ANALISIS VECTORIALSemana 01

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior.

2. ELEMENTOS DEL VECTOR: el vector tiene dos elementos principales, el módulo y la dirección.

2.1) MÓDULO: Indica el valor de la magnitud vectorial. Geométricamente es el tamaño del vector.

Notación del vector: = = (x; y),

donde representa al módulo del vector.

El módulo del vector se determina mediante el teorema de Pitágoras:

2.2) DIRECCION: es la orientación que tiene el vector respecto al sistema de coordenadas cartesianas. En el plano de define mediante el ángulo que forma el vector con el eje “x” positivo.

El ángulo se mide en sentido antihorario.

Luego la medida del ángulo es:

O x

y

P (x; y)

1

EJEMPLO 01: Se muestra un vector cuyo origen es (0; 0) y el extremo (3; 4). Determine el módulo y dirección del vector.

ResoluciónEl módulo del vector se determina aplicado el teorema de Pitágoras.

Cálculo del ángulo que forma el vector con el eje x.

Respuesta: módulo 5 y dirección 53º respecto del eje x positivo.

EJEMPLO 02: Se muestra un vector cuyo origen es (2; 3) y el extremo (8; 11). Determine el módulo y dirección del vector.

ResoluciónDeterminamos las componentes del vector:

El módulo del vector se determina aplicado el teorema de Pitágoras.

Cálculo del ángulo que forma el vector con el eje x.

Respuesta: módulo 10 y dirección 53º respecto del eje x positivo.

2

O x

y

P (3; 4)

3

4

3. CLASIFICACION DE LOS VECTORES: Se clasifican en vectores colineales, paralelos, opuestos, iguales, coplanares, concurrentes, etc.3.1) VECTORES COLINEALES: Cuando todos ellos se encuentran contenidos en una misma línea recta o línea de acción.3.2) VECTORES PARALELOS: Son aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelos.3.3) VECTORES OPUESTOS: Son aquellos dos vectores que tienen igual módulo pero direcciones opuestos. La suma de dos vectores opuestos es nula.3.4) VECTORES IGUALES: Dos vectores serán iguales cuando sus dos elementos principales son iguales, es decir tiene igual módulo e igual dirección.3.5) VECTORES COPLANARES: Dos o más vectores se denominan coplanares cuando todos ellos se encuentran contenidos en un mismo plano.3.6) VECTORES CONCURRENTES: Dos o mas vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen el mismo punto de de aplicación o sus líneas de acción se intersecan en un mismo punto.

EJEMPLOS: 1) Los vectores a y b son colineales, por que están contenidos sobre una misma línea recta o línea de acción (L1).2) Sabiendo que L1 y L2 son paralelos. Los vectores a y c son paralelos por que están contenidos es rectas que son paralelas entre si.

3) Los vectores e, f y g son concurrentes y coplanares

L 1

L 2

a b

c d

e

f

g

3

OPERACIONES CON VECTORES

1. ADICION DE VECTORES PARALELO Y COLINEALES: En este caso todos los vectores están contenidos en rectas paralelas o en la misma recta, entonces la dirección de los vectores se diferencian con el signo negativo (-) o el signo positivo (+).

Los vectores son: = +2= -3 = +4

El vector resultante es: = (+2) + (-3) + (+4) = +3

Entonces el rector resultante tiene módulo 3 y dirección horizontal hacia la derecha.

2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: La cantidad escalar es todo número real, positivo o negativo, entero o fracción. Cuando se multiplica un escalar por un vector, el vector resultante es otro vector cuya dirección es el mismo del vector original si la cantidad escalar es positiva y tiene dilección opuesta si la cantidad escalar es negativa.

Observemos los siguientes vectores:1) Los vectores y son opuestos: 2) El vector es de tamaño doble que y tienen igual dirección: 3) El vector es de tamaño doble que y tienen direcciones opuestos: En general dos vectores paralelos o colineales son linealmente independientes.

1 a b

c

Figura 1.1

4

1 a b

c

Figura 2.1

Si K>0, entonces tienen igual dirección.

Si K<0, entonces tienen direcciones opuestas.donde K pertenece a los números reales.

3. EXPRESION DE UN VECTOR COMO PAR ORDENADO: En el plano cartesiano los vectores tienen dos componentes, entonces un vector se puede expresar como un par ordenado donde el origen del vector se encuentra en el origen de coordenadas.

EJEMPLO:Se muestra tres vectores en un plano cartesiano. Determine el módulo del vector resultante.

RESOLUCION

Expresamos cada vector como par ordenado:

Ahora determinamos el rector resultante:

Entonces el módulo del vector resultante es: 2

4. METODO DEL PARALELOGRAMO (para adicionar sólo dos vectores)Si dos vectores A y B tienen el mismo origen, por el extremo de A se traza una paralela al vector B, y a la vez por el extremo de B se traza una paralela al vector A. El modulo del vector suma o

5

1

a b

c

1

x

y

Figura 3.1

resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores.

R: es el módulo del vector resultante.A y B: módulo o valor de los vectores sumandos. es la medida del ángulo entre los vectores A y B.

EJEMPLO: ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 30 N y 50 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de modulo igual a 70 N?

RESOLUCIONAplicamos el método del paralelogramo:

Resolviendo tenemos:

Respuesta: los vectores forman un ángulo cuya medida es 60º.

A

B

R

Figura 4.1

30

50

70

Figura 4.2

6

5. CASOS PARTICULARES1) RESULTANTE MAXIMA: La resultante de dos vectores es máxima cuando forman entre si un ángulo nulo, por consiguiente tienen igual dirección.

2) RESULTANTE MINIMA: La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre si un ángulo igual a 180°, por consiguiente tienen direcciones opuestas.

3) VECTORES ORTOGONALES: Si los vectores forman entre si un ángulo recta, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

EJEMPLO: La resultante de dos vectores de modulo constante, varia al hacer girar uno de ellos. El mínimo modulo de la resultante es 2 y el máximo 14. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores forman ángulo recto.

RESOLUCIONLa resultante mínima es: A – B = 2 ……(1)La resultante máxima es: A + B = 14 …….(2)Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) tenemos: A = 8 y B = 6Cuando forman ángulo recto, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

R2 = A2 + B2

Reemplazando tenemos: R = 10

B A

R (max) = A + B

B A

R (min) = A - B

B

A

R2 = A2 + B2

R

7

6. DIFERENCIA DE DOS VECTORESEl vector diferencia D indica al vector minuendo A. El módulo se obtiene aplicando la ley de Cosenos.

OBSERVACIONES:

1. Si el ángulo es obtuso entonces el módulo de la suma es menor que el módulo de la diferencia.

2. Si el ángulo = 90°, entonces el módulo de la diferencia es igual al módulo de la suma.

3. El módulo de la resultante es máxima cuando forman entre si un ángulo nulo (0°).

4. El módulo de la resultante es mínima cuando forman entre si un ángulo de 180°.

8

A

Figura 5.1 B

RD

0

D

A

B

Figura 5.2

EJEMPLO 01: Se muestra un paralelogramo (figura 5.3). Expresar el vector en fusión de los vectores A y B.

RESOLUCION

La diagonal del paralelogramo representa a la resultante de sumar los vectores A y B.

La diagonal representa la resultante de los vectores:

Despejando tenemos que:

9

EJEMPLOS 02: Se muestra un conjunto de vectores (figura 5.5). Sabiendo que AB = BC y el

módulo del vector es 2 cm, determine el módulo del vector resultante.

RESOLUCIONCompletamos el paralelogramo (figura 5.6), donde OB es la mitad del paralelogramo.Observamos que: …………. (1)

Nos piden:

Ordenando convenientemente: ………….. (2)

Reemplazando (1) en (2): El módulo del vector resultante es: R = 6 cm.

10

b

c

O

Figura 5.6

EJEMPLOS 03: Se muestra un conjunto de vectores (figura 5.7). Sabiendo que AB = BC = CD = DE y el módulo del vector es 1 cm, determine el módulo del vector resultante.

RESOLUCIONConstruimos el paralelogramo (figura 5.8). La resultante de cada par de vectores es la diagonal del paralelogramo.

Nos piden:

Ordenando convenientemente: ….. (1)

Pero se observa que: ……………..… (2)

Reemplazando (2) en (1): El modulo de la resultante es: R = 5 cm.

11

O

A B C D EFigura 5.7

c

O

A B C D E

Figura 5.8

a

b

d e

c

6. METODO DEL POLIGONO. Suma de “n” vectores.

Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos. Es necesario ordenar los vectores uno continuación del otro uniendo, uniendo el extremo del primero con el origen del segundo, el extremo del segundo con el origen del tercero, así sucesivamente hasta el ultimo vector.Ejemplos:

1) Resultante de cinco vectores: 2) Resultante de cuatro vectores:

3) Resultante de tres vectores: 4) Resultante de dos vectores:

Figura 6.1

Figura 6.3

12

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores (figura 6.5). Determinar el vector resultante.

RESOLUCIONNos piden:

Agrupamos convenientemente: …...... (1)

Pero de figura sabemos que: …………….. (2)

Reemplazando (2) en (1):

POLIGONO CERRADO Y ORDENADO

Si el polígono formado es ordenado y cerrado, entonces el módulo del vector resultante en nulo. El orden de los vectores puede ser en sentido horario o antihorario.

Es importante señalar la UNION de la CABEZA de un vector con la COLA del siguiente vector.

ea

b

d

c

Figura 6.5

Figura 6.6

13

EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de vectores (figura 6.7). Sabiendo que los vectores a y b son perpendiculares, a = 6 cm y b = 8 cm, determine el módulo del vector resultante.

ResoluciónOrdenamos los vectores formando un nuevo polígono cuyo módulo es nulo (figura 6.8).

Ordenando tenemos que: …………….. (1)

Nos piden la resultante de: …………………. (2)

Reemplazando (1) en (2):

Aplicado el teorema de Pitágoras tenemos: R = 20 cm

a

b

d

c

Figura 6.7

14

a

b

d

c

Figura 6.8

7. RESULTANTE NULA Y LA LEY DE SENOS

Si la resultante tres vectores coplanares y concurrentes es nula, entonces con dichos vectores se forma un triángulo. El módulo de cada vector es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Se construye el polígono cerrado (triángulo)

Los vectores F1, F2 y F3 se encuentran contenidos en un plano.

Figura 7.1

F1

F2

F3

Figura 7.2

F1

F2

F3

Figura 7.3

F1

F2

F3

15

Aplicamos la ley de Senos al triángulo:

Casos especiales:

a) Si los tres ángulos son iguales , entonces el módulo de los tres vectores también serán iguales: F1 = F2 = F3.

b) Si dos de los ángulos son iguales (triángulo equilátero) entonces dos de los vectores tendrán el mismo módulo.

EJEMPLO 01: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes de módulos iguales que forman entre si ángulos iguales.

ResoluciónCon los tres vectores se forma un triángulo equilátero. Por consiguiente el módulo del vector resultante es cero: R = 0.

EJEMPLO 02: Se muestra tres vectores coplanares y concurrentes de módulos iguales que forman entre si ángulos iguales. Determinar el módulo del vector resultante.

Resolución

120°

120°

10 10

10

Figura 7.4

120°

120°

10 13

15

Figura 7.5

16

Aplicamos la propiedad asociativa de los vectores. Con los tres vectores de módulo 10 unidades forman un triángulo equilátero, por consiguiente el módulo del vector resultante en nulo. Entonces quedan dos vectores de módulos 3 y 5 unidades que forman entre si forman 120°.El módulo de la resultante es:

reemplazando obtenemos:

R = 4,36

Respuesta: el módulo del vector resultante es 4,36 unidades.

17

7. METODO DE LA DESCOMPOSICION RECTANGULAR: En el plano

cartesiano cualquier vector tiene dos componentes rectangulares.

Ax: Componente de A en el eje X.

Ay: Componente de A en el eje Y.

De donde deducimos que:

Ax = A.Cos

Ay = A.Sen

Para determinar la resultante de un sistema de vectores por este método, se sigue los siguientes

pasos:

1) Cada vector se descompone rectangularmente, respecto de un sistema de ejes coordenados

arbitrariamente elegido.

2) Se determina la resultante en cada eje cartesiano.

Rx : Resultante en el eje X.

Ry: Resultante en el eje Y.

3) El vector resultante se determina aplicando el teorema de Pitágoras.

4) La dirección del vector resultante respecto del eje X se determina mediante la razón tangente:

O x

y

P (Ax; Ay)

Ax Ax

Ay

Figura 8.1

18

CASOS ESPECIALES:

1) Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje “x” (figura 8.2), entonces la componente

en el eje “y” es nula.

2) Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje “y” (figura 8.3), entonces la componente

en el eje “x” es nula.

EJEMPLO 01: En la figura mostrada (figura 8.4), determinar el valor de A para que el vector

resultante de los tres vectores indicados esté sobre el eje “x”.

