notas de analisis vectorial gpo3

3.- Análisis vectorial.

§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar(63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulaciónde un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campoescalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74);§3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77);§3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)

§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que

Figura 3.1

haga corresponder a cada punto del espacio el valorde una cierta magnitud física (función unívoca depunto); decimos, entonces, que ese espacio, comosoporte de dicha magnitud física, es un campo; así,hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, depresiones, de temperaturas, ...

De acuerdo con el carácter de la magnitudfísica que define al campo distinguiremos dos tiposde campos:Campo escalar: Toda función que haga corres-

Figura 3.2

ponder a cada punto del espacio el valor de unamagnitud escalar define un campo escalar (Figu-

ra 3.1). Como ejemplos de campos escalares tenemoslos campos de temperatura, de presión, de densidad...Campo vectorial: Toda función que haga corres-ponder a cada punto del espacio el valor de unamagnitud vectorial, esto es, un vector, define uncampo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos decampos vectoriales tenemos el campo gravitatorio(g), el eléctrico (E), el magnético (B), el de veloci-dades en una corriente fluida (v) ....

En general, el valor de la magnitud física quedefine al campo (escalar o vectorial) será función

Manuel R. Ortega Girón 61

62 Lec. 3.- Análisis vectorial.

tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para loscampos escalares y vectoriales anteriormente definidos

[3.1]φ (r,t) y A(r,t)

o bien, en coordenadas cartesianas,

[3.2]φ (x,y,z,t) y A(x,y,z,t)

Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ(x,y,z) ó A(x,y,z),diremos que se trata de un campo estacionario; esto es, independiente del tiempo. Si,por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en uninstante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos quese trata de un campo uniforme y escribiremos φ(t) ó A(t).

Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que,si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata dealgunas de las características del campo.

En el caso de un campo escalar,

Figura 3.3

representado analíticamente por lamagnitud escalar φ, función continuaen todo el espacio (salvo, eventualmen-te en algunos puntos, líneas o superfi-cies aisladas), se define la superficieequiescalar como el lugar geométricode los puntos del espacio en los que lafunción φ toma un determinado valor.Obsérvese que si en lugar de considerar

un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas.

Es conveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalares correspondientesa valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que

[3.3]φ 2 φ 1 Δφ ; φ 3 φ 2 Δφ ; ...

En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto

Figura 3.4

campo escalar bidimensional. En las regio-nes donde las líneas (o superficies) equies-calares están más apretadas la variación delescalar φ por unidad de desplazamiento (elgradiente) es más acusada. En algunoscampos, como es el caso del representado enla Figura 3.3, pueden existir más de una líneao superficie equiescalares correspondientes aun mismo valor del escalar; pero las líneas osuperficies equiescalares correspondientes adistintos valores de la magnitud escalar φen ningún caso pueden cortarse, ya que φ esuna función unívoca de punto (i.e., en cadapunto del espacio la función φ(x,y,z) sólo

§3.1.- Campos escalares y vectoriales. 63

toma un valor).Cuando la magnitud física que define al campo tenga carácter vectorial, como

por ejemplo la función vectorial A(x,y,z), se dibujarán unas líneas de modo que seantangentes en cada uno de sus puntos a la dirección del vector A en esos puntos; estaslíneas son llamadas líneas vectoriales y nos mostrarán la dirección del vector A encada uno de los puntos del espacio donde el campo vectorial esté definido. Larepresentación del módulo del vector A en cada punto puede conseguirse espaciandolas líneas vectoriales de modo que el número de ellas que atraviesen la unidad desuperficie situada perpendicularmente a la dirección del campo en dicho punto seaigual a la intensidad del campo (módulo del vector A) en dicho punto. También aquí,al ser A(x,y,z) una función unívoca de punto, las líneas vectoriales no pueden cortarseentre sí.

Puesto que el campo vectorial A en cualquier punto del espacio es tangente a lalínea vectorial que pasa por ese punto, si consideramos un desplazamiento elementaldr sobre la línea vectorial será A×dr =0 (condición de paralelismo), de modo que

[3.4]dxAx

dyAy

dzAz

son las ecuaciones diferenciales de la familia de líneas vectoriales asociadas al campovectorial A(x,y,z).

Ejemplo I.- Líneas vectoriales.- Dado el campo vectorial A = -yi + xj, obtener la ecuación generalde las líneas vectoriales y representarlas gráficamente.

Aplicaremos la expr. [3.4] para obtener las eces.difes. de las

Figura 3.5

líneas vectoriales; i.e.,

dxy

dyx

dz0

de donde se sigue

⎧⎨⎩

x dx y dy 0dz 0

⇒⎧⎨⎩

x 2 y 2 cte.z cte.

de modo que las líneas vectoriales son circunferencias concéntricascon el eje z, contenidas en los planos z=cte y recorridas en elsentido antihorario, como se ilustra en la Figura 3.5. Obsérvese que A2 = y2+x2 = r2, de modo queel radio de cada una de las circunferencias es igual al módulo del vector campo en los puntos dela misma, que permanece constante.

§3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar.- En el párrafo anteriorhemos tratado con vectores variables; esto es, función de una o más variablesindependientes, que bien pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y,z) del espacioy el tiempo t. El estudio de estos vectores variables puede reducirse al de las fun-


ciones ordinarias sin más que referirlos a un sistema de ejes fijos. En un tal sistema,las componentes de un vector variable resultan ser funciones, en el sentido más usualde la palabra, de las variables independientes. Se estudian así, sin dificultad, losconceptos de continuidad, derivación, integración, ...

Así, en el caso de un vector que sea función

Figura 3.6

de una única variable independiente u, esto es,una función (que supondremos continua) de lavariable escalar u, A(u), si el escalar experi-menta un incremento Δu, el vector experimen-tará una variación ΔA = A(u+Δu) - A(u), cuyosignificado queda explícito en la Figura 3.6. Encompleto paralelismo con la definición ordinariade derivada, definimos la derivada del vectorA(u) con respecto al escalar u como

[3.5]dAdu

limΔu→0

ΔAΔu

en el supuesto de que dicho límite exista.La derivada dA/du es un vector que tiene la dirección hacia la que tiende el

vector ΔA cuando Δu tiende a cero. Como ΔA es la cuerda del arco descrito por elextremo del vector A, resulta que la derivada dA/du está dirigida según la tangentea la curva descrita por el extremo del vector A cuando se va incrementando el valordel escalar u, pues en el límite dicha cuerda pasa a la posición tangente a la curva.

Si es A = Ax(u)i+Ay(u)j+Az(u)k, por la propiedad distributiva de la derivacióntenemos

[3.6]dAdu

dAx

dui

dAy

duj

dAz

duk

y con notación matricial escribiremos

[3.7]dAdu

ddu

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ax(u)

Ay(u)

Az(u)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

dAx(u)/du

dAy(u)/du

dAz(u)/du

De la definición de derivada de un vector y del álgebra vectorial se siguen confacilidad las siguientes propiedades, que damos sin demostrar, siendo A(u), B(u) ...vectores funciones de la variables escalar u, m un escalar y φ(u) una función escalar:

[3.8]ddu

(A ± B) dAdu

± dBdu

[3.9]ddu

(mA) m dAdu

ddu

(φA) φ dAdu

A dφdu

§3.2.- Derivada de un vector respecto a un escalar. 65

[3.10]ddu

(A B ) A dBdu

dAdu

B ddu

(A×B ) A× dBdu

dAdu

×B

[3.11]ddu⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

dAdu

d2A

du 2

d2Ax

du 2i

d2Ay

du 2j

d2Az

du 2k

Si en lugar de una sola variable independiente aparecen dos o más, habrá queintroducir derivadas parciales con respecto a ellas. Las fórmulas anteriores setransforman con cambios evidentes sustituyendo las derivadas totales por parciales.

En el caso de un campo vectorial A(x,y,z,t), esto esA = A1(x,y,z,t)i + A2(x,y,z,t)j + A3(x,y,z,t)k

tendremos

[3.12]

∂A∂x

∂A1

∂xi

∂A2

∂xj

∂A3

∂xk ∂A

∂y∂A1

∂yi

∂A2

∂yj

∂A3

∂yk

∂A∂z

∂A1

∂zi

∂A2

∂zj

∂A3

∂zk ∂A

∂t∂A1

∂ti

∂A2

∂tj

∂A3

∂tk

Como suponemos que los versores (i,j,k) son fijos, se tiene como definición dediferencial del vector A

[3.13]dA dA1 i dA2 j dA3 k

siendo [3.14]d Ai

∂Ai

∂xdx

∂Ai

∂ydy

∂Ai

∂zdz

∂Ai

∂tdt

con i = 1,2,3. En particular, si es A = A(u), será

[3.15]dAi

dAi

dudu

§3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar.- De ladefinición de derivada de un vector respecto de una variable escalar se sigue, comooperación inversa, la integración. Así, dado un vector variable A=A(u), definiremosla integral indefinida de A(u) como

[3.16]⌡⌠A(u)du i ⌡

⌠A1(u)du j ⌡⌠A2(u)du k ⌡

⌠A3(u)du C

o sea [3.17]⌡⌠A(u)du B(u) C

siendo B(u) el vector cuyas componentes son las integrales anteriores y C un vectorconstante arbitrario. Evidentemente es


[3.18]A(u) dB(u)du

Análogamente se define la integral definida de A(u) entre los valores u=α y u=β,obteniéndose la siguiente generalización de la regla de BARROW:

[3.19]⌡⌠β

αA(u)du ⌡

⌠β

α

dB(u)du

du [ B(u) C ]β

αB(β ) B(α)

§3.4. Circulación de un vector.- Supongamos definido un arco de curva

Figura 3.7

regular por el vector de origen fijo O, r(t), siendo t un parámetro escalar (nonecesariamente el tiempo), y dado un campo vectorial A(r), función continua depunto. Podemos definir la integral del producto escalar A dr; esto es,

[3.20]⌡⌠β

αC

A dr

donde C es la curva sobre la que se efectúa laintegración, α y β, son los puntos inicial y finalsobre dicha curva y dr es un desplazamiento infinite-simal sobre la misma. Puesto que A dr es un escalar,está claro que la integral [3.20] dará como resultadoun escalar. Dicha integral se denomina circulacióndel vector A(r) sobre la curva C, entre los puntos αy β.

La definición de una integral de esta clase,llamada integral curvilínea, es muy semejante a la

definición de RIEMANN de la integral definida. El trozo de curva, entre los puntos αy β se divide en un gran número de pequeños elementos Δri; en cada elemento setoma un punto interior al mismo y se determina el valor de A(r) en dicho punto; y,finalmente, se calcula el producto escalar de cada incremento Δri por el valorcorrespondiente de Ai, y se suman todos esos productos. La integral curvilínea quedaentonces definida como el límite de dicha suma (en el supuesto de que dicho límiteexista) a medida que el número de elementos se hace cada vez mayor, tendiendo ainfinito, de tal manera que cada elemento tenderá a cero. Esta definición puede expre-sarse en forma compacta por

[3.21]⌡⌠β

αC

A dr límN→∞

N

i 1

A i Δr i

La evaluación de una integral curvilínea puede llevarse a cabo de la formasiguiente. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) de modo que,siendo A(x,y,z) = A(t), será

§3.4.- Circulación de un vector. 67

[3.22]r (t) x (t) i y (t) j z(t)k dr ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

dxdt

i dydt

j dzdt

k dt

[3.23]⌡⌠β

αC

A dr ⌡⌠

tβ

tα

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

A1(t)dxdt

A2(t)dydt

A3(t)dzdt

dt

o también [3.24]r x i y j z k dr dx i dy j dz k

[3.25]⌡⌠β

αC

A dr ⌡⌠

xβ

xαC

A1(x,y,z) dx ⌡⌠

yβ

yαC

A2(x,y,z) dy ⌡⌠

zβ

zαC

A3(x,y,z) dz

Ejemplo II.- Dado el campo vectorial A = 2xy i + (x2+2yz3) j + 3y2z2 k, calcular su circulación entre

Figura 3.8

los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo del camino definido: a) por la línea quebrada determinadapor los puntos (0,0,0), (1,0,0) (1,2,0) y (1,2,3); b) por la rectaque pasa por los dos puntos.

a) A partir de la expresión [3.25], se obtiene

⌡⌠

(1,2,3)

