CAMPOS ELECTROMAGNEacuteTICOS

TEMA 1 ndash ANAacuteLISIS VECTORIAL

Ingenieriacutea en Redes y Telecomunicaciones Prof Maacuteximo Domiacutenguez

Ciclo Nov 2009 ndash Ene 2010San Cristoacutebal RD

TABLA DE CONTENIDO

1 ESCALARES Y VECTORES

2 AacuteLGEBRA DE VECTORES

3 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR

4 COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5 EL PRODUCTO PUNTO

6 EL PRODUCTO CRUZ

7 OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

ESCALARES Y VECTORES

El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico

Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera

1

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS

1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla

2

Vectores Coplanare

s

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)

3Los vectores pueden multiplicarse por escalares

Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten

Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte

4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar

5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0

3

La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

TABLA DE CONTENIDO

1 ESCALARES Y VECTORES

2 AacuteLGEBRA DE VECTORES

3 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR

4 COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5 EL PRODUCTO PUNTO

6 EL PRODUCTO CRUZ

7 OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

ESCALARES Y VECTORES

El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico

Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera

1

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS

1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla

2

Vectores Coplanare

s

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)

3Los vectores pueden multiplicarse por escalares

Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten

Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte

4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar

5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0

3

La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

ESCALARES Y VECTORES

El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico

Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera

1

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS

1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla

2

Vectores Coplanare

s

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)

3Los vectores pueden multiplicarse por escalares

Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten

Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte

4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar

5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0

3

La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS

1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla

2

Vectores Coplanare

s

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)

3Los vectores pueden multiplicarse por escalares

Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten

Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte

4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar

5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0

3

La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

AacuteLGEBRA VECTORIAL

VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)

3Los vectores pueden multiplicarse por escalares

Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten

Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte

4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar

5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0

3

La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO

4

(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z

(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)

(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes

Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin

Sistema Ortogonal

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS

5

Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es

Siendo

Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a

Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar

A = AaA

Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz

AA

A

A

Aa

2z

2y

2x AAA A

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

6

(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r

(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables

(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

7

Ejemplo 11

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)

Solucioacuten

1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G

G = 2ax ndash 2ay ndashaz

2Se determina la magnitud de G

3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente

2z

2y

2x GGG G

3122 222 G

zyxG 3

1

3

2

3

2aaaa

G

G

G

G

zyxG 033306670667 aaaa

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)

8

D11

Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar

a)RMN

b)RMN + RMP

c)|rM|

d)aMP

e)|2rP ndash 3rN|

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az

b)3ax ndash 10ay ndash 6az

c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az

e)1556

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL PRODUCTO PUNTO

9

Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define

El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es

La expresioacuten se lee A punto B

Ej de producto punto

ABCosθBABA

ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno

BA

LF dTrabajo

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

10

El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B

El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que

Resultando que

zzyyxx

zzyyxx

BBB

AAA

bbbB

aaaA

BA

0yzzyxzzxxyyx babababababa

zzyyxx BABABA BA

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

11

Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa

La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando

Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a

BacosθaBaB 900 Ba

18090 Ba

a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba

b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

12

Ejemplo 12

Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN

4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN

Solucioacuten

1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G

G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az

2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxN 223

1aaaa

2610103

122

3

13105 zyxzyxN aaaaaaaG

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

13

Ejemplo 12 (Cont)

Solucioacuten

3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN

4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

zyxzyxNN 333166703331-223

12 aaaaaaaaG

999134

2cosθ

cosθ9100252

cosθ

1Ga

Ga

GaN

GaG

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

14

D13

Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB

b)RAC

c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A

d)La proyeccioacuten vectorial de RAB

en RAC

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-8ax + 4ay ndash 6az

b)-9ax + 2ay + 3az

c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az

EL PRODUCTO PUNTO (CONT)

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL PRODUCTO CRUZ

15

Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define

En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B

El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B

La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B

ABN SenθBAaBA

BA

BA

BA

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

16

El producto cruz no es conmutativo puesto que

De lo anterior se verifica que

ABBA

0

0

0

zz

yy

xx

yzx

xyz

zxy

yxz

xzy

zyx

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

BABABA

BABABA

BABABA

A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas

Este resultado se puede expresar en la forma

zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA

zyx

zyx

BBB

AAAzyx aaa

BA Maacutes Faacutecil Verdad

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

17

D14

Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar

a)RAB x RAC

b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)24ax + 78ay + 20az

b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az

EL PRODUCTO CRUZ (CONT)

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

18

Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano

Intervalos

En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o

La magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]

z

z

20

0

zAAA zzφφρρ AAA aaa

2

1222zAAA A

Je Je hellip

iquestCuaacutel es la unidad de aφ

Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

z

z

z

zz

0

0

0

1

1

1

z

z

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

19

a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares

b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular

c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

20

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

Transformacioacuten Escalar

De la figura se deduce que

zzx

yyx tan 122

zzyx

zyxz

zzyx sincos

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

21

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

Transformacioacuten de un Vector Unitario

De las figuras se deduce que

zz

y

x

aa

aaa

aaa

cossin

sincos

zz

yx

yx

aa

aaa

aaa

cossin

sincos Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

22

Ejemplo 13

Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

2Luego

ρφρcosφρsinxcosφysinφ

aaxaayaBB

0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ

aaxaayaBB

22

φyφxφφ

ρyρxρρ

zφ zaρaB

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

23

D15

a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

24

D16

Transformar a coordenadas ciliacutendricas

a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)1281aρ + 6az

b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

25

Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)

Intervalos

En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]

r

r

20

0

0

r

AAAr φφrr AAA aaa

2

1222 AAAr A

Je Je hellip

iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante

Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple

aaa

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

r

r

r

r

r

rr

0

0

0

1

1

1

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

26

a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas

b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas

c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ

d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)

2 iquestY el volumen

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

27

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Transformacioacuten Escalar

Transformacioacuten Escalar

x

y

z

yxzyxr 1

221222 tantan

rzyx

zyxr

cossinsincossin rzryrx

x

y

zyx

zzyxr 1

222

1222 tancos

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

28

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

Relacioacuten entre Vectores Unitarios

aaa

aaaa

aaaa

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

rz

ry

rx

yx

zyx

zyxr

aaa

aaaa

aaaa

cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Ejercicio para la casa

Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

29

Ejemplo 14

Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas

Solucioacuten

1Se determinan las nuevas componentes

sin

coscos

coscosaaaGG

sin

coscossin

cossinaaaGG

22

x

2

rxrr

r

y

xz

y

xz

r

y

xz

y

xz

)aacotcacot(sincoscosG r osr

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)

1 Cont Punto anterior

2 Luego

coscos

sinaaaGG x

r

y

xz

y

xz

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

30

D17

Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar

a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

31

D18

Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados

a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)

Ejercicio para realizar en el saloacuten

Respuestas

a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ

b)390ar + 312aθ + 866aφ

c)-342ar ndash 940aθ

OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN

GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN