nos fijamos en la generación de mallas de objetos sólidos

tridimensionales, inmediatamente nos damos cuenta de que el problema se vuelve mucho

más complejo, y muchas habilidades que funcionan bastante bien en dos dimensiones,

simplemente no se puede extender a una dimensión superior. En dos dimensiones, la

generación de la malla de límite restringido es casi un proceso determinista para el que las

soluciones siempre están garantizadas. En tres dimensiones, los algoritmos de generación

de mallas son más de naturaleza iterativa. La diferencia fundamental entre generar un

dominio bidimensional y un dominio tridimensional es que un límite de dos dimensiones

siempre puede ser engranado sin la necesidad de nodos adicionales. Sin embargo, hay

geometrías en tres dimensiones que no pueden ser discretizadas sin adición de puntos

interiores, un pentaedro trenzado con la triangulación de la superficie es un ejemplo bien

conocido. Puesto que no hay manera sistemática para decidir dónde se deben insertar

puntos, las soluciones analíticas no están disponibles, lo que lleva al desarrollo de

algoritmos iterativos de la naturaleza heurística para aplicaciones específicas. El problema

se complica aún más cuando se requieren mallas de tamaño del elemento variable en un

entorno de adaptación. Sin embargo, después de años de investigación dedicada, muchos

algoritmos prácticos para engranar los objetos sólidos tridimensionales son bastante fiables

de manera que la integridad de la barrera de dominio se puede mantener, a menos que se

encuentran condiciones de contorno extremadamente pobres, que se caracteriza por la

presencia de muchas facetas de superficie alargados con grandes relaciones de aspecto

entre elementos adyacentes. Las tres técnicas populares, a saber, el método “octree”, la

triangulación de Delaunay y el enfoque frente de avance, juegan un papel importante en la

generación de la malla tridimensional.

1.2.2.2.1 El método “octree”

La técnica octree es una forma de esquema de descomposición espacial en la que el objeto

de interés está encerrado en una caja de celdas cúbicas regulares que se refinan

progresivamente para capturar la frontera de dominio o para satisfacer ciertos requisitos de

tamaño del elemento. La técnica octree representa un objeto tridimensional como una

colección de cubos de tamaños variables, más o menos la misma que la técnica de quadtree

presenta un dominio planar en términos de células cuadradas.

Una de las deficiencias de la “quadtree” o descomposición “octree” es la orientación

predefinida de la zona de generación, que no lo hace adecuadamente tomando cuenta la

dirección preferencial dictada por partes de límites externos e internos. Para reducir el

número de elementos necesarios para representar límites curvos, en la descomposición-

octree modificado, se introduce el concepto de un 'octante corte ". Para mantener el

almacenamiento de árbol de número entero y para limitar el número de casos de corte

octante a un nivel manejable, sólo los cuartos y medios puntos de un octante se utilizan en

el proceso de corte. Este es un proceso bastante complicado y tiene que ser tomado en

una base de caso por caso; el número de casos especiales que se requieren en una

10

situación de dos dimensiones es de 16, en tanto que la misma situación,en tridimensional

incrementa a 4,096 casos. Otras características asociadas con el método de octree

modificado es que una regla de transición de un nivel tiene que ser forzada para asegurar

un cambio suave de tamaño del elemento y los elementos de transición son para ser

utilizado en otras situaciones. Como las superficies de contacto de las partes adyacentes

creadas por el método de octree modificado no son en general compatibles, la generación

de malla para los dominios complejos a través de la descomposición subdominio no es

sencillo, ya que hay dificultad en la búsqueda de los límites de un subdominio con otro.

También se han propuesto variaciones de la técnica octree modificado combinado con otros

esquemas tales como la triangulación de Delaunay y un proceso frontal. Sin embargo, la

ventaja de la técnica octree es que permite una rápida descomposición del objeto en

elementos, y hay flexibilidad en el grado de resolución en la representación de

características geométricas de contorno. Este método puede ser más adecuado para

problemas en los que la solución física no es sensible a los detalles geométricos de

contorno. La ilustración 4 muestra una malla tetraédrica creado por el método modificado-

octree.

Ilustración 4 malla tetraédrica por el método "octree"

1.2.2.2.2 Triangulacion de Delaunay 3d

En tres dimensiones, el algoritmo de Watson comienza con un tetraedro que contiene todos

los puntos que se inserta, y el nuevo tetraedro es formado como los puntos se introducen

de uno en uno. En una etapa típica del proceso, un nuevo punto se prueba para determinar

qué circumesferas de los tetraedros existentes contienen el punto. Los tetraedros asociados

se retiran, dejando un poliedro de inserción que contiene el punto. Se crean bordes que

conectan el nuevo punto a todas las facetas triangulares en la superficie del poliedro de

inserción, definiendo tetraedros que llenan la cavidad. La combinación de estas con los

tetraedros fuera del poliedro inserción produce una nueva triangulación Delaunay que

contiene el punto que acaba de agregar. La triangulación es completa cuando se insertan

y se procesan de forma secuencial todos los puntos.

11

En muchas aplicaciones, se requiere que se mantengan las facetas triangulares en la

superficie límite. Sin embargo, la triangulación Delaunay de los puntos de los límites no

siempre contiene todas las aristas y facetas triangulares en la superficie límite. Mientras

que en dos dimensiones, la recuperación de los bordes de contorno se garantizará

mediante el canje de las diagonales, hay casos en tres dimensiones donde la triangulación

frontera no se puede definir sin insertar primero nodos adicionales. Este fenómeno aumenta

la complejidad del procedimiento de recuperación límite en tres dimensiones. Dos métodos

diferentes han sido propuestos por George et al. y Weatherill y Hassan, respectivamente,

para tratar con el problema de la recuperación de la superficie. En el primer enfoque

sugerido por George e implementado en software GSH3D de INRIA, un borde que une dos

nodos se recupera mediante la realización de una serie de transformaciones tetraédricas

intercambiando dos tetraedros adyacentes por tres, como se muestra en la ilustración 5. El

proceso de intercambio 2-3 reduce eficazmente el número de intersecciones de la

segmento de línea que debe recuperarse con las caras triangulares de la malla en uno por

cada intercambio. Cuando no hay más intersección con la malla, se recupera el segmento

de línea propuesto. A veces hay que un canje 2-3 no válido se puede definir para resolver

una intersección, y los nodos adicionales debe ser introducido para facilitar más cambios

de elemento hasta que se eliminen todas las intersecciones. Después se recuperan todos

los bordes de la frontera, algunas facetas triangulares de frontera aún pueden faltar. A fin

de recuperar las caras triangulares, se llevan a cabo transformaciones de elementos,

principalmente caracterizados por el intercambio de tres tetraedros adyacentes en un borde

para dos. Transformaciones más complejas o nodos adicionales pueden ser necesarios en

la fase de recuperación de cara si las transformaciones simples por sí solas no puedan

resolver la situación.

Ilustración 5 intercambio de dos tetraedros adyacentes por tres

El segundo método propuesto por Weatherill también implica una fase de recuperación del

borde y una fase de recuperación de cara. La principal diferencia con el enfoque de George

es que, en lugar de intentar transformaciones de elementos para recuperar los bordes y

caras, los nodos se insertan directamente en la triangulación en las posiciones donde se

cruza la superficie límite. Este proceso introduce temporalmente nodos adicionales a la

superficie límite. Una vez que se forman las facetas de la superficie, se eliminan los nodos

que se insertaron para facilitar la recuperación de límites.

12

Un punto fuerte de la triangulación de Delaunay es que la generación de mallas se basa en

un fondo teórico sólido a partir del cual algoritmos eficientes y fiables se pueden formular.

El desarrollo en la técnica de recuperación límite mejora aún más el alcance de las

aplicaciones de este método. Sin embargo, mientras que el criterio Delaunay proporciona

una regla para la conexión de un conjunto dado de puntos, no sugiere posiciones

estratégicas para la inserción de un nodo, excepto, por supuesto, aquellos nodos

esencialmente en el límite. Aunque esto parece ser una deficiencia del método, permite una

gran libertad en la definición de estrategias de inserción de nodo para generar mallas de

diferentes características, incluyendo los utilizados en el análisis de adaptación. La

triangulación mínima con integridad límite proporciona la base para la inserción de un nodo

para crear todo tipo de mallas para diversos fines.

En el generador de mallas GSH3D desarrollada por INRIA, los nodos interiores se insertan

en las posiciones a lo largo de los bordes de los elementos. Una lista de nodos candidatos

se genera al marchar a lo largo de los bordes internos existentes de la malla a una distancia

especificada. Los nodos son considerados uno por uno, descartando los nodos que esten

demasiado cerca de un nodo existente. Este proceso se puede hacer de una manera

recursiva hasta que se satisface una función de tamaño del fondo. Otro esquema de

inserción nodo sugerido por Marcum y Weathers y Frey se basa en el enfoque frente de

avance. Cada cara triangular generada en la parte frontal se examina para determinar la

ubicación ideal para un nuevo cuarto nodo en el interior de la malla Delaunay existente. Si

se acepta un nodo, la conexión de este nodo a los elementos existentes se realiza por un

núcleo punto de inserción estándar kernel, y el frente se actualiza en consecuencia. Este

método tiende a generar elementos en buena alineación con el límite del dominio, y por lo

general son de mejor calidad en comparación con otros esquemas de inserción punto.

Como la triangulación de Delaunay puede dar lugar a elementos degenerados muy

delgados, conocidos como astillas, que pueden no ser adecuados para el análisis numérico,

una optimización basada en una medida de elemento de forma apropiada tiene que ser

aplicada para mejorar la calidad global de la malla. La ilustración 6 muestra las mallas

adaptativas generadas por el método de triangulación Delaunay.

Ilustración 6 malla adaptativa generada por la triangulación de Delaunay.

13

Una extensión para la generación de redes gobernada por una métrica anisotrópica en

general también es posible. Aquí, tenemos que prestar atención a los dos aspectos

importantes en un proceso de triangulación de Delaunay. En primer lugar, en la creación de

puntos interiores, sus posiciones estratégicas tienen que ser determinada por un cálculo de

la longitud sobre la base de la métrica en general, para producir elementos con

características anisotrópicas. En segundo lugar, el criterio de vacío-esfera utilizado en la

triangulación de Delaunay tiene que ser revisado también. Para cada tetraedro, tenemos

que encontrar un punto central dentro del tetraedro que es de la misma distancia de los

cuatro vértices, medida por la métrica determinada. El criterio de Delaunay se espera Si

cualquier punto está a una distancia desde el centro mayor que la distancia entre el centro

y cualquiera de los cuatro vértices.

1.2.2.2.3 Enfoque frente de avance

Principalmente aplicado a dominios planas y superficies curvas, el enfoque frente de avance

es igualmente eficaz para la generación de mallas tetraédricas en tres dimensiones. En tres

dimensiones, la generación frontal es de una o más superficies cerradas de facetas

triangulares, y toda la superficie límite puede tomarse como la parte frontal inicial cuando

se se empieza la red. Dada una faceta triangular en la parte delantera, se determina un

lugar ideal para un nuevo cuarto nodo.. Al igual que en el caso bidimensional, una medida

de la forma conveniente para tetraedros, el coeficiente γ, se puede definir de la siguiente

manera:

El algoritmo selecciona el nuevo cuarto nodo o un nodo existente para formar el mejor

tetraedro con un valor máximo γ, y los avances frontales con la formación del nuevo

elemento. Se requieren comprobaciones de intersección para asegurarse de que el

tetraedro no penetra en el frente durante la generación de elemento de construcción.

El mallado se completa cuando el frente generación se reduce a cero, es decir, no quedan

más facetas triangulares. Algunas mallas adaptativas también pueden ser generadas con

este método mediante la definición de una función de separación de nodo para controlar el

tamaño de los elementos en cuanto son creados los elementos. En este caso, tanto la

colocación de los nodos y la forma de medida elemento tienen que ser modificados para

tener en cuenta el cambio continuo de tamaño del elemento. Lohner y Oñate propusieron

usar una gruesa malla Delaunay en los nodos frontera seleccionados, sobre las que la

función de tamaño se puede interpolar fácilmente. El principal problema con el enfoque

frente de avance es que la convergencia no siempre está garantizada para dominios

tridimensionales complejos generales. Sin embargo, la convergencia de los dominios

tridimensionales de geometría arbitraria por lo general se pueden lograr con una estrategia

de colocación nodo de sonido. Si no hay convergencia, el volumen tiene que ser dividido

en partes más simples antes de la generación de malla, y el método frente de avance es

sólo una herramienta adecuada para manejar el mallado de subvolúmenes que comparten

una frontera común. La estabilidad y la eficiencia del método se pueden mejorar cuando se

combina con la triangulación de Delaunay, sobre todo cuando se utiliza para la generación

de mallas de adaptación. La ilustración 7 muestra una malla tetraédrica generada por el

enfoque frente de avance

14

Ilustración 7 malla creada por el enfoque frente de avance.

1.2.3 Redes desbordadas

Redes estructuradas por bloques requieren la partición del dominio en bloques que están

restringidos para apoyarse entre sí. Las rejillas desbordadas están exentas de esta

restricción. Con el concepto desbordado se permiten a los bloques superponerse, lo que

simplifica significativamente el problema de la selección de los bloques que cubren la región

física. De hecho, cada bloque puede ser un subdominio que se asocia solamente con una

única geometría o característica física. La rejilla general se obtiene como un conjunto de

redes estructuradas que se generan por separado en cada bloque. Estas redes están

estructuradas desbordado el uno del otro, con los datos comunicados por interpolación en

las áreas de los bloques superpuestos.

Ilustración 8 fragmento de una malla desbordada

15

Los programas de pos procesamiento sofisticados se ejecutan en la malla

superposición para determinar los "cortes de agujeros", lugares y factores de

interpolación alrededor de los límites de los bloques. Lo que estos métodos ganan en

comodidad del usuario, por lo general se dan por vencidos en la precisión de la solución.

Sin embargo, estos métodos pueden ser facilitadores para geometrías que serían una

tarea demasiado desalentadora con métodos convencionales.

1.2.4 Redes híbridas

Las redes numéricas híbridos son mallas que se obtienen mediante la combinación de

rejillas estructuradas y no estructuradas. Estas mallas se utilizan ampliamente para el

análisis numérico de problemas de contorno en las regiones con una geometría compleja y

con una solución de estructura complicada. Se forman al unirse a las redes estructuradas

y no estructuradas en diferentes partes de la región o superficie. Comúnmente, una rejilla

estructurada se genera sobre cada segmento límite elegido. Se requiere que estas redes

estructuradas no se superpongan. El resto del dominio se llena con las celdas de una red

no estructurada. Esta construcción se aplica ampliamente para la solución numérica de

problemas con capas límite.

Ilustración 9 Fragmento de una malla hibrida

Las redes híbridas pueden contener hexaedros, tetraédrica, prismática, y los elementos de

la pirámide en 3D y triángulos y cuadriláteros en 2D. Los diversos elementos se utilizan de

acuerdo a sus fortalezas y debilidades. Elementos hexaédricos son excelentes cerca de los

límites sólidos (donde los gradientes de campo de flujo son altos) y ofrecen al usuario un

alto grado de control, pero requieren mucho tiempo para generar. Elementos prismáticos

(generalmente triángulos extruidos en trozos) son útiles para resolver gradientes cerca del

borde, pero adolecen del hecho de que son difíciles de agrupar en la dirección lateral debido

a la estructura triangular subyacente. En casi todos los casos, los elementos tetraédricos

se utilizan para rellenar el volumen restante. Los elementos de pirámide se utilizan para

hacer la transición a partir de elementos hexaédricos a elementos tetraédricos. Muchos

códigos tratan de automatizar la generación de mallas prismáticas al permitir al usuario

definir la malla de la superficie y luego marchando fuera de la superficie para crear los

elementos 3D. Si bien es muy útil y eficaz para formas suaves, el proceso de extrusión

puede descomponer cerca de las regiones de alta curvatura o discontinuidades agudas.

16

Otro tipo de rejilla híbrido es el método cuasi-estructurada o rejilla "cooper". Mientras que,

es básicamente, una forma de la técnica de extrusión rejilla prismática, el método cuasi-

estructurado permite cierta formas sofisticadas de crecimiento de la malla 3D utilizando un

concepto de barrido dentro de un modelo sólido CAD.

La ventaja de los métodos de cuadrícula híbridos es que se puede utilizar las propiedades

positivas de elementos de la red estructurados en las regiones que más se necesitan y

utilizan técnicas de cuadrícula no estructurados automatizados donde no hay mucho que

está sucediendo en el campo de flujo. La habilidad para controlar la forma y la distribución

de la red local es una herramienta poderosa que puede dar excelentes mallas.

La desventaja de los métodos híbridos es que pueden ser difíciles de utilizar y requieren

experiencia de usuario en la disposición de los distintos lugares de la red estructurada y

propiedades para obtener los mejores resultados. Los métodos híbridos son típicamente

menos robustos que los métodos no estructurados. La generación de las porciones

estructuradas de la malla a menudo falla debido a la geometría de entrada del usuario o

errores de complejidad. Mientras que el solucionador de flujo utilizará más recursos que un

código de bloque estructurado, pues este debe ser muy similar a un código de una red no

estructurada. Publicar el procesamiento de la solución de campo de flujo en una cuadrícula

híbrido adolece de las mismas desventajas que una red no estructurada. Los Tiempos de

generación de cuadrícula generalmente se miden en horas o días.

17

Capítulo 2: Problemas de la ingeniería: Flujos de

potencial y Flujos estacionarios, Análisis de esfuerzos

y/o Deformaciones planos. Transferencia de Calor

Estacionario

2.1 Flujos de potencial y Flujos estacionarios

2.1.1 Introducción

El tema general de la mecánica de fluidos abarca una amplia gama de problemas de interés

en aplicaciones de ingeniería. La definición más básica de un fluido es afirmar que un fluido

es un material que se ajusta a la forma de su envase. Por lo tanto, ambos, líquidos y gases

son fluidos. Alternativamente, se puede afirmar que un material que, en sí mismo, no puede

soportar tensiones de cizallamiento es un fluido. Por lo tanto, un fluido fácilmente se

distorsiona, ya que la resistencia a la cizalladura es muy baja.

El comportamiento físico de los líquidos y gases es muy diferente. Las diferencias en el

comportamiento conducen a diversos subcampos en la mecánica de fluidos. En general,

los líquidos exhiben densidad constante y el estudio de la mecánica de fluidos de líquidos

se denomina generalmente como el flujo incompresible. Por otro lado, los gases son

altamente compresibles y dependiente de la temperatura. Por lo tanto, los problemas de

mecánica de fluidos que involucran gases se clasifican como casos de flujo compresible.

Además de las consideraciones de compresión, el grado relativo en que un fluido puede

soportar una cierta cantidad de corte, conduce a otra clasificación de los problemas de

mecánica de fluidos. La resistencia de un fluido al cizallamiento se materializa en la

propiedad material conocido como viscosidad. En un sentido muy práctico, la viscosidad es

una medida del "espesor" de un fluido.

En un caso unidimensional, el gradiente de velocidad y la ley de Newton de la viscosidad

se pueden describir en referencia a la figura siguiente.

Ilustración 10 placa separada por un fluido de una superficie fija

18

Una placa plana se está moviendo con velocidad �̇� en la dirección 𝑥 y se separa de una

superficie fija situada en y = 0 por una delgada película de fluido de espesor ℎ. Los

experimentos muestran que el fluido se adhiere a ambas superficies, de manera que la

velocidad del fluido en la superficie fija es cero, y en la placa móvil, la velocidad del fluido

es de �̇� (este fenómeno se conoce como la condición de no deslizamiento).

Ilustración 11 velocidad a través del espesor del fluido

Si la presión es constante en todo el fluido, la distribución de velocidad entre la placa móvil

y la superficie fija es lineal, como en la anterior, por lo que la velocidad del fluido en cualquier

punto viene dada por

�̇�(𝑦) =𝑦

ℎ�̇�

(2. 1)

Para mantener el movimiento, una fuerza en la dirección del movimiento debe ser aplicado

a la placa. Se requiere una fuerza para mantener la placa en equilibrio, ya que el fluido

ejerce una fuerza de fricción que se opone al movimiento. Se sabe a partir de experimentos

que la fuerza por unidad de área requerida para mantener el movimiento es proporcional a

la velocidad �̇� de la placa móvil e inversamente proporcional a la distancia ℎ. En general, el

esfuerzo de cizallamiento de fricción se describe en la ley de la viscosidad de Newton como:

𝜏 = 𝜇𝑑�̇�

𝑑𝑦

(2. 2)

Donde la constante de proporcionalidad 𝜇 es llamada como la viscosidad absoluta del

fluido. La viscosidad absoluta (o simplemente viscosidad) es una propiedad del material

fundamental de los medios de comunicación de fluido, ya que, como se muestra por la

ecuación anterior, la capacidad de un líquido para apoyar esfuerzo de cizallamiento

depende directamente de la viscosidad.

19

La importancia relativa de los efectos de la viscosidad conduce a todavía otros subconjuntos

de los problemas de mecánica de fluidos, como se ha mencionado. Los líquidos que

presentan muy poca viscosidad se denominan no viscoso y los esfuerzos cortantes son

ignorados. Por otro lado, los fluidos con viscosidad significativa deben considerarse

asociados a efectos de cizallamiento importantes. En general, los líquidos son más a

menudo tratados como incompresibles pero los efectos de la viscosidad dependen

específicamente del fluido. Los gases, por otra parte, generalmente son tratados como

compresibles pero no viscosos.

2.1.2 Flujos estacionarios y no estacionarios

Una de las distinciones más importantes, y a menudo más fáciles de reconocer, es la

asociada con flujo estacionario e no estacionario. En el caso más general, todas las

propiedades de flujo dependen del tiempo; por ejemplo, la dependencia funcional de presión

en cualquier punto (x, y, z) en cualquier instante puede ser denotado p (x, y, z, t). Esto

sugiere lo siguiente:

Si todas las propiedades de un flujo son independientes del tiempo, entonces el flujo es

estacionario; de lo contrario, es no estacionario.

Los flujos físicos reales esencialmente siempre exhiben algún grado de inestabilidad, pero

en muchas situaciones la dependencia del tiempo puede ser suficientemente débil (lento)

para justificar un análisis en estado estacionario, que en tal caso a menudo se denomina

un análisis cuasi-estacionario. También vale la pena mencionar que el término transitorio

surge a menudo en la dinámica de fluidos, tal como lo hace en muchas otras ramas de las

ciencias físicas. Es cierto que un flujo transitorio depende del tiempo, pero lo contrario no

es necesariamente cierto.

El comportamiento transitorio no persiste para "tiempos largos". En particular, un flujo puede

presentar un cierto tipo de comportamiento, por ejemplo oscilatorio, durante unos segundos,

después de lo cual podría llegar a ser constante. Por otro lado, el comportamiento

dependiente del tiempo (no estacionario) generalmente es persistente, pero puede ser

genéricamente similar para todos los tiempos después de un estado transitorio inicial; es

decir, la naturaleza cualitativa del comportamiento puede fijarse a pesar de que el

movimiento detallado cambia con el tiempo. Tal flujo se denomina a menudo estacionario.

Ejemplos de estas situaciones de flujo se representan en la figura siguiente en términos de

su serie de tiempo.

Ilustración 12 (a) transitorio y luego estacionario, (b) inestable pero estacionario, (c) inestable

20

2.1.3 Ecuaciones gobernantes en fluidos.

2.1.3.1 Conservación de la masa

Una de las leyes físicas más importantes que gobiernan el movimiento de cualquier medio

continuo es el principio de conservación de la masa. La ecuación derivada por la aplicación

de este principio es conocida como la ecuación de continuidad. Primero se va a enunciar el

principio de forma integral para una región determinada y luego se deduce la forma

diferencial. Considerando un volumen fijo en el espacio.

Ilustración 13 Conservación de la masa de un volumen fijo en el espacio

La tasa de aumento de masa en su interior es la integral de volumen

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌𝑑𝑉 =𝑉

∫𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑𝑉

𝑉

(2. 3)

La derivada en el tiempo se ha tomado dentro de la integral en el lado derecho ya que el

volumen es fijo y se aplica la ecuación para un volumen fijo.

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝐹(𝑥, 𝑡)𝑑𝑉 =𝑉

∫𝜕𝐹

𝜕𝑡𝑑𝑉

𝑉

(2. 4)

Ahora la tasa de flujo de masa fuera del volumen es la integral de superficie

∫ 𝜌𝒖 ∙ 𝑑𝑨𝐴

(2. 5)

𝑚𝑎𝑠𝑎 = ∫𝜌 𝑑𝑉 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 𝜌𝑢 ∙ 𝑑𝐴

𝐴 = 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑉 𝑉

𝑢

𝑑𝐴

21

Donde 𝜌𝑢 • 𝑑𝐴 es el flujo hacia el exterior a través de un elemento de área dA. (Se considera

dA para 𝑛 dA, donde n es la unidad normal exterior a la superficie. Por lo tanto, vector dA

tiene una magnitud dA y una dirección a lo largo de la normal exterior.) La ley de la

conservación de la masa establece que la tasa de aumento de la masa dentro de un

volumen fijo debe ser igual a la tasa de flujo de entrada a través de los límites. Por lo tanto,

∫𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑𝑉

𝑉

= −∫ 𝜌𝒖 ∙ 𝑑𝑨𝐴

(2. 6)

La cual es la forma integral de la ley de volumen fijo en el espacio.

La forma diferencial puede ser obtenida por la transformación de la integral de la superficie

del lado derecho de la ecuación a un volumen integral por medio del teorema de

divergencia, que da

∫ 𝜌𝒖 ∙ 𝑑𝑨𝐴

= ∫ ∇ ∙𝑉

(𝜌𝒖)𝑑𝑉 (2. 7)

Por lo tanto la ecuación de la ley de volumen fijo se convierte

∫ [𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (𝜌𝒖)] 𝑑𝑉

𝑉

= 0 (2. 8)

La relación antes mencionada se cumple para cualquier volumen, que puede ser posible

sólo si el integrando se desvanece en cada punto. (Si el integrando no desapareció en todos

los puntos, entonces podríamos elegir un pequeño volumen en torno a ese punto y obtener

un integrante distinto de cero.) Esto requiere

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (𝜌𝒖) = 0

(2. 9)

La cual es llamada ecuación de continuidad y expresa la forma diferencial del principio de

conservación de masa.

Con respecto a un conjunto de ejes Cartesianos fijos, los componentes de velocidad

paralelos al eje x, y y z, son denotados como u, v y w respectivamente. El principio de

conservación de masa requiere que la tasa de tiempo de cambio de masa sin el volumen

sea balanceada con la masa neta del fluido en el volumen.

22

La masa total dentro del volumen es 𝜌𝑑𝑉 y debido a que 𝑑𝑉 es contante, se tiene

𝑑𝜌

𝑑𝑡𝑑𝑉 =∑(𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)

(2. 10)

Y la derivada parcial es usada porque la densidad podría variar en el espacio como el

tiempo. Usando los componentes de la velocidad mostrados, la tasa de cambio de masa en

el volumen resultante de flujo en la dirección x es

�̇�𝑥 = 𝜌𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − [𝜌𝑢 +𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥 𝑑𝑥] 𝑑𝑦 𝑑𝑧

(2. 11)

Mientras que la ecuación resultante correspondiente para el flujo en las direcciones y y z

son

�̇�𝑦 = 𝜌𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑧 − [𝜌𝑣 +𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦 𝑑𝑦] 𝑑𝑥 𝑑𝑧

(2. 12)

�̇�𝑧 = 𝜌𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − [𝜌𝑤 +𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧 𝑑𝑧] 𝑑𝑥 𝑑𝑦

(2. 13)

La tasa de cambio de masa será

𝑑𝜌

𝑑𝑡𝑑𝑉 = �̇�𝑥 + �̇�𝑦 + �̇�𝑧 = −[

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

(2. 14)

Considerando que 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 la ecuación se puede escribir como

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝜌

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝜌

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝜌

𝜕𝑧+ 𝜌 [

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧]𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0

(2. 15)

La ecuación anterior es la ecuación de continuidad para un flujo en tres dimensiones en

coordenadas Cartesianas.

23

Restringiendo el estudio para el caso de un flujo estable e incompresible, la densidad es

independiente del tiempo así que la ecuación se escribe como:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(2. 16)

2.1.3.2 Origen de las fuerzas en fluidos

Las fuerzas que actúan en un flujo pueden ser divididas convenientemente en tres clases:

fuerzas en el cuerpo, fuerzas superficiales y fuerzas lineales, las cuales serán descritas a

continuación.

I. Fuerzas en el cuerpo: Las fuerzas en el cuerpo son las que surgen de "acción a

distancia", sin contacto físico. Estas son el resultado de colocar el medio en un

campo de fuerza determinado, que puede ser gravitacional, magnético,

electrostático, o de origen electromagnético. Dichas fuerzas se distribuyen por toda

la masa del fluido y son proporcionales a la masa. Las fuerzas del cuerpo se

expresan por unidad de masa o por unidad de volumen. En este caso, las fuerzas

en el cuerpo por unidad de masa se denotarán como 𝑔.

Estas fuerzas pueden ser conservativas o no conservativas. Las fuerzas

conservativas son aquellas que pueden ser expresadas como el gradiente de una

función de potencial

𝑔 = −∇Π (2. 17)

Donde Π es llamada la fuerza de potencial. Todas las fuerzas dirigidas de forma

centralizada desde una fuente son conservadoras. La gravedad, las fuerzas

electrostáticas y magnéticas son conservadoras. Por ejemplo, la fuerza de gravedad

se puede escribir como el gradiente de la función potencial.

Π = 𝑔𝑧 (2. 18)

Donde 𝑔 es la aceleración debido a la gravedad y 𝑧 son los puntos verticales hacia

arriba. Para comprobar esto se sustituye la ecuación previa en la función de

potencial.

𝑔 = −∇(𝑔𝑧) = − [𝑖𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗

𝜕

𝜕𝑦+ 𝑘

𝜕

𝜕𝑧] (𝑔𝑧) = −𝑘𝑔

(2. 19)

24

La cual es la fuerza de gravedad por unidad de masa. El signo negativo señala que

𝑔 es en dirección hacia abajo a lo largo del eje 𝑧 negativo.

La expresión Π = 𝑔𝑧 también señala que la fuerza de potencial iguala la energía de

potencial por unidad de masa. Así pues se concluye que todas las fuerzas que

satisfagan la ecuación de potencial son llamadas “conservativas” por qué el

movimiento resultante conserva la suma de la energía cinética y la energía

potencial, si no hay un proceso disipativo. Las fuerzas conservativas también

satisfacen la propiedad de que el trabajo hecho es independiente del camino.

II. Fuerzas superficiales: las fuerzas superficiales son aquellas que son ejercidas sobre

un elemento en cierta área de un elemento por el entorno mediante un contacto

directo. Estas fuerzas son proporcionales a la extensión de área y son

convenientemente expresadas por unidad de área. Las fuerzas superficiales se

pueden resolver en componentes normal y tangencial al área. Considerando un

elemento de área 𝑑𝐴 en un fluido. La fuerza 𝑑𝐹 en el elemento puede ser resuelta

en una componente 𝑑𝐹𝑛 normal a la zona y un componente 𝑑𝐹𝑠 tangencial a la zona.

La tensión normal y cortante en el elemento se definen, respectivamente, como:

𝜏𝑛 =𝑑𝐹𝑛𝑑𝐴

𝜏𝑠 =𝑑𝐹𝑠𝑑𝐴

(2. 20)

Ilustración 14 Fuerzas normales y cortantes en un área

Estas son las definiciones de los componentes escalares de tensión. Teniendo en

cuenta que la componente de fuerza tangencial a la superficie es un vector de dos

dimensiones en la superficie.

III. Fuerzas de línea: fuerzas de tensión superficial se denominan fuerzas de línea

debido a que actúan a lo largo de una línea y tienen una magnitud proporcional a la

extensión de la línea. Ellas aparecen en la interfaz entre un líquido y un gas, o en la

interface entre dos líquidos inmiscibles. Las fuerzas de tensión superficial no

aparecen directamente en las ecuaciones de movimiento, pero entran en las

condiciones de frontera.

25

2.1.3.3 Esfuerzos en un punto

La tensión en un punto puede ser completamente especificado por los nueve componentes

del tensor de tensiones 𝜏. Considere la posibilidad de un paralelepípedo rectangular

infinitesimal con caras perpendiculares a los ejes de coordenadas.

Ilustración 15 Esfuerzos en un punto

En cada cara hay una tensión normal y un esfuerzo de cizallamiento, que se puede resolver

además en dos componentes en las direcciones de los ejes. La figura muestra las

direcciones de las tensiones positivas en cuatro de las seis caras. El primer índice de 𝜏𝑖𝑗

indica la dirección de la normal a la superficie en la que se considera el esfuerzo, y el

segundo índice indica la dirección en que actúa la tensión.

Los elementos diagonales 𝜏11, 𝜏22 y 𝜏33 de la matriz de estrés son las tensiones normales,

y los elementos fuera de la diagonal son las tensiones tangenciales o cortantes. Aunque se

muestra un cubo, la figura muestra realmente las tensiones en cuatro de los seis planos

ortogonales que pasan a través de un punto; el cubo puede ser imaginado para reducir a

un punto.

Para demostrar que el tensor de esfuerzos es simétrica. Consideraremos el par en un

elemento alrededor de un eje paralelo al centroide 𝑥3. Este par se genera sólo por los

esfuerzos cortantes en el plano 𝑥1-𝑥2 y es (suponiendo 𝑑𝑥3 = 1):

26

𝑇 = [𝜏12 +1

2

𝜕𝜏12𝜕𝑥1

𝑑𝑥1] 𝑑𝑥2𝑑𝑥12+ [𝜏12 −

1

2

𝜕𝜏12𝜕𝑥

𝑑𝑥1] 𝑑𝑥2𝑑𝑥12

− [𝜏21 +1

2

𝜕𝜏21𝜕𝑥2

𝑑𝑥2] 𝑑𝑥1𝑑𝑥22− [𝜏21 −

1

2

𝜕𝜏21𝜕𝑥2

𝑑𝑥2] 𝑑𝑥1𝑑𝑥22

(2. 21)

Simplificando

𝑇 = (𝜏12 − 𝜏21)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 (2. 22)

El equilibrio de rotación del elemento requiere que 𝑇 = 𝐼�̇�3, donde �̇�3es la aceleración

angular del elemento y 𝐼 es su momento de inercia. Para el elemento rectangular

considerado, es fácil demostrar que

𝐼 =𝑑𝑥1𝑑𝑥2(𝑑𝑥1

2 + 𝑑𝑥22)𝜌

12

(2. 23)

Ilustración 16 esfuerzos cortantes

El equilibrio rotacional entonces requiere

(𝜏12 − 𝜏21)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 =𝜌

12 𝑑𝑥1𝑑𝑥2(𝑑𝑥1

2 + 𝑑𝑥22)�̇�3

(2. 24)

Que es

𝜏12 − 𝜏21 =𝜌

12 (𝑑𝑥1

2 + 𝑑𝑥22)�̇�3

(2. 25)

27

Como 𝑥1 y 𝑥2 tienden a cero, la siguiente condición puede satisfacer la ecuación solo si

𝜏12 = 𝜏21. En general:

𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖 (2. 26)

El tensor de esfuerzos es, por tanto, simétrico y tiene sólo seis componentes independientes. La simetría, sin embargo, se viola si hay parejas de cuerpos proporcionales a la masa del elemento de fluido, tal como las ejercidas por un campo eléctrico en las moléculas de fluido polarizadas. Las Tensiones antisimétrica deben ser incluidas en tales fluidos.

2.1.3.4 Conservación del momento

La ley de conservación del momento se expresará en forma diferencial directamente

mediante la aplicación de ley del movimiento de Newton a un elemento fluido infinitesimal.

Considerando el movimiento del elemento de fluido infinitesimal mostrado en la Figura.

Ilustración 17 Esfuerzos superficiales en un elemento movido por un fluido (en dirección X)

La ley de Newton requiere que la fuerza neta sobre el elemento debe ser igual a la masa

multiplicada por la aceleración del elemento. La suma de las fuerzas en la superficie en la

dirección 𝑥1 es igual

(𝜏11 +𝜕𝜏11𝜕𝑥1

𝑑𝑥12− 𝜏11 +

𝜕𝜏11𝜕𝑥1

𝑑𝑥12)𝑑𝑥2𝑑𝑥3

+ (𝜏21 +𝜕𝜏21𝜕𝑥2

𝑑𝑥22− 𝜏21 +

𝜕𝜏21𝜕𝑥2


+ (𝜏31 +𝜕𝜏31𝜕𝑥3

𝑑𝑥32− 𝜏31 +

𝜕𝜏31𝜕𝑥3


(2. 27)

28

Que se simplifica en

(𝜕𝜏11𝜕𝑥1

+𝜕𝜏21𝜕𝑥2

+𝜕𝜏31𝜕𝑥3

)𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3 =𝜕𝜏𝑗1

𝜕𝑥𝑗𝑑°𝑉

(2. 28)

Donde 𝑑°𝑉 es el volumen del elemento. Generalizando, la componente i de la fuerza

superficial por unidad de volumen del elemento es

𝜕𝜏𝑗1

𝜕𝑥𝑗

(2. 29)

Donde hemos utilizado la simetría propiedad 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖. Sea 𝑔 la fuerza corporal por unidad

de masa, por lo que 𝜌𝑔 es la fuerza corporal por unidad de volumen. Entonces la ley de

Newton da

𝜌𝐷𝑢𝑖𝐷𝑡

= 𝜌𝑔𝑖 +𝜕𝜏𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑗

(2. 30)

Esta es la ecuación de movimiento relativa a la aceleración de la fuerza neta en un punto y

lleva a cabo para cualquier continuo, sólido o líquido, no importa cómo el tensor de tensión

𝜏𝑖𝑗 se relaciona con el campo de deformación. La ecuación anterior se denomina a veces

la ecuación de Cauchy de movimiento.

2.1.3.5 Ecuación constitutiva para un fluido newtoniano

Como previamente se describió los esfuerzos en un punto pueden ser completamente

especificados por las nueve componentes del tensor de esfuerzos 𝜏 las cuales muestran la

dirección de los esfuerzos en las diversas caras de los pequeños elementos cúbicos y

tetraédricos de un fluido.

Denotando el volumen cúbico como 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3 y teniendo en cuenta el par producido

en él por los componentes de las diversas tensiones, se puede demostrar que el tensor de

esfuerzos es simétrico.

𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖 (2. 31)

Considerando la dinámica rotacional del elemento en el limita 𝑑𝑉 → 0. Por lo tanto, el tensor

de esfuerzo sólo tiene seis componentes independientes. Sin embargo, esta simetría se

viola si hay parejas cuerpo-fuerza proporcionales a la masa del elemento de fluido, tales

29

como las ejercidas por un campo eléctrico en las moléculas de fluido polarizadas. Las

tensiones antisimétricas deben ser incluidas en tales circunstancias.

La relación entre esfuerzos y deformaciones en un continuo es llamada ecuación

constitutiva. Un fluido que cumple con la forma simple linear de la ecuación constitutiva es

conocido como newtoniano.

En un fluido en reposo, solo hay componentes normales del esfuerzo en la superficie, y los

esfuerzos no dependen de la orientación de la superficie; el esfuerzo es isotrópico. El único

tensor de esfuerzos de segundo orden isotrópico es el Kronecker delta, 𝛿𝑖𝑗. Por lo tanto, el

esfuerzo en un fluido estático debe seguir la forma

𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 (2. 32)

Donde p es la presión termodinámica relacionada con 𝜌 y 𝑇 por la ecuación de estado para

un gas ideal 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇. El signo negativo ocurre debido a que la componente normal de 𝜏 se

consideran positivas si indican la tensión en lugar de la compresión.

Un fluido en movimiento desarrolla componentes de esfuerzos adicionales, 𝜎𝑖𝑗, debido a la

viscosidad y estas componentes de esfuerzo aparecen tanto en la diagonal y fuera de la

diagonal dentro de 𝜏. Una extensión de la ecuación previa que captura este fenómeno y se

reduce a dicha ecuación cuando el movimiento de fluido cesa es:

𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗 (2. 33)

Esta descomposición de la tensión en la parte del fluido estática (p) y el fluido-dinámico (𝜎𝑖𝑗)

es aproximada, ya que p sólo está bien definido para las condiciones de equilibrio. Sin

embargo, densidades, velocidades y tasas de colisión molecular son normalmente lo

suficientemente altas, de modo que las partículas de fluido alcanzan las condiciones de

equilibrio termodinámico locales en casi todos los flujos de fluidos de manera que p en esta

ecuación sigue siendo la presión termodinámica.

La contribución dinámica del fluido,𝜎𝑖𝑗, el tensor de esfuerzos se llama el tensor de tensión

desviadora. Para que sea invariante bajo transformaciones de Galileo, no puede depender

de la velocidad del fluido absoluta por lo que estará en función del gradiente de tensor de

velocidad 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗. Sin embargo, por definición, sólo hace hincapié en el desarrollo de elementos

fluidos que cambian de forma. Por lo tanto, sólo la parte simétrica de 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗 ,𝑠𝑖𝑗 se debe

considerar en la ecuación constitutiva de fluido debido a que la parte antisimétrica de 𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗,𝑅𝑖𝑗,

corresponde a la rotación pura de los elementos del fluido. La relación lineal más general

entre 𝜎𝑖𝑗 y 𝑠𝑖𝑗 que produce 𝜎𝑖𝑗 = 0 cuando 𝑠𝑖𝑗 = 0 es

30

𝜎𝑖𝑗 = 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛𝑆𝑚𝑛 (2. 34)

Donde 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛 es un tensor de cuarto orden que tiene 81 componentes que pueden depender

del estado termodinámico del fluido. La ecuación anterior permite a cada uno de los 9

componentes de 𝜎𝑖𝑗 ser linealmente relacionadas a las 9 componentes de 𝑠𝑖𝑗. Sin embargo

este nivel de generalización es innecesario cundo el tensor de esfuerzos es simétrico y el

fluido isotrópico.

En un medio isotrópico la relación esfuerzo- es independiente de la orientación del sistema

de coordenadas. Esto es únicamente posible si 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛 es un tensor isotrópico. Todos los

tensores isotrópicos de cuarto orden deben de estar en la siguiente forma:

𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑚𝑛 + 𝜇𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 + 𝛾𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚 (2. 35)

Donde 𝜆, 𝜇 y 𝛾 son escalares que dependen del estado termodinamico local. Además 𝜎𝑖𝑗 es

simétrico en 𝑖 y 𝑗, asi que se requiere que 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛 también sea simétrica en 𝑖 y en 𝑗. Este

requisito es consistente solo si

𝛾 = 𝜇 (2. 36)

Por lo tanto solo dos constantes, 𝜇 y 𝜆, de las 81 originales permanecen después de la

imposición de materiales isotrópicos y la restricción de la simetría de esfuerzos. La

Sustitución del tensor isotrópico 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛 en la ecuación constitutiva

𝜎𝑖𝑗 = 𝐾𝑖𝑗𝑚𝑛𝑆𝑚𝑛 se obtiene:

𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆𝑖𝑗 + 𝜆𝑆𝑚𝑚𝛿𝑖𝑗 (2. 37)

Donde 𝑆𝑚𝑚 = 𝛁 ∙ 𝒖 es la velocidad de deformación volumétrica. El tensor de tensión

completa 𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗 se convierte en

𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑆𝑖𝑗 + 𝜆𝑆𝑚𝑚𝛿𝑖𝑗 (2. 38)

Las dos constantes escalares 𝜇 y 𝜆 pueden ser relacionadas como sigue. Suponiendo 𝑖 =𝑗, sumando el índice repetido, y observando que 𝛿𝑖𝑖 = 3, obtenemos

31

𝜏𝑖𝑗 = −3𝑝 + (2

3𝜇 + 𝜆) 𝑆𝑚𝑚

(2. 39)

De donde se puede deducir la presión de la siguiente manera

𝑝 =1

3𝜏𝑖𝑖 + (

2

3𝜇 + 𝜆)𝛁 ∙ 𝒖

(2. 40)

Los términos de la diagonal de 𝑆𝑖𝑗 en un flujo pueden ser desiguales. En tal caso, el tensor

de esfuerzos 𝜏𝑖𝑗 puede tener términos diagonales desiguales debido a la presencia del

término proporcional a 𝜇 en el tensor de tensión completa. Por lo tanto se puede tomar el

promedio de los términos diagonales de s y definir una presión media (en contraposición a

la presión termodinámica p) como

�̅� ≡ −1

3𝜏𝑖𝑖

(2. 41)

Sustituyendo en la ecuación de la presión se tiene:

𝑝 − �̅� = (2

3𝜇 + 𝜆)𝛁 ∙ 𝒖

(2. 42)

Para un fluido incompresible completamente sólo podemos definir una presión mecánica o

media, porque no hay ecuación de estado para determinar una presión termodinámico. (De

hecho, la presión absoluta en un fluido incompresible es indeterminado, y sólo su gradiente

puede determinarse a partir de las ecuaciones de movimiento.). El término 𝜆 de la ecuación

constitutiva se elimina cuando 𝑆𝑚𝑚=𝛁 ∙ 𝒖 = 𝟎, y no es necesaria la consideración previa.

Así, para fluidos incompresibles, la ecuación constitutiva toma la forma simple:

𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑆𝑖𝑗 (𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) (2. 43)

Donde p sólo se puede interpretar como la presión media experimentada por una partícula

de fluido. Para un fluido compresible, por otro lado, una presión termodinámica se puede

definir, y parece que 𝑝 𝑦 �̅� pueden ser diferentes. De hecho, la ecuación anterior donde se

relacionan se refiere esta diferencia a la tasa de expansión a través de la constante de

proporcionalidad𝜇𝑣 = 𝜆 + 2𝜇/3, que se llama el coeficiente de viscosidad mayor. Tiene un

efecto apreciable sobre la absorción del sonido y la estructura de la onda de choque.