(0,0,0)C

A dr ⌡⌠

1

0 y 0z 0

(2xy)dx ⌡⌠

2

0 x 1z 0

(x 2 2yz 3)dy ⌡⌠

3

0 x 1y 2

(3y 2z 2)dz

⌡⌠

1

0

(0)dx ⌡⌠

2

0

dy ⌡⌠

3

0

12z 2dz 0 2 108 110

b) Las ecuaciones de dicha recta son x/1 = y/2 = z/3, o bien, enforma paramétrica

x = t y = 2t z = 3t

correspondiendo los puntos extremos a t=0 y t=1, respectiva-mente, y siendo entonces

dx/dt = 1 dy/dt = 2 dz/dt = 3

A = 4t2 i + (t2+108t4) j + 108t4 k

de modo que, aplicando [3.23], tenemos

⌡⌠

(1,2,3)

(0,0,0)x

1

y

2

z

3

A dr ⌡⌠

1

0

[ 4t 2 2(t 2 108t 4) 3(108t 4) ] dt ⌡⌠

1

0

[ 6t 2 540t 4] dt 110

Si se invierte el sentido de la circulación, esto es si se invierte el sentido de dr,cambia el signo de la integral [3.20], o sea

[3.26]⌡⌠β

α C

A dr ⌡⌠α

β C

A dr


Si coinciden los puntos inicial y final, esto es si la integral curvilínea se evalúasobre una curva cerrada, es costumbre emplear una notación especial,

[3.27]C

A dr

Por otra parte, si A es un vector constante, esto es, si se trata de un campovectorial uniforme, entonces tenemos que

[3.28]⌡⌠β

αC

A dr A ⌡⌠β

αC

dr A PαPβ

de modo que [3.29]A dr 0

ya que PαPβ = 0.

Figura 3.9

Generalmente la circulación del vector Aentre los puntos α y β es función de la curvaque una dichos puntos; i.e., del camino seguidopara ir del primer punto al segundo; es decir,

[3.30]⌡⌠β

αC1

A dr ≠ ⌡⌠β

αC2

A dr

y será preciso especificar el camino seguidoentre los puntos α y β para calcular la circula-

ción del campo vectorial A entre dichos puntos (Figura 3.9).No obstante, en la física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, existen algunos

campos sumamente importantes en los que se verifica que su circulación es indepen-diente del camino que se siga para realizar la integración de [3.20] entre los puntosα y β. Tales campos vectoriales reciben el nombre de campos conservativos oirrotacionales (por las razones que se verán más adelante). En un campo conservati-vo, a causa de que su circulación no depende del camino seguido entre dos puntosdados, ésta puede calcularse como la diferencia de valores que toma una cierta unafunción escalar de punto llamada función potencial. Son campos conservativos elgravitatorio y el electrostático. No son conservativos el campo eléctrico de inducción,ni el campo de velocidades en una corriente fluida con remolinos.

La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial A seaconservativo es que sea nula la circulación de A a lo largo de cualquier línea cerradadel espacio en el que está definido el campo. O sea que

[3.31]A dr 0

§3.4.- Circulación de un vector. 69

ya que entonces [3.32]A dr ⌡

⌠β

αC1

A dr ⌡⌠α

βC2

A dr 0

lo que implica que [3.33]⌡⌠β

αC1

A dr ⌡⌠β

αC2

A dr

o sea que la circulación del campo entre dos puntos dados no depende del caminoque sigamos para unir dichos puntos.

§3.5. Flujo de un campo vectorial.-

Figura 3.10

Imaginemos un elemento de superficiesuficientemente pequeño como para quepodamos considerarlo como plano; dichoelemento de superficie es representable medianteun vector, dS, cuyo módulo es el área del ele-mento, cuya dirección es normal al plano delmismo y cuyo sentido es el del avance de untornillo que girase según el sentido atribuido arbitrariamente al contorno del elementode superficie (Figura 3.10).

Consideremos un campo vectorial A y un tal elemento de superficie dS; al serinfinitesimal dicho elemento, el vector A puede considerarse constante en toda laextensión de dicho elemento de superficie (Figura 3.11). Se define el flujo elementaldel campo vectorial A a través del elemento de superficie dS como el productoescalar

[3.34]dΦ A dS

o sea [3.35]dΦ A dS cos θ A dS′

Puesto que dS′ es la proyección del ele-

Figura 3.11

mento de superficie dS en la direcciónnormal al campo vectorial A, y recor-dando lo que dijimos para la repre-sentación de los campos vectorialesmediante líneas vectoriales, vemos queel flujo elemental dΦ es igual al núme-ro de líneas vectoriales que atraviesanla superficie dS.

Ahora, consideremos una superficie S colocada en una región cualquiera delespacio en el que existe un campo vectorial A. Dividamos dicha superficie ensuperficies elementales ΔS1, ΔS2, ... y tracemos los versores normales e1, e2, ... a cadauna de dichas superficies elementales (Figura 3.12), de modo que


[3.36]ΔSi e i ΔSi

Los versores ei apuntarán siempre hacia fuera (convexidad) de la superficie S. El flujodel campo vectorial A a través de toda la superficie S se define como la integral desuperficie

[3.37]Φ ⌡⌠

S

A dS límN→∞

N

i 1

A i ΔS i

con consideraciones análogas a las que hicimos cuando definíamos la integralcurvilínea en el apartado anterior.

La integral de superficie, y por

Figura 3.12

tanto el flujo, son claramente magnitu-des escalares. El valor del flujo de uncampo vectorial a través de una superfi-cie puede ser un número positivo, nega-tivo y nulo. Si el flujo es positivo, sedenomina flujo saliente; si es negativo,se denomina flujo entrante; si es cero,no hay flujo neto.

El nombre de flujo se debe a una aplica-ción de la ec. [3.37] al estudio de lascorrientes fluidas. Supongamos que tenemos

una corriente de partículas, todas moviéndose hacia la derecha con una misma velocidad v(Figura 3.13). Aquellas partículas que atraviesan el elemento de superficie dS durante un intervalode tiempo Δt estarían contenidas en un cilindro de base dS, generatriz paralela a v y longitud vΔt.El volumen de tal cilindro es vΔtdScos θ. Supongamos que haya n partículas por unidad de volu-men; entonces, el número total de partículas que atraviesan la superficie dS por unidad de tiempo,o flujo de partículas, es

Figura 3.13

[3.38]n v dS cosθ nv dS

y el número total de partículas quepasarán a través de una superficie finita,S, será

[3.39]Φ ⌡⌠

Snv dS

expresión similar a la [3.37], con A =nv. Se comprenderá que el nombre de

flujo dado a la ec. [3.37] no significa que, en general, haya movimiento real de algo material através de una superficie.

Si la integral de superficie que define al flujo del campo vectorial se extiendesobre una superficie cerrada, entonces se utiliza la notación

[3.40]S

A dS

Interpretando el flujo como el número de líneas vectoriales que atraviesan unasuperficie, si ésta es cerrada y el flujo es positivo (saliente) habrá más flujo saliente

§3.5.- Flujo de un campo vectorial. 71

(+) que entrante (-), de modo que salen más líneas vectoriales desde el interior de lasuperficie que las que entran en la misma; diremos que dentro de la superficie hayuna fuente o creación de líneas vectoriales. Por el contrario, si el flujo a través de unasuperficie cerrada es negativo, diremos que hay un sumidero o desaparición de líneasvectoriales en el interior de la superficie cerrada, ya que entran más líneas que lasque salen. Por último, si el flujo a través de una superficie cerrada es nulo, todas laslíneas vectoriales que penetran en la superficie saldrán por otros puntos de la misma,de modo que el efecto neto es que ni se crean ni se destruyen líneas vectoriales enel interior de la superficie cerrada.

La integral de superficie A dS

Figura 3.14

depende, en general, de la superficie deintegración y los casos en que nodepende de dicha superficie son par-ticularmente interesantes.

Diremos que un campo vectorial essolenoidal si

[3.41]S

A dS 0

para cualquier superficie sumergida enel campo. Ya hemos dicho que estoequivale a afirmar que el número delíneas vectoriales que salen por unospuntos de la superficie es igual alnúmero de las que entran por otrospuntos de la misma, de modo que ni nacen ni mueren líneas vectoriales en el interiorde la superficie cerrada. El campo gravitatorio sólo es solenoidal en aquellas regionesque no contienen masas gravitatorias, pues éstas actúan como sumideros de líneas defuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con el campo electrostático (Figura 3.14): sólo essolenoidal donde no existan cargas eléctricas. El campo magnético B es solenoidalen todos los puntos del espacio, ya que las líneas de inducción magnéticas soncerradas.

De lo anteriormente expuesto se sigue fácilmente que las fuentes y sumideros deun campo representan las fuentes escalares (positivas, fuentes; negativas, sumideros)del campo. Así, la fuente u origen escalar del campo gravitatorio es la masa gravi-tatoria, que se comporta como sumidero del campo. La fuente u origen escalar delcampo electrostático es la carga eléctrica: las cargas positivas representan las fuentesy las negativas los sumideros de campo. Obviamente, el campo magnético B no tienefuentes escalares; i.e., su origen no es de naturaleza escalar, sino vectorial (cargas enmovimiento).

§3.6. Gradiente de un campo escalar.- Dada una función escalar φ(x,y,z),función continua y derivable de las coordenadas espaciales (x,y,z), su diferencial

[3.42]dφ ∂φ∂x

dx ∂φ∂y

dy ∂φ∂z

dz


puede expresarse como el producto escalar de dos vectores: uno de componentes(dx,dy,dz), que es el diferencial (dr) del vector de posición r = xi + yj + zk; el otroel vector de componentes (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z), que se denomina gradiente de φ,y se designa por grad φ, o bien por ∇φ; es decir

[3.43]grad φ ∇ φ ∂φ∂x

i ∂φ∂y

j ∂φ∂z

k

y es [3.44]dφ ∇ φ dr

Una interpretación geométrica del gradiente se obtiene observando que laecuación

φ (x,y,z) cte.

representa una familia de superficies (una superficie para cada valor de la constante);la superficie S de la familia que pasa por el punto P0(x0,y0,z0) tendrá de ecuación

φ φ (x0,y0,z0)

Entonces, para cualquier punto en un entorno suficientemente restringido de P0

Figura 3.15 Figura 3.16

(Figura 3.15), será dφ=0, esto es, ∇φ dr = 0; lo que indica que ∇φ es perpendiculara dr. Por tanto, el vector ∇φ0 (i.e., el gradiente en el punto P0) es perpendicular atodas las tangentes a la superficie S en el punto P0, i.e., normal a la superficie endicho punto.

Además, obsérvese que de dφ = ∇φ dr se sigue que

[3.45]dφds

∇ φ drds

∇ φ e ∇ φ cos θ

siendo ds = dr (i.e., dr/ds=e es un versor en la dirección del desplazamientoelemental dr) y θ el ángulo formado por los vectores ∇φ y dr (Figura 3.16). Laexpresión anterior se denomina derivada direccional o derivada de φ en la direcciónde e. De aquí se sigue que dφ/ds varía con el valor del ángulo θ, presentándose suvalor máximo (igual a ∇φ ) para θ=0. Esto es:

la variación máxima de φ en el punto P0 se presenta en la dirección de ∇φ

§3.6.- Gradiente de un campo escalar. 73

en el punto P0; o sea, en la dirección normal a la superficie equiescalar S enel punto P0.El resultado anterior nos permite definir el gra-

Figura 3.17

diente de un campo escalar como un vector cuyadirección y sentido corresponden al del máximocrecimiento de φ y cuyo módulo es el valor dedicho crecimiento por unidad de desplazamiento enesa misma dirección (derivada direccional).

Obsérvese que, dado un campo escalar φ(x,y,z),podemos obtener a partir de él un campo vectorial

[3.46]A(x,y,z) ∇ φ (x,y,z)

que hace corresponder a cada punto del espacio (enel que está definido el campo escalar φ) un vector A(x,y,z) que es el gradiente delcampo escalar en ese mismo punto.

Como consecuencia de la

Figura 3.18

representación de los camposescalares y vectoriales porsuperficies (o líneas) equiesca-lares y líneas vectoriales,respectivamente, y al ser elvector gradiente en un puntoperpendicular a la superficie (olínea) equiescalar que pasa pordicho punto, resulta que laslíneas vectoriales (que son tan-gentes a ∇φ) cortarán ortogo-nalmente a las superficies (olíneas) equiescalares (Figu-

ras 3.17 y 3.18).

§3.7. Función poten-cial.- Ahora podemos calcularla circulación del vector A=∇φa lo largo de un caminocualquiera que una dos puntosdados, α y β, del espacio (Figu-

ra 3.19). Tenemos

[3.47]⌡⌠β

αC

A dr ⌡⌠β

βC

∇φ dr ⌡⌠β

αdφ φβ φα

de modo que la circulación del vector ∇φ es independiente del camino seguido parair desde el punto α al puntos β, ya que dicha circulación sólo depende de los valoresque toma la función escalar de punto φ (i.e., el campo escalar) en los puntos α y β.Así, podemos afirmar que el campo de gradiente es un campo vectorial conservativo.


