ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)ANLISIS VECTORIAL Semana 011.VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En fsica sirve para representar a las magnitudes fsicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequea flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la direccin. El mdulo representa el tamao o valor de la cantidad vectorial. La direccin representa la orientacin del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.2.VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como mdulo o tamao la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:i: tiene direccin del eje X positivo.i : tiene direccin del eje X negativo.j: tiene direccin del eje Y positivoj : tiene direccin del eje Y negativok : tiene direccin del eje Z positivo.k: tiene direccin del eje Z negativo. El mdulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida:1 k j iLos tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:k j i En el espacio tridimensional el vector a tiene tres componentes: ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k + +rEJEMPLO 01: Se tiene un vector 3 12 4 a i j kr + +. Determine el mdulo del vector.ResolucinSi graficamos el vector obtenemos un paraleleppedo, entonces el mdulo del vector es igual al tamao de la diagonal.( )22 23 12 4 9 144 16 ar + + + +Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 1arXYZVECTOR EN EL ESPACIO VVZZZ

XYZVECTORES UNITARIOSjikANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)13 arRespuesta: el mdulo del vector es 13.3.VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen. u a aaau. En general se puede obtener un vector unitario en una direccin determinada, relacionado dos o ms vectores.EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: k j i A 12 4 3 + + ResolucinEl vector unitario se define como: 1312 4 3k j iAAu+ + El vector unitario es:k j i u1312134133 + + 4.COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano. En el sistema cartesiano tridimensional vectoratiene tres componentes rectangulares: ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k + +rDesignamos con y ,los ngulos que el vectora hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes: Cos a ax. , Cos a ay. , Cos a az. (1)Clculo del mdulo del vector:2 2 2 2x y xa a a a + + (2)reemplazando (1) en (2) tenemos:( ) ( ) ( ) 12 2 2 + + Cos Cos CosEntonces el vector unitario dea es: ( ) Cos Cos Cos u ; ; EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vectork j i A 16 15 12 .RESOLUCINClculo del mdulo del vector: ( ) ( ) ( )2 2 212 15 16 144 225 256 25 + + + + raA i j ku i j kA12 15 16 0, 48 0, 6 0, 6425 uuuruur y( ) Cos Cos Cos u ; ; Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 2XYZCOMPONENTES DEL VECTORayaxazzzZZZ

ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)Comparando tenemos que:Cos 0, 48 ,Cos 0,6 ,Cos 0,64 5.PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores A y Bur ur, su producto escalar o interno se representa por A B ur ur, y se define como el producto de sus mdulos por el coseno del nguloque forman, esto es: A B A . B .Cos B . A .Cos ur ur ur ur ur r, donde 0Debemos enfatizar que A B ur ur es un nmero real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.Dado los vectores: 1 2 3A a .i a .j a .k + +ur y 1 2 3B b .i b .j b .k + +ur1 1 2 2 3 3A B a .b a .b a .b + +ur urPROPIEDADESSe cumple la propiedad conmutativa:A B B A ur ur ur urPropiedad Distributiva:( )A B C A B A C + + ur ur ur ur ur ur urVectores paralelos: i i j j k k 1 Vectores ortogonales:i j j k i k 0 ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3A A a a a + +ur ury ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3B B b b b + +ur urCuadrado del mdulo: 2A A A ur ur urSi A B 0 ur ur y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.EJEMPLO 04: Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular:b aRESOLUCINDe la definicin: 0a b a . b .Cos 3 4 Cos120 6r r r r EJEMPLO 05: Para qu valores de m los vectores a m.i 3j 2k +r y b 1i 2j m.k + r son perpendiculares entre s?RESOLUCINDe la definicin: 1 2 3a a .i a .j a .kr + + y 1 2 3b b .i b .j b .kr + +1 1 2 2 3 3a b a .b a .b a .br r + +De la condicin: Si a b 0r r y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.Entonces:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m . 1 3 . 2 2 . m 0 + + Resolviendo: m 6 Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 3AAAZPRODUCTO VECTORIAL PZOPRODUCTO ESCALAR

ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)6.PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A y Bur ur, su producto vectorial o externo se representa por otro vector Cur, que se denota comoC A B ur ur ur. Su mdulo se define como el producto de sus mdulos por el seno del nguloque forman entre s, esto es:A B A . B .Sen ur ur ur r, donde 0Debemos enfatizar que Cur es perpendicular al plano formado por los vectores A y Bur ur.Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la direccin del vector A hacia la direccin del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ngulo gira en el sentido desde A hacia B.PROPIEDADESI. Si A B 0 ur ur r, entonces los vectores tienen la misma direccin o son paralelos.II. Anti conmutativo: A B B A ur ur ur urIII. Propiedad Distributiva: ( )A B C A B A C + + ur ur ur ur ur ur urIV. Vectores paralelos: i i j j k k 0 V. Vectores ortogonales:i j k ,j k i , k i j VI. Dado los vectores: 1 2 3A a .i a .j a .k + +ury 1 2 3B b .i b .j b .k + +ur entonces se cumple que:1 2 31 2 3i j kA B a a ab b b 1 1 1 1 ]ur urEl rea del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y Bur ures:Area del paralelogramo A B ur urEl rea de la regin triangular formado por los vectores A y Bur ur es: A BArea del triangulo2ur urEJEMPLO 06: Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 30. Sabiendo que5 6 b y a. Calcular:b aRESOLUCINDe la definicin: 0a b a . b .Sen 6 5 Sen30 15r r r r Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 4ABREA DEL PARALELOGRAMOANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)EJEMPLO 07: Dado los vectoresk j i A 2 1 3 yk j i B 1 2 1 + determinar las componentes vectoriales de: A B r rRESOLUCINDe la definicin del producto vectorial entre dos vectores:1 2 31 2 3i j kA B a a ab b b 1 1 1 1 ]ur uri j k3 1 21 2 1 1 1 1 1 ]1 2 3 2 3 1i j k2 1 1 1 1 2 111 + 111 ] ] ]A B i j k 5 1 7 + +r rEJEMPLO 08: Se conocen los vrtices de un tringulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el rea de la regin definida por el tringulo de vrtices A, B y C.RESOLUCINSean los vectores AB y ACuuur uuurdonde ( ) ( ) AB 3;0;0 y AC 0; 4;0uuur uuur 1 2 31 2 3i j kAB AC a a ab b buuur uuur 1 1 1 1 ]i j k3 0 00 4 0 1 1 1 1 ]0 0 3 0 3 0 i j k4 0 0 0 0 4 111 + 111 ] ] ]AB AC 12 kuuur uuur El valor o mdulo es:AB AC 12uuur uuur AB AC12Area del triangulo 62 2uuur uuur Respuesta: el rea de la regin triangular es 6 unidades cuadradas.EJEMPLO 09: Se conocen los vrtices de un tringulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: AB BC uuur uuurRESOLUCINDeterminamos las componentes de cada vector: ( ) ( ) AB 1;3; 3 y BC 2;0; 2uuur uuur i j kAB BC 1 3 32 0 2uuur uuur 1 1 1 1 ]3 3 1 3 1 3 i j k0 2 2 2 2 0 111 + 111 ] ] ] AB BC 6 i 4 j 6 kuuur uuur Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 5ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)7.TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores A , B y Cur ur uur se forma: ( )A B C ur ur ur( )1 2 31 2 31 2 3A A AA B C B B BC C C ur ur urPROPIEDADES:I. El producto triple escalar es un nmero real: ( )A B C nmero real ur ur urII. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B ur ur ur ur ur ur ur ur urIII. El valor del triple producto escalar representa el volumen de un paraleleppedo de aristas A , B y Cur ur uur.EJEMPLO 09: Se conocen los vrtices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del slido de vrtices A, B, C y D.RESOLUCINSean los vectores ( ) ( ) ( ) DA 4;0;0 , DB 0;5;0 , DC 0;0;3uuur uuur uuur El valor del triple producto escalar representa el volumen de un paraleleppedo de aristas DA , DB y DCuuur uuur uuur.( )1 2 31 2 31 2 3A A ADA DB DC B B BC C Cuuur uuur uuur 4 0 00 5 00 0 3 5 0 0 0 0 54 0 0 600 3 0 3 0 0 111 + 111 ] ] ]Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cbicas.EJEMPLO 10: Se dan los vectoresa 1i 1j 3k +r ,b 2i 2j 1k + +r y c 3i 2 j 5k +r. Determinar: ( )a b c r r rRESOLUCINDe la definicin del producto vectorial entre dos vectores:1 2 31 2 3i j ka b a a ab b br r 1 1 1 1 ] i j k1 1 32 2 1 1 1 1 1 ] 1 3 1 3 1 1i j k2 1 2 1 2 2 111 + 111 ] ] ]a b i j k 7 7 0 + +rrClculo de: ( )a b c r r r( ) ( ) 7; 7; 0 3; 2; 5 7 Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 66

ABCVOLUMEN DEL PARALELEPPEDO ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)8.TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y Cur ur uur se pueden formar productos como: ( )A B C ur ur ur, ( )A B C ur ur ur o ( )C B A ur ur ur, en todos estos casos el resultado es otro vector.PROPIEDADES:I. No se puede asociar: ( ) ( )A B C A B C ur ur ur ur ur urII. ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C ur ur ur ur ur ur ur ur urIII. ( ) ( ) ( )A B C A C B B C A ur ur ur ur ur ur ur ur urEJEMPLO 11: Sean los vectores ( ) ( ) ( ) A 4; 0; 0 , B 0; 5; 0 , C 0; 1; 3ur ur ur , determine ( )A B Cur ur ur y ( )A B Cur ur ur se obtiene el mismo resultado?RESOLUCINPrimer caso: ( )A B Cur ur ur i j kB C 0 5 00 1 3ur ur 1 1 1 1 ]5 0 0 0 0 5 i j k1 3 0 3 0 1 111 + 111 ] ] ] 15 i 0 j 0 k + +Clculo de ( )( ) ( ) A B C 4; 0; 0 15; 0; 0ur ur ur ( )i j k A B C 4 0 0 0 i 0 j 0 k 015 0 0ur ur r r 1 1 + + 1 1 ]Segundo caso: ( )A B Cur ur ur i j kA B 4 0 00 5 0ur ur 1 1 1 1 ]0 0 4 0 4 0 i j k5 0 0 0 0 5 111 + 111 ] ] ] 0 i 0 j 20 k + +Clculo de ( )( ) ( ) A B C 0; 0; 20 0;1;3ur ur ( )i j k A B C 0 0 20 20 i 0 j 0 k 20 i0 1 3ur ur r 1 1 + + 1 1 ]Es importante hacer notar que: ( ) ( )A B C A B C ur ur ur ur ur urLic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 77

ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)9.PROYECCIN DE UN VECTOR. Laproyeccin del vector Aursobre el vector Bur, esotro vector paralelo al vector B que se denota del siguiente modo: BA B BPr oyec A .B B _ ,urur ur ururuur uurAl mdulo de la proyeccin del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B.BA BComp ABurur ururuur( )B BBPr oyec A Comp A.Bur ururur uruur ( )BB B Pr oyec A Comp A. u ur urur urEJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector muur, sabiendo que es perpendicular a los vectores 1 F 2i 3j 1k +r y2F 1 i 2j 3k +uur adems satisface a la condicin: ( ) m 1 i 2 j 7k 10 + uurRESOLUCIN Sea ( )1 2m q F Fuur r r pero1 2F Fr r ( )i j k 2 3 1 7 i 5 j 1 k 7; 5; 11 2 3 1 1 1 1 ]la condicin: ( ) m 1 i 2 j 7k 10 + uurla condicin:( ) ( ) q 7; 5; 1 1 ; 2; 7 10 Resolviendo la ecuacin tenemos que:q 1 Respuesta:( ) ( )1 2 m 1 F F 7 i 5 j 1 kuur r r + +xPr oyec m 7 irur ,yPr oyec m 5 jrur ,zPr oyec m 1 krurPROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES 1. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operacin: ( ) ( )a b c dr rr r +Qu ngulo forman ( )a brry ( )c drr+ ?RESOLUCINLos vectores son: a 3 i 2 jr +, b 1 i 2 jr +, c 2 i 2 jr , d 2 i 2 jr Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 8OO

Proyeccin de A sobre B

abc d1ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)Clculo de: ( )a b 4 i 0 jrr + y ( )c d 0 i 4 jrr+ Piden: ( ) ( )( ) ( ) a b c d 4; 0 0; 4 0r rr r + Respuesta: ( )a brry ( )c drr+forman un ngulo recto.2. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operacin: ( )( ) a b a crr r r +Qu ngulo forman ( )a brry( ) a cr r+ ?1abcRESOLUCINLos vectores son: a 3 i 2 jr +, b 4 i 2 jr +, c 3 i 1 jr Clculo de: ( ) a b 7 i 0 jrr + y ( ) a c 0 i 1 jr r+ + Piden: ( )( ) ( ) ( ) a b a c 7; 0 0; 1 0rr r r + Respuesta: ( )a brry( ) a cr r+forman un ngulo recto.3. Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que A m.B n.Cr r r +, donde m y n son nmeros reales. Determine( ) m n +CABRESOLUCINLos vectores son: A 2 i 1 jr +, B 0 i 1 jr +, C 1 i 1 jr +Reemplazamos en la relacin: A m.B n.Cr r r +, entonces( ) ( ) ( ) 2; 1 m. 0; 1 n. 1; 1 + ( ) ( ) 2; 1 n; m n +comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n 2 y 1 m n + resolviendom 3 Respuesta:( ) m n 1 + 4. Verificar que los cuatro puntos( ) A 3; 1; 2 ,( ) B 1; 2; 1 ,( ) C 1; 1; 3 y( ) D 3; 5; 3 son los vrtices de un trapecio.RESOLUCINPara formar vectores a partir de dos puntos en el espacio:( )2 1 1 2 1 2AB x x ; y y ; z zuuur entonces: ( ) AB 2; 3; 3uuur , ( ) BC 2; 1; 2uuur , ( ) CD 4; 6; 6uuur , ( ) DA 0; 4; 1uuur Comparando las coordenadas de los vectores ( ) AB 2; 3; 3uuur y ( ) CD 4; 6; 6uuur 1K2 entonces AB K.CDuuur uuurLic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 9ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)Entonces ABuuur y CDuuur son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio.5. Para qu valores de ylos vectores a 2 i 3 j kr + +y b i 6 j 2 kr + son colineales?RESOLUCINSi arybrsus componentes en los ejes cartesianos sern proporcionales: 1 1 12 2 2x y zKx y z Reemplazando tenemos que: 2 3K6 2 Resolviendo se tiene que:4 y1 Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 10ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES1.Calcular el mdulo del vector:k j i A 2 3 6 + 2.Calcular el mdulo del vector:k j i W 12 3 4 + 3.Dado los puntos ( ) 2 ; 1 ; 3 Ay ( ) 1 ; 2 ; 1 Bdeterminar los vectores: ABuuury BAuuurrespectivamente.4.Dado los puntos ( ) 1 ; 2 ; 3 Py ( ) 1 ; 2 ; 1 Qdeterminar los vectores: PQuuur y QPuuur respectivamente.5.Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vectork j i A 2 3 4 + + sabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas ( ) 3 ; 2 ; 1 .6.Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vectork j i C 5 3 4 + sabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas ( ) 3 ; 1 ; 2 .7.Se dan los vectoresk j i A 6 2 4 + yj i B 4 2 + . Determinar la proyeccin del vector 2 B A + sobre los ejes coordenados cartesianos.8.Dado el mdulo de vector2 A y los ngulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z respectivamente 45 , 60 y 120 . Determinar la proyeccin del vector A sobre los ejes coordenados.9.Dado el mdulo de vector10 A y los ngulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z respectivamente 90 , 150 y 60 . Determinar la proyeccin del vector A sobre los ejes coordenados.10. Calcular los cosenos directores del vectork j i A 16 15 12 .11. Calcular los cosenos directores del vectorP 3i 4j 12k v.12. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ngulos siguientes45 , 135 y 60 ?13. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ngulos siguientes45 , 60 y 120 ?14. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ngulos siguientes90 , 150 y 60 ?15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ngulos120 y 45 respectivamente, qu ngulo forma el vector con el eje OY?16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ngulos45 y 135 respectivamente, qu ngulo forma el vector con el eje OZ?17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ngulos150 y 60 respectivamente, qu ngulo forma el vector con el eje OX?18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ngulos iguales y su mdulo es igual a 3 unidades. Qu ngulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?19. Calcular el vector unitario del vector k j i T 12 3 4 + + 20. Calcular el vector unitario del vectork j i a 3 2 6 21. Calcular el vector unitario del vector G 4i 3j +ur22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E 6i 8j +ur23. Se tiene un cuadrado de vrtices A, B C y D; y rea 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vrtice A (10; 20) y el lado AB es paralelo al vectorj i 4 3 + . Determinar la posicin de los vrtices B, C y D.Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 11ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)24. Se tiene un cuadrado de vrtices A, B C y D; y rea 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vrtice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vectorj i 3 4 + . Determinar la posicin de los vrtices B, C y D.25. Si los mdulos de los vectores Pury Qur son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los ejes X, Y y Z son 32;31;32 y 72;73;76 respectivamente. Determinar el resultado de: P Q2+ur ur26. Dado13 A,19 B y24 + B A Calcular:B A 27. Sabiendo que los vectoresB y A forman entre si un ngulo de 120 y adems3 A,5 B Determinar:B A 28. Para qu valores de p y q los vectoresk p j i A + + 3 2 yk j i q B 2 6 + son colineales?29. Para qu valores de r y s los vectoresk j i r A 3 12 + + y k sj i B 2 8 + + son paralelos?30. Los siguientes vectores W 15i 12 j 9 k +uur yP 5i 4j 3k + +ur son colineales?31. Los siguientes vectores E 15i 12 j 9 k +ur yT 5i 4j 3k +ur son paralelos?32. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). Es un trapecio?33. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). Es un trapecio?34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ABy CDson colineales?35. El vector T de mdulo 75 tiene direccin opuesta al vectork j i a 12 15 16 + . Determinar las proyecciones del vector Ten el sistema coordenado cartesiano.36. Dado los vectores en el planop 2i 3j r yq 1i 2j +r. Expresar el vector A 9i 4j +uren funcin de los vectoresp y qr r.37. Dado los vectores en el plano p 3i 2j r y q 2i 1j +r. Expresar el vector A 7i 4j ur en funcin de los vectoresp y qr r.38. Dado los vectores en el plano p 3i 2j r y q 7i 4j r. Expresar el vector A 2i 1j +ur en funcin de los vectoresp y qr r.39. Dado los vectores en el plano p 7i 4j r y q 2i 1j +r. Expresar el vector A 3i 2j uren funcin de los vectoresp y qr r.40. Se dan los vectores a 3i 1j r , b 1i 2j r yj i c 7 1+ . Determinar la descomposicin del vector p a b c + +r rr r en base de los vectoresb y a.41. Se dan los vectores a 6i 2j r , b 1i 5j r yj i c 7 1+ . Determinar la descomposicin del vector a b cp2 +rr rr en base de los vectoresb y a.42. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposicin del vector ADuuur tomado como base los vectores AB y ACuuur uuur.43. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposicin del vector BDuuur tomado como base los vectores AB y ACuuur uuur.44. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposicin del vector CDuuur tomado como base los vectores AC y AB.45. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposicin del vector AD BC CD + +uuur uuur uuur tomado como base los vectores AB y ACuuur uuur.Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 12ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)46. Se dan los vectores p 3i 2j r , q 1i 1j +r y r 2i 1j +r. Determinar la descomposicin del vector c 11 i 6 j r en base de los vectores p;q y rr r r.47. Se dan los vectores p 3i 2j 1k +r , q 1i 1j 2k + r y r 2i 1j 3k + r. Determinar la descomposicin del vector c 11i 6j 5k +r en base de los vectores p;q y rr r r.48. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: b a49. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: ( )2a50. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: ( )2b a+51. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: ( )2b a52. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: ( ) ( )3a 2b a 2b +r rr r53. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 120. Sabiendo que4 3 b y a. Calcular: ( )22 3 b a+54. Conociendo los vectores j a 1 , j i b 2 1+ y i c 3 . Determinar: c b ac b c a b aE + + + + 55. Conociendo los vectores j i a 1 3 + , j i b 2 1+ y j i c 2 4 + . Determinar: c b ac b c a b aK + + + + 56. Los vectoresb y a son perpendiculares entre si, adems el vectorcforma con cada uno de ellos un ngulo de 60. Sabiendo que:3 a, 5 by8 ccalcular: ( ) ( )3a 2b b 3c +r rr r57. Los vectoresb y a son perpendiculares entre si, adems el vectorcforma con cada uno de ellos un ngulo de 60. Sabiendo que:3 a, 5 by8 ccalcular: ( )2c b a+ +58. Cada par de vectoresc y b a, forman entre si un ngulo de 60. Sabiendo que4 a, 2 by 6 cDetermina el mdulo de( ) c b a+ + .59. Para que valores de m los vectores a m.i 3j 2k +r y b 1i 2j m.k + r son perpendiculares entre s.60. Para que valores de p los vectores a 12.i p.j 2k +r y b 1i 2j p.k + r son perpendiculares entre s.61. Sabiendo que3 ay5 bdeterminar para que valor de q los vectores( ) b q a. +y( ) b q a. son perpendiculares entre s.62. Sabiendo que4 ay2 bdeterminar para que valor de q los vectores( ) b q a. +y ( ) b q a. son perpendiculares entre s.Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 13ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)63. Qu condicin deben satisfacer los vectoresb y apara que( ) b a+y( ) b asean perpendiculares entre s?64. Demostrar que el vector( ) ( ) b a c c a b p es perpendicular con el vector a.65. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre s.66. Los vectoresb y a forman 30 entre s. Sabiendo que:3 ay1 b Determine la medida del ngulo que forman entre si los vectores( ) b a+y( ) b a67. Los vectoresb y a forman 120 entre s. Sabiendo que:5 ay5 b Determine la medida del ngulo que forman entre si los vectores( ) b a+y( ) b a68. Los vectoresb y a forman 60 entre s. Sabiendo que:5 ay3 b Determina la medida del ngulo que forman entre si los vectores( ) b a+y( ) b a69. Calcular la medida del ngulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vrtices de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo issceles.70. Calcular la medida del ngulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vrtices de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo cuyos lados son directamente proporcionales a los nmeros 3, 4 y 5.71. Calcular la medida del ngulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vrtices de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo cuyos lados son directamente proporcionales a los nmeros 5, 12 y 13.72. Calcular la componente del vectork j i A 5 2 5 + + sobre el eje del vector k j i B 2 1 2 + 73. Calcularla proyeccin del vectorj i A 5 10 + sobre el eje del vector j i B 4 3 + 74. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ngulo interno del vrtice C.75. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ngulo interno del vrtice B.76. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ngulo interno del vrtice A.77. El vector de mdulo50 aes colineal con el vectork j i b 5 , 7 8 6 y forma un ngulo agudo con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a.78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector k j i b 1 1 2 + y satisface la condicin3 b a.79. Determinar el vector m, si se sabe que es perpendicular con los vectores:k j i A 1 3 2 + y k j i B 3 2 1 + adems satisface a la condicin:( ) 6 1 1 1 + k j i m80. Se dan los vectoresk j i A 5 1 3 + yk j i B 3 2 1 + . Determinar el vector Xque es perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones: 9 A X y 4 B X81. Se dan los vectoresk j i A 3 1 2 + ,k j i B 2 3 1 + y k j i C 3 2 3 + . Determinar el vector Xque satisface a las condiciones: 5 A X ,11 B X y 20 C X82. Determinar las componentes del vector S 4i 3j 2k +rsobre el eje Lsrque forma con los ejes cartesianos ngulos agudos iguales.83. Dado los vectores A, B; C y Dur ur ur urse cumple que:k j i A 4 3 4 + + yk j i B 1 2 2 + adems se sabe que Cures paralelo a Bury el vector Dur es ortogonal con Bur. Si A C D +ur ur ur determinar las expresiones vectoriales de C y Dur ur.Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 14ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)84. Los vectoresb y aforman entre si un ngulo de 30. Sabiendo que5 6 b y a. Calcular: b a85. Sabiendo que2 10 b y a, adems12 b a.Calcular:b a86. Sabiendo que26 3 b y a, adems72 b a. Calcular:b a87. Sabiendo que4 3 b y a, adems0 b a.Calcular:( ) ( ) b a b a +88. Sabiendo que4 3 b y a, adems0 b a.Calcular:( ) ( ) b a b a2 3 89. Los vectoresb y a forman 120 entre s. Sabiendo que:1 ay2 b.Calcular: ( )2b a90. Los vectoresb y a forman 120 entre s. Sabiendo que:1 ay2 b.Calcular: ( ) ( )22 2 b a b a+ +91. Los vectoresb y a forman 120 entre s. Sabiendo que:1 ay2 b.Calcular: ( ) ( )22 3 3 b a b a +92. Dado los vectoresk j i A 2 1 3 yk j i B 1 2 1 + determinar las componentes vectoriales de:b a93. Dado los vectoresk j i A 2 1 3 yk j i B 1 2 1 + determinar las componentes vectoriales de:( ) b b a +94. Dado los vectoresk j i A 2 1 3 y k j i B 1 2 1 + determinar las componentes vectoriales de:( ) ( ) b a b a+ 2 295. Dado los vectoresk j i A 2 1 3 yk j i B 1 2 1 + determinar las componentes vectoriales de:( ) ( ) b a b a2 3 3 2 + 96. Se conocen los vrtices de un cuadriltero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: AB BC uuur uuur97. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: ( )BC 2.CA CB uuur uuur uuur98. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada desde el vrtice B al lado AC.99. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vrtice B al lado AC.100. La fuerzaF 3i 2 j 4k + r est aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F r r rdonde r OA r uuures el vector posicin.101. La fuerzaF 2i 4 j 5k +r est aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque de esta fuerza respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que r F r r rdonde r BA r uuures el vector posicin.102.La fuerzaF 3i 2 j 2k + r est aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque rde esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F r r rdonde r OA r uuures el vector posicin.103.Dado los vectoresk j i A 2 1 2 yk j i B 2 2 3 + , determinar los cosenos directores de A B ur urLic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 15ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)104.Se dan las fuerzas 1 F 2i 1j 3k + r ,2F 3i 2j 1k + uur y 3 F 4i 1j 3k + +r, determinar los cosenos directores de ( )21 3F F F + +ur r uur105.Se dan las fuerzas 1 F 2i 1j 3k + r ,2F 3i 2j 1k + uur y 3 F 4i 1j 3k + +r, determinar los cosenos directores de ( )21 3F F F + ur r uur106.Se dan las fuerzas 1 F 2i 1j 3k + r ,2F 3i 2j 1k + uur y 3 F 4i 1j 3k + +r, determinar los cosenos directores de ( ) ( )21 3 2F F F F + ur r uur uur107.Las fuerzas 1 F 2i 1j 3k + r ,2F 3i 2j 1k + uur y 3 F 4i 1j 3k + +r estn aplicadas en el punto A (2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.108.Las fuerzas 1 F 2i 1j 3k + r ,2F 3i 2j 1k + uur y 3 F 4i 1j 3k + +r estn aplicadas en el punto A (-1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1).109. Se conocen los vrtices de un tringulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el rea de la regin triangular.110.El vector 3 Fr de mdulo 26 es perpendicular a los vectores 1 F 4i 2j 3k r y2F 1j 3k +uur, adems forma con el eje OY un ngulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de 3 Fr.111.El vector 3 F de mdulo 39 es perpendicular a los vectores 1 F 4i 2j 3k r y2F 1j 3k +uur, adems forma con el eje OY un ngulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F3r.112.El vector muur de mdulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector Q 8i 15j 3k +ur y, adems forma con el eje OX un ngulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de muur.113. Determina las componentes rectangulares del vector muur, sabiendo que es perpendicular a los vectores 1 F 2i 3j 1k +r y2F 1 i 2j 3k +uur adems satisface a la condicin: ( ) m 1 i 2 j 7k 10 + uur114. Se dan los vectoresa 2i 3j 1k +r ,b 3i 1j 2k + +r y c 1 i 2 j 3k + +r, calcular: ( )a b c r r r115.Se dan los vectoresa 2i 3j 1k +r ,b 3i 1j 2k + +r y c 1 i 2 j 3k + +r, calcular: ( )a b c r r r116.Se dan los vectoresa 2i 3j 1k +r ,b 3i 1j 2k + +r y c 1 i 2 j 3k + +r, calcular: ( )b a c r r r117. Se dan los vectoresa 2i 2j 1k + +r ,b 1i 1k +r y c 1 i 1j 4k + r. Determinar el vector unitariou contenido en el plano formado por los vectores a y br r adems que sea perpendicular al vector cr.118.Se dan los vectoresa 2i r ,b 4k r y c 3 j r. Determinar: ( )a b c r r r119. Se dan los vectoresa 3i r ,b 4 j r y c 2k r. Determinar: ( )c b a r r r120. Se dan los vectoresa 5i r ,b 3j r y c 4k r. Determinar: ( )a c b r r rLic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 161abd Para el problema 139cANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)121.Los vectoresb y a forman entre si un ngulo de 30 adems6 ay3 b Sabiendo que el vector c de mdulo 3 es perpendicular ab y a, calcular: ( )a b c r r r122.Se dan los vectoresa 1i 1j 3k +r ,b 2i 2j 1k + +r y c 3i 2 j 5k +r. Determinar: ( )a b c r r r123.Se dan los vectoresa 1i 1j 3k +r ,b 2i 2j 1k + +r y c 3i 2 j 5k +r. Determinar: ( )c b a r r r124. Se dan los vectoresa 2i 3 j 1k + r ,b 1i 1j 3k +r y c 1i 9 j 11k + r. Son coplanares los vectoresc y b a, ?125. Se dan los vectoresa 3i 2 j 1k +r ,b 2i 1j 2k + +r y c 3i 1j 2k r. Son coplanares los vectoresc y b a, ?126. Se dan los vectoresa 2i 1j 2k +r ,b 1i 2 j 3k + r y c 3i 4 j 7k +r. Son coplanares los vectoresc y b a, ?127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Son coplanares estos cuatro puntos?128. Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). Son coplanares estos cuatro puntos?129.Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vrtices estn en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1) y D (4; 1; 3).130.Se tiene un tetraedro cuyos vrtices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajad desde el vrtice D al plano ABC.131.El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vrtices estn en los puntos: A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vrtice, D, si se sabe que est contenida en el eje OY.132. Determinar el volumen en unidades cubicas del paraleleppedo construido sobre los vectores concurrentes a 8i r ,b 2i 8 j +ryc 1i 1j 8k + +r133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paraleleppedo construido sobre los vectores concurrentes a 4i r ,b 4 j ryc m. j 4k +r, donde m es un nmero real.134. Se tiene un plano P cuya ecuacin es: 2x + 2y - 3z 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.135. Se tiene un plano P cuya ecuacin es: 3x + 4y +12z 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano.136. Descomponer el vector a 10i 10 j 4k + +r en dos componentes rectangulares en las direcciones perpendicular y paralela al plano P cuya ecuacin es: 6x +3y +2z 11= 0.137. Una fuerza F 20i 10j 30k + r (en newtons) acta sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posicin A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el desplazamiento: FA B ABW F d r rLas coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).138. Una fuerza F 50i 20j 30k +r (en newtons) acta sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posicin A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 171abd Para el problema 139cANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)139. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operacin: a) ( ) ( )F a b c dr rr r +b) ( ) ( )I a b c dr rr r + c) a b a c b cSa b c + + + +r rr r r rrr rd) Y a b c dr r rr r + e) a b a c a dCb c b d c dr rr r r rr r r rr r + + + + f) ( ) ( )A a b c dr r rr r + +g) Sabiendo que a m.b n.crr r +, donde m y n son nmeros reales. Determine( ) m n +h) Sabiendo que d r.b s.cr rr +, donde r y s son nmeros reales. Determine( ) r s +i) Sabiendo que c p.b q.dr rr +, donde p y q son nmeros reales. Determine( ) p q +140. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operacin: a) ( ) ( )a b c d r rr r b) ( ) ( )a b c d +r rr rc) a b a c b ca b cr rr r r rrr r + + + +d) ( ) ( )a b c c d a r rr r r r + e) a b a c a db c b d c d r rr r r rr r r rr rf) ( ) ( )a b c d r rr r rg) Sabiendo que a m.b n.crr r +, donde m y n son nmeros reales. Determine ( ) m n +h) Sabiendo que d r.b s.cr rr +, donde r y s son nmeros reales. Determine ( ) r s +i) Sabiendo que c p.b q.dr rr +, donde p y q son nmeros reales. Determine ( ) p q +Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 181abd Para el problema 139cabdPara el problema 140 c AANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operacin:a) ( ) ( )a b c b +r rr rb) ( ) ( )a b c b + r rr rc) a b ca b a c b crr rr rr r r r+ + + + d) Y a b c a + r rr r re) a b a c b ca a b b c c + + r rr r r rr rr r r rf) ( )( )( )a b c aa b c+ + rr r rrrr rg) El resultado de ( )a b c r r r compara con( )a b c r r r son iguales?142. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida.a) Calcular:a b c + +rr rb) Calcular:a 2b 3c + rr rc) Determine el vector unitario de: ( )a b c +rr rd) Determine el vector unitario de: ( )a b c + rr re) Reducir: ( ) ( )( )a b c ba b c + r rr rrr r f) Reducir: ( ) ( )( )a b c ba b c + r rr rrr rg) Reducir: a b ca b a c b crr rr rr r r r + + h)( ) ( )a b c c b aa a b b c c + + + r rr r r rr rr r r ri) ( )( ) a b c a c bb b a a c c r rr r r rr rr r r rj) ( ) ( )( )a b b ca b c +r rr rrrr rLic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 19aZPara el problema 141bcYXXYZPara el problema 142cba AANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)k) El resultado de ( )a b c r r r compara con( )a b c r r r son iguales?143. Se muestra un sistema de vectores.a) Expresar el vector ACuuuv en funcin de los vectoresAB y ADuuuv uuuv.b) Expresar el vector uuurAD en funcin de los vectores uuuv uuuvABy AC .c) Expresar el vector uuurAB en funcin de los vectores uuuv uuuvADy AC.Taller Nmero 1 Pregunta N 1Responde las siguientes preguntas, justificando su respuesta.a) Se tienen dos vectores A y B.Es posible que el mdulo de la suma de dichos vectores sea menor que el mdulo de cualquiera de ellos? Cmo?b) El mdulodelasumadedosvectoressiempreesmenoroigualalasumadelos mdulos de dichos vectores. Es esto correcto?c) La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de dimetro a 20 soles. Si escoges un sector de ella que vale 5 soles, cunto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste (en cm2)? (Dato: 1pulgada = 2,54 cm)d) Un leopardo en carrera puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. En contraste, un caracol puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. Cuntas veces ms rpido es el leopardo con respecto al caracol? Pregunta N 2Se tienen los siguientes los vectores: a, b, x, y, z y u, y se sabe que en el paralelogramo OPSV se cumple que 2PQ = QR = 2RS y 2ST = TU = 2UV. a) Hallar (x + y) y (z + u) en funcin de a y b. b) Hallar (x z + y u) en funcin de a y b. c) Hallar el mdulo de (x+ y+ z+ u),sabiendo que los mdulos de ay bson 10 y 6 unidades, respectivamente, y que el ngulo obtuso del paralelogramo mide el doble de su ngulo agudo. Pregunta N 3El peso P de un cuerpo de masa m se puede calcular multiplicando la masa del cuerpo por el valor de la aceleracin de la gravedad g, esto es: P = mg. En el Sistema Ingls la masa se mide en slug, la aceleracin en pie/s2 y el peso en libras (lb). En el Sistema Internacional la masa se mide en kg, la aceleracin en m/s2 y el peso en newtons (N). Adems se sabe que en el Sistema Ingls se cumple que 1 lb = 1 slug x pie/s2, mientras que en el Sistema Internacional se tiene que 1 N = 1 kg x m/s2. La equivalencia entre las unidades de peso de los dos sistemas es: 1 lb = 4,448 N, y la equivalencia entre las unidades de longitud es: 1pie=0,3048m. Considerandoquelaaceleracindelagravedadenel Sistema Internacional es g = 9,81 m/s2, determinar:a) La aceleracin de la gravedad (en pie/s2).b) La equivalencia entre las unidades de masa de los dos sistemas.c) La masa (en slug) de un tractor (de transporte de cohetes) cuyo peso es de4,9 x 106 libras.d) cuntos automviles de 106 g de masa suman una masa total igual a la del tractor?Pregunta N 4Dos motociclistas parten desde un mismo punto,recorriendo las siguientes rutas: El primero se dirige 8 km hacia el norte, luego gira 65 en sentido antihorario recorriendo 10 km, para finalmente girar 140 en sentido Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 20 AD C B2 3Para el problema 143ANLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)horarioyrecorrer12km. El segundosedirige9kmhaciael esteyluegogira45ensentidoantihorario recorriendo 7 km. a) A qu distancia se encuentra cada uno del punto de partida? b) A qu distancia se encuentran entre s los dos motociclistas? c) Qu ngulo tendra que girar el segundo motociclista, y en qu sentido, para alcanzar al primer motociclista en un tercer tramo recto de recorrido? Pregunta N 5El goleador del equipo del Manchester necesita slo de 3 toques para marcar un gol. El primer toque (desde el origen O) mueve la pelota 120 pies al norte, el segundo toque 60 pies al noreste (N 45 E) y el tercer toque 30 pies al noroeste(N 45 O). Determina la distancia que recorrera la pelota y el ngulo del lanzamiento con respecto a la horizontal para que el lanzamiento sea en un solo toque. Asume que el jugador patea desde el origen O y la pelota llega exactamente al mismo punto de ingreso al arco que en la jugada de 3 toques. Da tu respuesta en forma analtica y grfica. Nota: 1 pie = 12 pulg y 1 pulg = 2,54 cmPregunta N 6A. Cuandounagotadeaceiteseesparceenunasuperficiedeagua, lapelculadeaceitequeseformaes aproximadamente de una molcula de espesor. Una gota de aceite de 9,010-7 kg de masa y de 918 kg/m3 de densidad se esparce dentro de un crculo de 41,8 cm de radio sobre una superficie de agua. Cul es el tamao de una molcula de aceite? (La densidad se define como la masa total dividida por el volumen)B. Una esfera slida de 2,5 m de dimetro se encuentra sumergida a gran profundidad en el ocano. Se sube a lasuperficieysuradioaumentaen10%debidoalcambioenlapresindelagua. Considerandoque1 pulgadaequivalea2,54cm, sepidedeterminar el volumendelaesferaenlasuperficie(enpulgadas cbicas). Pregunta N 7Un nio est buscando un tesoro enterrado. Su mapa le indica empezar en Ay moverse rumbo a B, pero solo la mitad de la distancia entre los dos puntos. Despus debe caminar hacia C, cubriendo solo un tercio de la distancia entre By C. Luego debe dirigirse a D, recorriendouncuartodeladistanciaentreCyD. PorltimodebemoversehaciaE, cubriendounquintodeladistanciaentreDyE, detenerseycavar.Si el ladodeun cuadritodela cuadrculadelmapa representa 10m, aqu distancia delpuntoAse encuentra enterrado el tesoro? 144.Lic., WALTER PEREZ TERREL/ walter_perez_terrel@hotmail.com/997089931 Pgina 21