Resolución

60° 45°

A A

10

x

y

Figura 8.4

19

Se descompone cada uno de los vectores (figura 8.5), respecto del eje cartesiano.

De la condición del problema, la resultante en el eje vertical es nula.

Resolviendo tenemos: A = 4

60° 45°

3

2

A

10

A

y

Figura 8.5

A

x

20

8. METODO DE LA DESCOMPOSICION POLIGONAL: En general un vector de puede descomponer en dos o mas vectores, formando siempre un polígono cerrado.

EJEMPLO: La figura muestra un trapecio de vértices A, B, C y D. Sabiendo que M es punto medio del segmento AD, donde AB = 4 m y DC = 7 m, determine el módulo del vector resultante.

ResoluciónDescomponemos poligonalmente los vectores . Las componentes representan vectores opuestos, es decir se cancelan entre si.

La resultante se obtiene adicionando los vectores paralelos de igual sentido y .

= 4 + 7 = 11

Por lo tanto el módulo de la resultante es: 11

9. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO. Son aquellos vectores que tienen como módulo la unidad de medida y las direcciones coinciden con

M

A B

CDFigura 9.1

M

A B

CDFigura 9.2

21

los ejes cartesianos.

Los vectores cartesianos son:

: tiene dirección del eje X positivo.

: tiene dirección del eje X negativo.

: tiene dirección del eje Y positivo

: tiene dirección del eje Y negativo

El módulo es igual a la unidad de medida:

Representación de un vector en función de vectores unitarios:

EJEMPLO: Se muestra un conjunto de vectores. Si cada cuadrado tiene como lado la unidad de medida, determine el vector resultante.

i

j

i

j

x

y

(1; 1)

(-1; -1)

(-1; 1)

(1; -1)

Figura 10.1

22

RESOLUCIONDescomponemos cada uno de los vectores en función de los vectores unitarios cartesianos:

Calculamos el vector resultante:

Finalmente:

a

b

c d

Figura 10.2

3i-2i

1j1j

-2i 2i

-1j

-2jFigura 10.3

23

10. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIOEn el espacio tridimensional el vector tiene tres componentes. Tres dimensiones, largo ancho y altura.

EJEMPLO 01: Se tiene un vector . Determine el módulo del vector.

Resolución

Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el modulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

Respuesta: el módulo del vector es 13 unidades.

a

X

Y

Z

Figura 11.1

24

EJEMPLO 02: Se muestra un cubo de arista 1 cm. Determine el módulo del vector resultante.

ResoluciónHacemos la descomposición de cada vector respecto del sistema de ejes cartesianos.

Eje X: x = 1Eje Y: y = 1 + 1 = 2Eje Z: z = -1

Determinamos el módulo del vector resultante con la siguiente fórmula:

Reemplazando en la fórmula tenemos: R =

X

Y

Z

Figura 11.2

X

Y

Z

Figura 11.3

25

EJEMPLO 03: Se muestra un cubo de arista 1,0 cm (figura 11.4). Determine el módulo del vector resultante.

ResoluciónHacemos la descomposición de cada vector respecto del sistema de ejes cartesianos (figura 11.5). Los vectores el la cara superior del cubo se cancelan, solo quedan componentes en el eje “z”.Eje X: x = 0Eje Y: y = 0Eje Z: z = -4

Determinamos el módulo del vector resultante con la siguiente fórmula:

Reemplazando en la fórmula tenemos: R = 4

X

Y

Z

Figura 11.4

X

Y

Figura 11.5

Z

26

11. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su vector unitario. Entonces se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.

EJEMPLO 01: Determine el vector unitario del vector: Resolución

EJEMPLO 02: Se muestra un cuadrado de vértices A, B, C y D; además un cuarto de circunferencia con centro en D. Determine el vector en función de los vectores y .

Resolución

Consideremos un cuadrado de lado igual a la unidad de medida, por consiguiente medida de la diagonal del cuadrado es: unidades

Observamos que el vector unitario del vector es el mismo que del vector ( ).

El vector unitario es:

El vector es igual al producto del módulo del vector por su correspondiente vector unitario.

, entonces tenemos que el tamaño del vector es igual al radio del cuadrante cuya medida

es la unidad.