32

Se encuentra que generalmente es distinto de cero en los gases poliatómicos debido a los

efectos de relajación asociados con la rotación molecular. Sin embargo, la suposición de

Stokes,

𝜆 +2

3𝜇 = 0

(2. 44)

Sin tomar en cuenta esta suposición, el tensor de esfuerzos es:

𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇(𝑆𝑖𝑗 −1

3𝑆𝑚𝑚𝛿𝑖𝑗) + 𝜇𝑣𝑆𝑚𝑚𝛿𝑖𝑗

(2. 45)

Esta relación lineal entre 𝜏 y 𝑆 es consistente con la definición de Newton del coeficiente de

viscosidad 𝜇 en un sencillo flujo paralelo 𝑢 (𝑦), para el que el tensor de esfuerzos da una

tensión de cizalladura de 𝜏 = 𝜇 (𝑑𝑢

𝑑𝑦)). Por consiguiente, un fluido que obedece la ecuación

del tensor de esfuerzos se llama un fluido newtoniano, donde 𝜇 𝑦 𝜇𝑣 sólo pueden depender

del estado termodinámico local. Los términos fuera de la diagonal de esta ecuación son del

tipo

𝜏12 = 𝜇 (𝜕𝑢1𝜕𝑥2

+𝜕𝑢2𝜕𝑥1

) (2. 46)

Y relaciona directamente el esfuerzo de corte a la tasa de deformación por medio de la

viscosidad 𝜇. Estos términos combinan la presión y los efectos viscosos. Por ejemplo su

primer componente diagonal es:

𝜏11 = −𝑝 + 2𝜇 (𝜕𝑢1𝜕𝑥1

) + (𝜇𝑣 −2

3𝜇)𝜕𝑢𝑚𝜕𝑥𝑚

(2. 47)

Lo que significa que la tensión normal de viscosidad en un plano normal al eje 𝑥1 es

proporcional a la tasa de extensión en la dirección 𝑥1 y la tasa de expansión promedio en

el punto.

2.1.3.6 Ecuación de Navier-Stokes

La ecuación de conservación del momento para un fluido newtoniano se obtiene

sustituyendo la ecuación del tensor 𝜏𝑖𝑗 en la ecuación de Cauchy para obtener

𝜌 (𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑡+ 𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖) =

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗+ 𝜌𝑔𝑗 +

𝜕

𝜕𝑥𝑖[𝜇 (

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑖) + (𝜇𝑣 −

2

3𝜇)𝜕𝑢𝑚𝜕𝑥𝑚

𝛿𝑖𝑗] (2. 48)

33

Donde se ha utilizado 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗𝛿𝑖𝑗 =

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗𝑦𝐷𝑓

𝑑𝑡≡𝜕𝐹

𝜕𝑡+ 𝑢𝑖

𝜕𝐹

𝜕𝑥𝑖 con 𝐹 = 𝑢𝑗, y 𝑆𝑖𝑗 =

1

2(𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗+𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖). Esta es

la ecuación de momento de Navier-Stokes. Las viscosidades, 𝜇 y 𝜇𝑖, en esta ecuación

puede depender del estado termodinámico y, de hecho 𝜇, para la mayoría de fluidos,

muestra una dependencia a la temperatura bastante fuerte, disminuyendo con T para

líquidos y aumentando con T para los gases. Juntos, la ecuación de continuidad y la

ecuación de Navier-Stokes proporcionan 1 + 3 = 4 ecuaciones escalares, y que contienen

𝜌, 𝑝 𝑦 𝑢𝑗 durante 1 + 1 + 3 = 5 variables dependientes. Por lo tanto, cuando se combina

con condiciones de contorno adecuadas, estas ecuaciones proporcionan una descripción

completa de la dinámica de fluidos cuando 𝜌 es constante o cuando existe una única

relación entre p y 𝜌. En el último caso, se dice que es barotrópico el fluido o el flujo. Cuando

la relación entre p y 𝜌 también incluye la temperatura T, la energía interna 𝑒 del fluido

también debe ser considerado. Estos complementos permiten una ecuación calórica de

estado que se añade al resto de las ecuaciones, sin embargo introduce 2 variables

independientes, T y 𝑒. Así, en general, se necesita una tercera ecuación de campo que

represente la conservación de la energía para describir completamente la dinámica de

fluidos.

Cuando las diferencias de temperatura son pequeñas dentro del flujo, 𝜇 𝑦 𝜇𝑣 pueden

tomarse fuera de la derivada espacial operativo en el contenido de los corchetes en la

ecuación de Navier-Stokes que se reduce entonces a

𝜌𝐷𝑢𝑗

𝐷𝑡=𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗+ 𝜌𝑔𝑗 + 𝜇

𝜕2𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖2 + (𝜇𝑣 −

1

3𝜇)

𝜕

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑢𝑚𝜕𝑥𝑚

(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) (2. 49)

Para fluidos incompresibles 𝛁 ∙ 𝒖 =𝜕𝑢𝑚

𝜕𝑥𝑚= 0 por lo que en notación vectorial la ecuación

anterior se reduce a:

𝜌𝐷𝑢𝑗

𝐷𝑡= −∇𝑝 + 𝜌𝑔𝑗 + 𝜇∇

2𝒖 (𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) (2. 50)

Curiosamente, en la fuerza viscosa neta por unidad de volumen en el flujo incompresible,

el último término de la derecha en esta ecuación, se puede obtener de la divergencia del

tensor de tasa de deformación o de la curvatura de la vorticidad:

(𝜇∇2𝒖)𝑗 = 𝜇𝜕2𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖2 = 2𝜇

𝜕𝑆𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 𝜇

𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗) = −𝜇휀𝑗𝑖𝑘

𝜕𝜔𝑘𝜕𝑥𝑖

= −𝜇(∇ × 𝜔)𝑗 (2. 51)

34

Este resultado parece plantear una paradoja, ya que demuestra que la fuerza viscosa neta

depende de la vorticidad aunque la rotación de los elementos del fluido se excluyó

explícitamente de entrar en el tensor de esfuerzos. Esta paradoja se resuelve al darse

cuenta de que la fuerza viscosa neta se da por una derivada espacial de la vorticidad o una

derivada espacial de la velocidad de deformación. La fuerza viscosa neta se desvanece

cuando u es uniforme en el espacio (como en la rotación de cuerpo sólido), en cuyo caso

la condición de incompresibilidad requieren que la velocidad de deformación sea cero en

todas partes.

Si los efectos viscosos son despreciables, que por lo general es lejos de los límites del

campo de flujo, la ecuación de Navier-Stokes se simplifica aún más a la ecuación de Euler.

𝜌𝐷𝒖

𝐷𝑡= −∇𝑝 + 𝜌𝒈

(2. 52)

2.1 4 Flujos de potencial no viscosos

Cuando los flujos están lejos de superficie sólida, que se observa a menudo fuera de la

capa límite, los efectos de la viscosidad son generalmente muy pequeña y se supone que

los flujos son sin fricción e irrotacionales. Estos flujos se conocen como flujos potenciales.

Si el flujo es irrotacional, el campo de velocidad se puede escribir como sigue.

∇ × 𝒖 = 0 (2. 53)

Además, con un vector identidad, se deduce inmediatamente que existe un potencial de

velocidad 𝜙, de tal manera que la velocidad 𝒖 se puede definir como:

𝒖 = −∇𝜙 (2. 54)

Además, si imponemos la condición de un flujo incompresible constante al flujo potencial,

de la ecuación de continuidad:

∇ ∙ 𝒖 = 0 (2. 55)

35

2.1.4.1 Flujo rotacional e irrotacional.

Similar a la dinámica de los cuerpos rígidos, las consideraciones dadas en dinámica de

fluidos representan movimientos de traslación, rotación o combinación de ambos

movimientos. Generalmente en dinámica de fluidos, rotación pura (es decir, rotación

alrededor de un punto fijo). Se clasifica el movimiento de los fluidos como rotacional

(traslación y rotación combinadas) o irrotacional (solo traslación).

Se dice que un campo de flujo es irrotacional si un elemento del fluido en movimiento no se

somete a ninguna red de rotación.

|

Ilustración 18 fluido en un elemento (a) flujo rotacional y (b) flujo irrotacional

La figura 18a muestra un elemento de fluido sometido a un flujo rotacional. Tomando en

cuenta que, en este caso, se representa el elemento líquido como si se comportarse

esencialmente como un sólido. El fluido ha sido claramente sometido a traslación y rotación

en la Figura 18b y muestra la misma situación en el caso de flujo irrotacional. El elemento

se ha deformado (angularmente), y se indicar la deformación angular a través de los dos

ángulos representados. Si la suma de estos dos ángulos es cero, el flujo se define como

irrotacional. Las condiciones de irrotacionalidad en flujo tridimensional son:

𝜕𝑣

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0

𝜕𝑤

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑤

𝜕𝑦−𝜕𝑣

𝜕𝑧= 0

(2. 56)

2.1.4.2 Función de corriente

La velocidad potencial 𝜙 satisface la ecuación de Laplace como sigue:

−∇ ∙ (∇ϕ) = 0 (2. 57)

36

Y

∇2ϕ = 0 (2. 58)

Como tal 𝜙 cumple una función armónica. Si se limita aún más la consideración a dos flujos

incompresibles constantes dimensionales, se puede introducir otra función escalar

importante, la función de corriente 𝜓. 𝜓 Se define de tal manera que las componentes de la

velocidad (𝑥1, 𝑥2 = 𝑢, 𝑣) de 𝒖 en coordenadas cartesianas (𝑥1, 𝑥2 ≡ 𝑥, 𝑦) sean dadas por las

siguientes relaciones para satisfacer la ecuación de continuidad.

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑦 𝑣 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑥

(2. 59)

Además, la condición de flujo irrotacional, en espacio bidimensional escrita como:

𝜕𝑣

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0

(2. 60)

Sustituyendo 𝑢 y 𝑣 en la ecuación se satisface la ecuación de Laplace de nuevo,

produciendo la condición de que 𝜓 también es armónica.

∇2ψ = 0 (2. 61)

Tomando en cuenta que la función de corriente 𝜓 se puede definir para cualquier flujo de

dos dimensiones, o fluya en dos planos simétricos dimensionales, independientemente de

si el flujo es irrotacional o no. Esto es cierto siempre y cuando el flujo sea estacionario

incompresible.

Dos importantes conceptos surgen de la función de corriente. En primer lugar, las líneas de

función de corriente constante 𝜓 son las líneas de corriente. En segundo lugar, la diferencia

entre los valores numéricos de dos funciones de transmisión, tales como 𝜓𝑒 − 𝜓0 en la

Figura, es igual al caudal 𝑄𝑒−0 de intersección de las dos líneas. Esto se deriva de la

siguiente fórmula

𝑄𝑒−0 = −∫ (𝑣𝑑𝑥 − 𝑢𝑑𝑦)𝑒

0

= ∫ (𝜕𝜓

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝜓

𝜕𝑦𝑑𝑦)

𝑒

0

= ∫ 𝑑𝜓𝑒

0

= 𝜓𝑒 − 𝜓0 (2. 62)

37

Esta ecuación integral es independiente de la trayectoria, como se muestra en la Figura

previa, para la ruta 1 y ruta 2. Además, de esta ecuación se obtiene el resultado para una

trayectoria cerrada tal que:

∫ 𝑑𝜓 = 0𝑐

(2. 63)

La ecuación de Laplace es válida en cualquier sistema de coordenadas, sabiendo esto se

resalta que las ecuaciones de la velocidad 𝒖 y sus componentes en coordenadas

cartesianas producen la relación siguiente

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦=𝜕𝜙

𝜕𝑥 𝑦 𝑣 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑥=𝜕𝜙

𝜕𝑦

(2. 64)

Del mismo modo, por ejemplo, con las coordenadas polares 𝑟 y 𝜃, y los componentes de

velocidad correspondientes 𝑢𝑟 y 𝑢𝜃 respectivamente, podemos escribir las relaciones

fundamentales de la siguiente manera

𝑢𝑟 =𝜕𝜙

𝜕𝑟=1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝜃, 𝑢𝜃 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑟=1

𝑟

𝜕𝜙

𝜕𝜃

(2. 65)

Las relaciones, como las dadas por las ecuaciones anteriores son conocidas como las

condiciones de Cauchy-Riemann. Un resultado importante del hecho de que 𝜙 y 𝜓 sean

armónicos, que cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann, es que las líneas de 𝜙 y 𝜓

son ortogonales entre sí, tal como se indica en la figura siguiente

Ilustración 19 las líneas de ϕ y ψ son ortogonales

38

Teniendo en cuenta el hecho de que 𝜙 y 𝜓 satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann,

una función compleja W(z), llamada el potencial complejo, se define de tal manera que:

𝑤(𝑧) = 𝜙 + 𝑖𝜓 (2. 66)

Aquí, 𝑖 = √−1 y 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Consideramos 𝜙 y 𝜓 como funciones de z, la variable compleja,

en lugar de x e y. El flujo físico se puede presentar con un número complejo z en un espacio,

llamado plano z. 𝑊(𝑧) es una función analítica, donde 𝜙 y 𝜓 son funciones conjugadas, que

satisfacen

∇2ϕ = ∇2𝜓 = 0 (2. 67)

Derivando 𝑊(𝑧) con respecto a z nos da la siguiente relación

𝑑𝑊

𝑑𝑧= 𝑢 − 𝑖𝑣 = 𝑤

(2. 68)

Donde w es la velocidad compleja. Las funciones conjugadas 𝜙 y 𝜓 satisfacen la ecuación

de Laplace la cual es linear.

2.1.4.3 Formulación matricial

El desarrollo del elemento finito para fluidos basado en la función de corriente es sencillo

tomando en cuenta que; la función de corriente Ψ(𝑥, 𝑦) es un escalar del cual los

componentes de la velocidad son derivados por diferenciación; y la ecuación gobernante

es esencialmente lo mismo que para transferencia de calor en dos dimensiones.

La función de corriente sobre el dominio de interés es discretizada en elementos finitos

teniendo M número de nodos.

Ψ(𝑥, 𝑦) =∑𝑁𝑖(𝑥, 𝑦)𝜓𝑖

𝑀

𝑖=1

= [𝑁]{𝜓}

(2. 69)

Usando el método de Galerkin, las ecuaciones residuales de los elementos son:

∫ 𝑁𝑖(𝑥, 𝑦) (∂2Ψ

𝜕𝑥2+∂2Ψ

𝜕𝑦2)

𝐴

𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑖 = 1,𝑀 (2. 70)

39

Ó

∫[𝑁]𝑇 (∂2Ψ

𝜕𝑥2+∂2Ψ

𝜕𝑦2)

𝐴

𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 (2. 71)

Aplicando el teorema de Gauss

∫[𝑁]𝑇

𝐴

∂Ψ

𝜕𝑥𝑛𝑥𝑑𝑆 − ∫

∂[𝑁]𝑇

𝜕𝑥

∂Ψ

𝜕𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 + ∫[𝑁]𝑇

𝐴

∂Ψ

𝜕𝑦𝑛𝑦𝑑𝑆

𝐴

−∫∂[𝑁]𝑇

𝜕𝑦

∂Ψ

𝜕𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0

𝐴

(2. 72)

Donde S representa la frontera y (𝑛𝑥, 𝑛𝑦) son os componentes del exterior del vector normal

unitario. Usando las ecuaciones

𝑢 =∂Ψ

𝜕𝑦; 𝑣 = −

∂Ψ

𝜕𝑥

(2. 73)

Y


𝑀

𝑖=1

= [𝑁]{𝜓}

(2. 74)

Se llega a

∫ (𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑥

𝜕[𝑁]

𝜕𝑥+𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑦

𝜕[𝑁]

𝜕𝑦)

𝐴

𝑑𝑥 𝑑𝑦 {𝜓} = ∫[𝑁]𝑇(𝑢𝑛𝑦 − 𝑣𝑛𝑥)𝑑𝑆𝑆

(2. 75)

Y esta ecuación es la forma de

[𝑘(𝑒)]{𝜓} = {𝑓(𝑒)} (2. 76)

40

La matriz de rigidez 𝑀 𝑥 𝑀 es

[𝑘(𝑒)] = ∫ (𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑥

𝜕[𝑁]

𝜕𝑥+𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑦

𝜕[𝑁]

𝜕𝑦)

𝐴

𝑑𝑥 𝑑𝑦 (2. 77)

Y las fuerzas nodales son representadas por la matriz columna 𝑀 𝑥 1

{𝑓(𝑒)} = ∫[𝑁]𝑇(𝑢𝑛𝑦 − 𝑣𝑛𝑥)𝑑𝑆𝑆

(2. 78)

Condiciones iniciales. Como la ecuación gobernante para la función de corriente es de

segundo orden, ecuación diferencial parcial en dos variables independientes, cuatro

condiciones de frontera deben ser especificadas y satisfechas para obtener la solución del

problema físico. La manera en la que las condiciones de frontera son aplicadas al modelo

del elemento finito es discutida en relación a la siguiente figura.

Ilustración 20 (a) fluido uniforme en un canal convergente. (b) modelo simétrico mostrando las velocidades y los valores a la frontera, (c) modelo de elemento finito grueso usando triangulación de tres nodos

La figura (a) representa un flujo entre dos placas paralelas que forman un canal

convergente. Se supone que las placas son lo suficientemente largas en la dirección z que

el flujo puede ser adecuadamente modelado en dos dimensiones. Debido a la simetría, se

considera sólo la parte superior del campo, como se muestra en la figura (b). La sección a-

b se supone ser lo suficientemente lejos de la sección convergente que la velocidad del

fluido sólo tiene un componente en la dirección x. Debido a que se examina un flujo estable,

la velocidad en a-b es 𝑈𝑎𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Un argumento similar se aplica al segmento c-d.

41

Como resultado de la simetría y de la irrotacionalidad del fluido, no puede haber

componente en la dirección y a lo largo de la línea y = 0 (es decir, en el eje x). La velocidad

a lo largo de ésta línea es tangente a la línea en todos los valores de x. Dadas estas

observaciones, el eje x es una línea de corriente; por lo tanto, Ψ = Ψ1 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒. Similarmente, a lo largo de la superficie superior de la placa,

no hay componente normal a la placa (impenetrabilidad), así esto debe ser también una

línea de corriente donde Ψ = Ψ2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. los valores de Ψ1 y Ψ2 son dos de las

condiciones de frontera requeridas. Se tiene presente que los componentes de la velocidad

son definidos como primeras derivadas parciales de la función de corriente, l función de

corriente debe ser conocida sólo sin una constante. Por ejemplo, una función de corriente

de la forma Ψ(𝑥, 𝑦) = 𝐶 + 𝑓(𝑥, 𝑦) no contribuye a los términos de la velocidad asociados

con la constante C. Por lo tanto, un valor (constante) de la función de corriente puede ser

arbitrariamente especificado. En este caso, se elige el conjunto Ψ1 = 0. Para determinar el

valor de Ψ2, se especificó en la sección a-b que la velocidad es;

𝑢 =∂Ψ

𝜕𝑦= 𝑈𝑎𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =

Ψ2 −Ψ1𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

=Ψ2𝑦𝑏

(2. 79)

Así, Ψ2 = 𝑦𝑏𝑈𝑎𝑏 . En cualquier punto de a-b, se tiene Ψ = (Ψ2 𝑦𝑏⁄ )𝑦 = 𝑈𝑎 𝑏𝑦, así que la

función de corriente en cualquier nodo del elemento finito localizado en a-b es conocido.

Similarmente, se puede mostrar que Ψ = (Ψ2 𝑦𝑐⁄ )𝑦 = 𝑈𝑎 𝑏(𝑦𝑏 𝑦𝑐⁄ )𝑦 a lo largo de c-d, así que

los valores nodales en esa línea son conocidos. Si estos argumentos son cuidadosamente

considerados, se nota que las condiciones de frontera en Ψ en las “esquinas” del dominio

son continuos y bien definidos.

Lo siguiente es considerar las condiciones de fuerza a través de la sección a-b y c-d. Como

se nota, los componentes de la velocidad en y a lo largo de esta sección son cero.

Si se utiliza una red de elementos triangulares como se muestra en la figura (c), y siguiendo

el ensamble general, se obtiene un conjunto de ecuaciones globales de la forma

[𝐾]{Ψ} = {𝐹} (2. 80)

La función del force en el lado derecho es cero en todos los nodos interiores. En los nodos

de la frontera de la sección a-b y c-d, las fuerzas nodales son cero también. En todos los

nodos situados en la línea y = 0, los valores nodales de la función de corriente son Ψ = 0,

mientras en todos los nodos en el perfil de la placa superior los valores son especificados

como Ψ = 𝑦𝑏𝑈𝑎𝑏 . Las condiciones Ψ = 0 son análogas a las especificaciones de

desplazamientos cero en un problema estructural. Con tales condiciones, las desconocidas

son las fuerzas ejercidas en esos nodos. Similarmente, las especificaciones de los valores

de la función de corriente Ψ a lo largo del perfil superior de la placa son análogas a los

desplazamientos especificados. Lo desconocido es la fuerza requerida para cumplir ese

desplazamiento.

42

En lo siguiente, se asume que el sistema de ecuaciones ha sido ensamblado y se reordenan

las ecuaciones tal que la matriz columna de los valores nodales es

{Ψ} = {

{Ψ0}

{Ψ𝑠}

{Ψ𝑢}}

(2. 81)

Donde {Ψ0} representa todos los nodos a lo largo de la línea de corriente para el cual Ψ =

0, {Ψ𝑠} representa todos los nodos en los cuales el valor de Ψ es especificado y {Ψ𝑢}

corresponde a todos los nodos para los cuales el valor de {Ψ} es desconocido. La matriz

del forcep correspondiente es

{𝐹} = {{𝐹0}

{𝐹𝑠}

0

}

(2. 82)

Se observa que en todos los nodos en los cuales {Ψ} es desconocido son internos en los

cuales las fuerzas nodales son cero.

Usando la notación que se definió, el sistema de ecuaciones puede ser re escrito como

[

[𝑘00] [𝑘0𝑠] [𝑘0𝑢]

[𝑘𝑠0] [𝑘𝑠𝑠] [𝑘𝑠𝑢]

[𝑘𝑢0] [𝑘𝑢𝑠] [𝑘𝑢𝑢]] {

{Ψ0}

{Ψ𝑠}

{Ψ𝑢}} = {

{𝐹0}

{𝐹𝑠}

{0}}

(2. 83)

Desde que Ψ0 = 0, el primer grupo de ecuaciones particionadas llega a ser

[𝑘0𝑠]{Ψ𝑠} + [𝑘0𝑢]{Ψ𝑢} = {𝐹0} (2. 84)

Y los valores de 𝐹0 pueden ser obtenidos sólo después de resolver para {Ψ𝑢} usando las

ecuaciones restantes. Por lo tanto, la ecuación anterior es análoga al forcep de la ecuación

de reacción en problemas estructurales y puede ser eliminada del sistema temporalmente.

Las ecuaciones restantes son

[[𝑘𝑠𝑠] [𝑘𝑠𝑢]

[𝑘𝑢𝑠] [𝑘𝑢𝑢]] {{Ψ𝑠}

{Ψ𝑢}} = {

{𝐹𝑠}

{0}}

(2. 85)

43

Y se debe notar que incluso cuando la matriz de rigidez es simétrica, [𝑘𝑠𝑢] y [𝑘𝑢𝑠] no sol

iguales. La primera partición de la ecuación es también un conjunto de “ecuaciones de

reacción” dadas por

[𝑘𝑠𝑠]{Ψ𝑠} + [𝑘𝑠𝑢]{Ψ𝑢} = {𝐹𝑠} (2. 86)

Y estas son usadas para resolver para {𝐹𝑠} pero, nuevamente, después de que {Ψ𝑢} es

determinada. La segunda partición de la ecuación es

[𝑘𝑢𝑠]{Ψ𝑠} + [𝑘𝑢𝑢]{Ψ𝑢} = {0} (2. 87)

Y estas ecuaciones tienen la solución formal

{Ψ𝑢} = −[𝑘𝑢𝑢]−1[𝑘𝑢𝑠]{Ψ𝑠} (2. 88)

Desde que los valores en {Ψ𝑠} son constantes conocidas.

Como los componentes de la velocidad son de mayor importancia en el flujo de un fluido,

se debe utilizar la solución ara los valores nodales de la función de corriente para calcular

los componentes de la velocidad. Este cálculo es fácilmente realizado dando la ecuación


𝑀

𝑖=1

= [𝑁]{𝜓}

(2. 89)

En la cual la función de corriente es dizcretizada en términos de los valores nodales. Una

vez que se complete el procedimiento de solución descrito para los valores de la función de

corriente en los nodos, los componentes de la velocidad en cualquier punto en un elemento

finito específico son:

𝑢(𝑥, 𝑦) =𝜕Ψ

𝜕𝑦=∑

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝑀

𝑖=1

Ψ𝑖 =𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑦{Ψ}

𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝜕Ψ

𝜕𝑥= −∑

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝑀

𝑖=1

Ψ𝑖 =𝜕[𝑁]𝑇

𝜕𝑥{Ψ}

(2. 90)

44

2.1.4.4 Ejemplo: La Ecuación Rayleigh-Plesset

Suponiendo una burbuja esférica en un líquido perfecto, incompresible de extensión infinita.

El crecimiento de la burbuja es debido a una variación de presión a una distancia de la

burbuja. Haciendo referencia a la Figura, el radio de la burbuja en cualquier momento 𝑡 > 0

es 𝑅 = 𝑅(𝑡), y 𝑟 es el radio a cualquier punto en el líquido, donde el origen 𝑜 de coordenadas

está en el centro de la burbuja, que está en reposo en el sistema de referencia inercial.

Deducir la ecuación de movimiento para una burbuja esférica en un líquido para

determinada presión externa 𝑝(𝑡), que varía con el tiempo, con la condición de que la

presión en la superficie de la burbuja es 𝑝(𝑅).

Ilustración 21 Crecimiento de una burbuja

1. Respuesta

Suponiendo que el flujo es irrotacional, por lo que el campo de velocidades está escrito en

términos del potencial de velocidad 𝜙 dada por la ecuación.

𝒖 = −∇𝜙 (2. 91)

Con simetría esférica la velocidad superficial de la burbuja de crecimiento es la velocidad

radial 𝑢 del flujo, y es una función de 𝑟, de modo que la velocidad potencial 𝜙 = 𝜙(𝑟)

satisface la ecuación de Laplace

∇2𝜙(𝑟) = 0 (2. 92)

Crecimiento

Crecimiento

Crecimiento

Liquido Superficie

de la

burbuja 𝑅(𝑡)

𝑝(𝑅)

𝑝(𝑡)

𝑟

𝑦

𝑧

45

Para el sistema de coordenadas esféricas con simetría esférica, tenemos

1

𝑟2𝑑

𝑑𝑟(𝑟2

𝑑𝜙

𝑑𝑟) = 0

(2. 93)

La integración de la ecuación anterior nos dará la solución general como:

𝜙(𝑟) = −𝑚

𝑟+ 𝑐

(2. 94)

Donde m y c son constantes. Con dicha ecuación la velocidad radical 𝑢 es dada de la

siguiente manera:

𝑢 = (∇𝜙)𝑟 =𝑑𝜙

𝑑𝑟=𝑚

𝑟2

(2. 95)

Con las condiciones de frontera de la superficie de la burbuja, se puede escribir:

𝑢 =𝑑𝑅

𝑑𝑡= �̇� 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 𝑅

(2. 96)

Entonces, se puede escribir que:

�̇� =𝑚

𝑅2 𝑦 𝑚 = 𝑅2�̇�

(2. 97)

Usando 𝑚 en la ecuación en la solución general e igualando 𝑐 = 0, se puede obtener la

expresión de 𝜙 como:

𝜙(𝑟) =𝑅2�̇�

𝑟

(2. 98)

Dicha ecuación satisface las condiciones del problema que es

𝑢 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = ∞ (2. 99)

46

Y

𝑢 = ∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0 (2. 100)

Conociendo el campo de velocidad como la velocidad de potencial, podemos aplicar la

ecuación de presión 𝜕𝜙

𝜕𝑥+1

2|𝑢|2 + 𝑃 +Φ = 𝑓(𝑡), ignorando el potencial gravitacional, para

escribir

−𝜕𝜙

𝜕𝑡+1

2(∇𝜙)2 +

𝑝(𝑟)

𝜌=𝑝(𝑡)

𝜌

(2. 101)

𝑝(𝑟) es la presión estática en 𝑟. Con la ecuación de la velocidad radical y las condiciones

de frontera se puede escribir la variación del tiempo de 𝜙 como

(∇𝜙)2 =𝑅4�̇�2

𝑟4

(2. 102)

Y

𝜕𝜙

𝜕𝑡=1

𝑟(2𝑅�̇�2 + 𝑅2�̈�)

(2. 103)

Estas ecuaciones han de ser aplicadas a la superficie de la burbuja, es decir 𝑟 = 𝑅, y con

esto las siguientes expresiones son obtenidas

(∇𝜙)2 = �̇�2 (2. 104)

Además

𝜕𝜙

𝜕𝑡= 2�̇�2 + 𝑅�̈�

(2. 105)

Substituyendo esta ecuaciones en la ecuación de la presión, en la superficie de la burbuja,

y sabiendo que 𝑟 = 𝑅, se obtiene finalmente la ecuación del movimiento para el radio de la

burbuja

𝑝(𝑅) − 𝑝(𝑡)

𝜌=3

2�̇�2 + 𝑅�̈�

(2. 106)

47

Que a su vez se puede expresar como

𝑝(𝑅) − 𝑝(𝑡)

𝜌=

1

2�̇�𝑅2𝑑

𝑑𝑡(𝑅3�̇�2)

(2. 107)

Las ecuaciones (15) y (16) se conocen como la ecuación de Rayleigh-Plesset, que puede

ser utilizado para estimar el crecimiento y colapso de una burbuja de vapor para el cambio

de presión conocida 𝑝(𝑡). En la ecuación de Rayleigh-Plesset, 𝑝(𝑅) es a menudo asumido

por el efecto de la tensión superficial en la superficie de la burbuja como sigue.

𝑝(𝑅) = 𝑝𝑣 −2𝜎

𝑅

(2. 108)

Donde 𝑝𝑣 es la presión de vapor de la burbuja a una temperatura dada y 𝜎 es la tensión

superficial de una interfaz vapor-líquido.

48

2.2 Transferencia de calor en estado estacionario

2.2.1 Introducción

La transferencia de calor es la ciencia que trata de predecir el intercambio de energía que

puede tener lugar entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de

temperatura. La transferencia de calor pretende no sólo explicar cómo la energía térmica

puede ser transferida, sino también predecir la rapidez con la que, bajo ciertas condiciones

específicas, tendrá lugar esa transferencia. El hecho de que el objetivo deseado del análisis

sea la rapidez de la transferencia del calor, señala la diferencia entre la transferencia de

calor y la termodinámica. La transferencia de calor complementa los principios primero y

segundo de la termodinámica, al proporcionar leyes experimentales adicionales que se

usan para establecer la rapidez de la transferencia de energía. Como en la ciencia de la

termodinámica, las leyes experimentales usadas como base para la transferencia de calor

son bastante simples y fácilmente extensibles, de modo que abarcan gran variedad de

situaciones prácticas.

Como un ejemplo de los diferentes tipos de problemas que son tratados por la

termodinámica y por la transferencia de calor, considérese el enfriamiento de una barra de

acero caliente que se introduce en un cubo con agua. La termodinámica puede utilizarse

para predecir la temperatura final de equilibrio del conjunto barra de acero-agua. La

transferencia de calor puede utilizarse para predecir la temperatura de la barra y del agua

como función del tiempo.

Los tres modos de transferencia de calor son:

1. Conducción.

2. Convección.

3. Radiación.

El modo por conducción de transferencia de calor ocurre ya sea debido a un intercambio

de energía de una molécula a otra sin el movimiento real de las moléculas, o ya sea también

por el movimiento de electrones presentes si es que están presentes. Por lo tanto esta

forma de transferencia de calor depende de las propiedades del medio y se presenta en

sólidos, líquidos y gases, si existe una diferencia de temperaturas.

Las moléculas presentes en líquidos y gases tienen libertad de movimiento, y al pasar de

una región caliente a una región fría, llevan la energía con ellos. La transferencia de calor

desde una región a otra, debido a tal movimiento macroscópico en un líquido o gas, añadido

a la transferencia de energía por conducción en el fluido, se llama transferencia de calor

por convección. La convección puede ser libre, forzada o mezclado. Cuando se produce el

movimiento del fluido debido a una variación de la densidad provocada por las diferencias

de temperatura, la situación se dice que es convección libre, o natural. Cuando el

movimiento del fluido es causado por una fuerza externa, tales como el bombeo el estado

se define como uno de convección forzada. Un estado de convección mixta es uno en el

que ambas convecciones naturales y forzadas están presentes. La transferencia de calor

por convección se produce también en los procesos de ebullición y condensación.

49

Todos los cuerpos emiten radiación térmica a todas las temperaturas. Este es el único modo

que no requiere un medio material para que la transferencia de calor se produzca. La

naturaleza de la radiación térmica es tal que una propagación de la energía, llevado por las

ondas electromagnéticas, se emite desde la superficie del cuerpo. Cuando estas ondas

electromagnéticas golpean otras superficies del cuerpo, una parte se refleja, una parte se

transmite y la parte restante se absorbe.

2.2.2 Leyes de transferencia de calor

Es importante para cuantificar la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo

y para ello se requiere el uso de ecuaciones de flujo.

Para la conducción de calor, la ecuación de flujo se conoce como la ley de Fourier, que se

expresa por una dimensión

𝑞𝑥 = −𝑘𝑑𝑇

𝑑𝑥

(2. 109)

Donde 𝑞𝑥 es el flujo de calor en la dirección 𝑥 (𝑊/𝑚2); 𝑘 es la conductividad térmica

(𝑊/𝑚𝐾) y 𝑑𝑇/𝑑𝑥 es el gradiente de temperatura.

Para la transferencia de calor convectiva, la ecuación de flujo está dada por la ecuación de

enfriamiento de Newton

𝑞 = ℎ(𝑇𝑤 − 𝑇𝑎) (2. 110)

Donde 𝑞 es el flujo convectivo (𝑊/𝑚2); (𝑇𝑤 − 𝑇𝑎) es la diferencia de temperaturas entre la

pared y el fluido y ℎ es el coeficiente de transferencia de calor por convección.

El coeficiente de transferencia de calor por convección generalmente es considerado como

una condición de frontera en las soluciones de conducción de calor a través de sólidos.

El flujo máximo emitido por radiación de superficies oscuras es expresado por la ley de

Stefan-Boltzmann, la cual es:

𝑞 = 𝜎𝑇𝑊4 (2. 111)

Donde q es el flujo por radiación (𝑊/𝑚2); 𝜎 es la constante de Stefan-Boltzmann en

𝑊/𝑚2𝐾4 y 𝑇𝑊 es la temperatura superficial (𝐾).

50

El flujo de calor emitido por una superficie real es menor que el emitido por una superficie

oscura y se expresa como:

𝑞 = 𝜖𝜎𝑇𝑊4 (2. 112)

Donde 𝜖 es la propiedad de radiación de la superficie y es conocido como emisividad. El

intercambio de energía neta por medio de radiación entre dos superficies A y B está dada

por:

𝑄 = 𝐹𝜖𝐹𝐺𝜎𝐴𝐴(𝑇𝐴4 − 𝑇2

4) (2. 113)

Donde 𝐹𝜖 es un factor que toma en cuenta la naturaleza de las dos superficies de radiación.

𝐹𝐺 Es un factor que tiene en cuenta la orientación geométrica de las dos superficies

radiantes. Y 𝐴𝐴 es el área de la superficie A.

Cuando la transferencia de calor en una superficie 𝑇1, está completamente encerrada por

una superficie más grande a una temperatura 𝑇2 el intercambio neto de calor se da por:

𝑄 = 𝑞𝐴𝐴 = 𝜖𝐴𝜎𝐴𝐴(𝑇𝐴4 − 𝑇𝐵

4) (2. 114)

Con respecto a las leyes de la termodinámica, sólo la primera ley es de interés en los

problemas de transferencia de calor. El aumento de la energía en un sistema es igual a la

diferencia entre la transferencia de energía por el calor al sistema y la transferencia de

energía por el trabajo realizado en los alrededores por el sistema, es decir:

𝑑𝐸 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 (2. 115)

Donde 𝑄 es el calor total que entra al sistema y 𝑊 es el trabajo realizado en los alrededores.

Se puede replantear la primera ley de la termodinámica como:

“La tasa de aumento de la energía del sistema es igual a la diferencia entre la velocidad a

la que la energía entra en el sistema y la tasa a la que el sistema funciona en los

alrededores”, es decir:

𝑑𝐸

𝑑𝑡=𝑑𝑄

𝑑𝑡−𝑑𝑊

𝑑𝑡

(2. 116)

51

2.2.3 Problemas en una dimensión en estado estacionario.

Una aproximación unidimensional de la ecuación de conducción de calor es factible para

muchos problemas físicos, por ejemplo, paredes planas, aletas, y así sucesivamente. En

estos problemas, cualquier variación importante de temperatura es en una sola dirección y

la variación en todas las demás direcciones puede ser ignorada. Otros ejemplos de

transferencia de calor unidimensional ocurren en cilindros y sólidos esféricos en el que la

variación de temperatura se produce sólo en la dirección radial. Tales problemas

unidimensionales son considerados para condiciones de estado estacionario, en el que la

temperatura no depende del tiempo.

2.2.3.1 Paredes planas

2.2.3.1.1 Pared Homogénea

La ecuación diferencial que gobierna la conducción de calor a través de paredes planas

para el caso de la figura

Ilustración 22 transferencia de calor a través de una pared homogénea

Es:

𝑘𝐴𝑑2𝑇

𝑑𝑥2= 0

(2. 117)

Donde 𝑘 es la conductividad terica y 𝐴 es el área de sección transversal perpendicular a la

dirección al flujo de calor. El Problema se completa con las siguientes condiciones de

frontera:

𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 0, 𝑇 = 𝑇1; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 𝐿, 𝑇 = 𝑇2

(2. 118)

52

La solución de esta ecuación es:

𝑘𝐴𝑇 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (2. 119)

Y aplicando las condiciones de frontera se tiene que:

𝐶2 = 𝑘𝐴𝑇1 (2. 120)

Y

𝐶1 = −𝑘𝐴(𝑇1 − 𝑇2)

𝐿

(2. 121)

Por lo tanto sustituyendo las contantes 𝐶1y 𝐶2 en la primera ecuación se tiene:

𝑇 = −(𝑇1 − 𝑇2)

𝐿𝑥 + 𝑇1

(2. 122)

Esta ecuación demuestra que la distribución de temperatura a travez de la pared es linear.

El flujo de calor,𝑄, puede ser escrita como:

𝑄 = −𝑘𝐴𝑑𝑇

𝑑𝑥= −

𝑘𝐴(𝑇2 − 𝑇1)

𝐿

(2. 123)

2.2.3.1.2 Pared Compuesta

Si más de un material es usado para construir una pared plana, como se muestra en la

figura, en estado estacionario el flujo de calor será constante (conservación de la energía),

que es:

𝑄 = −𝑘1𝐴(𝑇2 − 𝑇1)

𝑥1= −

𝑘2𝐴(𝑇3 − 𝑇2)

𝑥2= −

𝑘3𝐴(𝑇4 − 𝑇3)

𝑥3

(2. 124)

53

Ilustración 23 transferencia de calor en una pared compuesta

Reordenando las ecuaciones

𝑄

𝑘1𝐴𝑥1 = −(𝑇2 − 𝑇1)

𝑄

𝑘2𝐴𝑥2 = −(𝑇3 − 𝑇2)

𝑄

𝑘3𝐴𝑥3 = −(𝑇4 − 𝑇3)

(2. 125)

Sumando las ecuaciones anteriores y reordenando

𝑄 =(𝑇1 − 𝑇4)

[𝑥1𝑘1𝐴

+𝑥2𝑘2𝐴

+𝑥3𝑘3𝐴

]

(2. 126)

El numerador de la ecuación anterior se refiere como la diferencia de potencial térmico y el

denominador se conoce como la resistencia térmica. En general, todos los términos 𝑥 / 𝑘𝑎

se llaman resistencias térmicas (véase la Figura 23). Si hay una resistencia de convección,

por decir en la cara derecha, entonces tenemos 𝑄 = ℎ𝑎(𝑇4 − 𝑇𝑎)

𝑄 =(𝑇1 − 𝑇4)

[𝑥1𝑘1𝐴

+𝑥2𝑘2𝐴

+𝑥3𝑘3𝐴

+1ℎ𝑎]

(2. 127)

54

Donde ℎ es el coeficiente de transferencia de calor desde la superficie de la pared derecha

a la atmósfera y 𝑇𝑎 es la temperatura atmosférica. Consideremos ahora una solución de

elementos finitos para la primera ecuación. Como se muestra en la Ecuación de

transferencia de calor, la distribución de temperatura es lineal para un material homogéneo.

2.2.3.1.3 Discretización por elemento finito

Si se considera una placa típica homogénea, con nodos 'i' y 'j' a cada lado como en la

siguiente figura

Ilustración 24 placa típica homogénea

Se puede escribir:

𝑇 = 𝑁𝑖𝑇𝑖 +𝑁𝑗𝑇𝑗 (2. 128)

Donde

𝑁𝑖 =𝑥𝑗 − 𝑥

𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 𝑦 𝑁𝑗 =

𝑥 − 𝑥𝑖𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

(2. 129)

En coordinadas locales

𝑁𝑖 = 1 −𝑥

𝑙 𝑦 𝑁𝑗 =

𝑥

𝑙

(2. 130)

Y la derivada de la temperatura es

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑙𝑇𝑖 +

1

𝑙𝑇𝑗

= [−1

𝑙

1

𝑙] {𝑇𝑖𝑇𝑗} = [𝑩]{𝑻}

(2. 131)

55

Donde 𝑙 es la longitud del elemento y [𝑩] es la matriz de derivada, que relaciona al gradiente

de la variable de campo a los valores nodales y {𝑻} es el vector de la temperatura.

La matriz de rigidez del elemento está dada por

[𝑲]𝒆 = ∫ [𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]𝑑Ω𝛀

+∫ ℎ[𝑵]𝑻[𝑵]𝑑𝐴𝑠𝑨𝒔

= ∫ [𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]𝐴𝑑x𝐥


(2. 132)

Donde Ω es la integral de volumen, 𝐴𝑠 indica el área de la superficie y ℎ es el coeficiente

de transferencia de calor por convección. Después de la integración,

[𝑲]𝒆 =𝐴𝑘𝑥𝑙[1 −1−1 1

] + ℎ𝐴𝑠 [0 00 1

] (2. 133)

En problemas de una sola dimensión [𝑫] tiene una sola componente, la cual es 𝑘𝑥.

Tomando en cuenta que la condición de frontera de transferencia de calor convectivo se

asume para actuar en la cara derecha donde 𝑁𝑖 = 0 y 𝑁𝑗 = 1. Esta es la razón por la que

tenemos ℎ𝐴𝑠 añadido a la última ecuación nodal en la ecuación anterior. En los problemas

de pared plana, el área de sección transversal 𝐴 y el área de la superficie convectiva 𝐴𝑠 son

iguales.

La carga térmica o vector fórceps puede ser escrito como

[𝒇]𝒆 = ∫ 𝐺[𝑵]𝑻𝑑Ω𝛀

−∫ 𝑞[𝑵]𝑻

𝑨𝒔

𝑑𝐴𝑠 +∫ ℎ𝑇𝑎[𝑵]𝑻

𝑨𝒔

𝑑𝐴𝑠 (2. 134)

Donde 𝐺 es la generación interna de calor por unidad de volumen, 𝑞 es la superficie de

frontera de la transferencia de calor y 𝑇𝑎 es la temperatura aniso trópica. Si 𝐺 = 0 entonces

no hay generación de calor dentro de la placa.

La condición de frontera de flujo de calor se denota por 𝑞 = 0. Si no se producen

generación interna de calor ni condiciones de contorno de flujo de calor externo, entonces

la ecuación de elemento finito para una placa homogénea con sólo dos nodos se convierte

{𝑘𝑥𝐴

𝑙[1 −1−1 1

] + ℎ𝐴 [0 00 1

]} {𝑇𝑖𝑇𝑗} = {

0ℎ𝑇𝑎𝐴

} (2. 135)

56

Las ecuaciones de elementos pueden ser escritas por separado para cada placa de distinto

material de una pared compuesta y se pueden ensamblar. Si asumimos una discretización

como se muestra en la figura,

Ilustración 25 pared compuesta ensamblada para su discretización

Obtenemos las siguientes ecuaciones de elementos:

2. Elemento 1--- placa 1

[𝑲]1 =

[ 𝑘1𝐴

𝑥1−𝑘1𝐴

𝑥1

−𝑘1𝐴

𝑥1

𝑘1𝐴

𝑥1 ]

; {𝒇}1 = {𝑞𝐴0}

(2. 136)


[𝑲]2 =

[ 𝑘2𝐴

𝑥2−𝑘2𝐴

𝑥2

−𝑘2𝐴

𝑥2

𝑘2𝐴

𝑥2 ]

; {𝒇}2 = {00}

(2. 137)


[𝑲]3 =

[ 𝑘3𝐴

𝑥3−𝑘3𝐴

𝑥3

−𝑘3𝐴

𝑥3

𝑘3𝐴

𝑥3+ ℎ𝐴

]

; {𝒇}3 = {0

ℎ𝐴𝑇𝑎}

(2. 138)

57

Ensamblando la matriz y sustituyendo en la ecuación de elemento finito se tiene:

[ 𝑘1𝐴

𝑥1−𝑘1𝐴

𝑥1

−𝑘1𝐴

𝑥1(𝑘1𝐴

𝑥1+𝑘2𝐴

𝑥2)

0 0

−𝑘2𝐴

𝑥20

0 −𝑘2𝐴

𝑥20 0

(𝑘2𝐴

𝑥2+𝑘3𝐴

𝑥3) −

𝑘3𝐴

𝑥3

−𝑘3𝐴

𝑥3

𝑘3𝐴

𝑥3+ ℎ𝐴

]

{

𝑇1𝑇2𝑇3𝑇4

} = {

𝑞𝐴00

ℎ𝐴𝑇𝑎

}

(2. 139)

Una solución del sistema de ecuaciones simultáneas de arriba resultará en los valores de

T1, T2, T3 y T4. De manera similar, podemos extender este método de solución a cualquier

número de materiales que podrían constituir una pared compuesta. Tomando en cuenta

que el flujo de calor impuesto en la cara de la izquierda es 𝑞.

2.2.3.2 Flujo de calor radial en un cilindro.

Muchos de los problemas en la industria, tales como intercambiadores de calor, el

transporte de petróleo crudo, etc., implican el flujo de fluidos calientes en tuberías muy

largas que tienen condiciones de contorno uniformes a lo largo de la circunferencia, tanto

dentro como fuera, como se muestra en la Figura.

Ilustración 26 tubería con condiciones de frontera uniformes

En este tipo de problemas, la transferencia de calor principalmente tiene lugar a lo largo de

la dirección radial. La ecuación diferencial que rige para el flujo de calor en geometrías

cilíndricas es:

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝑟𝑘

𝑑𝑇

𝑑𝑟) = 0

(2. 140)

58

Y las condiciones de frontera

𝐴 𝑟 = 𝑟𝑖; 𝑇 = 𝑇𝑊 𝑌

𝐴 𝑟 = 𝑟𝑜; − 𝑘𝑑𝑇

𝑑𝑟= (𝑇𝑜 − 𝑇𝑎)

(2. 141)

Donde 𝑇𝑊 es la temperatura dentro de la pared, 𝑇𝑜 es la temperatura externa de la pared,

𝑘 es la conductividad térmica, ℎ es el coeficiente de transferencia de calor en el exterior de

la superficie y 𝑇𝑎 es la temperatura atmosférica.

Integrando la ecuación diferencial para el flujo de calor se tiene:

𝑘𝑇 = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2 (2. 142)

Aplicando las condiciones de frontera se obtiene:

𝐶1 = −ℎ𝑟𝑜(𝑇𝑜 − 𝑇𝑎) 𝑦 𝐶2 = 𝑘𝑇𝑊 − 𝐶1 ln 𝑟𝑖 (2. 143)

Sustituyendo estas constantes y reordenando la ecuación, se obtiene la solución exacta:

𝑇 − 𝑇𝑊𝑇𝑜 − 𝑇𝑎

=ℎ𝑟𝑜𝑘 ln𝑟𝑖𝑟𝑜

(2. 144)

Usando el método del elemento finito y asumiendo una variación linear de temperatura. La

matriz de rigidez por unidad de volumen de un cilindro queda de la siguiente manera

[𝑲] = ∫ [𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]𝑑Ω𝛀


= ∫ [−1

𝑙

1

𝑙

] 𝑘 [−1

𝑙

1

𝑙] 2𝜋𝑟𝑑𝑟

𝑟0

𝑟𝑖

+ ∫ ℎ [𝑁𝑖𝑁𝑗] [𝑁𝑖 𝑁𝑗]𝑑𝐴𝑠

𝐴𝑠

=2𝜋𝑘

𝑙

(𝑟𝑖 + 𝑟𝑗)

2 [1 −1−1 1

] + 2𝜋𝑟𝑜ℎ [0 00 1

]

(2. 145)

59

En la ecuación anterior, la variación de 𝑟 se expresa como 𝑟 = 𝑁𝑖𝑟𝑖 +𝑁𝑗𝑟𝑗. El área de

superficie por unidad de longitud es 𝐴𝑠 = 2𝜋𝑟𝑜. El vector de carga es

[𝒇]𝒆 = ∫ ℎ𝑇𝑎[𝑵]𝑻

𝑨𝒔

𝑑𝐴𝑠 = ℎ𝑇𝑎2𝜋𝑟𝑜 {01}

(2. 146)

2.2.3.3 Sistemas Conducción – Convección.

Muchas situaciones físicas implican la transferencia de calor en un material por conducción

y su posterior disipación por intercambio con un fluido o el medio ambiente por convección.

Los disipadores de calor utilizados en la industria electrónica para disipar el calor de los

componentes electrónicos del ambiente son un ejemplo de un sistema de conducción-

convección. Otros ejemplos incluyen la disipación de calor en los bobinados eléctricos para

el refrigerante, el proceso de intercambio de calor en los intercambiadores de calor y el

enfriamiento de álabes de turbina de gas en el que la temperatura de los gases calientes

es mayor que el punto de fusión del material de la cuchilla.

En la figura siguiente se muestran varios tipos de aletas utilizadas en la práctica.

Consideremos ahora el caso de una aleta cónica (superficies extendidas) con superficies

planas en la parte superior e inferior. La aleta también pierde calor al ambiente a través de

la punta.

Ilustración 27 tipos de aletas

El espesor de la aleta varía linealmente desde 𝑡2 en la base a 𝑡1 en la punta como se

muestra en la Figura. La anchura, b, de la aleta permanece constante a lo largo de toda la

longitud.

60

Ilustración 28 aleta cónica

Consideremos un elemento típico 𝑒, con espesores de 𝑡𝑖 y 𝑡𝑗, áreas 𝐴𝑖 y 𝐴𝑗 y de perímetro

𝑃𝑖 y 𝑃𝑗 en lugares 'i' y 'j', respectivamente, como se muestra en la Figura.

Ilustración 29 puntos i y j en aleta cónica

Considerando

𝐴𝑖 = 𝑏𝑡𝑖; 𝐴𝑗 = 𝑏𝑡𝑗; 𝑃𝑖 = 2(𝑏 + 𝑡𝑖) 𝑦 𝑃𝑗 = 2(𝑏 + 𝑡𝑗) (2. 147)

Considerando que ‘A’ varia linealmente con ‘x’ se puede escribir

𝐴 = 𝐴𝑖 −(𝐴𝑖 − 𝐴𝑗)

𝐿𝑥

(2. 148)

Donde 𝐿 es la longitud del elemento. De manera alternativa se puede escribir:

𝐴 = 𝐴𝑖 (1 −𝑥

𝐿) + 𝐴𝑗

𝑥

𝐿 = 𝑁𝑖𝐴𝑖 +𝑁𝑗𝐴𝑗

(2. 149)

61

Del mismo modo,𝑃 = 𝑁𝑖𝐴𝑖 +𝑁𝑗𝐴𝑗. La matriz de rigidez se escribe como

[𝑲] = ∫ [−1

𝑙1

𝑙

] [𝑘] [−1

𝑙

1

𝑙] 𝐴 𝑑𝑥 + ∫ ℎ [

𝑁𝑖𝑁𝑗] [𝑁𝑖 𝑁𝑗]𝑃𝑑𝑥

ΩΩ

(2. 150)

Integrando y reordenando se tiene

[𝑲] =𝑘

𝑙(𝐴𝑖 + 𝐴𝑗

2 ) [

1 −1−1 1

] +ℎ𝑙

12[3𝑃𝑖 + 𝑃𝑗 𝑃𝑖 + 𝑃𝑗𝑃𝑖 + 𝑃𝑗 𝑃𝑖 + 3𝑃𝑗

] (2. 151)

El vector fórceps para este tipo de problemas es

[𝒇] = ∫ 𝐺[𝑵]𝑻𝐴𝑑x𝒍

−∫ 𝑞[𝑵]𝑻

𝑨𝒔

𝑑𝐴𝑠 +∫ ℎ𝑇𝑎[𝑵]𝑻

𝑨𝒔

𝑑𝐴𝑠 (2. 152)

Donde G es el suministro de calor por unidad de volumen, 𝑞 es el flujo de calor, ℎ es el

coeficiente de transferencia de calor y 𝑇𝑎 es la temperatura atmosférica. Integrando se tiene

[𝒇] =𝐺𝑙

6{2𝐴𝑖 + 𝐴𝑗𝐴𝑖 + 2𝐴𝑗

} −𝑞𝑙

6{2𝑃𝑖 + 𝑃𝑗𝑃𝑖 + 2𝑃𝑗

} +ℎ𝑇𝑎𝑙

6{2𝑃𝑖 + 𝑃𝑗𝑃𝑖 + 2𝑃𝑗

} + ℎ𝑇𝑎 {01}

(2. 153)

El último término es válido solo para el elemento de la cara final con área 𝐴. Para los otros

elementos, este término convectivo es cero.

2.2.4 Problemas en varias dimensiones en estado estacionario.

Como se vio anteriormente, una aproximación unidimensional es fácil de implementar. Sin

embargo, la mayoría de los problemas de transferencia de calor son multidimensionales en

la naturaleza. Para tales problemas, la exactitud de la solución se puede mejorar utilizando

una aproximación bidimensional o tridimensional. Por ejemplo, la transferencia de calor por

conducción en un tubo rectangular hueco infinitamente largo, que está expuesta a

diferentes condiciones de contorno dentro y fuera del tubo, y la conducción de calor en una

placa delgada, que tiene la transferencia de calor insignificante en la dirección del espesor

pueden ser aproximados como problemas bidimensionales.

62

En ciertas situaciones, es difícil simplificar el problema a dos dimensiones sin sacrificar la

precisión. La mayoría de los problemas de transferencia de calor industrial complejos son

tridimensionales debido a las geometrías complejas involucradas. La transferencia de calor

en las estructuras de aeronaves y escudos térmicos utilizados en vehículos espaciales son

ejemplos de este tipo de problemas. Es, sin embargo, importante señalar que incluso

geometrías que son simples pero que tienen condiciones de contorno complejos se

convierten en tres dimensiones. Por ejemplo, el mismo tubo hueco, rectangular mencionado

anteriormente, pero en este caso con condiciones no uniformes a lo largo de la longitud, es

un problema tridimensional. Además, si el tubo rectangular hueco es finito, de nuevo, puede

ser necesario tratarlo como un problema tridimensional. Un ejemplo típico y simple de la

conducción de calor en tres dimensiones es la de un cubo sólido sometido a diferentes

condiciones de contorno en las seis caras.

2.2.4.1 Problemas planos en dos dimensiones

2.2.4.1.1Elementos triangulares

La discretizacion de elemento finito más simple que puede ser usado en dos dimensiones

es usando elementos triangulares. Con el fin de demostrar el uso de elementos triangulares

lineales, consideremos un problema general. Como se ilustra en la figura, la geometría es

irregular y ambas caras planas de la placa están aisladas. La superficie en la dirección del

espesor se expone a diversas condiciones de contorno. Este es un problema de conducción

de calor de dos dimensiones ideal sin variación de temperatura permitido en la dirección

del espesor. La forma de la matriz final de las ecuaciones de elementos finitos, es

[𝑲]{𝑻} = {𝒇} (2. 154)

Donde

[𝑲] = ∫ [𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]𝑑Ω𝛀

+∫ ℎ[𝑵]𝑻[𝑵]𝑑Γ𝚪

(2. 155)

Y

[𝒇] = ∫ 𝐺[𝑵]𝑻𝑑Ω𝛀

−∫ 𝑞[𝑵]𝑻

𝚪

𝑑Γ + ∫ ℎ𝑇∞[𝑵]𝑻

𝚪

𝑑Γ (2. 156)

63

Para un elemento triangular, la temperatura de distribución puede ser escrita como

𝑇 = 𝑁𝑖𝑇𝑖 +𝑁𝑗𝑇𝑗 +𝑁𝑘𝑇𝑘 (2. 157)

La matriz gradiente está dada por

{𝒈} =

{

𝜕𝑇

𝜕𝑥𝜕𝑇

𝜕𝑦}

=

[ 𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑘𝜕𝑥


𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑘𝜕𝑦 ]

{

𝑇𝑖𝑇𝑗𝑇𝑘

} = [𝑩]{𝑻}

(2. 158)

Donde

[𝑩] =


𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥



𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑘𝜕𝑦 ]

=1

2𝐴[𝑏𝑖 𝑏𝑗 𝑏𝑘𝑐𝑖 𝑐𝑗 𝑐𝑘

]

(2. 159)

Asumiendo un material anisotrópico y que 𝐺 es un suministro de calor uniforme

[𝑫] = [𝑘𝑥 00 𝑘𝑦

] (2. 160)

Substituyendo [B] y [D] en la ecuación de la matriz [K], se tiene para un elemento como el

de la figura

Ilustración 30 Elemento triangular con transferencia de calor

64

Se tiene

[𝑲]𝒆 =𝑡

4𝐴{𝑘𝑥 [

𝑏𝑖2 𝑏𝑖𝑏𝑗 𝑏𝑖𝑏𝑘

𝑏𝑖𝑏𝑗 𝑏𝑗2 𝑏𝑗𝑏𝑘

𝑏𝑖𝑏𝑘 𝑏𝑗𝑏𝑘 𝑏𝑘2

] + 𝑘𝑦 [

𝑐𝑖2 𝑐𝑖𝑐𝑗 𝑐𝑖𝑐𝑘

𝑐𝑖𝑐𝑗 𝑐𝑗2 𝑐𝑗𝑐𝑘

𝑐𝑖𝑐𝑘 𝑐𝑗𝑐𝑘 𝑐𝑘2

]} +ℎ𝑡𝑙𝑗𝑘

6[0 0 00 2 10 1 2

]

(2. 161)

El subíndice e en la ecuación anterior representa un solo elemento. Cabe señalar que en la

ecuación anterior, 𝑑Ω es igual a 𝑡𝑑𝐴 y 𝑑Γ es igual a 𝑡𝑑𝑙, donde 𝑡 es el espesor de la placa y

𝑙 es la longitud de un lado de elemento en el límite de dominio. De manera similar, el vector

forceps puede escribirse como

{𝒇}𝒆 =𝐺𝑎𝑡

3{111} −

𝑞𝑡𝑙𝑖𝑗

2{110} +

ℎ𝑇𝑎𝑡𝑙𝑗𝑘

2{011}

(2. 162)

Como se ve en las ecuaciones anteriores, el efecto de generación de calor uniforme

contribuye a los tres nodos de un elemento, independientemente de su posición. Sin

embargo, la convección y condiciones de contorno de flujo son aplicables sólo en los límites

del dominio.

Si tenemos que tener una "fuente de punto” 𝐺∗ en lugar de una" fuente uniforme” 𝐺, el

primer término de la ecuación anterior se sustituye por

{𝒇} = 𝐺∗𝑡 {

𝑁𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘

}

(𝑥0,𝑦0)

(2. 163)

Donde 𝑥0 𝑦 𝑦0 son las coordenadas de la fuente puntual. En las ecuaciones anteriores,

todos los valores de la función de la forma deben ser evaluados en (𝑥0, 𝑦0) (tomando en

cuenta que aunque 𝐺∗ es una fuente puntual, en dos dimensiones, es una fuente de línea

en la dirección del espesor y se expresa en unidades de W / m). La contribución de la fuente

de punto es entonces distribuido adecuadamente a los tres nodos del elemento que

contiene la fuente puntual.

2.2.4.1.2 Elementos Rectangulares

Un elemento típico rectangular como se muestra en la Figura con condiciones de contorno

mixtas. La distribución de temperatura en un elemento rectangular se escribe como

𝑇 = 𝑁𝑖𝑇𝑖 +𝑁𝑗𝑇𝑗 +𝑁𝑘𝑇𝑘 ++𝑁𝑙𝑇𝑙 (2. 164)

65

Las funciones de forma para un elemento rectangular son:

𝑁𝑖 = (1 −𝑥

2𝑏)(1 −

𝑦

2𝑎)

𝑁𝑗 =𝑥

2𝑏(1 −

𝑦

2𝑎)

𝑁𝑘 =𝑥𝑦

4𝑎𝑏

𝑁𝑙 =𝑦

2𝑎(1 −

𝑥

2𝑏)

(2. 165)

El gradiente de la matriz de las funciones de forma es

[𝐵] =


𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥


𝜕𝑁𝑙𝜕𝑥


𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑘𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑙𝜕𝑦 ]

=1

4𝑎𝑏[−(2𝑎 − 𝑦) (2𝑎 − 𝑦) 𝑦 −𝑦

−(2𝑏 − 𝑥) −𝑥 𝑥 (2𝑏 − 𝑥)]

(2. 166)

La matriz de rigidez está dada por

[𝑲] = ∫ [𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]𝑑V𝛀

+∫ ℎ[𝑵]𝑻[𝑵]𝑑Γ𝚪

(2. 167)

Donde

[𝑫] = [𝑘𝑥 00 𝑘𝑦

] (2. 168)

Sustituyendo, las matrices [𝑩] y [𝑫] en la ecuación anterior, los resultados en una matriz

de 4 × 4.

Un término típico en la matriz es

∫ ∫𝑘𝑥

16𝑎2𝑏2(2𝑎 − 𝑦)2𝑑𝑥𝑑𝑦 +

2𝑎

0

2𝑏

0

∫ ∫𝑘𝑦

16𝑎2𝑏2(2𝑏 − 𝑥)2𝑑𝑥𝑑𝑦

2𝑎

0

2𝑏

0

+∫ ∫𝑥𝑦

4𝑎𝑏𝑑𝑥𝑑𝑦

2𝑎

0

2𝑏

0

(2. 169)

66

Después de la integral, la matriz [K] queda de la siguiente manera

[𝑲] =𝑘𝑥𝑎

6𝑏[

2.0 −2.0 −1.0 1.0−2.0 2.0 1.0 −1.0−1.01.0

1.0−1.0

2.0−2.0

−2.02.0

] +𝑘𝑦𝑏

6𝑎[

2.0 −2.0 −1.0 1.0−2.0 2.0 1.0 −1.0−1.01.0

1.0−1.0

2.0−2.0

−2.02.0

]

+ℎ𝑙

12[

0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.00.00.0

0.00.0

4.02.0

2.04.0

]

(2. 170)

El vector de carga puede ser escrito como

{𝒇} = ∫𝐺[𝑵]𝑇𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝐺2𝑎

0

{

𝑁𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘𝑁𝑙

}𝑑𝑥𝑑𝑦 =𝐺𝐴𝑡

4{

1111

}2𝑏

0

(2. 171)

Las integrales de frontera de flujo de calor y de transferencia de calor por convección se

evalúan como para elementos triangulares.

2.2.4.2 Problemas en tres dimensiones

La formulación de un problema tridimensional sigue un enfoque similar al explicado

anteriormente para geometrías planas en dos dimensiones pero con una tercera dimensión

adicional.

La ecuación del elemento finito es la misma.

[𝑲]{𝑻} = {𝒇} (2. 172)

Para un elemento linear tetraédrico como el de la figura

Ilustración 31 elemento tetraédrico lineal

67

La distribución de temperaturas puede ser escrita como

𝑇 = 𝑁𝑖𝑇𝑖 +𝑁𝑗𝑇𝑗 +𝑁𝑘𝑇𝑘 +𝑁𝑙𝑇𝑙 (2. 173)

El gradiente de la matriz está dado por

{𝒈} =

{

𝜕𝑇

𝜕𝑥𝜕𝑇

𝜕𝑦𝜕𝑇

𝜕𝑧}

=


𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥


𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦𝜕𝑁𝑖𝜕𝑧

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑧

𝜕𝑁𝑘𝜕𝑦𝜕𝑁𝑘𝜕𝑧

𝜕𝑁𝑙𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑙𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑙𝜕𝑧 ]

{

𝑇𝑖𝑇𝑗𝑇𝑘𝑇𝑙

} = [𝑩]{𝑻}

(2. 174)

La matriz de conductividad térmica se convierte en:

𝑑 = [

𝑘𝑥 0 00 𝑘𝑦 0

0 0 𝑘𝑧

]

(2. 175)

Donde los elementos fuera de la diagonal principal son asumidos como cero, por

simplicidad. Sustituyendo [D] y [B] en la ecuación de [K], se obtiene la [K] ecuación

elemental necesaria como para un problema plano de dos dimensiones. Del mismo modo,

la ecuación elemental para {f} se puede derivar.

En la Figura se puede apreciar un ejemplo a tres dimensiones. Como se ve, la geometría

se extiende en la tercera dimensión en 1 m. También se dan las condiciones de contorno

correspondientes. Las condiciones de contorno siguen siendo los mismos, pero los lados

de contorno se convierten en superficies de contorno en 3D. Dos superficies adicionales,

una en el frente y otra en la parte posterior, también se introducen cuando el problema se

extiende a tres dimensiones. Estas dos superficies adicionales no son sometidas a alguna

condición de flujo de calor a fin de preservar la bidimensionalidad del problema.

68

Ilustración 32 ejemplo en tres dimensiones

La malla generada y la solución a este problema se muestran en la siguiente Figura. Como

se ve, la solución en el plano perpendicular a la tercera dimensión,𝑥3, es idéntica a la de la

solución de dos dimensiones dado en la figura (b). Como se mencionó anteriormente, la

variación de la temperatura en la tercera dimensión se suprime mediante la imposición de

una condición de no flujo de calor en las caras frontal y posterior, perpendicular a 𝑥3.

Ilustración 33 (a) malla en tercera dimensión, (b) solución en tercera dimensión

69

2.3 Análisis de esfuerzos y/o Deformaciones planos

2.3.1Esfuerzo plano

Para explicarlo consideraremos el elemento de esfuerzo que se muestra en la figura. Este

elemento tiene tamaño infinitesimal y se puede dibujar como un cubo o bien como un

paralelepípedo rectangular. Los ejes xyz son paralelos a los bordes del elemento y sus

caras se designan según las direcciones de sus normales hacia fuera.

Ilustración 34

Cuando el material está en esfuerzo plano en el plano 𝑥𝑦, sólo las caras 𝑥 y 𝑦 del elemento

están sometidas a esfuerzos y todos actúan paralelos a los ejes 𝑥 y 𝑦, como se muestra en

la figura 34(a).

Esta condición de esfuerzo es muy común debido a que está presente en la superficie de

cualquier cuerpo sometido a esfuerzo, excepto en los puntos donde actúa la carga externa

sobre la superficie. Cuando el elemento que se muestra en la figura 34(a) está ubicado en

la superficie libre de un cuerpo, el eje 𝑧 es normal a la superficie y la cara 𝑧 está en el plano

de la superficie.

Donde los esfuerzos son representados como: Un esfuerzo normal 𝜎 tiene un subíndice

que identifica la cara sobre la cual actúa; por ejemplo, el esfuerzo 𝜎𝑥 actúa sobre la cara 𝑥

del elemento y el esfuerzo 𝜎𝑦 actúa sobre la cara y del elemento. Un esfuerzo cortante 𝜏

tiene dos subíndices; el primero denota la cara sobre la cual actúa el esfuerzo y el segundo

da la dirección sobre esa cara. Así entonces, el esfuerzo 𝜏𝑥𝑦 actúa sobre la cara 𝑥 en la

dirección del eje 𝑦 (figura34 a) y el esfuerzo 𝜏𝑦𝑥 actúa sobre la cara 𝑦 en la dirección del eje

𝑥.

70

Los esfuerzos cortantes sobre planos perpendiculares son iguales en magnitud y tienen

direcciones tales que los dos esfuerzos apuntan hacia la línea de intersección de las caras

o alejándose de ella. Puesto que 𝜏𝑥𝑦 y 𝜏𝑦𝑥 son positivos en las direcciones que se muestran

en la figura 34(a), son consistentes con esta observación. Por lo tanto se deduce que

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 (2. 176)

2.3.1.1 Esfuerzos sobre secciones inclinadas

Para representar los esfuerzos que actúan sobre una sección inclinada, consideramos un

nuevo elemento de esfuerzo (figura 34 c) que está ubicado en el mismo punto en el

material que el elemento original (figura 34b). Sin embargo, el nuevo elemento tiene caras

que son paralelas y perpendiculares a la dirección inclinada. Asociados con este nuevo

elemento se tienen los ejes 𝑥1, 𝑦1 y 𝑧1, tales que el eje 𝑧1 coincide con el eje 𝑧 y los ejes

𝑥1𝑦1 están girados en sentido contrario al de las manecillas del reloj un ángulo 𝑢 con

respecto a los ejes 𝑥𝑦.

Los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre este nuevo elemento se denotan

𝜎𝑥1,𝜎𝑥1, 𝜏𝑥1𝑦1y 𝜏𝑦1𝑥1 empleando las mismas designaciones con subíndices y

convenciones de signos descritas antes para los esfuerzos que actúan sobre el elemento

𝑥𝑦. Las conclusiones anteriores relativas a los esfuerzos cortantes aún son aplicables, de

manera que

𝜏𝑦1𝑥1 = 𝜏𝑥1𝑦1 (2. 177)

A partir de esta ecuación y del equilibrio del elemento, observamos que los esfuerzos

cortantes que actúan sobre los cuatro lados de un elemento en esfuerzo plano se

conocen si determinamos el esfuerzo cortante que actúa sobre cualquiera de los lados.

Los esfuerzos que actúan sobre el elemento inclinado 𝑥1𝑦1 (figura34 c) pueden

expresarse en términos de los esfuerzos sobre el elemento 𝑥𝑦 (figura34 b) al utilizar

ecuaciones de equilibrio. Para este fin elegimos un elemento de esfuerzo con forma de

cuña (figura 35a) que tiene una cara inclinada que es igual que la cara 𝑥1 del elemento

inclinado que se muestra en la figura 34c. Los otros dos lados de la cuña son paralelos a

los ejes 𝑥 y 𝑦.

71

Ilustración 35 elemento de esfuerzo con forma de cuña

Denotando el área de la cara izquierda (es decir, la cara x negativa) como 𝐴0. Entonces las

fuerzas normal y cortante que actúan sobre esa cara son 𝜎𝑥𝐴0 y 𝜏𝑦𝑥𝐴0, como se muestra

en el diagrama de cuerpo libre de la figura 35b. El área de la cara inferior (o cara y negativa)

es 𝐴0 𝑡𝑎𝑛 𝑢 y el área de la cara inclinada (o cara 𝑥1 positiva) es 𝐴0 𝑠𝑒𝑐 𝑢. Por tanto, las

fuerzas normales y cortantes que actúan sobre estas caras tienen las magnitudes y

direcciones que se muestran en la figura 35b.

Las fuerzas que actúan sobre las caras izquierda e inferior se pueden descomponer en

componentes ortogonales que actúan en las direcciones 𝑥1 y 𝑦1. Luego podemos obtener

dos ecuaciones de equilibrio al sumar fuerzas en estas direcciones. La primera ecuación,

obtenida sumando fuerzas en la dirección 𝑥1, es:

𝜎𝑥1𝐴0 sec 𝜃 − 𝜎𝑥 𝐴0 cos 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 𝐴0 sen 𝜃 − 𝜎𝑦𝐴0 tan 𝜃 sin 𝜃

− 𝜏𝑦𝑥𝐴0 tan 𝜃 cos𝜃 = 0

(2. 178)

De la misma manera en la dirección 𝑦1

𝜏𝑥1𝑦1𝐴0 sec 𝜃 − 𝜎𝑥 𝐴0 sin𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 𝐴0 cos 𝜃 − 𝜎𝑦𝐴0 tan 𝜃 cos 𝜃

+ 𝜏𝑦𝑥𝐴0 tan 𝜃 sin 𝜃 = 0

(2. 179)

Al utilizar la relación 𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑥𝑦 y también simplificar y reacomodar términos, obtenemos las

dos siguientes ecuaciones:

𝜎𝑥1 = 𝜎𝑥 cos2 𝜃 + 𝜎𝑦 sin2 𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 sen𝜃 cos 𝜃

𝜏𝑥1𝑦1 = −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦) sin𝜃 cos 𝜃 + 𝜏𝑥𝑦(cos2 𝜃 − sin2 𝜃)

(2. 180)

72

Las ecuaciones anteriores dan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el

plano 𝑥1 en términos del ángulo 𝑢 y los esfuerzos 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦 que actúan sobre los planos

𝑥 y 𝑦. Dichas ecuaciones pueden expresarse de una manera más conveniente al hacer

sustituciones trigonométricas y quedan de la siguiente manera:

𝜎𝑥1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

𝜏𝑥1𝑦1 =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos2𝜃

(2. 181)

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de transformación para esfuerzo plano

debido a que transforman las componentes de esfuerzo de un conjunto de ejes en otro.

Dado que las ecuaciones de transformación se dedujeron únicamente del equilibrio de un

elemento, son aplicables a esfuerzos en cualquier tipo de material, ya sea lineal o no lineal,

elástico o inelástico.

2.3.1.2 Casos especiales de esfuerzo plano

El caso general de esfuerzo plano se reduce a estados de esfuerzo más simples en

condiciones especiales. Por ejemplo, si todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento

𝑥𝑦 son cero excepto para el esfuerzo normal 𝜎𝑥, entonces el elemento está en esfuerzo

uniaxial. Las ecuaciones de transformación correspondiente, obtenida igualando 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦 a

cero en las ecuaciones de transformación originales, son:

𝜎𝑥1 =𝜎𝑥2(1 + cos 2𝜃) 𝜏𝑥1𝑦1 =

𝜎𝑥2(sin2𝜃)

(2. 182)

Otro caso especial es el de cortante puro

Ilustración 36 elemento en cortante puro

73

Para el cual las ecuaciones de transformación se obtienen sustituyendo 𝜎𝑥 = 0 y 𝜎𝑦 = 0 en

las ecuaciones de transformación originales.

𝜎𝑥1 = 𝜏𝑥𝑦 sin2𝜃 𝜏𝑥1𝑦1 = 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 (2. 183)

Por último, observamos el caso especial de esfuerzo biaxial, en el cual el elemento 𝑥𝑦 está

sometido a esfuerzos normales en las direcciones 𝑥 y 𝑦 pero sin esfuerzos cortantes. Las

ecuaciones para esfuerzo biaxial se obtienen de las ecuaciones de transformación

originales al eliminar simplemente los términos que contienen 𝜏𝑥𝑦, como se muestra:

𝜎𝑥1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦


2cos 2𝜃

𝜏𝑥1𝑦1 =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin2𝜃

(2. 184)

Ilustración 37 Elemento en esfuerzo biaxial

74

2.3.2 Esfuerzos principales y cortantes máximos

Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos

normales 𝜎𝑥1 y los esfuerzos cortantes 𝜏𝑥1𝑦1 varían continuamente conforme se giran los

ejes a través de un ángulo 𝜃. Esta variación se representa en la figura para una combinación

particular de esfuerzos.

Ilustración 38 variación de esfuerzos conforme se giran los ejes

En la figura observamos que los esfuerzos normales y los cortantes alcanzan valores

máximos y mínimos en intervalos de 90°. Estos valores máximos y mínimos suelen

requerirse para fines de diseño. Por ejemplo, las fallas por fatiga de estructuras como

máquinas y aeronaves a menudo se asocian con los esfuerzos máximos, y de aquí que sus

magnitudes y orientaciones se deban determinar como parte del proceso de diseño.

2.3.2.1 Esfuerzos principales

Los esfuerzos normales máximo y mínimo, denominados esfuerzos principales, se pueden

determinar a partir de la ecuación de transformación para el esfuerzo normal 𝜎𝑥1. Al derivar

𝜎𝑥1 con respecto a 𝜃 y al igualar a cero, obtenemos una ecuación para la cual podemos

encontrar los valores de 𝜃 para los que 𝜎𝑥1 es un máximo o un mínimo. De donde se obtiene

tan 2𝜃𝑝 =2𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

(2. 185)

El subíndice 𝑝 indica que el ángulo 𝜃𝑝 define la orientación de los planos principales, es

decir, los planos sobre los que actúan los esfuerzos principales.

75

Con esta ecuación se pueden encontrar dos valores del ángulo 2𝜃𝑝 en el intervalo de 0 a

360°. Estos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°.

Por tanto, el ángulo 𝜃𝑝 tiene dos valores que difieren en 90°, un valor entre 0 y 90° y el otro

entre 90° y 180°. Los dos valores de 𝜃𝑝 se conocen como los ángulos principales. Para uno

de estos ángulos el esfuerzo normal 𝜎𝑥1 es un esfuerzo principal máximo; para el otro, es

un esfuerzo principal mínimo. Dado que los ángulos principales difieren en 90°, observamos

que los esfuerzos principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares. Los

esfuerzos principales se pueden calcular al sustituir cada uno de los dos valores de 𝜃𝑝 en

la primera ecuación de transformación y despejando 𝜎𝑥1.

También podemos obtener fórmulas generales para los esfuerzos principales. Para hacer

esto nos referimos al triángulo rectángulo en la figura

Ilustración 39

Observe que la hipotenusa del triángulo, obtenida con el teorema de Pitágoras, es

𝑅 = √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

(2. 186)

La cantidad 𝑅 siempre es un número positivo y, al igual que los otros dos lados del triángulo,

tiene unidades de esfuerzo. Del triángulo obtenemos dos relaciones adicionales:

cos 2𝜃𝑝 =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2𝑅 sin 2𝜃𝑝 =

𝜏𝑥𝑦

𝑅

(2. 187)

Ahora sustituimos estas expresiones para cos 2𝜃𝑝 y sin 2𝜃𝑝 en la ecuación y obtenemos el

más grande algebraicamente de los dos esfuerzos principales, denotado por 𝜎1:

𝜎1 = 𝜎𝑥1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦


2cos 2𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃𝑝

=𝜎𝑥 + 𝜎𝑦


2(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2𝑅) + 𝜏𝑥𝑦 (

𝜏𝑥𝑦

𝑅)

(2. 188)

76

Después de sustituir el valor de 𝑅 de la ecuación y de realizar algunas manipulaciones

algebraicas, obtenemos

𝜎1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+ √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

(2. 189)

El menor de los esfuerzos principales, denotado 𝜎2, se puede encontrar a partir de la

condición de que la suma de los esfuerzos normales sobre planos perpendiculares es

constante

𝜎1 + 𝜎2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 (2. 190)

Al sustituir la expresión para 𝜎1 en la ecuación anterior y despejando 𝜎2, obtenemos

𝜎2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 − 𝜎1

=𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+ √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

(2. 191)

Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para 𝜎1 pero difiere por la presencia

del signo menos antes de la raíz cuadrada.

Las fórmulas anteriores para 𝜎1 y 𝜎2 se pueden combinar en una sola fórmula para los

esfuerzos principales:

𝜎1,2 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2± √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

(2. 192)

El signo más da el esfuerzo principal algebraicamente mayor y el signo menos el esfuerzo

principal algebraicamente menor.

2.3.2.1.1 Ángulos principales

Denotemos ahora los dos ángulos que definen los planos principales como 𝜃𝑃1 y 𝜃𝑃2, que

corresponden a los esfuerzos principales 𝜎1 y 𝜎2, respectivamente. Los dos ángulos se

pueden determinar a partir de la ecuación para tan 2𝜃𝑃. Sin embargo, no podemos saber

con base en esa ecuación qué ángulo es 𝜃𝑃1 y qué ángulo es 𝜃𝑃2.

77

Un procedimiento simple para hacer esta determinación es tomar uno de los valores y

sustituirlo en la ecuación para 𝜎𝑥1. El valor resultante de 𝜎𝑥1 será reconocido como 𝜎1 o 𝜎2,

para correlacionar así los dos ángulos principales con los dos esfuerzos principales.

Otro método para correlacionar los ángulos principales con los esfuerzos principales es

emplear las ecuaciones para encontrar 𝜃𝑃, puesto que el único ángulo que satisface las dos

ecuaciones es 𝜃𝑃1. Por tanto, podemos reescribir estas ecuaciones como se muestra:

cos 2𝜃𝑝1 =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2𝑅 sin 2𝜃𝑝1 =

𝜏𝑥𝑦

𝑅

(2. 193)

2.3.2.1.2 Esfuerzos cortantes máximos

Ya encontrados los esfuerzos principales y sus direcciones para un elemento en esfuerzo

plano, ahora consideramos la determinación de los esfuerzos cortantes máximos y los

planos sobre los que actúan. Los esfuerzos cortantes 𝜏𝑥1𝑦1 que actúan sobre planos

inclinados están dados por la segunda ecuación de transformación. Al derivar 𝜏𝑥1𝑦1 con

respecto a 𝜃 e igualando a cero, obtenemos

𝑑𝜏𝑥1𝑦1𝑑𝜃

= −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦) cos 2𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦 sin2𝜃 = (2. 194)

De donde

tan 2𝜃𝑠 = −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)

2𝜏𝑥𝑦

(2. 195)

El subíndice 𝑠 indica que el ángulo 𝜃𝑠 define la orientación de los planos de esfuerzos

cortantes máximos positivos y negativos.

Al comparar la ecuación para 𝜃𝑠 con la ecuación para 𝜃𝑝 muestra que

tan 2𝜃𝑠 = −1

tan2𝜃𝑝= −cot 2𝜃𝑝

(2. 196)

A partir de esta ecuación podemos obtener una relación entre los ángulos 𝜃𝑠 y 𝜃𝑝. Primero

reescribimos la ecuación anterior en la forma siguiente:

sin2𝜃𝑠sin2𝜃𝑠

+cos 2𝜃𝑝

sin 2𝜃𝑝= 0

(2. 197)

78

Al multiplicar por los términos del denominador, obtenemos

sin 2𝜃𝑠 sin 2𝜃𝑝 + cos 2𝜃𝑠 cos 2𝜃𝑝 = 0 (2. 198)

Que es equivalente a la siguiente expresión

cos(2𝜃𝑠 − 2𝜃𝑝) = 0 (2. 199)

Por tanto

2𝜃𝑠 − 2𝜃𝑝 = ±90° (2. 200)

Por lo tanto

𝜃𝑠 = 𝜃𝑝 ± 45° (2. 201)

Esta ecuación muestra que los planos de esfuerzo cortante máximo ocurren a 45° con

respecto a los planos principales.

El plano de esfuerzo cortante máximo positivo 𝜏𝑚á𝑥 está definido por el ángulo 𝜃𝑠1, para el

cual son aplicables las siguientes ecuaciones:

cos 2𝜃𝑠1 =𝜏𝑥𝑦

𝑅 sin 2𝜃𝑠1 = −

(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)

2𝑅

(2. 202)

El esfuerzo cortante máximo correspondiente se obtiene al sustituir las expresiones para

cos 𝜃𝑠1 y sin 𝜃𝑠1 en la segunda ecuación de transformación, produce que

𝜏𝑚á𝑥 = √((𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)

2𝑅)

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

(2. 203)

El esfuerzo cortante máximo negativo 𝜏𝑚á𝑥 tiene la misma magnitud pero signo opuesto.

79

Otra expresión para el esfuerzo cortante máximo se puede obtener a partir de los esfuerzos

principales 𝜎1 y 𝜎2. Si restamos la expresión para 𝜎2 de la expresión para 𝜎1 y luego la

comparamos con la ecuación anterior, observamos que

𝜏𝑚á𝑥 =𝜎1 − 𝜎22

(2. 204)

Por tanto, el esfuerzo cortante máximo es igual a la mitad de la diferencia de los esfuerzos

principales.

Los planos de esfuerzo cortante máximo también contienen esfuerzos normales. El

esfuerzo normal que actúa sobre los planos de esfuerzos cortante máximo positivo se

puede determinar al sustituir las expresiones para el ángulo 𝜃𝑠1 en la ecuación para 𝜎𝑥1. El

esfuerzo resultante es igual al promedio de los esfuerzos normales sobre los planos 𝑥 y 𝑦:

𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2

(2. 205)

Este mismo esfuerzo normal actúa sobre los planos de esfuerzo cortante máximo negativo.

En los casos particulares de esfuerzo uniaxial y esfuerzo biaxial, los planos de esfuerzo

cortante máximo ocurren a 45° con respecto a los ejes 𝑥 y 𝑦. En el caso de cortante puro,

los esfuerzos cortantes máximos ocurren sobre los planos 𝑥 y 𝑦.

2.3.3 Ley de Hooke para el esfuerzo plano.

En esta sección, se investigaran las deformaciones unitarias en el material, lo que significa

que se deben considerar sus propiedades. Sin embargo, se limitará el análisis a materiales

que cumplan dos condiciones importantes: primero, el material es uniforme en todo el

cuerpo y tiene las mismas propiedades en todas las direcciones (material homogéneo e

isotrópico) y segundo, el material sigue la ley de Hooke (material linealmente elástico). En

estas condiciones es fácil obtener las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones

unitarias en el cuerpo.

Considerando las deformaciones unitarias normales 𝜖𝑥, 𝜖𝑦 y 𝜖𝑧 en esfuerzo plano. Los

efectos de estas deformaciones se representan en la figura, que muestra los cambios en

las dimensiones de un elemento pequeño que tiene bordes con longitudes a, b y c.

80

Ilustración 40 Elemento sometido a deformaciones unitarias

En la figura las tres deformaciones unitarias se muestran positivas (alargamiento). Las

deformaciones unitarias se pueden expresar en términos de los esfuerzos como en la figura

siguiente superponiendo los efectos de los esfuerzos individuales.

Ilustración 41 elemento de material en esfuerzo plano

La deformación unitaria 𝜖𝑥 en la dirección 𝑥 debida al esfuerzo 𝜎𝑥 es igual a 𝜎𝑥/𝐸, donde

𝐸 es el módulo de elasticidad. Además, la deformación unitaria 𝜖𝑥 debida al esfuerzo 𝜎𝑦 es

igual a – 𝜈𝜎𝑦/𝐸, donde 𝜈 es la relación de Poisson. Por otra parte, el esfuerzo cortante 𝜏𝑥𝑦

no produce deformaciones unitarias en las direcciones 𝑥, 𝑦 o 𝑧. Por tanto, la deformación

unitaria resultante en la dirección 𝑥 es

𝜖𝑥 =1

𝐸(𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦)

(2. 206)

De la misma manera se obtienen las deformaciones unitarias en las direcciones 𝑦 y 𝑧:

𝜖𝑦 =1

𝐸(𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥) 𝜖𝑧 =

𝜈

𝐸(𝜎𝑥 + 𝜈𝜎𝑦)

(2. 207)

81

Estas ecuaciones se pueden emplear para encontrar las deformaciones unitarias normales

(en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos.

El esfuerzo cortante 𝜏𝑥𝑦 causa una distorsión del elemento tal que la cara z se convierte en

un rombo.

Ilustración 42 Deformación unitaria por cortante

La deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 es el decremento en el ángulo entre las caras 𝑥 y

𝑦 del elemento y está relacionada con el esfuerzo cortante por la ley de Hooke en cortante,

de la siguiente manera:

𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺

(2. 208)

Donde 𝐺 es el módulo de elasticidad en cortante.

Las primeras dos ecuaciones dan las deformaciones unitarias 𝜖𝑥 y 𝜖𝑦 en términos de los

esfuerzos. Estas ecuaciones se pueden despejar de manera simultánea para los esfuerzos

en términos de las deformaciones unitarias:

𝜎𝑥 =1

1 − 𝜈2(𝜖𝑥 − 𝜈𝜖𝑦) 𝜎𝑦 =

𝐸

1 − 𝜈2(𝜖𝑦 + 𝜈𝜖𝑥)

(2. 209)

82

2.3.3.1 Casos especiales de la ley de Hooke

En el caso especial de esfuerzo biaxial, tenemos 𝜏𝑥𝑦 = 0, y por tanto la ley de Hooke para

esfuerzo plano se simplifica a

𝜖𝑥 =1


𝜖𝑦 =1


𝜈


𝜎𝑥 =1

1 − 𝜈2(𝜖𝑥 − 𝜈𝜖𝑦) 𝜎𝑦 =

𝐸

1 − 𝜈2(𝜖𝑦 + 𝜈𝜖𝑥)

(2. 210)

Estas ecuaciones son las mismas dado que los efectos de los esfuerzos normales y

cortantes son independientes entre sí.

Para esfuerzo uniaxial, con 𝜎𝑦 = 0, las ecuaciones de la ley de Hooke se simplifican aún

más:

𝜖𝑥 =𝜎𝑥𝐸 𝜖𝑦 = 𝜖𝑦 =

𝜈𝜎𝑥𝐸

(2. 211)

Por último, consideramos cortante puro, que significa que 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 0. Entonces,

obtenemos

𝜖𝑥 = 𝜖𝑦 = 𝜖𝑧 = 0 𝛾𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺

(2. 212)

En los tres casos especiales, el esfuerzo normal 𝜎𝑧 es igual a cero.

2.3.3.1.1 Cambio de volumen

Cuando un objeto sólido experimenta deformaciones unitarias, cambiarán tanto sus

dimensiones como su volumen. El cambio de volumen se puede determinar si se conocen

las deformaciones unitarias normales en tres direcciones perpendiculares. Para mostrar

cómo se lleva a cabo esto, consideremos un pequeño elemento de material que se muestra

en la figura.

83

Ilustración 43 Elemento sometido a deformaciones unitarias

El elemento original es un paralelepípedo rectangular que tiene lados con longitudes 𝑎, 𝑏 y

𝑐 en las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧, respectivamente. Las deformaciones unitarias 𝜖𝑥, 𝜖𝑦 y 𝜖𝑧

producen los cambios en las dimensiones que se muestran por las líneas discontinuas. Por

tanto, los aumentos en las longitudes de los lados son 𝑎𝜖𝑥, 𝑏𝜖𝑦 y 𝑐𝜖𝑧.

El volumen original del elemento es

𝑉0 = 𝑎𝑏𝑐 (2. 213)

Y su volumen final es

𝑉1 = (𝑎 + 𝑎𝜖𝑥)(𝑏 + 𝑏𝜖𝑦)(𝑐 + 𝑐𝜖𝑧)

= 𝑎𝑏𝑐(1 + 𝜖𝑥)(1 + 𝜖𝑦)(1 + 𝜖𝑧)

(2. 214)

Con referencia a la primera ecuación, podemos expresar el volumen final del elemento en

la forma siguiente:

𝑉1 = 𝑉0(1 + 𝜖𝑥)(1 + 𝜖𝑦)(1 + 𝜖𝑧) (2. 215)

Las ecuaciones anteriores para 𝑉1 son válidas tanto para deformaciones unitarias grandes

como pequeñas.

El cambio de volumen unitario 𝑒, también conocido como dilatación, se define como el

cambio de volumen dividido entre el volumen original; por tanto,

𝑒 =∆𝑉

𝑉0= 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧

(2. 216)

84

Al aplicar esta ecuación a un elemento diferencial de volumen y luego integrando, podemos

obtener el cambio de volumen de un cuerpo aun cuando las deformaciones unitarias varíen

en todo el cuerpo.