Si tenemos un campos vectorial A tal que se

Figura 3.19

pueda obtener a partir de un campo escalar φ,mediante la operación A = ∇φ, el campo vecto-rial A será conservativo y la función φ(x,y,z) sedenomina su función potencial1. Inversamente,todo campo vectorial A que sea conservativo sepodrá obtener a partir de un campo escalar ofunción potencial φ mediante la operación A =∇φ.

Ejemplo III.- El campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo (se demostrará enel Ejemplo IV). Obtener su función potencial.

Calculamos la circulación del campo vectorial a lo largo del camino definido por la líneaquebrada determinada por los puntos (0,0,0), (x,0,0), (x,y,0) y (x,y,z); esto es,

⌡⌠

(x,y,z)

(0,0,0)C

A dr ⌡⌠

x

0 y 0z 0

(2xy)dx ⌡⌠

y

0 x xz 0

(x 2 2yz 3)dy ⌡⌠

z

0 x xy y

(3y 2z 2)dz

⌡⌠

x

0

(0)dx ⌡⌠

y

0

x 2 dy ⌡⌠

z

0

3y 2z 2dz x 2y y 2z 3

de modo que φβ - φα = x2y + y2z3, y puesto que las coordenadas del punto β son genéricas, será

φ (x,y,z) x 2y y 2z 3 cte.

§3.8. Divergencia de un campo vectorial.- Consideremos un campo vectorialA y un elemento de volumen que contiene al punto P. Definiremos la divergencia delcampo vectorial en el punto P como el límite a que tiende el cociente entre el flujodel campo vectorial a través de la superficie S que delimita al elemento de volumenΔV y dicho elemento de volumen, cuando ΔV→0 encerrando siempre al punto P(Figura 3.20). Esto es, designándola por div A o bien por ∇ A, será

[3.48]div A ∇ A límΔV→0

1ΔV S

A dS

donde la integral se extiende a la superficie S que delimita al elemento de volumenΔV. Conforme tiende a cero el elemento de volumen, el punto P siempre permaneceen su interior. Se puede demostrar que esta definición es independiente de la formadel elemento de volumen. De la definición anterior, y si consideramos ΔV como la

1 Cuando el campo vectorial conservativo es un campo de fuerzas, se define el potencial (Φ)de modo que su diferencia de valores en dos puntos es igual a la circulación del campo de fuerzasentre esos puntos, cambiada de signo. De este modo, resulta ser Φ = -φ. Ampliaremos esteconcepto en la Lec. 10.

§3.8.- Divergencia de un campo vectorial. 75

unidad de volumen, se puede interpretar la

Figura 3.20

divergencia de un campo vectorial en un punto Pcomo el flujo de dicho campo a través de unasuperficie que delimita la unidad de volumen entorno al punto P. De otro modo, la div A en unpunto representa el número de líneas vectorialesque nacen o mueren en la unidad de volumencolocada en dicho punto. Evidentemente, la diver-gencia de un campo vectorial es una funciónescalar de punto.

El campo vectorial A será solenoidal cuando en todos los puntos del espaciodonde está definido se verifica que div A=0; es decir, que en ningún punto de dichoespacio nacen ni mueren líneas vectoriales. Ya vimos anteriormente que el campomagnético es solenoidal en todo el espacio, ya que las líneas de inducción magnéticason cerradas.

Puesto que en la definición de la divergencia de un campo vectorial no hemoshecho mención a algún sistema de coordenadas, resulta obvio que ésta es indepen-diente del sistema de coordenadas elegido; sin embargo, su expresión si depende delsistema de coordenadas y deberá determinarse a partir de la evaluación de ladefinición [3.48] en dicho sistema de coordenadas.

Ahora buscaremos la expresión de div A en coordenadas cartesianas. Para ello, elegiremos laforma del elemento de volumen ΔV del modo más conveniente para que la integral de superficiede la ec. [3.48] resulte lo más sencilla posible. Así, tomaremos como elemento de volumen unparalelepípedo de aristas Δx, Δy, Δz, como se muestra en la Figura 3.21, de modo que ΔV = Δx Δy Δz.

Para calcular A dS calcularemos el flujo de A a través de cada una de las seis caras delparalelepípedo y sumaremos los resultados. Así, el flujo a través de la cara 1 es sólo debido a lacomponente Ay del vector A y, como es un flujo entrante en el elemento de volumen, lo conside-ramos negativo:

Figura 3.21

Ay(1) Δx Δz

y a través de la cara 2 tenemos un flujo positivo (saliente)dado por

Ay(2) Δx Δz

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Ay(1)⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂y 0

Δy Δx Δz

de modo que el flujo ligado a esas dos caras es

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂y 0

Δx Δy Δz

y, de modo análogo, se tiene para las otras dos parejas de caras

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂x 0

Δx Δy Δz⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Az

∂z 0

Δx Δy Δz

de modo que, sumando las expresiones anteriores, obtenemos el flujo total a través de las seis carasdel paralelepípedo;


S

A dS⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z 0

Δx Δy Δz

entonces, de la definición de div A, se sigue

∇ A límΔV→0

1ΔV S

A dS⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z

de modo que la expresión cartesiana de la divergencia del campo vectorial A es

[3.49]div A ∇ A∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z

§3.9. Teorema de Gauss.- Consideremos un campo vectorial A definido entodos los puntos de un volumen V y de la superficie S que lo delimita. Subdividamosdicho volumen en pequeños elementos ΔVi, como se ilustra en la Figura 3.22; entonces,para cada uno de esos elementos de volumen, podemos escribir

Figura 3.22

[3.50](∇ A) ΔVi Si

A dS

estando extendida la integral a la superficie Si total(i.e., bases y caras laterales) que delimita al elementode volumen ΔVi. Tendremos una ecuación como la[3.50] para cada uno de los elementos de volumen enque hemos descompuesto el volumen total V. Cuandosumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones,tenemos

