unidad 1 - analisis vectorial a

1

Unidad Curricular

Teoría Electromagnética

Ingeniería de Telecomunicaciones

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

UNEFA

Material Compilado por :

Prof. César A. Salazar V., MSc. Ing.

C.I.V. 8.952

Valencia – Estado Carabobo – Venezuela - 2012

Unidad 1 Análisis Vectorial

Parte a


Unidad 1 Análisis Vectorial

1.1 Sistema de Coordenadas Curvilíneas y Ortogonales.

1.1.1 Escalares y Vectores.

El término Escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede ser representado por un

simple número real (Positivo o Negativo).

Las x, y y z que se utilizan en el álgebra básica son escalares y las cantidades que ellos

representan también lo son.

Si se habla de un cuerpo cayendo a una distancia L en un tiempo t , o de una temperatura

T en cualquier punto de una taza de sopa cuyas coordenadas son x, y y z, entonces

L, t, T, x, y y z son escalares.

Otras cantidades escalares son: la masa, la densidad, la presión, (pero no la fuerza), el

volumen y la resistividad volumétrica.

El voltaje también es una cantidad escalar, aunque la representación en números

complejos de un voltaje sinusoidal (Un procedimiento artificial), produce un escalar

complejo o fasor, que requiere de dos números reales para su representación tales

como la amplitud y el ángulo de fase o parte real y parte imaginaria.

2 2 Material compilado por

César A. Salazar V. MSc. Ing.


Unidad 1 Análisis Vectorial 1.1 Sistema de Coordenadas Curvilíneas y Ortogonales.


Una cantidad vectorial tiene una magnitud y una dirección en el espacio.

Para los efectos de la materia sólo serán de interés los espacios de dos y tres

dimensiones aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden

definirse en espacios de n dimensiones.

La fuerza, la velocidad, la aceleración y la línea recta que une el terminal positivo

con el negativo de un acumulador son ejemplos de vectores.

Cada cantidad se caracteriza por tener ambos: una magnitud y una dirección.

En el tratamiento de la materia serán de interés tanto los campos escalares como

los vectoriales.

Un campo (Escalar o Vectorial) puede definirse matemáticamente como la función

del vector que conecta un origen arbitrario a un punto general en el espacio.

En general es posible asociar algunos efectos físicos con un campo, como la fuerza

sobre la aguja de una brújula en el campo magnético de la Tierra, o el movimiento

de las partículas de humo en el campo definido por el vector velocidad del aire en

alguna región del espacio. 3

Material compilado por César A. Salazar V. MSc. Ing.




Un campo es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte

de una región.

La teoría electromagnética consiste, en esencia, en el estudio de ciertos campos

particulares.

Para distinguir entre vectores y escalares, los primeros suelen representarse con

una letra rematada por una flecha, como A y B, o en negritas como A y B

mientras que los escalares se representan con una letra en cursiva como

A, B, U y V.

Definidos los vectores y los campos vectoriales es posible definir las reglas de la

aritmética vectorial, del álgebra vectorial y posteriormente del cálculo vectorial.

Algunas reglas serán similares a las del álgebra escalar, otras ligeramente diferentes y

otras completamente nuevas y extrañas.

Esto es de esperarse ya que un vector presenta más información que un escalar y

la multiplicación de dos vectores por ejemplo, será más complicada que la

multiplicación de dos escalares. 4 Material compilado por





Las reglas son una rama de las matemáticas que se encuentran firmemente establecidas.

Todos jugamos con las mismas reglas, las cuales observamos e interpretamos.

Si uno establece sus propias reglas, es posible establecer cualquiera que uno desee,

el único requerimiento es que sean autoconsistentes.

La suma vectorial sigue la Ley del Paralelogramo, y ésta es fácil de realizar en forma

gráfica aunque resulte imprecisa .

En la figura que se muestra a continuación se aprecia la suma de dos vectores A y B.

Es fácil observar que A + B = B + A, es decir que la suma de vectores tiene la

Propiedad Conmutativa.

La suma vectorial también tiene la Propiedad Asociativa:

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

5 Material compilado por





A

B

A

B

Figura 1.1 Dos vectores pueden sumarse gráficamente dibujándolos desde un origen

común y completando el paralelogramo o haciendo que el segundo vector

comience en la punta del primero y completando el triángulo. Cada uno de

estos métodos es fácilmente generalizado para el caso de tres o más vectores.

Se aprecia que cuando un vector es dibujado como una flecha de longitud finita, su

localización la define la cola de la flecha.

Los vectores coplanares o que pertenecen a un plano común, como los mostrados

en la Figura 1.1, pueden agregarse también expresando cada vector en términos

de sus componentes “horizontal” y “vertical“ y sumando las componentes

correspondien-tes. 6





La regla para la resta o substracción de vectores se define fácilmente con respecto

a la suma dado que siempre puede expresarse A – B como A + (-B) ; El signo

y la dirección del segundo vector se invierten, y entonces éste vector se suma

al primero siguiendo la regla de la adición o suma vectorial.

Los vectores pueden multiplicarse por escalares.

Cuando el escalar es positivo la magnitud del vector cambia, pero no su dirección;

sin embargo la dirección se invierte al multiplicar por un escalar negativo.

La multiplicación de un vector por un escalar también tiene las Propiedades Asociativa

y Distributiva del álgebra, como se aprecia a continuación:

( r + s )( A + B ) = r( A + B ) + s( A + B ) = rA + rB + sA + sB

Se dice que dos vectores son iguales si su diferencia es cero o: A = B si A – B = 0 7




1.1.1 Escalares y Vectores. Cuando se utilizan campos vectoriales se suman o restan siempre que estén definidos

en el mismo punto.

De cualquier manera , si no se está considerando un campo vectorial se pueden

sumar o restar vectores que no estén definidos en el mismo punto.

Por ejemplo, el campo magnético total alrededor de un pequeño imán de herradura

aparecerá como la suma de los campos que produce la Tierra y el imán

permanente; es decir, el campo total en cualquier punto es la suma de los

campos individuales en dicho punto.

Por ejemplo, la suma de la fuerza gravitacional que actúa sobre un hombre de 150 lbs

( Libras – Fuerza ) en el Polo Norte y la que actúa sobre un hombre de 175 lbs,

en el Polo Sur puede obtenerse trasladando cada vector fuerza al Polo Sur

antes de hacer la suma. La resultante es una fuerza de 25 lbs dirigida hacia

el centro de la Tierra en el Polo Sur.





1.1.2 El Sistema de Coordenadas.

Para definir con precisión un vector, deben darse , longitudes específicas, direcciones,

ángulos, proyecciones o componentes.

Existen tres métodos sencillos para realizar esto y cerca de ocho o diez métodos que

resultan útiles en caso muy especiales.

Normalmente se utilizan los tres métodos sencillos y el más sencillo de éstos es el del

Sistema de Coordenadas Cartesianas o Rectangulares.

En el Sistema de Coordenadas Cartesianas se utilizan tres ejes coordenados

perpendiculares entre sí llamados ejes x, y y z.



Se acostumbra a elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una

rotación (Que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un

tornillo derecho avanzara en la dirección del eje z.

La Figura 1.2 a muestra un Sistema de Coordenadas Cartesianas de la mano derecha.




Figura 1.2 a Un Sistema de Coordenadas Cartesianas de la mano derecha.

Si los dedos doblados de la mano derecha indican la dirección

de giro por medio de la cual el eje x se haría coincidir con el

eje y, el pulgar muestra la dirección del eje z. 10


x

z

y

x = 0 plano

y = 0 plano

Origen






La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z.

Estas son respectivamente, las distancias desde el origen a cada una

de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el

punto de los ejes x, y y z.

Un método opcional para interpretar los valores de las coordenadas,

que corresponde al que debe usarse en todos los demás sistemas

de coordenadas es considerar el punto como la intersección de tres

superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante,

siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto.

La Figura 1.2 b muestra los puntos P y Q, cuyas coordendas son (1, 2, 3)

y (2, - 2, 1) respectivamente. Por consiguiente el Punto P se localiza

en la intersección de los planos x= 1, y = 2 y z = 3, mientras que el

punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2, y = -2 y

z = 1. .






Figura 1.2 b Localización de los puntos P(1,2,3) y Q(2,-2,1)

x

z

y

P(1,2,3)

Q(2,-2,1)




13


Al visualizar la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas

coordenadas sean x. y y z puede incrementarse el valor de cada

coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos

ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P’, cuyas

coordenadas serán x + dx, y + dy y z + dz Los seis planos definen un paralepípedo rectangular cuyo volumen es :

dv = dxdydz. Las superficies tienen diferenciales de área dS de dxdy,

dydz y dzdx. Por último la distancia dL de P a ´P’ es la diagonal del

paralelepípedo y tiene una longitud de :

El elemento diferencial de volumen lo muestra la Figura 1.2 c. El punto P’

está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

dzdydxdL222






Figura 1.2 c Elemento diferencial de volumen en Coordenadas Cartesianas ;

dx, dy y dz son en general diferenciales independientes.

x

z

y

dy

dx

dz

dy dz

dx dy

P´

’



1.1.3 Componentes Vectoriales y Vectores Unitarios.



Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se

considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen.

Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres

componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres

ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado.

Si los componentes vectoriales de un vector r son x, y y z entonces

r = x + y + z .

Los componentes vectoriales se muestran en la Figura 1.3 a. En ella se

aprecia que en vez de un vector se tienen tres, pero significa un paso

hacia delante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y

cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.






Los componentes vectoriales tienen una

magnitud que depende del vector dado, como

en el caso del vector r, pero cada una tiene

una dirección constante conocida

Figura 1.3 a Componentes

vectoriales x, y y z del

vector r.

Lo antes mencionado sugiere, el uso de

vectores unitarios, los cuales tienen magnitud

unitaria por definición y se orientan a lo largo de

los ejes coordenados en la dirección en la que

crecen las coordenadas.

En esta presentación se reservará el símbolo

a para un vector unitario y su dirección se

identificará con un subíndice apropiado.





Si a es un vector unitario entonces ax, ay y az son los vectores unitarios

en el sistema de coordenadas cartesianas. (Con frecuencia también

se utilizan los símbolos i, j y k en coordenadas cartesianas). Estos

vectores unitarios son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z respec-

tivamente como se aprecia en la Figura 1.3 b.


Figura 1.3 b Los vectores unitarios

del sistema de coordenadas

cartesianas tienen magnitud

unitaria y se dirigen hacia

donde aumentan los valores

de las respectivas variables.





Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades

y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, entonces debe

escribirse y = 2 a.


Un vector rp que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe

rp = ax + 2ay + 3az El vector desde el punto P a Q puede obtenerse aplicando la regla de la

suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P

más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q.

El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, -2, 1) es por lo tanto :

RPQ = rQ – rP = (2 – 1)ax + (-2 - 2)ay + (1 – 3)az

RPQ = ax - 4ay – 2az






Figura 1.3 c El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP

Los vectores rP , rQ y RPQ se muestran en la Figura 1.3 c






El vector RPQ no empieza en el origen como lo hace el vector

r ya visto; sin embargo los vectores que tienen la misma

magnitud y apuntan en la misma dirección son iguales.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro

vector, excepto uno de desplazamiento tal como el vector

r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas

para los tres componentes vectoriales.

No sería apropiado llamarlas x, y y z, pues representan

desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en

metros (Abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares,

simplemente llamados componentes Fx, Fy y Fz.






Los componentes son las magnitudes, con signos positivos o

negativos, de los componentes vectoriales.

Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz

Los componentes vectoriales son : Fxax, Fyay y Fzaz

Cualquier vector B, entonces puede describirse como:

B = Bxax + Byay + Bzaz

La magnitud de B, denotada por o simplemente B está

dada por: B

BBB zyx

222B






Cada uno de los tres sistemas de coordenadas en estudio

tienen tres vectores unitarios fundamentales, mutua-

mente ortogonales, los cuales se utilizan para descom-

poner cualquier vector en sus componentes vectoriales.

Sin embargo los vectores unitarios no se limitarán a

esta aplicación..

Es necesario saber cómo escribir un vector unitario que

siga una dirección específica.

Un vector unitario en una dirección dada es simplemente

un vector en esa dirección dividido entre su magnitud.






Un vector unitario en la dirección r es :

Y un vector unitario en la dirección B es:

zy 222xrr

B

BBB

222

BBB zyx






Ejemplo : Especifique el vector unitario desde el origen

hacia el punto G(2, -2, -1)

Como primer paso se construye un vector que se extienda

desde el origen hasta el punto G.

zyx aaa 22G

Luego se busca la magnitud, valor absoluto o módulo de G.

3122222

G 3G






Ejemplo : Especifique el vector unitario desde el origen

hacia el punto G(2, -2, -1) (Continuación)

Por último se expresa el vector unitario deseado

como el cociente :

zyxG aaa3

1

3

2

3

2

G

Ga

zyxG aaa 333.0667.0667.0 a





Ejercicios: Dados los puntos M(-1, 2, 1), N(3, -3, 0) y P(-2, -3, -4), encontrar:

r3r2arRRR )),),),)MPMN NPMPMMN

edcba

a) Obtención de RMN N(3, -3, 0) M(-1, 2, 1)

rN = 3ax -3ay rM=-ax + 2ay + az RMN= rN - rM

RMN= rN – rM = [3-(-1)]ax+[-3-(2)]ay+[o-1]az

RMN= 4ax-5ay-az RMN= 4i-5j-1k








edcba

b) Obtención de RMN + RMP

P(-2, -3, -4) M(-1, 2, 1)

rP=-2ax-3ay -4az

RMP= rP - rM

RMN= 4ax-5ay-az RMP= rP – rM=-1ax-5ay-5az

RMP= rP – rM = [-2-(-1)]ax+[-3-(2)]ay+[-4-(1)]az








edcba

b) Obtención de RMN + RMP

RMN= 4ax-5ay-az RMP= rP – rM=-1ax-5ay-5az

RMN+RMP= [4+(-1)]ax+[-5+(-5)]ay+[-1+(-5)]az

( Continuación b)

RMN+RMP= 3ax-10ay-6az








edcba

rM:den c)Obtencio

M = -1ax+2ay+1az

z

aaa zyx

222

M

121M222

6M 45,2M

1) 2, M(-1,




30




edcba

a deObtención d)MP

RMP=-1ax-5ay-5az

RR

a

MP

MP

MP aaa zyxMP

222

R 551R222

MP

51R MP 1414.751R MP azayax

MP

MP

MP 1414.7

1

1414.7

5

1414.7

1

RR

a

aaa zyxMP7.07.014.0a




31



z

rP=-2ax-3ay-4az

rN=3ax-3ay

2rP=-4ax-6ay-8az

3rN=9ax-9ay

3r2r: deObtención e)NP

2rP-3rN=(-4-9)ax+(-6-(-9))ay-8az

2rP-3rN=-13ax+3ay-8az




32



z

3r2r: deObtención e)NP

2rP-3rN=-13ax+3ay-8az

( Continuación e)

24264916932 rr NP

56.1524232 rr NP

831332222

rr NP






Graficación de los Puntos: M(-1, 2, 1), N(3, -3, 0) y P(-2, -3, -4)

-x

x

-y y

-z

z

M(-1,2.1)

N(3,-3,0)

P(-2,-3,-4)






Ejercicios

Ejercicio 1.- Dados los valores M = - 10ax + 4ay – 8az y N = 8ax + 7ay – 2az Encontrar: a) Un

vector unitario en la dirección – M + 2N. b) La magnitud de 5ax + N – 3M , c) N M2NM

Ejercicio 2.- Los vértices de un triángulo están en: A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y

C(1, 3,-2). a) Encontrar el perímetro del triángulo. b) Encontrar un vector

unitario dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC

c) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es igual al

vector de A a C y qué, por lo tanto, el vector unitario es paralelo al lado AC.

Ejercicio 3.- Un vector desde el origen hasta el punto A está dado por

(6.-2,-4), y un vector unitario dirigido desde el origen hasta el punto B

está dado por (2, -2,1)/3. Si los puntos A y B se encuentran a diez (10)

unidades entre sí, encontrar las coordenadas del punto B.






Ejercicios



Ejercicio 1a.- Encontrar un vector unitario en la dirección – M + 2N.


M = -10ax + 4ay – 8az - M = 10ax - 4ay + 8az

N = 8ax + 7ay – 2az 2N = 16ax + 14ay – 4az

- M + 2N = 10ax – 4ay + 8az + 16ax + 14ay – 4az

- M + 2N = (10+16)ax + (– 4+14)ay + (8-4)az - M + 2N = 26ax + 10ay + 4az





Ejercicios



Ejercicio 1a.- Encontrar un vector unitario en la dirección – M + 2N.


- M + 2N = 26ax + 10ay + 4az 2NM-

2NM-a 2

NM

410262N M 222

161006762N M

7922N M

14.282N M

28.14

4a10a26aa

zyx2

NM

a14.28

4a

28.14

10a

28.14

26a z2N)(-M yx

0.14a0.36a0.92aa zyx2N)(-M



Ejercicios



Ejercicio 1b.- Encontrar la magnitud de 5ax + N – 3M.


M = -10ax + 4ay – 8az

N = 8ax + 7ay – 2az

-3M = 30ax - 12ay + 24az

5ax + N – 3M = 5ax + 8ax + 7ay – 2az + 30ax -12ay + 24az = 43ax – 5ay + 22az

5ax + N – 3M = 43ax – 5ay + 22az

225433M - Na5 222

x

2.358484258491.3M - Na5 x

56.483M - Na5 x



Ejercicios




Ejercicio 1c.- Encontrar N M2NM

8410-M222

N = 8ax + 7ay – 2az

13.421806416100M 13.42M

2N = 16ax + 14ay – 4az 414162N222

21.63 4682N

21.632N

M = -10ax + 4ay – 8az M + N = -2ax + 11ay – 10az

10a - 11a 2a-21.63 * 13.42 N M2NM zyx 10a - 11a 2a-290.24 N M2NM zyx

2902.4a - 3192.65a 580 N M2NM zy ax




Ejercicio 2.- Los vértices de un triángulo están en:

A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).

a) Encontrar el perímetro del triángulo.

b) Encontrar un vector unitario dirigido desde el punto medio

del lado AB al punto medio del lado BC

c) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un

escalar es igual al vector de A a C y qué, por lo tanto,

el vector unitario es paralelo al lado AC.




Ejercicio 2a.- Los vértices de un triángulo están en:

A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).


- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)





A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).


1.- Se buscan los vectores

unitarios aAB, aAC y aBC

2.- Obtenidos los vectores

unitarios aAB, aAC y aBC , se

calculan sus magnitudes y

la suma de ellas representan

el Perímetro P, del triángulo.

A(-1, 2, 5)

C( 1, 3,-2)

B(-4,-2,-3)

X

-X

y

z

-z

-y




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).


- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

aAB = rB – rA = (-4+1)ax + (-2-2)ay + (-3-5)az

aAB = -3ax - 4ay – 8az

843-a222

AB 9.43 89aAB

9.43 aAB




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).


- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

aAC = rC – rA = (1+1)ax + (3-2)ay + (-2-5)az

aAC = 2ax + 1ay – 7az

7.35 54712 a222

AC

7.35 aAC

aBC = rC – rB = (1+4)ax + (3+2)ay + (-2+3)az

aBC = 5ax + 5ay + 1az 7.14 51155 a

222BC 7.14 aBC




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).


- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

El Perímetro P del Triángulo, es igual

a la suma de los valores de los lados

AB + BC + AC

a a a ACBCABP

23.92 7.14 7.35 9.43 P

23.92 P



Ejercicio 2b.- Los vértices de un triángulo están en:

A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).

b) Encontrar un vector unitario dirigido desde el

punto medio del lado AB al punto medio del lado BC

- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

1.- Se busca primero al vector AB.

2.- Después se le calcula su módulo

valor absoluto o magnitud.

3.- Obtenido éste último se divide

entre dos y se tiene la mitad

del lado AB.

4.- El vector AB se divide entre dos y

se obtiene el punto medio del

lado AB.




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



- x

- z

- y

x

z

y

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

AB = (- 4ax - 2ay – 3az) – (-1aX + 2ay + 5az)

AB = - 4ax + 1aX - 2ay - 2ay – 3az – 5az

AB = - 3ax - 4ay – 8az

9,4339 89 64169 8 24 23- 2 AB

9,4339 AB 4,716 2 / AB




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



AA’ = - 3/2ax - 4/2ay – 8/2az

El vector AB se divide entre 2 y se obtiene el vector

ÁA’, cuya magnitud es la mitad del segmento AB,

con la cual se define el punto A’ de donde sale el

vector unitario que va al punto B’

AA’ = - 1.5ax - 2ay – 4az

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

A’

B’

4,716 22.25 16 4 2.25 4 2 2 2 1.5 2 AA'

4,716 AA'




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



Como el vector AA’ es :

AA’ = - 1.5ax - 2ay – 4az

A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

A’

B’

El punto A’ es :

A’ ( -1.5, -2, -4)

1.- Luego hay que obtener el vector BC efectuando

un tratamiento similar al que se hizo para

obtener el vector AB.

2.- Obtenido el vector BC se busca su magnitud,

cuya mitad da el punto medio del lado BC.

3.- Obtenido este último, se busca al vector BB’

para llegar hasta el punto B’.




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



BC = ( 1.0ax + 3ay – 2az ) – ( - 4ax – 2ay – 3az ) A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

A’

B’

BC = ( 1.0ax + 4ax +3ay + 2ay - 2az + 3az )

BC = ( 5ax + 5ay + 1az ) 7,141 51 125252 BC

7,141 BC

3,57 2 / BC

BB’ = ( 5/2ax + 5/2ay + 1/2az )

BB’ = ( 2.5ax + 2.5ay + 0.5az )

3.57 12.75 0.25 6.25 6.25 0.52 2.52 2.52 BB' 3.57 BB'




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



Como el vector BB’ es : A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

A’

B’

El punto B’ es :

B’ ( 2.5, 2.5, 0.5) BB’ = ( 2.5ax + 2.5ay + 0.5az )

El vector A’B’ es :

A’B’ = ( 2.5ax + 2.5ay + 0.5az ) – ( -1.5ax -2ay – 4az )

A’B’ = ( 2.5ax + 1.5 ax + 2.5ay + 2ay + 0.5az + 4az )

A’B’ = 4ax + 4.5ay + 4.5az Obtenido el vector A’B’ se

busca el vector unitario aA’B’




A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).



A( -1, 2, 5)

B(-4,-2,-3)

C( 1, 3,-2)

A’

B’

A’B’ = 4ax + 4.5ay + 4.5az

7.516 56.5 20.2520.251642 4.52 42 a B'A'

7.516 a B'A'

B'A'

B'A' a B'A'

aA’B’ = 4 / 7.516 ax + 4.5 / 7.516 ay + 4.5 / 7.516 az

aA’B’ = 0.532 ax + 0.598 ay + 0.598 az

Ejercicio 2c.- Los vértices de un triángulo están en:

A(-1, 2, 5), B(-4,-2,-3) y C(1, 3,-2).

c) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar

es igual al vector de A a C y qué, por lo tanto, el vector unitario

es paralelo al lado AC.