Las ecuaciones anteriores para cambios de volumen se aplican a deformaciones unitarias

por tensión y compresión, puesto que las deformaciones unitarias 𝜖𝑥 , 𝜖𝑦 𝑦 𝜖𝑧 son cantidades

algebraicas (positivas para alargamiento y negativas para acortamiento). Con esta

convención de signos, los valores positivos para 𝛥𝑉 y e representan aumentos de volumen

y los valores negativos representan decrementos.

Ahora regresemos a materiales que siguen la ley de Hooke y que están sometidos sólo a

esfuerzo plano. En este caso las deformaciones unitarias 𝜖𝑥 , 𝜖𝑦 𝑦 𝜖𝑧 están dadas por las

ecuaciones.

𝜖𝑥 =1


𝜖𝑦 =1


𝜈


(2. 217)

Al sustituir esas relaciones en la ecuación del cambio de volumen unitario 𝑒, obtenemos la

expresión siguiente para el cambio de volumen unitario en términos de los esfuerzos:

𝑒 =∆𝑉

𝑉0=1 − 2𝜈

𝐸(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)

(2. 218)

En el caso de una barra prismática en tensión, es decir, esfuerzo uniaxial, la ecuación se

simplifica a

𝑒 =∆𝑉

𝑉0=𝜎𝑥𝐸(1 − 2𝜈)

(2. 219)

A partir de esta ecuación observamos que el valor máximo posible de la relación de Poisson

para materiales comunes es 0.5, dado que un valor mayor significa que el volumen

disminuye cuando el material está en tensión, lo cual es contrario al comportamiento físico

ordinario.

85

2.3.4 Deformación unitaria plana

Las deformaciones unitarias en un punto en una estructura cargada varían de acuerdo con

la orientación de los ejes, de manera similar a la de los esfuerzos.

Las deformaciones unitarias suelen medirse con deformímetros; por ejemplo, éstos se

colocan en aeronaves para medir el comportamiento estructural durante el vuelo y en

edificios para medir los efectos de los sismos. Dado que cada deformímetro mide la

deformación unitaria en una dirección particular, por lo general, es necesario calcular las

deformaciones unitarias en otras direcciones mediante las ecuaciones de transformación.

2.3.4.1 Deformación unitaria plana contra esfuerzo plano

Considerando un elemento pequeño de material que tiene lados con longitudes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en

las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧, respectivamente. Si las únicas deformaciones son en el plano 𝑥𝑦,

entonces pueden existir tres componentes de la deformación unitaria: la deformación

unitaria normal 𝜖𝑥 en la dirección 𝑥(figura b), la deformación unitaria 𝜖𝑦 en la dirección 𝑦

(figura c) y la deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 (figura d).

Ilustración 44 componentes de la deformación unitaria

Un elemento de material sometido a estas deformaciones unitarias (y sólo a éstas) se dice

que está en un estado de deformación unitaria plana.

Se deduce que un elemento en deformación unitaria plana no tiene deformación unitaria

normal 𝜖𝑧 en la dirección 𝑧 y no tiene deformaciones unitarias 𝛾𝑥𝑧 y 𝛾𝑦𝑧 en los planos 𝑥𝑧 y

𝑦𝑧, respectivamente.

Se puede observar que la deformación unitaria plana ocurre cuando las caras anterior y

posterior de un elemento de material (figura a) están completamente restringidas contra

desplazamientos en la dirección 𝑧. Sin embargo, esto no quiere decir que las ecuaciones

de transformación de deformación unitaria plana no sean útiles.

La definición de deformación unitaria plana es análoga a la de esfuerzo plano. En

esfuerzo plano, los siguientes esfuerzos deben ser cero:

𝜎𝑧 = 0 𝜏𝑥𝑧 = 0 𝜏𝑦𝑧 = 0 (2. 220)

86

Por otra parte, un elemento en esfuerzo plano experimentará una deformación unitaria en

la dirección 𝑧; de manera que no es una deformación unitaria plana. Además, un elemento

en deformación unitaria plana en general tendrá esfuerzos 𝜎𝑧 que actúan sobre él debido

al requerimiento de 𝜖𝑧 = 0; por tanto, no es un esfuerzo plano. Entonces, en condiciones

ordinarias el esfuerzo plano y la deformación unitaria plana no ocurren simultáneamente.

2.3.4.2 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana

En la deducción de las ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana

emplearemos los ejes coordenados que se muestran en la figura siguiente

Ilustración 45 ejes y1 y x1 girados a partir de x y y

Supondremos que se conocen las deformaciones unitarias normales 𝜖𝑥 y 𝜖𝑦, y la

deformación unitaria por cortante gxy asociadas con los ejes 𝑥𝑦. Los objetivos de nuestro

análisis son determinar la deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 y la deformación unitaria por

cortante 𝛾𝑥1𝑦1 asociadas con los ejes 𝑥1𝑦1, que están girados en sentido contrario al de las

manecillas del reloj un ángulo 𝜃 desde los ejes 𝑥𝑦. (No es necesario deducir una ecuación

separada para las deformaciones unitarias normales 𝜖𝑦1 debido a que se puede obtener a

partir de la ecuación para 𝜖𝑥1 sustituyendo 𝜃 con 𝜃 + 90°).

2.3.4.2.1 Deformación unitaria normal 𝜖𝑥1

Para determinar la deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 en la dirección 𝑥1, se considera un

elemento pequeño de material seleccionado de manera que el eje 𝑥1 esté a lo largo de una

diagonal de la cara 𝑧 del elemento y los ejes 𝑥 y 𝑦 estén a lo largo de los lados del elemento.

87

Ilustración 46deformaciones de un elemento en deformación debido a (a) deformación unitaria normal en x, (b) deformación unitaria normal en y y (c) deformación unitaria por cortante

Considere primero la deformación unitaria 𝜖𝑥 en la dirección 𝑥 (figura a). Esta deformación

unitaria normal produce un alargamiento en la dirección 𝑥 igual a 𝜖𝑥𝑑𝑥, donde 𝑑𝑥 es la

longitud del lado correspondiente del elemento. Como resultado de este alargamiento, la

diagonal del elemento aumenta su longitud en una cantidad

𝜖𝑥𝑑𝑥 cos 𝜃 (2. 221)

La deformación unitaria 𝜖𝑦 en la dirección 𝑦 (figura b). Esta deformación unitaria produce

un alargamiento en la dirección 𝑦 igual a 𝜖𝑦𝑑𝑦 , donde 𝑑𝑦 es la longitud del lado del elemento

paralela al eje 𝑦. Como resultado de este alargamiento, la diagonal del elemento aumenta

su longitud en una cantidad

𝜖𝑦𝑑𝑦 sin 𝜃 (2. 222)

La deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦 en el plano 𝑥𝑦 (figura c). Esta deformación unitaria

produce una distorsión del elemento de manera que el ángulo en la esquina inferior

izquierda del elemento disminuye en una cantidad igual a la deformación unitaria por

cortante. En consecuencia, la cara superior del elemento se mueve hacia la derecha (con

88

respecto a la cara inferior) en una cantidad 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦. Esta deformación resulta en un aumento

en la longitud de la diagonal igual a

𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 cos 𝜃 (2. 223)

El incremento total 𝛥𝑑 en la longitud de la diagonal es la suma de las tres ecuaciones

anteriores; por tanto,

𝛥𝑑 = 𝜖𝑥𝑑𝑥 cos 𝜃 + 𝜖𝑦𝑑𝑦 sin𝜃 + 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 cos𝜃 (2. 224)

La deformación unitaria normal 𝜖𝑥1 en la dirección 𝑥1 es igual a este incremento de longitud

dividido entre la longitud inicial 𝑑𝑠 de la diagonal:

𝜖𝑥1 =𝛥𝑑

𝑑𝑠= 𝜖𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑠cos𝜃 + 𝜖𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑠sin𝜃 + 𝛾𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑠cos 𝜃

(2. 225)

Como 𝑑𝑥/𝑑𝑠 = cos 𝜃 y 𝑑𝑦/𝑑𝑠 = sin𝜃 al sustituir se obtiene la ecuación para la deformación

unitaria normal:

𝜖𝑥1 = 𝜖𝑥 cos2 𝜃 + 𝜖𝑦 sin

2 𝜃 + 𝛾𝑥𝑦 sin𝜃 cos𝜃 (2. 226)

2.3.4.2.2 Deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥𝑦

Esta deformación unitaria es igual al decremento en el ángulo entre las líneas en el material

que inicialmente estaban a lo largo de los ejes 𝑥1 y 𝑦1. Es decir, considerando la figura 47,

que muestra los ejes 𝑥𝑦 y 𝑥1𝑦1, con el ángulo 𝜃 entre ellos. Sea 𝑂𝑎 una línea en el material

que inicialmente estaba a lo largo del eje 𝑥1 (es decir, a lo largo de la diagonal del elemento

en la figura 46).

89

Ilustración 47 Deformación unitaria por cortante asociada con los ejes x1y1

Las alteraciones en la forma causadas por las deformaciones 𝜖𝑦, 𝜖𝑦 y 𝛾𝑥𝑦 (figura 46) causan

que la línea 𝑂𝑎 gire en sentido contrario al de las manecillas del reloj un ángulo 𝛼 desde el

eje 𝑥1 hasta la posición que se muestra en la figura 47. De manera similar, la línea 𝑂𝑏

estaba originalmente a lo largo del eje 𝑦1, pero debido a las deformaciones gira un ángulo

𝛽 en el sentido de las manecillas del reloj. La deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥1𝑦1 es el

decremento en el ángulo entre las dos líneas que originalmente estaban en un ángulo recto;

por tanto,

𝛾𝑥1𝑦1 = 𝛼 + 𝛽 (2. 227)

El ángulo a puede encontrarse a partir de las deformaciones representadas en la figura 46

como sigue. La deformación unitaria 𝜖𝑥 (figura a) produce una rotación en el sentido de las

manecillas del reloj de la diagonal del elemento. Denotemos este ángulo de rotación con

𝛼1, que es igual a la distancia 𝜖𝑥𝑑𝑥 sin𝜃 dividida entre la longitud 𝑑𝑠 de la diagonal:

𝛼1 = 𝜖𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑠sin 𝜃

(2. 228)

De manera similar, la deformación unitaria 𝜖𝑥 produce una rotación de la diagonal en el

sentido contrario al de las manecillas del reloj, un ángulo 𝛼2 (figura 46b). Este ángulo es

igual a la distancia 𝜖𝑦𝑑𝑦 cos 𝜃 dividida entre 𝑑𝑠:

𝛼2 = 𝜖𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑠cos 𝜃

(2. 229)

Por último, la deformación unitaria 𝛾𝑥𝑦 produce una rotación en el sentido de las manecillas

del reloj de un ángulo 𝛼3 (figura 46c) igual a la distancia 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 sin 𝜃 u dividida entre 𝑑𝑠:

𝛼3 = 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑠sin 𝜃

(2. 230)

90

Por tanto, la rotación resultante en sentido contrario al de las manecillas del reloj de la

diagonal (figura 46), igual al ángulo a que se muestra en la figura 47, es

𝛼 = −𝛼1 + 𝛼2 − 𝛼3

= −𝜖𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑠sin 𝜃 + 𝜖𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑠cos 𝜃 − 𝛾𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑠sin𝜃

(2. 231)

Observando de nuevo que 𝑑𝑥/𝑑𝑠 = cos 𝜃 y 𝑑𝑦/𝑑𝑠 = sin𝜃, obtenemos

𝛼 = (𝜖𝑥 − 𝜖𝑦) sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝛾𝑥𝑦 sin2 𝜃 (2. 232)

La rotación de la línea 𝑂𝑏 (figura 47), que inicialmente estaba a 90° con respecto a la línea

𝑂𝑎, puede determinarse al sustituir 𝜃 con 𝜃 + 90° en la expresión para 𝛼. La expresión que

resulta es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando es positiva, por tanto

es igual al negativo del ángulo 𝑏 (debido a que b es positivo cuando va en el sentido de las

manecillas del reloj). Por tanto,

𝛽 = (𝜖𝑥 − 𝜖𝑦) sin(𝜃 + 90º) cos(𝜃 + 90º) − 𝛾𝑥𝑦 sin2(𝜃 + 90º)

= −(𝜖𝑥 − 𝜖𝑦) sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝛾𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

(2. 233)

Al sumar 𝑎 y 𝑏 se obtiene la deformación unitaria por cortante 𝛾𝑥1𝑦1

𝛾𝑥1𝑦1 = −2(𝜖𝑥 − 𝜖𝑦) sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝛾𝑥𝑦(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − sin2 𝜃) (2. 234)

Para poner la ecuación en una forma más útil, dividimos cada término entre 2:

𝛾𝑥1𝑦1

2= −(𝜖𝑥 − 𝜖𝑦) sin 𝜃 cos 𝜃 +

𝛾𝑥𝑦

2(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − sin2 𝜃)

(2. 235)

2.3.4.2.3 Ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana

Las ecuaciones para deformación unitaria plana se pueden expresar en términos del ángulo

2𝜃 utilizando las siguientes identidades trigonométricas:

cos2 𝜃 =1

2(1 + cos 2𝜃); sin2 𝜃 =

1

2(1 − cos 2𝜃); sin𝜃 cos 𝜃

=1

2(1 − cos2𝜃)

(2. 236)

91

Entonces las ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana se convierten

en

𝜖𝑥1 =(𝜖𝑥 + 𝜖𝑦)

2+(𝜖𝑥 − 𝜖𝑦)

2cos 2𝜃 +

𝛾𝑥𝑦

2sin2𝜃

𝛾𝑥1𝑦1

2= −

(𝜖𝑥 − 𝜖𝑦)

2sin2𝜃 +

𝛾𝑥𝑦

2cos 2𝜃

(2. 237)

2.3.4.3 deformaciones unitarias principales

Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares con los

ángulos principales 𝜃𝑝 calculados con la siguiente ecuación

tan 2𝜃𝑝 =𝛾𝑥𝑦

𝜖𝑥 − 𝜖𝑦

(2. 238)

Las deformaciones unitarias principales se calculan con la ecuación

𝜖1,2 =𝜖𝑥 + 𝜖𝑦

2± √(

𝜖𝑥 − 𝜖𝑦

2)2

+ (𝛾𝑥𝑦

2)2

(2. 239)

Que corresponde a la ecuación para los esfuerzos principales. Las dos deformaciones

unitarias principales (en el plano 𝑥𝑦) se pueden correlacionar con las dos direcciones

principales. Por último, observe que en deformación unitaria plana la tercera deformación

unitaria principal es 𝜖𝑧 = 0. Además, las deformaciones unitarias por cortante son cero

sobre los planos principales.

92

Capítulo 3: Esfuerzos y deformaciones planas

En este capítulo se considera el elemento finito de dos dimensiones. Los elementos de dos

dimensiones (planos) se definen por tres o más nodos en un plano de dos dimensiones (es

decir, 𝑥𝑦). Los elementos están conectados en los nodos comunes y/o a lo largo de los

bordes comunes para formar estructuras continuas. La compatibilidad del desplazamiento

nodal se aplica a continuación durante la formulación de las ecuaciones de equilibrio

nodales para los elementos bidimensionales. Si se eligen funciones de desplazamiento

adecuados, también se obtiene la compatibilidad a lo largo de los bordes comunes. El

elemento de dos dimensiones es extremadamente importante para:

1) Análisis de tensión plana, que incluye problemas tales como placas con agujeros,

filetes, u otros cambios en la geometría que se cargan en su plano que resulta en

concentraciones de esfuerzos locales; y

2) El análisis de deformación plana, que incluye problemas tales como una larga

alcantarilla subterránea sometido a una carga uniforme que actúa constantemente

sobre su longitud, una barra de control larga, cilíndrica sometida a una carga que

se mantiene constante sobre la longitud de la varilla (o profundidad) y las presas y

tuberías sometido a cargas que permanecen constantes a lo largo de sus

longitudes.

3.1 Ecuaciones para teoría de elasticidad

Hay tres conjuntos básicos de ecuaciones incluidos en la teoría de la elasticidad. Estas

ecuaciones deben ser satisfechas para obtener una solución exacta a un problema de la

mecánica estructural. Estos conjuntos de ecuaciones son:

1) Las ecuaciones diferenciales de equilibrio formulados aquí en términos de las

tensiones que actúan sobre un cuerpo,

2) Las ecuaciones diferenciales de tensión/desplazamiento y de compatibilidad, y

3) Las leyes constitutivas de esfuerzo / deformación o de materiales.

3.1.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio

Por simplicidad, inicialmente se considerará el equilibrio de un elemento plano sometido a

esfuerzos normales 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦, esfuerzo cortante en el plano 𝜏𝑥𝑦 (en unidades de fuerza por

unidad de área), y las fuerzas del cuerpo 𝑋𝑏 y 𝑌𝑏 (en unidades de fuerza por unidad de

volumen), como se muestra en la Figura.

93

Ilustración 48 elemento plano sujeto a esfuerzos

Los esfuerzos se suponen ser constantes, ya que actúan sobre el ancho de cada cara. Sin embargo, las tensiones se suponen que varían de una cara a la contraria. Por ejemplo, 𝜎𝑥 actúa sobre la cara vertical izquierda, mientras que 𝜎𝑥 + (𝜕𝜎𝑥/𝜕𝑥)𝑑𝑥 actúa sobre la cara vertical derecha. Suponiendo que el elemento tiene unidad de espesor.

Sumando las fuerzas en la dirección 𝑥 se obtiene:

∑𝐹𝑥 = 0 = (𝜎𝑥 +𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

𝑑𝑥) 𝑑𝑦(1) − 𝜎𝑥𝑑𝑦(1) + 𝑋𝑏𝑑𝑥𝑑𝑦(1)

+ (𝜏𝑦𝑥 +𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦𝑑𝑦)𝑑𝑥(1) − 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥(1) = 0

(3. 1)

Simplificando se tiene

𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+ 𝑋𝑏 = 0

(3. 2)

De manera similar, sumando fuerzas en la dirección 𝑦 se obtiene

𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+ 𝑌𝑏 = 0

(3. 3)

Debido a que se considera el elemento plano, se deben cumplir tres ecuaciones de

equilibrio. La tercera ecuación de equilibrio es momentos alrededor de un eje normal al

plano 𝑥𝑦; es decir, tomando momentos respecto al punto C en la figura, por lo tanto se tiene

∑𝑀𝑧 = 0 = 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑦(1)𝑑𝑥

2+ (𝜏𝑥𝑦 +

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥)𝑑𝑥

2− 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥(1)

𝑑𝑦

2

− (𝜏𝑦𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦𝑑𝑦)

𝑑𝑦

2= 0

(3. 4)

94

Simplificando y despreciando términos de orden superior en esta ecuación se tiene que

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 (3. 5)

Ahora considerando un estado tridimensional de esfuerzos como el que se muestra en la

figura siguiente

Ilustración 49 estado tridimensional de esfuerzos

Que muestra los esfuerzos adicionales; 𝜎𝑧, 𝜏𝑥𝑧 y 𝜏𝑦𝑧. Con un procedimiento sencillo,

podemos extender las ecuaciones bidimensionales a tres dimensiones. El conjunto total

resultante de ecuaciones de equilibrio es

𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧

+ 𝑋𝑏 = 0

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑧+ 𝑌𝑏 = 0

𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+𝜕𝜎𝑧𝜕𝑧

+ 𝑍𝑏 = 0

(3. 6)

Y

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 (3. 7)

3.1.2 Relación deformación-desplazamiento

El concepto de tensión normal se define en el contexto de un ensayo de tracción uniaxial.

La longitud alargada 𝐿 de una porción de la muestra de ensayo que tienen longitud original

𝐿0 (la longitud de calibre) se mide y la correspondiente deformación normal queda definida

como

95

휀 =𝐿 − 𝐿0𝐿0

=∆𝐿

𝐿0

(3. 8)

Que es simplemente interpretada como el cambio en la longitud por unidad de longitud

original y se observa que es una cantidad adimensional. Del mismo modo, la idea de la

deformación por esfuerzo cortante a menudo se presenta en términos de un ensayo de

torsión simple de una barra que tiene una sección transversal circular. En cada caso, la

geometría de prueba y cargas aplicadas están diseñados para producir un estado simple,

uniforme de la deformación dominado por un componente principal.

En estructuras reales sometidas a cargas de operación de rutina, la deformación no es

generalmente uniforme ni limitado a un solo componente. En lugar de ello, la deformación

varía a lo largo de la geometría y puede estar compuesta de hasta seis componentes

independientes, incluyendo deformaciones normales y de cizallamiento. Por lo tanto, se

debe examinar las definiciones apropiadas de deformación en un punto. Para el caso

general, denotamos 𝑢 = 𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧),𝑣 = 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧), y 𝑤 = 𝑤 (𝑥, 𝑦, 𝑧) como los

desplazamientos en la coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧, respectivamente. La figura siguiente (a)

representa un elemento infinitesimal sin ser deformado con longitudes de sus bordes 𝑑𝑥,𝑑𝑦

y 𝑑𝑧 situada en un punto arbitrario (x, y, z) en un cuerpo sólido. Por simplicidad, se supone

primero que este elemento se carga en tensión en la dirección 𝑥 solamente y examinamos

la deformación resultante como se muestra en la Figura (b). El desplazamiento del punto 𝑃

es 𝑢 mientras que la de punto 𝑄 es 𝑢 + (𝜕𝑢 / 𝜕 𝑥) 𝑑𝑥 tal que la longitud deformada en la

dirección 𝑥 está dada por

Ilustración 50 (a) elemento en esfuerzo uniaxial, (b) deformación axial resultante, (c) elemento sujeto a cortante, (d) deformación a causa del cortante

96

𝑑𝑥′ = 𝑑𝑥 + 𝑢𝑄 − 𝑢𝑃 = 𝑑𝑥 + 𝑢 +𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑑𝑥 − 𝑢 = 𝑑𝑥 +

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑑𝑥

(3. 9)

La deformación normal en la dirección 𝑥 en el punto representado es

휀𝑥 =(𝑑𝑥′ − 𝑑𝑥)

𝑑𝑥=𝜕𝑢

𝜕𝑥

(3. 10)

En igual sentido de los cambios de longitud en las direcciones 𝑦 y 𝑧 producen las

definiciones generales de los componentes de la deformación normales como

휀𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝑦 휀𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧

(3. 11)

Para el cizallamiento de un sólido infinitesimal, se considera la situación mostrada en la

Figura (c), en el que se aplican tracciones de la superficie y que dan lugar a la cizalladura

del elemento, tal como se representa en la Figura (d). A diferencia de deformación normal,

los efectos del cortante se observa que son distorsiones de la forma rectangular original del

sólido. Esta distorsión se cuantifica por cambios angulares, y en consecuencia, se puede

definir deformación de cizalla como un "cambio en el ángulo de un ángulo que fue

originalmente un ángulo recto." Esto puede sonar redundante, pero no lo es. Considere la

definición en el contexto de la Figura (c) y (d); el ángulo 𝐴𝐵𝐶 era un ángulo recto en el

estado no deformado, pero ha sido distorsionada a 𝐴’𝐵𝐶’ por cizallamiento. El cambio del

ángulo se compone de dos partes, denotado 𝛼 y 𝛽, dado por las laderas de 𝐵𝐴′ y 𝐵𝐶′,

respectivamente, como 𝜕𝑉 / 𝜕𝑥 y 𝜕𝑢 / 𝜕𝑦. Por lo tanto, la deformación por cortante es

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥

(3. 12)

Donde se utiliza el doble subíndice para indicar el plano en el que se produce el cambio

angular. En igual sentido de distorsión en los planos 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧 resulta en

𝛾𝑥𝑧 =𝜕𝑢

𝜕𝑧+𝜕𝑤

𝜕𝑥 𝑦 𝛾𝑦𝑧 =

𝜕𝑣

𝜕𝑧+𝜕𝑤

𝜕𝑦

(3. 13)

Como los componentes de la deformación de cizallamiento.

Las ecuaciones anteriores proporcionan las definiciones básicas de los seis posibles

componentes de la deformación en la deformación tridimensional. Hay que destacar que

estas relaciones deformación-desplazamiento son válidas sólo para pequeñas

deformaciones. Los términos adicionales deben ser incluidos si se producen grandes

deformaciones como resultado de las características de geometría o materiales.

97

Es conveniente expresar las relaciones deformación-desplazamiento en forma de matriz.

Para llevar a cabo esta tarea, se define el vector de desplazamiento como

{𝛿} = {

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)

}

(3. 14)

(Señalando que este vector describe un campo de desplazamiento continuo) y el vector de

deformación como

{휀} =

{

휀𝑥휀𝑦휀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑥𝑧𝛾𝑦𝑧}

(3. 15)

Las relaciones deformación de desplazamiento se expresan entonces en forma compacta

{휀} = [𝐿]{𝛿} (3. 16)

Donde [𝐿] es la matriz del operador derivativo dado por

yz0

x0

z

0xy

z00

0y

0

00x

L

(3. 17)

3.1.3 Relación esfuerzo-deformación.

Las ecuaciones entre el esfuerzo y la deformación aplicable a un material particular se

conocen como las ecuaciones constitutivas para ese material. Para un material isotrópico,

homogéneo, linealmente elástico, se demuestra fácilmente que sólo se requieren dos

constantes del material independientes para especificar completamente las relaciones.

98

Estas dos constantes deben ser bastante familiarizadas con la teoría de fuerza elemental

como el módulo de elasticidad (módulo de Young) y el coeficiente de Poisson. Con

referencia de nuevo a la prueba de tensión uniaxial simple, el módulo de elasticidad se

define como la pendiente de la curva tensión-deformación en la región elástica o

𝐸 =𝜎𝑥휀𝑥

(3. 18)

Donde se supone que el eje de carga corresponde al eje 𝑥. Como la deformación es

adimensional, el módulo de elasticidad tiene las unidades de esfuerzo expresadas

normalmente en 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔2 o 𝑚𝑒𝑔𝑎𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑀𝑃𝑎).

La relación de Poisson es una medida del fenómeno bien conocido en el que un cuerpo

elástico sometido a tensión en una dirección también experimenta tensión en direcciones

mutuamente perpendiculares. En el ensayo de tracción uniaxial, el alargamiento de la

muestra de ensayo en la dirección de carga está acompañada por la contracción en el plano

perpendicular a la dirección de carga. Si el eje de carga es 𝑥, esto significa que el espécimen

cambia dimensiones y por lo tanto experimenta deformación en las direcciones 𝑦 y 𝑧, así, a

pesar de que no existe ninguna carga externa en esas direcciones. Formalmente, el

coeficiente de Poisson se define como

𝜈 = −𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙

(3. 19)

Se puede observar que el coeficiente de Poisson es algebraicamente positivo y el signo

negativo asegura esto, ya que el numerador y denominador siempre tienen signos

opuestos. Así, en el ensayo de tracción, si 휀𝑥 representa la deformación resultante de la

carga aplicada, los componentes de la deformación inducida se dan por 휀𝑦 = 휀𝑧 = −𝜈휀𝑥.

Las relaciones generales de esfuerzo-deformación para un material homogéneo, isotrópico,

y linealmente elástico sometido a una deformación tridimensional general son las

siguientes:

𝜎𝑥 =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[(1 − 𝜈)휀𝑥 + 𝜈(휀𝑦 + 휀𝑧)]

𝜎𝑥 =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[(1 − 𝜈)휀𝑦 + 𝜈(휀𝑦 + 휀𝑧)]

𝜎𝑥 =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[(1 − 𝜈)휀𝑧 + 𝜈(휀𝑥 + 휀𝑦)]

𝜏𝑥𝑦 =𝐸

2(1 + 𝜈)𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑧 =𝐸

2(1 + 𝜈)𝛾𝑥𝑧 = 𝐺𝛾𝑥𝑧

𝜏𝑦𝑧 =𝐸

2(1 + 𝜈)𝛾𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧

(3. 20)

99

Podemos observar desde las relaciones generales que los componentes normales de

esfuerzo y deformación están relacionados entre sí de una manera bastante complicado a

través del efecto de Poisson, pero son independientes de las deformaciones por cortante.

Del mismo modo, los componentes del esfuerzo cortante no se ven afectadas por las

deformaciones normales.

Las relaciones de esfuerzo-deformación pueden ser fácilmente expresadas en forma de

matriz mediante la definición de la matriz de propiedad del material [𝐷] como

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

)21)(1(

ED

(3. 21)

Y escribiendo

{𝜎} =

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧}

= [𝐷]{휀} = [𝐷][𝐿]{𝛿}

(3. 22)

Aquí {𝜎} señala la matriz de 6 × 1 de los componentes de esfuerzo. No se utiliza el vector

de esfuerzo, ya que, ese término tiene un significado generalmente aceptado muy diferente

al de la matriz se define aquí.

3.2 Ecuaciones para el esfuerzo plano y deformación plana

Se comenzará con el desarrollo de la matriz de rigidez de un elemento básico bidimensional

o elemento finito plano, llamado el elemento triangular de deformación constante (constant-

strain triangular element).

Se considera la matriz de rigidez del triángulo de deformación constante (CST por sus siglas

en inglés), ya que su derivación es más simple entre los elementos de dos dimensiones

disponibles. El elemento es llamado CST porque tiene una deformación constante a través

de él.

100

Se derivará la matriz de rigidez CST usando el principio de mínima energía potencial debido

a que la formulación de energía es la más factible para el desarrollo de las ecuaciones tanto

para elementos finitos de dos o tres dimensiones.

3.2.1 Conceptos de deformación plana y esfuerzo plano.

Esfuerzo plano: Se define como un estado de esfuerzo en el que se asumen el esfuerzo

normal y los esfuerzos cortantes perpendiculares al plano como cero. Por ejemplo, en las

Figuras (a) y (b), las placas en el plano 𝑥𝑦 se muestra sometidos a una tensión superficial

𝑇 (presión que actúa sobre el borde de la superficie o la cara de un miembro en unidades

de fuerza / área) en el plano se encuentran bajo un estado de tensión plana; es decir, el

esfuerzo normal 𝜎𝑧 y los esfuerzos cortantes 𝜏𝑥𝑧 y 𝜏𝑦𝑧 se supone que son cero. En general,

los miembros que son delgados (aquellos con una pequeña dimensión 𝑧 en comparación

con las dimensiones en 𝑥 y 𝑦) y cuyas cargas actúa sólo en el plano 𝑥𝑦 se pueden

considerar que estén bajo tensión plana.

Ilustración 51 a8placa con barreno, (b) placa con cambio de área

Deformación plana: Se define como un estado de deformación en el que la deformación

normal al plano 𝑥𝑦 (휀𝑧) y las deformaciones por cortante 𝛾𝑥𝑧 y 𝛾𝑦𝑧 se suponen ser cero. Las

suposiciones de deformación plana son aplicables para los cuerpos largos (por ejemplo, en

la dirección z) con área transversal constante sometidos a cargas que actúan sólo en las

direcciones 𝑥 y/o 𝑦 y que no varían en la dirección z. Algunos ejemplos de deformación

plana se muestran en la Figura siguiente. Los modelos de elementos finitos de las

estructuras en la figura se componen de secciones transversales apropiadamente

discretizados en el plano 𝑥𝑦 con las cargas que actúan sobre unidad de espesor en las

direcciones 𝑥 y/o 𝑦 únicamente.

101

Ilustración 52(a) presa sometida a carga horizontal, (b) tubería con carga vertical

3.2.1.1 Estado bidimensional del esfuerzo y la deformación plana

Para realizar el análisis se considera el estado de dos dimensiones de la tensión

representado en la Figura siguiente.

Ilustración 53 Estado bidimensional de esfuerzos

El elemento infinitesimal con lados 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 tiene esfuerzos normales 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 actuando en

el direcciones 𝑥 y 𝑦 (señalados en las caras verticales y horizontales), respectivamente. El

esfuerzo cortante 𝜏𝑥𝑦 actúa sobre el borde 𝑥 (cara vertical) en la dirección 𝑦. El esfuerzo

cortante 𝜏𝑦𝑥 actúa sobre el borde 𝑦 (cara horizontal) en la dirección 𝑥. El cálculo del

momento de equilibrio de los elementos demuestra que 𝜏𝑥𝑦 es igual en magnitud a 𝜏𝑦𝑥. Por

lo tanto, existen tres esfuerzos independientes y están representados por la matriz de la

columna vector siguiente

102

{𝜎} = {

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦}

(3. 23)

Los esfuerzos dados por la Ecuación anterior se expresa en términos de los grados de

libertad de los desplazamiento nodales. Por lo tanto, una vez que se determinan los

desplazamientos nodales, estos esfuerzos pueden ser evaluados directamente.

Recordemos de resistencia de los materiales que las tensiones principales, que son el

máximo y mínimo esfuerzo normal en el plano de dos dimensiones, se pueden obtener de

las siguientes expresiones:


2+ √(

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2 = 𝜎𝑚𝑎𝑥


2− √(

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2)2


(3. 24)

Además, el ángulo principal 𝜃𝑝, que define la normal de cuya dirección es perpendicular al

plano sobre el que actúa el esfuerzo principal máximo o mínimo, y que se define por

tan 2𝜃𝑝 =(2𝜏𝑥𝑦)


(3. 25)

La figura siguiente muestra los esfuerzos principales 𝜎1 y 𝜎2 y el ángulo 𝜃𝑝. Recordando

que el esfuerzo cortante es cero en los planos que tienen los esfuerzos normales

principales.

Ilustración 54 Esfuerzos principales y sus direcciones

En la figura que se muestra aproximación, se muestra un elemento infinitesimal utilizado

para representar el estado bidimensional general de tensión en algún momento en una

103

estructura. Se muestra el elemento para ser desplazado por cantidades 𝑢 y 𝑣 en la

direcciones 𝑥 y 𝑦 en el punto 𝐴, y para desplazarlo o extenderlo una cantidad adicional

(𝜕𝑢/𝜕𝑥)𝑑𝑥 a lo largo de la línea 𝐴𝐵, y (𝜕𝑣/𝑑𝑦)𝑑𝑦 a lo largo de la línea 𝐶𝐴 en la direcciones

𝑥 y 𝑦, respectivamente. Además, observando las líneas 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶, vemos que el punto 𝐵 se

mueve hacia arriba una cantidad (𝜕𝑣/𝜕𝑥)𝑑𝑥 con respecto a 𝐴, y el punto 𝐶 se mueve hacia

la derecha una cantidad (𝜕𝑢/𝜕𝑦)𝑑𝑦 con respecto a 𝐴.

Ilustración 55 Desplazamientos y rotaciones de un elemento en el plano x-y

De las definiciones generales de deformaciones normales y por cortante y el uso de la figura

anterior, obtenemos

휀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥

휀𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝑦 휀𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧

(3. 26)

Por lo tanto, recordando que las deformaciones 휀𝑥 y 휀𝑦 son los cambios en la longitud por

unidad de longitud de fibras de material paralela a los ejes 𝑥 y 𝑦, respectivamente, cuando

el elemento se somete a deformación. Estas deformaciones son entonces llamados

deformaciones normales (o extensionales o longitudinales). La deformación 𝛾𝑥𝑦 es el

cambio en el ángulo derecho original entre 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 cuando el elemento se somete a

deformación. La deformación 𝛾𝑥𝑦 es conocida como deformación por cortante.

Las deformaciones dadas por las ecuaciones anteriores están representados generalmente

por la matriz de vector columna

{휀} = {

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦}

(3. 27)

104

Para tensión plana, asumimos los siguientes esfuerzos a ser cero:

𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 (3. 28)

Aplicando estas condiciones a la relación esfuerzo/deformación, las deformaciones por

cortante serán 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 0, pero 휀𝑧 ≠ 0. Para la condición de esfuerzo plano, se tiene

entonces

{𝜎} = [𝐷]{휀} (3. 29)

Donde

[𝐷] =𝐸

1 − 𝜈2[

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 2𝜈

2

]

(3. 30)

Se llama matriz de esfuerzo/deformación (o matriz constitutiva), 𝐸 es el módulo de

elasticidad, y 𝜈 es el coeficiente de Poisson.

Para la deformación plana, se asumen las siguientes deformaciones como cero

휀𝑧 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0 (3. 31)

Aplicando estas condiciones a la relación esfuerzo/deformación, los esfuerzos cortantes

serán 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0, pero 𝜎𝑧 ≠ 0. La matriz esfuerzo/deformación se convierte en

[𝐷] =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)= [

1 − 𝜈 𝜈 0𝜈 1 − 𝜈 0

0 01 − 2𝜈

2

]

(3. 32)

Las matrices {𝜎} y {휀} siguen siendo las mismos que para el caso de tensión plana. Las

ecuaciones diferenciales parciales básicas de tensión plana, son

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2=1 + 𝜈

2(𝜕2𝑢

𝜕𝑦2−𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦)

(3. 33)

105

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+𝜕2𝑣

𝜕𝑦2=1 + 𝜈

2(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2−𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦)

3.2.2 Derivación de la matriz de rigidez del elemento triangular de deformación

constante y sus ecuaciones.

Para ilustrar los pasos e introducir las ecuaciones básicas necesarias para el elemento

triangular plano, considere la placa delgada sometida a tensión superficial por cargas de

tracción 𝑇𝑠 en la figura (a).

Ilustración 56 (a) placa en tensión,(b) discretizacion de la placa en elementos triangulares

Para analizar la placa, se considera el elemento triangular básico en la Figura siguiente

tomada de la placa de discretizada, como se muestra en la figura (b). La placa discretizada

se ha dividido en elementos triangulares, cada uno con nodos tales como 𝑖; 𝑗, y 𝑚. Se

utilizan elementos triangulares porque los límites de las masas de forma irregular pueden

estar más aproximados de esta manera, y debido a que las expresiones relacionadas con

el elemento triangular son comparativamente simples. Esta discretización se llama una

generación de malla gruesa si se utilizan elementos de grandes dimensiones. Cada nodo

tiene dos grados de libertad-un desplazamiento 𝑥 y un desplazamiento 𝑦. 𝑢𝑖 y 𝑣𝑖

representan las componentes de desplazamientos en el nodo 𝑖 en las direcciones 𝑥 y 𝑦,

respectivamente.

Ilustración 57 Elemento triangular básico y sus grados de libertad

106

Todas las formulaciones se basan en un sistema de etiquetado en sentido antihorario de

nodos, aunque una formulación basada en un sistema de etiquetado en sentido horario

podría ser utilizada. Recordando que un procedimiento de etiquetado consistente es

necesario para todo el cuerpo para evitar problemas en los cálculos tales como áreas de

elemento negativas. Aquí (𝑥𝑖, 𝑦𝑖),(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) y (𝑥𝑚, 𝑦𝑚) son las coordenadas nodales conocidas

de los nodos 𝑖; 𝑗, y 𝑚, respectivamente.

La matriz de desplazamiento nodal viene dada por

{𝑑} = {

𝑑𝑖𝑑𝑗𝑑𝑚

} =

{

𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑚𝑣𝑚}

(3. 34)

Se selecciona una función de desplazamiento linear por cada elemento

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥 + 𝑎6𝑦

(3. 35)

Donde 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) describen desplazamientos en cualquier punto (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) del elemento.

La función lineal asegura que la compatibilidad será satisfecha. Una función lineal con

criterios de valoración especificados sólo tiene un camino por el que pasar, es decir, a través

de los dos puntos. Por lo tanto, la función lineal asegura que los desplazamientos a lo largo

del borde y en los nodos compartidos por elementos adyacentes, tales como el borde 𝑖 − 𝑗

de los dos elementos mostrados en la figura (b), sean iguales. Usando las ecuaciones,

Anteriores, la función general de desplazamiento {𝜓}, que almacena las funciones 𝑢 y 𝑣,

se puede expresar como

{𝜓} = {𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦𝑎4 + 𝑎5𝑥 + 𝑎6𝑦

} = [1 𝑥 𝑦 0 0 00 0 0 1 𝑥 𝑦]

{

𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5𝑎6}

(3. 36)

Para obtener las 𝑎´𝑠 de las ecuaciones anteriores, comenzamos sustituyendo las

coordenadas de los puntos nodales en las ecuaciones para producir

𝑢𝑖 = 𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑖 + 𝑎3𝑦𝑖 𝑢𝑗 = 𝑢(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑗 + 𝑎3𝑦𝑗

𝑢𝑚 = 𝑢(𝑥𝑚, 𝑦𝑚) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑚 + 𝑎3𝑦𝑚 𝑣𝑖 = 𝑣(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥𝑖 + 𝑎6𝑦𝑖 𝑣𝑗 = 𝑣(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥𝑗 + 𝑎6𝑦𝑗

𝑣𝑚 = 𝑣(𝑥𝑚, 𝑦𝑚) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥𝑚 + 𝑎6𝑦𝑚

(3. 37)

107

Se puede resolver para todas las 𝑎’𝑠 utilizando las primeras tres ecuaciones expresadas en

forma matricial como

{

𝑢𝑖𝑢𝑗𝑢𝑚} = [

1 𝑥𝑖 𝑦𝑖1 𝑥𝑗 𝑦𝑗1 𝑥𝑚 𝑦𝑚

] {

𝑎1𝑎2𝑎3}

(3. 38)

O resolviendo para las 𝑎′𝑠 tenemos

{𝑎} = [𝑥]−1{𝑢} (3. 39)

Donde [𝑥] es la matriz de 3𝑥3 en la ecuación previa. El método de los cofactores es un

método posible de usar para obtener la inversa de [𝑥]. Así pues

[𝑥]−1 =1

2𝐴[

𝛼𝑖 𝛼𝑗 𝛼𝑚𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝛽𝑚𝛾𝑖 𝛾𝑗 𝛾𝑚

]

(3. 40)

Donde

2𝐴 = |

1 𝑥𝑖 𝑦𝑖1 𝑥𝑗 𝑦𝑗1 𝑥𝑚 𝑦𝑚

|

(3. 41)

Es el determinante de [𝑥], cuya evaluación es

2𝐴 = 𝑥𝑖(𝑦𝑗 − 𝑦𝑚) + 𝑥𝑗(𝑦𝑚 − 𝑦𝑖) + 𝑥𝑚(𝑦𝑖 − 𝑦𝑗) (3. 42)

Donde A es el área del triángulo, y:

𝛼𝑖 = 𝑥𝑖𝑦𝑚 − 𝑦𝑗𝑥𝑚 𝛼𝑗 = 𝑦𝑖𝑥𝑚 − 𝑥𝑖𝑦𝑚 𝛼𝑚 = 𝑥𝑖𝑦𝑗 − 𝑦𝑖𝑥𝑗

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

(3. 43)

108

Ya con [𝑥]−1 determinada, se puede expresar la ecuación de manera completa en forma

de matriz expandida

{

𝑎1𝑎2𝑎3} =

1

2𝐴[


] {

𝑢𝑖𝑢𝑗𝑢𝑚}

(3. 44)

De manera similar usando las últimas tres ecuaciones se obtiene

{

𝑎4𝑎5𝑎6} =

1

2𝐴[


] {

𝑣𝑖𝑣𝑗𝑣𝑚}

(3. 45)

Derivando la función general de desplazamiento en 𝑥 𝑢(𝑥, 𝑦) de {𝜓} en términos de las

coordenadas variables 𝑥 y 𝑦, sabiendo las variables 𝑎𝑖, 𝑎𝑗, … , 𝛾𝑚, y desconociendo los

desplazamientos nodales 𝑢𝑖, 𝑢𝑗 𝑦 𝑢𝑚. A partir de las ecuaciones.

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑎4 + 𝑎5𝑥 + 𝑎6𝑦

(3. 46)

Expresada en forma matricial, tenemos

{𝑢} = [1 𝑥 𝑦] {

𝑎1𝑎2𝑎3}

(3. 47)

Substituyendo la matriz {𝑎} en la ecuación anterior obtenemos

{𝑢} =1

2𝐴[1 𝑥 𝑦] [


] {

𝑢𝑖𝑢𝑗𝑢𝑚}

(3. 48)

Expandiendo la ecuación anterior, tenemos

{𝑢} =1

2𝐴[1 𝑥 𝑦] {

𝛼𝑖𝑢𝑖 + 𝛼𝑗𝑢𝑗 + 𝛼𝑚𝑢𝑚𝛽𝑢𝑖 + 𝛽𝑗𝑢𝑗 + 𝛽𝑚𝑢𝑚𝛾𝑖𝑢𝑖 + 𝛾𝑗𝑢𝑗 + 𝛾𝑚𝑢𝑚

}

(3. 49)

109

Desarrollando la matriz y reordenando

𝑢(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴{(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑥 + 𝛾𝑖𝑦)𝑢𝑖 + (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗𝑥 + 𝛾𝑗𝑦)𝑢𝑗 + (𝛼𝑚 + 𝛽𝑚𝑥 + 𝛾𝑚𝑦)𝑢𝑚}

(3. 50)

De manera similar, remplazando 𝑢𝑖 por 𝑣𝑖, 𝑢𝑗 por 𝑣𝑗 y 𝑢𝑚 por 𝑣𝑚 se obtiene el

desplazamiento en dirección 𝑦

𝑣(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴{(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑥 + 𝛾𝑖𝑦)𝑣𝑖 + (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗𝑥 + 𝛾𝑗𝑦)𝑣𝑗 + (𝛼𝑚 + 𝛽𝑚𝑥 + 𝛾𝑚𝑦)𝑣𝑚}

(3. 51)

Para expresar las ecuaciones anteriores para 𝑢 y 𝑣 en forma simple, primero definimos

𝑁𝑖 =1

2𝐴(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑥 + 𝛾𝑖𝑦)

𝑁𝑗 =1

2𝐴(𝛼𝑗 + 𝛽𝑗𝑥 + 𝛾𝑗𝑦)

𝑁𝑚 =1

2𝐴(𝛼𝑚 + 𝛽𝑚𝑥 + 𝛾𝑚𝑦)

(3. 52)

Así se pueden reescribir las ecuaciones como

𝑢(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴{𝑁𝑖𝑢𝑖 +𝑁𝑗𝑢𝑗 + 𝑁𝑚𝑢𝑚}

𝑣(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴{𝑁𝑖𝑣𝑖 +𝑁𝑗𝑣𝑗 + 𝑁𝑚𝑣𝑚}

(3. 53)

Expresando estas ecuaciones en forma matricial se obtiene

{𝜓} = {𝑢(𝑥, 𝑦)

𝑣(𝑥, 𝑦)} = {

𝑁𝑖𝑢𝑖 +𝑁𝑗𝑢𝑗 +𝑁𝑚𝑢𝑚𝑁𝑖𝑣𝑖 +𝑁𝑗𝑣𝑗 +𝑁𝑚𝑣𝑚

} (3. 54)

O

{𝜓} = [𝑁𝑖 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑚 0

0 𝑁𝑖 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑚]

{


(3. 55)

110

Finalmente escribiendo de manera abreviada las matrices

{𝜓} = [𝑁]{𝑑} (3. 56)

Donde N es

[𝑁] = [𝑁𝑖 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑚 0

0 𝑁𝑖 0 𝑁𝑗 0 𝑁𝑚]

(3. 57)

Han sido expresados los desplazamientos generales como las funciones de {𝑑}, en

términos de las funciones de forma de 𝑁𝑖; 𝑁𝑗 y 𝑁𝑚. Las funciones de forma representan la

forma de {𝜓}cuando se trazan sobre la superficie de un elemento típico. Por ejemplo, 𝑁𝑖

representa la forma de la variable 𝑢 cuando se trazan sobre la superficie del elemento para

𝑢𝑖 = 1 y todos los demás grados de libertad iguales a cero; es decir, 𝑢𝑗 = 𝑢𝑚 = 𝑣𝑖 = 𝑣𝑗 =

𝑣𝑚 = 0. Además, 𝑢(𝑥, 𝑦) debe ser igual a 𝑢𝑖.Por lo tanto, debemos tener 𝑁𝑖 = 1, 𝑁𝑗 = 0,

y 𝑁𝑚 = 0 a (𝑥𝑖. 𝑦𝑖). Del mismo modo, 𝑢(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) = 𝑢𝑗Por lo tanto, 𝑁𝑖 = 0, 𝑁𝑗 = 1, y 𝑁𝑚 = 0 a

(𝑥𝑗, 𝑦𝑗). La Figura siguiente muestra la variación de la forma de 𝑁𝑖 trazada sobre la superficie

de un elemento típico. Tomando en cuenta que 𝑁𝑖 no es igual a cero, excepto a lo largo de

una línea que une e incluye los nodos 𝑗 y 𝑚.