[3.51]i

(∇ A) ΔVii Si

A dS

Los términos que aparecen en el segundo miembro de la expresión anteriorrepresentan el flujo a través de cada una de las superficies que delimitan cada unode los elementos de volumen ΔVi. Se observará que al sumar todos esos flujos, loscorrespondientes a las caras comunes de dos elementos vecinos (Figura 3.22) secompensarán, de modo que la suma del segundo miembro de [3.51] representasimplemente el flujo a través de las caras exteriores de los elementos de volumenΔVi; o sea, el flujo a través de la superficie S que delimita al volumen total V. Sipasamos al límite, para elementos de volumen ΔVi cada vez más pequeños, elsumatorio del primer miembro de [3.51] se convierte en una integral, y nos queda

[3.52]⌡⌠

V∇ A dV

SA dS

donde las integrales de volumen y de superficie se extienden, respectivamente, alvolumen total V y a la superficie S que lo delimita. El resultado anterior constituyela expresión del TEOREMA DE GAUSS, que se enuncia en la siguiente forma:

§3.9.- Teorema de Gauss. 77

La integral de la divergencia de un campo vectorial en un volumen V esigual al flujo de dicho campo a través de la superficie S que delimita alcitado volumen V.

El teorema de Gauss nos permite asegurar que en un campo solenoidal ladivergencia del campo es nula en todos los puntos del espacio. Esto es, para uncampo solenoidal es

[3.53]∇ A 0

§3.10. Rotacional de un campo vectorial.- Consideremos, de nuevo, uncampo vectorial A y un elemento de volumen ΔV que contiene al punto P.Definiremos el rotacional del campo vectorial en el punto P, y lo designaremos porrot A o bien por ∇×A, como

[3.54]rot A ∇ × A límΔV→0

1ΔV S

dS × A

donde la integral se extenderá a la superficie S

Figura 3.23

que delimita al elemento ΔV considerado, elcuál, al tender a cero, deberá contener siempreal punto P (Figura 3.23). Si comparamos estadefinición con la dada anteriormente para div A,veremos que existe un cierto parecido entreambas. Obsérvese que en tanto que, en ciertomodo, la div A es una medida de la componentenormal del campo en la superficie del elementoΔV, el rot A lo es de la componente tangenciala dicha superficie. Evidentemente, el rot A es una función vectorial de punto.

La definición que hemos dado para el rot A es independiente del sistema de

Figura 3.24

coordenadas considerado; sin embargo, su expre-sión depende del sistema de coordenadas queelijamos y se determinará evaluando la definición[3.54] en dicho sistema de coordenadas.

Buscaremos ahora la expresión del rot A en coordena-das cartesianas. Para ello, debemos elegir la forma delelemento del volumen ΔV de modo que la integral desuperficie que aparece en [3.54] sea fácil de calcular.Tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedorectangular de aristas Δx, Δy y Δz, de modo que ΔV =Δx Δy Δz.

Para la componente x de rot A sólo contribuyen lascaras perpendiculares a los ejes y y z; entonces será

(∇ × A)x límΔV→0

1ΔV

[ Ay(x,y,Δz) Ay(x,y,0) ] ΔxΔy [ Az(x,Δy,z) Az(x,0,z) ] ΔxΔz

y desarrollando en serie de TAYLOR y pasando al límite se tiene


(∇ × A)x

∂Az

∂y∂Ay

∂z

y, análogamente, para las componentes y y z de rot A se tiene

(∇ × A)y

∂Ax

∂z∂Az

∂x(∇ × A)z

∂Ay

∂x∂Ax

∂y

de modo que rot A se expresa en coordenadas cartesianas en la forma

rot A ∇ × A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Az

∂y∂Ay

∂zi

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂z∂Az

∂xj

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂x∂Ax

∂yk

o bien [3.55]rot A ∇ × A

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

§3.11. Teorema de Stokes.- Veamos ahora una definición alternativa delrotacional de un campo vectorial, equivalente a la dada en el apartado anterior, queresulta más conveniente en ciertas aplicaciones.

Sea un campo vectorial A y un elemento

Figura 3.25

de superficie ΔS (suficientemente pequeñocomo para que podamos considerarlo plano)que contiene a un punto P. Calculemos lacirculación del campo vectorial A a lo largodel contorno de dicho elemento de superficiey calculemos el límite a que tiende el coefi-ciente entre dicha circulación y el área delelemento de superficie cuando ΔS→0 conte-niendo siempre al punto P. Ese valor límite

es, por definición, la proyección del rotacional del campo vectorial A en el punto Pen la dirección de la normal, en = ΔS/ΔS, al elemento de superficie considerado;

[3.56](∇ × A) e n límΔS→0

1ΔS C

A dr

Consideremos, ahora, un campo vectorial A definido en todos los puntos de unasuperficie arbitraria S y en los puntos de la curva C que la limita, en la que elegimosun sentido de circulación, como se muestra en la Figura 3.26. Subdividamos esasuperficie en elementos ΔSi, en los que el sentido de circulación en sus respectivoscontornos viene impuesto por el establecido anteriormente; entonces, en virtud de ladefinición anterior de ∇×A, para cada uno de esos elementos podemos escribir

§3.11.- Teorema de Stokes. 79

[3.57](∇ × A) ΔS i C i

A dr

efectuándose la integral a lo largo del contorno del elemento de superficie correspon-diente. Tendremos una ecuación como la anterior para cada uno de los elementos desuperficie en que hemos descompuesto la superficie total S. Si sumamos miembro amiembro todas esas ecuaciones, tenemos

[3.58]i

(∇ × A) ΔS ii C i

A dr

Los términos que aparecen en el segun-

Figura 3.26

do miembro de [3.58] representan la circula-ción del campo a lo largo de cada una de laslíneas que delimita cada uno de los elemen-tos de superficie ΔSi. Se observará que alsumar todas esas circulaciones, las corres-pondientes a los recorridos interiores secompensan, ya que cada uno de ellos escomún a dos circuitos vecinos y es recorridodos veces en sentidos opuestos, de modo queel sumatorio del segundo miembro de [3.58]

representa simplemente la circulación delcampo sobre el contorno exterior C de lasuperficie S. Si pasamos al límite, paraelementos de superficie cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de[3.58] se convierte en una integral, y nos queda

[3.59]⌡⌠

S

(∇ × A) dSC

A dr

donde las integrales se extienden a la superficie total S y a su contorno C. Elresultado anterior constituye la expresión del TEOREMA DE STOKES, que se enunciaen la forma siguiente:

La circulación de un campo vectorial sobre una línea cerrada es igual al flujodel rotacional del campo a través de una superficie cualquiera limitada pordicha línea cerrada.