Ejercicios

En los Ejercicios 4, 5, 6, 7 y 8, los puntos A y B son los vértices opuestos

de un paralelepípedo rectangular que tiene sus caras paralelas a los planos

de coordenadas. a) Grafique para cada ejercicio la figura del paralelepípedo.

b) Obtenga las coordenadas de los otros seis (6) vértices en cada uno

de los ejercicios. c) Obtenga la longitud de la diagonal AB para cada caso.

Ejercicio 4.- A( 0, 0, 0), B( 7, 2, 3)

Ejercicio 5.- A( 1, 1, 1), B( 3, 4, 2)

Ejercicio 6.- A(-1, 1, 2), B( 2, 3, 5)

Ejercicio 7.- A( 2,-1,-3), B( 4, 0,-1)

Ejercicio 8.- A( 1,-1, 0), B( 3, 3, 5)




Ejercicios

En el Ejercicio 4, los puntos A y B son los vértices opuestos

de un paralelepípedo rectangular que tiene sus caras

paralelas a los planos de coordenadas.

a) Grafique la figura del paralelepípedo.

b) Obtenga las coordenadas de los otros seis (6) vértices.

c) Obtenga la longitud de la diagonal AB.

Ejercicio 4.- A( 0, 0, 0), B( 7, 2, 3)





En el Ejercicio 4, los puntos A y B son los vértices opuestos de un

paralelepípedo rectangular que tiene sus caras paralelas a los planos de

coordenadas. a) Grafique la figura del paralelepípedo.

Ejercicio 4.- A( 0, 0, 0), B( 7, 2, 3)

x

- x

- y y

z

- z

A(0,0,0) B( 7, 2, 3)








paralelepípedo rectangular que tiene sus caras paralelas a los planos de

coordenadas. b) Obtenga las coordenadas de los otros seis (6) vértices.

x

- x

- y y

z

- z

A( 0, 0, 0) B( 7, 2, 3)

G( 7, 2, 0)

E( 7, 0, 3)

F( 7, 0, 0)

D( 0, 0, 3) C( 0, 2, 3)

H( 0, 2, 0)




paralelepípedo rectangular que tiene sus caras paralelas

a los planos de coordenadas.

c) Obtenga la longitud de la diagonal AB.

Ejercicio 4.- A( 0, 0, 0), B( 7, 2, 3)







Ejercicios

En los Ejercicios 9, 10, 11, 12 y 13,

a) Encuentre la distancia entre los puntos los puntos A y B.

b) El punto medio del segmento que une los puntos A y B.

Ejercicio 9.- A( 3, 4, 2), B( 1, 6, 3)

Ejercicio 10.- A( 4 -3, 2), B(-2, 3,-5)

Ejercicio 11.- A( 2,-4, 1), B(1/2, 2, 3)

Ejercicio 12.- A(-2,-1/2, 5), B( 5,1,-4)

Ejercicio 13.- A(-5, 2, 1), B( 3, 7,-2)




59


Ejercicios

Ejercicio 14.- El vértice opuesto de una esquina de un cuarto es

18 metros Este, 15 metros Sur y 12 metros por encima de

la primera esquina.

a) Grafique la figura.

b) Determine la longitud de la diagonal que une los dos

vértices opuestos.

c) Encuentre las coordenadas de los ocho (8) vértices

del cuarto.






Ejercicios

Ejercicio 15.- Pruebe que los tres (3) puntos ( 1,-1, 3), ( 2, 1, 7) y ( 4, 2, 6)

son los vértices de un triángulo rectángulo y encuentre su superficie.

Ejercicio 16.- Utilizando la fórmula de las distancias pruebe que los tres (3)

puntos (-3, 2, 4), ( 6, 1, 2) y ( -12, 3, 6) son colineales.

Ejercicio 17.- Encuentre los vértices del triángulo cuyos lados tienen puntos

medios en ( 3, 2, 3), (-1,1, 5) y ( 0, 3, 4).

Ejercicio 18.- Para el triángulo que tiene vértices en A( 2,-5, 3), B(-1, 7, 0)

y C(-4, 9, 7) . Encuentre: a) La longitud de cada lado. b) El punto

medio de cada lado.


unidad 1 - analisis vectorial a

Documents