Ilustración 58 Variación de N sobre la superficie x-y de un elemento típico

Finalmente, 𝑁𝑖 +𝑁𝑗 + 𝑁𝑚 = 1 para todos las ubicaciones en 𝑥 y 𝑦 Y en la superficie del

elemento de modo que 𝑢 y 𝑣 producirá un valor constante cuando se produce el

desplazamiento de cuerpo rígido. Las funciones de forma también se utilizan para

determinar las fuerzas del cuerpo y de la superficie en los nodos de elementos, como se

describe en la Sección siguiente.

Para definir las relaciones deformación/desplazamiento y esfuerzo/deformación, se

expresan las deformaciones y los esfuerzos en términos de desplazamientos nodales

desconocidos.

111

Deformaciones del elemento

Las deformaciones asociadas con los elementos bidimensionales están dadas por

{휀} = {

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦} =

{

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑢

𝑑𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥}

(3. 58)

Usando las ecuaciones para el desplazamiento se tiene

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑢,𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥(𝑁𝑖𝑢𝑖 +𝑁𝑗𝑢𝑗 +𝑁𝑚𝑢𝑚)

(3. 59)

O

𝑢,𝑥 = 𝑁𝑖,𝑥 +𝑁𝑗,𝑥𝑢𝑗 +𝑁𝑚,𝑥𝑈𝑚 (3. 60)

Donde la coma seguida de una variable indica diferenciación con respecto a esa variable.

Se ha utilizado 𝑢𝑖,𝑥 = 0 porque 𝑢𝑖 = 𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) es un valor constante; Del mismo modo, 𝑢𝑗,𝑥 =

0 y 𝑢𝑚,𝑥 = 0.

Usando las ecuaciones de forma

𝑁𝑖 =1


𝑁𝑗 =1


𝑁𝑚 =1


(3. 61)

Se puede evaluar las ecuaciones anteriores como sigue

𝑁𝑖,𝑥 =1

2𝐴

𝜕

𝜕𝑥(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑥 + 𝛾𝑖𝑦) =

𝛽𝑖2𝐴

(3. 62)

112

De manera similar

𝑁𝑗,𝑥 =𝛽𝑗

2𝐴 𝑦 𝑁𝑚,𝑥 =

𝛽𝑚2𝐴

(3. 63)

Y sustituyendo en

𝑢,𝑥 = 𝑁𝑖,𝑥 +𝑁𝑗,𝑥𝑢𝑗 +𝑁𝑚,𝑥𝑈𝑚 (3. 64)

Se tiene

𝜕𝑢

𝜕𝑥=1

2𝐴(𝛽𝑖𝑢𝑖 + 𝛽𝑗𝑢𝑗 + 𝛽𝑚𝑢𝑚)

(3. 65)

Así de la misma manera se obtiene

𝜕𝑢

𝜕𝑥=1

2𝐴(𝛾𝑖𝑣𝑖 + 𝛾𝑗𝑣𝑗 + 𝛾𝑚𝑣𝑚)

𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥=1

2𝐴(𝛾𝑖𝑢𝑖 + 𝛽𝑖𝑣𝑖 + 𝛾𝑗𝑢𝑗 + 𝛽𝑗𝑣𝑗 + 𝛾𝑚𝑢𝑚 + 𝛽𝑚𝑣𝑚)

(3. 66)

Sustituyendo estas ecuaciones en la matriz {휀} se tiene

{휀} =1

2𝐴[

𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗

0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚

]

{


(3. 67)

O

{휀} = [𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑚] {

𝑑𝑖𝑑𝑗𝑑𝑚

}

(3. 68)

113

Donde

[𝐵𝑖] =1

2𝐴[

𝛽𝑖 00 𝛾𝑖𝛾𝑖 𝛽𝑖

] [𝐵𝑗] =1

2𝐴[

𝛽𝑗 0

0 𝛾𝑗𝛾𝑗 𝛽𝑗

] [𝐵𝑚] =1

2𝐴[

𝛽𝑚 00 𝛾𝑚𝛾𝑚 𝛽𝑚

]

(3. 69)

Finalmente en forma de matriz simplificada se puede escribir como

{휀} = [𝐵]{𝑑} (3. 70)

Donde

[𝐵] = [𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑚] (3. 71)

La matriz B es independiente de las coordenadas x e y. Depende exclusivamente de las

coordenadas nodales del elemento. Las tensiones en las ecuaciones serán constante; por

lo tanto, el elemento se llama un triángulo de deformación constante (CST).

Relación esfuerzo/deformación

La relación esfuerzo deformación está dada de la siguiente manera

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦} = [𝐷] {

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦}

(3. 72)

donde [𝐷] está dada anteriormente para problemas de esfuerzo plano y para los problemas

de deformación plana. Utilizando {휀} = [𝐵]{𝑑} en {


휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦}, se obtienen las

tensiones en el plano en términos de los grados de libertad nodales desconocidas como

{𝜎} = [𝐷][𝐵]{𝑑} (3. 73)

Donde los esfuerzos {𝜎} son constantes en cualquier parte dentro del elemento.

114

Utilizando el principio de mínima energía potencial, se pueden generar las ecuaciones para

un elemento típico triangular de tensión constante. Tomando en cuenta que para el

elemento básico de tensión plana, la energía potencial total es ahora una función del

desplazamiento nodal 𝑢𝑖, 𝑣𝑖 , 𝑢𝑗… , 𝑣𝑚 (es decir,{𝑑} tal que

𝜋𝑝 = 𝜋𝑝(𝑢𝑖, 𝑣𝑖 , 𝑢𝑗… , 𝑣𝑚) (3. 74)

Por lo tanto el total de la energía potencial está dado por

𝜋𝑝 = 𝑈 + Ω𝑏 + Ω𝑝 + Ω𝑠 (3. 75)

Donde la energía de deformación está dada por

𝑈 =1

2∫∫ ∫{휀}𝑇{𝜎}𝑑𝑉

𝑉

(3. 76)

O sustituyendo {


휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦} se tiene

𝑈 =1

2∫∫ ∫{휀}𝑇[𝐷]{휀}𝑑𝑉

𝑉

(3. 77)

La energía potencial de las fuerzas en el cuerpo está dada por

Ω𝑏 = −∫∫ ∫{𝜓}𝑇{𝑋}𝑑𝑉

𝑉

(3. 78)

Donde {𝜓} es la función general del desplazamiento y {𝑋} es la matriz de densidad.

La energía potencial de las cargas concentradas es:

Ω𝑝 = −{𝑑}𝑇{𝑃} (3. 79)

115

Donde {𝑑} representa los desplazamientos nodales y {𝑃} representa las cargas

concentradas externas.

La energía potencial de las cargas distribuidas respecto a su superficie de desplazamiento

es

Ω𝑠 = −∫∫{𝜓𝑠}𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆

𝑆

(3. 80)

Donde {𝑇𝑆} representa la tracción en la superficie,{𝜓𝑠} representa el campo de

desplazamientos superficiales a través del cual actúa la tracción superficial, y 𝑆 representa

la superficie sobre la cual las tracciones {𝑇𝑆} actúan

Sustituyendo estas ecuaciones en 𝜋𝑝 y usando {𝜓} = [𝑁]{𝑑} y {휀} = [𝐵]{𝑑}se tiene

𝜋𝑝 =1

2 ∫∫ ∫{𝑑}𝑇[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]{𝑑}𝑑𝑉 − ∫∫ ∫{𝑑}𝑇[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉

𝑉

− {𝑑}𝑇{𝑃}

𝑉

−∫∫{𝑑}𝑇[𝑁𝑠]𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆

𝑆

(3. 81)

Los desplazamientos nodales {𝑑} son independientes de las coordenadas generales 𝑥 − 𝑦,

asi que {𝑑} puede ser sacada de las integrales, entonces

𝜋𝑝 =1

2 {𝑑}𝑇∫∫ ∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]{𝑑}𝑑𝑉 − {𝑑}𝑇∫∫ ∫[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉

𝑉

− {𝑑}𝑇{𝑃}

𝑉

− {𝑑}𝑇∫∫[𝑁𝑠]𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆

𝑆

(3. 82)

De esta ecuación se puede observar que los últimos tres términos representan el sistema

de cargas totales {𝑓} en un elemento, es decir

{𝑓} = ∫∫ ∫[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉

𝑉

+ {𝑃} + ∫∫[𝑁𝑠]𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆

𝑆

(3. 83)

116

Donde el primer, segundo, y tercer términos en el lado derecho de la ecuación representan

las fuerzas del cuerpo, las fuerzas nodales concentró, y el tracciones de superficie,

respectivamente.

𝜋𝑝 =1

2 {𝑑}𝑇∫∫ ∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]{𝑑}𝑑𝑉 − {𝑑}𝑇{𝑓}

𝑉

(3. 84)

Derivando parcialmente 𝜋𝑝 con respecto a los desplazamientos nodales desde 𝜋𝑝 = 𝜋𝑝(𝑑)

se obtiene

𝜕𝜋𝑝𝜕{𝑑}

= [∫∫ ∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉

𝑉

] {𝑑} − {𝑓} = 0

(3. 85)

Reescribiendo esta ecuación se tiene

∫∫ ∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉

𝑉

{𝑑} = {𝑓}

(3. 86)

De aquí se observa que

[𝑘] = ∫∫ ∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉

𝑉

(3. 87)

Para un elemento de espesor constante, t, se tiene

[𝑘] = 𝑡∫∫[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴

(3. 88)

Donde el integrando no es una función de 𝑥 o 𝑦 para el elemento triangular de deformación

constante y por lo tanto se puede sacar de la integral por lo tanto

[𝑘] = 𝑡𝐴[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵] (3. 89)

117

De esta ecuación se puede ver qué [𝑘] es una función de las coordenadas nodales y de las

propiedades mecánicas 𝐸 y 𝜈 . La expansión de esta ecuación para un elemento es

[𝑘] = [

𝑘𝑖𝑖 𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑖𝑚𝑘𝑗𝑖 𝑘𝑗𝑗 𝑘𝑗𝑚𝑘𝑚𝑖 𝑘𝑚𝑗 𝑘𝑚𝑚

]

(3. 90)

Donde las submatrices de 2𝑥2 están dadas por

[𝑘𝑖𝑖] = [𝐵𝑖]𝑇[𝐷][𝐵𝑖]𝑡𝐴

[𝑘𝑖𝑗] = [𝐵𝑖]𝑇[𝐷][𝐵𝑗]𝑡𝐴

[𝑘𝑖𝑚] = [𝐵𝑖]𝑇[𝐷][𝐵𝑚]𝑡𝐴

(3. 91)

En general, la ecuación {𝑓} = ∫∫ ∫[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉𝑉+ {𝑃} + ∫∫ [𝑁𝑠]

𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆𝑆 debe ser utilizada

para evaluar las fuerzas de superficie y corporales. Cuando la ecuación se utiliza para

evaluar las fuerzas de superficie y el cuerpo, estas fuerzas se denominan cargas

consistentes porque se derivan desde el enfoque consistente (energía). Para los elementos

de orden superior, por lo general con funciones de desplazamiento cuadráticas o cúbicas,

se debe utilizar. Sin embargo, para el elemento de CST, las fuerzas del cuerpo y de la

superficie se pueden agrupar en los nodos con resultados equivalentes y se añaden a

cualquier fuerza nodal concentrada para obtener la matriz fuerza elemento. Las ecuaciones

de los elementos son entonces dados por

{

𝑓1𝑥𝑓1𝑦𝑓2𝑥𝑓2𝑦𝑓3𝑥𝑓3𝑦}

= [

𝑘11 𝑘12 ⋯ 𝑘16𝑘21 𝑘22 ⋯ 𝑘26⋮𝑘61

⋮𝑘62

⋮⋯ 𝑘66

]

{

𝑢1𝑣1𝑢2𝑣2𝑢3𝑣3}

(3. 92)

Obtenemos la matriz de rigidez de la estructura global y las ecuaciones usando el método

directo de rigidez

[𝐾] =∑[𝑘𝑒]

𝑁

𝑒=1

(3. 93)

Y

{𝐹} = [𝐾]{𝑑} (3. 94)

118

Todos los elementos de la matriz de rigidez están definidos en términos del sistema global

de coordenadas 𝑥 − 𝑦, {𝑑} es ahora la matriz del desplazamiento total de la estructura, y

[𝐹] =∑[𝑓(𝑒)]

𝑁

𝑒=1

(3. 95)

Es la columna de las cargas nodales globales equivalentes obtenidas por agrupar las

fuerzas en el cuerpo y las cargas distribuidas en los nodos.

En la formulación de la matriz de rigidez del elemento, la matriz se ha derivado de una

orientación general en coordenadas globales. La ecuación, entonces se aplica para todos

los elementos. Todas las matrices de elementos se expresan en la orientación global de

coordenadas. Por lo tanto, ninguna transformación de ecuaciones locales a ecuaciones

globales es necesaria.

3.2.3 Fuerzas superficiales y de cuerpo

Usando el primer término de la ecuación de cargas totales {𝑓}, se puede evaluar las

fuerzas en el cuerpo en los nodos

𝑓𝑏 = ∫∫ ∫[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉

𝑉

(3. 96)

Donde

{𝑋} = {𝑋𝑏𝑌𝑏}

(3. 97)

Y 𝑋𝑏 y 𝑌𝑏 son las densidades de peso en las direcciones 𝑥 y 𝑦 en unidades de fuerza/unidad

de volumen, estas fuerzas pueden surgir, por ejemplo, a causa de peso real del cuerpo (las

fuerzas gravitacionales), velocidad angular (llamada fuerza centrífugas del cuerpo), o de las

fuerzas de inercia en la dinámica.

[𝑁] Es una función linear de 𝑥 y 𝑦; por lo tanto, la integración debe llevarse a cabo. La

integración se simplifica si el origen de las coordenadas se elige en el centroide del

elemento. Por ejemplo, considerando el elemento con coordenadas que se muestran en la

Figura a continuación.

119

Ilustración 59 elemento con ejes coordinados en el centroide

Con el origen de la coordenada colocada en el centroide del elemento, tenemos, desde la

definición del centroide,∫∫𝑥𝑑𝐴 =∫∫𝑦𝑑𝐴 y por lo tanto

∫∫𝛽𝑖𝑥𝑑𝐴 =∫∫𝛾𝑖𝑦𝑑𝐴 = 0 (3. 98)

Y

𝛼𝑖 = 𝛼𝑗 = 𝛼𝑚 =2𝐴

3

(3. 99)

Sustituyendo estas ecuaciones en 𝑓𝑏 = ∫∫ ∫[𝑁]𝑇{𝑋}𝑑𝑉𝑉, la fuerza del cuerpo en el nodo 𝑖

está dad por

{𝑓𝑏𝑖 = {𝑋𝑏𝑌𝑏}𝑡𝐴

3

(3. 100)

De manera similar considerando las fuerzas del cuerpo en los nodos 𝑗 y 𝑚, se obtiene el

mismo resultado que del nodo anterior. En forma matricial, las fuerzas del cuerpo de todo

el elemento son

{𝑓𝑏} =

{

𝑓𝑏𝑖𝑥𝑓𝑏𝑖𝑦𝑓𝑏𝑗𝑥𝑓𝑏𝑗𝑦𝑓𝑏𝑚𝑥𝑓𝑏𝑚𝑦}

=

{

𝑋𝑏𝑌𝑏𝑋𝑏𝑌𝑏𝑋𝑏𝑌𝐵}

𝐴𝑡

3

(3. 101)

120

De los resultados de la Ecuación anterior, podemos concluir que las fuerzas del cuerpo se

distribuyen a los nodos en tres partes iguales. Los signos dependen de las direcciones de

𝑋𝑏 y 𝑌𝑏 con respecto a las coordenadas globales 𝑥 y 𝑦 positivas. Para el caso de peso

corporal solamente, debido a la fuerza gravitacional asociado con la dirección 𝑦, sólo

tenemos 𝑌𝑏(𝑋𝑏 = 0).

5. Fuerzas en la superficie

Usando el tercer término de la ecuación de cargas totales {𝑓}, se puede evaluar las fuerzas

en la superficie en los nodos

{𝑓𝑠} = ∫∫[𝑁𝑠]𝑇{𝑇𝑆}𝑑𝑆

𝑆

(3. 102)

Recordando que el subíndice S en [𝑁𝑆] en la ecuación significa las funciones de forma

evaluados a lo largo de la superficie donde se aplica la tracción superficial.

Ahora se ilustrará el uso de la ecuación considerando el ejemplo de una tensión uniforme

𝑝 (por ejemplo, en libras por pulgada cuadrada) que actúa entre los nodos 1 y 3 en el borde

del elemento 1 en la Figura (b).

Ilustración 60 (a) elementos con traccion superficial uniforme en un borde, (b) elemento uno con traccion superficial 1 a lo largo del borde 1-3

En la ecuación, la tracción de la superficie se convierte ahora

{𝑇𝑠} = {𝑝𝑥𝑝𝑦} = {

𝑝0}

(3. 103)

121

Y

[𝑁𝑠]𝑇 =

[ 𝑁1 00 𝑁1𝑁20𝑁30

0𝑁20𝑁3]

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑦

(3. 104)

Como la tracción superficial 𝑝 actúa a lo largo del borde en 𝑥 = 𝑎 y en 𝑦 = 𝑦 de 𝑦 = 0 a

𝑦 = 𝐿, se evalúan las funciones de forma en 𝑥 = 𝑎 y 𝑦 = 𝑦 y se integran sobre la superficie

de 0 a 𝐿 en la dirección 𝑦 y de 0 a 𝑡 en la dirección 𝑧, como se muestra en la ecuación

siguiente usando las ecuaciones anteriores.

{𝑓𝑠} = ∫ ∫

[ 𝑁1 00 𝑁1𝑁20𝑁30

0𝑁20𝑁3]

{𝑝0} 𝑑𝑧𝑑𝑦

𝐿

0

𝑡

0

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑦

(3. 105)

Simplificando, se obtiene

{𝑓𝑠} = 𝑡 ∫

[ 𝑁1𝑝0𝑁2𝑝0𝑁3𝑝0 ]

𝑑𝑦𝐿

0

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑦

(3. 106)

Ahora de las ecuaciones

𝑁𝑖 =1


𝑁𝑗 =1


𝑁𝑚 =1


(3. 107)

Con 𝑖 = 1 se tiene

𝑁1 =1

2𝐴(𝛼1 + 𝛽1𝑥 + 𝛾1𝑦)

(3. 108)

122

Por conveniencia se selecciona el siguiente sistema coordinado

Ilustración 61 elemento sujeto a tracción "p" en un borde

Usando

𝛼𝑖 = 𝑥𝑖𝑦𝑚 − 𝑦𝑗𝑥𝑚 (3. 109)

O con 𝑖 = 1, 𝑗 = 2 𝑦 𝑚 = 3

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑦2𝑥3 (3. 110)

Sustituyendo las coordenadas se tiene

𝛼1 = 0 (3. 111)

De manera similar para

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 𝑎

(3. 112)

Ahora sustituyendo en

𝑁1 =1

2𝐴(𝛼1 + 𝛽1𝑥 + 𝛾1𝑦)

(3. 113)

123

Se tiene

𝑁1 =𝑎𝑦

2𝐴

(3. 114)

De manera similar para 𝑁2 y 𝑁3

𝑁2 =𝐿(𝑎 − 𝑥)

2𝐴

𝑁3 =𝐿𝑥 − 𝑎𝑦

2𝐴

(3. 115)

Sustituyendo los valores de 𝑁1, 𝑁2 y 𝑁3 en

{𝑓𝑠} = 𝑡∫

[ 𝑁1𝑝0𝑁2𝑝0𝑁3𝑝0 ]

𝑑𝑦𝐿

0

(3. 116)

Y evaluando en 𝑥 = 𝑎 y 𝑦 = 𝑦 (son las coordenadas correspondientes a la ubicación de la

carga superficial 𝑝), e integrando con respecto a 𝑦 se tiene

{𝑓𝑠} =𝑡

2 (𝑎𝐿2 )

[ 𝑎 (

𝐿2

2)𝑝

000

(𝐿2 −𝐿2

2)𝑎𝑝

0 ]

(3. 117)

La figura siguiente ilustra los resultados para la carga de superficie equivalente a las fuerzas

nodales para ambos elementos 1 y 2.

124

Ilustración 62 Fuerzas nodales equivalentes de la tracción superficial

Podemos concluir que para un triángulo de deformación constante, una carga distribuida

en un borde del elemento puede ser tratada como cargas concentradas que actúan en los

nodos asociados con el borde cargado haciendo los dos tipos de carga estáticamente

equivalentes.

3.2.4 Ejemplo: solución a un problema de esfuerzo plano por el método del

elemento finito.

Para ilustrar el método del elemento finito para un problema de esfuerzo plano, se presenta

una solución detallada

Para una placa delgada sujeta a tracción, determine los desplazamientos nodales y los

esfuerzos en los elementos. El espesor de la placa es 𝑡 = 1 𝑖𝑛, 𝐸 = 30 × 106 𝑝𝑠𝑖 y 𝜈 = 0.30

Ilustración 63 Placa delgada sujeta a esfuerzo de tensión

125

6. Solución

Primero se discretiza la placa en dos elementos

Ilustración 64 Discretización de la placa

Nota: Lo tosco de la malla no arrojará un verdadero comportamiento predicho de la placa

como lo haría una malla más fina, particularmente cerca del borde fijo. Sin embargo, ya que

se está llevando a cabo una solución a mano, vamos a utilizar una discretización gruesa

para simplificar.

En la figura anterior la tracción en la superficie se ha convertido en fuerzas nodales de la

siguiente manera:

𝐹 =1

2𝑇𝐴

𝐹 =1

2(1000 𝑝𝑠𝑖)(1 𝑖𝑛 × 10 𝑖𝑛)

𝐹 = 5000 𝑙𝑏

La ecuación gobernante es

{𝐹} = [𝐾]{𝑑}

Expandiendo las matrices

{

𝐹1𝑥𝐹1𝑦𝐹2𝑥𝐹2𝑦𝐹3𝑥𝐹3𝑦𝐹4𝑥𝐹4𝑦}

=

{

𝑅1𝑥𝑅1𝑦𝑅2𝑥𝑅2𝑦50000

50000 }

= [𝐾]

{

𝑑1𝑥𝑑1𝑦𝑑2𝑥𝑑2𝑦𝑑3𝑥𝑑3𝑦𝑑4𝑥𝑑4𝑦}

= [𝐾]

{

0000𝑑3𝑥𝑑3𝑦𝑑4𝑥𝑑4𝑦}

126

Donde [𝐾] es una matriz de 8 × 8 antes de eliminar filas y columnas para considerar las

condiciones de apoyo de limites fijos en los nodos 1 y 2.

Se ensambla la matriz global de rigidez por la superposición de las matrices de rigidez de

cada elemento. La matriz de rigidez por elemento es

[𝐾] = 𝑡𝐴[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]

En la figura siguiente se muestra el elemento 1, que tiene como coordenadas 𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 =0, 𝑥𝑗 = 20, 𝑌𝑗 = 10, 𝑥𝑚 = 0, 𝑦𝑚 = 10 ya que los ejes coordenados se instalan en el nodo 1

Ilustración 65 Elemento 1 de la placa discreteada

Y

𝐴 =1

2𝑏ℎ

𝑎 =1

2(20)(10) = 100 𝑖𝑛2

Ahora se evalúa la matriz [𝐵]

[𝐵] =1

2𝐴[

𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗

0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚

]

Donde

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 10 − 10 = 0

𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 10 − 0 = 10

𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 10 = −10

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 0 − 20 = −20

𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 0 = 0

𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 20 − 0 = 20

Sustituyendo en la matriz, se tiene

[𝐵] =1

200[0 0 100 −20 0−20 0 0

0 −10 00 0 2010 20 −10

]1

𝑖𝑛

127

Para esfuerzo plano la matriz [𝐷] por conveniencia se expresa como

[𝐷] =𝐸

1 − 𝜈2[

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

]

Con 𝜈 = 0.3 y 𝐸 = 30 × 106 𝑝𝑠𝑖 se tiene

[𝐷] =30 × 106

0.91[1 0.3 00.3 1 00 0 . 35

] 𝑝𝑠𝑖

Entonces

[𝐵]𝑇[𝐷] =30 × 106

(200)0.91

[ 0 0 −200 −20 0100−100

00020

01020−10]

[1 0.3 00.3 1 00 0 . 35

]

Simplificando

[𝐵]𝑇[𝐷] =0.15 × 106

0.91

[ 0 0 −7−6 −20 0100−106

30−320

03.57

−3.5]

Usando estas ecuaciones para ensamblar la matriz de rigidez por elemento [𝐾] para el

elemento 1

[𝐾] = (1)(100)((. 15)(106))

. 91

[ 0 0 −7−6 −20 0100−106

30−320

03.57

−3.5]

×1

200[0 0 100 −20 0−20 0 0

0 −10 00 0 2010 20 −10

]

Simplificando

𝑢1 𝑣1 𝑢3 𝑣3 𝑢2 𝑣2

[𝐾] =75000

. 91

[ 140 0 00 400 −600−70−14070

−60060−400

1000

−10060

−70 −140 700 60 −40003570−35

−10070240−130

60−35−130435 ]

𝑙𝑏

𝑖𝑛

Donde el renglón superior indica el orden nodal de los grados de libertad en la matriz de

rigidez del elemento uno.

128

En la figura siguiente se muestra el elemento 2, donde: 𝑥𝑖 = 0, 𝑦𝑖 = 0, 𝑥𝑗 = 20, 𝑦𝑗 = 0, 𝑥𝑚 =

20, 𝑌𝑚 = 10

Ilustración 66 Elemento dos de la placa discretizada

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0 − 10 = −10

𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 10 − 0 = 10

𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 0 = 0

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 20 − 20 = 0

𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 20 = −20

𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 20 − 0 = 20

Evaluando para la matriz [𝐵], se tiene

[𝐵] =1

200[−10 0 100 0 00 −10 −20

0 0 0−20 0 2010 20 0

]1

𝑖𝑛

La matriz [𝐷] esta dada de nuevo por

[𝐷] =30 × 106

0.91[1 0.3 00.3 1 00 0 . 35

] 𝑝𝑠𝑖

Entonces

[𝐵]𝑇[𝐷] =30 × 106

(200)0.91

[ −10 0 00 0 −1010000

0−20020

−2010200 ]

[1 0.3 00.3 1 00 0 . 35

]

Simplificando

[𝐵]𝑇[𝐷] =0.15 × 106

0.91

[ −10 −3 00 0 −3.510−606

3−20020

−73.570 ]

129

Finalmente se obtiene la matriz de rigidez para el elemento 2

[𝐾] = (1)(100)((. 15)(106))

. 91

[ 0 0 −7−6 −20 0100−106

30−320

03.57

−3.5]

×1

200[0 0 100 −20 0−20 0 0

0 −10 00 0 2010 20 −10

]

Esta ecuación se simplifica de la siguiente manera

𝑢1 𝑣1 𝑢4 𝑣4 𝑢3 𝑣3

[𝐾] =75000

. 91[

[ 100 0 −1000 35 70

−100600−60

70−35−700

240−130−14060

60 0 −60−35 −70 0−13043570−400

−140701400

60−4000400 ]

𝑙𝑏

𝑖𝑛

Donde los grados de libertad en la matriz de rigidez del elemento 2 se muestran encima de

las columnas de la ecuación.

Reescribiendo las matrices de rigidez de los elementos, expandiendo y reorganizado según

los grados de libertad nodales de la matriz total de K; y factorizando una constante 5, se

obtiene.

Para el elemento 1

𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4

00000000

00000000

0070714014

000201220120

0071287268014

00142026481228

000128012800

001401428028

91.

375000k

130

Para el elemento 2

𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4

Usando la superposición de las matrices de rigidez de los elementos ahora que el orden de

los grados de libertad son los mismos, obtenemos la matriz total de la rigidez global como

𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4

8726801400712

26481228001420

801280000012

142802800140

00000000

00000000

7140140070

122012000020

91.

375000k

8726801400712

26481228001420

8012870714026

14280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91.

375000k

131

Sustituyendo [𝐾] en {𝐹} = [𝐾]{𝑑} se tiene

Aplicando las condiciones de frontera por la eliminación de las filas y columnas

correspondientes a las filas y columnas iguales a cero en la matriz de desplazamiento.

{

50000

50000

} =375000

0.91[

48 0 −28 140 87 12 −80−2814

1280

48 −26−26 87

]

{

𝑑3𝑥𝑑3𝑦𝑑4𝑥𝑑4𝑦}

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 𝑘−1 se tiene

{


=375000

0.91[

48 0 −28 140 87 12 −80−2814

1280

48 −26−26 87

]

−1

{

50000

50000

}

Resolviendo para los desplazamientos, se obtiene

{


=0.91

75{

0.050240.000340.054700.00878

}

Simplificando la ecuación anterior los desplazamientos finales están dados por

{


= {

609.64.2663.7104.1

} × 10−6𝑖𝑛

y4

x4

y3

x3

y2

x2

y1

x1

d

d

d

d

0

0

0

0

8726801400712

26481228001420

8012870714026

14280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91.

375000

0

5000

0

5000

R

R

R

R

132

Comparando esta solución por elemento finito con la solución analítica, como primera

aproximación, el desplazamiento axial dado de la siguiente manera para una barra de una

dimensión sujeta a fuerza de tensión.

𝛿 =𝑃𝐿

𝐴𝐸=

(10000)20

10(30 × 106)= 670 × 106𝑖𝑛

Por lo tanto, los componentes en 𝑥 del desplazamiento nodal para una placa de dos

dimensiones parecen estar aproximados teniendo en cuenta el refinamiento de la malla.

Ahora se calcularán los esfuerzos en cada elemento por medio de la siguiente ecuación

{𝜎} = [𝐷][𝐵]{𝑑}

En general, para el elemento 1, entonces se tiene

{𝜎} =𝐸

1 − 𝜈2[

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

] × (1

2𝐴) [

𝛽1 0 𝛽30 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾3

0 𝛽2 0𝛾3 0 𝛾2𝛽3 𝛾2 𝛽2

]

{

𝑑1𝑥𝑑1𝑦𝑑3𝑥𝑑3𝑦𝑑2𝑥𝑑2𝑦}

Sustituyendo valores numéricos para [𝐵], [𝐷] y {𝑑}, se obtiene

{𝜎} =30 × 106(10−6)

0.01(200)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35

] × [0 0 100 −20 0−20 0 0

0 −10 00 0 2010 20 −10

]

{

00

609.64.200 }

Simplificando se obtiene

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦} = {

10053012.4

} 𝑝𝑠𝑖

De la misma manera para el elemento 2 se tiene

{𝜎} =𝐸

1 − 𝜈2[

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

] × (1

2𝐴) [

𝛽1 0 𝛽40 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾4

0 𝛽3 0𝛾4 0 𝛾3𝛽4 𝛾3 𝛽3

]

{

𝑑1𝑥𝑑1𝑦𝑑3𝑥𝑑3𝑦𝑑4𝑥𝑑4𝑦}

133

Sustituyendo valores numéricos para [𝐵], [𝐷] y {𝑑}, se obtiene

{𝜎} =30 × 106(10−6)

0.01(200)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35

] × [−10 0 100 0 00 −10 −20

0 0 0−20 0 2010 20 0

]

{

00

663.7104.1609.64.2 }

Simplificando se obtiene

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦} = {

995−1.2−2.4

} 𝑝𝑠𝑖

Las tensiones principales ahora pueden determinarse a partir de


2+ √(

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2)2



2− √(

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2)2


Y el ángulo director hecha por uno de los esfuerzos principales se puede determinar a partir

de

tan 2𝜃𝑝 =(2𝜏𝑥𝑦)


Se determinan los estos esfuerzos principales para el elemento 2 (los de elemento 1 serán

similares) de la siguiente manera


2+ √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜎1 =995 + (−1.2)

2+ √(

995 − (−1.2)

2)

2

+ (−2.4)2

𝜎1 = 497 + 498 = 995 𝑝𝑠𝑖

𝜎2 =995 + (−1.2)

2− 498 = −1.1

Por lo tanto el principal ángulo es

𝜃𝑝 =1

2tan−1[

2𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦]

𝜃𝑝 =1

2tan−1 [

2(−2.4)

995 − (−1.2)] = 0°

134

Capítulo 4.- Análisis Lineal de la Fractura.

En mecánica de la fractura lineal elástica, las fracturas se analizan en los cuerpos en los

que su comportamiento a la deformación puede suponerse lineal elástico de acuerdo con

la ley generalizada de Hooke. Aparte de los materiales muy frágiles, existen no linealidades

físicas o geométricas en casi todas las estructuras, sobre todo en las muescas y puntas de

grieta. En muchos casos, los efectos no lineales se limitan a pequeñas áreas que pueden

ser omitidos en comparación al tamaño de la fractura o las dimensiones del componente.

El material elástico puede ser básicamente anisotrópica. Por ahora nos limitaremos al caso

más simple de isotropía. El término de la linealidad implica pequeños desplazamientos y

deformaciones infinitesimales

4.1 Problemas de fractura bidimensional.

4.1.1 Fractura bajo carga Modo I

Analizando una fractura recta en forma de hendidura de la longitud 2a en una infinitamente

larga lámina de material elástico lineal isótropo. La carga se supone que actúa verticalmente

a la fractura con tensión constante σ, véase la figura 66

Ilustración 67 fractura en una hoja infinita

Un sistema de coordenadas cartesiano se coloca con su origen en el centro de la grieta de

modo que las posiciones de las caras de la fractura Γ+ y Γ− se determinan por

−𝑎 ≤ 𝑥1 ≤ +𝑎, 𝑥2 = ±0 (4. 1)

135

Con el fin de encontrar una solución a este problema de contorno de la teoría de la

elasticidad, se utiliza el método de las funciones complejas con las variables complejas

𝑧 = 𝑥1 + 𝑖𝑥2. Las condiciones de contorno de este problema se dan por cero tracciones

𝑇𝑖 = 0 en las caras de las grietas Γ+ y Γ−, cuyos vectores normales 𝑛𝑗 solo apunta en

dirección ∓𝑥2 (𝑛1 = 0, 𝑛2 = ∓1). Según la fórmula de Cauchy,

𝑡𝑖 = 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = ∓𝜎𝑖2 = 𝑡�̅� = 0 ⇒ 𝜏12 = 0, 𝜎22 = 0 𝑒𝑛 𝛤+ 𝑦 𝛤− (4. 2)

Como una condición de contorno adicional, el estado de tensión homogénea uniaxial

imperturbable necesita ser alcanzado en distancia infinita de la grieta:

𝜎22 = 𝜎, 𝜎11 = 𝜏12 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑧| = √(𝑥12 + 𝑥2

2) → ∞ (4. 3)

Debido a la falta de espacio no es posible especificar el enfoque aquí, pero sólo el resultado

se da en la forma compleja de las funciones esfuerzo 𝜙 (𝑧) 𝑦 𝜒 (𝑧):

𝜙(𝑧) =𝜎

4𝑧 +

𝜎

2[√𝑧2 − 𝑎2 − 𝑧] , 𝑋′(𝑧) =

𝜎

2𝑧 −

𝜎

2

𝑎2

√𝑧2 − 𝑎2

(4. 4)

Con la ayuda de las fórmulas de Kolosov, los campos de esfuerzos y deformaciones en

toda la placa se pueden derivar. Los primeros dos términos en la ecuación anterior

representan correctamente el comportamiento de decaimiento. Los segundos términos en

se anulan para | 𝑧 | → ∞ y por tanto describen el efecto real de la grieta en la distribución

de la tensión en la hoja (ℜ() = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙, ℑ() = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎).

𝑆1 ≔ 𝜎11 + 𝜎22 = 4ℜ𝜙′ = 𝜎ℜ [

2𝑧

√𝑧2 − 𝑎2− 1]

𝑆2 ≔ 𝜎22 − 𝜎11 + 2𝑖𝜏12 = 2[𝑧̅𝜙′′ + 𝑋′′] = 𝜎 [1 + 𝑎2

𝑧 − 𝑧̅

(𝑧2 − 𝑎2)32

]

𝜎11 =1

2ℜ(𝑆1 − 𝑆2), 𝜎22 =

1

2ℜ(𝑆1 + 𝑆2), 𝜏12 =

1

2ℑ(𝑆2)

(4. 5)

136

En primer lugar, la distribución de la tensión en el ligamento |𝑥1| ≥ 𝑎, 𝑥2 = 0) se va a

analizar. Debido a la simetría respecto a 𝑥2, aquí el esfuerzo cortante es 𝜏12 ≡ 0. Las

tensiones normales se obtienen a partir de las ecuaciones anteriores.

𝜎11 = 𝜎 [𝑥1

√𝑥12 − 𝑎2

− 1] , 𝜎22 = 𝜎𝑥1

√𝑥12 − 𝑎2

(4. 6)

El resultado indica que las tensiones normales en las puntas de la fractura (𝑥1 → ± 𝑎)

crecer hasta el infinito (Figura 66). La evaluación de las ecuaciones en las caras de la grieta

| 𝑥1 | < 𝑎 confirma que se cumplen las condiciones de frontera.

El estado de deformación se determina mediante el uso de la tercera fórmula de Kolosov:

2𝜇(𝑢1 + 𝑖𝑢2) = 𝜅𝜙(𝑧) − 𝑧𝜙′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 𝜒′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

2𝜇(𝑢1 + 𝑖𝑢2) =𝜎

2[𝑘√𝑧2 − 𝑎2 +

𝑎2 − 𝑧𝑧̅

√𝑧2 − 𝑎2−1

2(𝑘 − 1)𝑧 − 𝑧̅]

(4. 7)

El cálculo de los desplazamientos de la cara superior e inferior de grietas (| 𝑥1 | < 𝑎, 𝑥2 =

± 0) muestra que la grieta abierta tiene la forma de una elipse (figura 67.).

𝑢1 = ∓1 + 𝑘

8𝜇𝜎𝑥1, 𝑢2 = ±

1 + 𝑘

4𝜇𝜎√𝑎2 − 𝑥1

2 (4. 8)

Aquí 𝜇 denota el módulo de corte. La constante elástica 𝜅 se considera como 𝜅 = 3 − 4𝜈

en el estado de deformación plana y 𝜅 = (3 − 𝜈) / (1 + 𝜈) en el estado de esfuerzo plana

De particular interés es la distribución de la tensión local en la proximidad inmediata de las

puntas de la fractura. Por lo tanto, el sistema de coordenadas (𝑟, 𝜃) mostrado en la figura

66 se introduce directamente en la punta de la grieta (en este ejemplo en 𝑧 = 𝑧0 = +𝑎):

𝑧 = 𝑎 + 𝑟𝑒𝑖𝜃, 𝑧 − 𝑧0 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑎휁𝑒𝑖𝜃 𝑐𝑜𝑛 휁 =

𝑟

𝑎

(4. 9)

Insertando 𝑧 y 𝑧̅ en las ecuaciones para 𝑠1y 𝑆2 se obtiene lo siguiente

𝑆1 = 𝜎ℜ

[

2(1 + 휁𝑒𝑖𝜃)

√휁𝑒𝑖𝜃2− 휁2𝑒2𝑖𝜃

− 1

]

(4. 10)

137

𝑠2 = 𝜎 [1 +휁(𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃)

(2휁𝑒𝑖𝜃 − 휁2𝑒𝑖𝜃)32

]

Que a su vez pueden ser aproximadas por 휁 =𝑟

𝑎≪ 1 de la siguiente manera:

𝑆1 = 𝜎11 + 𝜎22 ≈ 𝜎ℜ [2

√2휁𝑒𝑖𝜃 ] = 𝜎√

𝑎

2𝑟2 cos

𝜃

2

𝑠2 = 𝜎22 − 𝜎11 + 2𝑖𝜏12 ≈ 𝜎휁2𝑖 sin 𝜃

(2휁𝑒𝑖𝜃)32

= 𝜎√𝑎

2𝑟𝑖 sin 𝜃 𝑒−𝑖3𝜃/2

(4. 11)

El resultado es el estado de esfuerzo en la punta de la grieta en coordenadas polares (𝑟, 𝜃).

El factor 𝜎√𝜋𝑎 = 𝐾1 puede ser dividido.

{

𝜎11𝜎22𝜏12} =

𝐾1

√2𝜋𝑟

{

cos

𝜃

2[1 − sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

cos𝜃

2[1 + sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2 }

=𝐾1

√2𝜋𝑟 {

𝑓11𝐼 (𝜃)

𝑓22𝐼 (𝜃)

𝑓12𝐼 (𝜃)

}

(4. 12)

Los esfuerzos 𝜎33 en la dirección del espesor son, asumiendo el estado de esfuerzo plano,

cero, y asumiendo el estado de deformación plana:

𝜎33 = 𝜈(𝜎11 + 𝜎22) =𝐾1

√2𝜋𝑟2𝜈 cos

𝜃

2

(4. 13)

Usando la ley bidimensional de Hooke, los componentes de la deformación resultantes son

calculados de la siguiente manera:

{

휀11휀22𝛾12} =

𝐾1

2𝜇√2𝜋𝑟

{

cos

𝜃

2[𝑘 − 1

2− sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

cos𝜃

2[𝑘 − 1

2+ sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

2 sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2 }

(4. 14)

138

La deformación en la dirección 휀33 es cero por el estado de deformación plana y de acuerdo

con la definición de esfuerzo plano:

휀33 = −𝐾1

𝜇√2𝜋𝑟

𝜈

1 + 𝜈cos

𝜃

2

(4. 15)

Los desplazamientos cerca de la punta de la fractura para 휁 =𝑟

𝑎≪ 1 son:

{𝑢1𝑢2} =

𝐾𝐼2𝜇√𝑟

2𝜋{cos

𝜃

2[𝑘 − cos 𝜃]

sin𝜃


} =𝐾𝐼2𝜇√𝑟

2𝜋{𝑔1𝐼(𝜃)

𝑔2𝐼 (𝜃)

}

(4. 16)

4.1.2 Fractura bajo carga Modo II

De una manera similar a la sección anterior, es posible analizar la fractura en una lámina

infinita bajo una carga de cizallamiento en el plano solo las condiciones de frontera

tienen diferente forma comparado con los problemas de tensión.

𝜎11 = 𝜎22 = 0, 𝜏12 = 𝜏 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑧| = √(𝑥12 + 𝑥2

2) → ∞ (4. 17)

Basándonos en la siguiente figura, se puede ver claramente que la solución tiene que ser

antisimétrica con respecto al eje 𝑥2.

Ilustración 68 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante

139

La función compleja de esfuerzo para este caso es

𝜙(𝑧) = 𝑖𝜏

4𝑧 −

𝜏

2[√𝑧2 − 𝑎2 − 𝑧] , 𝑋′(𝑧) = 𝑖𝜏𝑧 + 𝑖

𝜏

2(2𝑧2 − 𝑎2

√𝑧2 − 𝑎2− 2𝑧)

(4. 18)

Los primeros términos de las dos funciones de esfuerzo representan, la situación de estrés

de cizalla pura, en el plano libre de fractura. Los términos siguientes describen la parte de

la solución debido a la fractura. El factor de intensidad de tensiones 𝐾𝐼𝐼 para el modo 𝐼𝐼 de

carga, que tiene el siguiente valor para este problema de contorno:

𝐾𝐼𝐼 = 𝜏√𝜋𝑎

{

𝜎11𝜎22𝜏12} =

𝐾𝐼𝐼

√2𝜋𝑟

{

−sin

𝜃

2[2 + cos

𝜃

2cos

3𝜃

2]

sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2

cos𝜃

2[1 − sin

𝜃

2sin3𝜃

2] }

=𝐾𝐼𝐼

√2𝜋𝑟 {

𝑓11𝐼𝐼(𝜃)



}

(4. 19)

Los desplazamientos cerca del punto de fractura son

{𝑢1𝑢2} =

𝐾𝐼𝐼2𝜇√𝑟

2𝜋{cos

𝜃

2[𝑘 + 2 + cos 𝜃]

−cos𝜃

2[𝑘 − 2 + cos𝜃]


2𝜋{𝑔1𝐼𝐼(𝜃)

𝑔2𝐼𝐼(𝜃)

}

(4. 20)

4.1.3 Fractura bajo carga Modo III

Por último la fractura plana bajo una carga no plana será considerado.