Finalmente tenemos:

A B

CD

a

b

x

Figura 12.1

27

12. EXPRESION DE UN VECTOR EN FUNCION DE OTROS: para expresar un vector en función de otros es necesario construir polígonos cerrados y aplicar a estos las propiedades del método del polígono para adicionar dos o más vectores.

EJEMPLO 01: En la figura expresar el vector en función de los vectores y .

ResoluciónAgregamos al grafico dos vectores cuyos módulos están en relación de 1 a 2.

En el triángulo OJH: Despejando: ….(1)

En el triángulo OHK: …(2)

Reemplazando (1) en (2):

2 m

a

O

1 m

Figura 13.1

2

a

O

J H K

28

FUENTES DE INFORMACIÓN:www.profisica.cl/experimentos.htmlwww.cienciafacil.com/fisica.htmlhttp://grups.es/didactika/yahoo.comwww.didactika.comwalter_perez_terrel@hotmail.comwperezterrel@gmail.comhttp://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com

29

EJERCICIOS

1. Determine el módulo de la fuerza resultante sobre el perno de anclaje, debido a los cables mostrados.A) 7 NB) 14 N

C) 28 N

D) 16 N

E) N.A.

2. Determine el valor del ángulo β, si la resultante de las fuerzas tiene dirección horizontal.

A) 45ºB) 60ºC) 30ºD) 53ºE) 37º

3. Si se sabe que la componente del vector de módulo F mostrado, a lo largo de la recta L 1 posee un módulo de “a” unidades, calcule el valor del ángulo α. El ángulo β se conoce.

A)

B)

C)

D)

E)

4. Determine el módulo de la resultante para el sistema de vectores mostrados, si las medidas están

dadas en cm.

A) 60B) 80C) 50D) 100E) 120

5. Determine el módulo de la resultante para el sistema de vectores mostrados, si las medidas están en m.

30

A) 12B) 6C) 18D) 10E) 15

6. Determine el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados, las medidas están en m.A) 4B) 5C) 6D) 7E) 3

7. Si se cumple que y el módulo de los vectores son 28 y 49 unidades

respectivamente, determine el módulo del vector , si la resultante tiene una dirección paralela a la del vector .

A) 65B) 50C) 70D) 80E) 100

8. Determine el valor del ángulo α, si la resultante de las fuerzas tiene un módulo de 63 N.

A) 30ºB) 45ºC) 37ºD) 53ºE) 60º

9. Determine el ángulo formado por dos vectores de módulos iguales, si su resultante posee también el mismo módulo.A) 120° B) 45° C) 60° D) 90° E) 53°

10. Calcule el valor de A, si el sistema de vectores mostrado tiene a su resultante sobre el eje X.A) 3B) 4C) 5D) 1E) 2

11. Determine el módulo de la resultante, para el sistema mostrado, si las medidas están en m.

31

A)

B)

C)

D)

E)

12. Calcule el módulo del vector , si el valor de C es:

A) 8B) 7C) 12D) 9E) 10

13. Determine el módulo de la resultante, para el sistema mostrado si las medidas están en cm.A)

B)

C)

D) E) 4

14. Determine el módulo de la resultante para el sistema mostrado, conociendo que los lados AB y BC del rectángulo ABCD miden 4 y 3,5 unidades respectivamente.

A) 14B) 10C) 9D) 12E) 20

15. Calcule el módulo de la resultante si “a” está en m.A) 7aB) 6aC) 5aD) 12aE) 10a

16. Calcule el valor del ángulo θ, sabiendo que la resultante es máxima.32

A) 25ºB) 15ºC) 10ºD) 18ºE) 22º

17. Si la resultante máxima de dos vectores tiene un módulo de 8 unidades y la mínima 2 unidades, determine el módulo de la resultante (en unidades) cuando formen un ángulo de 60°.A) 8 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

18. Calcule el módulo de la resultante, si las medidas están dadas en m.A) 12 mB) 8 mC) 10 mD) 16 mE) 15 m

19. Determine el módulo de T1 y T2 para el sistema de fuerzas mostrado (las fuerzas se comportan como vectores).

A) 120 N y 100 NB) 100 N y 100 NC) 120 N y 120 ND) 150 N y 150 NE) 100 N y 120 N

20. Si el módulo de la suma de dos vectores de igual módulo; es el doble del módulo de su diferencia, determine la medida del ángulo agudo que forman.A) 30° B) 37° C) 45° D) 90° E) 53°

33