tema2 curso analisis vectorial fiuady cesar acosta

5/14/2018 Tema2 Curso Analisis Vectorial FIUADY CESAR ACOSTA - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tema2-curso-analisis-vectorial-fiuady-cesar-acosta 1/23

Vectores en el sistema coordenado rectangular.

Anteriormente, un vector se representó por un segmento dirigido, si ahora colocamos

el punto inicial del vector en el origen de un sistema coordenado rectangular,

entonces el vector se puede especificar por las coordenadas rectangulares ( x, y, z )del punto final de dicho vector. Así existe una correspondencia biunívoca entre elconjunto de vectores cuyos puntos iniciales están en el origen de coordenadas.

A

A

A = A x

, A y

, A z ( )

Vectores Unitarios en el Sistema de Coordenadas Cartesiano

Entenderemos por direccionalidad de los ejes de coordenadas, al vector unitario que

corresponde a cada eje del sistema de coordenadas rectangulares, los cuales serepresentan como:

i =

1,0,0( ); ˆ

j=

0,1,0( ) k =

0,0,1( );

Así, si se tiene únicamente un punto del vector, se

presupone que su punto inicial es el origen del sistemade coordenadas cartesianas.

Si se tienen dos punto del vector, habrá que

especificar cuál es el punto inicial y cuál el final.Con esta notación el vector no tiene que iniciar

en el origen de coordenadas.



A = ( A x , A y , A z ) = A x i + A y ˆ j + A z ˆk

De donde un vector en el sistema de coordenadas rectangulares, se podrá

representar utilizando los vectores base de la siguiente manera:i , ˆ j, k

Álgebra vectorial.

Dos vectores son iguales sí y solo sí sus componentes correspondientes son

iguales, si

A = A xi + A

yˆ j + A

z ˆk y

B = B xi + B

yˆ j + B

z ˆk entonces

A =

B ; si A x =B x ; Ay =By ;

Az

=Bz

.

El producto de un vector

A y un escalar m se obtiene por la multiplicación de cada

una de las componentes de por el escalar m, es decir m

A = mA xi +mA

yˆ j +mA

z ˆk

La suma o resultante de dos vectores

, es decir:

A B es otro vector y

sumando las componentes correspondientes de

C que se obtiene

A By

C =

A+

B = ( A x + B x )i + ( A y + B y ) ˆ j + ( A z + B z )k La magnitud o longitud del vector se denota por A

si

A = A xi + A

yˆ j + A

z ˆk

entonces: A

= A x

2+ A

y

2+ A

z

2 , así el vector unitario e A

se calcula como:

e A=

A

A=

A xi +

A yˆ j + A

z k

A x

2+ A

y

2+ A

z

2



Producto escalar de dos vectores.

en donde:

Podemos comprobar este producto de la siguiente manera:

El producto escalar de dos vectores es un escalar que se obtiene multiplicando

A By

componente a componente:

A ⋅

B = A x B

x+ A

y B

y+ A

z B

z

A ⋅

B = ( A xi + A

yˆ j + A

z k ) ⋅( B

xi + B

yˆ j + B

z k )

A ⋅

B =

A x B

x(i ⋅ i )+ A

x B

y(i ⋅ ˆ j)+ A

x B

z (i ⋅ k )

+ A y B

x( ˆ j ⋅ i )+ A

y B

y( j ⋅ ˆ j)+ A

y B

z ( ˆ j ⋅ k )

+ A z B

x(k ⋅ i )+ A

z B

y(k ⋅ ˆ j)+ A

z B

z (k ⋅ k )

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

i ⋅ i = ˆ j ⋅ˆ j = k ⋅ k = 1

ˆ

i⋅ˆ

j=

ˆ

i⋅ˆ

k =

ˆ

j⋅ˆ

k =

0

Por tanto:

A ⋅

B = A x B

x+ A

y B

y+ A

z B

z = escalar

Producto cruz de dos vectores.

El producto cruz de dos vectores

A By es otro vector perpendicular a ambos dado

por:

A×

B = A xˆ

i + A yˆ

j + A z ˆ

k ( )× B xˆ

i + B yˆ

j + B z ˆ

k ( )

A×

B =

A x B

xi × i( )+ A

x B

yi × ˆ j( )+ A

x B

z i × k ( )

+ A y B

xˆ j × i( ) + A

y B

yˆ j × ˆ j( ) + A

y B

z j × k ( )

+ A z B

xk × i( ) + A

z B

yk × ˆ j( ) + A

x B

z k × k ( )

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪



En donde se tienen las siguientes observaciones, el producto cruz de un vector por si

mismo es cero, por lo que: i × i( ) = ˆ j × ˆ j( ) = k × k ( ) = 0 , se tiene también que por la ley

de la mano derecha el resultado de los productos vectoriales de los vectores

unitarios son:

i × ˆ j( )=k ; i × k ( ) = − ˆ j ; ˆ j × i( ) = −k ; j × k ( ) = i ; k × i( ) = ˆ j ; k × ˆ j( ) = − i

Quedando el resultado del producto cruz de la siguiente manera:

A×

B = A x B

yk − A

x B

z ˆ j − A

y B

xk + A

y B

z i+ A

z B

xˆ j − A

z B

yi

Juntando los términos que tengan los mismos vectores unitarios:

A×

B = A y B

z − A

z B

y( ) i+ A z B

x− A

x B

z ( ) ˆ j + A x B

y− A

y B

x( ) k Este resultado también se puede representar en el sistema de coordenadas como

un determinante, en el cual en la primera fila se colocan los vectores unitarios de labase del sistema coordenado rectangular, en la segunda fila las componentes del

primer vector y en la última fila las componentes del segundo vector:

A×

B =

i ˆ j k

A x

A y

A z

B x

B y

B z

= ( A y B

z − A

z B

y)i − ( A

x B

z − A

z B

x) ˆ j + ( A

x B

y− A

y B

x)k

Se muestra que ambos resultados son iguales.



Problema 2.39. Hwei P. Hsu.- Hallar el valor de m, tal que:

A = m,−2,1( )

B = 2m,m,−4( )

y

sean perpendiculares.

Solución. Para que dos vectores sean perpendiculares es necesario que su

producto punto sea cero, es decir:

A ⋅

B =

A

B cosθ = 0

A ⋅

B = mi − 2 ˆ j + k ( ) ⋅ 2mi +mˆ j − 4k ( ) = 0⇒

2m2− 2m− 4 = 0

m =2 ± 4+ 32

4

⇒ ⇒

m1=2+ 6

4= 2 y m

2=

2− 6

4= −1

Así, los vectores son para m = -1

A = −1,−2,1( ) y

B = −2,−1,−4( )

para m = 2

A = 2,−2,1( ) y

B = 4,2,−4( )Problema 2.40. Hwei P. Hsu.- Hallar un vector unitario que forme un ángulo de 45°,

con el vector

A = 2,2,−1( ) y un ángulo de 60° con

B = 0,1,−1( )

Solución.- Sea

C = x, y, z ( ) el vector que queremos hallar, aplicando la definiciónaritmética de producto punto que relacionándola con su expresión en coordenadas

cartesianas nos queda:

A ⋅

C =

A

C cos 45o( ) ⇒

2i + 2 ˆ j − k ( ) ⋅ xi + yˆ j + z k ( ) = 9( ) x2+ y2

+ z 2( ) 1

2

B ⋅

C =

B

C cos 60o( ) ⇒

0i + ˆ j − k

( )⋅ xi + yˆ j + z k

( )= 2

( ) x2

+ y2+ z

2

( )

1

2



Al ser

C un vector unitario tiene la característica de que su magnitud es 1.

C = x2+ y

2+ z

2= 1 es decir que se establece un sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas, que son:

y − z =1

2; 2 x + 2 y − z =

3

2; x

2+ y

2+ z

2= 1

z = y −1

2 ⇒ 2 x + 2 y − y −

1

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

3

2y x

2+ y

2+ y −

1

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

= 1

2 x + y +

1

2=

3

2y x

2

+ y2

+ y2

−2 y

2+

1

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = 1

El sistema reducido de dos ecuaciones con dos incógnitas a resolver es:

2 x + y =2

2

x2+ 2 y

2−

2 y

2

=1

2

Despejando x de la primera ecuación y sustituyéndola en la primera nos queda:

x =1

2

2

2

− y⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⇒

1

2

2

2

− y⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

+ 2 y2 −

2 y

2

=1

2

1

4

4

2−

4 y

2

+ y2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + 2 y

2 −2 y

2

=1

2

1

2−

y

2

+ y

2

4+ 2 y

2−

2 y

2

=1

2⇒



1

2−

y

2

+ y

2

4+ 2 y

2−

2 y

2

=1

2

9

4 y

2−

3 y

2

= 0⇒ ⇒

3 y3

4 y −

1

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = 0

De esta ecuación vemos que y puede tomar los valores de:

y = 0 ; para este valor x y z son: x =

1

2

z = −

1

2⇒

C =1

2,0,−

1

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⇒

Para el otro valor de y se tiene:3

4 y −

1

2

= 0 ⇒

x =

1

2

2

2

−4

3 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⇒

x =

1

2

2

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

1−2

3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

1

3 2

z =

4

3 2

−

1

2

=

1

3 2⇒

C =1

3 2,

4

3 2,

1

3 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⇒

Triple Producto escalar

El triple producto escalar de tres vectores

A B y,

C es el escalar que se denota por

A ⋅

B×

C

( )=

A

B

C ⎡

⎣

⎤

⎦

En forma de determinante se calcula como:

A ⋅

B ×

C ( ) = A

1 A

2 A

3

B1

B2

B3

C 1

C 2

C 3

En donde se hace la observación de que si, el triple producto escalar es diferente de

cero, entonces los vectores no son coplanares o que son linealmente independientes.



Bases reciprocas.

Un conjunto de tres vectores no nulos ni coplanares

a1,

a2,

a3

cualquier otro vector en tres dimensiones puede expresarse como una combinación

lineal de ellos. Se dice que la base es derecha si el triple producto escalar

se llama una base si

a1 ⋅

a2 ×

a3( )es positivo, si dicho triple producto es negativo se dice que la base es izquierda.

Una segunda base

b1,

b2,

b3 se llama recíproca con respecto

a1,

a2,

a3

si se cumple que:

am⋅

bn= δ

mn=

1

0

⎧⎨⎩⎪

si

si

m = n

m ≠ n

donde δ mn se conoce como la delta de Kronecker.

Por lo que si hacemos n=1 y variamos la m, los productos punto que se obtienen son:

a1⋅

b1= 1 a2

⋅

b1= 0 a3 ⋅

b1= 0

Lo que nos dicen estos resultados es que por las propiedades del producto punto se

tiene el vector

b1 es paralelo o colineal del vector , y que es perpendicular a los

a1

vectores

a2

y a3. También sabemos que si los vectores forman una base el

a1,

a2,

a3

producto cruz (ordenado) de dos de estos vectores nos dará un resultado que tendrá

la misma dirección que el tercer vector, pero no la misma magnitud, es decir

a1= m

a2×

a3

( )Dado que y tienen la misma dirección se tiene que:

a1

b1

b1= λ

a1



Por lo que el producto punto nos queda como:

a1

⋅ σ

a2

×

a3

( )⎡⎣

⎤⎦= 1 ⇒ σ =

1

a1 ⋅

a2 ×

a3( )

b1= λ m

a2×

a3

( ) = σ

a2×

a3

( )Sustituyendo la expresión de obtenemos:

a1

Realizando las mismas operaciones con los otros dos vectores recíprocos, nos

queda que estos se pueden escribir como:

b2=

a3×

a1

a1 ⋅

a2×

a3( )

b3=

a1×

a2

a1 ⋅

a2×

a3( )Bases ortonormales.

Un conjunto de tres vectores no nulos

u1,

u2,

u3

solo si los vectores son unitarios, mutuamente ortogonales y se cumple que su triple

producto escalar es

constituyen una base ortonormal si y

u1⋅

u2×

u3

( ) = 1 además de que:

um⋅

un= δ

mn=

1

0

⎧⎨⎩⎪

si

si

m = n

m ≠ n

De tal manera que, dada una base ortonormal

u1,

u2,

u3

un vector

A

como una combinación lineal de los vectores unitarios de esta base ortonormal.

puede escribirse

A = A1µ

1+ A

2µ

2+ A

3µ

3= A

iµ

i

i=1

3

∑

b1=

a2×

a3

a1⋅

a2×

a3

( )Es decir que el vector reciproco queda como:



En donde A1, A

2, A

3son las componentes del vector

A en la direcciones de los vectores

unitarios

u1,

u2,

u3

. Así multiplicando en producto punto por

u1en ambos lados de

A

queda:µ

1⋅

A = µ 1⋅ A

1µ

1+ A

2µ

2+ A

3µ

3

( )= A

1

Por tanto, el vector se puede escribir como:

A =

A ⋅ µ 1( ) µ

1+

A ⋅ µ 2( ) µ

2+

A ⋅ µ 3( ) µ

3

A =

A ⋅ µ i( ) µ

i

i=1

3

∑⇒

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Dado un conjunto de tres vectores linealmente independiente

a

1

,

a

2

,

a

3

se puede

construir una base ortonormal

u1,

u2,

u3

de modo que

u1

sea un múltiplo escalar de

a1.

Se tiene que hacer que

u2

sea una combinación lineal

a1,

a2. Y por último se hace que

u3

sea una combinación lineal de

a1,

a2,

a3. Las relaciones a utilizar son:

u1=

a1

a1

;

u2=

a2−

a2⋅

u1

( )

u1

a2−

a2⋅

u1

( )

u1

u3=

a3−

a3⋅

u1

( )

u1−

a3⋅

u2

( )

u2

a3−

a3⋅

u1

( )

u1−

a3⋅

u2

( )

u2

=

u1×

u2

;

Solución: Utilizando el procedimiento de Gram-

Schmidt, en el que el primer vector unitario es:u1=

A

A=

i + 3ˆ j

10

Problema 2.51. Hwei P. Hsu.- Construir un conjunto ortonormal a partir de

A = 1,3,0( )y

B = −1,1,0( )



El segundo vector se halla con la expresión del vector auxiliar

v2=

B−

B ⋅ u1

( )u1

⇒

v2= − i + ˆ j( ) − − i + ˆ j( ) ⋅

i + 3ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ⎡

⎣

⎢⎤

⎦

⎥i + 3ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟

v2= − i + ˆ j( )−

2

10

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

i + 3ˆ j

10

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = − i + ˆ j( )−

2

10i + 3ˆ j( )

v2= −i + ˆ j( )−

1

5i + 3ˆ j( ) = −

6

5i +

2

5

ˆ j =2

5−3i + ˆ j( )

u2=

v2

v2

=2

5

−3i + ˆ j( )1

36

25+

4

25

=−3i + ˆ j

10

Para comprobar que estos vectores son ortonormales su producto punto debe ser

cero:

u1⋅ u

2=

i + 3ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ⋅

−3i + ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ = 0

Para hallar el último vector deberíamos tener un tercer elemento para aplicar elProcedimiento completo de Gram-Schmidt, al no tener este término implicaría que

no podemos hallar este último vector unitario, sin embargo como este elementotiene la característica de ser perpendicular a ambos vectores unitarios

u1× u

2=

i + 3ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ×

−3i + ˆ j

10

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ = k

u

3= 0,0,1( )⇒



Problema Murray & Spiegel.- Dados los vectores y

base ortonormal de vectores unitarios

construir una

u1,u

2,u

3utilizando el procedimiento de Gram-

Schmidt.

u1=

A

A

=2i + 7 ˆ j + k

54

v2=

B −

B ⋅ u1

( )u1

v2= i +8 ˆ j +5k ( )−

2+56+5

54

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2i + 7 ˆ j + k ( )

v2= i +8 ˆ j +5k ( )−

7

6

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2i + 7 ˆ j + k ( )

v2

= i +8 ˆ j +5k

( )− i +8 ˆ j +5k

( )⋅

2i + 7 ˆ j + k

54

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2i + 7 ˆ j + k

54

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Solución: Ubicando a los vectores en el sistema

de coordenadas cartesianas obtenemos:



v2=

6 i +8 ˆ j +5k ( )− 7 2i + 7 ˆ j + k ( )6

=

6−14( ) i + 48− 49( ) ˆ j + 30− 7( ) k 6

=−8i − ˆ j + 23k

6

v2=−8i−ˆ j + 23k

6⇒

u2=

v2

v2

=−8i − ˆ j + 23k

6

1

64

36+

1

36+529

36

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=−8i − ˆ j + 23k

594

u1× u

2=

2i + 7 ˆ j + k

54

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ×

−8i − ˆ j + 23k

594

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟

u1× u

2=

1

54( ) 594( )

i ˆ j k

2 7 1

−8 −1 23

u1× u

2= u

3=

1

32076

162i −54 ˆ j +54k ( )

u3=

54

32076

3i − ˆ j + k ( ) =1

11

3i − ˆ j + k ( )



A×

B =

i ˆ j k

2 7 1

1 8 5

= (35−8)i − (10−1) ˆ j + (16− 7) k ⇒

A×

B = 27i − 9 ˆ j + 9k =

C

Problema Murray & Spiegel.- Dados los vectores y

base ortonormal de vectores unitarios

construir una

u1,u

2,u

3utilizando el procedimiento de Gram-

Schmidt.

Solución.- Otro modo de hallar los vectores unitarios de una base ortonormal es

como sigue

Este producto cruz nos da un vector que es perpendicular simultáneamente a

A y

B

C ×

A =

i ˆ j k

27 −9 9

2 7 1

= (−9− 63)i − (27 −18) ˆ j + (189+18)k ⇒

C ×

A = −72i − 9 ˆ j + 207k =

D

Realizando otro producto cruz para hallar un vector que sea perpendicular a

A y

C

Los vectores

A,

C y

D Forman una base no unitaria, por lo que aplicando el

concepto de vector unitario para formar la base ortonormal obtenemos:

u1=

A

A=2i + 7 ˆ j + k

54

u

2=

C

C =

27i − 9 ˆ j + 9k

272+81+81

=27i − 9 ˆ j + 9k

891

=

9 3i − ˆ j + k ( )891

=3i − ˆ j + k

11



u3=

D

D=−72i − 9 ˆ j + 207k

48114

=

9 −8i − ˆ j + 23k ( )48114

=−8i − ˆ j + 23k

594

Estos tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares por lo que forman

una base ortonormal. Comprobaremos que sea una base derecha, realizando elproducto punto en el orden en que fueron hallados:

u1⋅ u

2× u

3( ) =1

54∗11∗594

2 7 1

3 −1 1

−8 −1 23

=1

594

2(−23+1)− 7(69+8)+1(−3− 8)⎡⎣ ⎤⎦ = −594

594

= −1

Por lo que es una base izquierda, cambiando el orden del producto cruz se

transforma esta base en derecha:

u1⋅ u

3× u

2( ) =1

54∗11∗594

2 7 1

−8 −1 23

3 −1 1

=1

594

2(−1+ 23)− 7(−8− 69)+1(3+8)⎡⎣ ⎤⎦ =594

594

= 1

u1⋅ u

3=

2i + 7 ˆ j + k

54

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ⋅

−8i − ˆ j + 23k

594

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ =

−16− 7 + 23

54∗594= 0

Hagamos un producto punto para verificar la perpendicularidad:



Ecuaciones vectoriales de rectas y planos

Una recta en el plano xy está determinada cuando se dan un punto y una dirección

sobre la recta (su pendiente o ángulo de inclinación). La ecuación de la recta puede

expresarse con la forma punto pendiente.

De manera semejante, una recta L en el espacio tridimensional está determinada

cuando conocemos un punto P o(x o, y o, z o ) sobre L y la dirección de L.

r

r o

P x, y, z ( )

P o x

o, y

o, z

o( )

En las tres dimensiones, un vector describe la dirección de una recta de manera

conveniente, así que sea v un vector paralelo a L. Sea P(x, y, z) un punto arbitrariosobre L y sean r

oy r los vectores de posición de P

o

y P (es decir tienen

representaciones OP o y OP ). Si a es el vector con representación P oP , como se ve

en la figura, entonces el vector r es la suma o resultante de r o

y a.

r =

r o+

a

Dado que a y v son vectores paralelos entonces existe

un escalar t , tal que: por lo que:

a = t

v

r =

r o+ t

v

La cual se denomina ecuación vectorial de L.

A t se le conoce como el parámetro de la ecuación.

Para cada valor de t se tiene un vector de posiciónr sobre L. En forma de componentes se tiene:

xi + yˆ j + z ˆk = xoi + y

oˆ j + z

oˆk + t ai + bˆ j + c ˆk ( )



xi + yˆ j + z ˆk = xo+ ta( ) i + y

o+ tb( ) ˆ j + z

o+ tc( ) ˆk

x = x

o+ ta ; y = y

o+ tb ; z = z

o+ tc⇒

A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones paramétricas de la recta L.

Si tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta (por parejas) y despejamos el

parámetro t, obtenemos los que se conoce como las ecuaciones simétricas de L.

x − xo

a= t ;

y − yo

b= t ;

z − z o

c= t

x − xo

a=

y − yo

b;

z − z o

c=

y − yo

b⇒

Ejercicio 1.- Determine la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la

siguiente rectas:

a).- La recta que pasa por el punto (-2,4,5) y es paralela al vector v = (3,-1,6)

b).- La recta que pasa por el punto (0,1,2) y es paralela al vector v = 6i+3j+2k

c).- La recta que pasa por el origen y es paralela la recta x = 2t ; y = 1− t ; z = 4+ 3t

NormalSe dice que un vector (o una línea) es normal a otro, si entre estos hay un ángulo de

90° (π/2), y si además es unitario a este vector se le conoce como ortonormal.

Debemos tener en cuenta la forma de definir las ecuaciones simétricas mostradas

arriba y la ecuación punto pendiente, ya que existe una diferencia en su notación.



Observemos que en la ecuación punto pendiente al despejar y se tiene:

ax + by + c = 0 y = −

ax + c

b

m = −

a

b

En las ecuaciones simétricas se tiene, para el caso bidimensional

x − xo

a=

y − yo

b b x − x

o( ) = a y − yo( )

bx − ay − bxo+ ay

o= 0

n =b

a

Problema.- Utilice una proyección escalar para demostrar que la distancia

(perpendicular) desde un punto P 1(x 1,y 1 ) a la recta cuya ecuación es ax+by+c = 0

resulta igual a :d =

ax1+ by

1+ c

a2+ b2

Use esta fórmula para determinar la distancia desde el punto (-2,3) a la recta

3 x − 4 y +5 = 0

Solución.- Sabemos que la pendiente de la normal escrita de acuerdo a la ecuación

punto pendiente está dada por:b

a=

y − yo

x − xo

A esta normal le corresponde el vector

n = ai + bˆ j

n =ai + bˆ j

a2+ b2

P

1 x

1, y

1( )

P o x

o, y

o( )

El vector de posición que pasa por el punto P 1(x 1,y 1 ), pero que

corta a la recta con ecuación es ax+by+c = 0 en P o(x o,y o ) es:

P o P 1

=

x1−

xo

( )i+

y1−

yo

( ) j

ax + by + c = 0



El producto punto entre estos dos vectores nos da la distancia que buscamos, ya que

es la proyección de P oP 1 sobre la normal a la recta dada.

P o P 1

( ) ⋅n

= x1 − xo( )i+ y1 − yo( ) j

⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ai + bˆ j

a2+ b2

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟

P o P 1

( ) ⋅n =a x

1− x

o( )+ b y1− y

o( )a2+ b2

P

o P

1

( )⋅n=

ax1+ by

1− ax

o+ by

o( )

a2 + b2

Observando que en la ecuación punto pendiente P o es el punto de intersección de la

recta original con la recta formada por el vector P oP 1, y que la constante c resulta dela evaluación en ese punto.

c = − axo+ by

0( )

P o P 1

( ) ⋅n=

ax1+ by

1+ c

a2+ b2

= d

Sustituyendo en el producto punto, obtenemos



Problema.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por P o(2,1,0) y

es perpendicular simultáneamente a y

b = i + ˆ j d = ˆ j + ˆk

Solución: La recta que pasa por el punto P o dado es paralela al vector que resulta

del producto cruz de los vectores b y d :

b ×

d =

i ˆ j k

1 1 0

0 1 1

= (1− 0)i − (1− 0) ˆ j + (1− 0)k ⇒

b ×

d = i − ˆ j + k =

C

xi + yˆ j + z ˆk = xo+ ta( ) i + y

o+ tb( ) ˆ j + z

o+ tc( ) ˆk

Sustituyendo en la ecuación vectorial de la recta, obtenemos:

⇒ xi + yˆ j + z k = 2+ t ( ) i + 1− t ( ) ˆ j + 0+ t ( ) k

Problema.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por P o(1,-1,1) y

es paralela a:

x + 2 =1

2

y = z − 3

Solución: La recta paramétrica cuya ecuación simétrica nos dan es:

x + 2 = t ⇒ 1

2 y = t ⇒ z − 3= t x = −2+ t ; y = 2t ; z = 3+ t ⇒

a = i + 2 ˆ j + k

Así la ecuación paramétrica de la recta que pasa por P o(1,-1,1) es:

x = 1+ t ; y = −1+ 2t ; z = 1+ t



Sea P(x,y,z) un punto arbitrario en el plano, y sean r o

y r los vectores de posición de

P o y P .

r

r o

P x, y, z ( ) P

o x

o, y

o, z

o( )El vector normal n es perpendicular a cualquier

vector en el plano, en particular al vector r -r o,

por lo que se tiene:

n ⋅

r −

r o

( ) = 0

Esta se conoce como la ecuación vectorial del

plano:

Si la normal esta dada como:

n = ai + bˆ j + c ˆk la ecuación del plano queda como:

ai + bˆ j + ck ( ) ⋅ xi + yˆ j + z k ( )− xoi + y

oˆ j + z

ok ( )⎡

⎣⎤⎦= 0

a x − x

o( )+ b y − yo( )+ c z − z

o( ) = 0

ax + by + cz = ax

o+ by

o+ cz

o( ) ax

o+ by

o+ cz

o( ) = d

ax+

by+

cz =

d

Planos

Se especifica un plano en el espacio si se tiene un punto P o(x o,y o,z o ) en el plano y

un vector n que es ortogonal (perpendicular) al plano. En donde n se conoce comoel vector normal.

n ⋅

r −

r o

( ) = 0



Problema.- Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,4,5) y es

perpendicular al vector (7,1,4)

n ⋅

r −

r o( ) = 7i + ˆ j + 4

ˆk ( )

49+1+16

⋅ xi + yˆ j + z k ( )− i + 4 ˆ j +5k ( )⎡⎣

⎤⎦= 0

n ⋅

r −

r o( ) =

7 i + ˆ j + 4k ( )49+1+16

⋅ x −1( ) i + y − 4( ) ˆ j + z − 5( ) k ⎡⎣

⎤⎦ = 0

7 x−1( )+ y

−4( )+ 4 z

−5( ) = 0

7 x− 7 +

y− 4+ 4

z − 20 = 0

7 x+ y+ 4

z − 31= 0

Problema.- Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (6,5,-2) y es

paralelo al plano x + y − z +1= 0

Solución: Por la forma de la ecuación del plano obtenemos que la normal está dada

por: n = (1,1,-1)

n ⋅

r −

r o( ) =

i + ˆ j − k ( )3

⋅ xi + yˆ j + z k ( )− 6i +5 ˆ j − 2k ( )⎡⎣

⎤⎦= 0

x − 6( )+ y − 5( )− z + 2( ) = 0

x + y − z = 13

Vemos que la normal al plano está asociada a los coeficientes de las x,y,z de dicho

plano.



Problema.- Encuentre la ecuación de la distancia entre un punto P 1(x1 ,y1 ,z 1 ) y un

plano dado como: ax+by+cz+d=0.

Solución: la normal al plano está dada por:

n = ai + bˆ j + ck ⇒ n =ai + bˆ j + ck

a2

+ b2

+ c2

P

1 x

1, y

1, z

1( )

P o x

o, y

o, z

o( ) nθ

La distancia del plano al punto P 1 dada por el

producto escalar entre el vector P o P 1 y la normalunitaria, es decir se requiere la proyección de

P o P 1 sobre la normal:

P o P 1

=

x1−

xo( )ˆ

i+

y1−

yo( )ˆ

j+

z 1−

z o( )ˆ

k

Y la proyección es:

n ⋅ P o P

1

( ) = ai + bˆ j + ck

a2+ b2

+ c2

⎛

⎝ ⎜⎞

⎠ ⎟ ⋅ x

1− x

o( ) i + y1− y

o( ) ˆ j + z 1− z

o( ) k ⎡⎣ ⎤⎦

n ⋅ P

o P

1

( ) =a x

1− x

o( )+ b y1− y

o( )+ c z 1− z

o( )a2+ b2

+ c2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

ax1+ by

1+ cz

1+ d

a2+ b2

+ c2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = D

Reduciendo términos, obtenemos la distancia D del punto P 1 al plano

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