Ilustración 69 Fractura en una hoja infinita bajo (a) plana, (b) anti plana carga cortante

140

Esta vez las condiciones de frontera para el estado de esfuerzo en la fractura y en el infinito

son:

𝜏23 = 𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥1| ≤ 𝑎 𝑦 𝜏13 = 0, 𝜏23 = 𝜏 𝑝𝑎𝑟𝑎|𝑧| ⟶ ∞ (4. 21)

Con el fin de resolver este tipo de problemas con valores a la frontera, una función compleja

Ω(𝑧) es aplicada, que para el modo de carga 𝐼𝐼𝐼 es:

Ω(𝑧) = 𝑖𝜏√𝑧2 − 𝑎2 (4. 22)

El desplazamiento antisimétrico 𝑢3 de las caras enfrentadas una contra otra, tiene una

forma elíptica:

𝜇𝑢3 = ℜΩ(𝑧) = ±𝜏√𝑎2 − 𝑥1

2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = ±0 (4. 23)

Los cálculos para el esfuerzo cortante en el ligamento enfrente de la punta de la grieta

revela la singularidad siguiente:

𝜏23 = −ℑΩ′(𝑧) =

𝜏𝑥1

√𝑥12 − 𝑎2

, 𝜏13 = ℜΩ′(𝑧) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥1| > 0, 𝑥2 = 0

(4. 24)

Si la solución es expandida de la misma manera que en el modo I alrededor de la punta de

la fractura 𝑧 = 𝑎 + 𝑟𝑒𝑖𝜃 , y el resultado queda de la siguiente manera

𝑢3 = 𝜏√𝜋𝑎2

𝜇√𝑟

2𝜋sin𝜃

2=2𝐾𝐼𝐼𝐼𝜇

√𝑟

2𝜋sin𝜃

2=𝐾𝐼𝐼𝐼2𝜇

√𝑟

2𝜋𝑔3𝐼𝐼𝐼

{𝜏13𝜏23} =

𝐾𝐼𝐼𝐼

√2𝜋𝑟{− sin

𝜃

2

+ cos𝜃

2

} =𝐾𝐼𝐼𝐼

√2𝜋𝑟{𝑓13𝐼𝐼𝐼(𝜃)

𝑓23𝐼𝐼𝐼(𝜃)

}

(4. 25)

Aquí 𝐾𝐼𝐼𝐼 = 𝜏√𝜋𝑎 denota el factor de intensidad de esfuerzo para el modo III.

141

4.2 Eigenfunciones de los problemas de fractura.

En la sección anterior tenemos la singularidad de esfuerzos en la punta de la grieta extraida

de la solución completa del problema de contorno para grietas en dominios

bidimensionales. Obviamente, el comportamiento singular está causalmente asociada con

una grieta infinita. Por esa razón, la solución elástica en una punta de la grieta aislada se

continuará investigando en un plano infinito, como lo muestra la figura siguiente.

Ilustración 70 Análisis del campo cercano a la punta de la grieta

Convenientemente, se coloca un sistema de coordenadas polares (𝑟, 𝜃) en la punta de la

grieta. Para la solución de este problema de contorno en particular, los dos potenciales

complejos se establecen como series simples de energía.

𝜙(𝑧) = 𝐴𝑧𝜆, 𝑋(𝑧) = 𝐵𝑧𝜆+1, 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 (4. 26)

Considerando los coeficientes A y B son números complejos. El exponente λ tiene que ser

un número real positivo con el fin de evitar desplazamientos infinitos en la punta de la grieta.

Para ello, las tensiones en coordenadas polares se calculan de acuerdo con:

𝜎𝑟𝑟 + 𝜎𝜃𝜃 = 2[𝜙′(𝑧) + 𝜙′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅]

𝜎𝜃𝜃 − 𝜎𝑟𝑟 + 2𝑖𝜏𝑟𝜃 = 2[𝑧̅𝜙′′(𝑧) + 𝑋′′(𝑧)]𝑒2𝑖𝜃

2𝜇(𝑢𝑟 + 𝑖𝑢𝜃) = [𝑘𝜙(𝑧) − 𝑧𝜙′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑋′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅]𝑒−𝑖𝜃

(4. 27)

Con especial interés en el esfuerzo circunferencial 𝜎𝜃𝜃y el esfuerzo cortante 𝜏𝑟𝜃. Estas son

obtenidas mientras por la suma de las primeras dos ecuaciones de Kolosov.

𝜎𝜃𝜃 + 𝑖𝜏𝑟𝜃 = 𝜙′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + [𝑧̅𝜙′′(𝑧) + 𝑋′′(𝑧)]𝑒2𝑖𝜃

= 𝜆𝐴𝑧𝜆−1 + 𝜆�̅�𝑧̅𝜆−1 + [𝜆(𝜆 − 1)𝐴𝑧̅𝑧𝜆−2 + 𝜆(𝜆 + 1)𝐵𝑧𝜆−1]𝑒2𝑖𝜃

= 𝜆𝑟𝜆−1[𝐴𝑒𝑖(𝜆−1)𝜃 + �̅�𝑒−𝑖(𝜆−1)𝜃 + 𝐴(𝜆 − 1)𝑒𝑖(𝜆−1)𝜃

+ (𝜆 + 1)𝐵𝑒(𝜆+1)𝜃]

(4. 28)

142

Como condiciones de frontera los esfuerzos normales y cortantes deben de ser cero para

todas las 𝑟 en las caras de la grieta libres de tracción 𝜃 = ± 𝜋. Esto significa 𝜎𝜃𝜃 + 𝑖𝜏𝑟𝜃 =

0. Debido a eso, el término en [] corchetes (con 𝑒±𝑖𝜋 = 1) tiene que desaparecer:

𝜃 = +𝜋 ∶ 𝐴𝜆𝑒𝑖𝜆𝜋 + �̅�𝑒−𝑖𝜆𝜋 + (𝜆 + 1)𝐵𝑒𝑖𝜆𝜋 = 0

𝜃 = −𝜋 ∶ 𝐴𝜆𝑒−𝑖𝜆𝜋 + �̅�𝑒𝑖𝜆𝜋 + (𝜆 + 1)𝐵𝑒−𝑖𝜆𝜋 = 0

(4. 29)

Estas relaciones forman un sistema homogéneo de 2 ecuaciones complejas (4 reales) para

2 coeficientes complejos (4 reales) A y B, que necesitan ser determinados. Como condición

necesaria para la solución, el determinante coeficiente tiene que ser igualado a cero, lo que

resulta en una ecuación trascendente para el exponente (eigenvalor) 𝜆. Un enfoque más

fácil sería para multiplicar ambas ecuaciones por 𝑒−𝑖𝜆𝜋 o por 𝑒+𝑖𝜆𝜋 respectivamente, y

restarlas una de otra, obteniendo

�̅�(𝑒2𝑖𝜆𝜋 − 𝑒−2𝑖𝜆𝜋) = 0 (4. 30)

Ajustando el termino en paréntesis a cero en sin(2𝜆𝜋) = 0, lo que conduce al valor real de

𝜆:

𝜆 =𝑛

2 𝑚𝑖𝑡 𝑛 = 1,2,3…

(4. 31)

Por lo tanto se demostró que existe un número infinito de valores propios 𝜆 = 𝑛/2. La

solución completa del problema de frontera consiste en la superposición de estas funciones

propias con coeficientes indeterminados 𝐴𝑛 y 𝐵𝑛.

𝜙 = ∑𝐴𝑛𝑧𝑛2

∞

𝑛=1

, 𝑥 = ∑𝐵𝑛𝑧𝑛2+1

∞

𝑛=1

(4. 32)

De las expresiones

𝜃 = +𝜋 ∶ 𝐴𝜆𝑒𝑖𝜆𝜋 + �̅�𝑒−𝑖𝜆𝜋 + (𝜆 + 1)𝐵𝑒𝑖𝜆𝜋 = 0

𝜃 = −𝜋 ∶ 𝐴𝜆𝑒−𝑖𝜆𝜋 + �̅�𝑒𝑖𝜆𝜋 + (𝜆 + 1)𝐵𝑒−𝑖𝜆𝜋 = 0

(4. 33)

143

Se da la siguiente correlación

𝑛

2𝐴𝑛 + (−1)

𝑛�̅�𝑛 + (𝑛

2+ 1)𝐵𝑛 = 0

(4. 34)

Así que 𝐵𝑛puede ser reemplazado por el coeficiente 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛.

Sustituyendo en las ecuaciones de Kolosov, las funciones radiales y angulares son

determinadas por la enésima eigenfuncion en notación real.

𝜎11𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝑟

𝑛2−{𝑎𝑛�̃�11

𝑛 (𝜃) + 𝑏𝑛�̃�11𝑛 (𝜃)}

𝜎22𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝑟

𝑛2−{𝑎𝑛�̃�22

𝑛 (𝜃) + 𝑏𝑛�̃�22𝑛 (𝜃)}

𝜎12𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝑟

𝑛2−{𝑎𝑛�̃�12

𝑛 (𝜃) + 𝑏𝑛�̃�12𝑛 (𝜃)}

(4. 35)

Con

�̃�11𝑛 =

𝑛

2{[2 + (−1)𝑛 +

𝑛

2] cos (

𝑛

2− 1)𝜃 − (

𝑛

2− 1) cos (

𝑛

2− 3)𝜃}

�̃�11𝑛 =

𝑛

2{[−2 + (−1)𝑛 −

𝑛

2] sin (

𝑛

2− 1)𝜃 − (

𝑛

2− 1) sin (

𝑛

2− 3)𝜃}

�̃�22𝑛 =

𝑛

2{[2 − (−1)𝑛 +

𝑛

2] cos (

𝑛

2− 1)𝜃 + (

𝑛

2− 1) cos (

𝑛

2− 3)𝜃}

�̃�22𝑛 =

𝑛

2{[−2 − (−1)𝑛 +

𝑛

2] sin (

𝑛

2− 1)𝜃 − (

𝑛

2− 1) sin (

𝑛

2− 3)𝜃}

�̃�12𝑛 =

𝑛

2{(𝑛

2− 1) sin (

𝑛

2− 3)𝜃 − [

𝑛

2+ (−1)𝑛] sin(

𝑛

2− 1)𝜃}

�̃�12𝑛 =

𝑛

2{(𝑛

2− 1) cos (

𝑛

2− 3)𝜃 − [

𝑛

2+ (−1)𝑛] cos(

𝑛

2− 1)𝜃}

(4. 36)

Y

𝑢1𝑛(𝑟, 𝜃) =

1

2𝜇𝑟𝑛2{𝑎𝑛�̃�1

𝑛(𝜃) + 𝑏𝑛�̃�1𝑛(𝜃)}

𝑢2𝑛(𝑟, 𝜃) =

1

2𝜇𝑟𝑛2{𝑎𝑛�̃�2

𝑛(𝜃) + 𝑏𝑛�̃�2𝑛(𝜃)}

(4. 37)

144

Con

�̃�1𝑛 = [𝑘 + (−1)𝑛 +

𝑛

2] cos

𝑛

2𝜃 −

𝑛

2cos (

𝑛

2− 2)𝜃

�̃�1𝑛 = [−𝑘 + (−1)𝑛 −

𝑛

2] sin

𝑛

2𝜃 +

𝑛

2sin (

𝑛

2− 2)𝜃

�̃�2𝑛 = [𝑘 − (−1)𝑛 +

𝑛

2] sin

𝑛

2𝜃 +

𝑛

2sin (

𝑛

2− 2)𝜃

�̃�2𝑛 = [𝑘 + (−1)𝑛 +

𝑛

2] cos

𝑛

2𝜃 +

𝑛

2cos (

𝑛

2− 2)𝜃

(4. 38)

Los términos con 𝑎𝑛 corresponden a la abertura de la fractura modo I, mientras que el modo

II es asociado con el coeficiente 𝑏𝑛. Los factores de intensidad de esfuerzos 𝐾𝐼y 𝐾𝐼𝐼 están

relacionados a los coeficientes 𝑎1,𝑏1 de la primera eigenfunción de la siguiente manera

𝑘𝐼 − 𝑖𝐾𝐼𝐼 = √2𝜋(𝑎1 + 𝑖𝑏1). (4. 39)

De particular importancia es la segunda eigenfunción 𝑛 = 2, que describe solamente un

estado del esfuerzo constante paralelo a las caras de la grieta, el denominado esfuerzo -T.

(Las funciones pertenecientes a b2 solamente lograr una rotación del cuerpo rígido libre de

esfuerzo.)

𝜎112 = 𝑟04𝑎2 = 𝑇11 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝜎22

2 ≡ 𝜏122 ≡ 0

2𝜇𝑢12 = 𝑎2(𝑘 + 1)𝑥1, 2𝜇𝑢2

2 = 𝑎2𝜇(𝑘 − 3)𝑥2

(4. 40)

Es posible desarrollar funciones propias en la punta de la fractura para el modo 𝐼𝐼𝐼, así, de

nuevo mediante el uso de una serie de potencias con el exponente 𝜆 > 0 y un coeficiente

complejo 𝐶 para la función de esfuerzo Ω.

Ω(𝑧) = 𝐶𝑧𝜆^ = 𝑐𝑟𝜆𝑒𝑖𝜆𝜃 (4. 41)

Considerando las condiciones de frontera, el esfuerzo cortante 𝜏23 en las caras d la fractura

𝜃 = ±𝜋 tiene que ser cero:

𝜏23 = −ℑΩ′(𝑧) = (Ω′(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − Ω′(𝑧))

𝜃 = +𝜋: 𝜆𝑟𝜆−1[𝐶̅𝑒−𝑖(𝜆−1)𝜋 − 𝐶𝑒𝑖(𝜆−1)𝜋] = 0

𝜃 = −𝜋: 𝜆𝑟𝜆−1[𝐶̅𝑒𝑖(𝜆−1)𝜋 − 𝐶𝑒−𝑖(𝜆−1)𝜋] = 0

(4. 42)

145

Con el fin de encontrar la solución de este sistema homogéneo de ecuaciones para 𝐶̅ y 𝐶,

es necesario ajustar el coeficiente determinante a cero, lo que conduce a la ecuación de

valor propio 𝜆:

sin(2𝜆𝜋) = 0 ⇒ 𝜆 =𝑛

2 𝑛 = 1,2,3,…

(4. 43)

Esto revela los mismos valores propios como en el modo I y modo II. Toda la solución ahora

puede estar compuesta por la combinación de todas las funciones propias con el coeficiente

𝐶𝑛. La relación 𝐶�̅� = (−1)𝑛𝐶𝑛 significa que los coeficientes son alternos, ya sea real o

puramente imaginario:

Ω(𝑧) = ∑𝐶𝑛𝑧𝑛2

∞

𝑛=1

, 𝐶𝑛 = −𝑖𝑛𝑐𝑛

(4. 44)

Finalmente la eigenfunción correspondiente puede ser calculada usando la siguiente

relación

𝑢3(𝑥1, 𝑥2) = ℜ𝛺(𝑧)/𝜇 , 𝜏13 − 𝑖𝜏23 = 𝛺′(𝑧)

𝑢3𝑛(𝑟, 𝜃) =

𝑐𝑛2𝜇𝑟𝑛2�̃�3

𝑛(𝜃),𝐻3�̃� = {

2 sin𝑛

2𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,3, …

2 cos𝑛

2𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2,4,…

𝜏13𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝑐𝑛𝑟

𝑛2−1�̃�13

𝑛 (𝜃), 𝐿13�̃� = {

𝜋

2sin (

𝑛

2− 1)𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,3, …

𝜋

2cos (

𝑛

2− 1)𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2,4,…

𝜏23𝑛 (𝑟, 𝜃) = 𝑐𝑛𝑟

𝑛2−1�̃�23

𝑛 (𝜃), 𝐿23�̃� = {

𝜋

2cos (

𝑛

2− 1)𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,3,…

−𝜋

2sin (

𝑛

2− 1)𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2,4,…

(4. 45)

Considerando 𝑛 = 1, la singularidad asintótica se reproduce exactamente, mediante el cual

se aplica la relación 𝐾𝐼𝐼𝐼 = 𝑐1 √𝜋/2 . La función propia para 𝑛 = 2 corresponde a un

esfuerzo cortante constante 𝜏13 = 𝑇13 = 𝑐2.

146

4.4 Factores de Intensidad de esfuerzo: K

Para un material de comportamiento isotrópico lineal –elástico las soluciones asintóticas

mas aproximadas al campo siempre de la misma forma matemática.

𝜎𝑖𝑗(𝑟, 𝜃, 𝑠) =1

√2𝜋𝑟[𝐾𝐼(𝑠)𝑓𝑖𝑗

𝐼 (𝜃) + 𝐾𝐼𝐼(𝑠)𝑓𝑖𝑗𝐼𝐼(𝜃) + 𝐾𝐼𝐼𝐼(𝑠)𝑓𝑖𝑗

𝐼𝐼𝐼(𝜃)] + 𝑇𝑖𝑗(𝑠)

𝑢𝑖(𝑟, 𝜃, 𝑠) =1

2𝜇√𝑟

2𝜋[𝐾𝐼(𝑠)𝑔𝑖

𝐼(𝜃) + 𝐾𝐼𝐼(𝑠)𝑔𝑖𝐼𝐼(𝜃) + 𝐾𝐼𝐼𝐼(𝑠)𝑔𝑖

𝐼𝐼𝐼(𝜃)]

(4. 46)

La fuerza del campo de la punta de la grieta está totalmente determinado por los Factores

de intensidad de esfuerzo 𝐾𝐼, 𝐾𝐼𝐼 y 𝐾𝐼𝐼𝐼, que casi representan coeficientes libres. Las

magnitudes de los tres factores de intensidad de esfuerzo tienen que ser determinadas por

la solución específica del problema con sus valores frontera definido del cuerpo con la

fractura. Por lo tanto, los factores 𝐾 dependen de la geometría del cuerpo, el tamaño y la

posición de la fractura así como de la carga y las condiciones de fijación. Para

determinarlos, generalmente es necesario encontrar primero la solución completa del

problema de frontera utilizando métodos de cálculo analíticos o numéricos y luego de

analizar el campo de la punta de la fractura. Una mirada más cercana a los campos de

esfuerzo en el ligamento en frente de la fractura (𝜃 = 0) de los tres modos de fractura 𝐼, 𝐼𝐼

y 𝐼𝐼𝐼 muestra que sólo esos componentes de esfuerzo son diferentes de cero, que se

corresponde con el modo de apertura grieta respectiva o la lejanía del campo de carga. Al

resolver las relaciones de los factores de intensidad de esfuerzo y tomando el límite hacia

la punta de la grieta, se obtienen las ecuaciones condicionales:

{

𝐾𝐼𝐾𝐼𝐼𝑘𝐼𝐼𝐼

} = lim𝑟⟶0

√2𝜋𝑟 {

𝜎22(𝑟, 𝜃 = 0)

𝜏21(𝑟, 𝜃 = 0)

𝜏23(𝑟, 𝜃 = 0)}

(4. 47)

Generalmente, los factores de intensidad de esfuerzo para todas los problemas de fractura

pueden ser escritos de la siguiente forma (ejemplo para 𝐾1).

𝐾𝐼 = 𝐾𝐼(𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎, 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎,𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙)

= 𝜎𝑛√𝜋𝑎 𝑔 (𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎,𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙)

(4. 48)

En donde 𝑎 representa la longitud de la fractura, 𝜎𝑛 denota un esfuerzo nominal

representativo y la función 𝑔 describe la influencia del cuerpo y la geometría de la fractura

tan bien como, en algunas circunstancias, las propiedades elásticas del material.

147

El concepto de intensidad de esfuerzos proporciona el criterio de fractura

𝐾𝐼 = 𝐾𝐼𝑐 . (4. 49)

La cantidad de carga de la fractura mecánica 𝐾𝐼 encuentra en el lado izquierdo de la

ecuación. En el lado derecho, la tenacidad a la fractura 𝐾𝐼𝑐 representa la resistencia del

material contra la iniciación de fracturas.

La misma consideración puede ser transferida a otros tipos de fractura si se presentan

únicamente en modo puro 𝐼𝐼 o modo puro 𝐼𝐼𝐼 de la siguiente manera

𝐾𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼𝑐 𝑦 𝐾𝐼𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑐 (4. 50)

𝐾𝐼𝐼𝑐 y 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑐 representan los valores de tenacidad a la fractura correspondientes.

Desafortunadamente, estos modos raramente aparecen aislados. En el caso general, una

carga combinada de la fractura se compone de los tres modos, de forma que el proceso de

fractura se controla por 𝐾𝐼, 𝐾𝐼𝐼 y 𝐾𝐼𝐼𝐼. Entonces, el criterio de fractura tiene que ser formulado

utilizando un parámetro de esfuerzo 𝐵 generalizado y un parámetro del material asignado

𝐵𝑐.

𝐵(𝐾𝐼 , 𝐾𝐼𝐼 , 𝐾𝐼𝐼𝐼) = 𝐵𝑐 (4. 51)

Tomando en cuenta la fuerza para iniciar una fractura frágil 𝐹𝑐 y la longitud de la fractura 𝑎,

el factor 𝐾 en la fractura se calcula con la ayuda de las funciones de geometría conocida

𝑔 (𝑎, 𝑤) de la muestra. Con sujeción a ciertos criterios de validez, este valor representa la

resistencia a la fractura 𝐾𝐼𝑐.

𝐾𝐼𝑐 = 𝐹𝑐𝑔(𝑎,𝑤)√𝜋𝑎 (4. 52)

148

4.5 Balance de energía durante la propagación de la fractura

4.5.1 Tasa global de liberación de energía

Para investigar el balance de energía durante la fractura se considera el problema de

contorno se muestra en la Figura siguiente.

Ilustración 71 Balance de energía durante la propagación de la grieta

Las tracciones superficiales 𝑡̅ se imponen a la parte 𝑆𝑡 de la frontera, finalmente las fuerzas

de cuerpo �̅� actúan en el volumen 𝑉, y los desplazamientos �̅� son prescritos en la parte 𝑆𝑢

del límite. La aplicación de la primera ley de la termodinámica a un cuerpo deformable

ofrece el cambio de energía por unidad de tiempo:

�̇�𝑒𝑥𝑡 + �̇� = �̇�𝑖𝑛𝑡 + �̇� + �̇� (4. 53)

Del lado izquierdo de la ecuación se encuentra la entrada de energía al cuerpo por unidad

de tiempo como resultado de la fuerza de una carga mecánica externa y el intercambio de

energía térmica 𝑄 ̇ a través de flujo térmico o fuentes de calor internas.

�̇�𝑒𝑥𝑡 = ∫ 𝑡�̅��̇�𝑖𝑆𝑡

𝑑𝑆 + ∫ �̅�𝑖�̇�𝑖𝑉

𝑑𝑉 (4. 54)

En el lado derecho de la ecuación de balance están esos tipos de energía absorbida por el

cuerpo por tiempo, por ejemplo la energía interna, que para el caso puramente mecánico

se correlaciona con

149

𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝑈𝑑𝑉𝑉

, 𝑈(휀𝑘𝑙) = ∫ 𝜎𝑖𝑗(휀𝑚𝑛)𝑑휀𝑖𝑗

𝜀𝑘𝑙

0

(4. 55)

Y la energía cinética 𝐾 (con densidad 𝜌)

𝐾 =1

2∫ 𝜌�̇�𝑖�̇�𝑖𝑑𝑉𝑉

(4. 56)

Además, está la energía principalmente disipativa 𝐷, consumida durante la propagación de

la fractura en la zona de proceso. Ya que está directamente relacionado con la creación de

nuevas superficies, este término se fija en proporción a la zona de fractura 𝐴 con la

constante del material 𝛾. El factor 2 explica el hecho de que una fractura conduce a dos

nuevas superficies.

𝐷 = 2𝛾𝐴 (4. 57)

Para problemas estáticos, 𝐾 = 0. Para deformaciones elásticas puras 𝑈 = 𝑈𝑒, la energía

interna posee el carácter de un potencial interno 𝛱𝑖𝑛𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡. Por otra parte, consideramos

que el cuerpo sea un sistema adiabáticamente cerrado sin ninguna fuente de calor interna,

de modo que también 𝑄 = 0. Finalmente, se supone que las cargas externas son las

fuerzas conservadoras (gravedad, resortes), resultantes de un potencial 𝛱𝑒𝑥𝑡, que

disminuye con el trabajo externo realizado ˙𝛱𝑒𝑥𝑡 = − �̇�𝑒𝑥𝑡 De este modo, el balance de

energía se simplifica a

𝑊𝑒𝑥𝑡 = �̇�𝑖𝑛𝑡 + �̇� , − �̇�𝑒𝑥𝑡 = �̇�𝑖𝑛𝑡 + �̇� . (4. 58)

Con estas suposiciones ahora vamos a analizar la propagación de una grieta, que tiene el

tamaño inicial 𝐴(1) = 𝐴 en el momento 𝑡(1) y la ampliación en un proceso cuasi estática a

la zona 𝐴(2) = 𝐴 + Δ 𝐴 en el momento 𝑡(2) = 𝑡(1) + Δ 𝑡. Por lo tanto, existe la siguiente

diferencia de energía relacionado con el incremento de tiempo Δ𝑡 o igualmente para el

cambio de la zona de la grieta Δ𝐴, entre el estado final y el inicial:

𝑊𝑒𝑥𝑡(2) −𝑊𝑒𝑥𝑡

(1) = 𝑊𝑖𝑛𝑡(2) −𝑊𝑖𝑛𝑡

(1) + 2𝛾Δ𝐴

Δ𝑊𝑒𝑥𝑡 = Δ𝑊𝑖𝑛𝑡 + Δ𝐷 ⟹Δ𝑊𝑒𝑥𝑡Δ𝐴

=Δ𝑊𝑖𝑛𝑡Δ𝐴

+Δ𝐷

Δ𝐴

(4. 59)

150

La introducción de los potenciales internos y externos, que se pueden combinar al potencial

total 𝛱 = 𝛱𝑖𝑛𝑡 + 𝛱𝑒𝑥𝑡, se obtiene.

Δ(𝑊𝑒𝑥𝑡 −𝑊𝑖𝑛𝑡)

Δ𝐴= −

Δ𝛱

Δ𝐴=Δ𝐷

Δ𝐴= 2𝛾

(4. 60)

Físicamente, este resultado puede interpretarse de la siguiente manera: El lado izquierdo

describe la cantidad disponible de energía potencial −Δ𝛱, que es suministrada por la carga

externa y la energía interna almacenada elásticamente durante la propagación de grietas

por Δ𝐴 (el signo menos indica la disminución de la energía potencial). Por tanto, esta

cantidad se denomina tasa de liberación de energía y se define para la propagación de

fracturas finitas o infinitas, de la siguiente manera

�̅� = −ΔΠ

Δ𝐴, 𝐺 = − lim

Δ𝐴→0

ΔΠ

Δ𝐴=𝑑Π

𝑑𝐴

(4. 61)

El lado derecho de muestra la energía de fractura 2Δ𝐴 requerida para la separación de

materiales y formación de nuevas superficies. Su cantidad depende del comportamiento de

material y representa el parámetro crítico del material 𝐺𝑐 = 2𝛾. Este balance de energía

durante la propagación de fractura ha sido compilada por A. A. Griffith y lleva su nombre.

Criterio de fractura Energética por Griffith:

−𝐷𝛱

𝑑𝐴 = 𝐺 = 𝐺𝑐 = 2𝛾

(4. 62)

Se establece lo siguiente: Con el fin de iniciar y mantener la propagación de fracturas cuasi-

estáticas en un sistema conservador, la velocidad de liberación de energía proporcionada

tiene que ser igual a la energía disipativa necesaria para la fractura por área de la fractura.

La dimensión de 𝐺 es [𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 × 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑/𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑2] y se especifica principalmente en

𝐽/𝑚2 𝑜 𝑁 / 𝑚.

Griffith determina la velocidad de liberación de energía 𝐺 = 2𝜋𝜎2𝑎 / 𝐸′ = 4𝛾 por una

fractura de longitud 2𝑎 en una lámina bajo tensión. Para una longitud de grieta dado, la

tensión de fractura crítico se puede escribir como:

𝜎𝑐 = √2𝐸′𝛾

𝜋𝑎=𝐾𝐼𝑐

√𝜋𝑎

(4. 63)

151

Resuelto para 𝑎, el criterio proporciona la longitud crítica de la fractura 𝑎𝑐 que es necesario

para la fractura bajo la carga dada

𝑎𝑐 =2𝐸′𝛾

𝜋𝜎2 𝑐𝑜𝑛 𝐸′ = 𝐸 (𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) 𝑦 𝐸′ =

𝐸

1 − 𝜈2 (𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎)

(4. 64)

El criterio de Griffith también se aplica a cualquier propagación de la fractura finita Δ𝐴 y en

un caso extremo incluso a la generación completa de una grieta de estado cero 𝐴(1) = 0 a

su estado final 𝐴(2) = 𝐴.

Por último, se establecerá la relación entre la velocidad de liberación de energía y el

diagrama de fuerza-deformación de una muestra con fractura.

Ilustración 72 Correlación entre la curva esfuerzo-deformación y la tasa de liberación de energía

En este caso, las cargas externas impuestas consisten solamente de la fuerza concentrada

𝐹, lo que provoca un desplazamiento 𝑞 = 𝐹 / 𝑘 (𝑎) del punto de carga. 𝑘 (𝑎) Representa

la rigidez de la muestra en función de la longitud de la grieta. La energía de deformación en

este cuerpo elástico es igual al área por debajo de la curva fuerza-deformación

𝑊𝑖𝑛𝑡 =1

2𝐹𝑞 =

1

2𝑘𝑞2 =

1

2

𝐹2

𝑘

(4. 65)

Si la longitud de la grieta se aumenta por Δ𝐴, entonces la rigidez de la muestra disminuirá.

Dependiendo de cómo la carga externa se comporta durante la propagación de la fractura,

dos casos extremos se pueden distinguir:

152

a) agarres fijos (q = const)

Esto corresponde a un dispositivo de carga muy rígido. El trabajo externo es cero 𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 =

𝐹 𝑑𝑞 = 0, y la energía potencial de propagación de fractura surge sólo de la energía de

deformación almacenada de manera que queda

𝐺 = −𝑑Π

𝑑𝐴= −

𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡𝑑𝐴

= −𝑑

𝐵𝑑𝑎 [1

2 𝑘 (𝑎)𝑞2] = −

𝑞2

2𝐵

𝑑𝑘(𝑎)

𝑑𝑎

= −1

2

𝐹2

𝑘2𝑑𝑘(𝑎)

𝑑𝑎= −

1

2𝐵𝑑𝑎 𝑞 𝑑𝐹

(4. 66)

b) carga muerta (F = const)

Este caso se realiza por un peso o un dispositivo de carga muy suave que realiza el trabajo

externo 𝑑𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝐹 𝑑𝑞 (𝑎) > 0 durante la propagación de la fractura. Si el último término

de 𝑊𝑖𝑛𝑡 =1

2𝐹𝑞 =

1

2𝑘𝑞2 =

1

2

𝐹2

𝑘 se utiliza para 𝑊𝑖𝑛𝑡, la velocidad de liberación de energía lee

𝐺 = −𝑑Π

𝑑𝐴= −

𝑑

𝐵𝑑𝑎 [𝑊𝑒𝑥𝑡 −𝑊𝑖𝑛𝑡] = −

1

𝐵 [𝐹

𝑑𝑞

𝑑𝑎−1

2 𝐹2

𝑑

𝑑𝐴(1

𝑘(𝑎)) ]

= −1

2𝐵

𝐹2

𝑘2𝑑𝑘(𝑎)

𝑑𝑎= −

1

2𝐵𝑑𝑎 𝐹 𝑑𝑞

(4. 67)

4.5.2 Tasa local de liberación de energía

Todas las variables de campo mecánicos experimentan un cambio desde el estado inicial

(1) hasta el estado final (2) durante la propagación de fractura. Esa transición se lleva a

cabo teóricamente de la siguiente manera: En (1), las tracciones seccionales 𝑇𝑐 = 𝑡𝑐(1) se

aplican al ligamento Δ𝐴 en frente de la fractura, que son, por definición, iguales y opuestas

sobre las dos caras 𝑡𝑖𝑐 = 𝑡𝑖

𝑐+ = 𝑡𝑖𝑐−. Si se abre la grieta cortando a lo largo de Δ𝐴 y

reemplazamos las tracciones por tracciones externas en la frontera de igual valor, de modo

que la grieta permanece cerrada como en (1). Posteriormente, todas estas tracciones de

frontera están siendo cuasi-estáticamente reducidas a cero, con lo que la grieta se expande

al estado final (2) y alcanza una superficie libre de estrésΔ𝐴 Los desplazamientos relativos

Δ𝑢𝑖 = 𝑢𝑖+ − 𝑢𝑖

− de las caras de la grieta cambian desde el estado cerrado(Δ𝑢𝑖(1)= 0) al

estado abierto Δ𝑢𝑖(2).Durante este proceso las tracciones realizan trabajos en los

desplazamientos de las caras d la fractura 𝑡𝑖𝑐+𝑑𝑢𝑖

+ + 𝑇𝑖𝑐−𝑑𝑢𝑖

− = 𝑡𝑖𝑐(𝑑𝑢𝑖

+ − 𝑑𝑢𝑖−) = 𝑡𝑖

𝑐𝑑Δ𝑢𝑖,

de modo que el trabajo total para extender la grieta por Δ𝐴 puede expresarse por la siguiente

integral.

Δ𝑊𝑐 = ∫ ∫ 𝑡𝑖𝑐𝑑Δ𝑢𝑖𝑑𝐴

(2)

(1)Δ𝐴

⟹∫1

2𝑡𝑖𝑐Δ𝑢𝑖

(2)𝑑𝐴 < 0Δ𝐴

(4. 68)

153

Desde este medio el sistema emite energía, que tiene que ser negativa. Para un material

de comportamiento lineal elástico la segunda integral puede ser evaluada para 𝑡𝑖𝑐Δ𝑢𝑖

(2)/2 y

se obtiene la ecuación de la derecha.

Este término trabajo Δ𝑊𝑐 debe agregarse al balance total de energía por la propagación de

la fractura.

Δ𝑊𝑒𝑥𝑡Δ𝐴

−𝑊𝑖𝑛𝑡Δ𝐴

+Δ𝑊𝑐Δ𝐴

= 0 (4. 69)

Usando la definición de energía potencial Π = Π𝑒𝑥𝑡 + Π𝑖𝑛𝑡 = −𝑊𝑒𝑥𝑡 +𝑊𝑖𝑛𝑡, la tasa de

liberación de energía queda de la siguiente manera.

𝐺 = −ΔΠ

Δ𝐴=Δ𝑊𝑒𝑥𝑡Δ𝐴

−Δ𝑊𝑖𝑛𝑡Δ𝐴

= −ΔWcΔ𝐴

(4. 70)

De esta manera queda demostrado que el cambio de la energía potencial del sistema (el

cuerpo más la carga) es igual al trabajo que se necesita a nivel local para »poner en

libertad« las nuevas superficies de la fractura Δ𝐴. Tomando en cuenta que este es un

proceso de descarga elástica virtual. El resultado, por lo tanto representa un método de

cálculo alternativo para la tasa de liberación de energía de la fuerza motriz de la fractura.

154

4.5.3 Integral de aproximación a la fractura

En la siguiente sección este método de cálculo se aplicará a la solución en la punta de la

grieta asintótica para material isotrópico elástico. Esto primero se explica utilizando modo

de fractura I. La punta de una fractura de longitud inicial 𝑎, como se muestra en la Figura

siguiente, es desplazada por Δ𝐴 durante la propagación de la fractura.

Ilustración 73 Trabajo realizado durante la propagación de la fractura

Suponemos que este proceso se lleva a cabo en el dominio valido de la solución de la punta

de la fractura, dominado por 𝐾𝐼.

{

𝜎11𝜎22𝜏12} =

𝐾1

√2𝜋𝑟

{

cos

𝜃

2[1 − sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

cos𝜃

2[1 + sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2 }

=𝐾1

√2𝜋𝑟 {

𝑓11𝐼 (𝜃)

𝑓22𝐼 (𝜃)

𝑓12𝐼 (𝜃)

}

{𝑢1𝑢2} =


2𝜋{cos

𝜃


sin𝜃




𝑔2𝐼 (𝜃)

}

(4. 71)

Esto siempre se puede lograr si se realiza un acercamiento muy aproximado a la punta de

la fractura. Tomando los límites 𝑟 → 0 𝑦 Δ𝐴 → 0. En el modo I, existen una tensión

simétrica y un estado de deformación con respecto al plano de la grieta.

155

Las tracciones en el ligamento Δ𝑎 corresponden a los esfuerzos 𝜎22 de la solución de campo

cercano para la grieta de longitud inicial 𝑎

−𝑡2𝑐 = 𝜎22(𝑟 = 𝑠, 𝜃 = 0, 𝑎) =

𝐾1(𝑎)

√2𝜋𝑠, 𝑡1𝑐 = 𝑡3

𝑐 = 0 (4. 72)

Después de la propagación de la fractura por Δ𝑎, los desplazamientos de la abertura de la

grieta dados por 𝑢1 y 𝑢2 para la longitud final de la fractura 𝑎 + Δ𝑎 a

𝑢2±(𝑟 = Δ𝑎 − 𝑠, 𝜃 = ±𝜋, 𝑎 + Δ𝑎 = ±

𝑘 + 1

2𝜇𝐾𝐼(𝑎 + Δ𝑎)√

Δ𝑎 − 𝑠

2𝜋

(4. 73)

Durante la realización de un proceso de carga virtual, el trabajo de los esfuerzos 𝑡2𝑐(𝑠) que

actúa con los desplazamientos 𝑢2(𝑠) de las caras de la fractura, resulta según

Δ𝑊𝑐 = ∫ ∫ 𝑡𝑖𝑐𝑑Δ𝑢𝑖𝑑𝐴

(2)

(1)Δ𝐴

⟹∫1

2𝑡𝑖𝑐Δ𝑢𝑖

(2)𝑑𝐴 < 0Δ𝐴

(4. 74)

Para un comportamiento lineal elástico en:

Δ𝑊𝑐 = −∫1

2𝜎22(𝑢2

+ − 𝑢2−)𝑑𝑠 = −∫

𝐾𝐼(𝑎)

√2𝜋𝑠

𝑘 + 1

2𝜇𝐾𝐼(𝑎 + Δ𝑎)√

Δ𝑎 − 𝑠

2𝜋𝑑𝑠

Δ𝑎

0

Δ𝑎

0

= −𝑘 + 1

4𝜋𝜇𝐾𝐼(𝑎)𝐾𝐼(𝑎 + Δ) ∫ √

Δ𝑎 − 𝑠

𝑠𝑑𝑠

Δ𝑎

0

(4. 75)

Por lo tanto la velocidad de liberación de energía 𝐺 (que ahora se refiere al espesor uniforme

B = 1 m en un problema plano) se puede calcular por medio de (3.86).

𝐺 = −ΔΠ

Δ𝐴=Δ𝑊𝑒𝑥𝑡Δ𝐴

−Δ𝑊𝑖𝑛𝑡Δ𝐴

= −ΔWcΔ𝐴

(4. 76)

156

Además, llevando a cabo el proceso de limitar a una diferencial de propagación de grietas

Δ𝐴 → 0.

𝐺 = limΔ𝐴→ 0

(−Δ𝑊𝑐𝐵Δ𝑧

) =𝑘 + 1

4𝜋𝜇𝐾𝐼2(𝑎) lim

Δ𝐴→ 0

1

Δ𝑎∫ √

Δ𝑎 − 𝑠

𝑠𝑑𝑠

Δ𝐴

0⏟ 𝜋2

(4. 77)

De esta manera existe la siguiente correlación entre la tasa de liberación de energía

infinitesimal 𝐺 y el factor de intensidad de esfuerzos 𝐾𝐼

𝐺 =̂ 𝐺1 =𝑘 + 1

8𝜇 𝐾𝐼2 = 𝐾𝐼

2/𝐸′ (4. 78)

Físicamente, esto significa que dentro de la mecánica de fractura elástica lineal el concepto

de intensidad de esfuerzos por Irwin y el criterio de energía por Griffith son iguales y se

pueden convertir uno en el otro.

Por último, para la generalización para el modo 𝐼𝐼 y el modo 𝐼𝐼𝐼. Durante el modo 𝐼𝐼, las

tracciones 𝑡1𝑐 =̂ 𝜏12 y los desplazamientos de las caras de la fractura 𝑢1

± ≠ 0 tienen

componentes únicamente en la dirección de 𝑥1, que son proporcionales a 𝐾𝐼𝐼. Del mismo

modo, en el modo 𝐼𝐼𝐼 solo hay componentes en la dirección de 𝑥3 de acuerdo con 𝑢3 =

𝜏√𝜋𝑎2

𝜇√𝑟

2𝜋sin

𝜃

2=2𝐾𝐼𝐼𝐼

𝜇√𝑟

2𝜋sin

𝜃

2=𝐾𝐼𝐼𝐼

2𝜇√𝑟

2𝜋𝑔3𝐼𝐼𝐼 y {

𝜏13𝜏23} =

𝐾𝐼𝐼𝐼


𝜃

2

+cos𝜃

2

} =𝐾𝐼𝐼𝐼



} con

el factor de 𝐾𝐼𝐼𝐼, de modo que el resultado de la tasa de liberación de energía es

𝑀𝑜𝑑𝑜 𝐼𝐼 ∶ 𝐺𝐼𝐼 = 𝑘𝐼𝐼2 /𝐸′

𝑀𝑜𝑑𝑜 𝐼𝐼𝐼: 𝐺𝐼𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼𝐼2 /2𝜇 = 𝑘𝐼𝐼𝐼

2 (1 + 𝜈)/𝐸

(4. 79)

Si los tres modos están combinados, la tasa de liberación de energía durante la propagación

de una fractura infinitesimal en la dirección 𝑥1es calculada usando la suma

𝐺 = 𝐺𝐼 + 𝐺𝐼𝐼 + 𝐺𝐼𝐼𝐼 =1

𝐸′(𝐾𝐼

2 + 𝐾𝐼𝐼2) + 𝑘𝐼𝐼𝐼

21 + 𝜈

𝐸

(4. 80)

157

4.5.4 Estabilidad de la propagación de la fractura

El criterio de fractura por Griffith establece las condiciones energéticas necesarias para que

una grieta sea capaz de propagarse del todo. La tasa de liberación de energía 𝐺 es a la vez

una función de la longitud de la grieta 𝑎 y de la carga, que, dependiendo del tipo de

condiciones de frontera, puede ser controlada ya sea por las fuerzas (𝐹) o desplazamientos

(𝑞). Por otro lado, en muchos materiales frágiles tales como la cerámica o el hormigón, se

puede observar que la resistencia a el crecimiento de la fractura 𝐺𝑐 aumenta durante la

propagación de la fractura Δ𝐴 Desde un valor inicial 𝐺𝑐0 a un valor de saturación. La razón

de esto es la formación de la zona de proceso hasta su forma final. Este comportamiento

específico del material es descrito por la curva de resistencia al crecimiento de grietas

𝑅 (Δa).

𝐺𝑐 = 𝑅(Δ𝑎) (𝑅 − 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎) (4. 81)

Que se mide durante los experimentos de fractura con una grieta en constante expansión.

Ilustración 74 Estabilidad de la propagación de la fractura

Durante la propagación de grietas, el criterio de fractura modificado de este modo, debe

cumplirse

𝐺(𝐹, 𝑞, 𝑎) = 𝑅(Δ𝑎) (4. 82)

158

Lo que representa en cierto modo, el estado de equilibrio entre la fuerza impulsora de la

fractura y la resistencia a la fractura. A fin de evaluar la estabilidad del proceso de fractura,

tenemos que comparar los cambios de ambos valores durante la propagación de fracturas

como funciones de la longitud de la grieta, es decir,

𝜕𝐺

𝜕𝑎|𝐹,𝑞

<=>

𝜕𝑅

𝜕𝑎{𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

(4. 83)

Por lo que la carga (𝐹 𝑜 𝑞) es fija. El comportamiento de la fractura se llama estable, cuando

la resistencia a la fractura 𝑅 aumenta más rápido que la tasa de liberación de energía 𝐺. En

este caso, es necesario aumentar la carga para que la grieta se amplié aún más. En la

Figura anterior la curva de resistencia a la fractura, así como el suministro de energía para

la propagación de la fractura 𝐺 se muestran como funciones de la longitud de la grieta de

un conjunto de cargas externas (líneas discontinuas). En una fuerza dada 𝐹, estas curvas

muestran un curso monótono creciente con 𝑎. Por el contrario, en los desplazamientos fijos

𝑞, Las curvas 𝐺 (𝑎) tienen una tendencia descendente, debido a que la grieta se relaja por

si sola en su crecimiento. El comportamiento grieta es considerada como inestable tan

pronto como los suministros de energía incrementen más rápido que la resistencia a la

fractura. Entonces, la pendiente de la curva 𝐺 es igual a o mayor que la de la curva 𝑅

(valores marcados con *). La energía excesiva provoca una propagación de grietas

dinámica y acelerada.

Considerando sin embargo la curva 𝐺 para desplazamientos fijos, se hace evidente que

después de la iniciación de grietas en 𝑞2 la grieta nunca puede volverse inestable a pesar

de un aumento de carga. Este tipo de comportamiento es parecido al de dividir madera con

una cuña. También puede ocurrir bajo esfuerzos térmicos de deformación controlada en un

componente fracturado.

Por último, es de destacar que todas las consideraciones que se presentan con la ayuda

de 𝐺 y 𝑅, pueden ser asignados de manera similar a el factor de intensidad de esfuerzos 𝐾𝐼

y a la tenacidad a la fractura de una grieta dependiente de la longitud 𝐾𝑐 (Δ 𝐴), ya que

ambos criterios son equivalentes la mecánica de la fractura lineal elástica.

4.6 La integral J

Este parámetro ha demostrado ser de gran valor, no sólo en la mecánica de fractura lineal

elástica, también podría ser aplicado con mucho éxito en la mecánica de fractura en el

comportamiento del material inelástico.

En esta sección se analizará la aplicación de la integral J para materiales elásticos, que

también pueden ser no lineales. Para una comprensión más fácil las siguientes

elaboraciones se limitan a deformaciones infinitesimales.

159

4.6.1 Derivación de la integral J

En la siguiente sección se puede probar que el cambio de la energía potencial durante la

propagación infinitesimal de la fractura. La velocidad de liberación de energía 𝐺 =

−𝑑𝛱 / 𝑑𝐴 se puede expresar con la ayuda de una línea integral de trayectoria

independiente. La figura siguiente muestra un problema fisura lineal (espesor uniforme B).

Se elige un dominio arbitrario 𝐴 alrededor de la punta de la fractura rodeada por la curva 𝛤,

que se extiende desde la parte inferior hasta la cara superior de la fractura en un sentido

matemático positivo. El vector unitario normal 𝑛𝑗 apunta hacia el exterior. Con el fin de

calcular la energía potencial del sistema, se tiene que considerar todo el cuerpo. Pero el

resultado no depende del dominio elegido. Desde fuera los esfuerzos de sección 𝑡𝑖 = 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗

actuar en 𝛤. Se supone que se mantendrán constantes durante el crecimiento de grietas

𝑑𝑎. Las fuerzas del cuerpo son cero. La grieta se expande a lo largo de su dirección inicial

por 𝑑𝑎 y el dominio 𝐴 se desplaza junto con él. Durante esto, todas las variables de campo

cambian directa e implícitamente con la longitud de la grieta. Por lo tanto, además de las

coordenadas fijas (𝑋1, 𝑋2), un sistema de movimiento (𝑥1 = 𝑋1 − 𝑎, 𝑥2 = 𝑋2) en la punta

de la grieta se introduce.

Ilustración 75 Definición de J como la línea integral alrededor de la punta de la grieta

De modo que la derivada total se lee

𝑑(. )

𝑑𝑎=𝜕(. )

𝜕𝑎+𝜕𝑥1𝜕𝑎

𝜕(. )

𝜕𝑥1=𝜕(. )

𝜕𝑎−𝜕(. )

𝜕𝑥1

(4. 84)

160

De este modo, diferenciamos la energía potencial, que es una función del campo de

desplazamiento 𝑢𝑖, con respecto a la longitud de la grieta

−dΠ(ui)

𝑑𝑎=𝑑

𝑑𝑎 {𝑤𝑒𝑥𝑡(𝑢𝑖) −𝑊𝑖𝑛𝑡(𝑢𝑖)} =

𝑑

𝑑𝑎{∫ 𝑡𝑖𝑢𝑖𝑑𝑠 −Γ

∫ 𝑈𝑑𝐴𝐴

}

= ∫𝜕𝑈(𝑢𝐼)

𝜕𝑥1𝐴

𝑑𝐴 −∫ 𝑡𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥1

𝑑𝑠Γ

+ [−∫𝜕𝑈

𝜕𝑎𝐴

𝑑𝐴 +∫ 𝑡𝑖𝜕𝑢𝑖𝜕𝑎Γ

𝑑𝑠]

(4. 85)

Usando

𝜕𝑈

𝜕𝑎=𝜕𝑈

𝜕휀𝑖𝑗

𝜕휀𝑖𝑗

𝜕𝑎= 𝜎𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑖𝑗

𝜕𝑎

(4. 86)

Convirtiendo la línea integral en un área integral mediante el teorema de la divergencia de

Gauss y aplicando las ecuaciones de equilibrio 𝜎𝑖𝑗,𝑗 = 0 , respectivamente, el termino en

corchetes ([ ]) de la ecuación anterior desaparece. La primera integral también puede ser

convertida por el teorema de Gauss, y se transformó utilizando los la longitud de arco 𝑑𝑠 a

lo largo de 𝛤.

∫ 𝑈,𝑗𝛿1𝑗𝑑𝐴 =𝐴

∫ 𝑈𝑛1𝑑𝑠Γ

= ∫ 𝑈Γ

𝑑𝑥2 (4. 87)

De esta manera la tasa de liberación de energía 𝐺 puede calcularse a lo largo de la curva

𝛤 usando una integral de lineal, que se denota como integral J:

𝐺 = −𝑑Π

𝑑𝑎= 𝐽 ≡ ∫ [𝑈𝑑𝑥2 − 𝑡𝑖

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥1

𝑑𝑠]]Γ

(4. 88)

4.7 Ejemplo: Fractura en placas y carcazas

La aplicación de las estructuras de pared delgada y carcazas ocurre principalmente en la

industria aeroespacial y construcciones ligeras. Donde, debido a la carga de trabajo las

fracturas debido a la fatiga juegan un papel particular. Además de los esfuerzos en la

membrana generan un estado de esfuerzos en la punta de la fractura, como en laminas, la

flexión y momentos de torsión causan un campo cercano diferente adicional en la punta de

la fractura.

161

Basado en la teoría de Kirchhoff de las placas delgadas, Williams fue capaz de calcular las

funciones propias de una grieta en la placa infinita utilizando un desarrollo en serie para la

función de deflexión 𝑤 (𝑥1 , 𝑥2). Más tarde, Sih introdujo la intensidad de los factores de

esfuerzo 𝐾𝐼 y 𝐾𝐼𝐼 para la placa en flexión / placa en torsión. La forma de representación es

consistente con la carga de fractura por 𝐾𝐼 y 𝐾𝐼𝐼 en problemas de placas metálicas, en la

forma en que puede estar relacionado con las tensiones normales y de cortante 𝜎22 y 𝜏12, respectivamente sobre el ligamento por delante de la fractura. La figura siguiente ilustra los

cuatro tipos de apertura de grietas, que pueden ocurrir en carcazas al mismo tiempo.

Ilustración 76 Tipos de apertura de grieta en hojas planas debido a esfuerzos, pandeos y momentos torsionales

Si la coordenada en la dirección del espesor de la placa ℎ se denota por 𝑧 =̂ 𝑥3, la solución

asintótica en la fractura tiene la siguiente forma en coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧)

{

𝜎𝑟𝑟𝑏

𝜎𝜃𝜃𝑏

𝜏𝑟𝜃𝑏

} =𝑘1

(3 + 𝜈)√2𝑟

𝑧

2ℎ

{

(3 + 5𝜈) cos

𝜃

2− (7 + 𝜈) cos

3𝜃

2

(5 + 3𝜈) cos𝜃

2− (7 + 𝜈) cos

3𝜃

2

−(1 − 𝜈) sin𝜃

2+ (7 + 𝜈) sin

3𝜃

2 }

+𝑘2

(3 + 𝜈)√2𝑟

𝑧

2ℎ

{

−(3 + 5𝜈) sin

𝜃

2+ (5 + 3𝜈) sin

3𝜃

2

−2(5 + 3𝜈) cos𝜃

2sin𝜃

−(1 − 𝜈) cos𝜃

2+ (5 + 3𝜈) cos

3𝜃

2 }

(4. 89)

{𝜏𝑟𝑧𝑏

𝜏𝜃𝑧𝑏 } =

[1 − (2𝑧ℎ)2

]

3 + 𝜈(2𝑟)32

ℎ

2{−𝑘1 cos

𝜃

2+ 𝑘2 sin

𝜃

2

−𝑘1 sin𝜃

2− 𝑘2 cos

𝜃

2

}

(4. 90)

162

Los esfuerzos de flexión y de cizallamiento en el plano de la placa (𝑥1, 𝑥2) o (𝑟, 𝜃) se

comportan de nuevo singularmente con 1/√𝑟 . La singularidad 𝑟3

2 de las tensiones de

cizallamiento que actúan verticalmente al plano de la placa es una consecuencia del modelo

de placa de cortante rígido, que cumple las condiciones libres de esfuerzo en la cara de la

grieta sólo aproximadamente mediante la introducción de una fuerza cortante sustituta. De

acuerdo con la teoría de placas, los esfuerzos de flexión se ejecutan a través del espesor

ℎ linealmente con 𝑧. Por lo tanto, las tensiones varían de tensión a la compresión a lo largo

del frente de la grieta y asumen (𝑧 = ± ℎ / 2) maxima con signos opuestos en las

superficies superior e inferior. En el plano neutro (𝑧 = 0), la grieta no tuvo algún esfuerzo

en absoluto. Sin embargo, un posible contacto de las caras de la grieta no pueden

considerarse dentro de la teoría de placas. La región, donde el campo cercano de k-

controlada domina, se trata de 𝑎 / 10.

La función de deflexión 𝑤(𝑟, 𝜃) en el plano medio de la placa tiene la siguiente asíntota en

la punta de la fractura.

𝑤 =(2𝑟)

32(1 − 𝜈2)

2𝐸ℎ(3 + 𝜈)(𝑘1 [

1

3

7 + 𝜈

1 − 𝜈cos

3𝜃

2− cos

𝜃

2 ] + 𝑘2 [

1

3

5 + 3𝜈

1 − 𝜈sin3𝜃

2− sin

𝜃

2])

(4. 91)

Dado que los esfuerzos y las variables seccionales 𝑚𝑖𝑗, 𝑞𝑖 se calcula a partir de 𝑤 por

derivación doble, 𝑟 tiene que estar en la potencia de 3/2. La ecuación diferencial de la teoría

de placa de Kirchhoff es muy similar a la ecuación bi-potencial del problema de placa. Por

lo tanto, los factores de intensidad de esfuerzos se obtienen de la función compleja de

esfuerzos 𝜑 por un proceso limitante para 𝑧 → 𝑧0 hacia la punta de la fractura.

𝑘1 − 𝑖𝑘2 = −√2𝐸ℎ(3 + 𝜈)

1 − 𝜈2lim𝑧→ 𝑧0

√𝑧 − 𝑧0𝜙′(𝑧) (4. 92)

Como ejemplo, para una placa infinita bajo un momento flector constante 𝑚0 en todas

partes, la solución es

𝑘1 =6𝑚0ℎ2

√𝑎, 𝑘2 = 0 (4. 93)

163

Utilizando la-teoría de Reissner de placas gruesas que permiten deformaciones de corte,

se obtiene, como se esperaba, la misma asintótica como en un estado de deformación

plana, por lo que los factores 𝐾𝐼, 𝐾𝐼𝐼 corren a lo largo del frente de la fractura linealmente

con 𝑧. Este campo de la punta de la fractura es válido sólo en una región 𝑟 < ℎ / 10, este

se encuentra incrustado dentro de las asintóticas de Kirchhoff y se define únicamente por

ella. Por eso, la teoría de Kirchhoff es mayormente suficiente para cálculos de fractura

mecánica de placas y carcazas. La teoría también es preferida debido a su menor esfuerzo

necesario para la desratización.

Hui y Zehnder establecieron la relación entre las tasas de liberación de energía y los

factores de esfuerzo de Kirchhoff

𝐺1 =𝑘12𝜋(1 + 𝜈)

3𝐸(3 + 𝜈), 𝐺2 =

𝑘22𝜋(1 + 𝜈)

3𝐸(3 + 𝜈)

164

Capítulo 5.- El MEF y solución de problemas de

Fractura Lineal.

En el capítulo anterior se introdujeron los parámetros de carga pertinentes de para una

fractura elástica-lineal: los factores de intensidad de esfuerzo KI, KII, KIII y la tasa de

liberación de energía 𝐺 ≡ 𝐽. Sus valores dependen de la geometría de la estructura, de su

carga, la longitud y la forma de la fractura y en las propiedades elásticas del material.

Aunque el método del elemento finito se puede aplicar directamente para resolver un

problema con valores a la frontera, su uso en problemas de fractura implica una dificultad

fundamental. Esta dificultad radica en la determinación exacta de la singularidad en la punta

de la fractura con la ayuda de un método de aproximación numérica como el MEF. Los tipos

de elementos finitos convencionales sólo tienen funciones polinómicas regulares para 𝑢𝑖,

휀𝑖𝑗 y 𝜎𝑖𝑗. Por lo tanto se da una mala aproximación a la singularidad de la fractura. Por esta

razón, funciones especiales para el elemento, algoritmos numéricos o técnicas de

evaluación para obtener los parámetros de carga de una solución de MEF eficiente y precisa

son necesarias.

5.1 Interpretación de la solución numérica en la punta de la grieta

El método más simple para determinar el factor de intensidad de esfuerzos se obtiene de

comparar:

{

𝜎11𝜎22𝜏12} =

𝐾1

√2𝜋𝑟

{

cos

𝜃

2[1 − sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

cos𝜃

2[1 + sin

𝜃

2sin3𝜃

2]

sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2 }

=𝐾1

√2𝜋𝑟 {

𝑓11𝐼 (𝜃)

𝑓22𝐼 (𝜃)

𝑓12𝐼 (𝜃)

}

{𝑢1𝑢2} =


2𝜋{cos

𝜃


sin𝜃




𝑔2𝐼 (𝜃)

}

(5. 1)

Con la solución del campo cercano, para el modo I:

𝑢𝑖(𝑟,𝜃) =1

2𝜇√𝑟

2𝜋𝑘𝐼𝑔𝑖

𝐼(𝜃), 𝜎𝑖𝑗(𝑟, 𝜃) =𝐾𝐼

√2𝜋𝑟𝑓𝑖𝑗𝐼 (𝜃)

(5. 2)

Para un punto (𝑟∗, 𝜃∗), se puede calcular entonces un valor para 𝐾𝐼∗ y también para los

desplazamientos 𝑢𝑖𝐹𝐸𝑀 o los esfuerzos 𝜎𝑖𝑗

𝐹𝐸𝑀 convirtiendo las ecuaciones anteriores

165

𝑘𝐼∗(𝑟∗, 𝜃∗) = 2𝜇√

2𝜋

𝑟∗𝑢𝑖𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜃∗)

𝑔𝑖𝐼(𝜃∗)

𝐾𝐼∗(𝑟∗, 𝜃∗) =

√2𝜋𝑟∗𝜎𝑖𝑗𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜃∗)

𝑓𝑖𝑗𝐼 (𝜃∗)

(5. 3)

Los desplazamientos adquieren mejores valores en los nodos, mientras que los esfuerzos

son generalmente dados en los puntos de integración, teniendo allí mayor precisión.

Fuera de la región del dominio 𝑟∗ > 𝑟𝐾, la ecuación anterior pierde su justificación, ya que

surgen otros términos de soluciones, además de la singularidad. Por lo tanto, una

extrapolación lineal de la función 𝐾𝐼∗ (𝑟∗) alcance medio hacia la punta de la grieta 𝑟∗ → 0

se sugiere como una técnica pragmática. Con esta interpretación se obtienen los mejores

resultados en las siguientes posiciones:

a) valores de los desplazamientos de la abertura de la fractura en la cara de la

fractura (con relación a un posible desplazamiento 𝑢2𝐹𝐸𝑀(0) del nodo de la

punta de la grieta)

𝐾𝐼 = lim𝑟∗⟶0

𝑢2𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜃 = 𝜋)

𝐸′

4√(2𝜋

𝑟∗)

𝐸′ = 𝐸 (𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) 𝐸′ = 𝐸(1 − 𝜈2) (𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎)

(5. 4)

b) valores de las tensiones normales sobre el ligamento en frente de la grieta

𝐾𝐼 = lim𝑟∗⟶0

𝜎2𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜃 = 0)

𝐸′

4√(2𝜋𝑟∗)

(5. 5)

Esta interpretación centrada en carga modo I se puede aplicar de forma análoga a las

geometrías de dos dimensiones cargadas exclusivamente con modos de fractura II o III. En

estos casos, la grieta se encuentra en un plano de simetría del cuerpo (eje x1), por lo que

un medio modelo es suficiente para que se analice por MEF. Debido a sus propiedades de

simetría y anti-simetría, las siguientes condiciones de frontera se deben observar en el

ligamento (| 𝑥1 | > 0, 𝑥2 = 0): Modo II: 𝑢1 = 𝜎22 = 0, el modo III: 𝑢3 = 0. Utilizando las

soluciones asintóticas para el modo II

{

𝜎11𝜎22𝜏12} =

𝐾𝐼𝐼

√2𝜋𝑟

{

−sin

𝜃

2[2 + cos

𝜃

2cos

3𝜃

2]

sin𝜃

2cos

𝜃

2cos

3𝜃

2

cos𝜃

2[1 − sin

𝜃

2sin3𝜃

2] }

=𝐾𝐼𝐼

√2𝜋𝑟 {




}

{𝑢1𝑢2} =

𝐾𝐼𝐼2𝜇√𝑟

2𝜋{cos

𝜃

2[𝑘 + 2 + cos 𝜃]

−cos𝜃

2[𝑘 − 2 + cos𝜃]


2𝜋{𝑔1𝐼𝐼(𝜃)

𝑔2𝐼𝐼(𝜃)

}

(5. 6)

166

Y para el modo III

𝑢3 = 𝜏√𝜋𝑎2

𝜇√𝑟

2𝜋sin𝜃

2=2𝐾𝐼𝐼𝐼𝜇

√𝑟

2𝜋sin𝜃

2=𝐾𝐼𝐼𝐼2𝜇

√𝑟

2𝜋𝑔3𝐼𝐼𝐼

{𝜏13𝜏23} =

𝐾𝐼𝐼𝐼


𝜃

2

+ cos𝜃

2

} =𝐾𝐼𝐼𝐼



}

(5. 7)

Se obtiene la fórmula para la determinación de los factores 𝐾 de los desplazamientos en la

cara de la fractura o los esfuerzos de los ligamentos:

𝐾𝐼𝐼 = lim𝑟∗⟶0

𝑢1𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜋)

𝐸′

4√(2𝜋

𝑟∗) ; 𝐾𝐼𝐼 = lim

𝑟∗⟶0𝜏21𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 0)√(2𝜋𝑟∗)

𝐾𝐼𝐼𝐼 = lim𝑟∗⟶0

𝑢3𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 𝜋)

𝐸′

4(1 + 𝜈)√(2𝜋

𝑟∗) ; 𝐾𝐼𝐼𝐼 = lim

𝑟∗⟶0𝜏23𝐹𝐸𝑀(𝑟∗, 0)√(2𝜋𝑟∗)

(5. 8)

Los factores 𝐾 se pueden determinar a partir de los desplazamientos relativos Δ𝑢𝑖(𝑟∗) =

𝑢𝑖(𝑟∗, 𝜃 = + 𝜋) − 𝑢𝑖 (𝑟

∗, 𝜃 = −𝜋) de dos nodos opuestos en las caras de la fractura

{

𝐾𝐼𝐾𝐼𝐼𝐾𝐼𝐼𝐼

} = lim𝑟∗⟶0

√(2𝜋

𝑟∗)

{

𝐸′

8Δ𝑢2(𝑟

∗)

𝐸′

8Δ𝑢1(𝑟

∗)

𝐸′

8(1 + 𝜈)Δ𝑢3(𝑟

∗)}

(5. 9)

Este método directo interpretación de desplazamiento (DIM) y el método de interpretación

de esfuerzos (SIM) son las técnicas más simples para determinar los factores 𝐾. Debido a

la extrapolación relativamente arbitraria, también tienen el nivel más bajo de precisión. Sin

embargo, son adecuados para una interpretación aproximada de resultados del MEF

directamente disponibles por cálculo manual simple.

167

5.2 Elementos finitos especiales en la punta de la fractura

5.2.1 Elementos isoparimétricos de desplazamiento modificados

El descubrimiento de los llamados elementos de un cuarto de punto (ECP) fue realizados

de forma independiente por Henshell y Shaw y Barsoum. La idea básica consiste en

modificar elementos isoparamétricos con una función de forma cuadrática tal que la

posición de los nodos de la parte media se altera. Es decir, se cambian las coordenadas de

estos nodos del centro hacia la posición de un cuarto de punto en la dirección de la punta

de la fractura para todas las aristas del elemento que apuntan a la punta de la fractura. Esto

efectúa un cambio de los campos de desplazamiento, deformación y esfuerzo en el

elemento en una forma, que corresponde exactamente a la función radial del campo en la

punta de la fractura. La aparición de un singular 1/√𝑟 comportamiento se debe a la

correlación no lineal entre las coordenadas naturales (isoparamétrica) y locales

(geométrica) 𝜉 → 𝑥. Por lo tanto, nos referimos a ellas como funciones de forma

nodalmente distorsionadas.

5.2.1.1 Elementos de un cuarto de punto en una dimensión.

Ilustración 77 elemento de cuarto de punto unidimensional:(a) coordenadas naturales; (b) coordenadas cartesianas locales

La Figura b muestra un elemento de un cuarto de punto 1D en la punta de la fractura en el

espacio geométrico, la distancia de los tres nodos 1, 3 y 2 viene dada por la coordenada 𝑟.

La posición del nodo intermedio 3 está controlado por el parámetro 𝜅. La Figura a se refiere

al espacio de parámetros 𝜉 (=̂ 𝜉1). La función de desplazamiento 1D cuadrática de este

elemento es:

𝑢(𝜉) = ∑𝑁𝑎(𝜉)𝑢(𝑎)

3

𝑎=1

=1

2𝜉(𝜉 − 1)𝑢(1) + (1 − 𝜉2)𝑢(3) +

1

2𝜉(𝜉 + 1)𝑢(2)

= 𝑢(3) +1

2(𝑢(2) − 𝑢(1))𝜉 + [

1

2(𝑢(1) + 𝑢(2)) − 𝑢(3)] 𝜉2

(5. 10)

168

Debido a la formulación del elemento isoparamétrica, la misma función de interpolación

también es válida para las coordenadas, es decir, así como para el radio 𝑟 con los valores

nodales 𝑟(1) = 0, 𝑟(3) = 𝜅𝐿, 𝑟(2) = 𝐿:

𝑟(𝜉) = ∑𝑁𝑎(𝜉)𝑟(𝑎)

3

𝑎=1

= 𝜅𝐿 +1

2𝐿𝜉 + (

1

2− 𝜅)𝐿𝜉2

(5. 11)

En el caso de un elemento de 1D regular, 𝜅 = 1/2 es válida, ya partir de la ecuación

anterior seguiría entonces 𝜉 = 2𝑟 / 𝐿 − 1. La inserción de esta relación lineal en 𝑢(𝜉) =

𝑢(3) +1

2(𝑢(2) − 𝑢(1))𝜉 + [

1

2(𝑢(1) + 𝑢(2)) − 𝑢(3)] 𝜉2 se traduce a su vez en un polinomio de

segundo grado para el desplazamiento 𝑢 (𝑟). Pero si se cambia el nodo (3) a la posición

cuarto de punto 𝜅 = 1/4, entonces la ecuación proporciona en su lugar la relación

𝑟 =𝐿

4(1 + 𝜉)2 ⇒ 𝜉 = 2√

𝑟

𝐿− 1

(5. 12)

Que produce con La función de desplazamiento 1D cuadrática la siguiente dependencia

radial del desplazamiento y deformación

𝑢(𝑟) = 𝑢(1) + (−3𝑢(1) − 𝑢(2) + 4𝑢(3))√𝑟

𝐿+ 2(𝑢(1) + 𝑢(2) − 2𝑢(3))

𝑟

𝐿

휀(𝑟) =𝜕𝑢

𝜕𝑟= (−

3

2𝑢(1) −

1

2𝑢(2) + 2𝑢(3))

1

√𝐿𝑟+ 2(𝑢(1) + 𝑢(2) − 2𝑢(3))

1

𝐿

(5. 13)

Como podemos ver, la función de desplazamiento ahora contiene además una constante

(desplazamiento del cuerpo rígido) y una función lineal, también un término √𝑟, que

reproduce exactamente el campo de desplazamientos en la punta de la grieta. La tensión

en el elemento de un cuarto de punto exhibe la deseada singularidad 1/√𝑟 y también posee

el término constante necesario.

169

5.2.1.2 Elementos de un cuarto de punto en dos dimensiones, cuadriláteros y triangulares.

Para calcular problemas de fractura de dos dimensiones, elementos de cuarto de punto se

generan a partir de un rectángulo isoparamétrico o elementos cuadriláteros desplazando

el nodo medio a lo largo de dos bordes, como se muestra en la Figura.

Ilustración 78 (a) elemento cuadrilátero isoperamétrico de 8 nodos nodalmente distorsionado,(b) elemento triangular de 6 nodos

La consideración 1D de la sección anterior se puede aplicar directamente a los bordes 1 −

5 − 2 y 1 − 8 − 4 asi se obtienen las funciones de fractura específica deseadas.

𝑢(𝑟) = 𝑢(1) + (−3𝑢(1) − 𝑢(2) + 4𝑢(3))√𝑟

𝐿+ 2(𝑢(1) + 𝑢(2) − 2𝑢(3))

𝑟

𝐿

휀(𝑟) =𝜕𝑢

𝜕𝑟= (−

3

2𝑢(1) −

1

2𝑢(2) + 2𝑢(3))

1

√𝐿𝑟+ 2(𝑢(1) + 𝑢(2) − 2𝑢(3))

1

𝐿

(5. 14)

Estas características sólo existen en un área estrecha (gris) en los ejes radiales. Por otra

parte, se debe a la condición de que todos los bordes de los elementos son líneas rectas.

Dado que la dependencia angular de la solución de campo cercano sólo puede ser

reproducida de manera pobre con estos elementos de grietas (90◦ ángulo), se utilizan en

raras ocasiones.

170

5.2.1.3 Elementos cuadriláteros colapsados.

El elemento en la punta de la fractura, que se utiliza con mayor frecuencia es el elemento

de 8 nodos isoparamétrico en el que un lado (por ejemplo 𝜉1 = −1) está contraído a un

punto de modo que los nodos tienen coordenadas idénticas, como se muestra en la Figura.

Ilustración 79 Elemento cuadrilátero de 8 nodos colapsado

Según Barsoum, este elemento cuadrilátero, degenerado en un triángulo, posee varias

propiedades especiales que se pueden utilizar ventajosamente en fractura lineal. Un grupo

de estos elementos está dispuesto en forma de abanico alrededor de la punta de la fractura,

en el que los nodos colapsados se encuentran en la punta de la fractura (𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0).

Además, se permite que para el posicionamiento variable de los nodos intermedios 5 y 7

con el parámetro 𝜅. De acuerdo con la figura, las coordenadas nodales leen:

𝑥1(1)= 𝑥1

(4)= 𝑥1

(8)= 0, 𝑥1

(2)= 𝑥1

(6)= 𝑥1

(3)= 𝐿, 𝑥1

(5)= 𝑥1

(7)= 𝜅𝐿

𝑥2(1)= 𝑥2

(4)= 𝑥2

(8)= 0, 𝑥2

(2)= −𝐻, 𝑥2

(6)= 0, 𝑥2

(3)= 𝐻, 𝑥2

(5)= −𝜅𝐻, 𝑥2

(7)= 𝜅𝐻

(5. 15)

Con la ayuda de las funciones de forma para elementos cuadriláteros se obtienen las

coordenadas

𝑥1 =𝐿

2[(1 + 𝜉1)

2(1 − 2𝜅) − (1 + 𝜉1)(1 − 4𝜅)]

𝑥2 =𝐻

2𝜉2[(1 + 𝜉1)

2(1 − 2𝜅) − (1 + 𝜉1)(1 − 4𝜅)]

(5. 16)

Y la distancia 𝑟 a la punta de la fractura es

𝑟 = √𝑥12 + 𝑥2

2 =1

2√𝐿2 +𝐻2𝜉2

2[(1 + 𝜉1)2(1 − 2𝜅) − (1 + 𝜉1)(1 − 4𝜅)]

(5. 17)

171

El caso especial de la posición del cuarto de punto 𝜅 = 1/4

𝑥1 =𝐿

4(1 + 𝜉1)

2, 𝑥2 =𝐻

4𝜉2(1 + 𝜉1)

2

𝑟 =1

4(1 + 𝜉1)

2√𝐿2 +𝐻2𝜉22 ⇒ (1 + 𝜉1) =

√𝑟

12√𝐿2 +𝐻2𝜉2

24

(5. 18)

Los elementos de la matriz Jacobiana son calculados desde las funciones de las

coordenadas

𝐽11 =𝜕𝑥1𝜕𝜉1

= 𝐿 [(1 + 𝜉1)(1 − 2𝜅) −1

2(1 − 4𝜅)]

𝐽21 =𝜕𝑥1𝜕𝜉2

= 0

𝐽12 =𝜕𝑥2𝜕𝜉1

= 𝐻𝜉2 [(1 + 𝜉1)(1 − 2𝜅) −1

2(1 − 4𝜅)] =

𝐻

𝐿𝜉2𝐽11

𝐽22 =𝜕𝑥2𝜕𝜉2

=𝐻

2(1 + 𝜉1)[(1 + 𝜉1)(1 − 2𝜅) − (1 − 4𝜅)] =

𝑟𝐻

√𝐿2 +𝐻2𝜉22

(5. 19)

Con 𝜅 = 1/4 se obtiene la siguiente dependencia en el radio:

𝐽11 =𝐿

2(1 + 𝜉1)~√𝑟, 𝐽21 = 0

𝐽12 =𝐻

2𝜉2(1 + 𝜉1)~√𝑟, 𝐽22 =

𝐻

4(1 + 𝜉1)

2~𝑟

𝐽 = det|𝐉| = 𝐽11𝐽22 =𝐿𝐻

8(1 + 𝜉1)

3~𝑟32

(5. 20)

Para el cálculo de las deformaciones, se tienen que formar los gradientes de

desplazamiento:

[ 𝜕𝑢

𝜕𝑥1𝜕𝑢

𝜕𝑥2]

= 𝑱−𝟏

[ 𝜕𝑢

𝜕𝜉1𝜕𝑢

𝜕𝜉2]

𝑐𝑜𝑛 𝐽𝑖𝑗−1 =

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥𝑖

(5. 21)

172

Aquí, 𝑢 representa para cada componente del vector de desplazamiento 𝑢𝑖, por ejemplo,

𝑢1. Con ayuda computacional, nos encontramos con las derivadas con respecto a las

coordenadas naturales 𝜉𝑗 ordenados por potencias de 𝜉𝑗:

𝜕𝑢

𝜕𝜉1= ∑

𝜕𝑁𝑎(𝜉1, 𝜉2)

𝜕𝜉1

8

𝑎=1

𝑢(𝑎)

= 𝑎0 + 𝑎1(1 + 𝜉1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜕𝑢

𝜕𝜉2= 𝑏0 + 𝑏1(1 + 𝜉1) + 𝑏2(1 + 𝜉1)

2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

(5. 22)

Para una visión más clara, las constantes 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖 se introdujeron con el fin de reconocer la

función de (1 + 𝜉1) ~√𝑟. Análogamente, se obtienen las derivadas de 𝑢2 =̂ 𝑢 partir de las

ecuaciones anteriores y con otras constantes:

𝜕𝑢2𝜕𝜉1

= 𝑐0 + 𝑐1(1 + 𝜉1)

𝜕𝑢2𝜕𝜉2

= 𝑑0 + 𝑑1(1 + 𝜉1) + 𝑑2(1 + 𝜉1)2

(5. 23)

Usando los gradientes de desplazamiento y usando la inversa del Jacobiano se tiene

휀11 =𝜕𝑢1𝜕𝑥1

= 𝐽11−1𝜕𝑢2𝜕𝜉1

+ 𝐽12−1𝜕𝑢2𝜕𝜉2

=𝑎0 + 𝑎1(1 + 𝜉1)

√𝑟 + 𝑏0 + 𝑏1(1 + 𝜉1) + 𝑏2(1 + 𝜉1)

2

𝑟=𝑏0𝑟+𝑒1

√𝑟+ 𝑒2

휀22 =𝜕𝑢

𝜕𝑥2= 𝐽21

−1𝜕𝑢2𝜕𝜉1

+ 𝐽22−1𝜕𝑢2𝜕𝜉2

=𝑑0𝑟+𝑑1

√𝑟+ 𝑑2

휀12 =1

2(𝜕𝑢1𝜕𝑥2

+𝜕𝑢2𝜕𝑥1

) =𝑏0 + 𝑑0𝑟

+𝑓1

√𝑟+ 𝑓2

(5. 24)

Usando las ecuaciones anteriores se determina la dependencia radial de las deformaciones

en el elemento. Las constantes 𝑎𝑖 − 𝑓𝑖 (𝑖 = {0, 1, 2}) dependerán de los desplazamientos

nodales reales y el segundo parámetro ξ2, que es constante en un rayo radial. De esto se

deduce:

𝑏0 = 𝑑0 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑖(1)= 𝑢𝑖

(4)= 𝑢𝑖

(8) (5. 25)

173

Así, los términos singulares fuertes con 1 / 𝑟 se descartan, y el elemento de punta de la

fractura posee la deseada 1/√𝑟 -singularidad de la solución elástica al campo cercano más

un término de deformación constante, que es esencial para el comportamiento de la

convergencia y la consideración de las dilataciones térmicas. Por otra parte, la continuidad

requerida se satisface con los elementos de un cuarto de punto vecinos a lo largo de los

bordes 1-5-2 y 4-7-3, así como con los elementos habituales del siguiente anillo junto 2-6-

3. Además, los tres grados de libertad de movimientos de cuerpo rígido no están

restringidos por esta modificación del elemento. El borde 2-6-3 tiene que ser recto.

5.2.1.4 Elementos de un cuarto de punto en tres dimensiones

El concepto de elementos de un cuarto de punto se puede ampliar sin problemas a los

problemas de grietas tridimensionales por una expansión prismática de los elementos 2D

vistos anteriormente a lo largo del frente de la fractura en tercera dimensión. De esta

manera, los elementos hexaédricos-nodales distorsionados y elementos pentahedricos que

surgen se agrupan alrededor de cada segmento del frente de fractura como se muestra en

la Figura.

Ilustración 80 Arreglo de cuarto de punto de diferentes elementos con fractura

174

Las propiedades de la singularidad son entonces aplicable a cada plano de elemento

perpendicular al frente de la grieta (𝜉3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.). La siguiente figura muestra un elemento

pentahedrico con 15 nodos que se encuentra con su borde 1 − 13 − 4 en el frente de la

grieta.

Ilustración 81 (a) elemento pentaedrico, (b) elemento hexaédrico colapsado

Los nodos 7, 9, 10 y 12 se desplazan a la posición de un cuarto, es decir, sus coordenadas

𝑥 (𝑖) = [𝑥1(𝑖), 𝑥2(𝑖), 𝑥3(𝑖)] se calculan como:

𝑥(7) =(3𝑥(1) + 𝑥(2))

4, 𝑥(9) =

3𝑥(1) + 𝑥(3)

4

𝑥(10) =(3𝑥(4) + 𝑥(5))

4, 𝑥(12) =

3𝑥(4) + 𝑥(6)

4

(5. 26)

Con el fin de que las propiedades singulares deseadas sean satisfechas a lo largo de cada

borde del elemento perpendicular al frente de la fractura (𝜉3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.), Las siguientes

condiciones geométricas deben cumplirse: Los bordes opuestos de la grieta deben ser

líneas rectas:

𝑥(8) =𝑥(2) + 𝑥(3)

2, 𝑥(11) =

𝑥(5) + 𝑥(6)

2

(5. 27)

Los nodos de la mitad en la superficie exterior deben colocarse exactamente de tal manera

que su distancia al frente de la grieta corresponde a la media aritmética de las distancias

en ambas caras frontales, es decir, con una posición dada del nodo 13 como sigue:

𝑥(14) = [(𝑥(2) − 𝑥(1)) + (𝑥(5) − 𝑥(4)) + 2𝑥(13)]/2

𝑥(15) = [(𝑥(3) − 𝑥(1)) + (𝑥(6) − 𝑥(4)) + 2𝑥(13)]/2

(5. 28)

175

En el caso especial de una fractura con frente recto 𝑥(13) = (𝑥(1) + 𝑥(4)) / 2, se obtiene el

pentaedro prismático con caras planas de la primera figura.

En analogía a los elementos cuadriláteros colapsadas, los hexaedros isoparamétricos

pueden degenerarse a elementos pentahedricos, con lo que la superficie colapsada

coincida con el frente de la fractura:

𝑥(1) = 𝑥(4) = 𝑥(12), 𝑥(17) = 𝑥(20), 𝑥(5) = 𝑥(8) = 𝑥(16) (5. 29)

Los nodos de un cuarto de punto se ubican en

𝑥(9) =(3𝑥(1) + 𝑥(2))

4, 𝑥(11) =

3𝑥(1) + 𝑥(3)

4

𝑥(13) =(3𝑥(4) + 𝑥(5))

4, 𝑥(15) =

3𝑥(4) + 𝑥(6)

4

(5. 30)

Y los nodos en la superficie lejos de la fractura tienen las posiciones

𝑥(10) =𝑥(2) + 𝑥(3)

2, 𝑥(14) =

𝑥(6) + 𝑥(7)

2

𝑥(18) = [(𝑥(2) − 𝑥(1)) + (𝑥(6) − 𝑥(5)) + 2𝑥(17)]/2

𝑥(19) = [(𝑥(3) − 𝑥(1)) + (𝑥(7) − 𝑥(5)) + 2𝑥(17)]/2

(5. 31)

Además, todos los nodos en la misma ubicación en la superficie de este elemento tienen

que estar cinemáticamente acoplados entre sí.

𝑢(1) = 𝑢(4) = 𝑢(12), 𝑢(17) = 𝑢(20), 𝑢(5) = 𝑢(8) = 𝑢(16) (5. 32)

176

5.2.2 Cálculo de los factores de intensidad de los elementos de un cuarto de

punto.

5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto planos

Para los problemas de fractura en dos dimensiones, existe una fórmula simple para calcular

el factor de intensidad de esfuerzos a partir de los resultados de los elementos de cuarto

de punto. Para este propósito, se interpretan los desplazamientos en las caras de la

fractura. No importa qué tipo de elementos de un cuarto de punto se utiliza, en estos bordes

el curso de desplazamiento a partir de la siguiente ecuación es válida.

𝑢(𝑟) = 𝑢(1) + (−3𝑢(1) − 𝑢(2) + 4𝑢(3))√𝑟

𝐿+ 2(𝑢(1) + 𝑢(2) − 2𝑢(3))

𝑟

𝐿

(5. 33)

Las notaciones generales para los nodos en la grieta punta 𝐴 (𝑟 = 0), los nodos cuarto de

punto 𝐵 (𝑟 = 𝐿 / 4, 𝜃 = 𝜋) y 𝐵 (𝑟 = 𝐿 / 4, 𝜃 = −𝜋), así como los nodos esquina 𝐶 (𝑟 =

𝐿, 𝜃 = 𝜋) y 𝐶(𝑟 = 𝐿/4, 𝜃 = −𝜋). Comparando el término √𝑟 de la ecuación anterior y la

solución de campo cercano para el modo 𝐼 en la cara superior de la fractura 𝐶 − 𝐵 − 𝐴:

𝑢2(𝑟) =4

𝐸′𝐾𝐼√

𝑟

2𝜋=! [−3𝑢2(𝑟 = 0) − 𝑢2(𝑟 = 𝐿) + 4𝑢2 (𝑟 =

𝐿

4)]√

𝑟

𝐿

⇒ 𝐾1 =𝐸′

4√2𝜋

𝐿[4𝑢2 (𝑟 =

𝐿

4) − 𝑢2(𝑟 = 𝐿) − 3𝑢2(𝑟 = 0)

=𝐸′

4√2𝜋

𝐿[4𝑢2

𝐵 − 𝑢2𝐶 − 3𝑢2

𝐴]

(5. 34)

Para el modo de puro de carga 𝐼𝐼 o 𝐼𝐼𝐼, los desplazamientos en la cara de la fractura también

se comportan antisimétricamente, y obtenemos los correspondientes factores 𝐾 con

consideraciones similares:

𝐾𝐼𝐼 =𝐸′

4√2𝜋

𝐿[4𝑢1

𝐵 − 𝑢1𝐶 − 3𝑢1

𝐴]

𝐾𝐼𝐼𝐼 =𝐸′

4(1 + 𝜈)√2𝜋

𝐿[4𝑢3

𝐵 − 𝑢3𝐶 − 3𝑢3

𝐴]

(5. 35)

177

En el caso general de carga de modo mixto, los desplazamientos relativos de las caras de

la fractura tienen que ser evaluados en relación entre sí con:

{𝐾𝐼𝐾𝐼𝐼𝐾𝐼𝐼𝐼

} = lim𝑟∗⟶0

√(2𝜋

𝑟∗)

{

𝐸′

8Δ𝑢2(𝑟

∗)

𝐸′

8Δ𝑢1(𝑟

∗)

𝐸′

8(1 + 𝜈)Δ𝑢3(𝑟

∗)}

(5. 36)

La intensidad de los factores de 𝐾𝐼, 𝐾𝐼𝐼 y 𝐾𝐼𝐼𝐼 se asocian únicamente con las respectivas

direcciones de desplazamiento 𝑢2, 𝑢1 y 𝑢3 de manera que se obtienen las siguientes

ecuaciones desacopladas:

𝐾𝐼 =𝐸′

8√2𝜋

𝐿[4Δ𝑢2

𝐵 − Δ𝑢2𝐶]

𝐾𝐼𝐼 =𝐸′

8√2𝜋

𝐿[4Δ𝑢1


𝐾𝐼𝐼𝐼 =𝐸′

8(1 + 𝜈)√2𝜋

𝐿[4Δ𝑢3


(5. 37)

Para mayor de la brevedad, la diferencia de desplazamiento sobre la cara de la fractura en

la ubicación del par de nodos se denota como sigue:

Δ𝑢𝑖𝐵 = 𝑢𝑖

𝐵 − 𝑢𝑖𝐵′ (5. 38)

5.2.2.1Formulacion para elementos de cuarto de punto tridimensionales.

También en el caso de los elementos de un cuarto de punto tridimensionales los

desplazamientos nodales se interpretan preferentemente en las superficies de la fractura

porque aquí (por isotropía) los modos de fractura son desacoplados. Independientemente

de si se utilizan hexaédricos o elementos pentaédricos, siempre los nodos de un elemento

de 8-nodos distorsionados se encuentran en la fractura. Si se denotan estos nodos con

letras de la 𝐴 − 𝐻 y sus opuestos en la cara de la fractura con 𝐴′ − 𝐻′, entonces se obtienen

las siguientes fórmulas de interpretación para los factores K.

178

7. Simetría / antisimetría

Si la grieta se encuentra en un plano de simetría de la estructura bajo consideración, el

modelo MEF puede ser reducido a la mitad. Bajo carga simétrica, sólo en el modo 𝐼 se

produce en la fractura, y los desplazamientos normales 𝑢2 ≡ 0 desaparecen en el

ligamento, también en los nodos del frente de la fractura 𝐴,𝐻, 𝐺.

𝐾𝐼(𝜉3) =𝐸′

4√2𝜋

𝐿′{2𝑢2

𝐵 − 𝑢2𝐶 + 𝑢2

𝐸 − 𝑢2𝐹 + 𝑢2

𝐷 +1

2𝜉3(−4𝑢2

𝐵 + 𝑢2𝐶 + 4𝑢2

𝐸 − 𝑢2𝐹)

+1

2𝜉32(𝑢2

𝐹 + 𝑢2𝐶 − 2𝑢2

𝐷)}

(5. 39)

La carga antisimétrica conduce apertura de una fractura de modo 𝐼𝐼 y/o 𝐼𝐼𝐼, que

generalmente están acoplados. A continuación, los desplazamientos tangenciales 𝑢1 ≡

𝑢3 ≡ 0 deben ser previstos sobre el ligamento, y los componentes de desplazamiento

correspondientes de los nodos en el frente de la fractura 𝐴,𝐻, 𝐺 son cero. A partir de la

ecuación anterior obtenemos ecuaciones correspondientes para determinar 𝐾𝐼𝐼 (𝜉3) y

𝐾𝐼𝐼𝐼 (𝜉3) si los respectivos componentes de desplazamiento 𝑢1 o 𝑢3 son evaluados en lugar

de 𝑢2. La exposición de los factores de intensidad de esfuerzos, como las funciones de

desplazamiento, y un campo de segundo grado a lo largo del frente de la grieta, son

continuos en la transición de un elemento de la fractura al siguiente.

8. Caso general

Con una geometría arbitraria y la carga en la fractura 3D, obtenemos los tres factores de

intensidad de las diferencias de desplazamiento de los nodos opuestos sobre la grieta se

enfrenta, de acuerdo con Δ𝑢𝑖𝐵 = 𝑢𝑖

𝐵 − 𝑢𝑖𝐵′, en el que los elementos de la fractura por

supuesto deben estar acomodados simétricamente

𝐾𝐼(𝜉3) =𝐸′

8√2𝜋

𝐿′{2Δ𝑢2

𝐵 − Δ𝑢2𝐶 + 2Δ𝑢2

𝐸 − Δ𝑢2𝐹 + Δ𝑢2

𝐷

+1

2𝜉3(−4Δ𝑢2

𝐵 + Δ𝑢2𝐶 + 4Δ𝑢2

𝐸 − Δ𝑢2𝐹)

+1

2𝜉32(Δ𝑢2

𝐹 + Δ𝑢2𝐶 − 2Δ𝑢2

𝐷)}

𝐾𝐼𝐼(𝜉3) =𝐸′

8√2𝜋

𝐿′{2Δ𝑢1



𝐷

+1

2𝜉3(−4Δ𝑢1



+1

2𝜉32(Δ𝑢1


𝐷)}

(5. 40)

179

𝐾𝐼𝐼𝐼(𝜉3) =𝐸′

8(1 + 𝜈)√2𝜋

𝐿′{2Δ𝑢3



𝐷

+1

2𝜉3(−4Δ𝑢3



+1

2𝜉32(Δ𝑢3


𝐷)}

La cantidad de elementos 𝐿′ que se inserta en las ecuaciones anteriores deben ser

explicados con mayor precisión. Para la superficie del elemento rectangular 𝐴𝐶𝐹𝐺 mostrada

en la siguiente figura,

Ilustración 82 determinación del espesor L’ en el caso de elementos curvilíneos

𝐿′ Corresponde exactamente con las longitudes de los lados 𝐿 = 𝐴𝐶 = 𝐺𝐹. En el caso de

elementos de cuarto de punto curvos con diferentes bordes 𝐿1 = 𝐴𝐶 ≠ 𝐿2 = 𝐺𝐹 que

también forman ángulos oblicuos al frente de la grieta que se desvían de la normal por 𝛾1 y

𝛾2.