Como ya sabemos, el rotacional de un campo vectorial es una función vectorialde punto. Cuando en todos los puntos del espacio donde está definido el campo vec-torial A se verifica que rot A=0, se dice que el campo vectorial A es irrotacional.

Si es A = grad φ, esto es, si el campo vectorial deriva de un campo escalar(potencial), A será un campo irrotacional, pues por aplicación del teorema de Stokesa una superficie arbitraria situada en el campo, se tiene

[3.60]⌡⌠

S(∇ × A) dS

CA dr

C∇ φ dr

Cdφ 0

de modo que, puesto que S es arbitraria, deberá ser rot A=0, o sea que


[3.61]rot ( gradφ ) ∇ × (∇ φ ) 0

lo que significa que

todo campo vectorial irrotacional es conservativo, y todo campo vectorialconservativo es irrotacional

de modo que decir campo conservativo o campo irrotacional es equivalente.

Ejemplo IV.- Demostrar que el campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo.

Simplemente, verificaremos si su rotacional es nulo; esto es,

∇ × A

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

×

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2xy

x 2 2yz 3

3y 2z 2

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6yz 2 6yz 2

0 02x 2x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

000

0

§3.12. El operador nabbla.- Las notaciones ∇ φ, ∇ A y ∇× A que hemosutilizado anteriormente para designar operadores tan diversos como el gradiente deun campo escalar (grad φ), la divergencia de un campo vectorial (div A) y elrotacional de un campo vectorial (rot A) se explican considerando el signo operativo∇ de HAMILTON, que se denomina nabbla, que puede considerarse como un operadorvectorial diferencial de componentes ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z; esto es

[3.62]∇ i ∂∂x

j ∂∂y

k ∂∂z

conviniendo en considerar las derivadas parciales ∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z, como unproducto simbólico de ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z por la función φ(x,y,z), con lo que resulta queel operador ∇ puede multiplicarse escalar y vectorialmente por otros vectores,obteniéndose:

[3.63]grad φ ∇ φ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

i ∂∂x

j ∂∂y

k ∂∂z

φ ∂φ∂x

i ∂φ∂y

j ∂φ∂z

k

div A ∇ A ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

i ∂∂x

j ∂∂y

k ∂∂z

( Ax i Ay j Az k )

[3.64]∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z

rot A ∇ × A ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

i ∂∂x

j ∂∂y

k ∂∂z

× ( Ax i Ay j Azk )

§3.12.- El operador nabbla. 81

[3.65]

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Az

∂y∂Ay

∂zi

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂z∂Az

∂xj

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂x∂Ax

∂yk

o bien, expresando los vectores con notación matricial:

[3.66]∇ φ

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

φ

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂φ /∂x∂φ /∂y∂φ /∂z

[3.67]∇ A

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ax

Ay

Az

∂Ax

∂x∂Ay

∂y∂Az

∂z

[3.68]∇ × A

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Ax

Ay

Az

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Az

∂y∂Ay

∂zi⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ax

∂z∂Az

∂xj⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ay

∂x∂Ax

∂yk

Esta notación simbólica abrevia las expresiones y es muy útil en las aplicaciones. Elalumno puede demostrar fácilmente que

[3.69]rot (gradφ ) ∇ × (∇ φ ) 0

div (rotA ) ∇ (∇ ×A ) 0


Problemas

3.1.- Dado el vector A = 2ti + t2j + k, calcular dAdt

y para t=2.d Adt

3.2.- Indicar la diferencia existente entre elmódulo de la derivada de un vector y la deri-vada del módulo del mismo vector.

3.3.- Demostrar que la derivada de un vectorde módulo constante es otro vector normal aldado.

3.4.- Demostrar que la dirección del vectorA(t) permanecerá constante si se verifica que

A × dAdt

0

3.5.- Si es r = a cosωt + b senωt, siendo a yb vectores constantes no-colineales y ω unaconstante escalar, demostrar que

a) r × drdt

ω (a×b)

b) d2r

dt 2ω 2r 0

c) r⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

drdt

× d2r

dt 20

3.6.- Demostrar las siguientes igualdadesvectoriales:

a) A dAdt

AdAdt

b) ddt⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

A × dAdt

A × d2A

dt 2

c) ddt

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

A dAdt

× d2A

dt 2A dA

dt× d3A

dt 3

3.7.- Dado el vector A = (t+1)i + t2j + 2tk,calcular:

a) y b)⌡⌠A dt ⌡

⌠2

1

A dt

3.8.- Dado el vector A = x2yi + (xz - y2)j +3xz2k, calcular todas las derivadas parciales, deprimer y de segundo orden, respecto a lasvariables (x,y,z), así como dA.

3.9.- Resolver la ecuación vectorial d2r/dt2 =-gk, donde g es una constante, dado que parat=0 sea r(0)=0 y v(0) = dr/dt t=0 = v0(cosθ0j+ senθ0k). Interprétese físicamente el resulta-do.

3.10.- Demostrar las siguientes igualdadesvectoriales

a) ⌡⌠C dA

dtdt C A cte

b) ⌡⌠dA

dtd2A

dt 2dt

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

dAdt

2

cte

siendo C un vector constante.

3.11.- Consideremos la función definida por elmódulo del vector de posición de los puntosdel espacio con respecto al origen de coorde-nadas. a) ¿Define dicha función un campoescalar? b) ¿Cómo son las superficies equies-calares de dicho campo?

3.12.- La función φ = x2 + y2 - z define uncampo escalar. ¿Cómo son las superficiesequiescalares de dicho campo?

3.13.- Consideremos la función definida por elvector de posición de los puntos del espaciocon respecto al origen de coordenadas.a) ¿Define dicha función un campo vectorial?b) ¿Cómo son las líneas vectoriales de dichocampo?

3.14.- Un campo escalar estacionario, φ(r),está definido por la función φ = r2 - 2a r,donde a es un vector constante. a) Demostrarque las superficies equiescalares son esféricas.b) Determinar el menor valor posible quetomará el campo escalar y el punto(s) donde lotoma.

3.15.- Si es A = (x + y)i + xyj, calcular ∫Adrsobre los siguientes recorridos: a) y=x desde

Problemas 83

(0,0) hasta (1,1); b) la línea quebrada determi-nada por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1);c) ídem por los puntos (0,0),(0,1) y (1,1);d) sobre la curva y=x2 entre los puntos (0,0) y(1,1); e) ídem sobre la curva x=y2; f) sobre latrayectoria cerrada definida por las curvas y=x2

y x=y2; g) ¿Es conservativo este campo?