𝐿′(𝜉3) = −𝜉3 − 1

2𝐿1 cos 𝛾1 +

𝜉3 + 1

2𝐿2 cos 𝛾2

(5. 41)

5.3 Método de la tasa de liberación de energía global.

5.3.1 Realización con elemento finito

En el contexto del MEF, la energía potencial Π = |𝑊𝑖𝑛𝑡 −𝑊𝑒𝑥𝑡 puede ser expresada de

acuerdo con la ecuación de la relación total de rigidez de todo el sistema y con la ayuda de

las variables nodales 𝑉, la matriz de rigidez 𝐾, y el sistema de carga 𝐹, que son obtenidas

por el ensamble de los elementos correspondientes 𝑣, 𝑘 y 𝑓:

180

Π(𝑣) =∑(1

2𝒗𝑒𝑇𝒌𝑒𝒗𝑒 − 𝒗𝑒

𝑇𝒇𝑒) =1

2 𝑽𝑇𝑲𝑽− 𝑽𝑇𝑭.

𝑛𝐸

𝑒=1

(5. 42)

Por lo tanto es obvio para calcular la velocidad de liberación de energía para una

propagación de la grieta Δ𝑎 directamente con MEF como el cociente de la diferencia de

longitudes 𝑎 de dos modelos con fractura 𝑎 + Δ𝑎

𝐺 = −ΔΠ

Δ𝑎= −

Π(𝑎 + Δ𝑎) − Π(𝑎)

Δ𝑎

(5. 43)

Este proceso es adecuado para cualquier propagación de la fractura finita en una trayectoria

recta, doblada o curva C. Proporciona la diferencia total de energía 𝐺 entre los estados final

e inicial por extensión de la fisura Δ𝑎. La relación con la tasa de liberación de energía 𝐺 =

−𝑑𝛱 / 𝑑𝑎 de la propagación infinitesimal de grietas 𝑑𝑎 viene dada por la integral a lo largo

de la ruta de la grieta C.

𝐺 = ∫ 𝐺(𝑎)𝑑𝑎𝐶

(5. 44)

5.3.2 Método de la extensión de la fractura virtual

El método de extensión de la fisura virtual (VCE) como se sugiere por Parks, Hellen y

deLorenzi se diferencia con respecto a la longitud de la grieta:

𝐺 = −𝑑Π

𝑑𝑎= −

𝜕𝑽𝑇

𝜕𝑎(𝑲𝑽 − 𝑭)⏟

=0

−1

2𝑽𝑇𝜕𝑲

𝜕𝑎𝑽 + 𝑽𝑇

𝜕𝑭

𝜕𝑎

(5. 45)

La expresión entre paréntesis representa el sistema FEM de ecuaciones y por lo tanto debe

desaparecer. Si asumimos que las cargas externas 𝑭 no cambian con la longitud de la

grieta, se deduce

𝐺 = −1

2𝑽𝑇𝜕𝑲

𝜕𝑎𝑽 ≈ −

1

2𝑽𝑇(𝑎)

𝑲(𝑎 + ∆𝑎) − 𝑲(𝑎)

∆𝑎𝑽(𝑎) = −

1

2𝑽𝑇∆𝑲

∆𝑎𝑽

(5. 46)

Así, la tasa de liberación de energía 𝐺 se calcula a partir de la derivada de la matriz de

rigidez con respecto a la longitud de la grieta y la multiplicación de ambos lados con la

solución de desplazamiento 𝑽(𝑎), que sólo debe ser conocida por la longitud inicial grieta

𝑎. Esta técnica también se llama al método derivativo de la rigidez.

181

Aunque las técnicas previamente introducidas de VCE emanan principalmente del algoritmo

de FEM, un enfoque más general de mecánica continua ha sido perseguido por

DELORENZI. De este modo, una extensión de la fisura virtual está considerado como una

transformación de la 𝑥𝑘(a) configuración inicial en la configuración desplazada 𝑥𝑘 (𝑎 + ∆𝐴),

por lo que la función ∆𝑙𝑘 (𝑥) describe el desplazamiento virtual de la punta de la grieta y un

dominio limitado 𝑉0 alrededor de ella:

�̅�𝑘 = 𝑥𝑘 + ∆𝑙𝑘(𝑥) 𝑒𝑛 𝑉0 (5. 47)

De esta manera, se investiga el cambio de energía potencial durante la extensión de la

grieta virtual, Desde donde se ha encontrado la siguiente ecuación para la velocidad de

liberación de energía global 𝐺∗:

𝐺∗ =̂ 𝐺 = −∫ [𝑈𝛿𝑘𝑗 − 𝜎𝑖𝑗𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

]𝜕Δ𝑙𝑘𝜕𝑥𝑗

𝑑𝑉 + ∫ [𝜎𝑖𝑗𝜕휀𝑖𝑗

𝑡

𝜕𝑥𝑘Δ𝑙𝑘 − �̅�𝑖

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

Δ𝑙𝑘] 𝑑𝑉 𝑉0𝑉0

(5. 48)

Esta integral de volumen sólo se extiende sobre ese dominio alterada por la VCE 𝑉0, desde

afuera con Δ𝐿𝐾 ≡ 0 permanente. Se consideran fuerzas de volumen �̅�𝑖 y dilataciones

térmicas 휀𝑖𝑗𝑡 .La relación anterior representa una fórmula de evaluación para el análisis MEF

en la configuración inicial 𝑎, es decir, que se puede calcular en el post-proceso para la

extensión de la grieta bajo consideración Δ𝑙𝑘 (así como cualquier otra variante deseada).

Este método VCE es en principio idéntico a la formulación de la integral J como un dominio

equivalente integral.

El método de liberación de energía global tiene una serie de ventajas: En primer lugar, el

MEF como un método variacional aproximado a la forma más precisa de la energía de la

estructura que se está evaluando. En segundo lugar, por esta razón no necesitamos

necesariamente a suministrar la región fracturada con elementos en la punta de la grieta

(que es, sin embargo ventajoso), ya que un buen nivel de precisión también se puede lograr

con elementos estándar. En general, se obtiene con el mismo refinamiento de malla un

resultado más exacto para los factores 𝐾 con el método de extensión grieta virtual que con

interpretación de desplazamiento (DIM).

Las desventajas esenciales del VCE son los esfuerzos de implementación requeridos en

caso de que la matriz de rigidez sea directamente diferenciada y una cierta sensibilidad

numérica con respecto a la elección de Δ𝑎. Para convertir la tasa de liberación de energía

determinada 𝐺 en los factores de intensidad de esfuerzo, existe sólo la relación

𝐺 = 𝐺𝐼 + 𝐺𝐼𝐼 + 𝐺𝐼𝐼𝐼 =1 − 𝜈2

𝐸(𝐾𝐼

2 + 𝑘𝐼𝐼2 ) +

1 + 𝜈

𝐸𝐾𝐼𝐼𝐼2

(5. 49)

182

Pero en el caso de los modos de apertura de fracturas superpuesta I, II y III, la separación

de los factores de intensidad de esfuerzo de manera individual no es posible con esta

ecuación por si sola. Esto restringe el área de aplicación de este método

considerablemente.

5.4 Método de la Integral de aproximación.

5.4.1 Ecuaciones básicas del método de energía local

El método de energía local se basa en el trabajo Δ𝑊𝑐 que se debe hacer por las tracciones

cara de la fractura 𝑡𝑖𝑐 en los desplazamientos en la cara de la fractura Δ𝑢𝑖 para la apertura

local o cierre de la grieta por Δ𝑎. Las ecuaciones básicas se explicarán con la ayuda de la

siguiente figura para el modo 𝐼 de carga.

Ilustración 83 método de energía local en la forma de la integral de aproximación

La figura superior muestra la situación para la longitud de la grieta inicial 𝑎con la curva

estrés 𝑡𝑖𝑐 =̂ 𝜎22 (𝑟, 𝜃 = 0; 𝑎) En frente de la grieta. La figura inferior describe la situación

después de una extensión de la fisura por Δ𝑎, dando lugar a un desplazamiento de apertura

de las caras de la fractura Δ𝑢2 = 𝑢2+ (Δ𝑎 − 𝑠, + 𝜋; 𝑎 + Δ 𝑎) − �̅�2 (Δ𝑎 − 𝑠, −𝜋; 𝑎 + Δ𝑎),

que se contará desde la punta de la fractura a una distancia de �̅� = Δ𝑎 − 𝑠.

183

El trabajo realizado por las tensiones 𝜎22 en los desplazamientos Δ𝑢2 está integrado a lo

largo de Δ𝑎:

𝐺𝐼(𝑎) = limΔ𝑎→0

1

2Δ𝑎∫ 𝜎22(𝑟 = 𝑠, 𝜃 = 0; 𝑎) × Δ

Δ𝑎

0

𝑢2(�̅� = Δ𝑎 − 𝑠, 𝜃 = ±𝜋; 𝑎 + Δ𝑎)𝑑𝑠

(5. 50)

Las relaciones correspondientes son obtenidas para el modo 𝐼𝐼 con 𝑡1𝑐 =̂ 𝜏21 y Δ𝑢1 y para

el modo 𝐼𝐼𝐼 𝑡3𝑐 =̂ 𝜏23 y Δ𝑢3

𝐺𝐼𝐼(𝑎) = limΔ𝑎→0

1

2Δ𝑎∫ 𝜏21(𝑠, 0; 𝑎)Δ𝑢1(Δ𝑎 − 𝑠,±𝜋; 𝑎 + Δ𝑎)𝑑𝑠

Δ𝑎

0

(5. 51)

𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎) = limΔ𝑎→0

1

2Δ𝑎∫ 𝜏23(𝑠, 0; 𝑎)Δ𝑢3(Δ𝑎 − 𝑠, ±𝜋; 𝑎 + Δ𝑎)𝑑𝑠

Δ𝑎

0

(5. 52)

Para el caso general de caso de cargas combinadas de todos los modos, estas tres

ecuaciones se suman:

𝐺(𝑎) = 𝐺𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎)

= limΔ𝑎→0

1

2Δ𝑎∫ ∑[𝑡𝑖

𝑐(𝑠, 𝑜; 𝑎) − 𝑡𝑖∗(𝑠, 0; 𝑎 + Δ𝑎)]

3

𝑖=1

Δ𝑎

0

× Δ𝑢2(Δ𝑎 − 𝑠, 𝜃 = ±𝜋; 𝑎 + Δ𝑎)𝑑𝑠

(5. 53)

Además, las tensiones residuales 𝑡𝑖∗ se introdujeron que actúan sobre la fractura se enfrenta

incluso después de la extensión de grietas, así como la presión interna en la grieta o fuerzas

de cohesión entre las caras de la fractura. El signo de 𝑡𝑖∗ debe establecerse positivo si las

tensiones tiran de la grieta se enfrenta entre sí, es decir, en la dirección 𝑥𝑖.

5.4.2 Implementación numérica en elemento finito en 2D

5.4.2.1 Integral de aproximación de fractura simple

La implementación numérica del método más simple de energía local consiste en la

ejecución de dos cálculos MEF, en el que la grieta es extendida en una ruta dada por el

incremento Δ𝑎 separando la malla a lo largo de un borde elemento 𝐿. Esto se ilustra en la

Figura siguiente para los elementos de 4-nodos bidimensionales.

184

Ilustración 84 integral simple de aproximación en MEF: (a) fuerzas antes y (b) desplazamientos después de la extensión de la grieta

En el contexto de la MEF, el trabajo de cierre grieta se calcula directamente de la fuerza

nodal 𝐹𝑖𝑗(𝑎) de la punta de la grieta nodo 𝑗 en el modelo inicial y el desplazamiento de la

abertura Δ𝑢𝑖𝑗(𝑎 + Δ𝑎) después de la extensión de grietas:

𝐺𝐼 (𝑎 +Δ𝑎

2) =

1

2Δ𝑎[𝐹2𝑗(𝑎)Δ𝑢2

𝑗(𝑎 + Δ𝑎)]

𝐺𝐼𝐼 (𝑎 +Δ𝑎

2) =

1


𝑗(𝑎 + Δ𝑎)]

} 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜, 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎

𝐺𝐼𝐼𝐼 (𝑎 +Δ𝑎

2) =

1


𝑗(𝑎 + Δ𝑎)]} 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

(5. 54)

En cuanto a las estructuras 2D, el modo 𝐼𝐼𝐼 sólo se produce en el caso de la carga del

cortante anti-plano. El resultado de este cociente de diferencias debe ser asignado a la

longitud de la grieta media 𝑎 +Δ𝑎

2. Se puede ver inmediatamente que este método es muy

adecuado para la determinación de 𝐺𝑁 (𝑎) o los K-factores 𝐾𝑁 (𝑎) (𝑁 = 𝐼 , 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼) paso a

paso para toda una serie de extensiones de fracturas para cada longitud de cada elemento

𝐿 = Δ𝑎. Con la ayuda de una única malla, con la que la trayectoria de la fractura se

discretiza por elementos igualmente grandes, se puede así calcular los parámetros de

fractura en el rango de longitud relevante de la fractura a través de la separación de nodo

sucesiva, lo que requiere 𝑛 + 1 cálculos para 𝑛 cocientes de diferencias.

5.4.2.2 Integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI)

Si se quiere determinar la tasa de liberación de energía, o los factores K sólo para una

longitud de fractura, es posible reducir el costo para un cálculo FEM acuerdo con una

sugerencia hecha por Rybicki y Kanninen y Buchholz. suponiendo que la extensión de la

fractura Δ𝑎 no cambia esencialmente el estado de carga en la punta de la fractura. Por lo

tanto, podemos hacer una buena aproximación del desplazamiento de apertura de fractura

Δ𝑢𝑖𝑗(𝑎 + Δ𝑎) Por su valor Δ𝑢𝑖

𝑗−1 (𝑎) en el nodo (𝑗 − 1). En la cara de la fractura de la

longitud inicial 𝑎 . Esta técnica se llama Integral de aproximación de fractura modificada

(MCCI) o el método de cierre de fractura. El proceso se describe en la Figura siguiente para

los elementos (a) lineales o (b) funciones de desplazamiento cuadráticas.

185

Ilustración 85 Integral de aproximación modificada para (a) lineales, (b) cuadráticas, funciones de desplazamiento

El índice 𝑗 denota el nodo punta de la fractura, por lo que los nodos 𝑗, 𝑗 + 1, 𝑗 + 2 se

encuentran en el ligamento y los nodos 𝑗 − 2, 𝑗 − 1, 𝑗 corresponden a las caras de la

fractura. Para elementos lineales Integral de aproximación de fractura modificada resulta

del trabajo de las fuerzas en la punta de la grieta en el nodo 𝑗 con la apertura de los

desplazamientos en el nodo 𝑗 − 1:

𝐺𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−1(𝑎)]

𝐺𝐼𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−1(𝑎)]


𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−1(𝑎)]} 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

(5. 55)

En el caso de carga de modo mixto y posibles fuerzas residuales 𝐹𝑖∗ en las caras de la

fractura (=̂ 𝑡𝑖∗), la integral modificada de aproximación a la fractura para elementos con

funciones de forma lineal (Δ𝑎 =̂ longitud de la arista del elemento 𝐿) Se calcula como:

𝐺(𝑎) = 𝐺𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎) =1

2Δ𝑎∑[(𝐹𝑖

𝑗(𝑎) − Fi∗j)Δ𝑢𝑖

𝑗−1(𝑎)]

3

𝑖=1

(5. 56)

186

La integral de aproximación a la fractura se compone de los términos de trabajo de las

fuerzas nodales 𝑗 con los desplazamientos en las caras de la fractura 𝑗 − 2 (Después de

la extensión virtual de la grieta Δ𝑎 = 𝐿) 2 y las fuerzas en el nodo medio 𝑗 + 1 con los

desplazamientos en 𝑗 − 1:

𝐺𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−2(𝑎) + 𝐹2𝑗+1(𝑎)Δ𝑢2

𝑗−1(𝑎)]

𝐺𝐼𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−2(𝑎) + 𝐹1𝑗+1(𝑎)Δ𝑢1

𝑗−1(𝑎)]


𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎) ≈1


𝑗−2(𝑎) + 𝐹3𝑗+1(𝑎)Δ𝑢3

𝑗−1(𝑎)]} 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

(5. 57)

Resumiendo para todos los tipos de apertura de fractura y para las cargas residuales en la

cara de la fractura, la integral modificada de aproximación a la fractura empleada con

funciones de elemento cuadráticas es:

𝐺(𝐴) = 𝐺𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼(𝑎) + 𝐺𝐼𝐼𝐼(𝑎)

=1

2Δ𝑎∑[(𝐹𝑖

𝑗(𝑎) − Fi∗j)Δ𝑢𝑖

𝑗−2+ (𝐹𝑖

𝑗+1(𝑎) − Fi∗j+1

)Δ𝑢𝑖𝑗−1]

3

𝑖=1

(5. 58)

La formulación anterior es generalmente válida para problemas bidimensionales de fractura

(espesor 𝐵 = 1, Δ𝐴 = ΔaB) para cualquier comportamiento anisotrópico elástico del

material. En estas condiciones, el modo 𝐼𝐼𝐼 no surgirá en caso de cargas en el plano

(tensión plana, deformación plana).

5.4.2.3 Combinación de la integral de aproximación de fractura modificada. (MCCI) y elementos de

cuarto de punto.

Utilizando la integral de aproximación a la grieta en combinación con elementos regulares

en la grieta, proporciona un nivel satisfactorio de precisión en los parámetros de fractura

calculado 𝐺𝑁 y 𝐾𝑁 (𝑁 = 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼). El método está por lo tanto utilizado sobre todo en los

casos en que no hay elementos de punta de grieta disponibles o aplicables. Sin embargo,

esta técnica también se puede aplicar a los elementos de cuarto de punto.

187

Ilustración 86 integral de aproximación para elementos de cuarto de punto en 2D

9. Variante 1

(Las cargas en la cara de la fractura 𝐹𝑖∗ se omiten para mayor claridad)

𝐺 =1

2Δ𝑎∑[(𝑐1𝐹𝑖

𝑗(𝑎) + c2Fij+1+ 𝑐3𝐹𝑖

𝑗+2)Δ𝑢𝑖

𝑗−2

3

𝑖=1

+ (𝑐4𝐹𝑖𝑗(𝑎) + c5Fi

j+1+ 𝑐6𝐹𝑖

𝑗+2)Δ𝑢𝑖

𝑗−1]

(5. 59)

𝑐1 = 14 −33𝜋

8, 𝑐2 =

21𝜋

16−7

2, 𝑐3 = 8 −

21𝜋

8

(5. 60)

𝑐4 =33𝜋

2− 52, 𝑐5 = 17 −

21𝜋

4, 𝑐6 =

21𝜋

2− 32

(5. 61)

10. Variante 2

La fuerza nodal 𝐹𝑖𝑗+2

puede ser eliminada por medio de una función de esfuerzos reducida

en el ligamento, lo que conduce a una fórmula simple

𝐺 =1

2Δ𝑎∑[𝐹𝑖

𝑗(𝑐1Δui

j−2+ 𝑐2Δui

𝑗−1) + 𝐹𝑖

𝑗+1(𝑐3Δ𝑢𝑖

𝑗−2+ 𝑐4Δ𝑢𝑖

𝑗−1)]

3

𝑖=1

(5. 62)

𝑐1 = 6 −3

2𝜋, 𝑐2 = 6𝜋 − 20, 𝑐3 =

1

2, 𝑐4 = 1

(5. 63)

188

Capítulo 6: Resultados Computacionales

6.1 Tdheat (transferencia de calor)

6.2 Tubo con temperatura interior y convección en el exterior

Para comprobar este programa se analiza un tubo largo de titanio con radio interior 𝑟1 = 3

y radio exterior 𝑟2 = 5 y 𝑘 = 20𝑊

𝑚℃, tiene caliente superficie interna a 347℃ . El calor se

disipa por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a temperatura 𝑇∞ = 120℃.

Ilustración 87 Tubo con temperatura interior

Solución

Para analizarlo por simplicidad se decidió hacer un corte de 45° ya que el objeto es

simétrico. Usando el programa GRID la malla queda de la siguiente manera:

189

Siendo esta una malla de 49 nodos 72 elementos y con un ancho de banda 9

Ahora en el programa TDHEAT se introducen los valores siguientes

NP NE NBW Kxx Kyy H TINF

49 72 9 20 20 400 120

Donde:

NP: Número de nodos

NE: Número de elementos

NBW: ancho de banda

Kxx, KYY: factor de conductividad térmica

H: coeficiente de convección

TINF: Temperatura del medio

Seguido de esto se le indica al programa que elementos tienen convección y en qué lado;

en este caso los elementos: 12, 23, 35, 47, 59, 71, presentan convección en el lado 3. Esto

es a causa de que son los elementos en la frontera exterior

190

Ilustración 88 Número de elementos dado por la malla generada e el programa GRID

Más adelante se indica los nodos que tienen calor que son los nodos de la frontera interna:

Ilustración 89 Numero de nodos de la malla del tubo generada por el programa GRID

191

Se puede notar en la figura anterior que son 7 nodos que se enumeran a continuación: 1,

8, 15, 22, 29, 36,43. Todos ellos a la temperatura de 347℃.

Sabiendo esto el programa procede a realizar los cálculos quedando las temperaturas de

la siguiente manera en °C

Ilustración 90 Solución dada por el programa TDHEAT

Realizando el problema en un software computacional comercial se pueden comparar los

resultados obtenidos

Ilustración 91 Solución dada por el software comercial

Como se puede observar las temperaturas son las mismas en las fronteras de la sección

transversal más sin embargo se aprecia más precisión en el código de colores según el

software comercial esto debido a que dicho software utiliza logaritmos más complejos y

una malla más refinada.

192

6.2 Torsion (torsión pura)

6.2 Viga prismática sometida a torsión pura

Como un ejemplo del funcionamiento de este programa se analizará una viga prismática

de acero de 0.5𝑚 de longitud sometida a un par de torsión de 𝑇 = 500 𝑖𝑛. 𝑙𝑏 cuya sección

transversal se muestra a continuación.

Ilustración 92 Sección transversal

Para comenzar el análisis se decide usar un eje de simetría y mallar solo la mitad del perfil

con el fin de simplificar el análisis. Con ayuda del programa GRID se tiene la siguiente malla

Ilustración 93 Mala generada por el programa GRID y número de elementos

193

Procediendo con el programa TORSION se introducen las condiciones frontera las cuales

son

NUMERO DE NODOS=33

NUMERO DE ELEMENTOS = 40

M O D U L O C O R T A N T E = 8000000.0 𝑁/𝐶𝑀2

L O N G I T U D D E L A B A R R A = 50.00 𝐶𝑀

P A R A P L I C A D O = 5650.0 𝑁 − 𝐶𝑀

Ilustración 94 Numero de nodos en la malla generada por el programa GRID

Seguido a esto se señal los nodos frontera para proceder a su solución. Quedando los

esfuerzos cortantes de la siguiente manera

Ilustración 95 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa TORSION

194

Comparando el esfuerzo cortante en ZX con lo obtenido con un software convencional se

tiene.

Ilustración 96 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial.

Haciendo la comparación se puede notar que la diferencia es de . 08% la cual es a causa

del mallado y del algoritmo utilizado por el software convencional

Nota: los esfuerzos obtenidos por TORSION están dados en 𝑁/𝑐𝑚^2

Comparando ahora el esfuerzo cortante en ZY del programa TORSION con lo obtenido con

un software convencional se tiene.

Ilustración 97Esfuerzo cortante ZY generada por el programa TORSION

195

Nota: los esfuerzos obtenidos por TORSION están dados en 𝑁/𝑐𝑚^2

Ilustración 98 Esfuerzo cortante ZX generada por el programa comercial.

Al igual que en el esfuerzo anterior se puede apreciar una ligera variación pero los esfuerzos

siguen siendo muy parecidos.

196

6.3 STRESS (Esfuerzo y deformación plana)

6.3 Placa delgada con cambio de sección sometida a tensión

Con este programa se decidio analizar el comportamiento de una placa sometida a tension

en la frontera la cual tiene un cambio de sección

Al ser mallada dicha geometría con ayuda del programa GRID se tiene:

Ilustración 99 Malla de la placa generada por el programa GRID

Ahora se somete dicha placa a una tensión en la frontera derecha cuya magnitud es de

44,00𝑁/𝑐𝑚2.

Se introducen los datos al Programa stress de la siguiente manera

NP:190,NE:144,NBW:92, E:20000000.d0,PR:0.25d0,alpha:.000006d0,T:0.5d0

Seguido a esto se indican los grados de libertad en los que hay carga que en este caso

serán todos los nodos frontera del lado derecho de la geometría, de la siguiente manera.

189,179,169,159,149,0, 5500.d0,11000.d0,11000.d0,11000.d0,5500.d0,0.

197

Ilustración 100 Malla de la placa generada por el programa GRID y número de nodos

Se puede apreciar que la fuerza fue descompuesta para que actué de manera nodal.

Seguido a esto se señalan las restricciones fijas y se procede a su solución.

El programa al evaluar nos entrega los siguientes resultados:

Esfuerzos principal 1

Ilustración 101 Esfuerzo principal 1 en la placa

198

Ilustración 102 Esfuerzo principal 1 generado por el programa comercial

Esfuerzo principal 2

Ilustración 103 Esfuerzo principal 2 generado por el programa STRESS

Se nota que los esfuerzos se presentan en el cambio de sección. A su vez en la solución

dada por el software comercial presentada en la siguiente figura se nota una concentración

en un punto; eso es debido a los algoritmos que utiliza dicho software para establecer las

condiciones de sujeción, que en dicho software comercial deben ser establecidas ya sea

en una cara o una arista y en base a eso se resuelve.

199

Ilustración 104 Esfuerzo principal 2 generado por el programa comercial

El error que se presenta es del 4% esto debido al mallado del software que a pesar de que

se utilizó la malla más gruesa posible difiere en la adaptación en los bordes y esto le ayuda

a generar un resultado más preciso.

Desplazamientos

Ilustración 105 Desplazamientos en U dados por el programa STRESS

200

Ilustración 106 Desplazamientos en U dados por el programa comercial

Ilustración 107 Desplazamientos en V dados por el programa STRESS

Ilustración 108 Desplazamientos en V dados por el software comercial

Como se puede apreciar las deformaciones ocurren entregadas son similares, la ligera

variación presentada sigue siendo principalmente a causa de la malla y al algoritmo de

solución del software comercial.

201

Conclusiones

Siendo realizado este proyecto se pueden resaltar algunas ventajas que fueron evidentes

con respecto a la implementación del elemento finito en un software computacional:

Permite realizar aproximaciones exactas de modelos físicos simples hasta modelos

con cierta complejidad cuya solución sería imposible mediante un método analítico

convencional y menos exacta que su realización en un software computacional.

Es posible analizar el comportamiento del elemento en sus distintas zonas es decir;

se aprecian resultados en zonas críticas y/o con valores máximos y a su vez en el resto de

las zonas.

Permite el análisis bajo distintas condiciones en periodos relativamente cortos, sin

la necesidad de realizar cálculos a mano.

Por otra parte la realización de programas de este tipo es un área de aplicación del MEF

con mucho futuro ya que con el desarrollo de esta tesis se pudo notar que debido al fácil

manejo de los programas los convierte en herramientas óptimas para su uso académico

debido a la interacción con el usuario, que es más estrecha y que él al variar cualquier

condición en el programa, puede apreciar la influencia de dicha variante en los resultados,

lo que ayuda al razonamiento y análisis de los mismos, para así tener un conocimiento más

claro sobre el método.

Algunas de las ventajas presentes en el los softwares desarrollados es que el usuario al

generar desde el inicio su malla tiene pleno control del elemento a analizar, pues de esa

manera empieza a adaptar su solución a sus necesidad, enfocando por ejemplo un

refinamiento a la zona que el considere importante para su análisis y no al resto de la

geometría como algunos softwares convencionales suelen hacerlo, por otra parte la forma

de establecer condiciones frontera es más sencilla debido a que al nosotros mismos

generar la malla se conocen las zonas específicas donde éstas actúan, es decir se conocen

los nodos a los cuales se les aplicaran dichas condiciones; a diferencia de los softwares

comerciales en los que a la mayoría de ellos a la figura se les requiere establecer zonas ya

predeterminadas como una cara o arista y si se tiene que aplicar en un punto distinto se

tienen que realizar otros procesos para generar esas zonas.

Trabajos futuros

Finalmente el trabajo presente deja abierta la opción de ser ampliado pues al actuar de

manera conjunta se puede iniciar un análisis sobre fractura plana, es con ese fin que en

esta tesis se manejan dos capítulos con las bases del elemento finito aplicado a fractura.

Por otro lado existe la opción de generar un software de una manera ambiciosa pues al

actuar de manera conjunta los programas generados en este trabajo, se puede obtener un

análisis mucho más completo de un modelo que implique diversas consideraciones sin la

necesidad de realizar los análisis por separado.

202

Referencias Bibliográficas

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United States of America, CRC Press.

4. Hutton, D., (2004) Fundamentals of finite element analysis. United States of

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5. Logan, D., (2007) A first course in the finite element method. Fourth edition.

United States of America, Thompson.

6. Chandrupatla, T. and A. Belegundu, (2002) Introduction to finite elements in

engineering. Third edition. United States of America. Prentice Hall.

7. Fenner, R., (1996) Finite element methods for engineers. Singapore. Imperial

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ANSYS. United States of America. Prentice Hall.

9. Rao, S., (2011) The finite element method in engineering. United States of

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10. Zienkiewicz, O.C. and R.L. Taylor, (2000) The finite element method. Volume

1. California. Butterworth Heinemann.

11. Zienkiewicz, O.C. and R.L. Taylor, (2000) The finite element method. Volume

3. California. Butterworth Heinemann.

12. Marshall, Bern and Paul, Plassman, Mesh Generation

13. Richard Shewchuk, J.,(2012) Lecture Notes on Delaunay Mesh Generation.

University of California at Berkeley.

14. Jochem H¨auserc and Yang Xia, (1996) Modern Introduction to Grid

Generation. Salzgitter, Deutschland.

15. Winslow,J.A.,(1966): Numerical Solutions of the quasi-linear Poisson

Equation in a Nonuniform Triangular Mesh

16. S H Lo, Finite element mesh generation and adaptive meshing University of

Hong Kong, China.

17. Yamaguchi, H.,(2008). Engineering fluid mechanics. The Netherlands.

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18. Gere, James M., (2009) Mecánica de materiales. Séptima Edición.

Cengage Learning.

19. Budynas Richard G., (2012). Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley.

Novena edición. Mc Graw Hill.

20. Lewis Roland W. and Nithiarasu Perumal, (2004) Fundamentals of the

Finite Element Method for Heat and Fluid Flow. England. John Wiley &

Sons Ltd.

21. Erian A. Baskharone. (2004). The Finite Element Method with Heat Transfer

and Fluid Mechanics Applications. Texas A&M University, USA. Cambridge

University Press.

203

22. G. R. Liu and S. S. Quek (2003) The Finite Element Method: A Practical

Course. National University of Singapore. Butterworth-Heinemann.

23. Meinhard Kuna. (2010). Finite Elements in Fracture Mechanics Theory—

Numerics—Applications. Freiberg Germany. Springer

204

Anexos

A.1 Diagramas de flujo de las subrutinas utilizadas

A.1.1 Rutina BDYBAL

BDYVALGSM,GF,NP,NBW,

NCL

GSM(MP,NBW), GF(NP,NCL), IB(20),

BV(20)

PRESCRIPCION DE VALORES NODALES

ID1=0INK=0

INK=0KK=1

JN=0

INVN=0

KJN=JN+1

KJOTA=INVN+1

IK=1,KJNIB(IK),IJ=1,KJN,BV(IJ)

IB(I), IJ=1, KJOTA,

BV(IK), IK=1, KJOTA

IB(1) 0 ID=0

J=1

+1

NCL

JN

NO

INVN

SI

2

7

5

8NO

3

1

7 SI

7 SI

205

1

L=1

+1

NCL

IBL<0

ID=ID+1I=IB(L)

NO

INK=1

SI

GF(I,JM)=BV(L)+GF(I,JM)ID=0

2

SI

CASO JM

IB(L),BV(L),l=1,IDID=1 SI

NO

NO

INK=1

2

SI

ID1=1 NO

4

GSM(I,1) 0.5 SI GSM(I,1)=500000

JM=1

+1

NCL

GF(I,JM)=GSM(I,1)*BC

NO

6

206

3

IB(KK)>0

ID=0

L=1

+1

INVNIB(L),BV(L), l=1, ID

IB(L)<0

SI

NO

INK=0

IB(L), BV(L), L=1, ID

SIRETURN

SI

8

ID=ID+1I=IB(L)

BC=BV(L)K=I+1

NO

5NO

J=2

+1

NBW4

M=I+J-1

M>NP

JM=1

+1

NCL

NO

GF(M,JM=GF(M,M)-GSM(I,J)*BC

GSM(I,J)=0

K<0SI

JM=1

+1

NCL

NO

GSM(K,J)=0K=K-1

SI

GF(K,JM)=GF(H,JM)-GSM(K,J)*BC

6

207

A.1.2 Rutina DCMPBD

DCMPBD

GSM,NP, NBW

GSM(NP,NBW)

NP1=NP-1

I=1

NP1

+1

MJ=NP

RETURN

2

MJ=I+NBW-1

MJ>NP

SI

NJ=I+1MK=NBW

NO

NP-I+1<NBW MK=NP-I+1

ND=0

I=1

NP1

+1

2

MK=MK-1ND=ND+1NL=NL+1

KK=1

MK

+1

NK=ND+K

208

A.1.3 Rutina SLVBD

SLVBD

GSM, GF, X ,ID, NP, NBW, NCL

DIMENSIONGSM(NP,NBW)

GF(NP,NCL)X(NP,NCL)

NP1=NP-1

KK=1

NCL

+1

JM=KK

I=1

NP1

+1

RETURN

4

X(NP,KK)=GF(NP,KK)/GSM(NP,1)

I=1

NP1

+1

3

2

I=NP-KMJ=NBW

MJ>NP

MJ=I+NBW-1

MJ=NP

SI

NJ=I+1L=1

NO

KK=1

NCL

+1

L=L+1

GF(J,KK)=GF(J,KK)-GSM(I,L)*GF(I,KK)/GSM(I,1)

(I+NBW-1)>NP

MJ=NP-I+1

SI

SUM=0

NO

1

209

1

I=1

NP1

+1

X(I,KK)=(GF(I,KK)-SUM)/GSM(I,1)

2

N=I+J-1

SUM=SUM+GSM(I,J)*X(N,KK)

3

ID=1

TITLE, KK

I,X(I,KK)I=1, NP

4

210

A.2 Programa GRID

INICIO

NR(4), XP(100), YP(100), XRG(9),ICOMP(4,4), NE(400), YRG(9), N(8), NDN(8), NN(21,21), XC(21,21), YC(21,21), NNRB(20,4,21), JT(20,4),

LB(3), XE(400), YE(400)

CHARACTER *20TITULOREAL N

ICOMP/-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,-1/,NBW/0/, NB/0/,

NEL/0/

TITULO

INRG, INBP

*

XP(I), I=1, INBP

*

YP(I),I=1,INBP

*

I=1

INRG

+1

*

NRG, JT(NRG,J),

J=1,4

TITULO

I, XP(I), YP(I), I=1, INBP

KK=1

MK

+1

KK=1

MK

+1

I,(JT(I,J), J=1,4)7

NRG, NROWS,

NCOL,NDN

NBW, NELBW

END

*

NRG, NROWS, NCOL,(NDN(I), I=1, 8

1

211

1

I=1

8

+1 II=NDN(I)XRG(I)=XP(II)YRG(I)=YP(II)

XRG(9)=ZRG(1)YRG(9)=YRG(1)TR=NROWS-1DELTA=2./TRTR=NCOL-1DSI=2/TR

I=1

NROWS

+1

2

TR=I-1ETA=1-TR*DELTA

J=1

NCOL

+1

TR=J-1SI=-1+TR*DST

N(1)=-0.25*(1.-ETA)*(SI+ETA+1)N(2)=0.5*(1-SI**2)*(1-ETA)N(3)=0.25*(1+SI)*(1-ETA-1)N(4)=0.5*(1+SI)*(1-ETA**2)N(5)=0.25*(1.+SI)*(1+ETA)*(SI+ETA-1)N(6)=0.50*(1-SI**2)*(1+ETA)N(7)=0.25*(1-SI)*(1+ETA)*(ETA-SI-1)N(8)=0.50*(1-SI)*(1-ETA**2)

XC(I,J)=0.0YC(I,J)=0.0

K=1

8

+1

XC(I,J)=XC(I,J)+XRG(K)*N(K)C(I,J)=YC(I,J)+YRG(K)*N(K)

212

2

KN1=1KS1=1

KN2=NROWSKS2=NCOL

J=1

4

+1

NRT=JT(NRG,I)

J=1

4

+1

NRT=0

OR

NRT NRG

NOSI

K=NCOL

I=2OR 1=4

K=NROWSSI

JT(NRT,J)= NRG

NRTS=J

SI

NOJL=1

JK=ICOMP(I,NRTS)

NO

JK=1JL=K

J=1

K

+1JL=JL+JK

GOTO(750,780,810,840)1

NN(J,1)=NNRB(NRT,NRTS,JL)KS1=2

NN(1,J)=NNRB(NRT,NRTS,JL)KSN=2

NN(J,NCOL)=NNRB(NRT,NRTS,JL)KS2=NCOL-1

NN(NROWS,J)=NNRB(NRT,NRTS,JL)KN2=NROWS-1

213

3

KN1>KS2

KS1>KS2

4

I=KN1

KN2

+1

J=KS1

KS2

+1

NB=NB+1NN(I,J)=NB

NO

SI

si

NO

I=1

NCOL

+1

NNRB(NRG,1I)=NN(NROWS,I)NNRB(NRG,3,I)=NN(1,I)

I=1

NROWS

+1

NNRB(NRG,2,I)=NN(1, NCOL)NNRB(NRG,4,I)=NN(1,I)

I=1

NROWS

+1

4

NN(I,J)J=1,NCOL

4

K=1

I=KN1

KN2

+1

J=KS1

KS2

+1

XE(K)=XC(I,J)YE(K)=YC(I,J)NE(K)=NN(I,J)

K=K+1

L=NROWS-1I=KN1

KN2

+1

J=KS1

KS2

+1

7

9

DIAG1=SQRT((XC(I,J)-XC(I+1,J-1))**2+YC(I,J)-YC(I+1,J-1))**2)

DIAG2=SQRT((XC(I+1,J)-XC(I,J-1))**2+YC(I+1,J)-YC(I,J-1))**2)

8

214

8

IJ=1

2

+1

NEL=NEL+1

DIAG1/DIAG2>1.02

J1=NR(1)J2=NR(IJ+1)

J3=(IJ+2)

J1=NR(IJ)J2=NR(IJ+1)J3=(NR(4))

LB(1)=IABS(NE(J1)-NE(J2))+1LB(2)=IABS(NE(J2)-NE(J3))+1LB(3)=IABS(NE(J1)-NE(J3))+1

6

9

NO SI

IK=1

3

+1

NEL,NE(J1,NE(J2,NE(J3)

XE(J1),YE(J1),XE(J2),YE(J2), XE(J3, YE(J3)

6

LB(IK)<NBW

NBW=LB(IK)NELBW=NEL

NO

SI

215

A.3 Programa TDHEAT

INICIO

NS(3),ESM(3,3),EF(3),X(3),Y(3),B(3),C(3),

ISIDE(2),A(2500), PHI(3)

CHARACTER *30 TITLE

REAL KXX,KYY,LG

NCL=1, ID1=0, IP=62

TITLE

JGF=NP *NCLJGSM=JGF *2

JEND=JGSM+NP*NBW

I=1

+1

IEND

A(I)= 0.0TITLE, KXX, KYY

KK=1

NE

+1

5

4

ISIDE

NEL, NS, X(1), Y(1), X(2, Y(2), X(3, Y(3)

NEL, NS, X(1), Y(1), X(2, Y(2), X(3, Y(3)

B(1)=Y(2)-Y(3)B(2)=Y(3)-Y(1)B(3)=Y(1)-Y(2)C(1)=X(3)-X(2)C(2)=X(1)-X(3)C(3)=X(2)-X(1)

ARY=(X(2)*Y(3)*Y(1)+X(1)*Y(2)-X(2)*Y(1)-X(3)*Y(2)-X(1)*Y(3))/2

1

216

1

I=1

3

+1

EF(I)=0.0

J=1

+1

3

ESM(I,J)=(KXX*B(I)*B(J)+ KYY*C(I)*C(J))/ARY

I=1

2

+1

2

ISIDE(I)=0

J=ISIDE(I)

NO

CONVECCION DEL LADO; I DEL

ELEMENTO;NEL

K=J+1

J=3K=1 SI

LG=SOR+C(X(K)-X(J))*X(2)+(Y(K)-Y(J))*X2

NO

HL=H*LG

EF(J)=EF(J)+JL*TINF/2EF(K)=EF(K)+HL*TING/2ESM(J,J)=ESM(J,J)+HL/3ESM(J,K)=ESM(J,J)+HL/6

ESM(K,J)=ESM(K,J)ESM(K,K)=ESM(K,K)+HL/3

2

I=1

3

+1SI

4

I1=NS(I)

J=1

NCL

+1

I5=(NCL+J-1)*NP+II

A(J5)+EF(I)

J=1

3

+1

JJ=NS(J)JJ=JJ-II+1

JJ

A(J5)=A(J5)+ESM(I,J)

2

1

217

5

BDYVAL

A(JGSM+1),A(JGF+1)NP,NBW,NCL

DCMPBD

A(JGSM+1),NP,NBW

SLVBDA(JGSM+1),A(JGF+1)

A(1),NP,NBW,NCL,ID1

NEL,NSX(1),Y(1,X(2),Y(2),X(3),

Y(3)

KK>1

TITLE

NO

J1=JGSM+NELA(J1)=0.0

SI

I=1

3

+1

II=NS(I)PHI(I)=A(I)

A(J1)=A(J1)+PHI(I)/3


AR2=(X(2)*Y(3)+X(3)*Y(1)+X(1)*Y(2)-X(2)*Y(1)-X(3)*Y(2)-X(1)*Y(3)

GRADX=0.0GRADY=0.0

I=1

3

+1

GRADX=GRADAX+B(I)*PHI/AR2GRADY=GRADY+C(I)*PHI(I)/AR2

NEL,GRADX,GRADY,A(J1)

FIN

218

A.4 Programa TORSION

INICIO

NS(3), ESM(3,3),EF(3),B(3)

,C(3), PHI(3), A(2500

CHARACTER*30 TITLE

DATA NCL 11D1 1, KE 0,

MOMENT 0.0 TAUMAX 0.0

TITLE, NP, NE, NBW, G, SL, TORQUE,

PCT

GT=G*(3.14157 180.) SL

JGF=NP*NCLJGSM=JGF*2

JEND=JGSM+NP*NBW

I=1

JEND

+1

TITLE, G, SL, TORQUE

A(I)=0.0

KK=1

NE

+1

NEL, NS, X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3

3

1

2

219

2

B(1)=Y2-Y3B(2)=Y3-Y1B(3)=Y1-Y2C(1)=X3-X2C(2)=X1-X3C(3)=X2-X1

AR4=(X2*Y3+X3*Y1+X1*Y2-X2*Y1-X3*Y2-X1*Y3)*2

I=1

3

+1I=1

3

+1

EF=(I)=GT*AR4 6

II=NS(I)J=1

3J=1

3

ESM(I,J)=(B(I)*B(J)+C(I)*C(J)) AR4

J5=JGF+(J-1)*NP+II

A(J5)=A(J5)+EF(I)

+1

2

2

+1

4

I=1

3

+1

5

JJ=NS(J)JJ=JJ-II+1

JJ

J5=JGSM+(JJ-1)*NP+IIA(J5)=A(J5)+ESM(I,J)

2

0

1

220

1

BDYBAL

A(JGSM+1),A(JGF+1), NP, NBW, NCL

DCMPBD

A(JGSM+1), NP, NBW

SLVBDA(JGSM+1),A(JGF+1),A(1), NP,

NBW,NCL,ID1,IMP

KK=1

NE

+1

MOMENT=MOMENT*PCTTHEATA=TORQUE MOMENT

TITLE

6

NEL,NS, X1, Y1,X2,Y2,X3,Y3

I=1

3

+1

AR2=(X2*Y3+X3*Y1+X1*Y2-X2*Y1-X3*Y2-X1*Y3)MOMENT=MOMENT*AR2*(PHI(1)+PHI(2)+PHI(3)) 3

II=NS(I)PHI(I)=A(II)


J2=JGF+NELJ3=JGF+NE+NEL

A(J2)=0.0A(J3)=0.0

I=1

3

+1

A(J2)=A(J2)-B(I)*B(I)*PHI(I) AR2A(J3)=A(J3)-C(I)*B(I)*PHI(I) AR2

221

6

I=1

NP

+1

A(I)=A(I)*THEATAI=1

NP

+1

TITLE

A(I)

I=1

3

+1

THEATATAUMAX

KE

END

J2=JGF+IJ3=JGF+NE+I

A(J2)=A(J2)*THEATAA(J3)=A(J3)*THEATA

TMAX=SQRT(A(J2)**2+A(J3)**2)

TMAX<TAUMAX

TAUMAX=TMAXKE

I, A(J3), A(J2), TMAX

problemas de esfuerzos y/o deformaciones planos y de

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