3.16.- Calcular A dr, donde

A = (2x-y+z)i + (x+y-z)j + xyzk

sobre la elipse de ecuación x2/9+y2/4=1. ¿Esconservativo este campo?

3.17.- Calcular el flujo del campo vectorialdefinido por A = xi + yj + zk, a través de lassuperficies siguientes: a) la superficie de uncubo de arista unidad delimitado por losplanos coordenados y los planos x=1, y=1 yz=1; b) la superficie esférica de radio unidady centrada en el origen de coordenadas.

3.18.- Calcular el flujo del campo eléctrico

a través de una superficie es-E q4π 0

r

r 3

férica de radio R centrada en el origen decoordenadas.

3.19.- Hallar los gradientes de los camposescalares siguientes:

a) φ = x2 + y2 + z2

b) φ = xy3 + yz3 + zx3

c) φ = x2y/z3

d) φ = x sen(yz) + y cos(xz)

e) φ = x cos x + xyz

3.20.- Determinar la ecuación del plano tan-gente al paraboloide elíptico z= x2+2y2, en elpunto de coordenadas (2,1,6).

3.21.- a) Calcular la derivada direccional de lafunción φ = 2xz - y2 en la dirección del vector2i + j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar,en dicho punto, la dirección del máximo creci-miento de φ, así como el valor de dicho creci-miento por unidad de longitud en la citadadirección.

3.22.- Calcular grad (A r), siendo A unvector constante y r el vector de posición.

3.23.- Dado el campo vectorial definido por

A =(x3+yz)i + (y3+xz)j + (z3+xy)k

calcular: a) div A; b) SA dS, siendo S lasuperficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

3.24.- a) Demostrar que el campo vectorial Adefinido en el Problema 3.23 es conservativo.b) Determinar una función escalar φ tal quesea A = grad φ. c) Calcular la circulación delcampo A entre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2).

3.25.- Sea el campo vectorial

A = (1+yz)i + (1+xz)j + (1+xy)k

a) Calcular la circulación de este campo vecto-rial entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largode la recta que los une. b) Demostrar que estecampo es conservativo y determinar la funciónpotencial correspondiente. c) Recalcular elprimer apartado mediante la función potencial.

3.26.- Sea el campo vectorial A = y i + z j +x k. a) ¿Es conservativo? b) Calcular sucirculación a lo largo de media vuelta de lahélice cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = 2 cos θ, y = 2 sen θ, z = 3 θ

entre el punto (2,0,0) y el (-2,0,3π). c) Ídema lo largo de la recta que une esos dos puntos.d) Ídem a lo largo de la poligonal definida porlos puntos (2,0,0), (2,2,0), (-2,2,0), (-2,0,0) y (-2,0,3π).

3.27.- Sea el campo vectorial

A = (2x+yz)i + (2y+xz)j + (2z+xy)k

a) Evaluar su circulación entre los puntos(0,0,0) y (1,1,1) a lo largo de la curva definidapor y = x2; z = x. b) Demostrar que el campoes conservativo y determinar la función depotencial. c) Reavaluar el primer apartadoutilizando la función potencial.

3.28.- Sea A un campo vectorial que deriva deuna función potencial φ = 1/r, siendo r elvector de posición de los puntos del espacio enel que está definido dicho campo. Determinarlas coordenadas del punto del espacio en elque se verifica que A = r , teniendo Ala dirección del eje x y el sentido de las xdecrecientes, en dicho punto.

3.29.- Sea el campo vectorial A = r/r, donde res el vector de posición. a) Demostrar que elcampo es potencial y obtener su función poten-cial. b) Calcular la circulación del campo entrelos puntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de unarco de circunferencia que pasa por dichospuntos y cuyo centro es el origen de coordena-das: i) directamente; ii) utilizando la funciónpotencial.

3.30.- Verificar el teorema de Stokes para elcampo vectorial


A = (2x-y)i - yz2j - y2zk

siendo S y C la superficie y el contorno,respectivamente, del hemisferio superior deuna esfera de radio unidad centrada en elorigen de coordenadas.

3.31.- Si es f(r) una función arbitraria de r,siendo r el vector de posición de un punto delespacio con respecto al origen de coordenadas,demostrar que:

a) ∇ f(r) f rr

b) ∇ [ f(r) er ] 2 fr

f

c) ∇×[f(r)er ] 0

d) ∇ 2 [f (r)] ∇ [∇ f (r)] f 2 fr

3.32.- Demostrar que:

a) ∇ ⎛⎜⎝⎞⎟⎠

1r

e r

r 2

b) ∇⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

e r

r 20

c) ∇ ×⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

e r

r 20

d) ∇ ⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

∇ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1r

0

3.33.- Dado el campo vectorial A = ker/r2,

siendo k una constante: a) Demostrar quedicho campo es solenoidal en todos los puntosdel espacio salvo en el origen de coordenadas;b) Calcular el flujo del campo a través de unasuperficie cerrada cualquiera que rodea alorigen de coordenadas; c) Ídem para unasuperficie cerrada que no rodea al origen;d) Demostrar que el campo es conservativo;e) Encontrar una función escalar (potencial) talque A = -grad φ. f) Para el campo gravitato-rio es k=-Gm, y para el campo electrostático esk=q/4π 0; aplicar los resultados anteriores aestos dos campos y discutir los resultados.

3.34.- Calcular el flujo del campo vectorialA = kr3er a través de una superficie esférica,

de radio R, centrada en el origen de coordena-das. (Utilizar el teorema de Gauss).

3.35.- Consideremos un fluido en movimientoen el que tanto la densidad ρ como la veloci-dad de cada uno de sus elementos de volumensean función de las coordenadas espaciales ydel tiempo, esto es, ρ=ρ(x,y,z,t) y v=v(x,y,z,t).a) Demostrar que si no existen ni fuentes nisumideros en un cierto volumen finito ocupadopor el fluido se cumple

∇ (ρv) ∂ρ∂t

0

que es la llamada ecuación de continuidad.b) ¿Qué ocurre si ρ =cte (fluido incompren-sible) y se verifica la ecuación de continuidad?

notas de analisis vectorial gpo3

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